随机信号分析课件第3章

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随机信号分析 第三章平稳随机过程(2)

随机信号分析 第三章平稳随机过程(2)




- -
f(t1 ) X (t2 t1 ) f (t2 )dt1dt2 0 R
3.2.2平稳随机过程互相关函数的性质
性质1:R XY (0)=R YX (0),R XY (0)表随机过程在同一时刻的相关性
性质2:一般情况下,互相关 函数是非奇非偶的函数 RXY ( ) RYX ( ).
如果两个复随机过程各 自平稳且联合平稳,则 RZ1Z 2 (t , t ) RZ1Z 2 ( ) CZ1Z 2 (t , t ) CZ1Z 2 ( )
如果CZ1Z 2 (t , t ) 0, 则称Z1 (t )与Z 2 (t )为不相关过程。 如果RZ1Z 2 (t , t ) 0,则称Z1 (t )与Z 2 (t )为正交过程。
R XY ( )=E[X(t)Y(t+ )]=E[Y(t+ )X(t)]=R YX (- )
性质3 : 互相关函数幅度平方满 | RXY ( ) |2 RX (0) RY (0) 足: 互协方差函数满足: XY ( ) |2 C X (0)CY (0) 2 X 2Y |C
(2)相关时间 | X ( 0 )|=0.05,的时间为相关时间 0。
(3)互相关系数 定义X(t)和Y(t) 的互相关系数为 PXY ( ) R XY ( ) XY ( )= = 1 R X (0)R Y (0) X Y
3.6复随机过程
3.6.1复随机变量 如果X和Y分别是实随机变量,定义Z=X+jY 为复随机变量。 复随机变量的数学期望在一般情况下是复数: mZ=E[Z]=E[X]+j E[Y]=mX+jmY
方差则为
2 Z=E[| ( X mX ) j (Y mY ) |2 ] D[ X ] D[Y ]

随机信号分析第3章-平稳性与功率谱密度

随机信号分析第3章-平稳性与功率谱密度
时刻t,X (t) 具有相同的统计特性。
8
a) 一般在实际应用中,只要产生随机信号 的主要物理条件,在时间进程中不发生变化。 则此信号就可以认为是平稳的。例如:在电子 管中由器件的“颗粒效应”引起的散弹噪声, 由于产生此噪声的主要物理条件不变,所以此 噪声可以认为是平稳的。
b)另一方面,对于有些非平稳随机信号, 可以根据需要,如果它在观测时间段内是平稳 的,就可以在该时间段内把信号视作平稳的随 机信号来处理。
(5)若自相关函数 R( ) 关于 在原点连续, 则它是关于 处处连续。
看书上图3.3,P71
22
例 如图所示,随机信号X(t)与A(t)相加。 X(t) 与A(t)相互独立,且其中之一均值为零。试求 它们之和Y(t)的自相关函数与X(t),A(t)的自相 关函数之间的关系。
解:Y (t) X (t) A(t)
13
联合广义平稳
定义:随机信号X (t),t T与Y(t),t T,如果
单个是广义平稳的,且其互相关函数存在,并
与两时刻 t1,t2 的绝对值无关,只与相对差
t1 t2有关,即 RXY (t1, t2 ) RXY (t , t) RXY ( )
则称X(t)与Y(t)具有联合广义平稳性。
cos(2t
2)
1 2
RX
(
)
cos(
)
所以,Y(t)广义平稳。
16
§3.3 广义平稳随机信号的相关函数
一、自相关函数与协方差函数
R( ) E X (t )X (t)
x1x2 f (x1, x2;t , t)dx1dx2
C( ) E X (t ) m X (t) m
R(t1,t2 ) R(t1 t,t2 t) 自相关函数平稳

