2.4二阶张量标准形
二阶张量与四阶张量双点积的结果
二阶张量与四阶张量双点积的结果二阶张量与四阶张量双点积的结果导语：在数学和物理学中，张量是一种用于描述物理量或几何概念的数学工具。
而二阶张量和四阶张量则是最常见的两种形式。
本文将探讨二阶张量与四阶张量之间的双点积运算，以及该运算的结果。
一、什么是二阶张量和四阶张量1. 二阶张量：二阶张量是一种具有两个索引的张量。
它的表达式通常为 Tij，其中i和j是两个索引的取值范围。
二阶张量可以表示为一个二维矩阵，其中每个元素代表了对应位置上的物理量或几何概念的值。
应力张量、应变张量和惯性张量都是二阶张量的实例。
2. 四阶张量：四阶张量是一种具有四个索引的张量。
它的表达式通常为Tijkl，其中i、j、k和l是四个索引的取值范围。
四阶张量可以表示为一个四维矩阵，其中每个元素代表了对应位置上的物理量或几何概念的值。
弹性张量、扭转刚度张量和应力-应变敏感度张量都是四阶张量的实例。
二、二阶张量与四阶张量双点积的定义1. 双点积的定义：双点积是一种张量之间的运算，用于将两个张量相互作用。
对于二阶张量与四阶张量的双点积，其定义如下：Bijkl = Aijmn * Cmnkl其中，Bijkl、Aijmn和Cmnkl分别表示双点积的结果、二阶张量和四阶张量的元素。
2. 双点积的运算规则：二阶张量与四阶张量的双点积运算规则如下：- 对于二阶张量Aijmn的第i和j索引与四阶张量Cmnkl的第m和n 索引，进行求和运算。
- 将运算结果放入双点积的结果张量Bijkl的第i和j索引。
- 对于二阶张量Aijmn的第m和n索引与四阶张量Cmnkl的第k和l 索引，进行求和运算。
- 将运算结果放入双点积的结果张量Bijkl的第k和l索引。
三、二阶张量与四阶张量双点积的结果二阶张量与四阶张量的双点积的结果是一个四阶张量。
它的表达式为Bijkl，其中i、j、k和l是四个索引的取值范围。
该四阶张量的元素代表了二阶张量和四阶张量相互作用后得到的物理量或几何概念的值。
第2章二阶张量
+ T•22 T•32
T•23 T•33
+ T•11 T•31
T•13 T•33
=
1 2
⎣⎡
G :T
G :T − T ⋅⋅T ⎦⎤
=
1 2
⎡⎣T•mmT•nn
− T•pqT•qp ⎤⎦
=
1 2
δ
ijpqT•jiT•qp
[共有 6 项相加，前后指标一样为正，不一样为负；指标 m, n 和 p, q 可以互换但乘积不
而一般： Ωi• j
≠
−Ω
j •i
、
Ω
• i
j
≠
−Ω
•i j
Ω ⋅ u = −u ⋅ Ω
(2) 不变量：
η1Ω = 0 ；η3Ω = 0 (对角元为零)
5
( ) ( ) ( ) η2Ω
=
0 − Ω1•2
Ω1•2 0
+
0 − Ω•23
Ω•23 0
+
0 − Ω1•3
Ω1•3 0
=
Ω1•2
2+
Ω•23
2+
变，所以要乘 1/2]
T•11 T•12 T•13
η3 = T•21
T•22
T•23
=
1 3!
εMT
⊗T
⊗TMε
=
1 6
δ limjknT•l iT•mjT•nk
=
1 6
ε
ijk ε lmnT•l iT•mjT•nk
T•31 T•32 T•33
[共有 6 项相加，前后指标均为顺序或逆序为正，一正一逆为负，有非序为零； l, m, n 均顺 序和均逆序的排列有 6 种，同样 i, j, k 也有六种，组合共有 36 种，除去重复的只有 6 种， 所以要乘 1/6]
【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向
设V中标准正交坐标系为 {i1, i2, i3} 。则二阶张量 A和矢量 u可表示为：
A Aij ii i j ; u ui ii A u u ; ( A I ) u o
可分别写成： 或
u A u
;
u ( A I ) o
( Aij ii i j ij ii i j ) (umim ) o ; (umim ) ( Aij ii i j ij ii i j ) o A12 A13 u1 0 A11 A u 0 A A 22 23 2 21 （3.4-3） A32 A33 A31 u 3 0
det(A I ) 0 ( a) det(A* I ) 0 ( b)
∵ ∴ (a)、(b)两式是关于λ的三次相同的代数方程。也就是说 A的右特征值和左特征值相同。由 (a)式或 (b)式得： ∵
[( A I ) a ] [( A I ) b][( A I ) c ] 0 a (b c ) [( A I ) a ] [( A I ) b][( A I ) c ] det( A I )
; ∴
u ai 2
u1 0 u 2 a u 0 3
（a是任意实数）
是方程组（1）的非零解。
A u (i1i3 i2i1 i2i2 i3i1 ) (ai2 ) ai2 1u
因此 u = a i2是 A的λ1 = 1特征值对应的右特征矢量。 左特征矢量： ∵
(detet Q) det(Q I ) det(Q I )
2 det(Q I ) 0 ∴ 因此得出结论： 正交二阶张量 Q，当det Q =1时存在右特征矢量 r。其对应 的特征值λ = 1。且：
2.5几种特殊的二阶张量
Ai j
j
A:A
tr A A
T
满足范数公理的三个条件：非负性、对称性与三角不等式， 可作为二阶张量空间的一种范数。
2.5.6
2.5.6.1
反对称二阶张量
定义
满足 T 的张量称为反对称张量。在任一笛卡儿 坐标系中
i j
0 1 2 1 3
T
n
T
-1
T
-1
T
-1
n 个T -1
2.5.4
正张量、非负张量及其方根、对数
正张量、非负张量都是对称二阶张量。 定义 正张量N >O满足u· u=N:uu>0 对于任意u≠0 N· 非负张量N ≥O满足u· u=N:uu≥0 对于任意u≠0 N· 对称二阶张量必定可在一组正交标准化基中化为对角标准形
u u
易证：
e3
（ 包含了 的全部信息）
1
:
J2
2.5.6.5
反对称二阶张量所对应的线性变换
e1 e 2
e 2 e1
e3 0
e3 u
×u
u+ · u e2
· e u 1
对于空间任一矢量 u u1e1+u2e2+u3e3，
可证：利用任意一个非对称二阶张量T 可构造两个非负张量
X T T
T
O
Y T
T
T O
