三角函数和差化积与积化和差公式

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三角函数的和差化积与积化和差公式的应用

三角函数的和差化积与积化和差公式的应用三角函数是数学中重要的一部分，它们在几何学、物理学、工程学以及其他领域中有着广泛的应用。

三角函数的和差化积与积化和差公式是常用的数学工具，能够简化计算过程，提高求解效率。

在本文中，我们将探讨三角函数的和差化积与积化和差公式的应用。

一、三角函数的和差化积公式1.1 正弦函数的和差化积公式对于两个角α和β，其正弦函数的和差化积公式为：sin(α±β) = sinαcosβ ± cosαsinβ这个公式可以通过三角函数的定义及几何解释来推导。

根据三角函数的定义，我们可以得到：sin(α±β) = opposite/hypotenuse根据直角三角形的几何特征，我们可以将其分解为两个三角形，再利用对应三角形的正弦函数值推导出和差化积公式。

1.2 余弦函数的和差化积公式对于两个角α和β，其余弦函数的和差化积公式为：cos(α±β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ这个公式可以通过正弦函数的和差化积公式及三角函数的定义推导得到。

利用三角函数的互余关系cosθ = sin(π/2 - θ)，我们可以将余弦函数表示为正弦函数，然后利用和差化积公式进行推导。

二、积化和差公式的应用2.1 三角函数的乘积积化和差公式可以将三角函数的乘积转化为和差的形式，从而简化计算。

例如，当我们需要计算sinαsinβ时，可以利用积化和差公式转化为cos(α-β)和cos(α+β)的和。

这样的转化可以帮助我们减少计算的复杂度，提高效率。

2.2 三角函数的和化积和化积公式可以将三角函数的和转化为积的形式，同样可以简化计算。

例如，当我们需要计算sin(α+β)时，可以利用和化积公式转化为sinαcosβ+cosαsinβ的形式。

这样的转化可以使我们利用已知的函数值快速求解未知的函数值。

三、应用示例为了更好地理解三角函数的和差化积与积化和差公式的应用，我们来看一个具体的示例。

三角函数和差化积与积化和差公式(附证明和记忆方法)

创作编号：BG7531400019813488897SX 创作者：别如克*
和差化积和积化和差公式
正弦、余弦的和差化积 2cos
2sin
2sin sin β
αβ
αβα-⋅+=+
2
sin
2cos 2sin sin β
αβαβα-⋅+=- 2
cos
2
cos
2cos cos β
αβ
αβα-⋅+=+
2
sin
2
sin
2cos cos β
αβ
αβα-⋅+-=- 【注意右式前的负号】
创作编号：BG7531400019813488897SX 创作者：别如克*
是和还是差？
这是积化和差公式的使用中最容易出错的一项。

规律为：“小角”β以cosβ的形式出现时，乘积化为和；反之，则乘积化为差。

由函数的奇偶性记忆这一点是最便捷的。

如果β的形式是cosβ，那么若把β替换为-β，结果应当是一样的，也就是含α+β和α-β的两项调换位置对结果没有影响，从而结果的形式应当是和；另一种情况可以类似说明。

正弦-正弦积公式中的顺序相反/负号
这是一个特殊情况，完全可以死记下来。

当然，也有其他方法可以帮助这种情况的判定，如[0,π]内余弦函数的单调性。

因为这个区间内余弦函数是单调减的，所以cos(α+β)不大于cos(α-β)。

但是这时对应的α和β在[0,π]的范围内，其正弦的乘积应大于等于0，所以要么反过来把cos(α-β)放到cos(α+β)前面，要么就在式子的最前面加上负号。

创作编号：BG7531400019813488897SX
创作者：别如克*。

三角恒等变换的和差化积与积化和差

三角恒等变换的和差化积与积化和差三角恒等变换是数学中的重要概念之一，它能够帮助我们简化复杂的三角函数表达式，并且在解题过程中发挥着重要的作用。

其中，和差化积与积化和差是三角恒等变换的两种常见形式。

本文将详细介绍和差化积与积化和差的定义、推导过程以及应用举例，以加深对该概念的理解。

一、和差化积和差化积是指将两个三角函数的和（或差）表示为一个三角函数的积的形式。

具体而言，对于任意实数x和y，和差化积的公式如下：1） sin(x±y) = sinxcosy ± cosxsiny2） cos(x±y) = cosxcosy ∓ sinxsiny3） tan(x±y) = (tanx ± tany) / (1 ∓ tanxtany)其中，“±”代表正负号的两种可能，“∓”则表示正负号的相反情况。

