数字信号处理课后答案-史林版-科学出版社

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数字信号处理教程课后习题及答案

试判断系统是否是线性的?是否是移不变的?
分析：已知边界条件，如果没有限定序列类型（例如因果序列、反因果序列等），则递推求解必须向两个方向进行（n ≥ 0 及 n < 0）。
解 : (1) y1 (0) = 0 时， (a) 设 x1 (n) = δ (n) ，
按 y1 (n) = ay1 (n − 1) + x1 (n) i) 向 n > 0 处递推，
10
T [ax1(n)+ bx2 (n)] =
n
∑
[ax1
(n
)
+
bx2
(n
)]
m = −∞
T[ax1(n) + bx2(n)] = ay1(n) + by2(n)
∴ 系统是线性系统
解：(2) y(n) =
[x(n )] 2
y1(n)
= T [x1(n)] = [x1(n)] 2
y2 (n) = T [x2 (n)] = [x2 (n)] 2
β α
n +1
β α β =
n +1− N −n0
N−
N
α −β
y(n) = Nα n−n0 ,
(α = β )
, (α ≠ β )
如此题所示，因而要分段求解。
2 .已知线性移不变系统的输入为 x( n ) ,系统的单位抽样响应
为 h( n ) ,试求系统的输出 y( n ) ,并画图。
(1)x(n) = δ (n)
当n ≤ −1时当n > −1时
∑ y(n) = n a −m = a −n
m=−∞
1− a
∑ y(n) =
−1
a−m =

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第一章作业题答案############################################################################### 1.2一个采样周期为T 的采样器，开关导通时间为()0T ττ<<，若采样器的输入信号为()a x t ，求采样器的输出信号()()()a a x t x t p t ∧=的频谱结构。

式中()()01,()0,n p t r t n t r t ττ∞=-∞=-≤≤⎧=⎨⎩∑其他解：实际的采样脉冲信号为：()()n p t r t n τ∞=-∞=-∑其傅里叶级数表达式为：()000()jk tn p t Sa k T eTωωτω∞=-∞=∑采样后的信号可以表示为：()()()ˆa a xt x t p t δ= 因此，对采样后的信号频谱有如下推导：()()()()()()()()()()()()()0000000000000ˆˆsin 1j t a a jk t j t a n jk t j t a k j k ta k ak a k X j x t e dtx t Sa k T e e dtTSa k T x t e e dtTSa k T x t edtTSa k T X j jk Tk T X j jk T kωωωωωωωωτωωτωωτωωτωωωωωω∞--∞∞∞--∞=-∞∞∞--∞=-∞∞∞---∞=-∞∞=-∞∞=-∞Ω=====-=-⎰∑⎰∑⎰∑⎰∑∑%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 1.5有一个理想采样系统，对连续时间信号()a x t 进行等间隔T 采样，采样频率8s πΩ=rad/s ，采样后所得采样信号()a x t ∧经理想低通滤波器()G j Ω进行恢复，已知()41/4,,4G j ππ⎧Ω≤⎪Ω=⎨Ω>⎪⎩今有两个输入信号12()cos(2)()cos(5)a a x t t x t t ππ==和，对应的输出信号分别为12()()a a y t y t 和，如题1.5图所示，问12()()a a y t y t 、有没有失真，为什么？题1.5图理想采样系统与恢复理想低通滤波器解：因为是理想采样系统，因此采样后的信号频谱可以表示为：()()1ˆa a s k X j X j jk T ∞=-∞Ω=Ω-Ω∑8s πΩ=，12πΩ=，25πΩ=，折叠频率为2s Ω，而滤波器对4πΩ≤的信号通过，因此有如下图：结论：1）1()a y t 不失真、2()a y t 失真。

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数字信号处理习题答案

部分练习题参考答案第二章2.1 )1(2)(3)1()2(2)(-+++-+=n n n n n x δδδδ)6()4(2)3()2(-+-+-+-+n n n n δδδδ2.2 其卷积过程如下图所示)5(5.0)4()3()2(5.2)1(5)(2)(-------+-+=n n n n n n n y δδδδδδ2.3 （1）3142,73==ωππω这是有理数，因此是周期序列。