如果T 是正则的，则X，Y 是正张量：
X T T
T
>O >O
Y T
T
T
一般来说，X，Y 是两个不同的张量。可证：它们具有相同 的主分量，只是主轴方向不同而已。
第2章 二阶张量
111
222
333
N为正（非负）张量 ⇔ N > (≥)0 i
（2）N非负，存在唯一的非负对称张量M，使 M 2 = N
（3）任意非对称张量可以 构造非负张量：
1 ）X = T ⋅T T，Y = T T ⋅T为非负张量，若T可逆，则X、Y为正张量
2）X 、Y 为对称张量
3）X 、Y 为不同的张量，但有相同的主分量
定理：[T ⋅ u, T ⋅ v, T ⋅ w] = det T [u, v, w]
正则与退化 det T ≠ 0 的二阶张量－正则二阶张量；否则为退化的二阶张量。
（1）T为正则 ⇔ (i = 1, 2, 3) u(i)性无关，则T ⋅ u(i)也线性无关。
（2）正则T是单射的：u ≠ v ⇒ T ⋅ u ≠ T ⋅ v （3）正则T是满射的：∀u所作的线性变换T ⋅ u = v，必存在唯一的
≠
−Ω j、Ω • j
•i
i
≠
−Ω •i）Ω ⋅ u j
=
−u ⋅ Ω
（5）行列式的值：
， ， 定义：det T
=
Ti •j
T ij
= g T•j i
=
Ti •j
g = g 2 T ij
g= G ij
( ) ( ) ( ) 、 TT ij
=T ij
T T ij = T ij 、
T 、 = T T i j
l, m, n均顺序和均逆序的排列有6种，i, j, k同样也有六种，组合共有36种，
除去重复的只有6种，所以要乘1 / 6]
[T ⋅ a, b, c] = [a,T ⋅ b, c] = [a, b,T ⋅ c] = η1(T )[a, b, c]
2.4二阶张量的标准形
T
i j
l1
0
（3）具有3次的初等因子(l－l1)3
l l 1 Σ l 0 0
1
1
l
l1 0
1 l l 1 0
T λ1 g 1 g g 1 λ1 g 2 g g 2 λ1 g 3 g
T
i j
l1 0 0
0
l2
0
0 0 l3
T·3=l3g3 g g3 g2 g1 T·1=l1g1 g T·2=l2g2 g
（2）特征方程具有一个实根与一对共轭复根——l1,l2为
一对共轭复根。设
l1 l i
则仍有
1
l 2 l i
2 3
1 2 3
T
i j
l1 0 0
0
l1
0
0 0 l3
T·3=l3g3 g
g3
g2 g1
T·2=l1g2 g
T·1=l1g1 g
（2）特征矩阵具有2次的初等因子l-l12以及l-l3)： l
经过初等变换，可以化为
J 2 l1 Σ l 0 l l1 0 0 J 1 l 3 0 1
主分量为
P1 P2 P3 1 3 J1
则
P
1 3
J 1G
2.4.1.5
实对称二阶张量所对应的线性变换
N·3=N3a3 a
ei ai ai ai ai
2
a3
a2 a1 N·1=N1a1 a N·2=N2a2 a
N
a
第2章 张量分析(清华大学张量分析,你值得拥有)
( Nij ij )a j 0 det( Nij ij ) 0
利用指标升降关系 a为非0矢量 利用主不变量
N ( ) 3 J1N 2 J 2 J3N 0
二阶张量的标准形: 张量最简单的形式
非对称二阶张量
•
请研究以下领域的同学关注。 1、应变梯度理论，偶应力理论 2、电流场，电磁流变（有旋场）
x
x
椭圆曲线的坐标变换
正交变换可使椭圆曲线的方程由以下一般形式
ax bxy cy d 0
任意二阶张量将一线性相关的矢量集映射为线性相 关的矢量集：
(i)u(i) 0
i 1
l
l l 0 T (i)u(i) (i)(T u(i)) i 1 i 1
正则与退化的二阶张量
•
3D空间中任意二阶张量T将任意矢量组u，v，w映射 为另一矢量组，满足：
N S
1 p
S S1e1e1 S2e2e2 S3e3e3
Si N i
1 p
几种特殊的二阶张量
正张量的对数
N N1e1e1 N2e2e2 N3e3e3
ln N ln N1 e1e1 ln N2 e2e2 ln N3 e3e3
Nij N ji Ni j Nij Nij N ji N ij N ji
N 1 NT 1
( ) , ( ) , ( ) ,
N T 1 N 2 N T 3 N 3 N T 2 N 4
NT 4
N T ( 4 )
反对称张量与其转置张量分量及二者所对应的矩阵
二阶张量的行列式
第二章 二阶张量
第二章：二阶张量1. ij T ij ji i j j i i j T T T ;=⊗=⊗=⊗T g g T g g g g ij i j ij i j T ; T =⋅⋅=⋅⋅g T g g T g2. T =T.u u.TT ij ij ij ij j i j i i j j i ( = T T u ;T T u )⋅⊗==⊗⋅=u.T u g g g T.u g g u g 3.i .j det()T =T行列式不等于零的二阶张量定义为正则二阶张量 正则二阶张量存在逆张量：1-⋅T T =G 4.主不变量①1)()()ζ⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⨯⋅=⋅⨯T u (v w)+u (T v w)+u (v T w )u (v w)（1.()::i i Tr T ζ====T T G G T)()()i j k ijk S u v w ⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⨯⋅=T u (v w)+u (T v w)+u (v T w )（m m mijk .i mjk .j imk .k ijm S T T T εεε=++由于mik imkmmmiik .i mik.i imk.k iimS T T T εεεεε=-⇓=++=当i,j,k 当中有两个相等时，0iik S = 当i j k ≠≠时i j k m ijk .i .j .k ijk not sum ijk .m ijk S (T T T )T εε=++=②2)[)][()(]()[()]()ξ⋅⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯T u (T v w +u T v T w)+T u (v T w u v w （2......122123323113.1.2.1.2.2..3.2..3.3.1.3.1112233.1.2.2..3.3.1223311.1.2.2..3.3.111()22ij l mi j i l lm i j i j l j T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T TTTTT T ζδ==-=-+-+-=++注意：ij ijklm lmkδδ=是张量的分量张量T 行列式中各阶主子式之和)[)][()(]()[()]i j k ijk S u v w ⋅⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⋅⋅⨯⋅=T u (T v w +u T v T w)+T u (v T w （ 其中......