《随机信号分析》课件

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表示随机信号的波动范围,即信号值偏离均值的程度。
方差
均值
自相关函数描述了随机信号在不同时间点之间的相关性。
自相关函数可以用于分析信号的周期性和趋势性。
谱密度函数描述了随机信号的频率成分。
通过谱密度函数,可以了解信号在不同频率下的强度和分布。
04
CHAPTER
随机信号的频域分析
傅立叶变换是信号处理中的基本工具,用于将时间域的信号转换为频域的表示。通过傅立叶变换,我们可以分析信号的频率成分和频率特性。
02
时间变化特性
由于随机信号的取值是随机的,因此其时间变化特性也是随机的,表现为信号的幅度、频率和相位都是随机的。
在通信领域,随机信号可以用于扩频通信、信道编码等,以提高通信的可靠性和抗干扰能力。
通信
在雷达领域,随机信号可以用于雷达测距、目标跟踪等,以提高雷达的抗干扰能力和探测精度。
雷达
在地球物理学领域,随机信号可以用于地震勘探、矿产资源探测等,以提高探测的精度和可靠性。
线性系统的输出信号的统计特性与输入信号的统计特性和系统的传递函数有关。通过分析线性系统对随机信号的作用,我们可以了解系统对信号的影响和信号经过系统后的变化情况。
05
CHAPTER
随机信号的变换域分析
总结词
拉普拉斯变换是一种将时域信号转换为复平面上的函数的方法,用于分析信号的稳定性和可预测性。
详细描述
详细描述
06
CHAPTER
随机信号处理的应用
信号传输
随机信号分析在通信系统中用于信号传输的调制和解调过程,通过对信号的随机性进行编码和解码,实现可靠的信息传输。
目标检测
01
随机信号分析在雷达系统中用于目标检测和跟踪,通过对接收到的回波信号进行分析和处理,实现高精度和高可靠性的目标定位和识别。

随机信号分析第三章

随机信号分析第三章

E{ X (t + Δt )} → E{ X (t )}

m X (t + Δt ) → m X (t )
(3.2.10)
由此可以得出结论: 如果 X (t ) 均方连续,则其均值函数亦连续。(3.2.10)式也可以表示为
Δt →0
lim E{ X (t + Δt )} = E{ X (t )} = E{l ⋅ i ⋅ m X (t + Δt )}
(3.1.11)
假定系统是线性时不变的,由线性时不变的基本特性和两个基本定理可以看出,如果 X (t ) 是 严平稳的,则 Y (t ) 也是严平稳的。如果 X (t ) 是广义平稳的,则 Y (t ) 也是广义平稳的。
108
3.2 随机过程的导数与积分
与确定性过程一样,导数和积分是随机过程的两种重要的运算,而导数和积分又是以极限为基 础的。因此,本节首先介绍随机变量极限的概念,进而引入导数和积分的概念。随机变量的极限有 几种,我们只讨论其中最常用的一种,即均方极限,因此,我们讨论的导数和积分都是均方意义下 的导数和积分。
3.2.3 随机过程的导数
有了随机过程极限与连续性的定义后,我们就可以引入导数的概念。 1 导数的定义 定义:设随机过程 X (t ) ,如果下列极限存在,
l ⋅i ⋅m
Δt →∞
X (t + Δt ) − X (t ) Δt dX (t ) , 即 dt
(3.2.12)
则称此极限为随机过程 X (t ) 的导数,记为 X ′(t ) 或
以上两个定理是线性变换的两个基本定理,它给出了随机过程经过线性变换后,输出的均值和 相关函数的计算方法。 从两个定理可知,对于线性变换,输出的均值和相关函数可以分别由输入的均值和相关函数确 定。推广而言,对于线性变换,输出的 k 阶矩可以由输入的相应阶矩来确定。如

