幂函数与指数函数及其性质
幂函数与指数函数
幂函数与指数函数幂函数与指数函数是数学中常见的函数类型，它们在数学和实际问题的建模中起着重要的作用。
本文将介绍幂函数与指数函数的定义、性质以及它们在实际生活中的应用。
一、幂函数的定义与性质幂函数是指形如f(x) = ax^b的函数，其中a和b是实数，且a不等于零。
在这个函数中，变量x出现在指数的位置上。
1. 幂函数的定义域和值域幂函数的定义域为所有使得底数x的幂次幂存在的实数，即x属于实数集R。
幂函数的值域则取决于底数x和指数b的取值范围。
2. 幂函数的图像特点当指数b为正时，幂函数表示一个递增函数。
当指数b为负时，幂函数表示一个递减函数。
当指数b为零时，幂函数表示一条水平直线。
当底数a大于1时，幂函数呈现上升趋势；当底数a介于0和1之间时，幂函数呈现下降趋势。
3. 幂函数的性质幂函数具有乘法性质和幂函数的导数性质。
其中乘法性质指的是f(x)·f(y) = a^b·a^c = a^(b+c)，即幂函数的两个幂次幂相乘等于底数不变，幂次幂相加的结果。
导数性质则是指幂函数的导数等于指数乘以底数的（指数-1）次幂。
二、指数函数的定义与性质指数函数是指形如f(x) = a^x的函数，其中a是常数，且a大于0且不等于1。
在这个函数中，变量x成为底数的指数。
1. 指数函数的定义域和值域指数函数的定义域为所有实数，即x属于实数集R。
指数函数的值域则取决于底数a的取值范围，当底数a大于1时，值域为(0,正无穷)；当底数a介于0和1之间时，值域为(0,1)。
2. 指数函数的图像特点指数函数的图像通常表现为一条上升或下降的曲线，取决于底数a的大小。
当底数a大于1时，指数函数上升趋势较为陡峭；当底数a介于0和1之间时，指数函数下降趋势较为陡峭。
3. 指数函数的性质指数函数具有乘法性质和指数函数的导数性质。
乘法性质指的是a^x·a^y = a^(x+y)，即指数函数的两个底数相乘等于底数不变，指数相加的结果。
幂函数与指数函数
幂函数与指数函数幂函数和指数函数是高中数学中的重要概念和应用。
它们在数学、物理、经济等领域中具有广泛的应用。
本文将对幂函数和指数函数进行介绍，并探讨它们的性质和应用。
一、幂函数幂函数是指形如y = ax^n的函数，其中a是一个常数，n是一个实数。
幂函数的图像形状与指数n有关。
当n为正数时，幂函数的曲线呈现上升的形态；当n为负数时，曲线下降。
当n为0时，幂函数为常数函数。
特别地，当n为1时，幂函数成为一次函数。
幂函数的性质包括：1. 定义域和值域：对于幂函数y = ax^n，定义域为实数集，当n为奇数时，值域也是实数集；当n为偶数时，值域为非负实数。
2. 对称性：幂函数在原点具有对称性，即对于任意的n，当x取正值和负值时，曲线关于y轴对称。
3. 单调性：当n为正数时，幂函数单调递增；当n为负数时，幂函数单调递减。
4. 奇偶性：当n为整数时，幂函数的奇偶性与n的奇偶性相同。
幂函数的应用包括：1. 物理学：幂函数的应用在物理学中非常广泛，例如运动学中的位移、速度和加速度等与时间的关系。
2. 经济学：幂函数在经济学中的应用包括成本函数、收益函数等。
3. 生物学：幂函数在生物学中用于描述生物体的生长、衰退和传染病的传播等现象。
二、指数函数指数函数是指形如y = a^x的函数，其中a是一个大于0且不等于1的常数。
指数函数的图像在坐标平面上呈现出上升或下降的形态，具体取决于a的大小。
指数函数的性质包括：1. 定义域和值域：对于指数函数y = a^x，定义域为实数集，值域为正实数。
2. 对称性：指数函数在直线x=0处具有对称性，即y=0存在一个对称轴。
3. 单调性：指数函数在定义域内是单调递增或递减的，具体取决于a的大小。
4. 指数恒等式：指数函数具有一个重要的性质，即a^(x+y) = a^x * a^y。
这个性质在指数运算中经常被应用。
指数函数的应用包括：1. 财务领域：指数函数被广泛应用于复利计算和投资增长的模型。
幂函数与指数函数幂函数与指数函数的性质和像特征
幂函数与指数函数幂函数与指数函数的性质和像特征幂函数与指数函数是高中数学中经常出现的两种函数形式。
它们具有一些独特的性质和特征。
本文将围绕幂函数和指数函数展开讨论，探究它们的定义、图像、性质及在实际问题中的应用。
一、幂函数的定义和性质幂函数是形如$f(x)=x^a$的函数，其中$a$为常数，$a\neq 0$。
幂函数的定义域包括所有正实数、零和负实数。
根据指数法则，幂函数可以表示为$f(x)=e^{a\ln x}$，其中$e$为自然对数的底数。
幂函数的性质多种多样。
首先，当$a>0$时，幂函数$f(x)=x^a$在定义域上是递增的，即$x_1<x_2$时，$f(x_1)<f(x_2)$。
其次，当$a<0$时，幂函数$f(x)=x^a$在定义域上是递减的，即$x_1<x_2$时，$f(x_1)>f(x_2)$。
此外，幂函数在$x=0$处存在一个特殊点，当$a>0$时，该特殊点是一个局部最小值，当$a<0$时，该特殊点是一个局部最大值。
二、指数函数的定义和性质指数函数是形如$f(x)=a^x$的函数，其中$a$为常数，$a>0$且$a\neq1$。
指数函数的定义域为所有实数。
指数函数的性质也是多种多样的。
首先，当$a>1$时，指数函数$f(x)=a^x$在定义域上是递增的，即$x_1<x_2$时，$f(x_1)<f(x_2)$。
其次，当$0<a<1$时，指数函数$f(x)=a^x$在定义域上是递减的，即$x_1<x_2$时，$f(x_1)>f(x_2)$。
此外，指数函数不过过原点$(0,1)$，当$x<0$时，其值逐渐趋近于0，当$x>0$时，其值逐渐增大。
三、幂函数与指数函数的图像特征幂函数和指数函数在图像上也有一些特征。
对于幂函数$f(x)=x^a$而言，当$a>1$时，其图像在原点处上升地非常陡峭，随着$x$的增大，图像也越来越陡峭；当$0<a<1$时，其图像在原点处下降地非常平缓，随着$x$的增大，图像也越来越平缓。
幂函数与指数函数的概念与性质
幂函数与指数函数的概念与性质幂函数和指数函数是数学中常见的函数类型，它们在数学和实际生活中的应用非常广泛。
本文将重点介绍幂函数和指数函数的概念和性质，以帮助读者更好地理解和运用这两种函数。
一、幂函数的概念与性质幂函数是一类以自变量的幂次为指数的函数，表达形式为f(x) = x^n。
其中，n为常数，可以是整数、分数或负数。
幂函数可以分为正幂函数和负幂函数。
1. 正幂函数当n为正数时，幂函数为正幂函数，表达式为f(x) = x^n。
正幂函数的图像随着n的变化而发生改变。
- 当n > 1时，正幂函数的图像在原点右侧逐渐变陡；当x > 1时，f(x)的值变得更大，呈现出指数增长的趋势。