通过和差化积，我们可以将一个复杂的三角函数表达式转化为一个较为简单的形式，从而更方便地进行计算和推导。

例如，当我们需要计算sin75°时，可以利用和差化积将其转化为sin(45°+30°)，然后根据公式sin(x±y) = sinxcosy ± cosxsiny得到：sin75° = sin(45°+30°) = sin45°cos30° + cos45°sin30°我们知道sin45° = cos45° = √2/2，sin30° = 1/2，cos30° = √3/2，代入上式得到：sin75° = (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = (√6+√2)/4这样，我们成功地将sin75°的计算转化为了更简单的形式，并得到了精确的结果。

二、积化和差积化和差是和差化积的逆运算，它将一个三角函数的积表示为一个三角函数的和（或差）。

三角函数的和差化积与积化和差公式

三角函数的和差化积与积化和差公式三角函数是数学中的重要概念，它在几何学、物理学、工程学等领域起着重要的作用。

在三角函数的研究中，和差化积与积化和差公式是常用的转化方式，能够简化计算和推导过程，提高效率。

本文将介绍三角函数的和差化积与积化和差公式的定义、推导过程及应用。

一、和差化积公式和差化积公式是指将两个三角函数的和或差表示为一个三角函数的乘积。

常用的和差化积公式有正弦函数的和差化积公式和余弦函数的和差化积公式。

1. 正弦函数的和差化积公式正弦函数的和差化积公式为：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB其中，A和B为任意角。

这个公式可以通过使用三角函数的定义和运用三角恒等式推导出来。

2. 余弦函数的和差化积公式余弦函数的和差化积公式为：cos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinB同样地，这个公式可以通过使用三角函数的定义和运用三角恒等式推导出来。

二、积化和差公式积化和差公式是指将两个三角函数的乘积表示为一个三角函数的和或差。

常用的积化和差公式有正弦函数的积化和差公式和余弦函数的积化和差公式。

1. 正弦函数的积化和差公式正弦函数的积化和差公式为：sinAcosB = 1/2 * [sin(A + B) + sin(A - B)]同样地，这个公式也可以通过使用三角函数的定义和运用三角恒等式推导出来。

2. 余弦函数的积化和差公式余弦函数的积化和差公式为：cosAcosB = 1/2 * [cos(A + B) + cos(A - B)]这个公式同样可以通过使用三角函数的定义和运用三角恒等式推导出来。

三、应用举例1. 应用和差化积公式假设有一个角A = 30°，B = 45°，我们可以使用正弦函数的和差化积公式来计算sin(A + B)和sin(A - B)。

根据正弦函数的和差化积公式，我们可以得到：sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB = (sin30°cos45°) + (cos30°sin45°) sin(A - B) = sinAcosB - cosAsinB = (sin30°cos45°) - (cos30°sin45°)通过计算可得，sin(A + B) = 0.9743，sin(A - B) = 0.2588。

三角函数和差化积与积化和差公式(附证明和记忆方法)

