北师大版九年级数学下册《三章 圆 ：7 切线长定理》公开课教案_7
北师大版九年级数学下册《三章 圆 ：7 切线长定理》公开课课件_7
解：设AE=x (cm), 则AF=x (cm)
设CD=y，则CE=y 设BD=z，则BF=y
由题意得
A
x y
y z
13 14
(1) (2)
z x 9 (3)
x
x F9
z
13 E
B
O
(1)+(2)+(3)得: x+y+z=18 (4)
(4)-(1)得 z=5 (4)-(2)得 x=4
A
x
x F9
9﹣x
∴（13﹣x）+（9﹣x）=14 13 E
解得 X=4 因此 AE=4 cm
13﹣x
BD=5 cm
B O
9﹣x
D 14
13﹣x
CE=9 cm
C
例题：如图， △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别
相切于点D、E、F，且AB=9cm,BC=14cm，CA=13cm，求 AE、BD、CE的长。
挑战自我
已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为 B，OC平行于弦AD． 求证：DC是⊙O的切线．
已知PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，
A
如何证明 PA=PB, ∠APO=∠ BPO ？
证明：连结OA、OB
∵PA、PB是 ⊙O的两条切线
O
P
∴OA⊥AP，OB⊥BP
B
又 ∵ OA=OB，OP=OP
∴ Rt △AOP ≌ Rt△BOP ∴ PA=PB, ∠APO=∠ BPO
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线
段的长叫做这点到圆的切线长
A
切线长定理
O
P
B
九年级数学下册 3.7 切线长定理教案 (新版)北师大版
3.如图，PA、PB是⊙O的切线，点A、B为切点，AC是⊙ O的直径，∠ACB=70°.则∠P=_____
检测课堂效果
教学反思
教学后完成
根据教师讲授，学生完成导学提纲上的 相关问题，做好笔记
知识解难释疑
检
教师出示当堂检测
学生在规定时间内完成当堂检测
1.如图，⊙O与△ABC的边BC相切，切点为点D，与AB、AC的延长线相切，切点分别为店E、F，则
图中相等的线段有_______________________________________________________.
——————————新学期新成绩新目标新方向——————————
切线长定理
课程标准描述
探索并证明切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条 切线长相等。
考试大纲描述
教材内容分析
本节课是一节选学内容，学生的要求较高
学生分析
实验班学生的理论水平尚且足够，平行班的学生在学习本节内容的时候估计存在困难。
学习目标
1.理解切线长的定义；2.掌握切线长定理，并能灵活运用切线长定理解题.
重点
切线长定理的理解
难点
切线长定理的应用
教学过程
教师活动
学生活动
设计意图（备注）
导
教师用问题导入，引入新课题，明确目标
（一） 探究切线长的 定义：
如下图，过⊙O外一点 P，画出⊙O 的所有切线.
引出定义：过圆外一点，可以作圆的______条切线，这点与其中一个切点之间的线段 的 长，叫做这点到圆的切线长.
典例解析：
例1：如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O切于A、B两点，PA=PB=4cm，
北师大版九年级数学下册：3.7《切线长定理》教学设计
北师大版九年级数学下册：3.7《切线长定理》教学设计一. 教材分析《切线长定理》是北师大版九年级数学下册第3章第7节的内容。
本节课主要介绍切线长定理及其应用。
切线长定理是初中数学中的一个重要定理，它涉及到圆的切线性质和几何图形的对称性。
在学习本节课时，学生需要掌握切线与圆的位置关系，以及如何运用切线长定理解决实际问题。
教材通过生动的例题和丰富的练习，帮助学生理解和掌握切线长定理，并能够灵活运用它解决相关问题。
二. 学情分析在学习本节课之前，学生已经掌握了相似三角形的性质、圆的性质等基础知识，具备了一定的逻辑思维能力和空间想象力。
然而，对于部分学生来说，理解和运用切线长定理解决实际问题仍存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对性地进行辅导，帮助学生克服学习中的困难。
三. 教学目标1.理解切线长定理的含义，掌握切线长定理的证明过程。
2.能够运用切线长定理解决实际问题，提高解决问题的能力。
3.培养学生的空间想象力，提高学生的逻辑思维能力。
4.激发学生对数学的兴趣，培养学生的自主学习能力和合作精神。
四. 教学重难点1.重点：切线长定理的证明过程，切线长定理的应用。
2.难点：切线长定理的证明过程，以及如何运用切线长定理解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究切线长定理。
2.运用几何画板等教学软件，直观展示切线与圆的位置关系，帮助学生理解切线长定理。
3.通过例题讲解和练习，巩固学生对切线长定理的理解和运用。
4.鼓励学生相互讨论、交流，培养学生的合作精神和解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关教学课件，包括切线与圆的位置关系示意图、切线长定理的证明过程等。
2.准备一些实际问题，用于巩固和拓展学生对切线长定理的应用。
3.准备几何画板等教学软件，用于直观展示切线与圆的位置关系。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用几何画板展示一个圆和一条切线，引导学生观察切线与圆的位置关系，提出问题：“切线与圆有什么特殊的性质？”让学生回顾已学过的知识，为新课的学习做好铺垫。
九年级数学初三下册：7 切线长定理教案
一、选择题 1. 如图，PA，PB为⊙O的切线，A，B为切点，根据图形得出四个结论：① PA＝PB；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④AB被OP垂直平分．其中正确结论 的个数为( D) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2. 一个钢管放在 V 形架内，如图是其截面图，O 为钢管的圆心，如果钢 管的半径为 25 cm，∠MPN＝60°，则 OP 等于( A )
AD＝ 23OA＝ 23，∴PD＝32，∴PC＝3，AB＝ 3，∴菱形 ACBP 的面积＝12 AB·PC＝
解：(1)连接 OA.∵PA 为⊙O 的切线，∴∠OAP＝90°.在 Rt△AOP 中，∠ AOP＝90°－∠APO＝90°－30°＝60°，∴∠ACP＝12∠AOP＝12×60°＝30 °，∴∠ACP＝∠APO，∴AC＝AP，∴△ACP 是等腰三角形
8. (遵义中考)如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠APB＝60°， 连接PO并延长与⊙O交于C点，连接AC，BC. (1)求证：四边形ACBP是菱形； (2)若⊙O半径为1，求菱形ACBP的面积．
5. 如图，PA，PB是⊙O的切线，AC是⊙O的直径，∠P＝40°，则∠BAC的 度数是____2_0_°___．
6. 如图，四边形ABCD的各边与⊙O分别相切于点E，F，G，H.若AB＝4 cm， AD＝3 cm，BC＝3.6 cm，则CD＝_________2_.6cm.
