第三章 矩阵的初等变换与线性方程组

第三章 矩阵的初等变换与线性方程组

讲授内容§3.1 矩阵的初等变换；§3.2 初等矩阵

教学目的和要求：（1）理解矩阵的初等变换，理解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念． （2）掌握用初等变换求逆矩阵的方法．

（3）理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件.

教学重点：矩阵的初等变换和用矩阵的初等变换求逆矩阵的方法 教学难点：矩阵的初等变换、初等矩阵的性质．

教学方法与手段：从解线性方程组的消元法的三种重要运算入手，引出矩阵的初等变换的定义；初等矩阵与矩阵的初等变换密切相关，三种初等变换对应着三种初等矩阵；从分析初等矩阵的性质出发，推理出用矩阵的初等变换求逆矩阵的方法．传统教学,教练结合 课时安排：2课时 教学过程

§1 矩阵的初等变换

本节介绍矩阵的初等变换，它是求矩阵的逆和矩阵的秩的有利工具。 一、矩阵的初等变换

在利用行列式的性质计算行列式时，我们对其行（列）作过三种变换——“初等变换”. 定义1 对矩阵的行(列)施以下述三种变换，称为矩阵的行(列)初等变换.

初等变换 行变换 列变换 ① 对调 j i r r ↔ j i c c ↔ ② 数乘)0(≠k i r k i c k

③ 倍加 j i r k r + j i c k c +

矩阵的行初等变换与列初等变换统称为矩阵的初等变换.

n m A ⨯经过初等变换得到n m B ⨯, 记作n m n m B A ⨯⨯→．

定义2 等价矩阵：若n m n m B A ⨯⨯→有限次

, 称n m A ⨯与n m B ⨯等价, 记作n m n m B A ⨯⨯≅． 矩阵之间的等价关系有下列性质: (1) 自反性：A A ≅ (2) 对称性：n m n m B A ⨯⨯≅n m n m A B ⨯⨯≅⇒

(3) 传递性：n m n m B A ⨯⨯≅, n m n m C B ⨯⨯≅n m n m C A ⨯⨯≅⇒

定义3 在矩阵中可画出一条阶梯线,线的下方全为0，每个台阶只有一行，台阶数即

是非零行的行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元.若非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0，则称矩阵为行最简形矩阵.

例1 设⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=4131122122283

2A ，利用初等行变换化为行最简形矩阵. 解 ⎥⎥

⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→413144606690行A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→00004460413

1行

行最简形：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→0000323210413

1行

A B =⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→0000232102301行

标准形：⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡→O O O E H A 000000100001行与列

§2 初等矩阵

定义4 对单位矩阵进行一次初等变换得到的矩阵, 称为初等矩阵．

三种初等变换对应着三种初等矩阵. 1. 2.

),()()(0110Δ

j i E j i E E

E E j i r r =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎢⎢⎢⎣

⎡→↔ΛM M Λ )]([Δk i E E k E E i r k =

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎣⎡→ )0(≠k 3.

)](,[)()(11Δ

k j i E j i E E

k E

E j i r k r =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎡→+M Λ

设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⨯mn m m n n n

m a a a a a a a a a A ΛM M M ΛΛ2122221

11211⎥⎥⎥

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m j i ααααΛΛΛ1[]n j i n m A ββββ,,,,,,1ΛΛΛ=⨯

性质1 =A j i E m ),(⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡m i j ααααΛΛΛ1, =

A k i E m )]([⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡m j i k ααααΛΛΛ1, =A k j i E m )](,[⎥

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+m j j i k αααααΛΛΛ1 由此可得：对A 进行一次初等行变换, 相当于给A 左乘一个同类型的初等矩阵.

性质2 =),(j i E A n []

n i j ββββ,,,,,,1ΛΛΛ =)]([k i E A n []

n j i k ββββ,,,,,,1ΛΛΛ

=)](,[k j i E A n []

3Δ

1,,,,,,B k n i j i =+βββββΛΛΛ 注意：3B A i

j c k c +→

因此可得：对A 进行一次初等列变换, 相当于给A 右乘一个同类型的初等矩阵． 性质3 1),(det -=j i E , ),()]

,([1

j i E j i E =-

0)]([det ≠=k k i E , )]1([)])(([1

k

i E k i E =- 1)](,[det =k j i E , )](,[)]

)(,([1

k j i E k j i E -=-

定理1 n n A ⨯可逆A ⇔可以表示为有限个初等矩阵的乘积．

证 必要性 已知0det ≠A , 则A 满秩n E A ≅⇒, 故存在初等矩阵 Ps P ,,1⋅⋅⋅及Qt Q ,,1⋅⋅⋅, 使得

n E Qt AQ P Ps =⋅⋅⋅⋅11, 1

11111----⋅⋅⋅⋅=Q Q P P A t s 而1

-i P 与1

-j Q 都是初等矩阵．

充分性 设l P P P A ⋅⋅⋅=21，因初等矩阵可逆，有限个可逆矩阵的乘积仍可逆，故A 可逆.

定理2 设n m A ⨯,n m B ⨯, 则⇔≅⨯⨯n m n m B A 存在可逆矩阵m m P ⨯和n n Q ⨯, 使得B PAQ =． 证 必要性 已知n m n m B A ⨯⨯≅, 则存在m 阶初等矩阵Ps P ,,1⋅⋅⋅和n 阶Qt Q ,,1⋅⋅⋅, 使得B Qt AQ P Ps =⋅⋅⋅⋅11, 令 Qs Q Q Ps P P ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=11, ,则有B PAQ =． 充分性 已知B PAQ =, 则由定理1知, P 和Q 都可以表示为有限个初等矩阵的乘积, 即 Qs Q Q Ps P P ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=11, ,

故B Qt AQ P Ps =⋅⋅⋅⋅11, 也就是

n m n m B A ⨯⨯≅． 由此可得矩阵求逆方法之二（初等行变换法）

0det ≠⨯n n A s P P P A Λ21=⇒ （i P 都是初等矩阵）