周期N =14。

（2）k kp ππ168/12==，k 取任何整数时，p 都不为整数，因此为非周期序列。

（3）k kp k k p 45.02,5126/5221====ππππ，当p 1，p 2 同时为整数时k =5,x (n )为周期序列,周期N =60。

（4）k kp πππ25.16.12==，取k =4，得到p =6，因此是周期序列。

周期N =6。

2.4 （1） ∑∞-∞=-=*=m m n R m Rn h n x n y )()()()()(45(a) 当n <0 时，y (n )=0-0.5 -1 2.55h (m ) x (m ) 00 mm-121 0.51 2 h (0-m)m-121 h (-1-m)m-12 1h (1-m) 0m-121y (n )n-12(b) 当30≤≤n 时，11)(0+==∑=n n y nm(c) 当74≤≤n 时，n n y n m -==∑-=81)(34(d) 当n>7时，y (n )=0所以74307081)(≤≤≤≤><⎪⎩⎪⎨⎧-+=n n n n n n n y 或（2）)2(2)(2)]2()([)(2)(444--=--*=n R n R n n n R n y δδ )]5()4()1()([2-----+=n n n n δδδδ（3）∑∞-∞=--=*=m mn m n u m Rn y n x n y )(5.0)()()()(5∑∞-∞=--=m mnm n u m R )(5.0)(5.05(a) 当n <0 时，y (n )=0(b) 当40≤≤n 时，nn nnm mnn y 5.0221215.05.05.0)(1-=--==+=-∑(c) 当5≥n 时，nnm mnn y 5.03121215.05.05.0)(54⨯=--==∑=-最后写成统一表达式：)5(5.031)()5.02()(5-⨯+-=n u n R n y nn（4）∑∞-∞=-=*=m mn m Rn h n x n y 5.0)()()()(3(a) 当n ≤0 时，y (n )=0(b) 当31≤≤n 时，nnnn m mnn y 5.0121215.05.05.0)(1-=--==∑-=- (c) 当54≤≤n 时，25.05.01621)21(25.05.05.0)(6232-⨯=--==---=-∑nnn nn m mnn y(d) 当n ≥6时，y (n )=0)5(25.0)4(75.0)3(875.0)2(75.0)1(5.0)(-+-+-+-+-=n n n n n n y δδδδδ2.6 （1）非线性、移不变系统（2）线性、移不变系统（3）线性、移变系统（4）非线性、移不变系统（5）线性、移变系统2.7 （1）若∞<)(n g ，则稳定，因果，线性，时变（2）不稳定，0n n ≥时因果，0n n <时非因果，线性，时不变（3）线性，时变，因果，不稳定 2.8 （1）因果，不稳定（2）因果，稳定（3）因果，稳定（4）因果，稳定（5）因果，不稳定（6）非因果，稳定（7）因果，稳定（8）非因果，不稳定（9）非因果，稳定（10）因果，稳定2.9 因为系统是因果的，所以0)(,0=<n h n令)()(n n x δ=，)1(5.0)()1(5.0)()(-++-==n x n x n h n h n y 1)1(5.0)0()1(5.0)0(=-++-=x x h h15.05.0)0(5.0)1()0(5.0)1(=+=++=x x h h 5.0)1(5.0)2()1(5.0)2(=++=x x h h25.0)2(5.0)3()2(5.0)3(=++=x x h h 15.0)1(5.0)()1(5.0)(-=-++-=n n x n x n h n h所以系统的单位脉冲响应为)1(5.0)()(1-+=-n u n n h n δ 2.10 （1）初始条件为n <0时，y (n )=0设)()(n n x δ=，输出)(n y 就是)(n h 上式可变为)()1(5.0)(n n h n h δ+-=可得 11)1(5.0)0(=+-=h h 依次迭代求得5.00)0(5.0)1(=+=h h25.00)1(5.0)2(=+=h hnn h n h 5.00)1(5.0)(=+-=故系统的单位脉冲响应为)(5.0)(n u n h n= （2）初始条件为n ≥0时，y (n )=0)]()([2)1(n x n y n y -=-0,0)(≥=n n h2)]0()0([2)1(-=-=-x h h22)]1()1([2)2(-=---=-x h h 32)]2()2([2)3(-=---=-x h hnn h n h 2)1(2)(-=+=所以)1(2)(---=n u n h n2.11 证明（1）因为∑∞-∞=-=*m m n h m x n h n x )()()()(令m n m -='，则)()()'()'()()('n x n h m h m n x n h n x m *=-=*∑∞-∞=（2）利用（1）证明的结果有)]()([)()]()([)(1221n h n h n x n h n h n x **=**∑∞-∞=-*-=m m n h m n hm x )]()()[(12 ∑∑∞-∞=∞-∞=--=m k k m n h k hm x )()()(12交换求和的次序有∑∑∞-∞=∞-∞=--=**k m k m n hm x k h n h n h n x )()()()]()([)(1221∑∞-∞=-*-=k k n h k n x k h)]()()[(12)]()([)(12n h n x n h **=)()]()([21n h n h n x **=（3）∑∞-∞=-+-=+*m m n h m n hm x n h n h n x )]()()[()]()([)(2121∑∑∞-∞=∞-∞=-+-=m m m n hm x m n h m x )()()()(21)()()()(21n h n x n h n x *+*=2.12 ∑∞-∞=--=*=m mn Nm n u am Rn y n x n y )()()()()(∑∞-∞=--=m mNnm n u am Ra)()((a) 当n <0 时，y (n )=0(b) 当10-≤≤N n 时，11/11)/1(1)(11--=--==++=-∑a aa a aaan y n n nnm mn(c) 当N n ≥时，1)/1(1)/1(1)(111--=--==+-+-=-∑a aaa a aaan y N n n NnN m mn最后写成统一表达式：)(1)(11)(111N n u a aa n R a an y N n n N n ---+--=+-++2.13 )]4()([*)()()()(11--=*=n n n u n h n x n y δδ)()4()(4n R n u n u =--=)()()()()(421n u a n R n h n y n y n*=*= )4(1)(113141---+--=-++n u a aan R a an n n2.14 （1）采样间隔为005.0200/1==T)()82sin()(ˆ0nT t nT f t xn a -+=∑∞-∞=δππ)()8100sin(nT t nT n -+=∑∞-∞=δππ （2）)85.0sin()(ππ+=n n x数字频率πω5.0=，42=ωπ，周期N =42.15 （1）0)()(0n j n nj j eenn eX ωωωδ-∞-∞=-=-=∑（2）∑∑∞=-+-∞-∞=-==)(0)()(n nj n j n nj j eeen x eX ωωαωω∑∞=--=0)(0n nj eeωωα)(01ωωα---=j ee（3）∑∑∑∞=+-∞=--∞-∞=-===0)(0)()(n nj n nj nn nj j eeeen x eX ωαωαωω)(11ωαj e+--=（4）∑∑∞=--∞-∞=-==00cos )()(n nj nn nj j ne een x eX ωαωωω∑∑∞=----+---∞=-+=+=)()(0][21)(210000n nj j nj j nj nj nj n neeeeeeωωαωωαωωωααωαωαωωωαωωαωω2200)()(cos 21cos 111112100------+----+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=e e e e e e eeee j j j j j （5）nj N N n n nj j e n N en x eX ωωωπ--=∞-∞=-∑∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+==12cos 1)()( ∑∑-=---=-++=1212)(21N Nn nj nNjnNjN Nn nj eeeeωππω⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+--+--=+-+-+-------)()()()()()(1)1(1)1(211)1(ωπωπωπωπωπωπωωωNj NNj NNj Nj NN j NNj j Nj Nj eeeeee eee-0.92-0.380.920.38x (n ) 0nωωωωωωππωωN jj j j N j eN e eNeN eN 232)123()2cos(cos21cos12sin)2sin(------+--+=2.16 （1）⎰⎰⎰-==--πωπωππωωωπωπωπ2121)(21)(d jed jed eeH n h nj nj nj j⎪⎩⎪⎨⎧=--=为奇数为偶数n n n n nππ20)1(1（2）)sin()()()(011n n h n x n y ω=*=)cos()()()(022n n h n x n y ω-=*=2.17 （1）)(ωj e X -*（2）)]()([21ωωj j eX eX -*+（3）)]()([2122ωωjje X eX -+（4）)(2ωj eX2.18采样间隔为25.0=T ，采样频率π8=Ωs)(1t y a 没有失真，因为输入信号的频率π21=Ω小于π42=Ωs)(2t y a 失真，因为输入信号频率π52=Ω大于π42=Ωs第三章3．1 设)(ωj eX 和)(ωj eY 分别是)(n x 和)(n y 的傅里叶变换，试求下列序列的傅里叶变换：（1）)(0n n x - （2） )(*n x （3） )(n x - （4） )(*)(n y n x （5） )()(n y n x ∙ （6） )(n nx（7） )2(n x （8）)(2n x（9）⎩⎨⎧===奇数，偶数n n n x n x 0),2()(9解：（1） FT[)(0n n x -]=∑∞-∞=--n nj enn x ω)(0令0n n n -='，0n n n +'=，则FT[)(0n n x -]=)()(00)(ωωωj n j n n n j eX een x -∞-∞=+''-='∑（2） FT[)(*n x ]=)(*])([)(**ωωωj n nj n nj eX en x en x-∞-∞=-∞-∞=-∑∑==（3） FT[)(n x -]=∑∞-∞=--n nj en x ω)(令n n -='，则FT[)(n x -]=∑∞-∞=''n n j en x ω)()(ωj eX -=（4） FT[)(*)(n y n x ]=)(ωj e X )(ωj e Y证明 )(*)(n y n x =∑∞-∞=-m m n y m x )()(FT[)(*)(n y n x ]=∑∑∞-∞=-∞-∞=-n nj m em n y m x ω)]()([令m n k -=，则FT[)(*)(n y n x ]=mj k kj m eek y m x ωω-∞-∞=-∞-∞=∑∑)]()([=mj k m kj em x ek y ωω-∞-∞=∞-∞=-∑∑)()(=)(ωj eX )(ωj eY（5） FT[)()(n y n x ∙] =∑∞-∞=-n nj en y n x ω)()(=∑⎰∞-∞=-'-''n nj nj j ed eeY n x ωωππωωπ])(21)[(=ωπωωππω'∑⎰∞-∞='---'d en x e Y n nj j )()()(21=ωπωωππω''--'⎰d eX eY j j )()(21)(或者 FT[)()(n y n x ]=)(*)(21ωωπj j e Y eX（6）因为∑∞-∞=-=n nj j en x e X ωω)()(，对该式两边对ω求导，得到j en nx jd e dX n nj j -=-=∑∞-∞=-ωωω)()(FT[)(n nx ]因此 FT[)(n nx ]=ωωd e dX jj )(（7） FT[)2(n x ]=∑∞-∞=-n nj en x ω)2(令n n 2='，则FT[)2(n x ]=∑''-'取偶数n n j en x 2)(ω=nj nn en x n x ω21)]()1()([21-∞-∞=-+∑=])()([212121nj n nj nj n e n x een x ωπω-∞-∞=-∞-∞=∑∑+=)]()([21)21(21πωω-+j j eX eX或者FT[)2(n x ]=)()]()([21212121ωωωj j j eX eX eX =+（8） FT[)(2n x ]=∑∞-∞=-n nj en xω)(2利用（5）题结果，令)()(n y n x =，则FT[)(2n x ]=)(*)(21ωωπj j eX eX =ωπωωππω''--'⎰d eX eX j j )()(21)(（9） FT[)(9n x ]=∑∞-∞=-取偶数n n nj en x ω)2( 令∞≤'≤∞-='n n n ,2，则FT[)(9n x ]=)()(22ωωj n n n j eX en x ='∑∞-∞='-取偶数3．2 已知⎩⎨⎧≤<<=πωωωωω||,0||,1)(00j eX求)(ωj e X 的傅里叶反变换)(n x 。