三、解答题 7. 如图，CD是⊙O的直径，且CD＝2 cm，点P为CD的延长线上一点，过点P 作⊙O的切线PA，PB，切点分别为点A，B. (1)连接AC，若∠APO＝30°，试证明△ACP是等腰三角形； (2)填空： ①当DP＝___1_cm时，四边形AOBD是菱形； ②当DP＝_____2_－__1____cm时，四边形AOBP是正方形．
九年级数学下册 3.7 切线长定理教案 (新版)北师大版
3.7切线长定理【教学内容】切线长定理【教学目标】知识与技能 理解切线长的概念，掌握切线长定理，会应用切线长定理解决问题；过程与方法 学习中注重动手操作、观察、发现、总结等活动去发现相关结论，并注意切线与切线长、切线的性质与切线长定理的对比，培养学生分析问题和解决问题的能力； 情感、态度与价值观学生经历观察、发现、探究等数学活动，感受到数学中相关定义的区别与联系。
从而发现事物之间的相互联系。
【教学重难点】重点：切线长定理及其应用。
难点：切线长定理及其应用【导学过程】【知识回顾】1.什么是切线？切线的判定和性质是什么？2.什么是三角形的内切圆？什么是内心？它是什么的交点？【情景导入】过圆上一点作圆的切线如何做？如果我们过圆外一点画圆的切线，能画几条？试试看？【新知探究】探究一、 经过圆外一点可作圆的 ，这点和切点之间的 ，叫做这点到圆的 . 如图1，P 是⊙O 外一点，PA ，PB 是⊙O 的两条切线，点A ，B 为切点，把线段 PA ，PB 的长叫做点P 到⊙O 的（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）找出图形中相等的线段，并说明理由。
注意：切线和切线长的区别：切线是 线，不可度量，而切线长是线段， 度量.探究二： 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的_________相等，这一点和圆心的连线平分_______________．几何语言：PA PB 、是⊙O 的两条切线 _____________,________________ .（2）如何证明切线长定理呢？已知：如图2，已知PA 、PB 是⊙O 的两条切线．求证：PA=PB ，∠OPA=∠OPB． 证明：（3）若PO 与圆相分别交于C 、D,连接AB 于PO 交于点E,图中有哪些相等的线段？有哪些相等的角，有哪些相等的弧？有哪些互相垂直的线段？有哪些全等的三角形. （图2）探究二、四边形的四边都与⊙O 相切，则它相对的两边有何关系？与同伴进行交流。
北师大版九年级下册数学教案-第3章 圆-7 切线长定理
*7 切线长定理教学目标一、基本目标1．理解切线长的定义．2．理解圆外接四边形的性质．3．能够运用切线长定理进行有关的计算和证明．二、重难点目标【教学重点】切线长定理．【教学难点】应用切线长定理解决问题．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P94～P95的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长．2．切线长定理：过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长相等．3．如图，P A、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，若P A＝4，则PB＝4.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB＝5，AC＝3，那么BD的长是____．【互动探索】AB、AC、BD是⊙O的切线，由切线长定理可以得到哪些相等线段？求BD 的长可以转化为求哪条线段的长？【分析】∵AC、AP为⊙O的切线，∴AC＝AP.∵BP、BD为⊙O的切线，∴BP＝BD，∴BD＝PB＝AB－AP＝5－3＝2.【答案】2【互动总结】(学生总结，老师点评)切线长定理提供了另一种证明线段相等的方法，注意在解题过程中的等量代换．活动2巩固练习(学生独学)1．如图，P A、PB、CD与⊙O相切于点A、B、E，若P A＝7，则△PCD的周长为(B)A．7 B．14C．10.5 D．102．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则△ABC的内切圆半径r＝2.3．如图，AD、DC、BC都与⊙O相切，且AD∥BC，则∠DOC＝90°.4．如图，P A、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝60°，求∠BAC 的度数．解：∵P A、PB是⊙O的切线，∴AP＝BP.∵∠P ＝60°，∴∠P AB ＝60°.∵AC 是⊙O 的直径，∴∠P AC ＝90°，∴∠BAC ＝∠P AC －∠P AB ＝30°.活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】如图，⊙O 是梯形ABCD 的内切圆，AB ∥DC ，E 、M 、F 、N 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 上的切点．(1)求证：AB ＋CD ＝AD ＋BC ；(2)求∠AOD 的度数．【互动探索】(1)根据切线长定理可证得AE ＝AN ，BE ＝BM ，DF ＝DN ，CF ＝CM ，进而证明AB ＋DC ＝AD ＋BC ；(2)连结OE 、ON 、OM 、OF ，通过证明△OAE ≌△OAN ，得到∠OAE ＝∠OAN .同理∠ODN ＝∠ODF ，再利用平行线的性质及三角形的内角和定理即可求出∠AOD 的度数．【解答】(1)证明：∵⊙O 切梯形ABCD 于点E 、M 、F 、N ，∴AE ＝AN ，BE ＝BM ，DF ＝DN ，CF ＝CM ，∴AE ＋BE ＋DF ＋CF ＝AN ＋BM ＋DN ＋CM ，∴AB ＋DC ＝AD ＋BC .(2)连结OE 、ON 、OM 、OF .∵OE ＝ON ，AE ＝AN ，OA ＝OA ，∴△OAE ≌△OAN ，∴∠OAE ＝∠OAN .同理，∠ODN ＝∠ODF .∴∠OAN ＋∠ODN ＝∠OAE ＋∠ODF .又∵AB ∥DC ，∴∠EAN ＋∠CDN ＝180°，∴∠OAN ＋∠ODN ＝12×180°＝90°， ∴∠AOD ＝180°－90°＝90°.【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)圆的外切四边形的两条对边的和相等；(2)过圆外一点画圆的两条切线，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)1．切线长：过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段长．2．切线长定理：过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长相等．练习设计请完成本课时对应练习！。
新北师大版九年级数学下册《三章圆.7切线长定理》教案_7
切线长定理一、学习目标1.理解并掌握切线长定理，能应用切线长定理解决简单问题.2.切线长定理与勾股定理的综合应用二、重难点切线长定理的应用三、教学过程（一）知识回顾1、2、切线的性质与判定（1）．切线的判定方法(i)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；(ii)到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；(iii)过半径外端点且和这条半径垂直的直线是圆的切线．(2)．切线的性质切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径；(二)、切线长定理切线长定理．．．．．：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角．1.以点p为顶点相等的角____________；以点O为顶点相等的角____________。
