太阳影子定位-2015高教社杯全国大学生数学建模竞赛题

2015高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）
A题太阳影子定位
如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。

1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用你们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。

2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。

将你们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。

3. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。

将你们的模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。

4．附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2米。

请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用你们的模型给出若干个可能的拍摄地点。

如果拍摄日期未知，你能否根据视频确定出拍摄地点与日期？
太阳影子定位
摘要
本文通过分析物体的太阳影子变化，利用太阳影子定位技术建立确定视频拍摄的地点和日期的模型。

针对问题一，首先通过分析知影子长度的变化主要影响参数为：当地的经度λ、纬度ϕ、时刻t、直杆长度l、季节J（日期N)等，引入地理学参数：太阳
赤纬δ、时角α及太阳高度角h 0，建立一个能够刻画影子长度变化和各个参数
间关系的模型：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⋅⋅-+-=h l h l t 000tan
)cos cos sin sin sin arccos(300151δϕδϕλ；其次以实例对模
型进行检验，在误差可允许的范围内，认为模型正确；进而对模型采用控制变量法分析影子长度关于各个参数的变化规律；然后求解出满足条件影子长度12时15分是最短，大约3.674米（表3）。

影子长度的变化曲线（图5），9时至12时15分影子长度呈现下降趋势，12时15分之15时影子长度呈现上升趋势；最后考虑太阳照射中发生折射现象的推广。

针对问题二，
关键词 一、问题重述：
如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。

1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用你们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。

2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。

将你们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。

3. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。

将你们的模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。

4．附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2米。

请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用你们的模型给出若干个可能的拍摄地点。

如果拍摄日期未知，你能否根据视频确定出拍摄地点与日期？
二、问题分析：
针对问题一，首先通过分析知影子长度的变化主要影响参数为：当地的经度
λ、纬度ϕ、时刻t 、直杆长度l 、季节J （日期N )等，引入地理学参数：太阳赤纬δ、时角α及太阳高度角h 0，建立一个能够刻画影子长度变化和各个参数 间关系的模型；其次以实例对模型进行检验，在误差可允许的范围内，认为模型正确；进而根据所建模型分析影子长度关于各个参数的变化规律；然后做出影子长度的变化曲线；最后考虑太阳照射中发生折射现象的推广。

针对问题二，
三、模型假设：
1、求解此问题时忽略地球的自转
2、不考虑太阳光线在穿过大气层时的折射、太阳的视面角、高山阻挡、海拔高度等因素。

3、认为照射到地球上的太阳光可以看成是平行光线，地球上某地的水平地面是地球球面上过该地的切面。

四、符号说明：
δ：太阳赤纬 α：太阳时角
ϕ：表示某地的地理纬度
λ：表示某地的地理经度
h
：太阳高度角
五、问题一的模型建立与求解
5.1影响影子长度参数的确定 1、太阳赤纬
太阳赤纬是地球赤道平面与太阳和地球中心的连线之间的夹角且以年为周期，在周年运动中任何时刻的赤纬值δ都是严格已知的，可用下式计算：
）
（13cos 0201.02cos 3656.0cos 758.03sin 1712.02sin 1149.0sin 2567.233723.0θ
θθθθθδ++--++= 式中θ称为日角，即2422.365/2t πθ=，这里0N N t -=,式中N 为积日，就
是日期在年内的顺序号（例如1月1日其积日为1，平年1212月31日的积日为365，闰年则为366等）。

)4/9851-((-1985-2422.06764.790）年份）（年份INT N ⨯+=
（式中INT 表示取整数部分）
故如果已知某日期的年、月、日，代入式（1），即可求得此日期的太阳赤纬值δ。

2、时角
时角表示一天体是否通过了当地的子午圈，其数值表示该天体与当地子午圈的角距离，并借用时间的单位以小时来计量，其中当地时间12
点时的时角为零，令上午的时角为正，下午为负。

某地t 0的时角α计算式如下：
故若给定某地时刻t 0的值，代入式（2），即可求出此时的时角值α
3、太阳高度角
太阳高度角,是指太阳光线与地平面的夹角。

应用球面三角形余弦公式A c b c b a cos sin sin cos cos cos +=，结合图形,可以推出任意时刻太阳高度角h 0的计算公式为：
）
（3cos )sin()
sin()cos()cos()cos(90909090900α
ϕδϕδ--+--=-
h
进一步可以得到：
）
（4cos cos cos sin sin sin 0α
ϕδϕδ+=h 式中，ϕ表示当地的地理纬度,δ表示太阳赤纬，α表示太阳时角、h 0表示太阳高度角。

