中考总复习讲义三角形的基本性质+特殊三角形
中考专题复习—三角形(相似三角形、特殊三角形、全等三角形)
三角形（相似三角形、特殊三角形、全等三角形）三角形（一）一、知识点回顾二、错题重做如图，四边形ABCD为正方形．点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（0，-3），反比例函数y=（k≠0）的图象经过点C．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P是反比例函数图象上的一点，△PAD的面积恰好等于正方形ABCD的面积，求点P的坐标．如图，已知直线m x y 1+=与x 轴、y 轴分别交于点A 、B 与双曲线x k y 2=（x<0）分别交于点C 、D ，且点C 的坐标为（－1，2）.（1）分别求出直线AB 及双曲线的解析式；（2）求出点D 的坐标；（3）利用图象直接写出：当x 在什么范围内取值时，21y y >.3、（2010广州）已知反比例函数y=（m 为常数）的图象经过点A （﹣1，6）． （1）求m 的值；（2）如图，过点A 作直线AC 与函数y=的图象交于点B ，与x 轴交于点C ，且AB=2BC ，求点C 的坐标．三、内容讲解（二）相交线与平行线1、同位角、内错角、同旁内角2、平行线、相交线3、平行线的判定：（1）同位角相等，两直线平行。
（2）内错角相等，两直线平行。
（3）同旁内角互补，两直线平行。
4、平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等。
（2）两直线平行，内错角相等。
（3）两直线平行，同旁内角互补。
（三）三角形1、三角形的边、角、三边关系|b−c|<a<b+c2、三角形的角平分线、中线、高（可能在外部）3、等腰三角形性质：两腰相等，两底角相等，三线合一等边三角形判定：2个内角是60°、三边相等、1个角是60°的等腰直角三角形的性质：30°所对直角边等于斜边的一半，斜边上的中线等于斜边的一半4、外角、内角和、外角和、多边形内角和和外角和、平面镶嵌（四）全等三角形1、全等形、全等三角形的性质：对应边相等、对应角相等、面积相等、周长相等2、全等三角形的判定：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL3、角的平分线的判定和性质4、线段垂直平分线的判定和性质5、作图：角平分线、垂直平分线6、轴对称和轴对称图形（将军饮马）（五）勾股定理1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方：c b a =+222、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 有下面关系： 222c b a =+（四）相似1、比、比的前项、比的后项、比例、比例外项、比例内项、比例线段、比例的基本性质2、合比性质：如果d c b a =，那么dd c b b a +=+ 等比性质：如果n m d c b a === ，（0≠+++m d b ），那么b a n d b m c a =++++++ 3、黄金分割：215-倍、黄金分割点。
中考复习专用 三角形与特殊三角形
中考复习专用三角形与特殊三角形在中考的数学世界里，三角形与特殊三角形是一个非常重要的考点。
今天，咱们就来好好梳理一下这部分知识，为即将到来的中考做好充分准备。
首先，咱们来聊聊三角形的基本概念。
三角形是由三条线段首尾相连组成的封闭图形。
它有三个内角，内角和为 180 度。
这是一个非常重要的性质，在很多题目中都会用到。
比如，已知两个内角的度数，求第三个内角的度数。
三角形的三条边也有很多有趣的性质。
两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
这在判断三条线段能否组成三角形时特别有用。
如果给了三条线段的长度，咱们只需要比较两条较短边的和是否大于最长边，就能判断它们能否组成三角形啦。
接下来，咱们重点说说特殊三角形。
特殊三角形主要有等腰三角形、等边三角形和直角三角形。
等腰三角形有两条边相等，这两条相等的边叫做腰，另一条边叫做底边。
等腰三角形的两个底角相等。
如果知道了顶角的度数，就能很容易地求出底角的度数，反之亦然。
而且，等腰三角形“三线合一”的性质也很重要，就是顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合。
等边三角形就更特殊啦，它的三条边都相等，三个内角也都相等，都是60 度。
因为它的特殊性，所以在很多题目中一旦出现等边三角形，往往能给我们提供很多有用的信息。
再说说直角三角形。
直角三角形有一个角是 90 度。
它的两条直角边的平方和等于斜边的平方，这就是著名的勾股定理。
比如，一个直角三角形的两条直角边分别是 3 和 4，那么斜边就是 5，因为 3²＋ 4²＝ 5²。
除了勾股定理，直角三角形还有很多重要的性质。
比如，斜边上的中线等于斜边的一半。
在解决与三角形和特殊三角形相关的题目时，我们经常需要用到全等三角形的知识。
全等三角形的对应边相等，对应角相等。
判断两个三角形全等的方法有“边边边”（SSS）、“边角边”（SAS）、“角边角”（ASA）、“角角边”（AAS）和“斜边、直角边”（HL）。
中考数学专题复习27特殊三角形(解析版)