- 当0 < n < 1时，正幂函数的图像在原点右侧逐渐变缓；当0 < x< 1时，f(x)的值变得更大，呈现出指数衰减的趋势。
- 当n = 1时，正幂函数是线性函数，图像为一条直线，斜率为1。
2. 负幂函数当n为负数时，幂函数为负幂函数，表达式为f(x) = x^n。
负幂函数的图像在定义域内是连续的，它们在x轴上的负半轴上逐渐变陡，而在x轴上的正半轴上逐渐变缓。
二、指数函数的概念与性质指数函数是以一个正实数为底数，以自然对数e（约等于2.71828）为底，以变量的指数作为乘幂的函数，表达形式为f(x) = a^x。
指数函数的性质如下：1. 底数为a的指数函数与底数为1/a的指数函数互为倒数关系。
即f(x) = a^x 和 g(x) = (1/a)^x 互为倒数。
2. 指数函数在不同的底数和指数变化下，有不同的增长趋势：- 当a > 1时，指数函数呈现出指数增长的趋势，随着x的增大，f(x)的值变得更大。
- 当0 < a < 1时，指数函数呈现出指数衰减的趋势，随着x的增大，f(x)的值变得更小。
三、幂函数与指数函数的关系幂函数和指数函数之间存在密切的联系，可以通过归纳法来证明它们的相互转化关系。
幂函数与指数函数的性质与计算
幂函数与指数函数的性质与计算幂函数和指数函数是数学中常见的函数类型，它们在数学和科学中有着广泛的应用。
本文将讨论幂函数和指数函数的性质以及如何进行计算。
一、幂函数的性质与计算幂函数是形如f(x) = x^n的函数，其中n是实数。
幂函数的性质如下：1. 当n为正偶数时，幂函数是关于y轴对称的，即f(x) = f(-x)。
例如，f(x) = x^2是一个关于y轴对称的函数。
2. 当n为正奇数时，幂函数是关于原点对称的，即f(x) = -f(-x)。
例如，f(x) = x^3是一个关于原点对称的函数。
3. 当n为负数时，幂函数的图像将出现在x轴下方。
例如，f(x) = x^-2是一个图像在x轴上方的函数。
4. 当n为0时，幂函数的图像将是一条水平直线。
例如，f(x) = x^0 = 1是一条水平直线。
计算幂函数的方法如下：1. 对于正整数n，计算x^n可以使用连乘法则。
例如，2^3 = 2 × 2 × 2 = 8。
2. 对于负整数n，计算x^n可以使用倒数和连乘法则。
例如，2^-3 = 1/(2 × 2 ×2) = 1/8。
3. 对于分数n/m，计算x^(n/m)可以使用开方和连乘法则。
例如，2^(3/2) = √(2 × 2 × 2) = √8。
二、指数函数的性质与计算指数函数是形如f(x) = a^x的函数，其中a是正实数且不等于1。
指数函数的性质如下：1. 当a大于1时，指数函数是递增的。
即随着x的增大，函数值也增大。
例如，f(x) = 2^x是递增函数。
2. 当0<a<1时，指数函数是递减的。
即随着x的增大，函数值减小。
例如，f(x) = (1/2)^x是递减函数。
3. 当x为0时，指数函数的值为1。
例如，f(0) = a^0 = 1。
计算指数函数的方法如下：1. 对于整数指数，计算a^x可以使用连乘法则。
例如，2^3 = 2 × 2 × 2 = 8。
幂函数与指数函数
幂函数与指数函数幂函数和指数函数是数学中经常遇到的两种函数类型，它们在各个领域都有广泛的应用。
本文将就幂函数和指数函数的定义、性质以及实际应用进行探讨。
一、幂函数的定义和性质幂函数是指形如f(x) = x^a的函数，其中x为自变量，a为常数。
在这里，a可以是任意实数。
幂函数的图像一般可以分为三种类型：当a > 1时，函数图像是一个递增的曲线；当0 < a < 1时，函数图像是一个递减的曲线；当a = 1时，函数图像是一条直线。
幂函数具有如下性质：1. 定义域：对于非零自变量，幂函数的定义域为全体实数。
2. 奇偶性：当a为奇数时，幂函数是奇函数，即f(-x) = -f(x)；当a为偶数时，幂函数是偶函数，即f(-x) = f(x)。
3. 增减性：当a > 0时，幂函数在整个定义域上是递增的；当a < 0时，幂函数在整个定义域上是递减的。
4. 连续性：幂函数在其定义域上是连续的。
二、指数函数的定义和性质指数函数是指形如f(x) = a^x的函数，其中x为自变量，a为常数且a > 0且a ≠ 1。
指数函数在实际问题中经常出现，例如在经济增长、人口增长等领域中的应用。
指数函数的图像在a > 1时是递增的曲线，而在0 < a < 1时是递减的曲线。
指数函数具有如下性质：1. 定义域：对于所有实数，指数函数的定义域为全体实数。
2. 零点：指数函数不存在零点，因为对于任意正数a，a的任意次方都不可能等于0。
3. 奇偶性：指数函数不具备奇偶性。
4. 连续性：指数函数在其定义域上是连续的。
三、幂函数与指数函数的实际应用1. 幂函数的应用：- 在物理学中，物体的速度、加速度与时间的关系通常可以用幂函数表示，例如v = at^2。
- 在金融领域中，贷款利息、股票收益等往往也可以使用幂函数来描述，例如利率计算公式。
- 在电路分析中，电流和电压之间的关系可以通过幂函数来表达。
幂函数与指数函数的性质
幂函数与指数函数的性质幂函数和指数函数是数学中常见的函数类型，它们在各个领域中都有广泛的应用。
本文将介绍幂函数和指数函数的性质，包括定义、图像、增减性、奇偶性等方面。
一、幂函数的性质幂函数的一般形式为y = x^a，其中x为自变量，a为常数。
1. 幂函数的定义域幂函数的定义域是所有使x^a有意义的实数x的集合。
根据x^a的定义，当x为负数时，a的值不能是分数或为奇数的负整数，否则会出现无意义的数学运算。
2. 幂函数的图像特点幂函数的图像特点取决于幂指数a的值。
当a为正数时，幂函数的图像在坐标系中从左下方无限趋近于x轴上方；当a为负数时，图像则从左上方无限趋近于x轴下方；当a为零时，图像为常函数y=1。
3. 幂函数的增减性对于幂函数y = x^a，当a为正数时，随着x的增大，y也随之增大，即幂函数是递增的；当a为负数时，随着x的增大，y反而减小，即幂函数是递减的。
当a为偶数时，幂函数的图像关于y轴对称，即为偶函数；当a为奇数时，幂函数的图像关于原点对称，即为奇函数。
二、指数函数的性质指数函数的一般形式为y = a^x，其中a为常数，x为自变量。
1. 指数函数的定义域指数函数的定义域是所有实数x。
2. 指数函数的图像特点指数函数的图像特点取决于底数a的值。
当a大于1时，指数函数的图像在坐标系中以点(0,1)为起点，随着x的增大而无限趋近于正无穷；当0<a<1时，图像则在坐标系中从点(0,1)向右无限延伸，逐渐接近x轴。
当a为1时，指数函数为常函数y=1。
3. 指数函数的增减性对于指数函数y = a^x，当底数a大于1时，随着x的增大，y也随之增大，即指数函数是递增的；当0<a<1时，随着x的增大，y反而减小，即指数函数是递减的。