《数字信号处理》课后答案

数字信号处理课后答案 1.2 教材第一章习题解答1. 用单位脉冲序列()n δ及其加权和表示题1图所示的序列。

解：()(4)2(2)(1)2()(1)2(2)4(3) 0.5(4)2(6)x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=+++-+++-+-+-+-+-2. 给定信号：25,41()6,040,n n x n n +-≤≤-⎧⎪=≤≤⎨⎪⎩其它（1）画出()x n 序列的波形，标上各序列的值；（2）试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示()x n 序列；（3）令1()2(2)x n x n =-，试画出1()x n 波形；（4）令2()2(2)x n x n =+，试画出2()x n 波形；（5）令3()2(2)x n x n =-，试画出3()x n 波形。

解：（1）x(n)的波形如题2解图（一）所示。

（2）()3(4)(3)(2)3(1)6() 6(1)6(2)6(3)6(4)x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=-+-+++++++-+-+-+-（3）1()x n 的波形是x(n)的波形右移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（二）所示。

（4）2()x n 的波形是x(n)的波形左移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。

（5）画3()x n 时，先画x(-n)的波形，然后再右移2位，3()x n 波形如题2解图（四）所示。

3. 判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。

（1）3()cos()78x n A n ππ=-，A 是常数；（2）1()8()j n x n e π-=。

解：（1）3214,73w w ππ==，这是有理数，因此是周期序列，周期是T=14；（2）12,168w wππ==，这是无理数，因此是非周期序列。

5. 设系统分别用下面的差分方程描述，()x n 与()y n 分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。

数字信号处理习题答案共59页文档

40、学而己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
数字信号处理习题答案
26、机遇对于有准备的头脑有特别的亲和力。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力量泉源之一，也是成功的利器之一。没有它，天才也会在矛盾无定的迷径中，徒劳无功。- -查士德斐尔爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯潘。

数字信号处理课后习题答案

（修正：此题有错，
(3)系统的单位脉冲响应而改变，是两个复序列信号之和）
(4)
（修正：随上小题答案
（修正：此图错误，乘系数应该为 0.5，输出端 y(n)应该在两个延迟器 D 之间）
1-25 线性移不变离散时间系统的差分方程为
(1)求系统函数； (2)画出系统的一种模拟框图； (3)求使系统稳定的 A 的取值范围。解：(1)
(2)
(3)
解：（1）
（2）
（3）
1-7 若采样信号 m(t)的采样频率 fs=1500Hz，下列信号经 m(t)采样后哪些信号不失真？ (1) (2) (3) 解：
(1)
采样不失真
(2)
采样不失真
(3)
，
采样失真
1-8 已知
,采样信号的采样周期为。
(1) 的截止模拟角频率是多少？
(2)将进行 A/D 采样后，如何？
（3）最小阻带衰减 5-4
由分式（5.39）根据 A 计算，如下：由表 5.1 根据过度带宽度计算窗口：
单位脉冲响应如下：
单位脉冲响应如下：
其中为凯泽窗。 5-5 答：减小窗口的长度 N，则滤波器的过度带增加，但最小阻带衰减保持不变。 5-6：图 5.30 中的滤波器包括了三类理想滤波器，包括了低通，带通和高通，其响应的单位
(1)
，
(2)
1-18 若当时
；时
(1)
，其中
(2) 证明：
，收敛域
,其中 N 为整数。试证明：，
(1) 令其中
，则 ,
(2)
,
1-19 一系统的系统方程及初时条件分别如下：，
(1)试求零输入响应，零状态响应，全响应； (2)画出系统的模拟框图解： (1)零输入响应

数字信号处理》课后作业参考答案

第3章离散时间信号与系统时域分析3．1画出下列序列的波形（2）1()0.5(1)n x n u n -=- n=0:8; x=(1/2).^n;n1=n+1; stem(n1,x);axis([-2,9,-0.5,3]); ylabel('x(n)'); xlabel('n');(3) ()0.5()nx n u n =-（）n=0:8; x=(-1/2).^n;stem(n,x);axis([-2,9,-0.5,3]); ylabel('x(n)'); xlabel('n');3.8 已知1,020,36(),2,780,..n n x n n other n≤≤⎧⎪≤≤⎪=⎨≤≤⎪⎪⎩,14()0..n n h n other n≤≤⎧=⎨⎩，求卷积()()*()y n x n h n =并用Matlab 检查结果。

解：竖式乘法计算线性卷积： 1 1 1 0 0 0 0 2 2）01 2 3 4）14 4 4 0 0 0 0 8 83 3 3 0 0 0 0 6 62 2 2 0 0 0 0 4 41 1 1 0 0 0 02 21 3 6 9 7 4 02 6 10 14 8）1x (n )nx (n )nMatlab 程序:x1=[1 1 1 0 0 0 0 2 2]; n1=0:8; x2=[1 2 3 4]; n2=1:4; n0=n1(1)+n2(1);N=length(n1)+length(n2)-1; n=n0:n0+N-1; x=conv(x1,x2); stem(n,x);ylabel('x(n)=x1(n)*x2(n)');xlabel('n'); 结果：x = 1 3 6 9 7 4 0 2 6 10 14 83.12 (1) 37πx （n ）=5sin(n) 解：2214337w πππ==，所以N=14 (2) 326n ππ-x （n ）=sin()-sin(n)解：22211213322212,2122612T N w T N w N ππππππ=========，所以(6) 3228n π-x （n ）=5sin()-cos(n) 解：22161116313822222()T N w T w x n ππππππ=======，为无理数，所以不是周期序列所以不是周期序列3.20 已知差分方程2()3(1)(2)2()y n y n y n x n --+-=，()4()nx n u n -=，(1)4y -=，(2)10,y -=用Mtalab 编程求系统的完全响应和零状态响应，并画出图形。

数字信号处理习题答案共59页文档

、机遇对于有准备的头脑有特别的亲和力。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力量泉源之一，也是成功的利器之一。没有它，天才也会在矛盾无定的迷径中，徒劳无功。- -查士德斐尔爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯潘。
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃

数字信号处理第3章答案史林赵树杰编著

第三章作业题答案作业：%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 3.2设()j X e ω是序列()x n 的离散时间傅里叶变换，利用离散时间傅里叶变换的定义及性质，求下列各序列的离散时间傅里叶变换。

（4）()(2)g n x n =解：利用DFT 的定义进行求解。

()22()()(2)()j j nn j nn jmm j G eg n ex n ex m eX eωωωωω+∞-=-∞+∞-=-∞+∞-=-∞====∑∑∑（这是一种错误的解法，正确的如下所示。

）()()()()()()2222222()()2(2)()1()1()21()()211221122j j nn j nj m n m n j nn jn j n n j j j j G eg n em nx n e x m ex n x n e x n e x n e X e X eX eX eωωωωωπωωπωωω+∞-=-∞+∞+∞--=-∞=-∞+∞-=-∞+∞-=-∞+====⎡⎤=+-⎣⎦⎡⎤=+⎣⎦=+=+-∑∑∑∑∑（注意，此处n 为奇数的项为零。

）%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 3.3试求以下各序列的离散时间傅里叶变换。

501()()(3)4nm x n n m δ∞==-∑解：利用DTFT 的定义和性质进行求解。

()50030()1()(3)41()(3)41()41114j j nn nj nn m nj nm n j mm j X ex n en m en m eeeωωωωωωδδ+∞-=-∞+∞∞-=-∞=+∞+∞-==-∞+∞-=-==-=-==-∑∑∑∑∑∑%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 3.4设()x n 是一有限长序列，已知0,1,2,3,4,51,2,0,3,2,1;()0,n x n =--⎧=⎨⎩其它它的离散时间傅里叶变换为()j X e ω。

数字信号处理第6章答案史林赵树杰编著

第六章练习题答案%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 6.3 设计一个满足下列指标要求的模拟低通巴特沃斯滤波器，并求出其系统函数的极点。

通带截止频率 2.1p f kHZ =，阻带截止频率8s f kHZ =，通带最大衰减0.5p dB α=，阻带最小衰减30s dB α=。

解：巴特沃斯模拟低通滤波器的设计步骤为：（1）根据模拟滤波器的设计指标p α,p Ω和s α,s Ω，由()式确定滤波器的阶数N 。

（2）由()式确定滤波器的3dB 截止频率c Ω。

（3）按照()式，求出N 个极点(1,2,,)k p k N =，将极点k p 代入式得滤波器的系统函数()a H s 。

****************2p p f πΩ= 2s s f πΩ= 取4N =3dB 截止频率：去归一化()()a n cs H s H =Ω %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 6.10 利用二阶模拟低通巴特沃斯滤波器，设计一个中心频率为020/rad s Ω=，通带3dB 带宽为4/B rad s =的模拟带通滤波器。