特殊三角形考点1：等腰三角形的性质与判定1．（2021·江苏苏州市）如图．在Rt ABC △中.90C ∠=︒.AF EF =．若72CFE ∠=︒.则B ∠=______．【答案】54°【分析】首先根据等腰三角形的性质得出∠A =∠AEF .再根据三角形的外角和定理得出∠A +∠AEF =∠CFE .求出∠A 的度数.最后根据三角形的内角和定理求出∠B 的度数即可．【详解】∠ AF =EF .∠ ∠A =∠AEF .∠∠A +∠AEF =∠CFE=72°.∠ ∠A =36°.∠ ∠C =90°.∠A +∠B +∠C =180°.∠ ∠B =180°-∠A -∠C =54°．故答案为：54°．2．（2021·江苏南京市·中考真题）如图.在四边形ABCD 中.AB BC BD ==．设ABC α∠=.则ADC ∠=______（用含α的代数式表示）．【答案】11802α︒-【分析】由等腰的性质可得：∠ADB =1902ABD ︒-∠.∠BDC =1902CBD ︒-∠.两角相加即可得到结论．【详解】解：在∠ABD 中.AB =BD∠∠A =∠ADB =11(180)9022ABD ABD ︒-∠=︒-∠ 在∠BCD 中.BC =BD∠∠C =∠BDC =11(180)9022CBD CBD ︒-∠=︒-∠ ∠ABC ABD CBD α∠=∠+∠=∠ADC ADB CBD ∠=∠+∠ =11909022ABD CBD ︒-∠+︒-∠ =1180()2ABD CBD ︒-∠+∠ =11802ABC ︒-∠ =11802α︒- 故答案为：11802α︒-．3．（2021·四川资阳市·中考真题）将一张圆形纸片（圆心为点O ）沿直径MN 对折后.按图1分成六等份折叠得到图2.将图2沿虚线AB 剪开.再将AOB 展开得到如图3的一个六角星．若75CDE ∠=︒.则OBA ∠的度数为______．【答案】135°【分析】利用折叠的性质.根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理解题．【详解】解：连接OC.EO由折叠性质可得：∠EOC=3603012︒=︒.EC=DC.OC平分∠ECD∠∠ECO=11(180275)15 22ECD∠=︒-⨯︒=︒∠∠OEC=180°-∠ECO-∠EOC=135°即OBA∠的度数为135°故答案为：135°4．（2021·山东中考真题）如图.在ABC中.ABC∠的平分线交AC于点D.过点D作//DE BC；交AB于点E．（1）求证：BE DE =；（2）若80,40A C ∠=︒∠=︒.求BDE ∠的度数．【答案】（1）见详解；（2）30BDE ∠=︒【分析】（1）由题意易得,ABD CBD CBD EDB ∠=∠∠=∠.则有ABD EDB ∠=∠.然后问题可求证； （2）由题意易得60ABC ∠=︒.则有30ABD CBD ∠=∠=︒.然后由（1）可求解．【详解】（1）证明：∠BD 平分ABC ∠.∠ABD CBD ∠=∠.∠//DE BC .∠CBD EDB ∠=∠.∠ABD EDB ∠=∠.∠BE DE =；（2）解：∠80,40A C ∠=︒∠=︒.∠18060ABC A C ∠=︒-∠-∠=︒.由（1）可得30ABD CBD BDE ∠=∠=∠=︒．5．（2020•台州）如图.已知AB ＝AC .AD ＝AE .BD 和CE 相交于点O ．（1）求证：∠ABD ∠∠ACE ；（2）判断∠BOC 的形状.并说明理由．【分析】（1）由“SAS ”可证∠ABD ∠∠ACE ；（2）由全等三角形的性质可得∠ABD ＝∠ACE .由等腰三角形的性质可得∠ABC ＝∠ACB .可求∠OBC ＝∠OCB .可得BO ＝CO .即可得结论．【解答】证明：（1）∠AB ＝AC .∠BAD ＝∠CAE .AD ＝AE .∠∠ABD∠∠ACE（SAS）；（2）∠BOC是等腰三角形.理由如下：∠∠ABD∠∠ACE.∠∠ABD＝∠ACE.∠AB＝AC.∠∠ABC＝∠ACB.∠∠ABC﹣∠ABD＝∠ACB﹣∠ACE.∠∠OBC＝∠OCB.∠BO＝CO.∠∠BOC是等腰三角形．考点2：等边三角形的性质与判定6．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）如图.等边三角形ABC的边长为4.C的半3P为AB边上一动点.过点P作C的切线PQ.切点为Q.则PQ的最小值为________．【答案】3【分析】连接OC和PC.利用切线的性质得到CQ∠PQ.可得当CP最小时.PQ最小.此时CP∠AB.再求出CP.利用勾股定理求出PQ即可．【详解】解：连接QC和PC.∠PQ和圆C相切.∠CQ∠PQ.即∠CPQ始终为直角三角形.CQ为定值.∠当CP最小时.PQ最小.∠∠ABC是等边三角形.∠当CP∠AB时.CP最小.此时CP∠AB.∠AB=BC=AC=4.∠AP=BP=2.∠CP22-3AC AP∠圆C的半径CQ3∠PQ22-=3.CP CQ故答案为：3．7．（2020•台州）如图.等边三角形纸片ABC的边长为6.E.F是边BC上的三等分点．分别过点E.F沿着平行于BA.CA方向各剪一刀.则剪下的∠DEF的周长是．【分析】根据三等分点的定义可求EF的长.再根据等边三角形的判定与性质即可求解．【解析】∠等边三角形纸片ABC的边长为6.E.F是边BC上的三等分点.∠EF＝2.∠DE∠AB.DF∠AC.∠∠DEF是等边三角形.∠剪下的∠DEF的周长是2×3＝6．故答案为：6．8．（2020•凉山州）如图.点P、Q分别是等边∠ABC边AB、BC上的动点（端点除外）.点P、点Q以相同的速度.同时从点A、点B出发．（1）如图1.连接AQ、CP．求证：∠ABQ∠∠CAP；（2）如图1.当点P、Q分别在AB、BC边上运动时.AQ、CP相交于点M.∠QMC的大小是否变化？若变化.请说明理由；若不变.求出它的度数；（3）如图2.当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时.直线AQ、CP相交于M.∠QMC的大小是否变化？若变化.请说明理由；若不变.求出它的度数．【分析】（1）根据等边三角形的性质.利用SAS 证明∠ABQ ∠∠CAP 即可；（2）先判定∠ABQ ∠∠CAP .根据全等三角形的性质可得∠BAQ ＝∠ACP .从而得到∠QMC ＝60°；（3）先判定∠ABQ ∠∠CAP .根据全等三角形的性质可得∠BAQ ＝∠ACP .从而得到∠QMC ＝120°．【解析】（1）证明：如图1.∠∠ABC 是等边三角形∠∠ABQ ＝∠CAP ＝60°.AB ＝CA .又∠点P 、Q 运动速度相同.∠AP ＝BQ .在∠ABQ 与∠CAP 中.{AB =CA∠ABQ =∠CPA AP =BQ. ∠∠ABQ ∠∠CAP （SAS ）；（2）点P 、Q 在AB 、BC 边上运动的过程中.