指数函数没有奇偶性的特点。
综上所述，幂函数和指数函数在定义域、图像特点、增减性、奇偶性等方面都有一些共同点和区别。
它们的性质对于解决实际问题和理解数学概念都具有重要意义。
高等数学中指数函数与幂函数
高等数学中指数函数与幂函数指数函数与幂函数是高等数学中常见的函数，也是广泛用于工程和科学研究中的重要概念。
这两种函数有着诸多共同之处，也有自己独特的性质。
本文将从指数函数和幂函数的定义、性质及其在实际中的应用等方面进行介绍，以期更好的了解这两种函数。
一、指数函数：指数函数是以自变量作为指数，因变量为底数的函数形式，经常被表示为：y=ax^n，其中a为常数，n为自然数或实数。
指数函数和幂函数有着相同的形式，但指数函数要求因变量是正数，而幂函数则不限制因变量的大小。
二、幂函数：幂函数是以自变量作为幂，因变量为底数的函数形式，经常被表示为：y=x^n，其中n为自然数或实数。
幂函数和指数函数有着相同的形式，但幂函数不限制因变量的大小，而指数函数则要求因变量是正数。
三、指数函数与幂函数的性质：1、指数函数与幂函数都具有单调性，即单调递增或单调递减的性质，因此它们的导数也具有单调性，因此可以利用导数判断函数单调性。
2、指数函数与幂函数都有极限性，在某些情况下，它们的极限值可以通过极限法计算出来。
3、指数函数与幂函数都具有“翻倍”性，即当自变量变化一倍时，因变量也会翻倍。
四、指数函数与幂函数的应用：1、指数函数与幂函数在数学上可用来描述种种函数关系，如指数函数可用来描述人口的增长、地震的发生率、经济的发展等，而幂函数可用来描述热力学过程、声音的传播等。
2、指数函数与幂函数可用于工程和科学研究中，如工程设计中可用指数函数来表示物理量的变化，而科学研究中可使用幂函数来描述物质的变化。
总之，指数函数与幂函数是高等数学中一类重要的函数，它们的定义、性质以及在实际中的应用等方面均具有重要价值，可以更好的解释物理量的变化规律，为工程和科学研究提供重要的理论支持。
幂函数与指数函数
幂函数与指数函数指数函数幂函数的区别1、自变量x的位置不同。
指数函数，自变量x在指数的位置上，y=a^x（a>0，a 不等于 1）。
幂函数，自变量x 在底数的位置上，y=x^a（a 不等于1）. a 不等于1，但可正可负，取不同的值，图像及性质是不一样的。
2、性质不同。
指数函数性质：当a>1 时，函数是递增函数，且y>0；当0<a<1 时，函数是递减函数，且y>0。
幂函数性质：正值性质：当a>0时，幂函数有下列性质：a、图像都经过点（1,1）（0,0）；b、函数的图像在区间[0,+∞）上是增函数；c、在第一象限内，a>1时，导数值逐渐增大；a=1时，导数为常数；0<a<1时，导数值逐渐减小，趋近于0（函数值递增）；负值性质:当a<0时，幂函数有下列性质：a、图像都通过点（1,1）；b、图像在区间（0，+∞）上是减函数；（内容补充：若为X-2，易得到其为偶函数。
利用对称性，对称轴是y轴，可得其图像在区间（-∞，0）上单调递增。
其余偶函数亦是如此）。
c、在第一象限内，有两条渐近线（即坐标轴），自变量趋近0，函数值趋近+∞，自变量趋近+∞，函数值趋近0。
零值性质：当a=0时，幂函数有下列性质：a、y=x0的图像是直线y=1去掉一点（0,1）。
它的图像不是直线。
3、值域不同。
指数函数的值域是（0，+∞），幂函数的值域是R。
函数y=x^a叫做幂函数,其中x是自变量,a是常数（这里我们只讨论a是有理数n的情况）．指数函数：一般地,函数y＝a^x（a＞0,且a≠1）叫做指数函数,其中x是自变量.函数的定义域是R.幂函数是指数函数的特殊形式,后者说幂函数是指数函数的一种,这个说法显然是不对的.幂函数和指数函数是很容易混淆的两个函数形式。
幂函数（power function）的形式是：指数函数（exponential function）的形式是：其中，x为自变量，y为因变量，a为常数。
幂函数与指数函数的关系
幂函数与指数函数的关系幂函数和指数函数是高中数学中的两个重要概念，它们在数学和科学中都有着广泛的应用。
本文将探讨幂函数与指数函数之间的关系，以及它们的性质和特点。
1. 幂函数的定义与性质幂函数可以表示为 f(x) = a^x，其中 a 是实数且a ≠ 0。
幂函数的定义域为实数集，值域根据 a 的正负性质而定。
幂函数的一般形式可以写为 y = kx^n，其中 k 和 n 分别代表常数和指数。
2. 指数函数的定义与性质指数函数可以表示为 f(x) = a^x，其中 a 是正实数且a ≠ 1。
指数函数的定义域为实数集，值域为正实数集。
指数函数的特点是 y 轴上存在一个水平渐近线。
3. 幂函数与指数函数的关系幂函数和指数函数有密切的联系。
事实上，幂函数是指数函数的逆运算。
幂函数 f(x) = a^x 和指数函数 g(x) = log_a(x) 是互为反函数的关系。
其中，a 是幂函数的底数，也是指数函数的基数。
4. 图像特点比较幂函数的图像特点与指数函数的图像特点相似，但有些细微差别。
幂函数的图像可能会在某些情况下与坐标轴相交，而指数函数的图像则不会与 y 轴相交。
此外，指数函数的图像在 x = 0 处存在一个水平渐近线，而幂函数的图像则没有。
5. 幂函数和指数函数的应用幂函数和指数函数在实际应用中有许多重要的应用。
指数函数在财务、经济学和生物学领域具有广泛的应用，如复利计算、人口增长模型等。
幂函数在物理学领域也有广泛应用，如速度-时间关系、反比例关系等。
总结：幂函数与指数函数之间存在密切的联系，幂函数是指数函数的逆运算。
幂函数的定义形式为 y = kx^n，而指数函数的定义形式为 f(x) = a^x。
两者的图像特点相似但有些差别，幂函数可能与坐标轴相交，而指数函数则不会。
这两种函数在数学和科学中有着广泛的应用，对我们理解和解决实际问题具有重要意义。
（注：以上内容仅供参考，具体格式如何书写，请根据实际要求和题目进行判断和调整。
高中数学中的指数函数与幂函数
高中数学中的指数函数与幂函数在高中数学学习中，指数函数与幂函数是非常重要的内容。
它们是一类特殊的函数，具有独特的性质和应用。
本文将从定义、性质和应用三个方面来探讨指数函数与幂函数。
一、指数函数的定义与性质指数函数是以常数e为底的幂函数，其中e是一个无理数，约等于2.71828。
指数函数的一般形式可以表示为y=a^x，其中a为底数，x为指数，a>0且a≠1。
指数函数具有以下性质：1. 指数函数的定义域为全体实数，值域为正实数集。
2. 当底数a>1时，指数函数是递增函数；当0<a<1时，指数函数是递减函数。
3. 指数函数的图像都经过点(0,1)，即a^0=1。
4. 当x为正无穷大时，指数函数趋于正无穷大；当x为负无穷大时，指数函数趋于0。