2.垂直关系有____________设计意图：熟悉切线长定理中所有相等的边、角，存在的垂直关系（三）、典型例题1.如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，且分别交PA、PB 于点C、D，若PA＝4，求△PCD的周长.第1题第2题设计意图：考察切线长相等2.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝60°，OA＝2，求∠ACB 的度数.设计意图：考察切线长相等，直径垂直于切线3.如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC=3，AC=4，求BF的长.设计意图：直径垂直于切线，勾股定理，等面积法4.如图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD，下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D，C，E.若半圆O的半径为2，梯形的腰AB为5.求该梯形的周长、AD、BC 的长.设计意图：切线长相等5.如图，AB是的的直径，BCAB于点B，连接OC交于点E，弦AD//OC,弦DFAB于点G.（1）求证：点E是的中点；（2）求证：CD是的切线；（3）已知CB=4cm，CE=2cm，求半径的长.设计意图：垂直关系变式1. 如图，PB为⊙O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交⊙O于点A，连接PA、AO，并延长AO交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若，且OC=4，求PA的长和tanD的值．设计意图：垂直关系切线长定理【模拟试题】（答题时间：40分钟）班级：姓名：一、选择题1.已知：PA、PB切⊙Ｏ于点A、B，连结AB，若AB＝8，弦AB的弦心距3，则PA＝（）A. B. C. 5 D.82.下列图形一定有内切圆的是（）A.平行四边形B.矩形C.菱形D.梯形3.已知：如图1直线MN与⊙Ｏ相切于C，AB为直径，∠CAB＝40°，则∠MCA的度数（）图1A. 50°B. 40°C. 60°D.55°4.圆内两弦相交，一弦长8cm且被交点平分，另一弦被交点分为1：4，则另一弦长为（）A. 8cmB. 10cmC. 12cmD. 16cm5.在△ABC中，D是BC边上的点，AD，BD＝3cm，DC＝4cm，如果E是AD的延长线与△ABC的外接圆的交点，那么DE长等于（）A. B.C. D.6. PT切⊙Ｏ于T，CT为直径，D为OC上一点，直线PD交⊙Ｏ于B和A，B在线段PD上，若CD＝2，AD＝3，BD＝4，则PB等于（）A. 20B. 10C. 5D.二、填空题7. AB、CD是⊙Ｏ切线，AB∥CD，EF是⊙Ｏ的切线，它和AB、CD分别交于E、F，则∠EOF ＝_____________度。
北师版初中九年级下册数学教案 第三章 圆 7 切线长定理
*7 切线长定理1.掌握切线长定理及其应用.2.通过经历探索切线长定理的过程，发展探究意识和体会并实践“实验几何——论证几何”的探究方法3.通过应用内切圆相关知识解题，体会把复杂问题转化为简单问题后易于解决，从而树立解决问题的信心。
【教学重点】切线长定理及应用.【教学难点】切线长定理及应用.一、情景导入，初步认知1.已知△ABC，作三个内角平分线，说说它具有什么性质？2.直线和圆有什么位置关系？切线的判定定理和性质定理，它们如何？【教学说明】由旧知识引入新知识，过渡自然，符合学生的认知规律.二、思考探究，获取新知探究：如图，纸上有一⊙O，PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO将纸对折，设圆上与点A重合的点为B，这时，OB是⊙O的一条半径吗？PB是⊙O的切线吗？说明图中的PA和PB有什么关系？证明：如图，PA、PB是⊙O的两条切线，∴OA丄AP，OB丄BP.又OA=OB，OP=OP，Rt△BOP∴Rt△AOP∴PA=PB因此，我们得到切线长定理.【归纳结论】经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.过圆外一点所画的圆的两条切线长相等.【教学说明】发展学生探究知识的意识和“实验几何——论证几何”探究方法.三、运用新知，深化理解1.见教材P95例题.2.如图，AE、AD、BC分别切⊙O于点E、D、F，若AD=20，求△ABC的周长.解：∵AD ，AE 切于⊙O 于D ，E∴AD=AE=20∵AD ，BF 切于⊙O 于D ，F∴BD=BF ，同理：CF=CE∴C △ABC =AB+BC+AC=AB+BF+FC+AC=AB+BD+EC+AC=AD+AE=403.如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为点A 、B ，若直径AC=12，∠P=60°，求弦AB 的长。
解：连接BC.∵PA ，PB 切⊙0于A ，B ，∴PA=PB.∴∠P=60°，∴△ABP是正三角形.∵∠PAB=60°，∴PA是⊙O切线，∴CA⊥AP，∴∠CAP=90°∴∠CAB=30°∵直径AC，∴∠ABC=90°，，∴cos30°=ABAC∴4.如图，在△ABC中，已知∠ABC=90°，在AB上取一点E，以BE为直径的⊙O恰与AC相切于点D，若AE=2cm，AD=4cm.（1）求⊙O的直径BE的长；（2）计算△ABC的面积.解：（1）连接OD，∴OD丄AC•△ODA是直角三角形.设半径为r，∴AO = r+2，∴(r+2)2-r2=16，解之得，r=3，∴BE=6(cm).(2)∵∠ABC=90°∴OB丄BC，∴BC是⊙O的切线.∵CD切⊙O于D，∴CB=CD，令CB=x，∴AC=x+4，BC=x，AB=8.∵x2+82=(x+4)2，∴x=6，×8×6=24(cm2).•S△ABC=12【教学说明】通过习题巩固课堂教学成果，思考题使学生保持继续探究的欲望加深对知识的深入思考。
九年级数学下册第三章圆7切线长定理教案北师大版.doc
7 切线长定理1．通过作图、观察图理解切线长的概念，体会切线与切线长的区别与联系．2．经历探索切线长定理的过程，发展学生合情推理和演绎推理的能力．3．应用切线长定理进行相关的计算和证明．重点理解切线长的定义．难点切线长定理的推导过程及运用．一、复习导入1．过⊙O上任一点A可以作几条切线？2．过圆外一点可以画圆的几条切线？这几条切线之间又有什么关系呢？二、探究新知1．切线长定理从⊙O外一点P引⊙O 的两条切线，切点分别为A，B，那么线段PA和PB之间有何关系？(1)根据条件画出图形；(2)度量线段PA和PB的长度；(3)猜想：线段PA和PB之间的关系；(4)寻找证明猜想的途径；(5)在图中还能得出哪些结论？并把它们归类.(6)上述各结论中，你想把哪个结论作为切线长的性质？请说明理由．引导学生得出：过圆外一点画圆的切线，这一点和切点之间线段的长度叫做这点到圆的切线长．证明：连接OA，OB，OP.∵PA，PB与⊙O相切，∴∠OAP＝∠OBP＝90.∵ OA＝OB，OP＝OP，∴Rt△AOP≌Rt△BOP.∴ PA＝PB.切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等．切线长定理可拓展为过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．2．切线长定理的应用课件出示：如图，四边形ABCD的四条边都与⊙O相切，切点分别为E，F，G，H，由切线长定理你能发现哪些线段相等？(1)由点A的切线可知________ ＝ ________.(2)由点B的切线可知________ ＝________.(3)由点C的切线可知________ ＝ ________.(4)由点D的切线可知________ ＝ ________.结论：AB＋CD＝AD＋BC，进而得出：圆的外切四边形的两组对边的和相等．三、举例分析例已知如图，Rt△ABC的两条直角边AC＝10，BC＝24，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为D，E，F，求⊙O 的半径．(1)从图中可得出哪些结论？请说明理由．(2)求⊙O 的半径时，应如何利用已知条件？解：连接OD，OE，OF，则OD＝OE＝OF，设OD＝r.在Rt△ABC中，AC＝10，BC＝24，∴AB＝AC2＋BC2＝102＋242＝26.∵⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，BD＝BE，AD＝AF，CE＝CF.又∵∠C＝90°，∴四边形OECF为正方形．∴CE＝CF＝r.∴BE＝24－r，AF＝10－r.∴AB＝BD＋AD＝BE＋AF＝24－r＋10－r ＝34－2r＝26.∴r＝4，即⊙O的半径为4.四、练习巩固1．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点是A，B.如果OP＝4，PA＝2 3，那么∠AOB 等于( )A．90°B．100°C．110°D．120°2．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则△ABC的内切圆的半径为________．3．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，若∠APB＝60°，PO＝2，求⊙O的半径．五、课堂小结1．易错点：(1)切线和切线长是两个不同的概念，切线是一条与圆相切的直线，不能度量；(2)切线长是切线上一条线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．2．归纳小结：(1)过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长；(2)切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等；(3)圆的外切四边形的两组对边的和相等．3．方法规律：(1)过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角；(2)在解决有关圆的切线长问题时添加辅助线构建基本图形方法：①分别连接圆心和切点．②连接圆心和圆外一点．六、课外作业1．教材第95页“随堂练习”．2．教材第96页习题3.9第1～4题．在教学过程中，通过安排实践操作活动，使学生提高了探究的兴趣，首先教师突出操作要求，学生操作并思考回答问题，教师在学生回答问题的基础上进一步引导学生从中发现问题，让学生体会从具体情境和实践操作中发现问题、解决问题，通过设置问题情境，使学生提高解决问题的意识，通过自己画图尝试从中得到感性认识，进而不断地比较，让学生的思维能够经历一个从模糊到清晰、从具体到抽象、从直觉到逻辑的过程，再由直观、粗糙向严格、精确，使学生体会数学发展的过程．。