∠QMC 不变．理由：∠∠ABQ ∠∠CAP .∠∠BAQ ＝∠ACP .∠∠QMC 是∠ACM 的外角.∠∠QMC ＝∠ACP +∠MAC ＝∠BAQ +∠MAC ＝∠BAC∠∠BAC ＝60°.∠∠QMC ＝60°；（3）如图2.点P 、Q 在运动到终点后继续在射线AB 、BC 上运动时.∠QMC 不变 理由：同理可得.∠ABQ ∠∠CAP .∠∠BAQ ＝∠ACP .∠∠QMC 是∠APM 的外角.∠∠QMC ＝∠BAQ +∠APM .∠∠QMC ＝∠ACP +∠APM ＝180°﹣∠P AC ＝180°﹣60°＝120°.即若点P 、Q 在运动到终点后继续在射线AB 、BC 上运动.∠QMC 的度数为120°．考点3：直角三角形的性质9．（2020•衡阳）如图.在∠ABC 中.∠B ＝∠C .过BC 的中点D 作DE ∠AB .DF ∠AC .垂足分别为点E 、F ．（1）求证：DE ＝DF ；（2）若∠BDE ＝40°.求∠BAC 的度数．【分析】（1）根据DE ∠AB .DF ∠AC 可得∠BED ＝∠CFD ＝90°.由于∠B ＝∠C .D 是BC 的中点.AAS 求证∠BED ∠∠CFD 即可得出结论．（2）根据直角三角形的性质求出∠B ＝50°.根据等腰三角形的性质即可求解．【解答】（1）证明：∠DE ∠AB .DF ∠AC .∠∠BED ＝∠CFD ＝90°.∠D 是BC 的中点.∠BD ＝CD .在∠BED 与∠CFD 中.{∠BED =∠CFD∠B =∠CBD =CD. ∠∠BED ∠∠CFD （AAS ）.∠DE ＝DF ；（2）解：∠∠BDE ＝40°.∠∠B＝50°.∠∠C＝50°.∠∠BAC＝80°．10．（2020•泰安）小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上.抽象出如图（2）的平面图形.∠ACB与∠ECD恰好为对顶角.∠ABC＝∠CDE＝90°.连接BD.AB ＝BD.点F是线段CE上一点．探究发现：（1）当点F为线段CE的中点时.连接DF（如图（2））.小明经过探究.得到结论：BD∠DF．你认为此结论是否成立？．（填“是”或“否”）拓展延伸：（2）将（1）中的条件与结论互换.即：BD∠DF.则点F为线段CE的中点．请判断此结论是否成立．若成立.请写出证明过程；若不成立.请说明理由．问题解决：（3）若AB＝6.CE＝9.求AD的长．【分析】（1）证明∠FDC+∠BDC＝90°可得结论．（2）结论成立：利用等角的余角相等证明∠E＝∠EDF.推出EF＝FD.再证明FD＝FC 即可解决问题．（3）如图3中.取EC的中点G.连接GD．则GD∠BD．利用（1）中即可以及相似三角形的性质解决问题即可．【解析】（1）如图（2）中.∠∠EDC＝90°.EF＝CF.∠DF＝CF.∠∠FCD＝∠FDC.∠∠ABC＝90°.∠∠A+∠ACB＝90°.∠BA＝BD.∠∠A＝∠ADB.∠∠ACB＝∠FCD＝∠FDC.∠∠ADB+∠FDC＝90°.∠∠FDB＝90°.∠BD∠DF．故答案为是．（2）结论成立：理由：∠BD∠DF.ED∠AD.∠∠BDC+∠CDF＝90°.∠EDF+∠CDF＝90°.∠∠BDC＝∠EDF.∠AB＝BD.∠∠A＝∠BDC.∠∠A＝∠EDF.∠∠A+∠ACB＝90°.∠E+∠ECD＝90°.∠ACB＝∠ECD.∠∠A＝∠E.∠∠E＝∠EDF.∠EF＝FD.∠∠E+∠ECD＝90°.∠EDF+∠FDC＝90°.∠FD ＝FC .∠EF ＝FC .∠点F 是EC 的中点．（3）如图3中.取EC 的中点G .连接GD ．则GD ∠BD ．∠DG =12EC =92. ∠BD ＝AB ＝6.在Rt∠BDG 中.BG =√DG 2+BD 2=√(92)2+62=152. ∠CB =152−92=3.在Rt∠ABC 中.AC =√AB 2+BC 2=√62+32=3√5.∠∠ACB ＝∠ECD .∠ABC ＝∠EDC .∠∠ABC ∠∠EDC .∠AC EC =BC CD. ∠3√59=3CD. ∠CD =9√55. ∠AD ＝AC +CD ＝3√5+9√55=24√55． 11．（2020•常德）已知D 是Rt∠ABC 斜边AB 的中点.∠ACB ＝90°.∠ABC ＝30°.过点D 作Rt∠DEF 使∠DEF ＝90°.∠DFE ＝30°.连接CE 并延长CE 到P .使EP ＝CE .连接BE .FP .BP .设BC 与DE 交于M .PB 与EF 交于N ．（1）如图1.当D .B .F 共线时.求证：∠EB ＝EP ；（2）如图2.当D .B .F 不共线时.连接BF .求证：∠BFD +∠EFP ＝30°．【分析】（1）∠证明∠CBP 是直角三角形.根据直角三角形斜边中线可得结论； ∠根据同位角相等可得BC ∠EF .由平行线的性质得BP ∠EF .可得EF 是线段BP 的垂直平分线.根据等腰三角形三线合一的性质可得∠PFE ＝∠BFE ＝30°；（2）如图2.延长DE 到Q .使EQ ＝DE .连接CD .PQ .FQ .证明∠QEP ∠∠DEC （SAS ）.则PQ ＝DC ＝DB .由QE ＝DE .∠DEF ＝90°.知EF 是DQ 的垂直平分线.证明∠FQP ∠∠FDB （SAS ）.再由EF 是DQ 的垂直平分线.可得结论．【解答】证明（1）∠∠∠ACB ＝90°.∠ABC ＝30°.∠∠A ＝90°﹣30°＝60°.同理∠EDF ＝60°.∠∠A ＝∠EDF ＝60°.∠AC ∠DE .∠∠DMB ＝∠ACB ＝90°.∠D 是Rt∠ABC 斜边AB 的中点.AC ∠DM .∠BM BC =BD AB =12. 即M 是BC 的中点.∠EP ＝CE .即E 是PC 的中点.∠ED ∠BP .∠∠CBP ＝∠DMB ＝90°.∠∠CBP 是直角三角形.∠BE =12PC ＝EP ； ∠∠∠ABC ＝∠DFE ＝30°.∠BC ∠EF .由∠知：∠CBP ＝90°.∠BP ∠EF .∠EB＝EP.∠EF是线段BP的垂直平分线.