指数函数在实际问题中有广泛的应用，例如在金融领域中的复利计算和人口增长模型中的人口增长率等。
二、幂函数的定义与性质幂函数是指数为常数的函数，一般形式为y=x^a，其中a为常数，x为自变量。
幂函数具有以下性质：1. 幂函数的定义域取决于指数a的奇偶性。
当a为正偶数时，定义域为全体实数；当a为正奇数时，定义域为全体实数；当a为负数时，定义域为正实数。
2. 当指数a为正数时，幂函数是递增函数；当指数a为负数时，幂函数是递减函数。
3. 幂函数的图像经过点(0,0)，即x^0=1。
4. 当x为正无穷大时，幂函数趋于正无穷大；当x为负无穷大时，幂函数趋于0。
幂函数在实际问题中也有广泛的应用，例如在物理学中的速度与时间的关系和经济学中的成本与产量的关系等。
三、指数函数与幂函数的比较指数函数与幂函数之间存在着密切的联系和区别。
1. 指数函数的底数是常数，指数是自变量；而幂函数的指数是常数，自变量是底数。
2. 指数函数在底数大于1时是递增函数，在底数小于1时是递减函数；而幂函数在指数为正数时是递增函数，在指数为负数时是递减函数。
3. 指数函数的图像在x轴的右侧逐渐增大，而幂函数的图像在x轴的右侧逐渐减小。
指数函数与幂函数
指数函数与幂函数
指数函数和幂函数是高中数学中重要的两类函数。
它们在数学
领域有着广泛的应用和重要的作用。
一、指数函数
指数函数是以指数为自变量的函数，一般形式为 y = a^x，其中
a 是底数，x 是指数。
指数函数的特点如下：
1. 底数 a 大于 0 且不等于 1。
当 a 大于 1 时，函数呈增长趋势；当 0 小于 a 小于 1 时，函数呈减少趋势。
2. 指数函数的图像呈现出一种特殊的形状，即曲线在 (0, 1) 区
间单调递减，并在(1, +∞) 区间单调递增。
3. 指数函数的性质包括：同底数指数相乘，指数相加；指数为
0 时，函数值始终为 1。
二、幂函数
幂函数是以 x 的某个常数次幂为自变量的函数，一般形式为 y = x^a，其中 a 是指数。
幂函数的特点如下：
1. 当指数 a 为正数时，幂函数呈增长趋势；当 a 为负数时，幂函数呈减少趋势；当 a 为 0 时，幂函数恒为 1。
2. 幂函数的图像对称于 y 轴。
3. 幂函数的性质包括：同底数指数相乘，指数相加。
指数函数和幂函数在科学研究、经济学、物理学以及工程学等领域中都有广泛的应用。
它们的研究和使用可以帮助我们解决很多实际问题，提高我们的计算和分析能力。
总结：指数函数和幂函数是数学中重要的两类函数，它们具有不同的特点和性质，在应用中具有广泛的用途和作用。
幂函数和指数函数的性质
幂函数和指数函数的性质幂函数和指数函数是数学中常见的函数类型，它们具有一些特殊的性质和规律。
本文将重点介绍幂函数和指数函数的性质，并探讨它们在数学和实际问题中的应用。
一、幂函数的性质幂函数是指以自变量为底数、指数为幂的函数，一般形式为f(x) =ax^b。
其中，a为常数，b为指数。
以下是幂函数的几个重要性质：1. 幂函数的定义域和值域：幂函数的定义域根据底数的取值范围确定，例如，当底数为正实数时，幂函数的定义域为实数集合R；值域也会受到指数的影响，当指数为奇数时，幂函数的值域为实数集合R；当指数为偶数时，幂函数的值域为非负实数组成的集合。
2. 幂函数的增减性：根据指数的正负性，幂函数可以分为两种情况。
当指数为正数时，幂函数随着自变量的增大而增加；当指数为负数时，幂函数随着自变量的增大而减小。
幂函数的增减性对于解析几何和最优化问题等具有重要意义。
3. 幂函数的奇偶性：根据指数的奇偶性，幂函数可以分为两种情况。
当指数为偶数时，幂函数关于y轴对称；当指数为奇数时，幂函数关于原点对称。
幂函数的奇偶性可以帮助我们简化计算，并对对称性问题提供指导。
4. 幂函数的特殊情况：当指数为0时，幂函数值始终为1；当底数为1时，幂函数值始终为1。
这些特殊情况在计算中需要特别注意。
二、指数函数的性质指数函数是以指数为自变量的函数，一般形式为f(x) = a^x，其中，a为底数，x为指数。
以下是指数函数的几个重要性质：1. 指数函数的定义域和值域：指数函数以底数为指数的幂的形式定义，要求底数a为正实数且不等于1。
指数函数的定义域为实数集合R，值域为正实数集合R+。
2. 指数函数的增减性：指数函数一般具有指数递增或递减的性质。
当底数a大于1时，指数函数随着自变量的增大而增加；当底数a介于0和1之间时，指数函数随着自变量的增大而减小。
指数函数的增减性在复利计算和指数增长等问题中有重要应用。
3. 指数函数与对数函数的关系：指数函数与对数函数是互反的关系，即指数函数和对数函数互为反函数。
幂函数与指数函数的极限性质
幂函数与指数函数的极限性质在数学中，幂函数和指数函数是一类重要的函数类型，它们在数学理论和实际应用中都具有广泛的应用。
本文将重点探讨幂函数和指数函数的极限性质，包括定义、性质以及相关定理的应用。
一、幂函数的极限性质幂函数是指以自变量的常数为底数，自变量的常数次幂为指数的函数，一般形式为：f(x) = ax^n，其中a是常数，n是实数指数。
1.1 幂函数的定义和性质幂函数的定义域为实数集，其性质如下：1）当n为正整数时，幂函数的图像呈现单调递增或递减的形态，与a的正负有关。
2）当n为负整数时，幂函数的图像在x轴上方和下方分别呈现单调递减和递增的形态。
3）当n为零时，幂函数的图像是一个常数函数，即f(x) = a。
1.2 幂函数的极限性质对于幂函数f(x) = ax^n，其中a为非零实数，n为实数指数，当x趋于无穷大时，幂函数的极限性质如下：1）当n>0时，幂函数的极限为正无穷大或负无穷大，具体取决于a 的正负。
2）当n<0时，幂函数的极限为零。
二、指数函数的极限性质指数函数是以常数e为底数的自然指数函数，一般形式为：f(x) = a^x，其中a是常数，e是自然对数的底数。
2.1 指数函数的定义和性质指数函数的定义域为实数集，其性质如下：1）当a>1时，指数函数的图像呈现单调递增的形态，并且在x趋于正无穷大时，指数函数的值趋近于正无穷大。
2）当0<a<1时，指数函数的图像呈现单调递减的形态，并且在x 趋于负无穷大时，指数函数的值趋近于正无穷大。
2.2 指数函数的极限性质对于指数函数f(x) = a^x，其中a是大于0且不等于1的常数，当x 趋于无穷大时，指数函数的极限性质如下：1）当a>1时，指数函数的极限为正无穷大。
2）当0<a<1时，指数函数的极限为零。
三、幂函数与指数函数的极限性质应用幂函数和指数函数的极限性质在数学证明和实际问题求解中具有广泛的应用，其中一些典型的应用场景如下：1. 应用于数列极限的求解，可以利用幂函数和指数函数的性质来推导数列的极限。
幂函数与指数函数的性质