记忆口诀（正弦余弦）正加正，正在前，余加余，余并肩正减正，余在前，余减余，负正弦生动的口诀：帅 + 帅 = 帅哥帅 - 帅 = 哥帅咕 + 咕 = 咕咕哥 - 哥 = 负嫂嫂
积化和差公式
sin sin
cos cos （注意：此时差的余弦在和的余弦前面） cos cos （注意：此时公式前有负号）
2
或写作： sin sin
2 cos cos cos cos 2 sin sin sin cos 2 sin sin cos sin 2
正切和差化积 tan α ±tan β =
sin( ) cos cos
sin( ) sin sin
cot α ±cot β =
tan α +cot β =
cos( ) cos sin cos( ) cos sin
tan α -cot β =
其他的 3 个式子也是相同的证明方法。
结果除以 2 这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。 sin 和 cos 的值域都是 [-1,1] ，其和差的值域应该是 [-2,2] ，而积的值域确是 [-1,1] ，因此除以 2 是必须的。也可以通过其证明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵消的两项相同而造成有系数 2 ，如： cos( α -β )-cos( α + β ) =1/2[(cos α · cos β +sin α · sin β )-(cos α ·cos β -sin α · sin β )] =2sin α ·sin β 故最后需要除以 2 。使用同名三角函数的和差无论乘积项中的三角函数是否同名，化为和差形式时，都应是同名三角函数的和差。这一点主要是根据证明记忆，因为如果不是同名三角函数，两角和差公式展开后乘积项的形式都不同，就不会出现相抵消和相同的项，也就无法化简下去了。使用哪种三角函数的和差

三角函数的积化和差与和化积公式

三角函数的积化和差与和化积公式三角函数是数学中的重要概念，而三角函数的积化和差与和化积公式是解决三角函数乘积和和的关系的重要工具。

本文将介绍三角函数的积化和差公式和和化积公式，并对其应用进行论述。

一、三角函数的积化和差公式三角函数的积化和差公式是指将两个三角函数的乘积表示为和或差的形式，从而简化计算。

常见的三角函数的积化和差公式有正弦函数、余弦函数和正切函数的积化和差公式。

1. 正弦函数的积化和差公式正弦函数的积化和差公式表达式如下：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB其中，A和B分别表示两个角。

2. 余弦函数的积化和差公式余弦函数的积化和差公式表达式如下：cos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinB3. 正切函数的积化和差公式正切函数的积化和差公式表达式如下：tan(A ± B) = (tanA ± tanB)/(1 ∓ tanA*tanB)其中，A和B分别表示两个角，且A和B的切比雪夫乘积不等于1或-1。

二、三角函数的和化积公式三角函数的和化积公式是指将两个三角函数的和表示为积的形式，便于计算和求解。

常见的三角函数的和化积公式有正弦函数、余弦函数和正切函数的和化积公式。

1. 正弦函数的和化积公式正弦函数的和化积公式表达式如下：sinA + sinB = 2sin((A + B)/2)cos((A - B)/2)sinA - sinB = 2cos((A + B)/2)sin((A - B)/2)2. 余弦函数的和化积公式余弦函数的和化积公式表达式如下：cosA + cosB = 2cos((A + B)/2)cos((A - B)/2)cosA - cosB = -2sin((A + B)/2)sin((A - B)/2)3. 正切函数的和化积公式正切函数的和化积公式表达式如下：tanA + tanB = (sin(A + B))/(cosAcosB)tanA - tanB = (sin(A - B))/(cosAcosB)三、应用举例三角函数的积化和差与和化积公式在数学和物理等领域中有广泛的应用。

三角函数的积化和差与和化积与差化积与和差化积与差和化积公式

三角函数的积化和差与和化积与差化积与和差化积与差和化积公式三角函数是数学中重要的概念，它们在几何、物理等领域有广泛的应用。

本文将介绍三角函数的积化和差公式以及和化积公式，以及它们的推导和运用。

一、三角函数的积化和差公式1. 正弦函数的积化和差公式对于正弦函数，积化和差公式可以表示为：sin(A ± B) = sin(A)cos(B) ± cos(A)sin(B)这个公式可以通过向量法推导得到。

假设有两条向量OA和OB，它们的夹角为θ。

根据向量叉乘的定义，可以求得向量OA和OB的叉乘的模长等于OA和OB对应线段的长度的积与θ的正弦值相等。

即：|OA × OB| = |OA||OB|sinθ将向量OA和OB表示成平面直角坐标系中的坐标形式，可以得到：|OA × OB| = |(x1, y1, 0) × (x2, y2, 0)| = |(0, 0, x1y2 - x2y1)| = |x1y2 -x2y1|另一方面，根据向量OA和OB的夹角的三角函数定义，可以得到：sinθ = (x1y2 - x2y1) / (|OA||OB|) = (x1y2 - x2y1) / (sqrt(x1^2 + y1^2) * sqrt(x2^2 + y2^2))将上述两个等式相等，即可得到正弦函数的积化和差公式。

