解析几何 圆锥曲线的方程与性质 教学案

第2讲圆锥曲线的方程与性质(小题)

热点一圆锥曲线的定义与标准方程

1.圆锥曲线的定义

(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(0＜2a>|F1F2|).

(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(0＜2a<|F1F2|).

(3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M.

2.求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”

所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值.

例1(1)(2019·桂林、崇左联考)过双曲线x2－y2

3＝1的右支上一点P分别向圆C1：(x＋2)

2＋y2＝4

和圆C2：(x－2)2＋y2＝1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2－|PN|2的最小值为()

A.5

B.4

C.3

D.2

(2)(2019·云南师大附中模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)，O是坐标原点，点P是抛物线C在第一象限内的一点，若点P到y轴的距离等于点P到抛物线C的焦点的距离的一半，则直线OP 的斜率为()

A.1

2 B.

1

3 C.2 D.3

跟踪演练1(1)已知以圆C：(x－1)2＋y2＝4的圆心为焦点的抛物线C1与圆C在第一象限交于A 点，B点是抛物线C2：x2＝8y上任意一点，BM与直线y＝－2垂直，垂足为M，则|BM|－|AB|的最大值为()

A.1

B.2

C.－1

D.8

(2)已知椭圆C：x2

a2＋

y2

b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为M，N，过

F 2的直线l 交C 于A ，B 两点(异于M ，N )，△AF 1B 的周长为43，且直线AM 与AN 的斜率之积为－2

3，则C 的方程为( )

A.x 212＋y 2

8＝1 B.x 212＋y 2

4＝1 C.x 23＋y 2

2

＝1 D.x 23

＋y 2

＝1 热点二 圆锥曲线的几何性质 1.椭圆、双曲线中a ，b ，c 之间的关系 (1)在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝c

a ＝

1－⎝⎛⎭⎫b a 2

. (2)在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝c

a

＝

1＋⎝⎛⎭⎫b a 2

. 2.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±b

a x .注意离心率e 与渐近线的斜率的关系.

例2 (1)(2019·内江模拟)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝3

4x ，则双曲线的

离心率为( ) A.43 B.53 C.5

4

D.2 (2)(2019·乐山、峨眉山联考)已知抛物线y ＝14x 2的焦点F 是椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点，

且该抛物线的准线与椭圆相交于A ，B 两点，若△FAB 是正三角形，则椭圆的离心率为( ) A.3－1 B.2－1 C.

33 D.2

2

跟踪演练2 (1)(2019·四川双流中学模拟)已知M 为双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右支上一

点，A ，F 分别为双曲线C 的左顶点和右焦点，线段FA 的垂直平分线过点M ，∠MFA ＝60°，则双曲线C 的离心率为( ) A. 5 B.2 C.3 D.4

(2)(2019·济南模拟)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 2的直线交椭

圆于A ，B 两点，且AF 1→·AF 2→＝0，AF 2→＝2F 2B →

，则椭圆E 的离心率为( ) A.23 B.34 C.53 D.74

热点三 圆锥曲线与圆、直线的综合问题 圆锥曲线与圆、直线的综合问题的注意点 (1)注意使用圆锥曲线的定义；

(2)引入参数，注意构建直线与圆锥曲线的方程组； (3)注意用好平面几何性质；

(4)涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解.

例3(1)(2019·桂林、崇左联考)以抛物线C：y2＝2px(p＞0)的顶点为圆心的圆交抛物线C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知|AB|＝26，|DE|＝210，则p＝________.

跟踪演练3(1)已知椭圆x2

a2＋

y2

b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为

B，以线段F1A为直径的圆交线段F1B的延长线于点P，若F2B∥AP，则该椭圆的离心率是()

A.

3

3 B.

2

3 C.

3

2 D.

2

2

.

(2)(2019·内江、眉山等六市模拟)设点P是抛物线C：y2＝4x上的动点，Q是C的准线上的动点，直线l过Q且与OQ(O为坐标原点)垂直，则点P到l的距离的最小值的取值范围是()

A.(0,1)

B.(0,1]

C.[0,1]

D.(0,2]

真题体验

1.(2019·全国Ⅰ，理，10)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为( ) A.x 22＋y 2

＝1 B.x 23＋y 2

2＝1 C.x 24＋y 2

3

＝1 D.x 25＋y 2

4

＝1 2.(2018·全国Ⅱ，理，12)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶

点，点P 在过A 且斜率为3

6

的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )

A.23

B.12

C.13

D.14

3.(2019·全国Ⅰ，理，16)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过

F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点.若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →

＝0，则C 的离心率为________.