()m n m n n mijk i j mnk j k imn k i mjn S T T T T T T εεε=++..........()0m n m n n m iik i i mnk i k imn k i min m n i i mnk m n i i nmk iik S T T T T T T T T T T S εεεεε=++===-=当i,j,k 当中有两个相等时，0iik S = 当i j k ≠≠时 (122123323113).1.2.1.2.2..3.2..3.3.1.3.12()()i j j i j k k j k i i k ijk i j i j j k j k k i k i ijk not sumijkijkijkS T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T εεζε=-+-+-=-+-+-=③()[()()]det()()⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯T u T v T w T u v w...()[()()]()()()i j k l m nl m n ijkl m n lmn T T T u v w det u v w det εε⋅⋅⋅⨯⋅===⋅⨯T u T v T w T T u v w ④()()det()()T T -⋅⨯⋅=⨯T v T w T v w()[()()]det()()[()()]det()()T⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯T u T v T w T u v w u T T v T w T u v w由于上式对任意矢量u 都成立[()()]det()()()()det()()T T-⋅⋅⨯⋅=⨯⋅⨯⋅=⨯T T v T w T v w T v T w T T v w⑤主不变量与矩之间的关系*1*2..*3...()()()ii i kk i i j kj k i Tr T Tr T T Tr T T T ζζζ===⋅==⋅⋅=T T T T T T2212112212ij k li j j i kl .i .j .i .j .i .j *T T (T T T T )[()]ζδζζ==-=-3.....................*3***13121611()()661(()23)6ijk l m nlmn i j ki j k j k i k i j j i k i k j k j i i j k i j k i j k i j k i j k i j k e e T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T ζζζζζ==++-++=+- 二阶张量标准形 1. 特征值、特征向量 λ⋅=T v v ()λ-⋅=T G v 01111232221233331230.........T T T T T T T T T λλλ--=-特征方程 321230λζλζλζ-+-= 特征根是不变量2. 实对称二阶张量标准形 1. 特征根是实根*************; ; ()0 () λλλλλλλλ⋅=⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅-⋅=⇒=⋅-=⇒=N v N v v v N v v v v N v v v v v N v v 0v v2. 特征向量互相正交1112222112112212121212 ; ; ()00λλλλλλ⋅=⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅-⋅=⇒⋅=N v v N v v v N v v v v N v v v v v v v 3. 不存在约当链如果λ是n 重根，但不存在相应的特征向量12,v v ,使1122 ; λλ⋅=⋅=T v v T v v则一定存在约当链11221λλ⋅=⋅=+T v v T v v v然而对对称张量112212112121211110λλλλ⋅=⋅=+⇓⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅+⋅⇓⋅=N v v N v v v v N v v v v N v v v v v v v这是不可能的。
张量与连续介质力学基本公式总结