2. 余弦函数的积化和差公式对于余弦函数，积化和差公式可以表示为：cos(A ± B) = cos(A)cos(B) ∓ sin(A)sin(B)同样，这个公式也可以通过向量法推导得到。

基本思路与正弦函数的积化和差公式相似，推导过程略。

二、三角函数的和化积公式1. 正弦函数的和化积公式对于正弦函数，和化积公式可以表示为：sin(A) + sin(B) = 2sin[(A + B) / 2]cos[(A - B) / 2]这个公式可以通过将两个正弦函数相加并化简得到。

瞬间记住三角函数和差化积积化和差公式

积化和差
sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
和差化积
sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
对于积化和差公式来说，首要的原则是，等号左边的若异名，等号右边全是sin，等号左边同名，等号右边全是cos，其次，右边中间的和与差取决于左边第二项，若是cos，则是+，若是sin，则是-，最后记得sin*sin时要添上一个负号。

对于和差化积公式来说，第一，若等号左边全是sin，则右边异名，若等号左边全是cos，则等号右边同名，第二，等号左边中间的正负号决定了右边第二项，若是正，则是cos，若是负，则是sin，然后可以根据第一条原则写出完整的右边式子，最后记得cos-cos要添一个负号。

三角函数的和差化积公式和积化和差公式的应用

三角函数的和差化积公式和积化和差公式的应用三角函数是数学中重要的概念之一，它在几何学、物理学、工程学等领域有广泛的应用。

其中，三角函数的和差化积公式和积化和差公式是三角函数的重要性质，它们在解决三角函数的复杂运算和化简表达式时起着关键的作用。

一、和差化积公式的应用和差化积公式是指将两个三角函数的和（或差）表示为一个三角函数的积的形式。

其中，最常用的和差化积公式有以下几种：1. 正弦函数的和差化积公式：sin(A±B) = sinAcosB ± cosAsinB这个公式的应用非常广泛，特别是在求解三角方程和化简复杂的三角函数表达式时。

例如，当我们需要求解sin2x+sinx=0时，可以利用和差化积公式将sin2x拆分为2sinxcosx，然后得到sinx(2cosx+1)=0，进而得到sinx=0或cosx=-1/2。

这样，我们就将原方程转化为求解sinx=0和cosx=-1/2的两个简单方程。

2. 余弦函数的和差化积公式：cos(A±B) = cosAcosB ∓ sinAsinB这个公式在求解三角方程和化简复杂表达式时也非常有用。

例如，当我们需要求解cos2x+cosx=0时，可以利用和差化积公式将cos2x拆分为cos^2x-sin^2x，然后得到cosx(cosx-1)(cosx+1)=0，进而得到cosx=0或cosx=1或cosx=-1。

这样，我们就将原方程转化为求解cosx=0、cosx=1和cosx=-1的三个简单方程。

二、积化和差公式的应用积化和差公式是指将两个三角函数的积表示为一个三角函数的和（或差）的形式。

其中，最常用的积化和差公式有以下几种：1. 正弦函数的积化和差公式：sinAcosB = (1/2)[sin(A+B) + sin(A-B)]这个公式在求解三角方程和化简复杂表达式时也非常有用。

例如，当我们需要求解sin2xsinx=1/2时，可以利用积化和差公式将sin2xsinx拆分为(1/2)[sin(2x+x)+sin(2x-x)]，然后得到(1/2)[sin3x+sinx]=1/2，进而得到sin3x+sinx=1。

和差化积积化和差万能公式

和差化积积化和差万能公式Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】正、余弦和差化积公式指三角函数部分的一组恒等式sin α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 【注意右式前的负号】以上四组公式可以由积化和差公式推导得到证明过程sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程因为sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β，sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β，将以上两式的左右两边分别相加，得sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β，设α+β=θ，α-β=φ那么α=(θ+φ)/2, β=（θ-φ）/2把α，β的值代入，即得sin θ+sin φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ）/2]正切的和差化积tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)（附证明）cotα±cotβ=sin(β±α)/(sinα·sinβ)tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ)tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ)证明：左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ=(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ)=sin(α±β)/(cosα·cosβ)=右边∴等式成立注意事项在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。