随机信号分析_第三章_平稳随机过程的谱分析

随机信号分析_第三章_平稳随机过程的谱分析

A RX (t , t ) e j d


说明如果A<RX(t,t+τ)>绝对可积,那自 相关函数的时间平均与功率谱密度是傅 里叶变换对。
对于平稳随机过程,由于: A<RX(t,t+τ)>= A<RX(τ)>= RX(τ) 所以: j S X ( ) RX ( )e d
S X ( ) R X ( )e
0

j
d
0
Ae e


j
d Ae
e
j
d
1 1 A[ ] j j 2 A 2 2
例3.4 P203 设随机相位信号X(t)=Acos(ω0t+θ), 其中A, ω0为常数; θ为随机相位,在(0, 2π)均匀分布。可以计算初其自相关函 数RX(τ)=[A2cos (ω0τ)]/2, 求X(t)的功率谱 密度。 解:引入δ函数。 1 1 j ()e d 2 2
3.2.1 功率谱密度的性质
1. 功率谱密度的非负性。即: SX(ω)>=0 2. 功率谱密度是ω的实函数。即: SX(ω)= SX(ω)
3. 对于实随机过程来讲,功率谱密度是ω 的偶函数。即: SX(ω)= SX(-ω) 4. 功率谱密度可积。即:



S X ( )d
3.2.2 谱分解定理
满足上述条件的x(t)的傅利叶变换为:
Fx ( ) x(t )e


jt
dt
称为x(t)的频谱。为一复数,有 Fx(ω)= Fx(-ω)
Fx(ω)的傅利叶反变换为:
1 x(t ) 2

第三章 随机信号分析

第三章 随机信号分析
5
随机信号是一类变化规律不确定的、随时间变化的 信号。知道当前的值,不能精确地预计未来某个时刻 的值。 一般来说,由人工产生的信号大都是确知信号,如 周期正弦波、雷达的发射信号等 自然界产生的许多信号都是随机信号,如海浪、地 物杂波、图象信号、语音信号、地震信号和医学上的 生理信号等。 在实际中遇到的信号,大部分都是随机信号。即使 由人工产生的信号是确知的,但信号经信道传输以后 也会受到噪声污染而变成了随机信号。
p1 x 1 , t 1 p1 x 1 , p 2 x 1 , x 2 , t 1 , t 1

p 2 x 1 , x 2 ,

24
2、严平稳随机过程的数字特征
(1) 数学期望(均值函数):与时间无关
E X t


x p1 x , t d x
第三章 随机信号
1
学习目标





随机过程的基本概念; 随机过程的数字特征(均值函数、方差函数、相关函 数); 随机过程的平稳性、各态历经性、自相关函数的性质、 维纳-辛钦定理; 高斯随机过程的定义、性质,其一维概率密度函数和正 态分布函数,高斯白噪声; 平稳随机过程通过线性系统,其输出过程的均值函数、 自相关函数和功率谱密度、带限白噪声; 窄带随机过程的表达式,其包络、相位的统计特性,其 同相分量、正交分量的统计特性; 余弦波加窄带高斯过程的合成包络的统计特性(选学) 匹配滤波器 2 循环平稳随机过程
13
如果对于X(t)任意时刻和任意n都给定了分布函数
或概率密度,即n越大,对随机过程统计特性的描述
就越充分,但问题的复杂性也随之增加。
14
2、随机过程的数字特征

第三章 随机信号分析

第三章 随机信号分析
2 2 2
[
]
S X (ω ) = ∫ RX (τ )e jωτ dτ ∞ R(τ ) Pξ (ω ) 1 ∞ jωτ RX (τ ) = ∫∞ S X (ω )e dω 2π
当τ =0时,有 均功率
1 R X (0) = 2π




S X (ω,它表示随机过程的平 )dω
4 高斯(正态)随机过程
– 数字信号:参量的取值有限
2 随机过程的数学描述
随机变量的含义 – 在某个时刻,信号的取值是随机的. 随机过程的定义 – 定义一:随机过程是随机样本函数的集合,表示为
X (t ) = {xi (t )}, i = 1,2, ,其中样本函数 xi (t )称为随机 过程的一次实现. – 定义二:随机过程是随机变量在时间轴上的扩展, X 表示为( x, t ) ,或常用 ) .由此可见,随机过程可以看 X (t 作是不同时刻的多维随机变量
2
2 2 E [ X (t ) ] = σ X (t ) + m X ( t ) 2
物理含义为瞬时平均功率等于瞬时交流功率与直流功率和
2 随机过程的数学描述(续)
随机过程的二维统计特性(对应二维随机变量)
– 相关函数
RX (t1, t2 ) = E[X(t1)X (t2 )] = ∫
∞ ∞ ∞