解: 根据滤波器的阶数N ，直接查表 6.3.1，得到归一化（1c Ω=）的极点(1,2,,)k p k N =和归一化的系统函数然后利用(6.3.9)式，得到3dB 截止频率为c Ω的巴特沃斯模拟低通滤波器的系统函数()a H s 。

()()a n c H s H s =Ω (6.3.9)*********************%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 6.12 设模拟滤波器的系统函数为：用脉冲响应不变法将()a H s 转换成数字滤波器的系统函数()H z ，并确定数字滤波器在ωπ=处的频谱混叠失真幅度与采样间隔T 的关系。

数字信号处理课后答案第6章

A2 s1
比较分子各项系数可知， A1、 A2应满足方程：
A1A1s2A2
1 A2 s1
a
解之得， A1=1/2， A2=1/2，所以
Ha
(s)
s
1/ 2 (a
jb)
s
1/ 2 (a
jb)
套用教材（6.3.4）式，得到
H (z)
2
Ak
k 1 1 es k T z 1
1/ 2 1 e(a jb)T z 1
2．设计一个切比雪夫低通滤波器，要求通带截止频率 fp=3 kHz，通带最大衰减αp=0.2 dB，阻带截止频率fs=12 kHz, 阻带最小衰减αs=50 dB。求出滤波器归一化系统函数G(p)和实际的Ha(s)。
解: （1）确定滤波器技术指标。 αp=0.2 dB, Ωp=2πfp=6π×103 rad/s αs=50 dB, Ωs=2πfs=24π×103 rad/s
fp=20 kHz，阻带截止频率fs=10 kHz， fp处最大衰减为3 dB，
阻带最小衰减as=15 dB。求出该高通滤波器的系统函数Ha(s)。
解: (1) 确定高通滤波器技术指标要求：
p=20 kHz, ap=3 dB fs=10 kHz, as=15 dB
(2) 求相应的归一化低通滤波器技术指标要求：套用图 5.1.5中高通到低通频率转换公式②， λp=1, λs=Ωp/Ωs，得到
sp
s p
2π 12103 2π 6103
2
将ksp和λsp值代入N的计算公式, 得
N lg17.794 4.15 lg 2
所以取N=5（实际应用中，根据具体要求，也可能取N=4，指标稍微差一点，但阶数低一阶，使系统实现电路得到简化）。

数字信号处理第八章答案史林赵树杰编著

第八章练习题答案%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 8.1 设线性时不变系统的输入序列为()x n ，输出序列为()y n ，其差分方程为 311()(1)(2)()(1)483y n y n y n x n x n =---++- 求其系统函数()H z ，并分别画出该系统的直接型、级联型和并联型算法结构。

解：移项 311()(1)(2)()(1)483y n y n y n x n x n --+-=+- Z 变换 121311()()()()()483y z y z z y z z x z x z z ----+=+112113()31148z H z z z---+=--+ （1）直接型 112113()31148z H z z z---+=--+ （2）级联型111113()11(1)(1)24z H z z z ---+=-- （3）并联型，将()H z 进行部分分式展开1()31111()()()()2424z H z A Bz z z z z +==+---- 111103()11223()()24z A z z z z +=-==--11173()11443()()24z B z z z z +=-==---111071073333()1111()()112424z z H z z z z z ----=+=+----%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 8.6 题8.6图画出了10中不同的系统算法结构流图，试分别求出它们的系统函数()H z 。

()x n ()y n (a)11()1H z az -=- 直接1型 1110.5()10.3H z z --+=-直接2型1-1-()x n ()y n (c)12()H z a bz cz --=++ 直接1型 1111()11H z az bz--=+-- 并联型，内直接1型 ()x n ()y n (e)11220.24()10.250.2z H z z z ---+=-- 转置型 1111()10.510.75H z z z --=-+ 级联型直接1型()x n ()y n (g)()x n ()y n (b)()x n ()yn (d)()x n ()y n(f)()x n ()y n (h)11210.25()10.250.4zH z z z ---+=-+直接2型 1123sin 4()312cos 4z H z z z---=-+直接分析图 ()x n ()y n 1a 1b 2a 2b 3a 1z-1z-1z -(i)120121211231()11b b z b z H z a z a z a z-----++=--- 级联型直接2型，右边分子项常数项不加负号直接1型右边分母项常数项加负号12101234121123()11b b z b z b b z H z a z a z a z ------+++=+--- 并联型直接2型题8.6图 10种不同系统的算法结构%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 8.14 已知FIR 数字滤波器的系统函数为 12341()(10.9 2.10.9)10H z z z z z ----=++++ 试画出该滤波器的直接型算法结构和线性相位算法结构。

数字信号处理课后答案

n=−∞
k =−∞
n '= −∞
（b）
∞
∞
∞
∞
∞
∑ (−1)n y[n] = ∑ (−1)n ∑ x[k]h[n − k] = ∑ x[k] ∑ (−1)nh[n − k]
n=−∞
n=−∞
k =−∞
k =−∞
n=−∞
∞
∞
∞
∞
∑ ∑ ∑ ∑ = x[k] (−1)n'+kh[n '] = x[k](−1)k (−1)nh[n]
y[1] = x[1]h[0] + x[0]h[1] + x[−1]h[2] + x[−2]h[3] = 5.5
1-10 关于 LTI 系统的实现，以下说法错误的是
（C）
（A）FIR 可以采用卷积和实现；
（B）FIR 可以采用有递归的差分方程实现；
（C）IIR 可以采用卷积和实现；
（D）IIR 可以采用有递归的差分方程实现。
= aT{x1[n]}+ bT{x2[n]},∴linear
T{x[n − n0 ] = x[n − n0 ]e jω0n ∗ h[n]
≠
y[n
− n0 ]
=
x[n −
n ]e jω0 (n−n0 ) 0
∗ h[n],∴time
−
var iant
if ( x[n]) finite,then(x[n]e jω0n ) finite,then ( y[n]) finite,∴ stable
k =−∞
n '=−∞
k =−∞
n=−∞
1-19 求图 T1-4 中两个序列的卷积 y [n] 。