∠PF＝BF.∠∠PFE＝∠BFE＝30°；（2）如图2.延长DE到Q.使EQ＝DE.连接CD.PQ.FQ.∠EC＝EP.∠DEC＝∠QEP.∠∠QEP∠∠DEC（SAS）.则PQ＝DC＝DB.∠QE＝DE.∠DEF＝90°∠EF是DQ的垂直平分线.∠QF＝DF.∠CD＝AD.∠∠CDA＝∠A＝60°.∠∠CDB＝120°.∠∠FDB＝120°﹣∠FDC＝120°﹣（60°+∠EDC）＝60°﹣∠EDC＝60°﹣∠EQP＝∠FQP.∠∠FQP∠∠FDB（SAS）.∠∠QFP＝∠BFD.∠EF是DQ的垂直平分线.∠∠QFE＝∠EFD＝30°.∠∠QFP+∠EFP＝30°.∠∠BFD+∠EFP＝30°．考点4：勾股定理及其逆定理12．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）如图.ABC中.∠=︒==.将ADE沿DE翻折.使点A与点B重合.则CE的长为90,8,6ACB AC BC（）A．198B．2C．254D．74【答案】D【分析】先在RtABC中利用勾股定理计算出AB=10.再利用折叠的性质得到AE=BE.AD=BD=5.设AE=x.则CE=AC-AE=8-x.BE=x.在Rt∠BCE中根据勾股定理可得到x2=62+（8-x）2.解得x.可得CE．【详解】解：∠∠ACB=90°.AC=8.BC=6.∠AB22AC BC+∠∠ADE沿DE翻折.使点A与点B重合.∠AE=BE.AD=BD=12AB=5.设AE=x.则CE=AC-AE=8-x.BE=x.在Rt∠BCE中∠BE2=BC2+CE2.∠x2=62+（8-x）2.解得x=25 4.∠CE=2584-=74.故选：D．。
中考复习特殊三角形
中考复习特殊三角形中考对于每一位初中生来说都是一次重要的挑战，而数学中的特殊三角形更是考点中的重点。
特殊三角形包括等腰三角形、等边三角形和直角三角形，它们各自具有独特的性质和判定方法。
接下来，让我们一起深入复习这些特殊三角形的知识。
一、等腰三角形等腰三角形是指至少有两边相等的三角形。
相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边称为底边。
两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
1、性质（1）等腰三角形的两腰相等。
（2）等腰三角形的两底角相等（简写成“等边对等角”）。
（3）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）。
2、判定（1）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。
（2）有两条边相等的三角形是等腰三角形。
在解题中，我们常常利用等腰三角形的性质和判定来求解角度、边长等问题。
例如，已知一个等腰三角形的顶角为 80°，那么底角的度数就可以通过“（180°顶角）÷ 2”来计算，即（180° 80°）÷ 2 ＝ 50°。
二、等边三角形等边三角形又称正三角形，为三边相等的三角形，其三个内角相等，均为 60°。
1、性质（1）等边三角形的三条边都相等。
（2）等边三角形的三个内角都相等，且均为 60°。
（3）等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。
2、判定（1）三边相等的三角形是等边三角形。
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。
（3）有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形。
等边三角形在实际问题中也有广泛的应用。
比如在建筑设计中，利用等边三角形的稳定性可以增强结构的牢固性。
三、直角三角形直角三角形是一个角为直角的三角形。
直角所对的边称为斜边，其余两边称为直角边。
1、性质（1）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）。
（2）在直角三角形中，两个锐角互余。
中考数学 考点聚焦 第5章 图形的性质(一)第19讲 特殊三角形1
(2)如图③，在△ABC 的外部，以 A 为直角顶点作等腰直角△BAE，使∠BAE ＝90°，AE＝AB，连接 EA，EB，EC.∵∠ACD＝∠ADC＝45°，∴AC＝AD， ∠CAD＝90°，∴∠BAE＋∠BAC＝∠CAD＋∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，在
【深入探究】 (2)如图②，四边形ABCD中，AB＝7 cm，BC＝3 cm，∠ABC＝∠ACD ＝∠ADC＝45°，求BD的长．
审题视角 (1)首先根据等式的性质证明∠EAC＝∠BAD，则根据SAS即
可证明△EAC≌△BAD，根据全等三角形的性质即可证明；(2)在△ABC
的外部，以A为直角顶点作等腰直角△BAE，使∠BAE＝90°，AE＝AB
(2)BD＝DE＝EC，其理由是：∵OB平分∠ABC，且∠ABC＝60°， ∴∠ABO＝∠OBD＝30°，∵OD∥AB，∴∠BOD＝∠ABO＝30°， ∴∠DBO＝∠DOB，∴DB＝DO，同理，EC＝EO，∵DE＝OD＝OE， ∴BD＝DE＝EC.
【点评】 此题主要考查等边三角形的判定及性质的理解及运用．
(2)(2016·淮安)已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三 角形的周长是__1_0_．
【例2】 (2015·北京)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的 中线，BE⊥AC于点E.求证：∠CBE＝∠BAD.
证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，AD平分∠BAC ，∵BE⊥AC，∴∠CBE＋∠C＝∠CAD＋∠C＝90°，又∵∠CAD＝ ∠BAD，∴∠CBE＝∠BAD.