第三章 随机信号分析
主要内容
1 随机信号的概念 2 随机过程的数学描述 3 平稳随机过程 4 高斯(正态)随机过程
1 随机信号的概念
周期与非周期信号 – 周期信号:满足条件 f (t ) = f (t ± nT ), n = 1,2,
– 非周期信号:有限持续时间的特定时间波形 确知和随机信号 – 确知信号:在任何时刻,取值是唯一确定的 – 随机信号:信号的某个或更多参量的取值是不确定, 不可预测的

《随机信号分析》第3章 随机过程的线性变换

《随机信号分析》第3章  随机过程的线性变换
如果X(t)为平稳随机过程,则
+
RXY (t1 , t2 ) - RX (t1 , t2 u)h(u)du
+
- RX (t1 t2 u)h(u)du
+
- RX ( u)h(u)du
其中,τ = t1-t2,即
RXY ( ) h( ) RX ( )
21
3.2 随机过程通过线性系统分析
类似地
RYX ( ) h( ) RX ( ) RY ( ) h( ) RYX ( )
23
3.2 随机过程通过线性系统分析
平稳随机过程通过线性系统输入输出相关 函数之间的关系
RX ( )
h( )
RXY ( )
h( )
RY ( )
RX ( )
RYX (t1, t2 )
h( )
h( )
RY ( )
证明(续) 根据大数定理,当n→∞时,有
X (t) E[ X (t)],Y (t) E[Y (t)] 所以
E[Y (t)] L{E[ X (t)]}
9
3.1 变换的基本概念和基本定理
定理2 设Y(t)=L[X(t)],其中L是线性变换, 则
RXY (t1 , t2 ) Lt2 [RX (t1 , t2 )] RY (t1 , t2 ) Lt1 [RXY (t1 , t2 )] Lt1 • Lt2 [RX (t1 , t2 )]
解 系统传递函数为
H ( )
1
j
RC
输入X(t)的功率谱为
GX( )
RX( )e j d
2 2 2
33
3.2 随机过程通过线性系统分析
进一步可得
GY( )
GX( ) |

随机信号分析第3章随机信号的频域分析

随机信号分析第3章随机信号的频域分析
2
则其时间平均 P E[ X 2 (t )] R(0) R(0) 所以平稳过程的平均功率: 3、各态历经过程的平均功率 由于各态历经过程X(t)的每个样本函数的时间平均都以概率1 相 同,与 无关,则可推出:
P R(0)
1 P lim T 2T
1 -T X (t, )dt Tlim 2T
5、实随机过程功率谱密度的性质 功率谱密度是随机过程在频域中主要的统计特征。 (1). 功率谱密度为非负值 由定义式3-12
2 | X ( ) | 0 因为 T
GX ( ) 0
1 GX ( ) lim E[| X T ( ) |2 ] T 2T
故而 GX ( ) 0
因为X(t) 平稳 RX ( ),GX ( )是偶函数。
G ( ) 2 R ( ) cosd X X 0 则有: 1 R X ( ) 0 G X ( ) cosd
功率谱密度与自相关函数之间的关系
确定信号: x(t ) X ( j) 随机信号:平稳随机过程的自相关函数
2
E[ X T ( ) ] GX ( ) lim T 2T 1
lim
T
X T ( ) x(t )e
2
T
T
jt
dt
2T
* E[ X T ( ) X T ( )]
T T 1 jt1 E[ X (t1 )e dt1 X (t2 )e jt2 dt2 ] lim T T T 2T 1 T T j ( t 2 t1 ) lim E [ X ( t ) X ( t )] e dt1dt 2 1 2 T 2T T T 1 T T j ( t 2 t1 ) lim R ( t t ) e dt1dt 2 X 2 1 T 2T T T