第一章：矢量和张量重要矢量等式：()()()⨯⨯=⋅-⋅c a b b c a a c b 指标记法：哑指标求和约定 自由指标规则 协变基底和逆变基底：张量概念i i'i'i β=g g i'i'i i β=g gi'i'i i v v β= i i 'i 'iv v β= i'j'i'j'k l ij..k'l'i j k'l'..kl T T ββββ= i i i i v v ==v g g ..kl i j ij k l T =⊗⊗⊗T g g g g度量张量ij i i i j i i g =⊗=⊗=⊗G g g g g g g⋅=⋅=⋅=⋅=v G G v vT G G T T.j kj i ik T T g =张量的商法则lm ijk T(i,j,k,l,m )S U = ijk...lm T(i,j,k ,l,m )T =置换符号i i ir s t j j j ijk ijk ijkr s t rst rst rstk k kr s t e e δδδδδδεεδδδδ=== ijk j k j k jk ist s t t s st δδδδδδ=-2ijk k ijt t δδ= 6ijk ijk δ=置换张量i j k ijk ijk i j k εε=⊗⊗=⊗⊗εg g g g g gijk i j k ijk ()e ε=⋅⨯=g g gijkijki j k ()ε=⋅⨯=g g g ()::()i j k ijk ijk i j k a b a b εε⨯===⊗=⊗a b g g a b εεa b第二章： 二阶张量重要性质：T =T.u u.T 主不变量1.()i i Tr T ζ==T 212i j l ml m .i .j T T ζδ= 3()det ζ=T1()()(())(())()ζ⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⨯⋅=⋅⨯T u v w +u T v w +u v T w u v w2)[)][()(]()[()]()ξ⋅⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯T u (T v w +u T v T w)+T u (v T w u v w （()[()()]det()()⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯T u T v T w T u v w标准形1. 特征值、特征向量λ⋅=T v v ()λ-⋅=T G v 0 321230λζλζλζ-+-= 2. 实对称二阶张量标准形123112233i iλλλ=⋅⊗=⊗+⊗+⊗N N g g g g g g g g 3. 正交张量（了解方法）12112233(cos()sin())(sin()cos())ϕϕϕϕ=+⊗+-+⊗+⊗R e e e e e e e e4. 反对称二阶张量的标准形21123μμμ=⊗-⊗=⨯Ωe e e e e G⋅=⨯Ωu ωu31:2μ=-=⨯ωεΩe u=-⋅Ωεω 5. 正则张量极分解 =⋅=⋅T R U V R第三章 张量函数概念：各项同性张量函数、解析函数 计算 e T sin()T 重要定理：1. Hamilton-Cayley 定理：32321231230λςλςλςςςς-+-=⇒-+-=T T T G 0 2.对称各向同性张量函数表示定理：2012()f k k k ==++H N G N N ；其中T T ;==H H N N ；而系数i k 是N 的主不变量的函数。
张量分析课件-2.3 二阶张量的不变量
J2
T 11 T 12 T
2 1
T
2 2
2 T2 T 2 3
T
3 2
T
3 3
3 T3 T 3 1
T 13 T 11
T 11 T 12 T 13 2 2 J3 T 2 T T 1 2 3 3 3 3 T 1 T 2 T 3
张量分析 及连续介质力学
2.3 二阶张量的不变量
2.3.1 张量的标量不变量
对随坐标转换而变化的张量分量进行一定的运算，可 以得到一些不随坐标转换而变化的标量，这种标量称为张 量T 的标量不变量，简称为张量的不变量。
2.3.2
二阶张量的三个主不变量
J1 G : T liT li T ii
若u，v，w为任意线性无关的矢量，则
T u
T u
v w u T v w u v T w J1T u v w
T u v w T v w u T v T w T u v T w J 2
T u
T u v w T v T w J3
若T为正则二阶张量，则有Nanson 公式
T u T v J
T 3
T u v
T 1
2.3.3
二阶张量的矩
J 二阶张量T 的n 阶矩 n ，其中来自J trT T 1
i i
j J2 trT T T i jT i
j k J3 trT T T T i jT T k i
1 ij l m 1 i l i l J 2 lmT iT j T iT l T lT i 2 2
二阶张量的定义
二阶张量的定义二阶张量是线性代数中的一个重要概念。
在数学和物理学领域中，二阶张量被广泛应用于描述物质的性质、力学系统的行为以及电磁场的传播等问题。
本文将介绍二阶张量的定义和一些基本性质，以及其在实际应用中的意义。
我们来定义二阶张量。
在线性代数中，一个二阶张量可以被视为一个二维矩阵，它具有两个索引，通常用小写字母的下标表示。
一个二阶张量可以用以下形式表示：T_ij其中，i和j是张量的两个索引，可以取1、2、3等整数值。
这个二阶张量有四个分量，分别是T_11、T_12、T_21、T_22。
这些分量可以对应于矩阵的四个元素。
二阶张量的分量具有特定的变换规律。
当坐标系发生变换时，二阶张量的分量也会相应地发生变化。
具体而言，对于一个二阶张量T_ij，在坐标系变换下，其分量会按照以下规则进行变换：T_ij' = R_i^k * R_j^l * T_kl其中，T_ij'是变换后的二阶张量的分量，R_i^k和R_j^l是坐标系变换矩阵。
这个变换规律保证了二阶张量在不同坐标系下的表示是相容的。
二阶张量具有一些重要的性质。
首先，二阶张量可以进行加法和数乘运算，即两个二阶张量可以相加，一个二阶张量可以与一个标量相乘。
其次，二阶张量还可以进行张量积运算，即两个二阶张量可以进行分量乘积并相加的运算。
这些运算使得二阶张量具有了更强大的描述能力。
在实际应用中，二阶张量有着广泛的应用。
在物质力学中，二阶张量可以描述物质的应力和应变。
通过应力张量和应变张量的组合，可以得到物质的弹性模量和刚度矩阵等重要性质。
此外，在电磁学中，电磁场的张量表示也是一个二阶张量，可以用来描述电磁场的分布和传播。
二阶张量还在图像处理、机器学习等领域中有着重要的应用，例如图像的卷积运算和神经网络的权重矩阵等。
总结起来，二阶张量是线性代数中的一个重要概念，用于描述具有两个索引的二维矩阵。
二阶张量具有特定的变换规律和运算性质，可以用于描述物质的性质、力学系统的行为以及电磁场的传播等问题。
第 2 章 二阶张量
2) 二重根时：如设 λ1 = λ2 ≠ λ3 a3 的方向是确定的，与 a3 垂直平面内的任意方向均是主方向。 ( a1 ⋅ a3 = 0 , a2 ⋅ a3 = 0 )