信号处理习题答案

数字信号处理习题解答第二章数据采集技术基础有一个理想采样系统,其采样角频率Ωs =6π,采样后经理想低通滤波器H a j Ω还原,其中⎪⎩⎪⎨⎧≥Ω<Ω=Ωππ30321)(，，j H a 现有两个输入,x 1t =cos2πt ,x 2t =cos5πt ;试问输出信号y 1t ,y 2t 有无失真为什么分析：要想时域采样后能不失真地还原出原信号,则采样角频率Ωs 必须大于等于信号谱最高角频率Ωh 的2倍,即满足Ωs ≥2Ωh ; 解：已知采样角频率Ωs =6π,则由香农采样定理,可得因为x 1t =cos2πt ,而频谱中最高角频率πππ32621=<=Ωh ,所以y 1t 无失真；因为x 2t =cos5πt ,而频谱中最高角频率πππ32652=>=Ωh ,所以y 2t 失真;设模拟信号xt =3cos2000πt +5sin6000πt +10cos12000πt ,求：（1）该信号的最小采样频率；（2）若采样频率f s =5000Hz,其采样后的输出信号；分析：利用信号的采样定理及采样公式来求解;错误!采样定理采样后信号不失真的条件为：信号的采样频率f s 不小于其最高频率f m 的两倍,即f s ≥2f m错误!采样公式)()()(s nT t nT x t x n x s===解：1在模拟信号中含有的频率成分是f 1=1000Hz,f 2=3000Hz,f 3=6000Hz∴信号的最高频率f m =6000Hz由采样定理f s ≥2f m ,得信号的最小采样频率f s =2f m =12kHz 2由于采样频率f s =5kHz,则采样后的输出信号⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛====n n n n n n n n n n n f n x nT x t x n x s s nTt s522sin 5512cos 13512cos 10522sin 5512cos 35112cos 105212sin 5512cos 3562cos 10532sin 5512cos 3)()()(πππππππππππ 说明：由上式可见,采样后的信号中只出现1kHz 和2kHz 的频率成分,即kHzf f f kHzf f f ss 25000200052150001000512211======，，若由理想内插函数将此采样信号恢复成模拟信号,则恢复后的模拟信号()()t t t f t f t y ππππ4000sin 52000cos 132sin 52cos 13)(21-=-=可见,恢复后的模拟信号yt 不同于原模拟信号xt ,存在失真,这是由于采样频率不满足采样定理的要求,而产生混叠的结果;第三章傅里叶分析I. 傅里叶变换概述习题设序列xn=δn-m ,求其频谱Xe j ω,并讨论其幅频和相频响应分析：求解序列的频谱有两种方法：错误!先求序列的z 变换Xz ,再求频谱ωωj e z j z X eX ==)()(,即Xe j ω为单位圆上的z 变换；错误!直接求序列的傅里叶变换∑∞-∞=-=n nj j en x e X ωω)()(解：对序列xn 先进行z 变换,再求频谱,得m z m n ZT n x ZT z X -=-==)]([)]([)(δ则ωωωjm e z j e z X e X j -===)()(若系统的单位采样响应hn=xn ,则系统的频率响应)}(exp{)(1)()(ωϕωωωωωj e H e e e X e H j jm jm j j ====--•故其幅频和相频响应如图分别为幅频响应 1)(=ωj e H 相频响应 ωωϕm -=)(由图可见,该系统的频率响应具有单位幅值以及线性相位的特点; 设xn 的傅里叶变换为Xe j ω,试利用Xe j ω表示下列序列的傅里叶变换：（1）)1()1()(1n x n x n x --+-= （2） )]()([21)(2n x n x n x -+=*分析：利用序列翻褶后的时移性质和线性性质来求解,即)()(ωj e X n x ⇔,)()(ωj e X n x -⇔-)()(ωωj m j e X e n m x --⇔- 解：1由于)()]([ωj e X n x DTFT =,)()]([ωj e X n x DTFT -=-,则)()]1([ωωj j e X e n x DTFT --=- )()]1([ωωj j e X e n x DTFT -=--故ωωωωωcos )(2])[()]([1j j j j e X e e e X n x DTFT ---=+= 2由于)()]([ωj e X n x DTFT **=-故)](Re[2)()()]([2ωωωj j j e X e X e X n x DTFT =+=* 设Xe j ω是如图所示的信号xn 的傅里叶变换,不必求出Xe j ω,试完成下列计算：（1）)(0j e X（2） ⎰-ππωωd e X j )(（3） ωππωd e X j ⎰-2)(分析：利用序列傅里叶变换的定义以及帕塞瓦定理来求解; （1）序列的傅里叶变换公式为：正变换 ∑∞-∞=-=n nj j en x e X ωω)()(反变换 ⎰-=ππωωωπd e e X n x n j j )(21)(（2）帕塞瓦定理⎰∑-∞-∞==ππωωπd e X n x j n 22)(21)(解：1由傅里叶正变换公式可知ω=0,则6)()()(00===∑∑∞-∞=∞-∞=⋅-n n nj j n x en x e X2由于e j0=1,则由傅里叶反变换公式可知n=0,故πππωωππωππω422)(2)()(00====⋅=--⎰⎰n j j j n x d e e X d e X（3）由帕塞瓦定理,得ππωππω28)(2)(22==∑⎰∞-∞=-n j n x d e XII. 周期序列的离散傅里叶级数DFS如图所示,序列xn 是周期为6的周期性序列,试求其傅里叶级数的系数;分析：利用DFS 的定义求解,即∑-===1)(~)](~[)(~N n kn N W n x n x DFS k X ,其中k = 0 ~ N-1解：已知N = 6,则由DFS 的定义得k jk jk j k j k j n nk j n kn eeee e en x W n x k X 5624623622626250625061068101214)(~)(~)(~ππππππ-----=-=+++++===∑∑对上式依次取k = 0 ~ 5,计算求得339)5(~33)4(~0)3(~33)2(~339)1(~60)0(~j X j X X j X j X X +=-==+=-==，，，，设⎩⎨⎧≤≤+=n n n n x 其他，，0401)(,)2()(4-=n R n h令6))(()(~n x n x =,6))(()(~n h n h =,试求)(~n x 与)(~n h 的周期卷积;分析：可以利用列表法求解,直观方便;由于)(~)(~n x n y =错误!∑-=-=1)(~)(~)(~N m m n h m x n h 只要将列表中对应于某个n 的一行中的)(~m n h -值和第一行中与之对应的)(~m x 值相乘,然后再将所有乘积结果相加,就得到此n 的)(~n y 值解：注意：本题需要利用下一节中有限序列与周期序列的关系以及序．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．列循环移位的概念．．．．．．．．;．在一个周期N =6内的计算卷积值)(~)(~n x n y =错误!∑-=-=1)(~)(~)(~N m m n h m x n h 则)(~n x 与)(~n h 的周期卷积)(~n y 值n =0~5如下表所示：III. 离散傅里叶变换DFT已知xn 如图所示,为{1,1,3,2},试画出序列x-n 5,x-n 6 R 6n,xn 3R 3n,xn 6, xn-35R 5n 和xn 7 R 7n 的略图;分析：此题需注意周期延拓的数值,也就是xn N 中N 的数值;如果N 比序列的点数多,则需补零；如果N 比序列的点数少,则需将序列按N 为周期进行周期延拓,造成混叠相加形成新的序列; 解：各序列的略图如图所示;试求下列有限长序列的N 点离散傅里叶变换闭合形式表达式：（1）)()(n R a n x N n = （2）N n n n n x <<-=000)()(，δ （3）)()(n nR n x N = （4）)()(2n R n n x N = 分析：利用有限长序列的DFT 的定义,即10)()(10-≤≤=∑-=N k W n x k X N n knN ，解：1因为)()(n R a n x N n =,所以k Nj N N n nk Njn N n knNn aea ea Wa k X ππ2121011)(--=--=--===∑∑2因为N n n n n x <<-=000)()(，δ,所以k n Njn n knNN n knNeW W n n k X 002100)()(πδ-=-===-=∑3由)()(n nR n x N =,得∑-==10)(N n knN nW k X注意：为了便于求解．．．．．．,．必须利用代数简化法消除．．．．．．．．．．．掉上式中的变量．．．．．．．n ．;．∑-=+=10)1()(N n n k N kNnW k X W NW W N WN W N W N W W W N W W W nW nWW k X kNk N N n knNkNN N k N k N k N N k N k N k N k N N n n k N N n kn Nk N-=--+--=+--=-+-+++--++++=-=-∑∑∑-=---=+-=11)1()1(])1()2(2[])1(32[)1)((11)1(32)1(321)1(1则所以kNW Nk X --=1)( 4注意：本题可利用上题的结论来进行化简．．．．．．．．．．．．．．．;．由)()(2n R n n x N =,则∑-==102)(N n knN W n k X根据第3小题的结论：若)()(1n nR n x N = 则kNN n kn N W NnW k X --==∑-=1)(11 与上题同理,得kNN n knNN n knNkNN N k N k N k N N k N k N k N k N N n n k N N n kn Nk NW NN N k X N N nW N N W n N W N W N W W W N W W W W n Wn W k X ----=+--=+--=-+--=-+-+++--++++=-=-∑∑∑∑-=-=---=+-=12)2()(2)2(2)2()12()1(])1()2(4[])1(94[)1)((1111122)1(232)1(23210)1(2102所以10)1()2()(22-≤≤---=N k W N W N N k X k N kN ，试画出图示的两个有限长序列的六点循环卷积;分析：本题可以直接利用循环卷积的公式求解,也可以利用循环移位的概念来求解,即：有限长序列xn 左移mm 为正整数位的循环移位定义为)())(()(n R m n x n x N N m +=且移位时,在主值区间n =0~N-1内,当某序列值从区间的一端移出时,与它同值的序列值又从区间的另一端移入; 解：由循环卷积的定义,可知)()(1n x n y =错误!612))(([)(n x n x =错误!)(]))((662n R n x61))(([n x =错误!)