2024北师大版数学九年级下册3.7《切线长定理》教案
2024北师大版数学九年级下册3.7《切线长定理》教案一. 教材分析《切线长定理》是北师大版数学九年级下册第3.7节的内容，主要讲述了圆的切线与圆内的点到切线的距离之间的关系。
本节内容是在学生已经掌握了圆的基本概念、切线的定义以及点与圆的位置关系的基础上进行学习的，为后续学习圆的性质和圆的方程打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象力，他们对圆的概念和性质有一定的了解。
但是，对于圆的切线长定理的理解和运用还需要通过实例进行引导和巩固。
三. 教学目标1.理解切线长定理的内容，能够运用切线长定理解决实际问题。
2.培养学生的空间想象力，提高学生分析问题和解决问题的能力。
3.培养学生的团队协作能力和语言表达能力。
四. 教学重难点1.切线长定理的证明和理解。
2.运用切线长定理解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究切线长定理。
2.运用多媒体课件，直观展示圆的切线和切线长定理。
3.采用小组讨论法，培养学生的团队协作能力和语言表达能力。
4.通过实例讲解，巩固学生对切线长定理的理解。
六. 教学准备1.多媒体课件。
2.圆规、直尺、彩色粉笔。
3.练习题和实例。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件展示一个圆和它的切线，引导学生回顾切线的定义。
然后提出问题：“圆内的点到切线的距离与切线有什么关系？”2.呈现（10分钟）利用多媒体课件呈现切线长定理的证明过程，引导学生直观地理解切线长定理。
同时，解释切线长定理的意义和应用。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实例，运用切线长定理进行解答。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成练习题，巩固对切线长定理的理解。
教师选取部分学生的作业进行讲解和分析。
5.拓展（10分钟）提出一些与切线长定理相关的问题，引导学生进行思考和讨论。
例如：在圆中，到一个定点等距离的点的轨迹是什么？6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课的主要内容和收获，强调切线长定理的应用。
新北师大版九年级数学下册《三章圆.7切线长定理》教案_0
课题：3.7切线长定理课型：新授课年级：九年级教学目标：1.理解切线长的概念，掌握切线长定理.2．利用切线长定理进行有关的计算；并在运用切线长定理的解题过程中，进一步渗透方程的思想.3．通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，调动学生的学习积极性，激发学生的学习兴趣，树立科学的学习态度．教学重点与难点：重点：理解切线长定理．难点：应用切线长定理解决问题．教学过程：一、知识回顾，引入新课活动内容：过圆外一点画圆的切线，你能画出几条？试试看处理方式：学生前后四人一组，分工合作，互相帮助，动手画圆的切线，让学生明白过圆外一点画圆的切线能画出两条.设计意图：在教师的引导下探究如何画圆的切线，体会圆的切线的判定和性质，给学生留出充分的时间在小组内讨论、交流.二、观察思考，猜想验证活动内容：如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，A,B是切点（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）在这个图中你能找到相等的线段吗？说说你的理由.处理方式：学生前后四人一组，分工合作，互相帮助，动手画圆，按轴对称图形的探究方法探究，寻找活动过程中产生的直径、弦、弧等关系并总结.给学生留出充分的时间在小组内讨论、交流，教师要深入到小组中讨论、指导.学生明白：过圆外一点画圆的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.知道切线是用线段的长来定义的，定义中的线段具有什么特征？①在圆的切线上；②两个端点一个是切点，一个是圆外已知点.我们组将这个图沿着射线PO折叠，发现PA与PB重合，∠APO与∠BPO重合（板书）结合这个图形，该定理的符号语言如何叙述切线长定理：从圆外一点所画的圆的两条切线长相等．设计意图：定理教学的方式是学生自主探索，相互交流相结合.首先探索猜想出结论后，再明确仅凭观察、度量、利用圆的对称性，通过折叠，猜想并不能说明结论的正确性，还需证明结论的正确性，同时激励学生寻找证明猜想的途径.之后，再让学生探索更多的结论，定理的剖析以对话形式进行三、课堂练习巩固：教材随堂练习四、课时小结：同学们，有何收获？，请列出知识清单五、课后反思：。
3.7 切线长定理(教案)-北师大版数学九下
第7节*7切线长定理1.了解切线长的概念,并经历探索切线长定理的过程.2.会证明切线长定理,并能运用切线长定理进行相关的计算.1.初步学会从数学的角度提出问题、理解问题,并能运用所学的知识和技能解决问题,发展应用意识.2.在解题过程中,形成解决问题的基本策略,体验解决问题策略的多样性,发展实践能力与创新精神.了解数学的价值,对数学有好奇心与求知欲,在数学学习活动中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心.【重点】了解切线长的概念,掌握切线长定理.【难点】切线长定理的证明及应用.【教师准备】多媒体课件和圆规.【学生准备】1.复习三角形内切圆等相关知识.2.直尺和圆规.导入一:在一个墙角放置了一个圆形的容器,俯视图如图所示,在俯视图中圆与两边的墙分别切于B,C两点.【问题】图中的线段AB和线段AC的长度有什么关系?为什么?学生大胆猜测:AB=AC,但是不知道什么原因.【引入】从☉O外的A点画出的两条切线AB和AC为什么相等?这就是本节课我们要探究的内容——切线长定理.[设计意图]通过让学生看到日常生活所熟悉的情境,极大地激发了学生的学习兴趣,并在鼓励其大胆猜想的同时引出了本节课所要探究的内容,使学生能做到有的放矢.导入二:如图所示,PA,PB是☉O的两条切线.有一天中午,一只小蜗牛放学回家,饥饿难耐,妈妈把小蜗牛喜欢吃的两份一样的美食分别放在了☉O上的A,B两点处,你帮小蜗牛选择一下,在相同的速度的条件下,沿路PA走还是沿路PB走能使它尽快吃到食物?【学生活动】学生积极发言,大胆猜测,教师要求学生说明各自结论的理由.学生分析:大部分同学会认为两条路是一样的,即PA=PB.【问题】PA和PB是过圆外一点P画出的圆的两条切线,如果PA=PB,那么是否过圆外任意一点画出的圆的两条切线都相等呢?[设计意图]通过小蜗牛的故事,吸引了学生的注意力,让他们在游戏中初步感知本节课的探究任务,为下面切线长定理概念的探究打下了良好的基础.[过渡语]前面我们探究了圆的切线的性质定理,圆的切线还有哪些相关的性质呢?今天我们就来进行探索.想一想:过圆外一点画圆的切线,你能画出几条?【师生活动】学生迅速抢答:过圆外一点可以作一条、两条,还有的学生认为可以作无数条圆的切线.教师要求学生动手操作,教师巡视发现问题.【教师点评】过圆外一点能画出两条圆的切线.课件出示:【议一议】如图所示,PA,PB是☉O的两条切线,A,B是切点.问题:(1)这个图形是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?学生分析:这个图形是轴对称图形,它的对称轴是点P,O所在的直线.问题:(2)在这个图形中你能找到相等的线段吗?【师生活动】学生思考后得出PA=PB.教师要求学生说说理由.代表发言:因为这个图形是轴对称图形,根据其性质“对应线段相等”就可以得出PA=PB.【教师点评】图中的线段PA,PB是圆的切线,它们的长度就叫做切线长.