幂函数与指数函数及其性质
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(一)指数函数的定义
一般地，函数y =a x
(a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R 。
将a 如数轴所示分为：a <0,a =0,0 和a >1五部分进行讨论： (1)如果a <0, 比如y =(-4)x ，这时 对于等，在实数范围内函数值不 存在； (2)如果a =0，、 (3)(3)如果a =1，y =1x =1，是个常值函数，没有研究的必要； (4)4)如果01即a >0且a ≠1，x 可以是任意实数。 (四)指数函数性质的简单应用 例 2： 比较下列各题中两个值的大小 : (l)1.72.5,1.73; (2)0.8-01,0.8-02 ; (3)(0.3)-0.3,(0.2)-0.3 (4)1.70.3,0.93.1 解 :(1) 考察指数函数 y =1.7x , 由于底数 1.7>1, 所以指数函数 y =1.7x 在R 上是增函数 因为 2.5< 3, 所以 1.72.5<1.73 (2) 考察指数函数 y =0.8x , 由于底数0<0.8 所以指数函数y =0.8x 在 R 上是减函数。 因 为-0.1 >-0.2,所以 0.8-0.1< 0.8-0.2 总结：同底数幂比大小时 , 可构造指数函数，利用单调性比大小 . (3) 观察图像可得,(0.3)-0.3<(0.2)-0.3 不同底数幂在比大小时,可利用多个指数函数图象比大小 (4) 由指数函数的性质知：1.703 >1.7 0 =1,093.1<0.90 =l 即 1.70.3 >0.93.1 <1,所 以 1.70.3 >0.93.1 总结：不同底数幂比大小时 , 可利用图象法或利用中间变量 ( 多选0，1) 例3：已知下列不等式 , 比较m 和n 的大小 : (l )2m <2n (2)0.2m >0.2n (3)a m (a >0） 解：(1) 因为y =2x