(]))3((366n R n -δ )())3((3661n R n x -=则根据循环移位的概念,将序列x 1n 循环右移3个单位后乘以3并取其主值序列n =0~5即可,其结果如图所示;如图所示的5点序列xn ,试画出：（1） x nxn （2） x n 错误!xn （3） x n 错误!xn分析：本题可由图解法来计算循环卷积,并利用循环卷积来求解线性卷积;同时应注意循环卷积代替线性卷积的条件：设两个有限长序列xn 、hn 的点数分别为N 和M ,其循环卷积的长度为L ,则要用循环卷积代替线性卷积的条件是：循环卷积的长度L 必须不小于线性卷积的长度N +M-1,即L ≥N +M-1否则,在循环卷积周期延拓时会产生混叠;解：由于xn 是5点序列,所以xn xn 是5+5-1=9点序列,因此,xn 错误!xn 的前9个点n =0,1,…,8就是xn xn 值,后一个点n =9为零,因为L点循环卷积等于线性卷积结果的L 点周期延拓、混叠相加后的主值区间内的序列L 可以是任意整数值;其运算结果分别如图a 、b 、c 所示;已知两个有限长序列为⎩⎨⎧≤≤≤≤-=⎩⎨⎧≤≤≤≤+=651401)(640301)(n n n y n n n n x ，，，，试作图表示xn ,yn 以及fn =xn 错误!yn ; 分析：直接利用循环卷积公式或图解法求解; 解：其结果如图所示;习题已知xn 是N 点有限长序列,且Xk = DFT xn ;现将它补零扩展成长度为rN 点的有限长序列yn ,即⎩⎨⎧-≤≤-≤≤=1010)()(rN n N N n n x n y ，，试求rN 点DFT yn 与Xk 的关系; 分析：利用DFT 定义求解;yn 是rN 点序列,因而结果相当于在频域序列进行插值; 解：由10)()]([)(102-≤≤==∑-=-N k en x n x DFT k X N n nk Nj ，π可得110)()()()]([)(10211-==⎪⎭⎫⎝⎛=====∑∑∑-=--=-=N l lr k r k X en x W n x Wn y n y DFT k Y N n rk n N jnkrN N n rN n nk rN，，，，， π所以在一个周期内,Yk 的采样点数是Xk 的r 倍Yk 的周期为rN ,相当于在Xk 的每两个值之间插入r-1个其它的数值不一定为零,而当k 为r 的整数l 倍时,Yk 与⎪⎭⎫⎝⎛r k X 相等; 习题频谱分析的模拟信号以8kHz 被采样,计算了512个采样点的DFT,试确定频谱采样之间的间隔,并证明你的回答; 分析：利用频域采样间隔F 0和时域采样频率f s 以及采样点数N 的关系f s =N F 0;证：由ππ2200Ω=Ω=F f s s ，得0ΩΩ=ss F f 其中Ωs 是以角频率为变量的频谱周期,Ω0是频谱采样之间的频谱间隔;又N F f ss =ΩΩ=00 则Nf F s=0 对于本题有f s =8kHz,N =512 所以 Hz F 625.1551280000==习题设有一个频谱分析用的信号处理器,采样点数必须为2的整数幂,假定没有采用任何特殊数据处理措施,要求频率分辨力≤10Hz,如果采用的采样时间间隔为,试确定：（1）最小记录长度；（2）所允许处理信号的最高频率；（3）在一个记录中的最小点数; 分析：采样间隔T 和采样频率f s 满足f s =1/T ,记录长度T 0和频域分辨力F 0的关系为T 0=1/ F 0,采样定理为f s ≥2f h f h 为信号最高频率分量,一个记录中最少的采样总数N 满足002F f F f T T N hs ≥==解：1因为T 0=1/ F 0,而F 0≤10Hz,所以s T 1010≥即最小记录长度为; 2因为kHz T f s 10101.0113=⨯==,而f s ≥2f h 所以kHz f f s h 521=≤即允许处理信号的最高频率为5kHz; 31000101.01.030=⨯≥=T T N 又因N 必须为2的整数幂所以一个记录中的最少点数为N =210=1024; IV. 快速傅里叶变换FFT如果一台通用计算机的速度为平均每次复乘5μs,每次复加μs,用它来计算512点的DFT xn ,问直接计算需要多少时间,用FFT 运算需要多少时间分析：错误!直接利用DFT 计算：复乘次数为N 2,复加次数为NN-1；错误!利用FFT 计算：复乘次数为N N2log 2,复加次数为N N 2log ；解： 1直接计算复乘所需时间s N T 31072.151210*********=⨯⨯=⨯⨯=-- 复加所需时间s N N T 130816.0)1512(512105.0)1(105.0662=-⨯⨯⨯=-⨯⨯⨯=--所以s T T T 441536.121=+=2用FFT 计算复乘所需时间s N N T 01152.0512log 2512105log 210526261=⨯⨯=⨯⨯=-- 复加所需时间s N N T 002304.0512log 512105.0log 105.026262=⨯⨯=⨯⨯=-- 所以s T T T 013824.021=+=已知Xk ,Yk 是两个N 点实序列xn ,yn 的DFT 值,今需要从Xk ,Yk 求xn ,yn 的值,为了提高运算效率,试用一个N 点IFFT 运算一次完成;分析：我们来组成一个新的序列Xk +j Yk 序列,则有)()()]([)]([)]()([n jy n x k Y jIDFT k X IDFT k jY k X IDFT +=+=+它的实部即为实序列xn ,虚部即为实序列yn ; 解：依据题意,可知)()()()(k Y n y k X n x ⇔⇔，取序列)()()(k jY k X k Z +=对Zk 作N 点IFFT 可得序列zn ;又根据DFT 线性性质)()()]([)]([)]()([n jy n x k Y jIDFT k X IDFT k jY k X IDFT +=+=+由原题意可知,xn ,yn 都是实序列; 再根据zn = xn +j yn ,可得)](Im[)()](Re[)(n z n y n z n x ==习题, N =16时,画出基-2按时间抽取法DIT 及按频率抽取法DIF 的FFT 流图时间抽取采用输入倒位序,输出自然数顺序,频率抽取采用输入自然顺序,输出倒位序; 分析：错误!DIF法与DIT 法的异同：不同点：DIT 与DIF 的基本蝶形图不同,DIF 的复数乘法出现在减法之后,DIT 的复数乘法出现在减法之前；相同点：DIT 与DIF 的运算量是相同的；错误!DIF法与DIT 法的关系：它们的基本蝶形是互为转置的;解：1按时间抽取DIT 如图所示2按频率抽取DIF 如图所示课堂思考题若)(),(21n x n x 是因果稳定序列,求证：⎰⎰⎰---=ππωππωππωωωπωπωπ})(21}{)(21{)()(212121d e X d e X d e X e X j j j j证：设)()()(21n x n x n y *= 则由时域卷积定理,得)()()(21ωωωj j j e X e X e Y =即⎰⎰--===*ππωωωππωωωπωπd e e X e X d e e Y n y n x n x n j j j n j j )()(21)(21)()()(2121令上式的左右两边n=0,得)0()0()()()()()()(2121002102121x x k n x k x n x n x d e X e Xn n k n j j ⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=*====-∑⎰ππωωωπ又傅里叶反变换公式,得⎰-=ππωωωπd e e X n x n j j )(21)(11,⎰-=ππωωωπd e e X n x n j j )(21)(22则⎰-=ππωωπd e X x j )(21)0(11,⎰-=ππωωπd e Xx j )(21)0(22所以⎰⎰⎰---=ππωππωππωωωπωπωπ})(21}{)(21{)()(212121d e X d e X d e X e X j j j j课堂思考题在N =16时按时间抽取的基-2FFT 算法中,若输入序列xn 采用倒位序,输出序列Xk 采用自然数顺序,试写出输入序列xn 的排列顺序,并简述理由;答：N =16的基-2FFT 算法中,输入序列xn 倒位序排列顺序为x 0、x 8、x 4、x 12、x 2、x 10、x 6、x 14、x 1、x 9、x 5、x 13、x 3、x 11、x 7、x 15;其倒位序排序规则如表所示：第五章时域分析随机相位正弦波)sin()(0ϕω+=t x t x式中,x 0,ω均为常数,φ在0~2π内随机取值,试求其自相关函数并作图; 分析：利用自相关函数的定义求解,即⎰+=∞→TT xx dt t x t x T R 0)()(1lim)(ττ 解：由自相关函数的定义式,得[]()ωταωτααωταπτπωαωαϕωϕτωϕωττϕπϕπcos 2sin cos sin cos sin 2lim )(21)(sin )sin(1lim )()(1lim )(202202/2/200x d x R T d dt t dt t t x T dtt x t x T R T xx T T T TT xx =+====++++=+=⎰⎰⎰++-∞→-∞→∞→故且则令，可见,该随机相位正弦波的自相关函数只与角频率ω有关,而不含相．．．位信息．．．,这表明：正弦函数的自相关函数为失去了相位信息的同频率余弦函数;其自相关函数图形如图所示;两个随机相位正弦波)sin()()sin()(00ϕθωθω-+=+=t B t y t A t x式中,A 0, B 0,ω, φ均为常数,θ在0~2π内的取值概率相同,即满足R xx ττx 02/2⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它，，02021)(πθπθp 试求其互相关函数并作图; 分析：利用互相关函数的定义求解,即⎰+=∞→TT xy dt t y t x T R 0)()(1lim)(ττ 解：由互相关函数的定义式,得[])cos(21)(sin )sin(21)()(1lim)(0020000ϕωτθϕθτωθωπττπ-=-+++=+=⎰⎰∞→B A d t t B A dt t y t x T R TT xy 可见,两个正弦函数的互相关函数仍为同频率的余弦函数,其最大峰值出现在τ=φ/ω处;其互相关函数图形如图所示;第六章数字滤波器设计已知模拟滤波器的模方函数R xyττφ/ω)16)(9()4(20)(22222Ω+Ω+Ω-=Ωj H 求模拟滤波器的传递函数;分析：利用模拟滤波器的模方函数|Hj Ω|2与其传递函数H s 之间的关系式求解,即Ω=Ω=-==Ωj s j s s H s H s H j H )()()()(22解：将s=j Ω,即Ω2 = s 2代入|Hj Ω|2,得())4)(4)(3)(3()2()2(52)16)(9()4(20)()()(22222222-+-+-+=--+=-=s s s s j s j s s s s s H s H s H 可见,系统有四个极点s 1, 2=±3,s 3, 4=±4和两对零点z 1, 2=±j2;为了得到一个稳定的滤波系统,则将左半平面的极点分配给H s ；并取虚轴上的一对共轭零点作为H s 的零点,以保证H s 收敛,故模拟滤波器的传递函数为)4)(3()2)(2(52)(++-+=s s j s j s s H试设计一个巴特沃思BW 低通模拟滤波器,使滤波器的幅度响应在通带截止频率105rad/s 处的衰减不大于3 dB,在阻带截止频率4×105 rad/s 处的衰减不小于35 dB;分析：按照§中所述的巴特沃思低通滤波器的设计过程来实现;错误!先确定滤波器的阶数N由于公式1()()()()()()λλααγααγλγ，求解令令⇒⎪⎭⎪⎬⎫+ΩΩ+=Ω=+ΩΩ+=Ω=ΩΩ=ΩΩ=22221lg 10]1lg[10)(1lg 10]1lg[10)(NNcscp Nc s s s N c p p p 则滤波器的阶数公式2()()s p N ΩΩ≥lg /lg λγ注意：N 为正整数且截止频率公式3s N c pN c Ω=ΩΩ=Ω--/1/1λγ或错误!