幂函数与指数函数的性质幂函数和指数函数是数学中常见的两类函数，它们在数学和科学研究中有着重要的应用。
本文将探讨幂函数和指数函数的性质，包括定义、图像、增减性、奇偶性以及反函数等方面。
1. 幂函数的性质幂函数的一般形式为f(x) = x^n，其中n为正整数，是幂函数的指数。
幂函数的定义域为实数集，由于x^n中的n是正整数，所以幂函数的值域可以是正数、负数或零。
1.1. 幂函数的图像根据幂函数的指数n的奇偶性，幂函数的图像有不同的特点。
当n为偶数时，幂函数的图像相对于y轴对称，关于原点对称；而当n为奇数时，幂函数的图像关于原点对称。
1.2. 幂函数的增减性幂函数的增减性与指数n的值相关。
当指数n为正数时，幂函数在定义域上递增；当指数n为负数时，幂函数在定义域上递减。
值得注意的是，当指数n为偶数时，幂函数的绝对值增长速度比n为奇数时慢。
1.3. 幂函数的奇偶性当幂函数的指数n为偶数时，幂函数是偶函数；当指数n为奇数时，幂函数是奇函数。
这意味着幂函数的图像关于y轴对称或者关于原点对称。
1.4. 幂函数的反函数由于幂函数的定义域为实数集，而幂函数的指数并不一定能覆盖所有实数，所以幂函数的反函数并不一定存在。
当幂函数的指数n为倒数时，幂函数的反函数存在。
2. 指数函数的性质指数函数的一般形式为f(x) = a^x，其中a为常数，称为底数。
指数函数的定义域为实数集，底数a大于0且不等于1。
2.1. 指数函数的图像指数函数的图像与底数a有关。
当底数a大于1时，指数函数在整个定义域上递增；当底数a介于0和1之间时，指数函数在整个定义域上递减。
指数函数的图像经过点(0, 1)，即当x等于0时，指数函数的值为1。
2.2. 指数函数的增减性指数函数的增减性取决于底数a的值。
当底数a大于1时，指数函数在整个定义域上递增；当底数a介于0和1之间时，指数函数在整个定义域上递减。
2.3. 指数函数的奇偶性指数函数一般情况下不具有奇偶性，即指数函数的图像不关于y轴对称也不关于原点对称。
幂函数与指数函数的性质证明
幂函数与指数函数的性质证明幂函数与指数函数是数学中常见的两类函数，它们有着许多的性质需要进行证明。
本文将着重讨论幂函数和指数函数的性质，并通过严密的推导和证明展示它们的特点。
1. 幂函数的性质证明幂函数是形如f(x) = x^n的函数，其中n为实数，x为自变量。
下面我们来证明幂函数的几个性质。
1.1 幂函数的奇偶性对于幂函数f(x) = x^n，当n为偶数时，函数在x轴两侧对称，即f(-x) = f(x)；当n为奇数时，函数具有关于原点的对称性，即f(-x) = -f(x)。
下面我们分别进行证明：- 当n为偶数时，设f(-x) = (-x)^n，展开得到f(-x) = (-1)^n * (x^n) = x^n = f(x)，因此幂函数具有对称性。
- 当n为奇数时，设f(-x) = (-x)^n，展开得到f(-x) = (-1)^n * (x^n) = -x^n = -f(x)，因此幂函数具有关于原点的对称性。
1.2 幂函数的单调性对于幂函数f(x) = x^n，我们来证明当n > 0时，幂函数在区间(0, +∞)上单调递增；当n < 0时，幂函数在区间(0, +∞)上单调递减。
- 当n > 0时，即f(x) = x^n，对于任意的0 < a < b，我们有a^n <b^n，因此幂函数在区间(0, +∞)上单调递增。
- 当n < 0时，即f(x) = x^n，对于任意的0 < a < b，我们有a^n >b^n，因此幂函数在区间(0, +∞)上单调递减。
2. 指数函数的性质证明指数函数是形如f(x) = a^x的函数，其中a为正实数且不等于1，x为自变量。
下面我们来证明指数函数的几个性质。
2.1 指数函数的增减性对于指数函数f(x) = a^x，当a > 1时，函数在整个实数轴上单调递增；当0 < a < 1时，函数在整个实数轴上单调递减。
幂函数与指数函数
幂函数与指数函数幂函数和指数函数是高中数学中的重要概念，它们在数学中的应用非常广泛。
本文将介绍幂函数与指数函数的定义、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、幂函数的定义与性质1.1 幂函数的定义幂函数是指函数表达式为y = x^n的函数，其中x为自变量，n为常数指数。
幂函数可以分为两种情况：（1）当指数n为正整数时，幂函数满足由0到正无穷的定义域。
其图像为平滑的上升或下降曲线，当n为偶数时，曲线开口向上；当n 为奇数时，曲线开口向下。
（2）当指数n为负整数时，幂函数的定义域为非零实数集，其图像是一系列关于y轴对称的图像。
1.2 幂函数的性质（1）当n为正整数时，幂函数的值随着自变量的增大而增大，当自变量为0时，函数值为0。
（2）当n为负整数时，幂函数的值随着自变量的增大而减小，当自变量为0时，函数值的绝对值趋近于无穷大。
（3）当n为零时，幂函数为常函数，函数值恒为1。
二、指数函数的定义与性质2.1 指数函数的定义指数函数是指函数表达式为y = a^x的函数，其中a为常数底数，x为自变量。
（1）当底数a大于1时，指数函数的定义域为实数集，其图像为逐渐增长的曲线，且在经过点(0,1)。
（2）当0 < a < 1时，指数函数的定义域同样为实数集，其图像为逐渐减小的曲线，同样经过点(0,1)。
2.2 指数函数的性质（1）当底数a大于1时，指数函数的值随着自变量的增大而增大，其函数图像从左下方逐渐上升。
（2）当0 < a < 1时，指数函数的值随着自变量的增大而减小，其函数图像从左上方逐渐下降。
（3）当自变量为0时，指数函数的函数值恒为1。
三、幂函数与指数函数的应用幂函数与指数函数在数学和实际问题中有广泛的应用，主要体现在以下几个方面：3.1 数值问题幂函数和指数函数可以用于解决一些数值问题，如计算复利、经济增长等。
例如，当我们需要计算一个初始投资金额在经过n年后的复利总金额时，可以使用指数函数来表示。
幂函数与指数函数的性质
描述电容随电压变化的公式：C=εrε0S/d，其中εr是相对介电常数，ε0是真空介电常数，S是电极面积，d是电极间距，该公式是幂函数形式。
风险评估：指数函数用于评估投资组合的风险
复利计算：指数函数用于计算投资收益的累积效应
资产评估：指数函数用于评估投资组合的价值
保险精算：指数函数用于计算保险费和赔偿金
03
04
幂函数的图像：在第一象限内，随着n的增大，图像越来越靠近y轴；随着^x (a > 0, a ≠ 1)
指数函数具有连续性、可导性和可积性等性质
当 a > 1 时，函数是增函数；当 0 < a < 1 时，函数是减函数
其中，a 是底数，x 是自变量，y 是因变量
函数图像：幂函数的图像在第一象限内单调递增，而指数函数的图像在第一象限内单调递减