ϕ、δ的取值为北正南负。

故若已知某地的地理纬度ϕ、太阳赤纬δ、太阳时角α，代入式（4），即可求得太阳高度角。

4、直杆的长度
直杆的影子始终在物体背着光源的一面，光从物体顶端照射到地面形成影子，直杆的长度l 0直接影响着影子长度的变化。

5.2模型一的建立
首先分析影子长度变化直接受直杆长度l 0和太阳高度角h 0的影响，其关系式为：
）
（5tan 0
h l
l =
其中l 表示影子的长度。

然后以太阳高度角与太阳赤纬、时角、地理纬度的关系为基础，即式（4），引进参数当地的经度，构建影子长度变化模型如下：
)6(tan
)cos cos sin sin sin arccos(300151000⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⋅-+-=h l h l t δϕδϕλ
式中λ、ϕ、δ、h 0、t 分别代表当地的经度、纬度、太阳赤纬、太阳高度角和时刻（北京时间）。

编写程序计算时注意到，当
1cos cos sin sin sin 0≤⋅⋅-δ
ϕδϕh 时，
反余弦函数值才存在，应采用判断，当其大于t 时则进行下一个t 的计算。

5.3模型一的检验
以实际某地情况为例，已知当地的经度为，纬度为，
5.4影子长度关于各个参数的变化规律
根据影子长度变化模型，以影子长度l为因变量，依次选择各个参数为自变量，其余参数看为固定值，进而描述出影子长度关于各个参数变化规律。

1、影子长度关于直杆长度的变化规律
以直杆长度l0为自变量，以影子长度为因变量，太阳高度角h0为固定值，取直杆长度为5
0米，间隔为0.5米，根据公式（5），得到h0与l0之间的关系，
~
画出关系图像如图1：
由图1我们可以很直观的的看出，在其他参数不变时，直杆长度越长，影子长度越长，且两者的比值是不变的。

2、影子长度的日变化规律
以每日的时间t作为自变量，影子长度为因变量，其它参数为固定值，取为2015年10月22日北京时间8:00-16:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆，根据公式（6），得到影子长度的日变化规律。

由于地球是个固体球,且自西向东自转,因此太阳高度也呈现出与之对应的日变化规律:地球上观察太阳为东升西落,早晨太阳从东方地平线上升起,晨昏线
上太阳高度为0 ，随着太阳的逐渐升高,太阳高度是逐渐增大的，影子的长度逐渐减小。

当某地经线正对太阳光时,地方时为正午12点，即为北京时间12时15分,此时太阳高度角达到一天中的最大，影子长度最小。

之后太阳逐渐西落,太阳高度也慢慢变小，影子逐渐变长,到西方地平线落下时,没有影子。

3、影子长度随纬度变化规律
以纬度 作为自变量，影子长度为因变量。

其它参数为固定值，由于正午太
阳高度角最能反映太阳辐射的强弱变化,故取2015年10月22日北京时间12时东经116度23分29秒3米高的直杆，根据公式（6），得到影子长度的随纬度的变化规律。

正午太阳高度由直射点向南北两侧递减，故影子长度由直射点向南北两侧递增。

夏至:6223'+=
ϕ，影子长度从北回归线向南北两侧递增;同样冬至:
6223-'= ϕ，影子长度从南回归线向南北两侧递增;春秋分:0
=ϕ，影子长
度从赤道向南北两侧递增,且离直射点距离越近,与直射点纬度差越小,影子长度就越小。

4、影子长度随季节的变化规律 以季节作为自变量，影子长度为因变量。

由于正午太阳高度角最能反映太阳辐射的强弱变化,故取2015年北京时间12时天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆，根据公式（6），得到影子长度的随季节的变化规律。

北回归线及以北地区,6月22日正午太阳高度达一年中最大值，此时影子长度最小,12月22日达一年中最大值;南回归线以南地区,12月22日达一年中最小值,6月22日达一年中最大值;南北回归线之间,一年中因有两次太阳直射机会,赤道至北回归线之间12月22日的正午影子长度达一年中最大值,而赤道至南回归线之间6月22日达一年中最大值。