切线长概念:过圆外一点画圆的切线,这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.[设计意图]通过切线长概念的探究过程,不但了解了切线长的概念,而且通过对相等线段的判断,使学生初步感知了切线长定理的证明方法,为下面定理的证明打下良好的基础.[知识拓展]切线与切线长的区别:它们是两个不同的概念,切线是直线,不能度量;切线长是线段的长,这条线【教师引导】通过情境导入和上面对议一议第二个问题的探究,我们都得到了一个同样的结论切线长定理:过圆外一点所画的圆的两条切线的长相等.【想一想】除了刚才我们利用轴对称的性质外,你还有其他的方法对切线长定理进行证明吗?学生分析:根据“见切点连半径”的思路,可以构造出两个直角三角形,再根据切线的性质证明两个三角形全等就可以得出PA=PB.【师生活动】要求学生先独立解答,完成后同伴相互交流,代表板演展示.学生完成后,教师课件出示解答过程,供学生参考,规范他们的解题步骤.已知:如图所示,PA,PB是☉O的两条切线,A,B是切点.求证:PA=PB.证明:连接OA,OB,PO.∵PA,PB是☉O的切线,∴∠PAO=∠PBO=90°.在Rt△OPA和Rt△OPB中,∵OA=OB,OP=OP,∴Rt△OPA≌Rt△OPB.∴PA=PB.符号语言描述:若线段PA,PB是☉O的切线,则PA=PB.[设计意图]通过对切线长定理的证明,不但加深了对切线长定理的印象,还进一步掌握了切线的辅助线的做法,一举两得.[知识拓展]切线长定理推论1:圆心和圆外一点的连线,平分从这点出发的两条切线的夹角.三、圆外切四边形边的性质[过渡语]上节课我们研究了三角形的内切圆的性质,那么四边形的内切圆又有什么样的性质呢?课件出示:【想一想】如图所示,四边形ABCD的四条边都与☉O相切,图中的线段之间有哪些等量关系?与同伴进行交流.【教师活动】为帮助学生更好地解决问题,教师出示下面的图形,帮助学生进行分析.【学生活动】学生仔细观察,找出图中相等的线段后,与同伴交流,统一答案.代表发言:∵四边形ABCD为圆外切四边形,根据切线长定理可得:AH=AE,BE=BF,CF=CG,DG=DH.【问题】但是原图中并没有E,F,G,H四个点,显然题目的原意并不是要得出上面的四组线段相等,你还能得出线段之间的相等关系吗?【师生活动】学生分组讨论,教师巡视并参与到学生的讨论当中去,对感觉有难度的学生及时进行点拨、指正.每组的代表把得到的结论写在黑板上,统一学生的答案,教师找学生说明理由.证明:∵AH=AE,BE=BF,CF=CG,DG=DH,∴AB+CD=AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH=(AH+DH)+(BF+CF)=AD+BC,即AB+CD=AD+BC.【教师点评】切线长定理推论2:圆的外切四边形的两组对边之和相等.[设计意图]通过探究,使学生对切线长定理有了更深刻的理解,同时利用切线长定理的拓展也如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=10,BC=24,☉O是△ABC的内切圆,切点分别为D,E,F,求☉O的半径.思路一〔解析〕由AC,BC的值利用勾股定理可以求出AB的长度.根据“见切点连半径”作出辅助线,可以得出四边形OECF是正方形.然后利用切线长定理可以列出以☉O半径为未知数的方程,解方程得出半径.解:连接OD,OE,OF,则OD=OE=OF,设OD=r.在Rt△ABC中,AC=10,BC=24,∴AB===26.∵☉O分别与AB,BC,CA相切于点D,E,F,∴OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC,BD=BE,AD=AF,CE=CF.又∵∠C=90°,∴四边形OECF为正方形.∴CE=CF=r.∴BE=24-r,AF=10-r.∴AB=BD+AD=BE+AF=24-r+10-r=34-2r.而AB=26,∴34-2r=26.∴r=4,即☉O的半径为4.思路二〔解析〕由AC,BC的值利用勾股定理可以求出AB的长度.根据“见切点连半径”作出辅助线,利用“△ABC的面积=△ABO的面积+△BCO的面积+△ACO的面积”,列出以☉O半径为未知数的方程.解:设OD=r,分别连接OA,OB,OC,OD,OE,OF,在Rt△ABC中,AC=10,BC=24,∴AB===26.∵S△ABC =S△ABO+S△BCO+S△ACO,∴×10×24=×26×r+×24×r+×10×r,解得r=4.即☉O的半径为4.[设计意图]本节课的例题设计紧扣这堂课的知识点,通过对例题的解答,既巩固了本节课的重点,又培养了学生灵活应用切线长定理的能力.1.切线长概念.2.切线长定理.3.切线长定理的两个推论.1.如图所示,PA切☉O于A,PB切☉O于B,OP交☉O于C,下列结论中错误的是()A.∠1=∠2B.PA=PBC.AB⊥OPD.PA2=PC·PO解析:由切线长定理可判断出A,B选项均正确.易知△ABP是等腰三角形,根据等腰三角形三线合一的特点,可求出AB⊥OP,故C正确.故选D.2.如图所示,△MBC中,∠B=90°,∠C=60°,MB=2,点A在MB上,以AB为直径作☉O与MC相切于点D,则CD的长为()A.B. C.2 D.3解析:在Rt△BCM中,tan60°==,∴BC==2,∵AB为☉O的直径,且AB⊥BC,∴BC为圆O的切线,又CD也为☉O的切线,∴CD=BC=2.故选C.3.如图所示,☉O与△ABC的边AB,AC,BC分别相切于点D,E,F,如果AB=4,AC=5,AD=1,那么BC的长为.解析:∵AB,AC,BC都是☉O的切线,∴AD=AE,BD=BF,CE=CF,∵AB=4,AC=5,AD=1,∴AE=1,BD=BF=3,CE=CF=4,∴BC=BF+CF=3+4=7.故填7.4.如图所示,PA,PB,DE分别切☉O于A,B,C,☉O的半径为6cm,OP的长为10cm,则△PDE的周长是.解析:连接OA.∵PA,PB,DE分别切☉O于A,B,C点,∴BD=CD,CE=AE,PA=PB,OA⊥AP.在直角三角形OAP 中,根据勾股定理,得AP=8,∴△PDE的周长为2AP=16.故填16cm.5.如图所示,PA,PB分别切☉O于A,B,连接PO与☉O相交于C,连接AC,BC,求证AC=BC.证明:∵PA,PB分别切☉O于A,B,∴PA=PB,∠APC=∠BPC.又∵PC=PC,∴△APC≌△BPC.∴AC=BC.7切线长定理1.切线长概念:过圆外一点做圆的切线,这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.2.切线长定理:过圆外一点所画的圆的两条切线长相等.一、教材作业【必做题】1.教材第95页随堂练习.2.教材第96页习题3.9第1,2,3题.【选做题】教材第96页习题3.9第4题.二、课后作业【基础巩固】1.如图所示,PA,PB分别切☉O于A,B两点,如果∠P=60°,PA=2,那么AB的长为()A.1B.2C.3D.42.如图所示,圆外切等腰梯形ABCD的中位线EF=15cm,那么等腰梯形ABCD的周长等于()A.15cmB.20cmC.30cmD.60cm3.如图所示,P为☉O的直径BA延长线上的一点,PC与☉O相切,切点为C,点D是☉上一点,连接PD.已知PC=PD=BC.下列结论:①PD与☉O相切;②四边形PCBD是菱形;③PO=AB;④∠PDB=120°.其中正确的个数为个.4.如图所示,☉O与△ABC中AB,AC的延长线及BC边相切,且∠ACB=90°,∠A,∠B,∠C所对的边长依次为3,4,5,则☉O的半径是.【能力提升】5.(2014·内江中考)如图所示,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=6,以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC,BC相切于点D,E,则AD为()A.2.5B.1.6C.1.5D.16.(2014·宜宾中考)如图所示,已知AB为☉O的直径,AB=2,AD和BE是☉O的两条切线,A,B为切点,过圆上一点C作☉O的切线CF,分别交AD,BE于点M,N,连接AC,CB,若∠ABC=30°,则AM=.7.如图所示,PA,PB分别切☉O于A,B两点,CD切☉O于点E,分别交PA,PB于点D,C.若PA,PB的长是关于x的一元二次方程x2-mx+m-1=0的两个根,求△PCD的周长.8.如图所示,Rt△ABC中,∠C=90°,BC=5.☉O分别内切Rt△ABC的三边AB,BC,CA于D,E,F,半径r=2.求△ABC的周长.【拓展探究】9.(2014·聊城中考)如图所示,AB,AC分别是半圆O的直径和弦,OD⊥AC于点D,过点A作半圆O的切线AP,AP与OD的延长线交于点P.连接PC并延长,与AB的延长线交于点F.(1)求证PC是半圆O的切线;(2)若∠CAB=30°,AB=10,求线段BF的长.【答案与解析】1.B(解析:∵PA,PB分别切☉O于A,B,∴PA=PB.