导数：幂函数的导数可以表示为幂函数的形式，而指数函数的导数可以表示为指数函数的形式
幂函数在物理学中的应用，例如弹簧的振动和波动
指数函数在金融领域的应用，例如复利计算和股票价格预测
幂函数在生物学中的应用，例如人口增长模型和生物种群数量的预测
03
04
当a<0时，幂函数y=x^a不具有周期性。
指数函数的性质
定义域：全体实数
值域：正实数集
图像特征：在第一象限内单调递增，在第四象限内单调递减
与坐标轴的交点：当x=0时，y=1
当底数大于1时，指数函数在实数范围内是增函数
当底数在(0,1)之间时，指数函数在实数范围内是减函数
奇函数：当指数为奇数时，指数函数是奇函数
指数函数在计算机科学中的应用，例如加密算法和数据压缩技术
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幂函数的性质
幂函数与指数函数的基本性质
幂函数与指数函数的基本性质幂函数和指数函数是数学中常见的两种函数形式，它们在数学建模、物理学、经济学等领域中有广泛的应用。
本文将讨论幂函数和指数函数的基本性质，包括定义、图像、变化趋势等方面。
一、幂函数的基本性质幂函数的定义是f(x) = ax^b，其中a和b是常数，a ≠ 0。
在幂函数中，底数x为自变量，指数b为常数。
幂函数可以分为三种情况讨论。
1. 当a > 0，b > 0时，幂函数是递增函数。
这意味着随着自变量x增大，函数值f(x)也随之增大。
2. 当a < 0，b > 0且b为正数时，幂函数是递减函数。
与递增函数相反，随着自变量x增大，函数值f(x)会随之减小。
3. 当b < 0时，幂函数是奇函数。
奇函数的图像关于原点对称，即在(x, y)处的函数值与(-x, -y)处的函数值相等。
根据这些性质，我们可以画出幂函数的图像来直观地理解幂函数的变化趋势。
当b > 1时，幂函数的图像会趋于变陡，增长速度加快；当0 < b < 1时，幂函数的图像会趋于平缓，增长速度减慢。
二、指数函数的基本性质指数函数的定义是f(x) = a^x，其中a是常数，a > 0且a ≠ 1。
指数函数中底数a为常数，自变量x为指数。
指数函数也可以分为三种情况讨论。
1. 当a > 1时，指数函数是递增函数。
与幂函数类似，随着自变量x 的增加，函数值f(x)也会增加。
2. 当0 < a < 1时，指数函数是递减函数。
这意味着随着自变量x的增加，函数值f(x)会减小。
3. 当a < 0时，指数函数不符合常规定义，因此我们不讨论a < 0的情况。
指数函数也具有类似于幂函数的图像特点。
当a > 1时，指数函数的图像会逐渐变陡，增长速度加快；当0 < a < 1时，指数函数的图像会逐渐变平缓，增长速度减慢。
三、幂函数与指数函数的比较幂函数和指数函数在变化趋势上有一些共同点，但也存在一些不同之处。
幂函数与指数函数的性质
幂函数与指数函数的性质幂函数和指数函数是数学中常见的函数类型，它们在数学和科学领域中具有重要的应用和性质。
本文将介绍幂函数和指数函数的定义、图像特征和性质，并探讨它们之间的关系。
一、幂函数的定义和图像特征幂函数是以底数为自变量的函数，形式为f(x) = a^x，其中a是常数，x是实数。
幂函数的特征在于底数是自变量，指数是常数。
当a>0且a≠1时，幂函数f(x) = a^x的图像可以分为以下情况：1. 当a>1时，函数图像是上升的，且随着x的增大，函数值也增大；反之，当0<a<1时，函数图像是下降的，且随着x的增大，函数值减小。
2. 当x为整数时，幂函数的函数值等于底数的指数次幂，即f(x) =a^x。
3. 当x是负数时，幂函数的函数值可以表示为倒数的指数次幂，即f(x) = 1/(a^|x|)。
4. 当x为0时，幂函数的函数值始终为1，即f(0) = 1。
二、指数函数的定义和图像特征指数函数是以底数为自变量的函数，形式为f(x) = a^x，其中a是常数，x是实数。
指数函数的特征在于指数是自变量，底数是常数。
当a>0且a≠1时，指数函数f(x) = a^x的图像可以分为以下情况：1. 当a>1时，函数图像是上升的，且随着x的增大，函数值也增大；反之，当0<a<1时，函数图像是下降的，且随着x的增大，函数值减小。
2. 当x为整数时，指数函数的函数值等于底数的指数次幂，即f(x)= a^x。
3. 当x是负数时，指数函数的函数值可以表示为倒数的指数次幂，即f(x) = 1/(a^|x|)。
4. 当x为0时，指数函数的函数值始终为1，即f(0) = 1。
三、幂函数与指数函数的关系幂函数和指数函数之间存在一定的关系。
可以将指数函数f(x) = a^x 看作是幂函数f(x) = x^a的一种特殊情况。
当底数a为常数时，指数函数是幂函数的特殊形式。
幂函数和指数函数在实际应用中都有广泛的运用。
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(一)指数函数的定义一般地，函数y =a x(a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R 。
将a 如数轴所示分为：a <0,a =0,0<a <1,a =1和a >1五部分进行讨论：(1)如果a <0, 比如y =(-4)x ，这时对于等，在实数范围内函数值不存在；(2)如果a =0，、(3)(3)如果a =1，y =1x=1，是个常值函数，没有研究的必要；(4)4)如果0<a <1或a >1即a >0且a ≠1，x 可以是任意实数。
(四)指数函数性质的简单应用例 2： 比较下列各题中两个值的大小 :(l)1.72.5,1.73; (2)0.8-01,0.8-02;(3)(0.3)-0.3,(0.2)-0.3 (4)1.70.3,0.93.1解 :(1) 考察指数函数 y =1.7x, 由于底数 1.7>1,所以指数函数 y =1.7x在R 上是增函数因为 2.5< 3, 所以 1.72.5<1.73(2) 考察指数函数 y =0.8x, 由于底数0<0.8<l,所以指数函数y =0.8x在 R 上是减函数。
因为-0.1 >-0.2,所以 0.8-0.1< 0.8-0.2总结：同底数幂比大小时 , 可构造指数函数，利用单调性比大小 .(3) 观察图像可得,(0.3)-0.3<(0.2)-0.3不同底数幂在比大小时,可利用多个指数函数图象比大小(4) 由指数函数的性质知：1.703 >1.7 0=1,093.1<0.90 =l 即 1.70.3 >0.93.1<1,所以 1.70.3 >0.93.1总结：不同底数幂比大小时 , 可利用图象法或利用中间变量 ( 多选0，1)例3：已知下列不等式 , 比较m 和n 的大小 :(l )2m <2n (2)0.2m >0.2n(3)a m <a n(a >0）解：(1) 因为y =2x是一个单调递增函数，所以由题意m <n(2) 因为y =0.2x是一个单调递增函数, 所以由题意m <n(3) 当a >1时y =a x是一个单调递增函数，所以此时m <n当0<a <1时y =a x是一个单调递减函数, 所以此时m >n特点：已知幂值大小判断指数大小。
