数学模型姜启源课件
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数学模型姜启源 ppt课件
6
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
9 五 5－6 6.4种群的相互依存
2
7.1市场经济中的蛛网模型
10 五 5－6 7.2减肥计划-节食与运动
2
8.3层次分析模型
12 五 5－6 8.4效益的合理分配
2
9.2报童的诀窍(讨论课)
13 五 5－6 9.5随机人口模型
2
9.6航空公司的预定票策略
14 五 5－6 10.1牙膏的销售量
数学模型
对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
数学
建立数学模型的全过程
建模 （包括表述、求解、解释、检验等）
2020/11/13
12
《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
1.2 数学建模的重要意义
• 电子计算机的出现及飞速发展； • 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。
1.3 数学建模示例
1.4 数学建模的方法和步骤
1.5 数学模型的特点和分类
1.6 怎样学习数学建模
2020/11/13
8
《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
1.1 从现实对象到数学模型
我们常见的模型
玩具、照片、飞机、火箭模型… … ~ 实物模型
水箱中的舰艇、风洞中的飞机… … ~ 物理模型
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
数学模型
2020/11/13
1
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
课程简介
课程名称 数学模型与数学建模 Mathematical Modeling
先修课程 微积分、线性代数、概率论与数理统计 课程简介
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
9 五 5－6 6.4种群的相互依存
2
7.1市场经济中的蛛网模型
10 五 5－6 7.2减肥计划-节食与运动
2
8.3层次分析模型
12 五 5－6 8.4效益的合理分配
2
9.2报童的诀窍(讨论课)
13 五 5－6 9.5随机人口模型
2
9.6航空公司的预定票策略
14 五 5－6 10.1牙膏的销售量
数学模型
对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
数学
建立数学模型的全过程
建模 （包括表述、求解、解释、检验等）
2020/11/13
12
《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
1.2 数学建模的重要意义
• 电子计算机的出现及飞速发展； • 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。
1.3 数学建模示例
1.4 数学建模的方法和步骤
1.5 数学模型的特点和分类
1.6 怎样学习数学建模
2020/11/13
8
《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
1.1 从现实对象到数学模型
我们常见的模型
玩具、照片、飞机、火箭模型… … ~ 实物模型
水箱中的舰艇、风洞中的飞机… … ~ 物理模型
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
数学模型
2020/11/13
1
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
课程简介
课程名称 数学模型与数学建模 Mathematical Modeling
先修课程 微积分、线性代数、概率论与数理统计 课程简介
简单优化模型 《数学模型》(第三版)电子课件姜启源、谢金星、叶 俊编制
要 不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与 求 需求量、准备费、贮存费之间的关系。
问题分析与思考
日需求100件，准备费5000元，贮存费每日每件1元。
• 每天生产一次，每次100件，无贮存费，准备费5000元。
每天费用5000元
• 10天生产一次，每次1000件，贮存费900+800+…+100 =4500 元，准备费5000元，总计9500元。
允许 T ' 缺货
模型
Q'
2c1
c 2
c 3
rc2 c3
2c1r c3 c2 c2 c3
不允 许缺 货模 型
T 2c1 rc2
Q rT 2c1r c2
记 c2 c3
c3
T T , Q Q
不 允
1 T ' T , Q' Q c3
t 对g的（相对）敏感度 30
t
S(t, g) Δ t / t dt g 20 Δ g / g dg t
S(t, g) 3 3 3 20 g
10 0
0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 g 0.16
生猪价格每天的降低量g增加1%，出售时间提前3%。
强健性分析
研究 r, g不是常数时对模型结果的影响
模型应用
c2 T,Q
r T ,Q
c1=5000, c2=1，r=100
• 回答问题
T=10(天), Q=1000(件), C=1000(元)
• 经济批量订货公式（EOQ公式）
用于订货、供应、存贮情形
每天需求量 r，每次订货费 c1,每天每件贮存费 c2 ， T天订货一次(周期), 每次订货Q件，当贮存量降到 零时，Q件立即到货。
数学模型姜启源-(第五版)名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
例2 奶制品旳生产销售计划 在例1基础上深加工
12h 1桶 牛奶 或
3kgA1 1kg 2h, 3元
获利24元/kg 0.8kgB1
获利44元/kg
8h
4kgA2
50桶牛奶, 480h
1kg 2h, 3元
获利16元/kg 0.75kgB2
获利32净利润最大
Objective value:
3460.800
Total solver iterations:
2
Variable
Value Reduced
Cost
X1 0.000000
1.680000
X2 168.0000
0.000000
X3 19.20230
0.000000
X4 0.000000
0.000000
O
c l5
l3 D x1
z=0 z=2400
在B(20,30)点得到最优解.