求解位于左半S 平面上的极点公式4()N k es NN k j c k 2,,2,1212 =Ω=-+，π错误!确定N 阶巴特沃斯低通滤波器的传递函数公式5()()()()N N cNk kN c s s s s s s s s s H ---Ω=-Ω=∏= 211)( 解：错误!先确定滤波器的阶数N由题意可知,Ωp =105rad/s 时,通带最大衰减αp =3 dBΩs =4×105rad/s 时,阻带最小衰减αs =35 dB则代入公式1,求得参数γ和λ()()()()⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧+=+=⇒⎪⎩⎪⎨⎧+=Ω=+=Ω=2.5611lg 10351lg 1031lg 10)(1lg 10)(2222λγλγλααγααs s p p 将参数γ、λ、Ωp 和Ωs 代入公式2,则滤波器的阶数()()39.2lg /lg =⇒=ΩΩ≥N N s p 取λγ将参数N 、γ和Ωp 代入公式3,可得截止频率s rad p p N c /105/1=Ω=Ω=Ω-γ错误!求解位于左半S 平面上的极点将参数Ωc 和N 代入公式4,得极点()3,2,13/)1(212=Ω=Ω=+-+k ee s k j c NN k j c k ，ππ即2/)31(2/)31(3/4323/21c j c cj c c j c j e s e s j e s Ω--=Ω=Ω-=Ω=Ω+-=Ω=πππ错误!确定巴特沃斯低通滤波器的传递函数H s将参数N 、Ωc 和s k 代入公式5,得巴特沃斯低通滤波器的传递函数式中Ωc =105rad/s()()()()322333213122)(cc c cc Nk kN c s s s s s s s s s s s s H Ω+Ω+Ω+Ω=---Ω=-Ω=∏= 试导出二阶巴特沃斯低通滤波器的系统函数,设Ωc =3 rad/s; 分析：本题利用模方函数求出其左半S 平面极点,而求得系统函数;N 阶巴特沃斯低通滤波器的模方函数定义为()Nc j j j H 2211)(ΩΩ+=Ω在上式中代入j Ω= s,可得()Nc j s s H s H 211)()(Ω+=- 而HsH-s 在左半S 平面的极点即为Hs 的极点,因此()∏=-=Nk ks s k s H 1)(其中()N k es NN k j c k ,,2,1212 =Ω=-+，π,k 0由1)(0==s s H 来确定;注意：可以证明,系数k 0=Ωc N ;解：对于二阶N =2巴特沃斯低通滤波器,其模方函数为()()4221111)(c Nc j j j j j H ΩΩ+=ΩΩ+=Ω令j Ω= s,则有()411)()(c j s s H s H Ω+=- 各极点满足()()4,3,2,1412212=Ω=Ω=+-+k ees k j c NN k j c k ，ππ则k =1, 2时,所得的s k 位于左半S 平面,即为Hs 的极点223223223223452431jes j e s j c j c --=Ω=+-=Ω=ππ 由以上两个极点构成的系统函数为()()923)(20210++=--=s s k s s s s k s H代入条件1)(0==s s H ,可得k 0 =9 注：k 0 =Ωc 2,故二阶巴特沃斯低通滤波器的系统函数9239)(2++=s s s H试导出三阶巴特沃斯低通滤波器的系统函数,设Ωc =2 rad/s; 分析：与习题6. 3同理,利用模方函数求出其左半S 平面极点,而求得系统函数;解：对于三阶N =3巴特沃斯低通滤波器,其模方函数为()()6221111)(c Nc j j j j j H ΩΩ+=ΩΩ+=Ω 令j Ω= s,则有()611)()(c j s s H s H Ω+=-各极点满足()()6,,2,1231212 ==Ω=+-+k ees k j NN k j c k ，ππ不难得知,当k =1, 2, 3时,相应的极点s k 均位于左半S 平面;则滤波器的系统函数Hs 的极点312223123432321j es e s j es j j j --==-==+-==πππ因此,三阶巴特沃斯低通滤波器的系统函数为()()()8848)(233213+++=---Ω=s s s s s s s s s s H c设模拟滤波器的系统函数为22)()(ba s as s H +++=试利用冲激响应不变法,设计IIR 数字低通滤波器;示解：将H s 展开成部分分式,得jba s jb a s b a s a s s H -++++=+++=2/12/1)()(22对H s 取拉氏反变换,得tjb a t jb a ee t h )()(2121)(--+-+=对ht 作周期为T 的等间隔采样,得[]nT jb a nTjb a nT t e e t h n h )()(21)()(--+-=+== 对hn 取Z 变换,得IIR 数字低通滤波器的系统函数为22111)(1)(0)cos 2(1)cos (1111121)()(----------+-∞=-+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-==∑z e z bT e zbT e z e z e z n h z H aT aT aTT jb a T jb a n n设有一模拟滤波器()11)(2++=s s s H采样周期T =2,试用双线性变换法将它转变为数字系统函数Hz ; 分析：双线性变换法是模拟系统函数的S 平面和数字系统函数的Z 平面之间是一一对应的关系,消除了频谱的混叠现象,其变换关系为11112--+-=z z T s 解：将T =2代入变换公式,可得1111--+-=zz s 则数字系统函数()121112111131111111)()(11------+-=++=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-==--z z z z z z s H z H z z s用双线性变换法设计一个数字低通滤波器,采样频率f s = ,截止频率f c = 400Hz;分析：按照§中所述的采用双线性变换法的设计过程来实现;错误!利用关系式ω=T Ω将给定的模拟域频率指标转化为数字域频率指标错误!利用如下的预畸变补偿公式将数字域频率指标变换为补偿．．后的．．模拟域频率指标 ⎪⎭⎫⎝⎛=Ω'2tan 2ωT 错误!按补偿后的．．．．模拟域频率指标设计三阶巴特沃斯模拟滤波器Hs 参见例6.2.4错误!利用双线性变换公式,将模拟滤波器Hs 变换为数字滤波器Hz ,即11112)()(--+-==z z T s s H z H T ．为采样周期．．．．．解：此数字滤波器的截止频率3212001400212πππω=⨯⨯==Ω=s cc c f f T 由预畸变补偿,得相应的模拟滤波器的截止频率s s c c f f T 323tan 22tan 2==⎪⎭⎫⎝⎛=Ω'πω 由习题6. 4可知,三阶巴特沃斯模拟滤波器的系统函数()()()3213)(s s s s s s s H c---Ω'=其中,滤波器的系统函数Hs 的极点πππ3432321j c j c j c es e s es Ω'=Ω'=Ω'=，，故有3223322)(cc c cs s s s H Ω'+Ω'+Ω'+Ω'= 将双线性变换公式和s c f 32=Ω'代入,可得三阶巴特沃斯数字滤波器的系统函数312111213131313211221212313313112112)1(33)1)(1(6)1()1(32)1()1(33)1()1)(1()2(2)1()1()2(2)1()2()1()()()(1111--------------+-=+-=+++-++-+-+=+Ω'++-Ω'++-Ω'+-+Ω'===----z z z z z z z z z z f z z f z f z s H s H z H c s c s c s c z z fs z z T s s请选择合适的窗函数及窗宽N 来设计一个线性相位低通滤波器⎩⎨⎧≤≤<≤=-πωωωωωαωc cj j d e e H ，，00)( 要求其阻带最小衰减为 45 dB,过渡带宽为8π/51,试求出hn 设截止频率ωc =π;分析：本题是真正实用的设计题,从中可以看到阻带衰减影响窗形状的选择当然用凯塞窗则可改变β来满足阻带衰减的要求,而窗宽N 的选择则影响过渡带宽;按照§中所述的线性相位FIR 数字低通滤波器的设计步骤来实现;错误!给定所要求的理想频率响应函数H d e j ω；错误!确定相应的理想脉冲响应序列[]⎰-==ππωωωωπd e e H e H IDTFT n h n j j d j d d )(21)()(错误!由阻带最小衰减及过渡带宽的要求,利用表6.4.1参见教材P156表,确定窗函数wn 的形状及其宽度N ；表6.4.1 常用窗函数及加窗后FIR 滤波器的特性结论：过渡带的宽度随窗宽．．．．．．．．．N ．的增加而减小．．．．．．,．而阻带最小衰减则仅由．．．．．．．．．．窗的形状决定．．．．．．,．不受．．N ．的影响．．．;．错误!求得所设计的FIR 滤波器的单位脉冲响应1,,1,0)()()(-==N n n w n h n h d ，错误!计算FIR 滤波器的频率响应[])()(21)()()(10ωωωωπj j d N n nj j e W e H e n h n h DTFT e H *===∑-=-检验是否满足设计要求,如不满足,则需重新设计;解：根据题目所给的低通滤波器频响的表达式H d e j ω,可得其脉冲响应序列[]()[]()αωαωπωωπωπωωωωαππωωω--====•⎰⎰---n n d e e d e e He H IDTFT n h c c c n j j n j j dj d d c csin 21)(21)()(因为题目要求设计的低通滤波器的阻带最小衰减为 45 dB,对照教材P156表可知,矩形窗、三角形窗、汉宁窗都不符合条件,所以应该选择哈明窗;由于加窗后滤波器的过渡带宽见表应小于所需的过渡带宽,即075.425186.6>∴<N N ππ 这里选窗宽N = 43,以满足要求;由于哈明窗函数)(12cos 46.054.0)(n w N n n w R ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=π则所设计的FIR 滤波器的单位脉冲响应()[]()⎪⎩⎪⎨⎧=--⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-==•其它，，042,,1,021215.0sin 21cos 46.054.0)()()( n n n n n w n h n h d πππ 用矩形窗设计一个FIR 线性相位低通数字滤波器;已知ωc =π,N = 21,试求出hn ;分析：本题给定的是理想线性低通滤波器,故⎩⎨⎧-<<≤<≤≤-=-c c cc j jde e H ωωππωωωωωωαω，，，0)(解：因为理想线性低通滤波器的脉冲响应序列[]()[]()αωαωπωωπωπωωωωαππωωω--====•⎰⎰---n n d e e d e e H e H IDTFT n h c c c n j j n j j d j d d ccsin 21)(21)()(由于矩形窗函数⎩⎨⎧-≤≤=其它，，0101)(N n n w R 则所设计的FIR 滤波器的单位脉冲响应()[]()()()⎪⎩⎪⎨⎧=--=--==其它，，020,,1,0102sin 10210sin )()()( n n n n n n w n h n h R d ππππ。