可以构造指数函数，利用单调性解题。
1、求下列函数的定义域：2 ．比较下列各题中两个值的大小 :（1）30.9 ,30.8;（2）0.75-0.2，0.750.23、已知a = 0.80.7,b = 0.80.9,c = 1.20.8，则a 、b 、c 的大小关系是指数函数（选择题） 1. 的单调递减区间是函数|1|)31(-=x y )[1,,0)(- D. )[1, C. ,1](- B. ,0)(- .+∞∞+∞∞∞ A2. 是且1)a 0(a 11)(≠>+-=xx a a x f A.奇函数 B. 偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数。
3. 已知函数f (x )=2x+1的反函数为f-1(x ），则f-1(x ）＜0的解集是A.（-∞，2）B.（1，2）C.（2，+∞） D （-∞，1）4. 已知函数xx xx ee e e xf --+-=)(的反函数是)(1x f -，且k f f =---|)6.0(||)8.0(|11，则A.)21,0(∈kB.)1,21(∈kC.)23,1(∈kD.)2,23(∈k5. 若f –1(x )是函数f (x )=2x 的反函数，则f–1(4)等于A.1B.2C.3D.41 自变量 x2 定义域R 3a 的范围a >0，且a ≠14 定义的形式（对应法则）y =a x6. 已知函数y =f (x )的反函数f - -1(x )=2x +1，则f (1)等于A.0B.1C.－1D.4 7. 在同一坐标系中，函数y=ax +1与y=a ｜x -1｜(a＞0且a ≠1)的图象可能是xo y x 111y y xx11o o 11o 1ABC D 8. 若函数的图象经过第二且)10(1)(≠>-+=a a b a x f x 、三、四象限，则一定有 A.010><<b a 且 B.01>>b a 且C.010<<<b a 且D.01<>b a 且9. 函数b x a x f -=)(的图象如图，其中a 、b为常数，则下列结论正确的是 A.0,1<>b aB.0,1>>b aC.0,10><<b a D.0,10<<<b a10. 设713=x，则A.－2<x<－1B.－3<x<－2C.－1<x<0D.0<x<111. 函数x e y -=的图象A.与x e y =的图象关于y 轴对称 B.与x e y =的图象关于坐标原点对称C.与x e y -=的图象关于 y 轴对称D.与x e y -=的图象关于坐标原点对称12. 若函数f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝(a ＋1)1－x在区间[1, 2]上都是减函数，则a 的取值范围是 A.（－1, 0） B.(－1, 0)∪(]1,0C.（0, 1）D.(]1,013. 函数221)(xx x f x--=. A.是偶函数但不是奇函数 B.是奇函数但不是偶函数C.既是偶函数又是奇函数D.既不是偶函数也不是奇函数14. 已知实数a, b 满足等式,)31()21(b a =下列五个关系式①0<b<a ②a<b<0 ③0<a<b ④b<a<0 ⑤a=b 其中不可能．．．成立的关系式有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个15. 函数)01(31<≤-=+x y x 的反函数是)0(log 1.3>+=x x y A )0(log 1.3>+-=x x y B )31(log 1.3<≤+=x x y C)31(log 1.3<≤+-=x x y D16. 如果函数2()(31)(01)x x f x a a a a a =-->≠且在区间[)0+，∞上是增函数，那么实数a 的取值范围是 Ａ.203⎛⎤ ⎥⎝⎦，Ｂ.313⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭，Ｃ.(13⎤⎦，Ｄ.32⎡⎫+⎪⎢⎣⎭，∞ 17. 当10<<a 时，关于x 的不等式212--<x x a a的解集为A.}221|{<≤x x B.}521|{<≤x xC.}52|{≤<x xD.}521|{≤≤x x 18. 设137x=，则A.21x -<<-B.32x -<<-C.10x -<<D.01x <<19. 函数b x a x f -=)(的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是A.0,1<>b aB.0,1>>b aC.0,10><<b aD.0,10<<<b a 20. 在同一平面直角坐标系中，函数1()2x f x +=与1()2x g x -=的图象关于A. 直线1x =对称B.x 轴对称C. y 轴对称D.直线y x =对称21. 设f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧--≤-0,120,1)21(2x ＞x x x则f )3(1--的值是A.1B.-1C.±1D.222. 设f :x →y =2x是A →B 的映射，已知集合B ={0,1,2,3,4},则A 满足 A.A ={1，2，4，8，16} B.A ={0，1，2，log 23} C.A ⊆{0,1,2,log 23}D.不存在满足条件的集合23. 当函数f (x )=2－|x －1|－m 的图象与x 轴有交点时，实数m 的取值范围是 A.－1≤m ＜0 B.0≤m ≤ 1C.0＜m ≤1D.m ≥124. 设函数3y x =与212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象的交点为00()x y ，，则0x 所在的区间是A.(01)，B.(12)，C.(23)，D.(34)，25. 已知函数)5(,)0)(3()0(2)(f x x f x x f x 则⎩⎨⎧>-≤==A.32B.16C.21D.32126. 设函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，若()2x f x =，则112f -⎛⎫⎪⎝⎭的值为 A.2B.1C.12D.1-27. 已知集合},22|{|1|R x x Mx ∈<=-，},|1|1|{Z x x y x N ∈--==，则=N MA.MB.NC.