第三章 矩阵的初等变换与线性方程组

第三章 矩阵的初等变换与线性方程组讲授内容§3.1 矩阵的初等变换；§3.2 初等矩阵教学目的和要求：（1）理解矩阵的初等变换，理解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念． （2）掌握用初等变换求逆矩阵的方法．（3）理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件.教学重点：矩阵的初等变换和用矩阵的初等变换求逆矩阵的方法 教学难点：矩阵的初等变换、初等矩阵的性质．教学方法与手段：从解线性方程组的消元法的三种重要运算入手，引出矩阵的初等变换的定义；初等矩阵与矩阵的初等变换密切相关，三种初等变换对应着三种初等矩阵；从分析初等矩阵的性质出发，推理出用矩阵的初等变换求逆矩阵的方法．传统教学,教练结合 课时安排：2课时 教学过程§1 矩阵的初等变换本节介绍矩阵的初等变换，它是求矩阵的逆和矩阵的秩的有利工具。

一、矩阵的初等变换在利用行列式的性质计算行列式时，我们对其行（列）作过三种变换——“初等变换”. 定义1 对矩阵的行(列)施以下述三种变换，称为矩阵的行(列)初等变换.初等变换 行变换 列变换 ① 对调 j i r r ↔ j i c c ↔ ② 数乘)0(≠k i r k i c k③ 倍加 j i r k r + j i c k c +矩阵的行初等变换与列初等变换统称为矩阵的初等变换.n m A ⨯经过初等变换得到n m B ⨯, 记作n m n m B A ⨯⨯→．定义2 等价矩阵：若n m n m B A ⨯⨯→有限次, 称n m A ⨯与n m B ⨯等价, 记作n m n m B A ⨯⨯≅． 矩阵之间的等价关系有下列性质: (1) 自反性：A A ≅ (2) 对称性：n m n m B A ⨯⨯≅n m n m A B ⨯⨯≅⇒(3) 传递性：n m n m B A ⨯⨯≅, n m n m C B ⨯⨯≅n m n m C A ⨯⨯≅⇒定义3 在矩阵中可画出一条阶梯线,线的下方全为0，每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元.若非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0，则称矩阵为行最简形矩阵.例1 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=41311221222832A ，利用初等行变换化为行最简形矩阵. 解 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→413144606690行A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→000044604131行行最简形：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→00003232104131行A B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→0000232102301行标准形：⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→O O O E H A 000000100001行与列§2 初等矩阵定义4 对单位矩阵进行一次初等变换得到的矩阵, 称为初等矩阵．三种初等变换对应着三种初等矩阵. 1. 2.),()()(0110Δj i E j i E EE E j i r r =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→↔ΛM M Λ )]([Δk i E E k E E i r k =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→ )0(≠k 3.)](,[)()(11Δk j i E j i E Ek EE j i r k r =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→+M Λ设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⨯mn m m n n nm a a a a a a a a a A ΛM M M ΛΛ212222111211⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m j i ααααΛΛΛ1[]n j i n m A ββββ,,,,,,1ΛΛΛ=⨯性质1 =A j i E m ),(⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡m i j ααααΛΛΛ1, =A k i E m )]([⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡m j i k ααααΛΛΛ1, =A k j i E m )](,[⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+m j j i k αααααΛΛΛ1 由此可得：对A 进行一次初等行变换, 相当于给A 左乘一个同类型的初等矩阵.性质2 =),(j i E A n []n i j ββββ,,,,,,1ΛΛΛ =)]([k i E A n []n j i k ββββ,,,,,,1ΛΛΛ=)](,[k j i E A n []3Δ1,,,,,,B k n i j i =+βββββΛΛΛ 注意：3B A ij c k c +→因此可得：对A 进行一次初等列变换, 相当于给A 右乘一个同类型的初等矩阵． 性质3 1),(det -=j i E , ),()],([1j i E j i E =-0)]([det ≠=k k i E , )]1([)])(([1ki E k i E =- 1)](,[det =k j i E , )](,[)])(,([1k j i E k j i E -=-定理1 n n A ⨯可逆A ⇔可以表示为有限个初等矩阵的乘积．证 必要性 已知0det ≠A , 则A 满秩n E A ≅⇒, 故存在初等矩阵 Ps P ,,1⋅⋅⋅及Qt Q ,,1⋅⋅⋅, 使得n E Qt AQ P Ps =⋅⋅⋅⋅11, 111111----⋅⋅⋅⋅=Q Q P P A t s 而1-i P 与1-j Q 都是初等矩阵．充分性 设l P P P A ⋅⋅⋅=21，因初等矩阵可逆，有限个可逆矩阵的乘积仍可逆，故A 可逆.定理2 设n m A ⨯,n m B ⨯, 则⇔≅⨯⨯n m n m B A 存在可逆矩阵m m P ⨯和n n Q ⨯, 使得B PAQ =． 证 必要性 已知n m n m B A ⨯⨯≅, 则存在m 阶初等矩阵Ps P ,,1⋅⋅⋅和n 阶Qt Q ,,1⋅⋅⋅, 使得B Qt AQ P Ps =⋅⋅⋅⋅11, 令 Qs Q Q Ps P P ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=11, ,则有B PAQ =． 