5.5问题一的求解
求解步骤：
1）将2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54
分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆符号化为907.39
+=λ，
491.116
=ϕ，30=l ；
2）计算太阳赤纬：
已知年份为2015年，积日为295，代入公式得：
9424
.79)
4/9851-((-1985-2422.06764.790=⨯+=）年份）（年份INT N
067.2150=-=N N t
6996.32422.365/2==t πθ
8627
.10-3cos 0201.02cos 3656.0cos 758.03sin 1712.02sin 1149.0sin 2567.233723.0
=++
--++=θθθθθθδ
得到太阳的赤纬角为8627.10-
3）计算太阳时角：
需将当地时间转化为北京时间，对应北京时间t ，将t
得到2015年10月22日北京时间天安门广场时角值（如表1），其中
907.39
+=λ。

表1：2015年10月22日北京时间天安门广场时角统计表
4）计算太阳高度角：
将所得到的ϕ、δ、α分别代入公式（4），得到2015年10月22日北京时间天安门广场太阳高度角值（如表2）
表2：2015年10月22日北京时间天安门广场太阳高度角统计表
5）求解影子长度变化： 应用建立的模型
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⋅⋅-+-=h l h l t 000tan
)cos cos sin sin sin arccos(300151δϕδϕλ 将就得各个参数值代入模型，可以得到2015年10月22日北京时间9:00-15:00天安门广场3米高直杆的影子长度（见表3），通过Matlab 软件画出直杆的太阳影子长度的变化曲线（如图5）
表3：2015年10月22日北京时间天安门广场3米高直杆的影子长度统计表
结合图5和表3，可以看出2015年10月22日北京时间12点15分天安门3
米高直杆的影子长度是最短的，大约3.674米。

9时至12时15分影子长度呈现下降趋势，12时15分至15时影子长度呈现上升趋势。

六、问题二的模型建立与求解 6.1直杆影长的计算
已知某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标()y x ,，根据勾股定理表示出影长l ：
6.3问题二的求解：
根据附件1中北京时间14：42-15:42之间影长的横、纵坐标，通过勾股定
6.2经度确定模型
6.2.1确定地区经度与时差的关系
地球从o 0经线划分，向东为：E o o 180~0,向西为：W o o 180~0，地球一
周就是：o 360。

地球自转一周的时间为h 24，所以可得地球每小时转过的角度为：o o 1524360=÷。

6.2.2建立二次拟合模型
根据附件一算出的影长，画出时刻-影长的变化曲线，如图6：
以影长为因变量，时刻为自变量，用poltfit 函数进行二次拟合，得到的二次函数为：
1275.247519.31489.02+-=t t l 。

式中l 为影长，t 为时刻，去自变量]16,12[∈t 画图，得到影长与时刻的二次拟合曲线，
6.2.3确定当地经度
因为二次拟合的曲线为抛物线，根据抛物线函数的对称轴公式：
1579.3,1489.0
,2-==-=b a a b
t 其中
求解得到36:12,5984.12即北京时间：=t ，可以判定该地在北京的西边，因为北京所在经度为o 120，所以确定该地所在经度为
E '''o o 261111024.1111512-5984.12-120，即）（=⨯。

6.3纬度确定模型
6.3.1影长比例不变原理
图7：影长与时刻的二次拟合曲线
图8：同一地区不同杆在不同时间下的影子示意图
意图
P Q A M N B
B 杆
A 杆
表示1时刻的太阳光线 表示2时刻的太阳光线
因为太阳光是平行的，所以βα=∠=∠=∠=∠NB B QA A MB B PA A 1111,,又因为NB B MB B QA A PA A 1111,,,∆∆∆∆均为直角三角形，所以β
αtan tan 11A
A QA A A PA ==
，，得到
αβtan tan =QA PA ，同理得到α
βtan tan =NB MB ，进而得到NB MB
QA PA =。

6.3.2遍历模型
根据附件中的得到的21个影长21,2,1,， =i l i ，用后一时刻的影长比上前一
时刻的影长
20,2,1,1
=+i l l i
i 得到20个比值020,0201,,b b b 。