△EAC 和△BAD 中，A∠EE＝ACA＝B，∠BAD，∴△EAC≌△BAD(SAS)， AC＝AD，
三角形知识总复习
折叠纸盒
折叠纸盒的构造中，常常 可以看到三角形的应用， 它们能够承受一定的压力， 保持纸盒的形状。
三角形在数学与其他学科中的应用
几何学
三角形是几何学中基础图形之一， 研究三角形的性质、面积和周长
等基础知识是几何学的重要内容。
工程学
在工程设计中，三角形的应用非常 广泛，如结构设计、机械零件设计 等。
详细描述
根据三角形的角度和边长，可以将三角形分为不同的类型。 例如，等边三角形三边相等，三个角都是60度；等腰三角形 两边相等，两个角相等；直角三角形有一个90度的角等。这 些分类有助于理解三角形的特性和性质。
02 三角形的面积与周长
CHAPTER
三角形的面积计算
01
02
03
公式法
使用三角形面积公式（面 积 = (底 × 高) ÷ 2）计算 面积。
三角形知识总复习
目录
CONTENTS
• 三角形的基本性质 • 三角形的面积与周长 • 三角形的角度与勾股定理 • 三角形的全等与相似 • 三角函数与解三角形 • 三角形的实际应用
01 三角形的基本性质
CHAPTER
三角形的基本定义
总结词
三角形是由三条边和三个角构成的闭合二维图形。
详细描述
三角形的基本定义包括其构成的要素，即三条边和三个角。这三条边在平面几 何中首尾相连，形成一个封闭的二维图形，而三个角则定义了三角形的角度大 小。
等边三角形
等边三角形的三条边长度相等，面积计算公式为（面积 = (√3/4) × a^2），其中a是等边三 角形的边长。周长计算公式为（周长 = 3a）。
等腰三角形
等腰三角形有两边长度相等，面积计算公式为（面积 = (底 × 高) ÷ 2），周长计算公式为 （周长 = a + b + c），其中a、b和c分别是三角形的底、相等的两边和另一条边。
直角三角形的特殊性质与推论
直角三角形的特殊性质与推论直角三角形是一种特殊的三角形，它具有一些独特的性质和推论。
在本文中，我们将详细探讨直角三角形的特点，并分析其相关的推论。
一、直角三角形的定义和基本性质直角三角形是指一个角度为90度的三角形。
根据直角三角形的定义，我们可以得出以下基本性质：1. 直角三角形的两条边与直角边的关系：直角三角形的两条边相互垂直，并与直角边存在一定的比例关系。
2. 直角三角形的斜边：直角三角形的斜边是直角边的对边，也是直角三角形中最长的一条边。
3. 直角三角形的两个锐角：直角三角形的两个锐角是互补角，即它们的和为90度。
二、勾股定理勾股定理是直角三角形中最著名的推论之一。
它指出，在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理可以用数学公式表示为：c² = a² + b²，其中a和b代表直角边的长度，c代表斜边的长度。
这个定理由古希腊数学家毕达哥拉斯提出，被认为是数学中最重要的定理之一。
勾股定理的应用非常广泛。
它可以用来计算直角三角形的任意一边的长度，或者判断一个三边长度是否能够构成直角三角形。
三、特殊的直角三角形除了勾股定理，直角三角形还有一些特殊的性质和推论。
下面我们将介绍两种特殊的直角三角形。
1. 等腰直角三角形：等腰直角三角形是指两条直角边长度相等的直角三角形。
在等腰直角三角形中，两个锐角也是相等的，都为45度。
2. 30-60-90三角形：30-60-90三角形是指一个锐角为30度，一个锐角为60度的直角三角形。
在30-60-90三角形中，斜边的长度是直角边长度的两倍，而较小的锐角为30度的直角边长度是较大锐角为60度的直角边长度的一半。
这两种特殊的直角三角形在几何学和三角学中有广泛的应用。
四、直角三角形的应用直角三角形的性质和推论在实际问题中有许多应用。
以下是几个常见的应用场景：1. 测量高度：直角三角形常用于测量无法直接测量的高度。
通过测量斜边和相关的角度，可以使用三角函数来计算出高度的长度。
2020年上海中考数学·一轮复习 第13讲 特殊三角形
第13讲特殊三角形[基础篇]一、等腰三角形1、等腰三角形的概念：两条边相等的三角形叫做等腰三角形；等腰三角形中，相等的两条边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
底边2、等腰三角形的性质：2.1 等腰三角形的两个底角相等.(简写成“等边对等角”)；2.2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称“等腰三角形的三线合一”；2.3 等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线为对称轴。
3、等腰三角形的证明方法：3.1 有两个角相等的三角形是等腰三角形；3.2 “两线合一”可证“三线合一”二、等边三角形1、等边三角形的性质1）三条边相等；2）等边三角形的内角都相等,且等于60 °；3）等边三角形各边上中线,高和所对角的平分线都三线合一；4）等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。
2、等边三角形的判定1）三边相等的三角形是等边三角形；2）三个内角都等于60 °的三角形是等边三角形；3）有一个内角等于60 °的等腰三角形是等边三角形。
[技能篇]类型一：等腰三角形概念例1-1 等腰三角形顶角是84°，则一腰上的高与底边所成的角的度数是（ ）（A ）42°； （B ）60°； （C ）36°； （D ）46°例1-2 ABC ∆中，AB AC =，BD 平分ABC ∠交AC 边于点D ，75BDC ∠=︒，则A ∠的度数是（ ）（A ）35°； （B ）40°； （C ）70 °； （D ）110°例1-3 等腰三角形的对称轴是（ ）（A ）顶角的平分线； （B ）底边上的高； （C ）底边上的中线； （D ）底边上的高所在的直线例1-4 如图，ABC ∠中，AD BC ⊥，AB AC =，30BAD ∠=︒，且AD AE =，则EDC ∠等于（ ）（A ）10； （B ）125︒．； （C ）15°（D ）20°例1-5 ABC ∆中AB AC =，36A ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于D ，则图中的等腰三角形有（ ）（A ）1个； （B ）2个； （C ）3个； （D ）4个例1-6 如图，已知OC 平分AOB ∠，//CD OB ，若3OD cm =，则CD 等于（ ）（A ）3cm ； （B ）4cm ； （C ）1.5cm ； （D ）2cm例1-7 如图，ABC ∆中，ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点F ，过点F 作//DE BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，那么下列结论：①BDF ∆和CEF ∆都是等腰三角形；②DE BD CE =+；•③ADE ∆的周长等于AB 与AC 的和；④BF CF =．其中正确的有（ ）．（A ）①②③； （B ）①②③④； （C ）①②； （D ）①C B E DC AB 0B D EF例1-8 如图，Rt ABC ∆中，CD 是斜边AB 上的高，角平分线AE 交CD 于H ，EF AB ⊥于F ，则下列结论中不正确的是（ ）（A ）ACD B ∠=∠； （B ）CH CE EF ==； （C ）CH HD =； （D ）AC AF =类型二：等腰三角形 —— 一题多解例2-1 一个等腰三角形的一边长是7cm ，另一边长是5cm ，那么这个等腰三角形的周长是（ ）（A ）12cm ； （B ）17cm ； （C ）19cm ； （D ）17cm 或19cm例2-2 等腰三角形的两边长分别为4 cm 和9 cm ，则它的周长为________cm 。
中考数学一轮教材梳理复习课件：第20课特殊三角形
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(1)如图 1，求证：AD＝AE；
证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
AB＝AC， 在△ABD 和△ACE 中，∠B＝∠C，
BD＝CE，
∴△ABD≌△ACE(SAS). ∴AD＝AE.