三角函数的和差化积与积化和差公式

三角函数的和差化积与积化和差公式一、三角函数的和差化积公式：1.正弦函数的和差化积公式：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB该公式表示正弦函数的和与差的正弦值可以表示为两个角的正弦和与差的乘积。

这个公式常用于求解三角方程、证明三角恒等式等。

2.余弦函数的和差化积公式：cos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinB该公式表示余弦函数的和与差的余弦值可以表示为两个角的余弦积与差的乘积。

3.正切函数的和差化积公式：tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB)该公式表示正切函数的和与差的正切值可以表示为两个角的正切和与差的商。

二、三角函数的积化和差公式：1.正弦函数的积化和差公式：sinAcosB = (sin(A + B) + sin(A - B)) / 2该公式表示正弦函数的两个角的积可以表示为这两个角的和与差的正弦和的一半。

2.余弦函数的积化和差公式：cosAcosB = (cos(A + B) + cos(A - B)) / 2该公式表示余弦函数的两个角的积可以表示为这两个角的和与差的余弦和的一半。

3.正切函数的积化和差公式：tanA + tanB = (sin(A + B))/(cosAcosB)该公式表示正切函数的两个角的和可以表示为这两个角的正弦和的商除以这两个角的余弦积。

以上就是三角函数的和差化积与积化和差公式的基本介绍。

这两个公式在解决三角函数的数值计算、化简三角表达式、证明三角恒等式等问题中起到重要的作用。

在初中阶段学习三角函数时，重点掌握这些公式的应用，对于进一步理解和应用三角函数具有重要意义。

附：示例题目和解答1. 化简sin(α + β)cos(α - β)= (sinαcosβ + cosαsinβ)(cosαcosβ + sinαsinβ)= sinαcosαcos²β + sin²αsinβcosβ + sinαcosαcos²β - sin²αsinβcosβ= 2sinαcosαcos²β - 2sin²αsinβcosβ= 2sinαcosα(cos²β - sin²β)= sin2αcos2β2. 化简cos²(θ + φ) - sin²(θ - φ)= (cos(θ + φ) + sin(θ + φ))(cos(θ - φ) - sin(θ - φ)) = (cosθcosφ - sinθsinφ)(cosθcosφ + sinθsinφ)= cos²θcos²φ - sin²θsin²φ= cos²θ(1 - sin²φ) - sin²θsin²φ= cos²θ - cos²θsin²φ - sin²θsin²φ= cos²θ - (cos²θ + sin²θ)sin²φ= cos²θ - sin²φ以上为两个公式的介绍以及示例题目的解答。

三角函数和差化积与积化和差公式,倍角公式

三角函数和差化积与积化和差公式,倍角公式和差化积sinθ+sinφ=2sin(θ/2+θ/2)cos(θ/2-φ/2)sinθ-sinφ=2cos(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)cosθ+cosφ=2cos(θ/2+φ/2)cos(θ/2-φ/2)cosθ-cosφ=-2sin(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)积化和差sinαsinβ=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]cosαcosβ= 1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]sinαcosβ= 1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]cosαsinβ= 1/2[sin(α+β)-sin(α-β)]三倍角sin3a=3sina-4sina^3cos3a=4cosa^3-3cosasin2α=2sinαcosαtan2α=2tanα/(1-tan^2(α))cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)可别轻视这些字符,它们在数学学习中会起到重要作用.号外:tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinαtan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]·倍角公式：sin(2α)=2sinα·cosαcos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]其他一些公式·三倍角公式：sin3α=3sinα-4sin^3(α)cos3α=4cos^3(α)-3cosαtan3α=tan(α)*(-3+tan(α)^2)/(-1+3*tan(α)^2)·半角公式：sin^2(α/2)=(1-cosα)/2cos^2(α/2)=(1+cosα)/2tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα·万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]·积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]·和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]·其他：sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0四倍角公式：sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1))cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4)tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)五倍角公式：sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinAcos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosAtan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4)六倍角公式：sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA^2))cos6A=((-1+2*cosA^2)*(16*cosA^4-16*cosA^2+1))tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5)/(-1+15*tanA^2-15*tanA^4+tanA ^6)七倍角公式：sin7A=-(sinA*(56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6))cos7A=(cosA*(56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7))tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6)/(-1+21*tanA^2-35*tan A^4+7*tanA^6)八倍角公式：sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)*(-8*sinA^2+8*sinA^4+1))cos8A=1+(160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2)tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6)/(1-28*tanA^2+70*tan A^4-28*tanA^6+tanA^8)九倍角公式：sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2)*(64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3))cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2)*(64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3))tan9A=tanA*(9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8)/(1-36*tanA ^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8)十倍角公式：sin10A=2*(cosA*sinA*(4*sinA^2+2*sinA-1)*(4*sinA^2-2*sinA-1)*(-20*sinA^2+5+16*sinA^4))cos10A=((-1+2*cosA^2)*(256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cos A^2+1))tan10A=-2*tanA*(5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8)/(-1+ 45*tanA^2-210*tanA^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10)。

