随机信号分析课件第3章

R X ( )
1 2
4
24 10
e 9
j d
令 z= ω ,求 z= j和 z= 3 j百度文库 留
1 2
{2
z2 4 j (z2 9)(z
j ) e jz | | | z j
2
j (z
z2 4 3 j)(z2
1 ) e jz | | | z 3 j }
3 e | | 5 e 3 | |
随机过程
第三章：平稳过程的谱分析
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1
第三章：平稳过程的谱分析
3.1 功率谱密度的定义 3.2 功率谱密度的性质 3.3 功率谱密度与自相关函数关系 3.4 离散随机序列的功率谱密度 3.5 联合平稳过程的互谱密度 3.6 白噪声自相关函数和功率谱密度
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2
平稳过程的相关函数在时域上描述了过程的统计特 性，为了描述平稳过程在频域上的统计特性, 需要引入 了谱密度的概念。
证明:
x(t)
2
dt
x(t)[ 1
2
Fx ()e jt d]dt
Fx
()[ 1 2
x(t)ejt
dt]d
1
2
________
Fx() Fx()d
1
2
Fx ()
2d
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6
3.1 功率谱密度的定义
数学推导基本步骤如下:
设X(t)是均方连续的随机过程，作截尾随机过程XT (t) :
这章的上部分内容主要讨论随机过程的谱分析。
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3
知识回顾：
对于确定信号的傅立叶变换的回顾： 设X(t)是时间t的非周期实函数，则X(t)存在
傅立叶变换的充要条件是：
（1）X(t)在 -，+ 满足狄利赫利条件；
（2）X(t)绝对可积,即 X(t)dt
（3）若X(t)代表信号，则总能量有限,即 X(t)2dt
简称谱密度。
对于平稳随机过程，平均功率等于该过程的
均 方 值 ,等 于 它 的 谱 密 度 在 频 域 上 的 积 分 。 即 ：
2 E [ X ( t ) 2 ] 1
2
S X ( )d
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3.2 功率谱密度的性质
平稳过程的功率谱密度的性质：
(1) Sx() 0 (2) Sx()是 的实函数。 (3) 对实随机过程，Sx() Sx()是偶函数
可以证明：随机过程的自相关函数与功率谱密度之间互
为傅立叶变换对。这一个关系就是著名的维纳-辛钦定理。 即：
X(t)是均方连续的平稳过程，R X ( ) 是它的相关函数，S X ( )
为它的功率谱密度，如果
RX ( ) d
，则有：
S X () RX ( )e j d
RX
( )
1
2
SX
( )e j d
R x ( ) e j d
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当随机过程为实平稳随机过程时：
证明：
SX()2RX()cosd
0
SX()RX()ejdRX()(cosjsin)d
RX()cosd2RX()cosd
0
同理： RX()1 0SX()cosd
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例题3-1:
平
稳
随
机
过
程
谱
密
度
SX
(w
)
4
2 4 10 2
j ( t2 t1 ) d t1 d t 2 ]
l i m =
1
T 2T
T T
T T
E
[X
( t1 ) X
(t2 )]e
j ( t2 t1 ) d t1 d t 2
令 t t1 t2 , t2 t1 , 则
l i m S X ( )
T
2T
(1
2T
2T
)R x (
) e j d
XT
(t
)
X 0,
(t),
t t
T T
Fx (,T) 为XT (t)的傅立叶变换，
由帕塞伐公式以及傅立叶反变换，得到
T
2
X(t) dt
1
T
2
Fx (,T) 2d
(Parseval帕塞伐公式)
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对上式两边先取时间平均，再取统计平均得到：
l i m 左 边 = E [
1
T
2
X (t) dt]
(4) 可积性，即 -Sx()d
证明：(1)(2)(3)
lim SX ()
T
1 2T
E[
Fx(,T)
2]
lim
1 E[
T
X(t)ejtdt
2
]
T 2T T
lim
T
1 E[ 2T
T T
X(t1整)e理pjptt1dt1
T T
X(t2)ejt2dt2]
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3.3 功率谱密度与自相关函数的关系
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功率谱密度的定义:
设 {X(t),-<t<}为 均 方 连 续 的 随 机 过 程 ，
li m 称 2
E[ 1
T
2
X (t) dt]
为 X(t)的 平 均 功 率 ；
T
2T T
l i m 称 S X ( )
T
1 2T
E [ Fx ( ,T ) 2 ]
为 X(t)的 功 率 谱 密 度 ，
T 2T T
li m
E[ 1
T
2
X (t) dt]
T 2T T
l i m 右 边 E
1 [1
T 2T 2
F x ( , T ) 2 ]d
l i m 1
2
1 E[ T 2T
F x ( , T ) 2 ]d
l i m 1
2
T
1 2T
E [ F x ( , T ) 2 ]d
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证明：
l i m S X ( )
T
1 2T
E [ F x ( ,T ) 2 ]
l i m =
T
1 2T
E[
T T
X
( t1 )e
j t1 d t1 .
T T
X
( t 2 )e j t2 d t 2 ]
l i m = T
1 2T
T
E[ T
T T
X
( t1 ) X
(t2 )e
16
48
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15
也可以这样求解均方值:
2 E[X2(t)] 1
2
SX()d
= 1
2
4
12042 9d
令z=w，则上半平面极点为 z1= j , z2 = 3j ：
9
,
求平稳随机过程的相关函数和均方值。
解:
方法1：利用常用的傅立叶变换
5
3
S X ( )
( 2
2 4 9)( 2
1)
8 ( 2
9)
(
8 2
1)
23 5 21 3
(
2
48 9)
16 ( 2 1)
5 e 3| | 3 e | |
48
16
已 知 ： bea
2ab a2 2
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方法2：利用留数定理
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4
此 时 ， x(t)的 傅 立 叶 变 换 为 ：
Fx ( )
x(t )e jt dt
傅立叶反变换为：
x(t ) 1
2
Fx
(
)e
j t
d
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5
非周期性确定性时间函数的帕塞伐（Parseval)等式为:
x(t)2dt21 Fx()2d
其中, F x ( ) 2 称为能谱密度。