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(2)如图 2，当∠DAE＝∠C＝45°时，过点 B 作 BF∥AC
交 AD 的延长线于点 F，在不添加任何辅助线的情况
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3．(2020·甘孜)如图，等腰△ABC 中，点 D，E 分别在
腰 AB，AC 上，添加下列条件，不能判定△ABE≌△ACD
的是( B )
A．AD＝AE
B．BE＝CD
C．∠ADC＝∠AEB D．∠DCB＝∠EBC
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二、填空题 4．(2020·岳阳)如图，在 Rt△ABC 中，CD 是斜边 AB 上的中线，∠A＝20°，则∠BCD＝___7_0___°.
△ABE，△ACD，△DAE，△DBF.
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பைடு நூலகம்
(3)判定：
①三边都相等的三角形是等边三角形．
②三个角都相等的三角形是等边三角形．
③有一个 60°角的等腰三角形是等边三角形．
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2．(1)如图，在等边三角形 ABC 中，若 AB＝2，则等 边三角形 ABC 的面积是_____3___．
(2)下列条件中，不能得到等边三角形的是( B ) A．三边都相等的三角形 B．有两外角相等的等腰三角形 C．两内角是 60°的三角形 D．一内角为 60°的等腰三角形
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3．(1)如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，若 AC＝
4，BC＝3，则 AB＝__5___．若∠A＝30°，且 CD⊥AB，
中考数学特殊三角形综合复习
（二）特殊三角形考点精要解析考点一：线段的垂直平分线1.定义：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做线段的垂直平分线.2.性质：线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等.3.判定：与一条直线两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.4.三角形的三边垂直平分线：三角形的三边垂直平分线交于一点，交点是三角形的外新，且到三角形三个顶点的距离相等.考点二：等腰三角形1.定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.2.性质：（1）两腰相等（2）两底角相等（简称为等边对等角）（3）等腰三角形定角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（简称为“三线合一”）.（4）等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边的垂直平分线.3.判定（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形.（2）有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称为“等角对等边”）.考点三：等边三角形1.定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形.2.性质（1）三边都相等，三个角都相等，每个角都等于60°.（2）等边三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（简称为“三线合一”）.3.判定（1）三条边都相等的三角形是等边三角形.（2）三个角都相等的三角形是等边三角形.（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.考点四：直角三角形与勾股定理直角三角形（1）定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形.（2）性质：①两锐角互余；②30°角所对的直角边等于斜边的一半；③直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.（3）判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形.2.勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a ，b 斜边长为c ，那么222c b a =+.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.3.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、，b ，c 满足222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形.4.直角三角形斜边上的高的求法：如图4-2-29所示，ab=ch cab h =⇒ 5.折叠的常见基本图形，如图4-2-30所示.高频考点过关 例题1.如图4-2-31所示，△ABC 是等腰直角三角形，∠C=90°，BD 平分∠CBA 交AC 于点D ，DE 丄AB 于E.若△ADE 的周长为8cm ，则AB= cm.答案：8解析：∵DE 丄AB ，∴∠DEB=90°, ∵BD 平分∠CBA,∴∠CBD=∠EBD.又∵BD=BD ，∴△CBD ≌△EBD,∴CD=DE,BC=BE.∴AD+DE+AE=AD+CD+AE=AC+AE=BC+AE=BE+AE=AB=8(cm)考点二 ：等腰三角形和等边三角形例题2.已知等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是( )A.55°，55°B.70°，40°C.55°，55°或 70°，40°D.55°，70°答案注意分类讨论：70°角可能是顶角，也可能是底角.例题3.如图4-2-32所示，△ABC 是等边三角形，P 是∠ABC 的平分线BD 上一点，PE 丄AB 于点E ，线段BP 的垂直平分线交BC 于点F,垂足为点Q ，若BF=2，则PE 的长为( )A.2B. D.3答案C例题4 在一次数学课上，王老师在黑板上画一图，如图4-2-33所示，并写下了四个等式：①AB=DC ②BE=CE ③∠B=∠C ④∠BAE=∠CDE要求同学从这四个等式中选出两个作为条件，推出△AED 是等腰三角形.请你试着完成王老师提出的要求，并说明理由(写出一种即可)已知：①③（或①④，或②③，或②④）求证: △AED 是等腰三角形.证明：在△ABE 和△DCE 中，B C AEB DEC AB DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩Q ∴△ABE ≌△DCE∴AE=DE 即△AED 是等腰三角形.考点三：直角三角形与勾股定理例题5 如图4-2-34所示，在△ABC 中，AB=AC ，∠B= 30°，AB 的垂直平分线EF 交AB 于点E ，交BC 于点F ，EF=2，求BC 的长.【解】连接AF 如图4-2-35所示. ∵EF 垂直平分AB ，∴AF=BF,∴∠B=∠FAB.∵∠B= 30°，∴∠FAB= 30°,∵AB=AC,∴∠B=∠C=30°,∴∠BAC=120°,∴∠FAC=∠BAC －∠FAB=90°,在Rt △BEF 中,∠B=30°,∴BF=AF=2EF=4.在Rt △FAC 中,∠C=30°,∴FC=2AF=8.∴BC=BF+FC=12.中考真题链接真题1.