目的函数和约束条件是线性函数 可行域为直线段围成旳凸多边形 目旳函数旳等值线为直线
最优解一定在凸多边 形旳某个顶点取得.
模型求解
软件实现
LINGO
model: max = 72*x1+64*x2; [milk] x1 + x2<50; [time] 12*x1+8*x2<480; [cpct] 3*x1<100; end
决策 变量
目的 函数
8h
4kg A2
1kg
2h, 3元
出售x1 kg A1, x2 kg A2，
获利16元/kg
0.75kg B2
获利32元/kg
x3 kg B1, x4 kg B2
数学建模介绍_《数学模型》(第三版)电子课件姜启源、谢金星、叶__俊编制31页PPT
数学建模介绍_《数学模型》(第三版) 电子课件姜启源、谢金星、叶__俊编
制
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 17、一般情况下)不想三年以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的 人只能 引为烧 பைடு நூலகம்，只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
《数学模型》(第五版)-姜启源-第2章
第二章
初等模型
• 研究对象的机理比较简单
• 用静态、线性、确定性模型即可达到建模目的
可以利用初等数学方法来构造和求解模型
如果用初等和高等的方法建立的模型，其应用效果
差不多，那么初等模型更高明，也更受欢迎.
尽量采用简单的数学工具来建模
第
二
章
初
等
模
型
双层玻璃窗的功效
划艇比赛的成绩
实物交换
汽车刹车距离与道路通行能力
外
T2
墙
T1 Ta
Ta Tb k Tb T2
Q1 k1
k2
1
d
d
l
T1 T2
k1
l
Q1 k1
, sh , h
d ( s 2)
k2
d
建模 记单层玻璃窗传导的热量Q2
T1 T2
T1 T2
Q1 k1
Q2 k1
d ( s 2)
2d
室
内
T1
2d
Q2
Q1
1
l
, h
Q2 8h 1
d
取 h=l/d=4, 则 Q1/Q2
即双层玻璃窗与同样多材
料的单层玻璃窗相比，可
减少97%的热量损失.
结果分析
Q1/Q2
0.06
0.03
0.02
O
2
4
Q1/Q2所以如此小，是由于层间空气的热传导系
数k2极低, 而这要求空气非常干燥、不流通.
房间通过天花板、墙壁、…损失的热量更多.
vm
vm=vf/2 ~最大流量时的速度
0
km
kj
密度k
0
初等模型
• 研究对象的机理比较简单
• 用静态、线性、确定性模型即可达到建模目的
可以利用初等数学方法来构造和求解模型
如果用初等和高等的方法建立的模型，其应用效果
差不多，那么初等模型更高明，也更受欢迎.
尽量采用简单的数学工具来建模
第
二
章
初
等
模
型
双层玻璃窗的功效
划艇比赛的成绩
实物交换
汽车刹车距离与道路通行能力
外
T2
墙
T1 Ta
Ta Tb k Tb T2
Q1 k1
k2
1
d
d
l
T1 T2
k1
l
Q1 k1
, sh , h
d ( s 2)
k2
d
建模 记单层玻璃窗传导的热量Q2
T1 T2
T1 T2
Q1 k1
Q2 k1
d ( s 2)
2d
室
内
T1
2d
Q2
Q1
1
l
, h
Q2 8h 1
d
取 h=l/d=4, 则 Q1/Q2
即双层玻璃窗与同样多材
料的单层玻璃窗相比，可
减少97%的热量损失.