3) 三重根时： λ1 = λ2 = λ3
(2) 正则T 是单射的： u ≠ v ⇒ T ⋅ u ≠ T ⋅ v (3) 正则T 是满射的： ∀u 所作的线性变换T ⋅ u = v ，必存在唯一的逆变换T −1 ⋅ v = u 定义：正则二阶张量T ，必存在唯一的正则二阶张量T −1 使：T ⋅T −1 = T −1 ⋅T = G
2.3 二阶张量的不变量
Ωi •j
≠
−Ω•ij 、 −Ωi • j
=
−Ωj•i
在相同的
(5) 行列式的值：
定义： detT = T•i j ， Tij = g Ti• j = T•i j g = g 2 T ij ， g = Gij
`Tij
= Tij
、 `T ij
= T ij
、 `Ti • j
=
T•
j i
、
⎡ ⎣
Tij
= Ti•k Gkj
2.4 二阶张量的标准形
1． 实对称张量 N
(1)
定义： Nij
=
N ji 、 N ij
=
N
ji
、
N
i •
j
=
N
•i j
、
Ni•
j
=
N•ji
，而一般：
N
i •
j
≠
N•ji 、 Ni• j
二阶张量与四阶张量双点积的结果
二阶张量与四阶张量双点积的结果摘要：1.引言2.二阶张量与四阶张量的定义与性质3.双点积的定义与性质4.二阶张量与四阶张量双点积的结果及其应用5.结论正文：【引言】在数学和物理学中，张量是一种重要的概念，它可以描述空间中的多维数据。
在众多张量中，二阶张量和四阶张量是常见的两种类型。
双点积作为一种运算方式，常用于张量的计算中。
本文将探讨二阶张量与四阶张量双点积的结果及其应用。
【二阶张量与四阶张量的定义与性质】二阶张量是指具有两个分量的张量，通常用T 表示，其形式为T = a_ij，其中a_ij 表示张量的第i 行第j 列元素。
四阶张量是指具有四个分量的张量，通常用T 表示，其形式为T = a_ijkl，其中a_ijkl 表示张量的第i 行第j 列第k 行第l 列元素。
双点积是张量运算中的一种，表示为A·B = A_ijB_ij，其中A_ij 表示张量A 的第i 行第j 列元素，B_ij 表示张量B 的第i 行第j 列元素。
双点积满足交换律、分配律和结合律等性质。
【双点积的定义与性质】双点积在张量运算中具有重要作用，它满足以下性质：1.A·B = B·A（交换律）2.(A + B)·C = A·C + B·C（分配律）3.(A·B)·C = A·(B·C)（结合律）【二阶张量与四阶张量双点积的结果及其应用】在实际应用中，二阶张量与四阶张量双点积的结果有多种计算方法。
例如，在物理学中，双点积常用于计算质点之间的相互作用能、惯性矩等。
在数学中，双点积可用于求解偏微分方程、线性代数等问题。
【结论】二阶张量与四阶张量双点积在数学和物理学等领域具有广泛的应用。
张量分析-第4讲
又有： dx1 cos(x2, n) n2 ds
dx2 cos(x1, n) n1 ds
x2
n2 n
p
11
n1
12
21
x1
22
因此：
p ( 11e1 12e2 )n1 ( 21e1 22e2 )n2
又：
n2 n e2
n1 n e1
因此：
p ( 11e1 12e2 )e1 n ( 21e1 22e2 )e2 n
g
j
nkgk
i
j
n
k
kj g i
i
j
n
j
g
i
即： pi
i
j
n
j
2.主应力方向与主应力
假设某斜截面上只有正应力，无切应力，则该正应
力称为主应力，该斜截面的法向方向称为主应力方
向。即：
σ n n x2
p
n
采用分量形式:
n2
n g n g i j
j
i
i
11
i
12
n1
即：
i
j
n
j
ni
p ( 11e1e1 12e1e2 21e2e1 22e2e2 ) n
斜截面上的面力公式
p ijeie j n σ n
σ ijeie j为应力张量
在曲线坐标线下
p σn
分量表达式
p pigi
σ
ijgig j
i
j
g
ig
j
代入上式：
n nigi
pigi
i
j
gi
(det T)3 Tij 根据：
(det T)4 T ij
张量分析各章要点
各章要点第一章：矢量和张量指标记法：哑指标求和约定 ：同一项中出现一对相同的协、逆变指标则对该指标求和 自由指标规则：同一项中只能出现一次，不同项中保持在同一水平线上 协变基底和逆变基底：ki k i i x ∂∂==∂ξ∂ξr g e j j i i ⋅=δg giik k x∂ξ=∂g e123 ===g g g 张量概念i i'i'i =βg g i'i'ii =βg g i k i k j j''''ββ=δ i'i'i i v v =β ii 'i 'iv v =β i 'j'i 'j'k l ij ..k 'l'i j k 'l'..kl T T =ββββ i i i i v v ==v g g ..kl ij ijk l T =⊗⊗⊗T g g g g 度量张量ij i i i j i i g =⊗=⊗=⊗G g g g g g g⋅=⋅=⋅=⋅=v G G v v T G G T T.j kj i ik T T g =张量的商法则lm ijk T(i,j,k,l,m)S U = ijk...lmT(i,j,k,l,m)T = 置换符号312n 1n123n i i i i i 123n 1n i i i ...i A a a a ......a a e -- i j k Lmnijk .L.m .n a a a e e A = i j k .L .m .n ijk Lmn a a a e e A =置换张量i j k ijk ijk i j k =ε⊗⊗=ε⊗⊗εg g g g g gijk i j k ()e ε=⋅⨯=g g gijk ijk i j k ()ε=⋅⨯=g g gi j k ijk ijk i j k a b a b ()::()⨯=ε=ε=⊗=⊗a b g g a b εεa b广义δ符号i ii r s tj j j ijk ijk ijk r s t rst rst rst k k k r s te e δδδδδδ==εε=δδδδijk j k j k jk ist s t t s st δ=δδ-δδδijk k ijt t 2δ=δijk ijk 6δ=性质：是张量重要矢量等式：()()()⨯⨯=⋅-⋅a b c a c b a b c第二章： 二阶张量重要性质：T =T.u u.T 主不变量i 1.i Tr()T ζ==T i j l m2l m .i .j 1T T 2ζ=δ 3det()ζ=T1()()(())(())()⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⨯⋅=ζ⋅⨯T u v w +u T v w +u v T w u v w2)[)][()(]()[()]()⋅⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⋅⋅⨯⋅=ξ⋅⨯T u (T v w +u T v T w)+T u (v T w u v w （ ()[()()]det()()⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯T u T v T w T u v w 标准形1. 