自然常数e的证明

当然，实际生活中，银行的利息没有这么高，如果利率只有5%，那么1块存一年最多可以

拿到多少钱呢？5%lim(1)?n n n

→∞+= 在100%利率的情况下，当n=1000所得到的数值非常接近e ：

10001000100%(1)(10.1)1000

e +

=+≈。 为了便于思考，取n=50,：50505%(1)(10.1)50+=+。因此，5%利率相当于e 的20分之一次方：1150100020205%100%(1)[(1)]501000

e +=+≈ 注意：20分之一正好等于利率5%，所以公式可以写成：

rate FV e =，式中rate 就是利率。这说明只要是持续不断的复合式增长，e 可以用于任何增长率的计算。

再考虑时间因素，如果把钱在银行里存t 年，最多可以得到多少钱呢？

()r t rt FV e e ==，此式为计算本利和的万能公式，可以适用于任何时间，任何利率。

进一步思考，如果银行利率是5%的复利，请问1元存款翻倍需要多少时间？

求解需要多少时间等价于解方程：5%12t e •=

ln 20.69369.3725%5%55

t ===≈，结果是13.86年。上式最后一个等号，表明用72除以利率，可以得到翻倍的大致时间，这就是经济学上著名的72法则。

e 在自然科学中有着重要的地位和作用，比如在原子物理中放射性物质的衰变，生物增殖问题，地质科学中考察地球年龄，用齐奥尔科夫斯基公式计算火箭速度，物体的冷却等等

讲了这么多，e 是一个特殊的重要极限，在高等数学及其应用领域中起着奠基般的举足轻重的作用。但如此重要的极限，在一般的教科书中对它的存在性的证明却叙述得较少，甚至不证明，只让去死记硬背一个十分难记难懂的结论。下面我尝试证明极限e 的存在，并且确定它的值。

一、极限e 存在性的证明 为了证明极限e x

Lim x x =+∞→)11( 首先给出关于极限存在的两个基本准则。

I 夹逼准则：如果函数)()()(x x f x ϕ≤≤Φ且A x Lim =Φ)(，A x Lim =)(ϕ，那么A x Limf =)(。

II 单调有界数列必有极限。

x x

x f )11()(+=这个函数既不是幂函数也不是指数函数，我们称之为幂指数函数。只有当0)11(>+x

时这个函数才有定义，故只对0>x 与1-x 时，首先让x 取正整数，即x=n ，n=1,2,3……若0≠x 而0)1(>+x 有伯努利不等式nx x n +>+1)1(，这个不等式可由二项式定理推出，并且对01<<-x 时不等式仍然成立，可由由数学归纳法证明。因此，对伯努利不等式将x 换成)1(2

n -，便有 n n n 11)11(2

->-或者)11()11()11(n n n n n ->-+ 故对1>n 有 )1(1111)11()(11)1(-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=->---n f n n n n n f n n n

说明)(n f 是随n 的增加而增加的，即)(n f 是单调增加数列，另一方面由二项定理知

32

13211211121212111!1!31!2111)11()21)(11(!1)21)(11(!31)11(!21111!123)1(1!2)1(1!11)11()(1122<-=--+=+++++<+++++<----++--+-++=⋅⋅-++-++=+=--n n n n

n n n

n n n n n n n n n n n n n n n n n n f 说明)(n f 是单调增加有界数列，根据准则II ，)(n f 的极限存在，以e 表示之，即

e n

Lim n n =+∞→)11( （1a ） 其次，对任意0>x ，必存在两个相邻的整数m 与m+1，使得1+<≤m x m ，因而1

11+>≥m x m 从而 m x m m x m )1

11()11()11(1++>+>++或者 1)1

11)(1()()11)((-+++>>+m m f x f m m f 当+∞→x 时，+∞→m 并且e m f →)(，e m f →+)1(，

1)11(→+m ，1)1

11(1→++-m 由准则I 知 e x

Lim x f Lim x x x =+=+∞→+∞→)11()( （1b ） 2、当1-

11111()(1)1(1)(1)(1)1111

x x x x f x f x x x x x x --⎡⎤⎡⎤=-==++=-+⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦，当x →-∞时，x →+∞，1(1)11

x +→-，(1)f x e -→ 所以11(1)(1)(1)1x

x x Lim Lim f x e x x →-∞→+∞+=-+=- （1c ） 综合1a ，1b ，1c 对于0>x 与1-

二、极限e 的确定与求法

由二项定理及极限1可得到e 的表达式

1111(1)(1)1!2!

!n n n e Lim Lim n n →∞

→∞=+=++++或者11112!3!e =++++ 由此可知e 是个无理数，整数部分是2，小数部分是个无限不循环小数。数e 的近似值可以

通过()x f x e =的泰勒展开式：

23

1

11!2!3!(1)!!

n n x Qx x x x x x e e n n -=++++++- 其中1ex x e e <<，当x=1时有

111112!3!

(1)!!

Q e e n n =++++++- （13Q e e <<<） 如取n=9，可得 11111111112!3!4!5!6!7!8!9!

110.50.1666670.0416670.0083330.0013890.0001980.0000250.000003Q Q e e e =+++++++++=+++++++++=2.718279

由此计算方法可见，若要求精度越高，则n 取的越大，且计算每一项的精确度比要求的精度要高，当n<10时高一位，n<100时高二位，……