第三章电子讲义:随机信号分析

第三章电子讲义:随机信号分析

第三章随机信号分析知识结构-随机过程的基本概念和统计特征-平稳随机过程与各态历经性-平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度-高斯过程及其应用-随机过程通过线形系统教学目的-了解随机信号的概念和基本分析方法;-掌握随机过程数字特征、平稳随机过程的相关函数与功率谱密度的关系及其计算-掌握平稳随机过程通过线性系统的性质和相应计算。

教学重点-随机过程的基本概念和数字特征-自相关函数与功率谱密度的关系(即维纳-辛钦定理)-平稳随机过程通过线形系统教学难点-各态历经性的理解-随机过程的自相关函数的性质-维纳-辛钦定理教学方法及课时-多媒体授课(4学时)(2个单元)备注(在上课之前最好让学生复习一下“概率论”)单元四(2学时)§3.1 引言(随机信号的范畴和基本分析方法)本节知识要点:研究随机信号的意义和基本方法随机过程是信号和噪声通过通信系统的过程,因此,分析与研究通信系统,总离不开对信号和噪声的分析。

通信系统中遇到的信号,通常总带有某种随机性,即它们的某个或几个参数不能预知或不可能完全预知(如能预知,通信就失去意义)。

我们把这种具有随机性的信号称为随机信号。

通信系统中还必然遇到噪声,例如自然界中的各种电磁波噪声和设备本身产生的热噪声、散粒噪声等,它们更不能预知。

凡是不能预知的噪声就统称为随机噪声,或简称为噪声。

从统计数学的观点看,随机信号和噪声统称为随机过程。

因而,统计数学中有关随机过程的理论可以运用到随机信号和噪声分析中来。

其基本分析方法主要是通过分析其基本的数字特征,如均值、方差、相关函数等来实现的。

§3.2 随机过程的基本概念本节知识要点:随机过程概念及其基本数字特征1、随机过程的一般概念通信过程中的随机信号和噪声均可归纳为依赖于时间参数t的随机过程。

这种过程的基本特征是,它是时间t的函数,但在任一时刻观察到的值却是不确定的,是一个随机变量。

或者,它可看成是一个由全部可能实现构成的总体,每个实现都是一个确定的时间函数,而随机性就体现在出现那一个实现是不确定的。

随机信号分析课件3

随机信号分析课件3
XX(T, ) xT(t)ejtdt
X X(T ,)2X X(T ,)X X *(T ,)
功率谱密度可表示为
S X ( ) T li m E 2 1 T T Tx(t1)ej t1d t1 T Tx(t2)ej t2d t2 T li m 2 1 T T T T TEx (t1 )x (t2 )ej t1 e j t2d t1 d t2
在系统分析中,常用复频率表示更为方便.

sj
S X ( )
S X (s)
最简单的情况是σ=0,s=jω。
S X ( s ) 沿复频率面s在虚轴j ω的变化与 S X ( )
沿实轴的变化相一致。二者只是符号的一致,各自 的函数形式并不相同。
【例题】
SX()410(10225)24
2A 2 2
例4. 已知平稳随机过程X(t),具有功率谱密度为
SX()411 36236
求该过程的自相关函数和均方值。
解:RX()Ae
SX
()

2A 2 2
SX()4113 6236

16/ 5
2 4
162 /59
16
(2 4)(2 9)
16/5 224/5
24 24
16/5 238/15
29 29
R X ( )

4 e 2 | | 5
8 e 3| | 15
E[ X 2 (t )] RX (0) 4/58/15 4/15
双边带功率谱密度:功率谱密度分布在整个频 率轴上,称为双边带功率谱密度。
3.1.2随机过程的功率谱密度 样本函数x(t)不满足绝对可积的条件,但功率
是有限的
Qlim1 T x(t)2dt T 2T T