}2,1,0{D.}1{28. 若方程1312xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭有解0x ，则0x 属于A.10,3⎛⎫⎪⎝⎭b11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭ C1,12⎛⎫⎪⎝⎭D.()1,232. 已知2()21x f x a =-+是定义在R 上的奇函数则13()5f -值是A.35B.2C.12D.5333. 设xx f x x f x a x f x =⎩⎨⎧>-≤-=-)(,0),1(0,2)(若有且只有两个实数解，则实数a 的取值范围是A.)2,(-∞B.)2,1[C.),1[+∞D.]1,(-∞35. 关于函数)(22)(R ∈-=-x x f x x 有下列三个结论：①)(x f 的值域为R ；②)(x f 是R上的增函数；③对任意0)()(,=+-∈x f x f R x 有成立；其中所有正确的序号为A.①②B.①③C.②③D.①②③36. 函数y=-e x的图象A.与y=e x的图象关于y 轴对称. B.与y=e x的图象关于坐标原点对称.C.与y=e -x的图象关于y 轴对称. D.与y=e -x的图象关于坐标原点对称.37. 设函数2(1) (1)()4 1 ( 1)x x f x x x ⎧+<⎪=⎨--≥⎪⎩，则使得1)(≥x f 自变量x 的取值范围为A.]10,0[]2,( --∞B.]1,0[]2,( --∞C.]10,1[]2,( --∞D.]10,1[)0,2[ - 38. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()13xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，那么()19f --的值为A.2B. 2-C. 3D.3-39. 设x x f 10)(=，在下列等式中，对于R x x ∈21,不恒成立的是A.)()()(2121x f x f x x f ⋅=+ B.xx f 1.0)(=-C.1)101()1(1x x f = D.xx f 1010)1(⋅=+40. 设),(a -∞是函数)2(221)(≠--=x x xx f 反函数的一个单调递增区间，则实数a 的取值范围是 A.2≤a B.2≥a C.2-≤aD.2->a41. 根式11a a（式中0a >）的分数指数幂形式为 A.43a -B.43aC.34a-D.34a42. 若函数()1x f x a -=的图象经过点（2，4），则()12f -的值是A.21- B.23 C.2D.443. 若)(]1,[,618.03Z k k k a a∈+∈=，则k 的值为A. 0B.—1C. 1D. 以上均不对 44. 函数x y -=2的图象经过怎样的变换可以得到121+=+-x y 的图象A.向左平移1个单位，再向下平移1个单位B.向左平移1个单位，再向上平移1个单位C.向右平移1个单位，再向上平移1个单位D.向右平移1个单位，再向下平移1个单位 45. 已知0a>且21,()x a f x x a ≠=- , 当(1,1)x ∈- 时均有1()2f x < , 则实数a 的取值范围是A.[)∞+⎥⎦⎤⎝⎛，，221 0 B.(]4,11,41 ⎪⎭⎫⎢⎣⎡C.(]2 11,21， ⎪⎭⎫⎢⎣⎡ D.[)∞+⎥⎦⎤⎝⎛， 441,0 47. 幂函数()f x x α=的图象过点(2,4)，那么函数()f x 的单调递增区间是A.(2,)-+∞ B.[1,)-+∞C.[0,)+∞D.(,2)-∞- 48. 若实数,x y 满足119933xy x y +++=+，则33x y u =+的取值范围是A.36u <≤B.03u <≤C.06u <≤D.6u ≥参考答案（仅供参考） 幂函数的性质与图像幂函数及其性质专题一、幂函数的定义 一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂孙函数，其中x是自变量，α是常数.如11234,,y x y x y x-===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数. 二、函数的图像和性质（1）y x = （2）12y x = （3）2y x = （4）1y x-= （5）3y x=用描点法在同一坐标系内画出以上五个函数图像，通过观察图像，可以看出： 3．幂函数性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）x ＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.幂函数的定义：一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂孙函数，其中x 是自变量，α是常数.幂函数的性质：所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，图象都过点（1，1）x ＞0时，幂函数的图象都通过原点，知识梳理：1. 幂函数的基本形式是y x α=，其中x 是自变量，α是常数.要求掌握y x =，2y x =，3y x =，1/2y x =，1y x -=这五个常用幂函数的图象.2. 观察出幂函数的共性，总结如下： （1）当0α>时，图象过定点 ；在(0,)+∞上 是 函数.（2）当0α<时，图象过定点 ；在(0,)+∞上 是 函数；在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近. 3. 幂函数y x α=的图象，在第一象限内，直线1x =的右侧，图象由下至上，指数 . y 轴和直线1x =之间，图象由上至下，指数α .： 4. 规律总结1．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论；2．对于幂函数y ＝αx ，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即α＜0，0＜α＜1和α＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意α＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即α＞0（α≠1）时图象是抛物线型；α＜0时图象是双曲线型；α＞1时图象是竖直抛物线型；0＜α＜1时图象是横卧抛物线型．在[0，+∞]上，y x =、2y x=、3y x=、12y x=是增函数， 在（0，+∞）上，1y x -=是减函数。