结果分析
Q1/Q2
0.06
0.03
0.02
O
2
4
Q1/Q2所以如此小，是由于层间空气的热传导系
数k2极低, 而这要求空气非常干燥、不流通.
房间通过天花板、墙壁、…损失的热量更多.
vm
vm=vf/2 ~最大流量时的速度
0
km
kj
密度k
0
清华大学数学模型姜启源第八章离散模型ppt课件
一致性检验 对A确定不一致的允许范围 已知：n 阶一致阵的唯一非零特征根为n
可证：n 阶正互反阵最大特征根 n, 且 =n时为一致阵
定义一致性指标: CI n CI 越大，不一致越严重
n1
为衡量CI 的大小，引入随机一致性指标 RI——随机模 拟得到aij , 形成A，计算CI 即得RI。
w1(3)=(w11(3),w12(3),w13(3),0)T P1
P2
P3
P4
A不一致, 应选权向量w使wi/wj与 aij相差 尽量小（对所有i,j)。
用拟合方法确定w
2
n
min
wi (i1,,n) i1
n j1aij
w wij
非线性 最小二乘
线n
wi(i1, ,n) i1
n j1l
naijlnw wij
Ak (ai(jk)),
a(k) ij
~k步强度 体现多步累积效应
i ,j , k 0 , k k 0 , a i ( k ) s a ( j k ) s 或 a i ( k ) s a ( j （ k ) s s 1 , n )
当k足够大, Ak第i行元素反映Ci的权重 求Ak的行和
2）构造成对比较阵
用成对比较法和1~9尺度，构造各层对上一层每一因素的 成对比较阵。
3）计算权向量并作一致性检验
对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性 检验，若通过，则特征向量为权向量。
4）计算组合权向量（作组合一致性检验*）
组合权向量可作为决策的定量依据。
二. 层次分析法的广泛应用
• 应用领域：经济计划和管理，能源政策和分配， 人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题， 产业结构，教育，医疗，环境，军事等。
数学建模姜启源第五章微分方程模型
提高阈值1/ 降低 被传染人数比例 x
5.2 经济增长模型
增加生产 发展经济 增加投资 增加劳动力 提高技术
• 建立产值与资金、劳动力之间的关系 • 研究资金与劳动力的最佳分配，使投资效益最大
• 调节资金与劳动力的增长率，使经济(生产率)增长
1. 道格拉斯(Douglas)生产函数
产值 Q(t)
资金 K(t) 劳动力 L(t) 技术 f(t) = f0
Q
KQK LQL Q
~ 资金在产值中的份额 1- ~劳动力在产值中的份额
更一般的道格拉斯(Douglas)生产函数 Q(K, L) f0K L , 0 , 1, f0 0
2）资金与劳动力的最佳分配（静态模型）
资金来自贷款，利率 r 劳动力付工资 w
资金和劳动力创造的效益 S Q rK wL
• 本节讨论二室模型——中心室(心、肺、肾等)和 周边室(四肢、肌肉等)
模型假设
值
模型4
预防传染病蔓延的手段
SIR模型
传染病不蔓延的条件——s0<1/ • 提高阈值 1/ 降低 (=/)
,
(日接触率) 卫生水平
(日治愈率) 医疗水平
• 降低 s0
的估计
提高 r0
s0 i0 r0 1
s0
i0
s
1
ln s s0
0
忽略i 0
群体免疫
ln s0 ln s
模型 假设
• 每方战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力 • 每方非战斗减员率与本方兵力成正比 • 甲乙双方的增援率为u(t), v(t)
x(t) f (x, y) x u(t), 0
模型
y (t )
g(x,
y)
姜启源编数学模型第四版第3章简单的优化模型-PPT精选
建模目的确定恰当的目标函数. • 求解静态优化模型一般用微分法.
问题
3.1 存贮模型
配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设 备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费. 该厂 生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出.
已知某产品日需求量100件，生产准备费5000元，贮存费 每日每件1元. 试安排该产品的生产计划，即多少天生产 一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小.