随机信号分析课件3、4(常建平)

随机信号分析课件3、4(常建平)
2
则其时间平均 P E[ X 2 (t )] R(0) R(0) 所以平稳过程的平均功率: 3、各态历经过程的平均功率 由于各态历经过程X(t)的每个样本函数的时间平均都以概率1 相 同,与 无关,则可推出:
P R(0)
1 P lim T 2T
1 -T X (t, )dt Tlim 2T
1 P lim T 2T 1 T E[ X (t )]dt E[ X (t )] E[ X (t )] 2
T 2 2 2
kT
( )
2
随机过程的平均功率也可以由过程的均方值求时间平均:



GX ( )d
2、平稳过程的平均功率 若X(t)为平稳过程,其均方值 E[ X (t )] R(0)与“t”无关,
二、实随机信号的平均功率 随机过程的任意一个样本函数,都不满足傅立叶变换的绝对 可积条件,直接对随机过程进行傅立叶变换不可能。但是对其样 本函数作某些限制后,其傅立叶变换存在。
最简单的是应用截尾函数。如右图所示:

xk (t ) 中任意截取长为2T的一段
xk (t ) T 0
xkT (t )
T t
k 不同由于样本函数 xk (t )不同, Pk 也不同。
相对所有试验结果 来讲,所有样本的平均功率 P k 的总体
P 就是一个随机变量。
1 P lim T 2T 1 -T X (t )dt Tlim 4 T
T 2



X T ( ) d
2
其中X(t)是随机过程,XT ( ) XT (, )是随机过程的截取函数的频谱 若对 P 取统计平均,得确定值:
xiT (t ) 为 t 的实函数时,其频谱满足

随机信号基础 生物医学信号处理 教学PPT课件

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• 今后我们所提到的平稳随机过程均认为是广 义平稳随机过程,只有一阶,二阶统计特征 具有平稳性即可。
如果随机信号的统计特性与开始进行统计分析 的时刻无关,则为平稳随机过程。
如果所有样本在固定时刻的统计特征和单一样 本在全时间上的统计特征一致,则为各态遍历 的随机过程。
例如:如果x是平稳的E[x(n)x(n+2)]与 E[x(n+1)x(n+3)]是否相等? 都表示R(2)
(3-20)
y i n i i1
是另外一个平稳随机过程的样本,
是它m的ˆ y样本平均值,当x
i
i i
n 1

y i
i n i 1
相同时,上式求到的就是样本自
协方差。
样本相关函数
Rˆ xy (m )
1 n
n i 1
xi yim
(3-21)
【例3-1】图3.3所示是随机产生的符合高斯 分布的100点样本序列,并且均值为零,方
医学信号属于哪种类型的信号?
• 确定性信号 • 随机信号 • 混沌信号
ECG
EEG-v
随机信号有以下性质:
• 1)随机信号中 的任何一个点 上的取值都是 不能先验确定 的随机变量。
抛掷硬币
随机过程的 一个样本
表3.1 抛掷硬币的统计结果
实验者 摩根 摩根 摩根 摩根 蒲丰
皮尔逊 皮尔逊
维尼
抛掷次数n 2048 2048 2048 2048 4040 12000 24000 30000
2)随机信号可以用它的统计平均特征来表征。
用柱状图表示摩根的四个样本:
出现正面 次数 1061
1048
出现反面 次数 987
1000