附件1中各相邻时刻影长比例统计表
对于问题二给定杆长0l 为定值，在任意给定一个纬度值ϕ，根据公式（6）求得21个影长21,,2,1, =i l i ，并求得20个影长比值1201211,,,bz bz bz 。

根据之前的比例不变原理，如果20,,2,1,10 ==i bz bz i i ，认为两个杆处在同一位置，但由于附件一的影子顶点坐标的测量出来的，所以影长比值不可能完全相等，可能会存在一定误差，所以做修正S ,定义如下：
∑=-=20
1210)(i i i bz bz S
对所有纬度进行求解，每一个纬度值都对应一个S ,求所有S 中的最小值，得到纬度值，即该地所处纬度。

求解结果，S 的最小值为：6-102502.7⨯，所处纬度为：'o o 30135.13，即N 。

6.3其余可能点的确定
已知2015年春分日是3月21日，此时太阳直射赤道，即o 0纬线，夏至日是6月22日，太阳直射北回归线，即N o
4.23，这两个节气的天数差为93天，大致算出每天太阳直射纬度的变化为：o
2516.0934.23=÷。

附件一中所给时间为
2015年4月18日，与春分日日差28天，估计此时太阳直射N o
0448.72516.028=⨯，令之前求出的纬度线N o
5.13以N o 0448.7纬度线为对称轴，求出对称的纬度线为：
N N '''o o 233505896.0，即。

如果时刻定在2015年4月18日的15时，根据之前的
地区经度与时差的关系，可以得到此时刻太阳直射的经度线为：
E o 751512-15-120=⨯）（,令之前求出的某地的经度线E o 024.111以经度线E
o 75为对称轴，求出对称的纬度线为：
E E '
''o o 26136024.36，即。

根据附件一的数据可得：
情况一：以2015年4月18日14:42-15:42这个时段为基准，直杆可能在的
位置有两个：（N E o '''''o 3013,261111）和（N E o '
'''''o 23350,261111）。

情况二：以2015年4月18日15:00这个时刻为基准，直杆可能在的位置有
四个，分别是：（N E o '''''o 3013,261111）、（N E o '
'''''o 23350,261111）、（N E o '''''o 3013,26136）和（N E o '
'''''o 23350,26136）。

以上我们得到了考虑大气折射率影响的太阳高度角，从一定程度上减小了误差，使得结果更具合理性。

参考文献：
[1]但尚铭，太阳高度角计算程序介绍，环境科学，10卷4期：76-78,1988年 [2]赖月喜，太阳高度变化的一般规律及图示分析，中学政史地(高三)，04期，48-52,2007年
[3]百度百科，太阳高度角，
/link?url=c6pown3qPkE7Bht77
RfuvtRmar03oJRxL15Fw24a7OrMySjPIDp1W7vYNFY8M7R0On8a1BsiI9qAfLcr79sPi_#ref_[1]_86609，2015/9/11
[4]百度百科，时角，/view/823827.htm ，2015/9/11 [5]百度百科，太阳赤纬,/view/86281，2015/9/11 [6]
怎样写作数学建模竞赛论文
一如何建立数学模型—建立数学模型的涉骤和方法
建立数学模型没有固定的模式，通常它与实际问题的性质、建模的目的等有关。

当然，建模的过程也有共性，一般说来大致可以分以下几个步骤：
1. 形成问题
要建立现实问题的数学模型，首先要对所要解决的问题有一个十分明晰的提法。

只有明确问题的背景，尽量弄清对象的特征，掌握有关的数据，确切地了解建立数学模型要达到的目的，才能形成一个比较明晰的“问题”。

2. 假设和简化
根据对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的假设和简化。

现实问题通常是纷繁复杂的，我们必须紧紧抓住本质的因素(起支配作用的因素)，忽略次要的因素。

此外，一般地说，一个现实问题不经过假设和简化，很难归结为数学问题。

因此，有必要对现实问题作一些简化，有时甚至是理想化
3 .模型的构建
根据所作的假设，分析对象的因果关系，用适当的数学语言刻画对象的内在规律，构建现实问题中各个量之间的数学结构，得到相应的数学模型。

这里，有一个应遵循的原则：即尽量采用简单的数学工具。

4. 检验和评价
数学模型能否反映厡来的现实问题，必须经受多种途径的检验。

这里包括：(1).数学结构的正确性，即有没有逻辑上自相矛盾的地方；(2).适合求解，即是否有多解或无解的情况出现；(3).数学方法的可行性，即迭代方法是否收敛，以及算法的复杂性等。