充分性 已知B PAQ =, 则由定理1知, P 和Q 都可以表示为有限个初等矩阵的乘积, 即 Qs Q Q Ps P P ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=11, ,故B Qt AQ P Ps =⋅⋅⋅⋅11, 也就是n m n m B A ⨯⨯≅． 由此可得矩阵求逆方法之二（初等行变换法）0det ≠⨯n n A s P P P A Λ21=⇒ （i P 都是初等矩阵）⎭⎬⎫==-------11112111121A E P P P E A P P P s s ΛΛ ⇒ [][]111121----=A E E A P P P s Λ由此可得：对n n 2⨯矩阵[]E A 施行“初等行变换”，当前n 列（A 的位置）成为E 时，则后n 列（E 的位置）为1-A ．例2 设 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=431212321A . 用初等变换法求1-A解[]E A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100431010212001321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→101110012430001321行⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→012430101110001321行⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→315100101110203101行⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→315100416010112001行⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→315100416010112001行故⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-3154161121A ． 例3 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1010010001232a a a a a aA ，试用初等变换法求1-A 解 []E A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10001010001001000100010001232a a aa a a依次作初等行变换 34ar r -, 23ar r -, 12ar r -可得[]E A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→10010000100100001001000010001a a a故 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-11111a a a A ． 例4 判断方阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=2114415212211111A 是否可逆.若可逆，求1-A 解()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=---100401020011000123302330233011111000010000100001211441521221111113121424M M M M M M MM M r r r r r r E A因为233023323311111-------，所以0||=A ，故A 不可逆，即1-A 不存在.[注] 此例说明，从用初等变换求逆矩阵的过程中，即可看出逆矩阵是否存在，而不必先去判断.例5 解矩阵方程B AX =，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=523012101A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=141254121B . 解()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=100010001523012101M M M M E A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→2112711521125100010001 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=∴-21127115211251A⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----==-14125412121127115211251B A X ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=640892521 思考与作业： 习题三 P79:1(1)(4)4, 5讲授内容§3.3 矩阵的秩教学目的和要求：通过对矩阵的秩的定义及求法的了解，使学生明白矩阵的秩在矩阵理论中重要性．理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩. 教学重点：矩阵的秩.教学难点：理解矩阵的秩的概念和基本性质，矩阵的秩的定义及计算.教学方法与手段：矩阵的秩是用矩阵的最高阶非零子式的阶数来定义的，因此，若R （A ）=r ，则意谓着，A 中必有一个r 阶非零子式，同时A 中所有的r+1阶子式（若存在的话）必为零.搞清楚了矩阵的秩的概念，便可进一步理解矩阵的秩的基本性质及其它性质．传统教学,教练结合 课时安排：2课时 教学过程矩阵的秩是一个很重要的概念，在研究线性方程组的解等方面起着非常重要的作用. 一、矩阵的秩的基本概念定义4. 子式：在n m A ⨯中, 选取k 行与k 列, 位于交叉处的2k 个数按照原来的相对位置构成k 阶行列式, 称为A 的一个k 阶子式, 记作k D ．对于给定的k , 不同的k 阶子式总共有kn k m C C 个．定义5. 矩阵的秩：在n m A ⨯中，若 (1) 有某个r 阶子式0≠r D ；(2) 所有的1+r 阶子式01=+r D （如果有1+r 阶子式的话）． 称A 的秩为r , 记作r A =rank , 或者 r A r =)(．规定：0rank =O 例6 求下列矩阵的秩⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=331211010011A ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=3620130131120101B解()0110012≠==A D ，而A 的所有三阶子式（4个）312101011=-，312101011=-，0332111001=，331110001=-所以 ()2=A R3620130131120101-----=B Θ362014013312000113-----=-C C 362140331-----=036900140331132≠-=----=-r r ()4=∴B R 3620130131120101-----=B Θ362014013312000113-----=-C C 362140331-----=036900140331132≠-=----=-r r ()4=∴B R二、矩阵的秩的性质及结论性质：1. ()00=⇔=A A R ；2. 