随机信号处理第三章PPT课件

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x2(n) E{[X(n) mX (n)]2}
[xmX
(n)]2
fX
(x,n)dx
E[X2(n)]mX2 (n)
自相关函数 R X(i,j)E [X (i)X (j)]
协方差函数 K X ( i ,Y j ) E { X ( i ) [ m X ( i )Y ( ] j ) [ m Y ( j )]}
E[X2(t)]RX(0)5
X 2RX(0)mX 2 5.
12
随机信号处理
3、 相关系数及相关时间
相关系数: rX()CX(X 2)RX()X 2mX 2
也称为归一化协 方差函数或标准 协方差函数。
相关时间: 0 0rX()d
rX(0) 00
相关时间示意图
13
随机信号处理
E[AB]cost1sint2 E[AB]sint1cost2
2cost1cost2 2sint1sint2
2 cos(t1 t2)
2cos
t1 t2.
故X(t)是广义平稳的。 7
随机信号处理
由于在许多工程技术问题中,常常仅在相关理论(一、二阶矩) 的范围内讨论问题,因此划分出广义平稳随机过程来。而相关 理论之所以重要,是因为在实际中,一、二阶矩能给出有关平 稳随机过程平均功率的几个主要指标。另外,在电子系统中经 常遇到最多的是正态随机过程,对于正态随机过程而言,它的 任意维分布都只由它的一、二阶矩来确定,广义平稳的正态随 机过程必定是严格平稳的。因此,在实际中,我们通常只考虑 广义平稳性,今后除特别声明外,平稳性指的是广义平稳。
.
27
随机信号处理 3、平稳随机序列
广义平稳的定义 均值和方差为常数,
R X(im ,i)R X(m )

随机信号分析课件

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5.1.2 包络和相位的概率密度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.2 正弦波加窄带高斯过程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
- II -
课程简介与教学要求
1.6.2 性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
第 2 章 随机过程
21
2.1 随机过程概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
第 5 章 窄带随机过程
45
5.1 窄带平稳随机过程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.1.1 统计特性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
第 4 章 随机信号通过线性系统
39
4.1 线性时不变系统 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.1.1 基本理论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3.2 均方与方差 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
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R X ( )
1 2
4
24 10
e 9
j d
令 z= ω ,求 z= j和 z= 3 j的 留
1 2
{2
z2 4 j (z2 9)(z
j ) e jz | | | z j
2
j (z
z2 4 3 j)(z2
1 ) e jz | | | z 3 j }
3 e | | 5 e 3 | |
这章的上部分内容主要讨论随机过程的谱分析。
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3
知识回顾:
对于确定信号的傅立叶变换的回顾: 设X(t)是时间t的非周期实函数,则X(t)存在
傅立叶变换的充要条件是:
(1)X(t)在 -,+ 满足狄利赫利条件;
(2)X(t)绝对可积,即 X(t)dt
(3)若X(t)代表信号,则总能量有限,即 X(t)2dt
证明:
x(t)
2
dt
x(t)[ 1
2
Fx ()e jt d]dt
Fx
()[ 1 2
x(t)ejt
dt]d
1
2
________
Fx() Fx()d
1
2
Fx ()
2d
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6
3.1 功率谱密度的定义
数学推导基本步骤如下:
设X(t)是均方连续的随机过程,作截尾随机过程XT (t) :
(4) 可积性,即 -Sx()d
证明:(1)(2)(3)
lim SX ()
T
1 2T
E[
Fx(,T)
2]
lim
1 E[
T
X(t)ejtdt
2
]
T 2T T
lim
T
1 E[ 2T
T T
X(t1整)e理pjptt1dt1
T T
X(t2)ejt2dt2]
10
3.3 功率谱密度与自相关函数的关系
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4
此 时 , x(t)的 傅 立 叶 变 换 为 :
Fx ( )
x(t )e jt dt
傅立叶反变换为:
x(t ) 1
2
Fx
(
)e
j t
d
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5
非周期性确定性时间函数的帕塞伐(Parseval)等式为:
x(t)2dt21 Fx()2d
其中, F x ( ) 2 称为能谱密度。
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8
功率谱密度的定义:
设 {X(t),-<t<}为 均 方 连 续 的 随 机 过 程 ,
li m 称 2
E[ 1
T
2
X (t) dt]
为 X(t)的 平 均 功 率 ;
T
2T T
l i m 称 S X ( )
T
1 2T
E [ Fx ( ,T ) 2 ]
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
为 X(t)的 功 率 谱 密 度 ,
j ( t2 t1 ) d t1 d t 2 ]
l i m =
1
T 2T
T T
T T
E
[X
( t1 ) X
(t2 )]e
j ( t2 t1 ) d t1 d t 2
令 t t1 t2 , t2 t1 , 则
l i m S X ( )
T
2T
(1
2T
2T
)R x (
) e j d
可以证明:随机过程的自相关函数与功率谱密度之间互
为傅立叶变换对。这一个关系就是著名的维纳-辛钦定理。 即:
X(t)是均方连续的平稳过程,R X ( ) 是它的相关函数,S X ( )
为它的功率谱密度,如果
RX ( ) d
,则有:
S X () RX ( )e j d
RX
( )
1
2
SX
( )e j d
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11
证明:
l i m S X ( )
T
1 2T
E [ F x ( ,T ) 2 ]
l i m =
T
1 2T
E[
T T
X
( t1 )e
j t1 d t1 .
T T
X
( t 2 )e j t2 d t 2 ]
l i m = T
1 2T
T
E[ T
T T
X
( t1 ) X
(t2 )e
9
,
求平稳随机过程的相关函数和均方值。
解:
方法1:利用常用的傅立叶变换
5
3
S X ( )
( 2
2 4 9)( 2
1)
8 ( 2
9)
(
8 2
1)
23 5 21 3
(
2
48 9)
16 ( 2 1)
5 e 3| | 3 e | |
48
16
已 知 : bea
2ab a2 2
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14
方法2:利用留数定理
XT
(t
)
X 0,
(t),
t t
T T
Fx (,T) 为XT (t)的傅立叶变换,
由帕塞伐公式以及傅立叶反变换,得到
T
2
X(t) dt
1
T
2
Fx (,T) 2d
(Parseval帕塞伐公式)
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7
对上式两边先取时间平均,再取统计平均得到:
l i m 左 边 = E [
1
T
2
X (t) dt]
16
48
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15
也可以这样求解均方值:
2 E[X2(t)] 1
2
SX()d
= 1
2
4
12042 9d
令z=w,则上半平面极点为 z1= j , z2 = 3j :
R x ( ) e j d
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12
当随机过程为实平稳随机过程时:
证明:
SX()2RX()cosd
0
SX()RX()ejdRX()(cosjsin)d
RX()cosd2RX()cosd
0
同理: RX()1 0SX()cosd
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13
例题3-1:









SX
(w
)
4
2 4 10 2
随机过程
第三章:平稳过程的谱分析
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1
第三章:平稳过程的谱分析
3.1 功率谱密度的定义 3.2 功率谱密度的性质 3.3 功率谱密度与自相关函数关系 3.4 离散随机序列的功率谱密度 3.5 联合平稳过程的互谱密度 3.6 白噪声自相关函数和功率谱密度
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2
平稳过程的相关函数在时域上描述了过程的统计特 性,为了描述平稳过程在频域上的统计特性, 需要引入 了谱密度的概念。
简称谱密度。
对于平稳随机过程,平均功率等于该过程的
均 方 值 ,等 于 它 的 谱 密 度 在 频 域 上 的 积 分 。 即 :
2 E [ X ( t ) 2 ] 1
2
S X ( )d
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9
3.2 功率谱密度的性质
平稳过程的功率谱密度的性质:
(1) Sx() 0 (2) Sx()是 的实函数。 (3) 对实随机过程,Sx() Sx()是偶函数
T 2T T
li m
E[ 1
T
2
X (t) dt]
T 2T T
l i m 右 边 E
1 [1
T 2T 2
F x ( , T ) 2 ]d
l i m 1
2
1 E[ T 2T
F x ( , T ) 2 ]d
l i m 1
2
T
1 2T
E [ F x ( , T ) 2 ]d
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