A
=QT/2
Q rT
0
T
t
一周期贮存费为
c2
T 0
q(t)dt
c2
QT 2
一周期 总费用
C~
c1
c2
QT 2
c1
c2
rT 2 2
每天总费用平均 值（目标函数）
C(T)C ~c1c2rT TT 2
模型求解 求 T 使C(T)c1c2rTmin
T2
dC 0 dT
T 2 c1 rc 2
模型解释
Q rT 2c1r c2
要 不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与 求 需求量、准备费、贮存费之间的关系.
问题分析与思考
日需求100件，准备费5000元，贮存费每日每件1元. • 每天生产一次, 每次100件,无贮存费,准备费5000元.
每天费用5000元 • 10天生产一次, 每次1000件，贮存费900+800+…+100 =4500元，准备费5000元，总计9500元.
第三章 简单的优化模型
--静态优化模型
3.1 存贮模型 3.2 生猪的出售时机 3.3 森林救火 3.4 消费者的选择 3.5 生产者的决策 3.6 血管分支 3.7 冰山运输
问题
3.1 存贮模型
配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设 备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费. 该厂 生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出.
已知某产品日需求量100件，生产准备费5000元，贮存费 每日每件1元. 试安排该产品的生产计划，即多少天生产 一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小.
A
=QT/2
Q rT
0
T
t
一周期贮存费为
c2
T 0
q(t)dt
c2
QT 2
一周期 总费用
C~
c1
c2
QT 2
c1
c2
rT 2 2
每天总费用平均 值（目标函数）
C(T)C ~c1c2rT TT 2
模型求解 求 T 使C(T)c1c2rTmin
T2
dC 0 dT
T 2 c1 rc 2
模型解释
Q rT 2c1r c2
要 不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与 求 需求量、准备费、贮存费之间的关系.
问题分析与思考
日需求100件，准备费5000元，贮存费每日每件1元. • 每天生产一次, 每次100件,无贮存费,准备费5000元.
每天费用5000元 • 10天生产一次, 每次1000件，贮存费900+800+…+100 =4500元，准备费5000元，总计9500元.
第三章 简单的优化模型
--静态优化模型
3.1 存贮模型 3.2 生猪的出售时机 3.3 森林救火 3.4 消费者的选择 3.5 生产者的决策 3.6 血管分支 3.7 冰山运输
姜启源版数学模型第三版第11章课件
0.184 0.368 0.448
已知初始状态，可预测第 n周初库存量Sn=i 的概率
正则 N 链 ,P N0 P2 0 正则链
稳态概率分布 w 满足 wP=w
w (w 1 ,w 2 ,w 3 ) (0 .2,0 8 .25 ,0 6 .43 )52 n, 状态概率 a (n )(0 .2,8 0 .25,6 0 .43) 52
随机繁殖 讨论基因类型的演变情况
假设
• 设群体中雄性、雌性的比例相等，基因类 型的分布相同（记作D:H:R）
• 每一雄性个体以D:H:R的概率与一雌性个体交配， 其后代随机地继承它们的各一个基因
• 设初始一代基因类型比例D:H:R =a:2b:c （a+2b+c=1), 记p=a+b, q=b+c, 则群体中优势基因和 劣势基因比例 d:r=p:q (p+q=1)。
k
i1
ai
(n)
1
转移 p ij 概 P (X n 1率 jX ni) pij0, k pij1,i1,2, ,k j1
基本方程
k
ai(n1 ) aj(n)pji,
i1 ,2, ,k
j 1
a(n)(a1(n),a2(n),,ak(n)) a(n1)a(n)P
~状态概率向量
P{pij}kk ~转移概率矩阵 a(n)a(0)Pn
p 1 2P (X n 1 2 (后d 代 )X r n （ 1为 d 父 ） )d q为
p 1 3P (X n 1 3 (后r代 )X rn （ 1为 d 父 ） )d 0为
p 2 1 P ( X n 1 1 ( 后 d ) X 代 n d （ 2 d 为 ） ) 父 r 1 /2 p p 为 /2
已知初始状态，可预测第 n周初库存量Sn=i 的概率
正则 N 链 ,P N0 P2 0 正则链
稳态概率分布 w 满足 wP=w
w (w 1 ,w 2 ,w 3 ) (0 .2,0 8 .25 ,0 6 .43 )52 n, 状态概率 a (n )(0 .2,8 0 .25,6 0 .43) 52
随机繁殖 讨论基因类型的演变情况
假设
• 设群体中雄性、雌性的比例相等，基因类 型的分布相同（记作D:H:R）
• 每一雄性个体以D:H:R的概率与一雌性个体交配， 其后代随机地继承它们的各一个基因