( 天门中考)如图4-2-36所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°；BC=6cm；AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为( ) A.4cm B.3cm C.2cm D.1cm真题2 (毕节中考)已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的周长为( ).A.16B.20 或16C. 20D.12真题3 (钦州中考)等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是( )A.80°B.80°或20°C.80°或50°D.20°真题4 (宿迁中考)在等腰△ABC中，∠ACB=90°，且AC=1.过点C作直线l //AB，P为直线l上一点，且AP=AB则点P到BC所在直线的距离是( )A. 1B. 1或C.1或D.真题5 (衝州中考)将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为30cm的纸带边沿上,另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图4-2-27所示，则三角板的最大边的长为( )A.3cmB.6cmC.cmD.真题6 (黔西南州中考)一直角三角形的两边长分别为3和4则第三边的长为( )A.5 D.5真题7.(新疆中考）如图4-2-38所示，Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠ABC=60°,BC=2cm,D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒(0≤t＜6),连接DE，当△BDE是直角三角形时,t的值为( )A.2B. 2.5 或3.5C. 3.5 或4.5D. 2 或3. 5 或4.5真题8（泰州中考)如图4-2-39所示，在△ABC中，AB+AC=6cm，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，则△ABD的周长为cm.真题9 (1)(巴中中考)方程x2－9x+18 = 0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为.(2) (白银中考)等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边为.真题10(黔西南州中考)如图4-2-40所示，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE,则∠E= 度.真题11(黄冈中考）如图4-2-41所示，已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE=CD=1, 连接DE，则DE= .真题12.(鞍山中考）如图4-2-42所示，D是△ABC内一点,BD⊥CD,AD=6,BD=4,CD=3,E,F,G,H分别是AB，AC，CD，BD的中点，则四边形EFGH的周长是.真题13.(上海中考）如图4-2-43所示，在△ABC中，AB=AC,BC=8，tanC=32，如果将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点E处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为.真题14.(东营中考)如图4-2-44所示，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁．．离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0. 3m与蚊子相对．．的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为m(容器厚度忽略不计).真题15.(河北中考)如图4-2-45所示，巳知边长为2的正三角形ABC，两顶点A，B分别在平面直角坐标系的x轴y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，则OC长的最大值是.真题16.(白银中考)两个城镇A，B与两条公路l1，l2位置如图4-2-46所示，电信部门需在C处修建一座信号反射塔，要求发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路l1,l2的距离也必须相等，那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出所有符合条件的点。
初中数学特殊三角形复习讲义
等边”）．
数学语言：在△ABC 中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）．
要点诠释：
等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化
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2
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学习，为了追寻更好的自己！
为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理. 【注意】 （1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相
类型六：直角三角形的性质运用 1、如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，∠ABC=2∠C，BE 平分∠ABC 交 AC 于 E，AD⊥BE 于 D， 下列结论：①AC﹣BE=AE；②点 E 在线段 BC 的垂直平分线上；③∠DAE=∠C；④BC=4AD， 其中正确的个数有（ ）
A．1 个
B．2 个
性质 2 用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．
４.等腰三角形是轴对称图形
等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情
况只有一条对称轴．
要点三、等腰三角形的判定
（1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形；
（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对
授课标题 特殊三角形复习
1、熟记并理解运用特殊三角形的判定和性质 学习目标 2、准确运用性质进行分类讨论
3、掌握直角三角形的补充性质并灵活运用 三线合一的运用 重点难点 分类讨论问题
教学负责人签字处
1
学习，为了追寻更好的自己！
本次课课堂教学内容
一、知识点梳理
要点一、等腰三角形的定义 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，
2014中考数学复习课件14三角形及性质-第一轮复习第四单元三角形
A `
E B
30° D
F
C
第 15 题 3
考点 直角三角形的性质和判定 如图，∠BAM=30° ，其中 AB=2 3 ，点 P 是 AM 上的动点， 连接 BP， 当 AP= 时， 3或 4 △ABP 是直角三角形。
30°
30°
考点 直角三角形的性质和判定
（ 2013 哈尔滨 19）在△ ABC 中， AB= 2 2 ， BC=1， ∠ ABC=45° ，以 AB 为一边作等腰直角三角形 ABD，使 ∠ABD=90° ，连接 CD，则线段 CD 的长为 5或 13 ．
3．(2013· 湘西州)如图，一副分别含有 30° 和 45° 角 的两个直角三角板，拼在一起，其中∠C＝90° ，∠B＝ 45° ， ∠E＝30° ，则∠BFD 的度数是( A A．15° C．30° B．25° D．10° )
解 析： ∵∠ E＝ 30° ， ∴∠C DF ＝ 60° .∵∠C DF 是 △ BDF 的外角，∴∠BFD＝ ∠C DF－∠B＝ 60° － 45° ＝ 15° .故选 A.