∵∠P=60°,∴△PAB是等边三角形.∴AB=PA=2.故选B.)2.D(解析:根据梯形的中位线等于两底和的一半,得梯形的两底和等于梯形的中位线的2倍,即30cm.根据圆外切四边形的两组对边和相等,得梯形的两腰的和等于两底和,即30cm.则梯形的周长等于30+30=60(cm).故选D.)3.4(解析:①连接OC,OD,利用切线的性质得出∠PCO=90°,进而得出△PCO≌△PDO(SSS),即可得出∠PCO=∠PDO=90°,得出答案正确;②利用①所求得出:∠CPB=∠BPD,进而求出△CPB≌△DPB(SAS),即可得出答案正确;③利用全等三角形的判定得出△PCO≌△BCA(ASA),进而得出CO=PO=AB,即可得出答案正确;④利用四边形PCBD是菱形,∠CPO=30°,且DP=DB,则∠DPB=∠DBP=30°,即可得出答案正确.)4.2(解析:如图所示,设切点分别为D,E,F,连接OD,OE,∵☉O与△ABC中AB,AC的延长线及BC边相切,∴AF=AD,BE=BF,CE=CD,OD⊥AD,OE⊥BC,∵∠ACB=90°,∴四边形ODCE是正方形,设OD=r,则CD=CE=r,∵BC=3,∴BE=BF=3-r,∵AB=5,AC=4,∴AF=AB+BF=5+3-r,AD=AC+CD=4+r,∴5+3-r=4+r,r=2,则☉O 的半径是2.)5.B(解析:连接OD,OE,设AD=x,∵半圆分别与AC,BC相切,∴∠CDO=∠CEO=90°,∵∠C=90°,∴四边形ODCE是矩形,∴OD=CE,OE=CD,∴CD=CE=OE=OD=4-x,BE=6-(4-x)=x+2,∵∠AOD+∠A=90°,∠AOD+∠BOE=90°,∴∠A=∠BOE,∴△AOD∽△OBE,∴=,∴=,解得x=1.6.故选B.)6.(解析:连接OM,OC,∵OB=OC,且∠ABC=30°,∴∠BCO=∠ABC=30°,∵∠AOC为△BOC的外角,∴∠AOC=2∠ABC=60°,∵MA,MC分别为☉O的切线,∴MA=MC,且∠MAO=∠MCO=90°,在Rt△AOM和Rt△COM中,MA=MC,OM=OM,∴Rt△AOM≌Rt△COM(HL),∴∠AOM=∠COM=∠AOC=30°,在Rt△AOM中,OA=AB=1,∠AOM=30°,∴tan30°=,即=,∴AM=.)7.解:∵PA,PB的长是关于x的一元二次方程x2-mx+m-1=0的两个根,∴PA+PB=m,PA·PB=m-1,∵PA,PB切☉O于A,B两点,∴PA=PB=,即·=m-1,即m2-4m+4=0,解得m=2,∴PA=PB=1,∵PA,PB切☉O于A,B两点,CD切☉O于点E,∴AD=ED,BC=EC,∴△PCD的周长为PD+CD+PC=PD+DE+EC+PC=PD+AD+BC+PC=PA+PB=2.8.解:根据切线长定理,得BD=BE,CE=CF,AD=AF.如图所示,连接OE,OF,则OE⊥BC,OF⊥AC,∴四边形OECF 是矩形,又∵OE=OF,∴矩形OECF是正方形,∴CE=CF=r=2.又∵BC=5,∴BE=BD=3.设AF=AD=x,根据勾股定理,得(x+2)2+25=(x+3)2,解得x=10.则AC=12,AB=13.即△ABC的周长是5+12+13=30.9.(1)证明:如图,连接OC,∵OD⊥AC,OD经过圆心O,∴AD=CD,又在Rt△PAD和Rt△PCD中,PD=PD,∴PA=PC,在△OAP和△OCP中,OA=OC,PA=PC,OP=OP,∴△OAP≌△OCP(SSS),∴∠OCP=∠OAP,∵PA是☉O的切线,∴∠OAP=90°.∴∠OCP=90°,即OC⊥PC,∴PC是☉O的切线.(2)解:∵AB是直径,∴∠ACB=90°,∵∠CAB=30°,∴∠COF=60°,∵PC是半圆O的切线,AB=10,∴OC⊥PF,OC=OB=AB=5,∴OF===10.∴BF=OF-OB=5.本课依然采用自主探究与小组合作结合的学习方式,对课程内容提出问题后先让学生独立完成,然后在小组内交流并整理所获得的信息内容,最后在课堂上展示组内成果,从而调动学生学习的积极性.在探究过程中要积极引导学生进行操作、观察、归纳、推理等活动,鼓励学生动手、动脑和动口,使学生经历知识的探索过程,并让他们在学习活动中体会到成功的喜悦,从而使教学目标落实到位.讲解例题时,增加了一种解题思路,所以只注意了优等生的课堂反映情况,对后进生的关注不够,造成了有的学生掌握得不好.在教学中不要只强调结论,要特别关注学生的动手操作过程,关注他们互相交流的过程,看学生是否能积极地投入到数学活动中去,要多加鼓励,提高他们学习数学的兴趣.随堂练习(教材第95页)解:如图所示,连接OA,OB.因为PA为☉O的切线,所以OA⊥PA,即∠OAP=90°.因为OA=3,PO=6,所以PA==3.同理可得PB=3.习题3.9(教材第96页)1.解:∵PA与PB分别切☉O于A,B两点,DE切☉O于C,∴PA=PB=5cm,DA=DC,EC=EB,∴△PDE的周长=PD+PE+DC+EC=PD+DA+PE+EB=PA+PB=10cm.2.解:设AF=x,∵△ABC的内切圆☉O与三边分别相切于D,E,F三点,AB=9,BC=14,CA=13,∴AE=AF=x,BF=BD=AB-AF=9-x,CE=CD=AC-AE=13-x,∵BD+CD=BC,∴9-x+13-x=14,解得x=4,∴AF=4,BD=5,CE=9.3.解:∵PA与PB分别切☉O于A,B两点,∴PA=PB,∴∠PAB=∠PBA,∵∠P=40°,∴∠PAB=∠PBA=70°.∵AD=BE,BD=AF,∴△FAD≌△DBE.∴∠ADF=∠BED.∵∠BED+∠BDE=180°-70°=110°,∴∠ADF+∠BDE=110°.∴∠EDF=180°-(∠ADF+∠BDE)=70°.4.解:存在内切圆.连接AC,作∠ABC的平分线,交AC于点O,点O即为四边形ABCD的内切圆的圆心.过点O分别作BC,AB的垂线,垂足分别为E,F.可得四边形OEBF为正方形,OE即为☉O的半径.由△OEC∽△ABC得=,即=,解得OE=,即内切圆的半径为.1.让学生通过动手操作逐步感知切线长的概念、定理、定理的证明、定理的应用的过程,再次体会探究新知的一般过程.2.由于本节课的知识点比较少,所以通过自主探究和合作交流学生基本上可以掌握本节课的重点内容.3.对于圆的外切四边形的性质的探究则可以利用切线长定理进行类比延伸.4.切线长定理的辅助线作法——“见切点连半径”,也要求学生要重点掌握.如图所示,若△ABC的三边长分别为AB=9,BC=5,CA=6,△ABC的内切圆☉O分别切AB,BC,AC于D,E,F,求AF的长.〔解析〕由切线长定理可知AF=AD,CF=CE,BE=BD,设AF=x,然后表示出BD,CF的长,即可表示出BE,CE的长,根据BE+CE=5,可求出AF的长.解:设AF=x,根据切线长定理得AD=x,BD=BE=9-x,CE=CF=6-x,则有9-x+6-x=5,解得x=5,即AF的长为5.[解题策略]此题主要是运用了切线长定理,用已知数和未知数表示所有的切线长,再进一步列方程求解.。
第3章3.7切线长定理(教案)2023-2024学年九年级下册数学(教案)(北师大版)
2.教学难点
（1）切线长定理的证明过程：学生对几何证明的逻辑推理能力要求较高，理解切线长定理的证明过程可能存在困难。
-突破方法：采用直观图形和动画演示，逐步引导学生通过观察和思考，理解证明的每一步逻辑。
（2）切线长定理在复杂图形中的应用：在实际问题中，圆与其他几何图形结合，学生可能难以识别和运用切线长定理。
-突破方法：提供解题思路和方法，如先找切点、再利用定理等，通过分步骤解析，帮助学生建立解题框架。
本节课的教学难点与重点是密切相关的，教师需在教学过程中针对重点内容进行详细讲解和反复强调，同时针对难点内容采取有效方法，帮助学生克服困难，确保学生对切线长定理的理解和应用能力得到全面提升。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
2.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调切线长定理的证明和应用这两个重点。对于难点部分，如证明过程中的逻辑推理，我会通过逐步引导和举例来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与切线长定理相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用直尺和圆规来实际作图，演示切线长定理的基本原理。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了切线长定理的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对切线长定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
第3章3.7切线长定理（教案）2023-2024学年九年级下册数学（教案）(北师大版)