三角函数积化和差与和差化积

sin

3 答案： 4
例3：求值：sin42°-cos12°+sin54°

2
sin sin 2 cos
sin

2
答案：1/2
例4：求值：cot70°+4cos70°

2
sin sin 2 sin
cos

2
答案： 3
三角函数的和差化积公式
正弦、余弦的和差化积：
sin sin 2 sin

2 2 sin sin 2 cos sin 2 2 cos cos 2 cos cos 2 2 cos cos 2 sin sin 【注意右式前的负号】 2 2 口诀：帅+帅=帅哥帅-帅=哥帅哥+哥=哥哥哥-哥=负帅帅
cos

证明： sin A+sin B=2sin[(A+B)/2]·cos[(A -B)/2] sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β， sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β，将以上两式的左右两边分别相加，得 sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ，设 α+β=A，α-β=B 把α，β的值代入，即得 sin A+sin B=2sin[(A+B)/2]cos [(A-B)/2] 其余三式证明方法相同。
例1：求值： cos20°+cos100°+cos140°
cos cos 2 cos

2
cos

三角函数和差化积与积化和差公式

三角函数和差化积与积化和差公式三角函数和差化积公式是指将三角函数之差化为两个三角函数的乘积的公式。

而积化和差公式是指将两个三角函数的乘积化为两个三角函数之和或差的公式。

这两个公式在三角函数的运算中有着重要的应用，特别是在简化复杂的三角函数表达式、解三角方程、求极限等方面有着重要的作用。

1.三角函数和差化积公式（1）正弦和差化积公式：sin(A±B) = sinA·cosB ± cosA·sinB（2）余弦和差化积公式：cos(A±B) = cosA·cosB ∓ sinA·sinB（3）正切和差化积公式：tan(A±B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanA·tanB)积化和差公式是将两个三角函数的乘积化为两个三角函数的和或差的公式。

常用的积化和差公式有正弦积化和差公式、余弦积化和差公式和正切积化和差公式。

具体如下：（1）正弦积化和差公式：sinA·sinB = (1/2)(cos(A-B) - cos(A+B))（2）余弦积化和差公式：cosA·cosB = (1/2)(cos(A-B) + cos(A+B))（3）正切积化和差公式：tanA·ta nB = (tanA + tanB) / (1 - tanA·tanB)这些公式的推导过程可以通过将三角函数展开为指数形式，然后运用欧拉公式等方法来得到。

这些公式的应用非常广泛，特别是在求解三角方程中非常有用。

通过使用这些化积公式和化和差公式，可以将复杂的三角函数表达式化简为简单的形式，从而方便进行运算和推导。

具体来说，这些公式在求解三角方程中的应用十分重要。

例如，对于一个复杂的三角方程，可以通过使用这些公式将其化简为两个简单的三角函数之和或差的形式，从而可以更方便地求解出方程的根。

另外，在求极限的过程中，这些公式也经常被用到。