数字信号处理第6章答案史林赵树杰编著

第六章练习题答案%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 设计一个满足下列指标要求的模拟低通巴特沃斯滤波器，并求出其系统函数的极点。

通带截止频率 2.1p f kHZ =，阻带截止频率8s f kHZ =，通带最大衰减0.5p dB α=，阻带最小衰减30s dB α=。

解：巴特沃斯模拟低通滤波器的设计步骤为：（1）根据模拟滤波器的设计指标p α,p Ω和s α,s Ω，由(6.3.16)式确定滤波器的阶数N 。

（2）由(6.3.17)式确定滤波器的3dB 截止频率c Ω。

（3）按照(6.3.13)式，求出N 个极点(1,2,,)k p k N =L ，将极点k p 代入式得滤波器的系统函数()a H s 。

****************0.110.11(10)lg (10) 3.36832lg(/)p s a a p s N --⎡⎤⎢⎥⎣⎦==ΩΩ2p p f πΩ= 2s s f πΩ= 取4N =3dB 截止频率：cp ΩΩ== 212,1,2,,k N j Nk c p ek N π+-=Ω=L11()()n Nnkk H s s p==-C去归一化()()a n cs H s H =Ω %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%利用二阶模拟低通巴特沃斯滤波器，设计一个中心频率为020/rad s Ω=，通带3dB 带宽为4/B rad s =的模拟带通滤波器。

解: 根据滤波器的阶数N ，直接查表 6.3.1，得到归一化（1c Ω=）的极点(1,2,,)k p k N =L 和归一化的系统函数11()()n Nnkk H s s p==-∏2101211N NN a a s a s a s s--=+++++K 然后利用式，得到3dB 截止频率为c Ω的巴特沃斯模拟低通滤波器的系统函数()a H s 。

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1 0.5
1
1 >
. . z
z
(3) , | | 0.5
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z
z
1.8 (1) ) , 0
1
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1 3 3
3.014 2.91 1.755 0.3195
0.3318 0.9954 0.9954 0.3318
1 0.9658 0.5827 0.1060
z z z
z z z
z z z
z z z
. . .
. . .
. . .
. . .
. + .
=
= . . +
= . . . +
..
.
..
. π
2.13
0,1,2, , 1
( ) ( )
= .
=
k N
Y rk X k
..
2.14
Y(k) = X ((k)) R (k) k = 0,1, ,rN .1 N rN ..
2.15 (1) x(n) a R (n) N
= n y(n) b R (n) N
= n
(2) x(n) =δ (n) y(n) = Nδ (n)
2.16 ( )
1
1 a R N
a N
n
. N

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数字信号处理第3章答案 史林 赵树杰编著

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数字信号处理第6章答案 史林 赵树杰编著

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