北师大版九年级数学下册3.7切线长定理(教案)
二、核心素养目标
1.培养学生的逻辑推理能力，通过探索切线长定理，使学生掌握从特殊到一般的推理方法，提高几何论证能力。
2.培养学生的空间观念，通过绘制图形、观察和操作，让学生感知圆的性质，发展空间想象力。
3.培养学生的数学建模能力，使学生能够运用切线长定理解决实际问题，建立数学模型，提高解决实际问题的能力。
-学会运用切线长定理解决具体问题，包括计算切线长度和解决实际应用问题。
-能够通过作图和论证来证明切线长定理的正确性。
-掌握与圆相关的其他基本概念，如半径、直径、弦等，并能够与切线长定理结合使用。
举例解释：在讲解切线长定理时，重点强调定理的表达式和图形表示，通过多个例题演示如何应用定理进行计算，如给定圆的半径和圆外一点的位置，计算两条切线的长度。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调切线长定理的概念和运用这个定理解决问题的方法。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与切线长定理相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示切线长定理的基本原理。
五、教学反思
在今天的课堂中，我们探讨了切线长定理，我发现学生们对这个定理的理解程度有所不同。有些学生能够迅速抓住定理的核心，而一些学生则在理解上存在一定的困难。这让我意识到，在今后的教学中，我需要更加关注学生的个体差异，因材施教。
在讲授切线长定理的过程中，我尽量用简单的语言和生动的例子进行解释，以降低学生的理解难度。同时，通过分组讨论和实验操作，让学生在实践中感受定理的运用。这种教学方式取得了较好的效果，大部分学生能够积极参与，课堂氛围较为活跃。
北师大版九年级数学下册：3.7《切线长定理》教学设计
北师大版九年级数学下册：3.7《切线长定理》教学设计一. 教材分析《切线长定理》是北师大版九年级数学下册第3章第7节的内容。
本节课主要介绍切线长定理及其应用。
切线长定理是数学中的一个重要定理，它揭示了圆的切线与圆内接四边形的关系。
通过学习本节课，学生能够理解和掌握切线长定理，并能够运用它解决一些与圆有关的问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，他们已经学习了直线、圆等基本几何图形，并对这些图形的性质有一定的了解。
但是，对于切线长定理这样的抽象定理，学生可能难以理解和运用。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、操作、思考等活动，逐步理解和掌握切线长定理。
三. 教学目标1.理解切线长定理的内容，能够运用切线长定理解决一些与圆有关的问题。
2.培养学生的观察能力、操作能力和思维能力。
3.激发学生对数学的兴趣，培养学生的自主学习能力和合作精神。
四. 教学重难点1.重点：理解和掌握切线长定理。
2.难点：运用切线长定理解决实际问题。
五. 教学方法1.引导发现法：通过引导学生观察、操作、思考等活动，发现切线长定理的规律。
2.情境教学法：创设生动有趣的情境，激发学生的学习兴趣和积极性。
3.合作学习法：鼓励学生之间相互讨论、交流，培养学生的合作精神。
六. 教学准备1.准备相关的教学材料和道具，如圆、直尺、量角器等。
2.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过创设一个与圆有关的生活情境，如圆桌、圆形操场等，引导学生思考与圆有关的问题，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）教师通过展示一些与圆有关的实际问题，如圆的切线与圆内接四边形的关系，引导学生观察和思考。
3.操练（10分钟）教师引导学生通过实际操作，如用直尺和量角器测量圆的切线长度，让学生亲身体验和理解切线长定理。
4.巩固（10分钟）教师提出一些与切线长定理相关的问题，让学生进行解答，巩固对切线长定理的理解和运用。
北师大版九年级数学下册：第三章 3.7《切线长定理》精品教学设计
北师大版九年级数学下册：第三章 3.7《切线长定理》精品教学设计一. 教材分析北师大版九年级数学下册第三章3.7《切线长定理》的内容是在学生掌握了直线与圆的位置关系、圆的方程等知识的基础上，进一步研究圆的切线性质。
本节内容主要介绍了切线长定理，即从圆外一点引出两条切线，分别与圆相交，那么这两条切线的长度相等。
教材通过例题和练习题，使学生掌握切线长定理的应用，培养学生的几何思维和解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了直线、圆的基本知识，对几何图形的认识有一定的基础。
但是，对于切线长定理的理解和应用，还需要通过实例和练习来进一步巩固。
学生在学习过程中，需要充分调动已有的知识储备，进行逻辑推理和空间想象，从而掌握切线长定理。
三. 教学目标1.理解切线长定理的内容，掌握切线长定理的证明过程。
2.能够运用切线长定理解决实际问题，提高解决问题的能力。
3.培养学生的空间想象能力、逻辑推理能力和几何思维。
四. 教学重难点1.重点：切线长定理的理解和应用。
2.难点：切线长定理的证明过程，以及如何运用切线长定理解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过问题引导，激发学生的思考；通过案例分析，使学生理解并掌握切线长定理；通过小组讨论，促进学生之间的交流与合作，提高解决问题的能力。
六. 教学准备1.教学PPT：内容包括切线长定理的定义、证明过程和应用实例。
2.练习题：包括基础题和拓展题，用于巩固所学知识。
3.教学工具：直尺、圆规、三角板等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一个生活中的实例：在圆形操场跑步时，从同一点出发，沿两条不同的路径跑完全程，问两条路径的长度是否相等？引发学生的思考，引出本节课的内容——切线长定理。
2.呈现（15分钟）讲解切线长定理的定义和证明过程。
通过PPT展示切线长定理的图形，引导学生观察、思考，然后给出证明过程。
在此过程中，强调切线长定理的关键点：圆外一点引出两条切线，分别与圆相交，这两条切线的长度相等。
北师大版九年级下册7切线长定理课程设计
北师大版九年级下册7切线长定理课程设计一、课程目标1.掌握切线长定理的概念和计算方法；2.通过练习提高解决几何问题的能力；3.发现几何形体之间的联系和规律。
二、课程内容1. 切线长定理的概念切线长定理是指，从圆外一点引一条切线，它与切点构成的线段长的平方等于这条直线与圆心连线的长度与圆半径的平方的差。
2. 切线长定理的应用通过实际问题练习切线长定理的应用，如计算直线和圆的距离，解决直线和圆的位置关系等。
3. 练习题通过练习题提高学生解决几何问题的能力，同时发现几何形体之间的联系和规律。
三、课堂教学1. 引入通过引入实际问题，如计算球场上的标准分界线和曲线门柱之间的距离，引发学生对圆的认识和思考。
2. 讲解讲解切线长定理的概念和计算方法。
同时，引导学生发现圆上每一个点到圆心的连线都是半径，利用勾股定理推导出切线长定理。
3. 练习通过练习切线长定理的应用，如计算直线和圆的距离，解决直线和圆的位置关系等，巩固学生的学习成果，并帮助学生发现几何形体之间的联系和规律。
4. 拓展引导学生通过自主探究，学习如何利用切线长定理解决更复杂的几何问题。
四、课堂作业根据教学内容和要求，布置相关习题作业，以检测学生对相关知识点的掌握和理解情况。
五、课后反思结合学生的潜在需求和实际表现情况，及时调整教学内容和方法，使教学效果更加明显。
六、总结通过本课程设计，学生不仅掌握了切线长定理的概念和计算方法，还能够运用切线长定理解决实际几何问题。
同时，通过练习还能够帮助学生发现几何形体之间的联系和规律，提高解决几何问题的能力。
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课题：北师大版九年级下册3.7节
《切线长定理》教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
切线长的概念；切线长定理
2.内容解析
本节课是在学习了切线的性质和判定的基础之上，继续对切线的性质的研究，是在垂径定理之后对圆的对称性又一次的认识.体现了图形的认识、图形的变换、图形的证明的有机结合.切线长定理的探究，通过设计让学生经历观察、猜想、验证、最后归纳得出切线长定理，使学生的直观操作与逻辑推理有机的整合到一起，让学生在探究的过程中体验数学活动充满着探索性和创造性，感受证明的必要性，证明过程的严谨性以及结论的确定性.让学生的思维能够经历一个从模糊到清晰，从具体到抽象，从直觉到逻辑的过程，再由直观、粗糙向严格、精确的追求过程中，使学生体验数学发展的过程.它也是为证明线段，角相等，弧相等，垂直关系等提供了理论依据.