对于n m A ⨯，有()),m in(0n m A R ≤≤；3. 若()r A R =，则A 中至少有一个0)(≠A D r ，而所有的0)(1=+A D r .4. 0≠k 时, ))A R(kA R(=5.))A R(A R(T= 6. A 中的一个0≠r D r A R(≥⇒) 7. A 中所有的01=+r D r A R(≤⇒) 8. {}())()(,)(),(B R A R B A R B R A R max +≤≤9. {}R(B)R(A),min AB)R ≤( 10.若0B A l n n m =⨯⨯, 则n B R A R ≤+)()([注] n m A ⨯, 若m A =rank , 称A 为行满秩矩阵； 若n A =rank , 称A 为列满秩矩阵．n n A ⨯, 若n A =rank , 称A 为满秩矩阵（可逆矩阵, 非奇异矩阵）； 若n A <rank , 称A 为降秩矩阵（不可逆矩阵, 奇异矩阵）．A 为满秩方阵 ⇔0||≠A (A 可逆 ⇔ A 为满秩方阵).定理1 n m n m B A ⨯⨯≅B A rank rank =⇒．证 只需证明n m n m B A ⨯⨯→次1B A rank rank =⇒． 设r A =rank , 仅证行变换之(3)的情形：B k A j j ir k r j i j i =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+ΛΛΛΛΛΛααααα (1) 若},{min n m r <, 则有)(1B r D +不含i r ：0)(1)(1==++A r B r D D)(1B r D +含i r , 不含j r ：0)(1)(1)(1=±=+++A r A r B r D k D D )(1B r D+含i r , 且含j r ：0)(1)(1==++A r B r D D 倍加故B 中所有的1+r 阶子式0)(1=+B r D A r B rank rank =≤⇒ A B ji r k r -→B A rank rank ≤⇒, 于是可得B A rank rank =． (2) 若m r =或者n r =, 构造矩阵 )1()1(1+⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=n m O O O A A , )1()1(1+⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=n m O O O B B 由(1)可得11B A ji r k r +→11rank rank B A =⇒⎭⎬⎫==B B A A rank rank rank rank 11B A rank rank =⇒其余情形类似．定理2 若)0(rank >=⨯r r A n m , 则⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→0000***0022111121ΛM M ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛr r r ri i i i i i b b b b b b A 行B =：行阶梯形][][][21r i i i⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→0000*1*01*00100ΛM M ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ行A H =：行最简形 定理3 若)0(rank >=⨯r r A n m , 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡→O O O E A r, 称为A 的等价标准形． 推论1 若n n A ⨯满秩, 则n E A ≅．推论2 n m n m B A ⨯⨯≅B A rank rank =⇔．三、利用初等变换求矩阵的秩利用定理4可以简化求秩)(A R 的计算，其常用的方法有：1. 只用初等行变换，可把A 变成阶梯形矩阵. 例7 求)(A R 其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=14011313021512012211A解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→+--22200000001512012211222001512015120122112313142r r r r r r A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→↔0000022200151201221143r r （阶梯形），有此可看出 .3)(=A R2．进一步，再进行列初等变换，A 可化为标准型I . 在例7中，I A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→0000000100000100000100000222001512012211I 的特点：左上角为一个)(A R 阶单位矩阵，其它元素为0.在具体的解题过程中，如果A 经过几次初等变换后即可看出)(A R 的秩时，就不必再继续将A 化为阶梯形. 例8 求)(A R 其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=07521321111321021101A解.26420131013210211011314B 2A r r r r =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------→--至此，易知2)(=B R (B 不是阶梯矩阵)所以 2)(=A R .例9 试分析以下给出的解答的错误，并给出正确的解答. 已知 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=5321A ， 求1-A 错误解答⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11310010113110010110113010110530121 即 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-113011A 错误原因: 没有注意到利用 )()(1-→A E E A M 来求1-A 时,要使用初等行变换才可以.而在解法中第1、3步却使用了列变换.正确答案⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==-1325111*1A A A思考与作业：习题三 P79:6,7,10讲授内容§3.4 线性方程组的解教学目的和要求：理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件．利用矩阵的秩，使学生清楚“线性方程组的解Ax=b 有解的充要条件是),()(b A R A R =和“n 元齐次线性方程组的解Ax=0有非零解的充要条件是n A R <)(”这两个线性方程组理论中的最基本的定理。