特征值、特征向量⋅=λT v v ()-λ⋅=T G v 0 321230λ-ζλ+ζλ-ζ= 2. 实对称二阶张量标准形i 123i 112233=⋅⊗=λ⊗+λ⊗+λ⊗N N g g g g g gg g 3. 正交张量（了解方法）12112233(cos()sin())(sin()cos())=ϕ+ϕ⊗+-ϕ+ϕ⊗+⊗R e e e e e e e e4. 反对称二阶张量的标准形21123=μ⊗-μ⊗=μ⨯Ωe e e e e G⋅=⨯Ωu ωu31:2=-=μ⨯ωεΩe u=-⋅Ωεω5. 正则张量极分解=⋅=⋅T R U V R第三章 张量函数概念：各项同性张量函数、解析函数 计算 e T ， sin()T 重要定理：1. Hamilton-Cayley 定理：32321231230λ-ζλ+ζλ-ζ=⇒-ζ+ζ-ζ=T T T G 0 2.对称各向同性张量函数表示定理：2012f ()k k k ==++H N G N N ；其中T T ;==H H N N ；而系数i k 是N 的主不变量的函数。
张量
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目录[隐藏]∙ 1 背景知识∙ 2 方法的选择∙ 3 例子∙ 4 方法细节∙ 5 张量密度∙ 6 张量阶∙7 参阅o7.1 记法常规o7.2 基础o7.3 应用∙8 外部链接∙9 参考书籍∙10 张量软件[字的列表来表述。
最后，象二次型这样的量需要用多维数组来表示。
后面这些量只能视为张量。
实际上，张量的概念相当广泛，可以用于上面所有的例子；标量和向量是张量的特殊情况。
区别标量和向量以及区别这两者和更一般的张量的特征是表示它们的数组的指标的个数。
这个个数称为张量的阶。
这样，标量是0阶张量(不需要任何指标)，而向量是一阶张量。
张量的另外一个例子是广义相对论中的黎曼曲率张量，它是维度为<4,4,4,4>(3个空间维度 + 时间维度 = 4个维度)的4阶张量。
它可以当作256个分量(256 = 4 × 4 × 4 × 4)的矩阵(或者向量，其实是个4维数组)。
只有20个分量是互相独立的，这个事实可以大大简化它的实际表达。
[编辑]方法细节有几种想象和操作张量的等价方法；只有熟悉了这个课题，其内容是等价的这个事实才会变得明显。
现代(无分量)方法把张量首先视为抽象对象，表达了多线性概念的某种确定类型。
其著名的性质可以从其定义导出，作为线性映射或者更一般的情况；而操作张量的规则作为从线性代数到多重线性代数的推广出现。
这个处理方法在高等的研究中大量的取代了基于分量的方法，其方式是更现代的无分量向量方法在基于分量的方法用于给出向量概念的基本引例之后就取代了传统的基于分量的方法。
可以说，口号就是“张量是某个张量空间的元素”。
【南航研究生课程】[张量分析]第 2 章 二阶张量
![【南航研究生课程】[张量分析]第 2 章 二阶张量](https://img.taocdn.com/s3/m/d4503a0aa216147917112883.png)
第2章 二阶张量研究定义在空间一个固定点（张量的元素是实常数，i g 也是常数）上的二阶张量随坐标系转动的不同形式，不涉及与另一个张量的关系，也不涉及张量运动。
2.1 二阶张量与矩阵的对应分量同一坐标系：j i ijj i i ij ij i j i ij T T T T g g g g g g g g T ====∙∙ 另一坐标系：j i j i j i i i j i j i j i j i T T T T ''''''''∙'''∙'''''====g g g g g g g g● 对应不同坐标的分量不同：,,,jj i i iji j iji j i i jj T T T T T T T T ''''∙∙''''∙∙≠≠≠≠● 对应不同并矢的分也不同：iji i j i ij T T T T ≠≠≠∙∙● 指标满足升降：mm mniji mj im iim nj T T g g T g T g ∙∙===转置()()()()jiijTTijTiTjTj i i j ijijTT TT ∙∙====T g g g g g g g gi jj ii j jiji ij ji i j T T T T ∙∙====g g g g g g g g 分量指标互换 jijii jijij i j ii j i T T T T ∙∙====g g g g g g g g 并矢指标交换一般情况混变分量的转置≠系数矩阵的转置对称 T=N Nji ij N N =、ji ij N N =、i j i j N N ∙∙=、j i j i N N ∙∙=N u u N ⋅=⋅反对称 T=-ΩΩij ji ΩΩ=-、ijjiΩΩ=-、i i jjΩΩ∙∙=-、jj i iΩΩ∙∙=-，Ωu u Ω⋅-=⋅行列式的值 定义：i jT∙=T det ， iji jjiij T g g T T g T 2===∙∙， ij g G =ji ij T T =、jiijTT =、jj iiT T ∙∙=、i iT tr ∙=T ，()i iiiS T tr ∙∙+=+S T ，()S T S T ⋅⋅=⋅tr ，():Ttr ⋅=T ST S二阶张量与矢量的点积—矢量线性变换=⋅w T u ， ii jjw T u ∙=⋅，⋅≠⋅T u u T2.2 正则与退化的二阶张量定理：任意二阶张量将一个线性相关的矢量集映射为线性相关的矢量集 【设矢量集()i u 线性相关，则存在不全为零的实数()i α使：1()()I i i i α==∑u 0,()11()()()()I Ii i i i i i αα===⋅=⋅∑∑0T u T u , 所以()i ⋅T u 也线性相关】定理：[][],,det ,,⋅⋅⋅=T u T v T w T u v w[det T 为两个平行六面体的体积比，三维空间中3个矢量是否线性相关取决与它们的混合积是否为零] 正则与退化det 0≠T 正则二阶张量；否则为退化的二阶张量(1) T 为正则⇔()i u (i =1,2,3) 性无关，则()i ⋅T u 也线性无关。