基于以上分析，可以确定本节课的教学重点是切线长定理
二、目标与目标解析
1.目标
（1）使学生理解切线长定义.
（2）使学生掌握切线长定理，并能初步运用.
2.目标解析
（1）通过本节教学，进一步培养学生的动手操作能力和创新意识.
（2）学生在猜想、探索、验证切线长定理活动中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力.
（3）通过分析问题、解决问题的过程，激发学生学数学的兴趣，使学生积极参与、体验成功. 三、教学问题诊断分析
学生在七、八年级已经学习了轴对称图形、三角形全等的判定与性质、正方形的判定与性质、勾股定理，在本章《圆》前面已经学习了切线的定义、判定与性质、圆的对称性.因此学生对前面圆的相关知识都有一定的认识，这对本节课的学习有一定的帮助，学习过程不会很困难，理解也不很困难，但书写证明过程有一定的难度.在相关知识的学习过程中，学生已经经历了利用轴对称图形的性质证明垂径定理的经验，和尺规作图等动手操作能力，经历了对数学问题进行观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程. 同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的动手实践、自主探索与合作交流的能力.
本节课的教学难点是：切线长定理的灵活运用
教学过程设计:
（一）复习提问，引入新课
切线的性质和切线的判定。
（二）观察、猜想、证明，形成定理
1、提出问题：
过平面内的一点作圆的切线，可以作出几条切线？（注意分类讨论）
2.切线长的概念．
如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，我们把线段PA，PB叫做点P 到⊙O的切线长．
注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.
3、观察
变动点P 的位置，观察图形的特征和各量之间的关系．
4、猜想
引导学生直观判断，猜想图中PA是否等于PB? (PA＝PB)．
5、证明猜想，形成定理．
猜想是否正确。
需要证明．
组织学生分析证明方法．关键是作出辅助线OA ，OB ，要证明PA ＝PB ． 想一想：根据图形，你还可以得到什么结论？∠OPA ＝∠OPB(如图)等．
选一名学生板演证明过程
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
剖析定理：
（1）指出定理的题设和结论； （2）用符号语言表示定理：
∵PA 、PB 分别是⊙O 的切线，点A 、B 分别为切点，（PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ）
∴PA=PB ，∠APO=∠BPO.
4.切线长定理图形研究：（小组合作讨论）
结合下面的切线长的基本图（PA ，PB 分别切⊙O 于A ，B ，直线PO 交⊙O 于D ，E ，交AB 于C.），根据图形，你还可以得到什么结论？小组交流，研究下面的问题 (1)若连结两切点A 、B ，AB 交OP 于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明. (2)若延长PO 交⊙O 于点C ，连结CA 、CB ，你又能得出什么新的结论?并给出证明.
归纳：如图PA 、PB 是⊙O 的两条切线，A 、B 为切点，直线OP 交于⊙O 于点D 、E ，交AB 于C 。
（1）写出图中所有的垂直关系 （2）写出图中与∠OAC 相等的角 （3）写出图中所有的全等三角形
（4）写出图中所有的等腰三角形
反思：在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形。
（1）分别连结圆心和切点 （2）连结两切点 （3）连结圆心和圆外一点
说明：对基本图形的深刻研究和认识是在学习几何中关键，它是灵活应用知识的基础．
（三）应用、归纳、反思
例1、已知：如图,PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别是A 、B ，Q 为弧AB 上一点，过Q 点作⊙O 的切线，交PA 、PB 于E 、F 点，已知PA=12cm ，求△PEF 的周长。
例2、已知：P 为⊙O 外一点，PA 、PB 为⊙O 的切线，A 、B 为切点，BC 是直径。
求证：AC ∥OP
（四）梳理小结，盘点收获 1、你的学习心得、体会是什么？ 2、你有哪些好的经验可推广？ 3、你还存在哪些困难、疑问？
这节课我们所探索的有关切线长的知识是在给出圆的两条切线的情况下得出的，那么要是圆的三条切线两两相交，又会有什么样的结论呢？如果有四条切线呢？这些问题有待于我们课后去研究 . (五)目标检测设计
1、如图：PA 、PB 是⊙O 的两条切线，A 、B 为切点，直线OP 交于⊙O 于点M ，交AB 于C 。
（1）若PA=4、PM=2，求圆O 的半径OA （2）已知OA=3cm,OP=6cm ，则∠APB= （3）若∠P=70°，则∠AOB=
第1题
A
（4）OP 交⊙O 于M ，则 = ，ＡＢ ＯＰ
（六）推荐作业，巩固拓展
A 层：1.已知：如图5，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为D 、E 、F ，
（1）图中共有几对相等线段？
（2）若AF =4，BD =6，CE =8，则△ABC 的周长是 ； （3）若AB =9，BC =15，AC=12，则AF = ，BD = ，CE = .
2.如图，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 两点，C 是弧AB 上任意一点，过C
作⊙O 的切线，交PA 及PB 于D 、E 两点，已知∠P =50°，PA=PB=6cm ，则∠DOE = ，△PDE 的周长是 .
B 层：
1、如图，过⊙O 外一点作⊙O 的切线PA 、PB ，A 、B 为
切点，C 为弧AB 上一点，设∠APB =α . 求证：∠ACB ＝
2．如图，PA 、PB 切⊙O 于A 、B ，PO 交AB 于E ，等式①AE =BE ；② AO 2=OE ·OP ；③∠OAB =21∠APB ；④ PA =PB 中，成立的有（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
教学反思：
在本节课教学中，对本课的重点学习内容能组织学生自主观察、猜想、证明，并深刻剖析切线长定理的基本图形；对重要的结论及时总结。
尤其是切线长的基本图形研究环节，学生能充分利用已有的知识和新课内容结合，把切线长定理和圆的对称性紧密结合，体现了本节课知识点的工具性。
P
P
P
α
2
1
90+︒。