而更重要和最困难的问题是检验模型是否真正反映厡来的现实问题。

模型必须反映现实，但又不等同于现实；模型必须简化，但过分的简化则使模型远离现实，无法解决现实问题。

因此，检验模型的合理性和适用性，对于建模的成败是非常重要的。

评价模型的根本标准是看它能否准确地反映现实问题和解决现实问题。

此外，是否容易求解也是评价模型的一个重要标准。

5. 模型的改进
模型在不断检验过程中经过不断修正，逐步趋向完善，这是建模必须遵循的重要规律。

一旦在检验中发现问题，人们必须重新审视在建模时所作的假设和简化的合理性，检查是否正确刻画对象内在的量之间的相互关系和服从的客观规律。

针对发现的问题作出相应的修正。

然后，再次重复上述检验、修改的过程，直到获得某种程度的满意模型为止。

6. 模型的求解
经过检验，能比较好地反映厡来现实问题的数学模型，最后将通过求解得到数学上的结果；再通过“翻译”回到现实问题，得到相应的结论。

模型若能获得解的确切表达式固然最好，但现实中多数场合需依靠电子计算机数值求解。

电子计算机技术的飞速发展，使数学模型这一有效的工具得以发扬光大。

数学建模的过程是一种创造性思维的过程，对于实际工作者来说，除了需要具有想象力、洞察力、判断力这些属于形象思维、逻辑思维范畴的能力外，直觉和灵感往往不可忽视，这就是人们对新事物的敏锐的领悟、理解、推理和判断。

它要求人们具有丰富的知识，实惯用不同的思维方式对问题进行艰苦探索和反复思考。

这种能力的培养要依靠长期的积累。

此外，用数学模型解决现际问题，还应当注意两方面的情况。

一方面，对于不同的实际问题，通常会使用不同的数学模型。

但是，有的时候，同一数学模型，往往可以用来解释表面上看来毫不相关的实际问题。

另一方面，对于同一实际问题要求不同，则构建的数学模型可能完全不同。

二写作数学建模竞赛论文应注意的问题：
1. 论文格式
论文的封面：
题目………
参赛队员：… … …
指导教师：……
单位：………
论文的第一页是摘要，第二页开始是论文的正文，论文要有以下几方面的内容：
一. 问题的提出
二. 问题的分析
三. 模型的假设
四. 模型的建立
五. 模型的求解
六. 模型的检验
七. 模型的修正
八. 模型的评估
九. 附录
以上各部分内容应该都是要具备的，但有些步骤可以合并在一起。

例如：问题的提出与问题的分析，模型的假设与模型的建立，模型的检验与模型的修正等。

下面就每一步以及建模过程中应注意的几个问题作一简要介绍。

2. 审题：赛题一般有两道(研究生的竞赛有4道题)，我们可以从中任选一道，这就面临选哪道题合适的问题。

因此，首先必需弄清题目的意义。

数学建模的题目有时很长，有时很复杂。

不易弄懂它的意义，一般要用几个钟头的时间才能弄清楚它的含义。

因此我们要求：
(1). 深刻理解题意
(2). 弄清题目的实际背景
(3) 正确选择题目，根据自身的特长和优势作出决定。

要注意不要被题目的繁长的叙述哧住，碰到长的题目要有耐心，要仔细的分析题目的各部分内容、条
件和要求。

3. 当选定题目后，接下来就应该是对题目进进一步的分析。

下面的几项工作是必需要做的：
(1). 在弄清问题的背景下，说清事情的来龙去脉。

(2). 列出必要的数据，题目所给的数据往往是不够的，还要寻找题目以外的数据。

(3). 列出和题目相关的各种条件和变量，分清各变量之间的主从关系。

(4). 给出研究对象的关键信息内容。

4 . 在分析问题的基础上，提出合理的假设
模型是在假设的前提下建立起来的。

对情景的说明不可能也不必要提供问题的每一个细节。

由题目所提供的假设来建立数学模型还是不够的，还要补充一些假设。

假设是建立数学模型很关键的一步，关系到模型的成败和优劣。

所以应该仔细地分析实际问题，从大量的变量中筛选出最能表现问题本质的变量，并简化它们的关系。

这部分内容就应该在论文的问题的假设部分中体现。

由于假设不是实际问题直接提供的，它因人而异，所以，在撰写这部分内容时要注意以下几个方面：
(1) 论文中的假设要以严格、确切的数学语言来表达，使读者不致产生任何曲解。