张量分析总结
一、知识总结1 张量概念1.1 指标记法哑标和自由指标的定义及性质自由指标：在每一项中只出现一次，一个公式中必须相同。
性质：在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得在同项内重复出现两次。
哑标：一个单项式内，在上标（向量指标）和下标（余向量指标）中各出现且仅出现一次的指标。
性质：哑标可以把多项式缩写成一项；自由指标可以把多个方程缩写成一个方程。
例：333323213123232221211313212111B x A x A x A B x A x A x A B x A x A x A =++=++=++ (1.1)式(1.1)可简单的表示为下式：i j ij B x A =(1.2)其中：i 为自由指标，j 为哑标。
特别区分，自由指标在同一项中最多出现一次，表示许多方程写成一个方程；而哑标j 则在同项中可出现两次，表示遍历求和。
在表达式或者方程中自由指标可以出现多次，但不得在同项中出现两次。
1.2 Kronecker 符号定义ij δ为：⎩⎨⎧≠==j i ji ij ,0,1δ(1.3)ij δ的矩阵形式为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100010001ij δ (1.4)可知3ij ij ii jj δδδδ===。
δ符号的两指标中有一个与同项中其它因子的指标相同时，可把该因子的重指标换成δ的另一个指标，而δ符号消失。
如：ij jk ikij jk kl ilδδδδδδδ==(1.5)ij δ的作用：更换指标、选择求和。
1.3 Ricci 符号为了运算的方便，定义Ricci 符号或称置换符号：⎪⎩⎪⎨⎧-=其余情况为奇排列为偶排列,0,,,1,,,1k j i k j i l ijk(1.6)图1.1 i,j,k 排列图ijk l 的值中，有3个为1，3个为-1，其余为0。
Ricci 符号（置换符号）是与任何坐标系都无关的一个符号，它不是张量。
1.4 坐标转换图1.2 坐标转换如上图所示，设旧坐标系的基矢为i e ，新坐标系的基矢为'i e 。
张量分析课件-3.4 二阶张量的二阶张量函数
上式存在极限的条件是： （1）当T 的特征根= 时， H 的特征根= 。 1 2 （2）极限 lim 存在，因而k0，k1，k2 也接近于相应 2 1 1 2 极限。 III. T 的特征方程具有三重根 1=2=3 具有三重根的能化为对角型标准形的张量只能是球形张量， 故T 为球形张量，考虑→，2→ 的极限过程，H=f (T )表
于三个特征值的集合，与特征值得排序无关。特征值的集合取
T T T , J2 , J3 决于特征方程的系数 J1 ），因此 k0，k1，k2是主不变
T T T , J2 , J3 量 J1 函数，从而H 是 T 的各向同性函数。
II. T 的特征方程具有二重根 1=2≠3
2 1
lim
T 3G 1 2 f T lim T 2G T 1G
3.4.3 同时化为对角型标准形的函数
设二阶张量T 的二阶张量函数 H=f (T )，当T 在某一组基
矢量中化为对角型标准形时，H 在同一组基矢量中也化为对 角型标准形，并设 H 的特征根 i（i=1，2，3)为T 的特征根 i（i=1，2，3)的函数，而与T 的其他性质无关，即
i i j i 1 , 2 , 3
H f T 1 2 1 1 2 2 3 3 1 3 1 2 T 2 1 3 3 1 2 1 3 2
2 2 G 1 2 2 T 3 2 1 3 2
T
i j
3 2 1 J11 J 21 J 3 T 0 0 O
3 2J J J J J
2 2 1 3
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T·g3=l3g3 g3
T·g2=l1g2 g2
g1
T·g1=l1g1
（2）特征矩阵具有2次的初等因子l-l12以及l-l3)： l
经过初等变换，可以化为
Σ
l
J
2
l1
0
0
J1 l3
l
0 0
l1
1
l l1
0
0
0
l l3
式中Jn(li)称为对应于特征根li的n阶约当块。T 可以化为约
j
l01
0
l2
0
0
0 0 l3
T·g3=l3g3 g3
T·g2=l2g2 g2
g1
T·g1=l1g1
（2）特征方程具有一个实根与一对共轭复根——l1,l2为
一对共轭复根。设
l1 l i l2 l i
则仍有
T λ1 g1 g1 λ2 g2 g2 λ3 g3 g3
T
i •
j
l01
设
g1 g1
g3 g3
g2
i 2
gi
在 g1 , g2 , g3为基矢量的坐标系内
T
λ1 g1 g1
T
1 •2
g1
λ1
g2
T
3 •2
g3
g2 λ3 g3 g3
T
i •
j
l01
T 1 •2 l1
0
0
0
T 3 •2
l3
T g2
22T
1 •2
g1
l1
g2
T2 3 2 •2
l 0
T
i •
j
l
0
0 0 l3
T·g'3=l3g'3
T·g'2 g'3
g'1
lg'2
T·g'1
g'2
g'2
g'1 l1g'1
2.4.2.2 特征方程有重根的情况
由于实系数方程的复根必须成对出现，所以对于T
的特征方程有重根的情况，无论有二重根或三重根，它
们都应是实根。此时，T 一般可化为约当（Jordan）标
N·a1=N1a1
N
N1 a1 2
a1 a1
N2 a2 2
a2a2
N3 a3 2
a3 a3
2.4.1.6 主分量是当坐标变换时N 的混合分量对交元素之驻值 条件极值问题
max .or min.
st.