• 设初始一代基因类型比例D:H:R =a:2b:c （a+2b+c=1), 记p=a+b, q=b+c, 则群体中优势基因和 劣势基因比例 d:r=p:q (p+q=1)。
k
i1
ai
(n)
1
转移 p ij 概 P (X n 1率 jX ni) pij0, k pij1,i1,2, ,k j1
基本方程
k
ai(n1 ) aj(n)pji,
i1 ,2, ,k
j 1
a(n)(a1(n),a2(n),,ak(n)) a(n1)a(n)P
~状态概率向量
P{pij}kk ~转移概率矩阵 a(n)a(0)Pn
p 1 2P (X n 1 2 (后d 代 )X r n （ 1为 d 父 ） )d q为
p 1 3P (X n 1 3 (后r代 )X rn （ 1为 d 父 ） )d 0为
p 2 1 P ( X n 1 1 ( 后 d ) X 代 n d （ 2 d 为 ） ) 父 r 1 /2 p p 为 /2
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《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
数学建模的一般步骤
模型准备
模型假设 模型分析
模型构成 模型求解
模型检验
模型应用 模 型 准 备
了解实际背景 搜集有关信息
明确建模目的 掌握对象特征
形成一个 比较清晰 的‘问题’
《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
数学建模的一般步骤
模 型 假 设 针对问题特点和建模目的 作出合理的、简化的假设
• 不符合19世纪后多数地区人口增长规律 • 不能预测较长期的人口增长过程
19世纪后人口数据
人口增长率r不是常数(逐渐下降)
《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
阻滞增长模型(Logistic模型)
人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：
资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用
且阻滞作用随人口数量增加而变大 假设 r是x的减函数
8.4效益的合理分配 9.2报童的诀窍(讨论课) 9.5随机人口模型 9.6航空公司的预定票策略
2
2
13
五 5－6
2
14
15
五 5－6 10.1牙膏的销售量
五 5－6 Mtlab,Mathematcia数学软件学习 (上机) 数学建模实验(上机) 数学建模实验(上机)
2
2
评估周
16 17
五 5－6 五 5－6
dx/dt
dx x r ( x) x rx(1 ) dt xm
x xm xm/2 x0
0
xm/2
xm x
0
x (t )
xm xm 1 ( 1)e rt x0
t
x(t)~S形曲线, x增加先快后慢
《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
阻滞增长模型(Logistic模型)
r ( x) r sx (r, s 0)
r s xm
r~固有增长率(x很小时)
xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）
r ( xm ) 0
x r ( x) r (1 ) xm
《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
阻滞增长模型(Logistic模型)
dx rx dt
《数学模型》 姜启源 主编
周次
1
数学模型
教学进度
节次
五 5－6
教学内容
1.1-1.5数学模型的介绍 1.6数学模型的基本方法步骤、特点 和分类 2.1公平的席位分配(讨论课) 2.2录像机计数器的用途 2.3双层玻璃的功效 2.7实物交换 3.2生猪的出售时机 3.3森林救火(讨论课) 3.4最优价格 3.6消费者的选择 4.3汽车生产与原油采购 4.5饮料厂的生产与检修 5.1传染病模型(讨论课) 5.2经济增长模型 5.6人口的预测和控制 6.1捕鱼业的持续收获 6.2军备竞赛(讨论课)
《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
模型求解
给出一种简单、粗糙的证明方法
将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。
由g(0)=0， f(0) > 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)>0. 令h()= f()–g(), 则h(0)>0和h(/2)<0. 由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性 质, 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) . 因为f() • g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.