(2) 所提出的假设确实是建立数学模型所必需的，与建立数学模型无关的假设只会扰乱读者的思考
(3) 假设应该是合理的；怎样的假设才是合理的呢？a .假设应合乎生活常识。

b. 假设不能与已知的科学定律相悖。

c. 假设必需是对建模有用的。

d. 尽量使用数学的语言。

e. 假设不要超出题目要求的范围。

假设这一步是数学建模的一个难点，它关系到建模的成败和优劣，数学建模的假设就是要发挥每个人的想象力和创造力，提出适当的、合理的、有创新的见解。

如果这一步成功了，那么你的整个建模过程也就成功了一半。

5 在假设的基础上下一步当然就是模型的建立。

在建立模型之前要引进变量及其记号。

每个字母所表达的确切含义。

经过抽象，确切表达各变量之间的关系，用一定的数学方法，建立起方程式或归纳为其它形式的数学关系式，如图形、表格等。

在建模过程中要注意以下几个问题：
(1) 要用分析和论证的方法，让读者清楚地了解得到建模的过程。

(2) 上下文之间切忌逻辑推理过程中跃度过大，影响论文的说服力。

(3) 需要推理和论证的地方，应该有推导过程且应该力求严谨。

引用现成定理时，要先验证满足定理的条件。

论文中用到的各种数学符号，必须在第一次出现时加以说明。

6. 模型的求解
把实际问题归结为一定的数学问题后，就要求解或进行分析，数学模型的求
解多数是数值求解。

在求解时应对计算方法有所说明。

使用何种数学软件，给出计算程序(通常以附录形式给出)。

有时还用图形或表格形式表出计算结果。

有些模型还要作稳定性或灵敏度分折。

7. 模型的检验
数学模型未必都是正确的，这就需要检验，如何检验
(1) 检验是否符合生活常识；
(2) 用己给的数据检验；
(3) 用分析推理检验。

8. 模型的评估
(1) 模型的优缺点对自已建立的模型要有正确的评价，既要实事求是，不要过分谦虚，也不要过分誇张。

(2) 模型的推广,模型的适用范围。

对所作的模型，可以作多方面的讨论，例如可以就不同的情景，探索模型将如何变化；也可以根据实际情况，改变文章中的某些假设，指出由此引起数学模型的变化。

还可以用不同的数值方法进行计算，并比较所得结果。

甚至可以拓广思路，考虑由于建模方法的不同选择而引起的变化。

9. 论文写作中语言表述应注意的问题。

语言是构成论文的基本元素，数学模型论文的语言与其他科学论文的语言一样，要求达意、精炼，不要把一个句子写得太长，使人不甚辛读。

语言中应多用客观陈述句，切忌使用你、我、他等代名词和带主观意向的语句。

要特别注意以下几点：
(1) 语言要简炼清晰，不要用含糊不清、莫临两可的语言。

(2) 不要随意造句。

(3) 不要用倒装句
(4) 要通俗易懂
10. 如何写论文摘要
竞赛论文要求写论文摘要，摘要放在论文写完最后写。

摘要不是提纲，摘要应把论文的主要思想方法、结论和模型的特色讲清楚。

让人看到论文的新意。

摘要是给读者和评阅专家的第一印象，直接影响到能否获奖的重要因素。

从98年开始，由于参赛规模的不断扩大，为了节省阅卷时间和质量，规定论文摘要写祥细一些(研究生的也一样)。

即评阅论文时，先看摘要，如果看了你论文的摘要, 认为这篇文章不值得参加评奖，则就被打掉。

因此希望大家要十分重视论文摘要的写作。

最后论文要用计算机打印出来，装订好连同电子版上缴，论文一律用A4打印。

数学建模竞赛为大学生(研究生)提供了一个表达聪明才智的舞台。

你们有这样的机会应该感到高兴。

希望大家发扬赶想、赶干，勇于创新，不畏困难的精神。

多用形象思维的方法。