N N i
i j i
•i
i i • j
i i i i
1
引入拉格朗日乘子l ,求无条件极值问题
张量分析 及连续介质力学
2.4 二阶张量的标准形
例：已知一点的应力（应变）状态， 求主应力（或主应变）。
求二阶张量的标准形问题：相当于在矩阵代数学中，通 过初等变换将一个矩阵化为标准形与求特征值的问题。
2.4.1 实对称二阶张量的标准形
总可以化为对角型标准形且主方向互相正交。 2.4.1.1 基本概念
T
T
1 •1
g1
g1
T
1 •2
g1
g2
T
2 •1
g2
g1
T
2 •2
g2
g
2
T
3 •1
g3
g1
T
3 •2
g3
g2
T
3 •3
g3
g3
即
T
i •
j
T T
1 •1
2 •1
T
1 •2
T
2 •2
0
0
T
3 •1
T
3 •2
T
3 •3
进一步，依据特征方程根的性质，选择g1，g2，将T 化为某种 形式的标准形（不一定是对角标准形）。
0
l2
0
0
0 0 l3
式中，与l1,l2 对应的特征矢量g1，g2涉及复数。为了将T
表示成某种实数形式的标准形（不一定是对角标准形）， 可令
g1 g1 g2
g2 ig1 g2
g3 g3
在 g1, g2, g3构成的坐标系中，T 可以化为实数形式的标 准形
T lg1 g2 g3 g1 lg2 g2 l3 g3 g3
j i
0
i i
或
j i
有非零解得条件是
l
det
l
i j
N•i
j
0
解得l 的三个根，便可求出对应的
i i
或及ij相应的坐标
xi的方向，即
N i •i
取驻值的方向。由此可得
N i • j
l
i j
N i j i i j • j
2.4.2 非对称二阶张量的标准形
不一定能化为对角型标准形且主方向不正交。
2.4.1.2 对称二阶张量的特征方程
设 a，l 分别为 N 的主方向和主分量，则
N a la
或 即 N 的特征方程
N•i ja j lai
l
i j
N•i j
aj
0
l
det
l
i j
N•i
j
0
N 的特征多项式
l
l3
J1N
l2
J
N 2
l
J
N 3
特征方程的解：特征根
齐次方程组的非零解矢量：特征矢量
准形，这由T 的特征矩阵
l
l
i j
T
i •
j
的初等因子决定。当矩阵 l的初等因子都是简单的
（即一次的）式时， l经过初等变换可以化为对交标
准形；当矩阵 l的初等因子不全是简单的（即有高于
一次的初等因子）时， l化为几个约当块按对角排
列构成的标准形。
无论哪一种情况，当特征方程有重根时，特征方向 都不唯一。
）
2.4.1.4 实对称二阶张量主方向的正交性
（1）若l1＞l2＞l3,则a1，a2，a3 唯一且互相正交。
（2）若l1=l2≠l3,则a3及任意的a1，a2 a3 为主方向。在
a3的平面内，任取互相垂直的a1，a2 为其中的二个主方向。
3 2
l3
l1
g3
1
T2 3 2 •2
3 2
l3
l1
0
l3 l1 0
2 初等因子全简单
3 2
T2 3 2 •2
l1 l3
T 2 1 2 •2
0,
T1 •2
0,
22为任意
3 初等因子非全简单
T2 1 2 •2
1,
T 1 •2
0,
2 2
1 T 1
•2
1为
2
任
意
，
所
以
g2不
2.4.2.1 特征方程无重根的情况
（1）特征方程具有3个不等的实根——l1,l2亦为实根。
3个不等的实根分别对应3个线性无关的特征矢量g1， g2，g3，它们可构成一组基矢量（反证法）。在此坐标 系中，T 可化为对角标准形
T λ1 g1 g1 λ2 g2 g2 λ3 g3 g3
T
i •
T
i •
j
l01
1
l1
0
1
0 0 l1
l l1 1
0
Σ
l
0
l l1
0
0
0 l l1
T λ1 g1 g1 g1 λ1 g2 g2 λ1 g3 g3
T
i •
j
l01
1
l1
0
0
0 0 l1
（3）具有3次的初等因子(l－l1)3
l l1 1
0
Σ
l
0
l l1
1
0
0 l l1
T λ1 g1 g1 g1 λ1 g2 g2 g2 λ1 g3 g3
定义 对于一个实对称二阶张量
N N•i j gi g j
（gi 是初始坐标系的基矢量），必定存在一组正交标准化基 e1，e2，e3，在这组基中，N 化为对角标准形
N N1e1e1 N2e2e2 N3e3e3
其对应的矩阵是对角形的，即
N1 0 0
N
0
N2
0
0 0 N3
称 N1，N2，N3 为张量 N 的主分量，正交标准化基e1，e2，e3 的方向为张量 N 的主轴方向（或主方向），对应的笛卡儿坐标 系称为张量 N 的主坐标系。
唯
一
。
2. 特征方程具有三重根（l1l2l3） （1）具有3个全为1次的初等因子（l－l1）
l l1 0
0
Σ
l
0
l l1
0
0
0 l l1
T λ1 g1 g1 λ1 g2 g2 λ1 g3 g3
T
i •
j
l01
0
l1
0
0
0 0 l1
（2）具有初等因子(l－l1)2， (l－l1)
（3）若l1=l2=l3,则在空间任一组正交标准化基中N 都化为 对角标准形，称这种张量为球形张量，记作P。球形张量的
主分量为
1 P1 P2 P3 3 J1
则
P
1 3
J1G
2.4.1.5 实对称二阶张量所对应的线性变换
N·a3=N3a3
ei
ai ai
ai ai2
a3 a2
a1
N·a2=N2a2
1. 特征方程具有二重实根（l1l2≠l3） （1）特征矩阵的初等因子全为简单的，即 l经过初等
变换，可以化为
l l1 0