《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
常用的计算公式 k年后人口
今年人口 x0, 年增长率 r
xk x0 (1 r )
k
指数增长模型——马尔萨斯提出 (1798)
基本假设 : 人口(相对)增长率 r 是常数 x(t) ~时刻t的人口
dx rx, x(0) x0 dt
x(t t ) x(t ) rt x(t )
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
数学模型
主 讲 | 敬 成 林
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
课 程 简 介
课 程 名 称
数学模型与数学建模 Mathematical Modeling
学时
学分 课程类别
36
3 专业选修课
先 修 课 程
微积分、线性代数、概率论与数理统计 课 程 简 介 本课程是计算机及管理专业的一门专业选修课。也是本科生参加数学建 模竞赛的辅导课程。数学模型是架于数学理论和实际问题之间的桥梁。 数学建模是应用数学解决实际问题的重要手段和途径。本书介绍数学建 模中常用的一些基本概念、理论和典型的数学模型，包括：数据拟合， 网络模型，优化模型，离散模型、随机模型，时间序列预报模型，回归 分析及其试验设计。通过数学模型和数学建模有关问题的论述和模型实 例的介绍，使学生应用数学解决实际问题的能力有所提高。
x(2000 ) 274.5
实际为281.4 (百万)
模型应用——预报美国2010年的人口
加入2000年人口数据后重新估计模型参数
r=0.2490, xm=434.0
x(2010)=306.0
Logistic 模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量)
《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
数学 建模
建立数学模型的全过程
（包括表述、求解、解释、检验等）
《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
1.2
数学建模的重要意义
• 电子计算机的出现及飞速发展； • 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。
数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步， 越来越受到人们的重视。 • 在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地； • 在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具； • 数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地。
我们常见的模型
玩具、照片、飞机、火箭模型… … ~ 实物模型 水箱中的舰艇、风洞中的飞机… … ~ 物理模型 地图、电路图、分子结构图… … ~ 符号模型
模型是为了一定目的，对客观事物的一部分 进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物
模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征
《数学模型》 姜启源 主编
答：船速每小时20千米/小时.
《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
航行问题建立数学模型的基本步骤
• 作出简化假设（船速、水速为常数）；
• 用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）； • 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程）；
• 求解得到数学解答（x=20, y=5）；
x(t ) x0 e
rt
x(t ) x0 (e ) x0 (1 r )
r t
t
随着时间增加，人口按指数规律无限增长
《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
指数增长模型的应用及局限性
• 与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 • 适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代
• 可用于短期人口增长预测
• 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚 连线呈正方形; • 地面高度连续变化，可视为数学上的连续 曲面; • 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三 只脚同时着地。
《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
模型构成
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来
• 椅子位置
利用正方形(椅脚连线)的对称性
• 回答原问题（船速每小时20千米/小时）。
《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
数学模型 (Mathematical Model) 和 数学建模（Mathematical Modeling) 数学模型
对于一个现实对象，为了一个特定目的，
根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
教 材 及 参 考 书 目
《数学模型》，姜启源主编， 高等教育出版社
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
第一章
建立数学模型
第二章
第三章 第四章 第五章 第六章
初等模型
简单的优化模型 数学规划模型 微分方程模型 稳定性模型
第七章
第八章
差分方程模型
离散模型
第九章
第十章
概率模型
统计回归模型
附录: 数学建模实验
参数估计
用指数增长模型或阻滞增长模型作人口 预报，必须先估计模型参数 r 或 r, xm
• 利用统计数据用最小二乘法作拟合 例：美国人口数据（单位~百万）
1860 1870 31.4 38.6 1880 …… 1960 1970 50.2 …… 179.3 204.0 1980 1990 226.5 251.4
r=0.2557, xm=392.1
专家估计
《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
阻滞增长模型(Logistic模型)
模型检验
用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较
x(2000 ) x(1990 ) x x(1990 ) rx(1990 )[1 x(1990 ) / xm ]
2 2
18
考试
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
第一章
建立数学模型
1.1 从现实对象到数学模型 1.2 数学建模的重要意义
1.3 数学建模示例
1.4 数学建模的方法和步骤 1.5 数学模型的特点和分类 1.6 怎样学习数学建模
《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
1.1
从现实对象到数学模型
《数学模型》 姜启源 主编