2014中考复习第一轮
第14讲
三角形及性质
第14讲
三角形及性质
│考点随堂练│
考点一 三角形定义及其分类 1.定义：三条线段首尾顺次连接所成的图形叫三角形
2.按边分为：
三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形 等边三角形
不等边三角形 三边互不相等
3.按角分为：
三角形 锐角三角形 斜三角形 钝角三角形
直角三角形
考点二
一般三角形的性质
1．三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 2．三角形的内角和是180° 3.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的 外角大于任何一个和它不相邻的内角． 4．如果三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就 完全确定了，三角形的这个特征，叫做三角形的稳定性．
2020年中考数学考点总动员第17讲 特殊三角形(含答案解析)
第17讲特殊三角形【考点梳理】1．等腰三角形(1)性质：等腰三角形的两底角相等，两腰相等；等腰三角形的_高线_、中线、顶角平分线“三线合一”；等腰三角形是轴对称图形，高线(或底边中线、顶角平分线)所在直线是它的对称轴．(2)判定：有两角相等的三角形是等腰三角形；有_两边相等的三角形是等腰三角形．2．等边三角形(1)性质：三边相等，三个内角都等于60°；等边三角形是轴对称图形，有_3__条对称轴．(2)判定：三边相等、三内角相等或有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．3．直角三角形(1)性质：①两锐角之和等于_90°_；②斜边上的中线等于斜边的一半；③30°的角所对应的直角边等于斜边的_一半_；④勾股定理：若直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，则有a2＋b2＝c2.(2)判定：①有一个角是直角的三角形是直角三角形；②有两个角互余的三角形是直角三角形；③勾股定理逆定理：如果三角形三边长a，b，c满足关系a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形；④一条边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形．4．等腰直角三角形(1)性质：两直角边相等_；两锐角相等且都等于_45°_.(2)判定：有两边相等的直角三角形；有一个角为45°的直角三角形；顶角为90°的等腰三角形；有两个角是45°的三角形.【高频考点】考点1：等腰三角形的性质及相关计算【例题1】在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，点D是线段AB上一动点(D不与A，B重合)．(1)如图1，当点D为AB的中点，过点B作BF∥AC交CD的延长线于点F，求证：AC＝BF；(2)连接CD.作∠CDE ＝30°，DE 交AC 于点E.若DE ∥BC 时，如图2. ①∠CDB ＝120°；②求证：△ADE 为等腰三角形；③在点D 的运动过程中，△ECD 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠AED 的度数；若不可以，请说明理由．【解答】 解：(1)证明：∵CA ＝CB ，CD 是△ABC 的中线，∴AD ＝BD. ∵BF ∥AC ，∴∠A ＝∠FBD.∵∠ADC ＝∠BDF ，∴△ACD ≌△BFD.∴AC ＝BF. (2)②证明：∵AC ＝BC ，∴∠A ＝∠B. ∵DE ∥BC ，∴∠EDA ＝∠B.∴∠A ＝∠EDA ，∴△ADE 为等腰三角形． ③△ECD 可以是等腰三角形．理由如下：Ⅰ.当∠CDE ＝∠ECD 时，EC ＝DE ，∴∠ECD ＝∠CDE ＝30°. ∵∠AED ＝∠ECD ＋∠CDE ， ∴∠AED ＝60°.Ⅱ.当∠ECD ＝∠CED 时，CD ＝DE ，∵∠ECD ＋∠CED ＋∠CDE ＝180°， ∴∠CED ＝180°－∠CDE 2＝75°.∴∠AED ＝180°－∠CED ＝105°.Ⅲ.当∠CED ＝∠CDE 时，EC ＝CD ，∠ACD ＝180°－∠CED －∠CDE ＝180°－30°－30°＝120°， ∵∠ACB ＝120°，∴此时，点D 与点B 重合，不合题意．综上，△ECD 可以是等腰三角形，此时∠AED 的度数为60°或105°.归纳：在以等腰三角形为背景求线段长的问题中，最常用的工具为“等腰三角形三线合一”，由此可以找到相应的角度、线段长度以及垂直关系，进而可通过三角形全等、相似、勾股定理等求解，若已知图形中有两个中点时，常用中位线的性质得到线段平行和数量关系． 考点2： 等边三角形的性质及相关计算【例题2】(2018·河北模拟)如图1，在等边△ABC 和等边△ADP 中，AB ＝2，点P 在△ABC 的高CE 上(点P 与点C 不重合)，点D 在点P 的左侧，连接BD ，ED. (1)求证：BD ＝CP ；(2)当点P 与点E 重合时，延长CE 交BD 于点F ，请你在图2中作出图形，并求出BF 的长； (3)直接写出线段DE 长度的最小值．【解析】：(1)证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴AB ＝AC ，∠BAC ＝60°. ∵△ADP 是等边三角形， ∴AD ＝AP ，∠DAP ＝60°. ∴∠DAB ＋∠BAP ＝∠BAP ＋∠CAP. ∴∠DAB ＝∠CAP. ∴△DAB ≌△PAC(SAS)． ∴BD ＝CP.(2)如图2，∵△ADP 是等边三角形，∴当点P 与点E 重合时，有AE ＝DE ，∠AED ＝60°. ∵CE ⊥AB ，∴AE ＝BE ＝DE ，∠BCE ＝12∠ACB ＝30°.∴∠EBD ＝30°.∴∠DBC ＝90°.在Rt △BCF 中，∵BC ＝2，tan ∠BCE ＝BFBC ，∴BF ＝2tan30°＝233.(3)DE 长度的最小值是12，理由：如图3，由(1)知：△DAB ≌△PAC ，∴取AC 的中点F ，连接PF ，则PF ＝DE ，∴PF 长度的最小值就是DE 长度的最小值，过点F 作FG ⊥CE 于点G ，垂足G 就是PF 最小时点P 的位置，此时PF ＝12，故DE长度的最小值是12.归纳：对于等边三角形的问题主要考查三边关系与三角的特殊之处，判定时注意两个角为60°的三角形为等边三角形，抓住特殊求三角形高等线段长度即可得到。
第二章特殊三角形(期中复习)
第三章特殊三角形（期中复习）班级姓名一、基本性质及判定1、等腰三角形的性质：①等腰三角形的两底角相等；②等腰三角形的两腰相等；③等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高线互相重合；2、等腰三角形的判定：①如果一个三角形有两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形；②如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形；③如果一个角的平分线垂直于对边，那么这个三角形是等腰三角形；④如果一个角的平分线平分对边，那么这个三角形是等腰三角形；⑤线段中垂线上的点到线段两端点的距离相等；（即由中垂线可得出等腰三角形）3、等边三角形的性质：①等边三角形的三条边相等，三个角都等于60º；②等边三角形的“三线合一”；③等边三角形的边长若是a，那么它的高是2，面积是24a4、等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②有两个角是60º的三角形是等边三角形；③有一个角是60º的等腰三角形是等边三角形；5、直角三角形的性质：①直角三角形的两锐角互余；②勾股定理；③直角三角形中30º角所对的直角边等于斜边的一半；④直角三角形中，如果一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30º；⑤直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；⑥在一个直角三角形中，在斜边上所画的任何图形的面积，等于在两条直角边上所画的与其相似的图形面积之和⑦若等腰直角三角形的直角边为a，一、基础题1、等腰三角形有条对称轴，对称轴是，等腰三角形腰上的高与底边所夹的角等于2.已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成15cm和6cm两部分，求等腰三角形的底边长。
3.如图，正方形上给定8个点，以这些点为顶点，能构成多少个三角形。
4. 如图已知∠ACB＝90°, BD＝BC, AE＝AC, 则∠DCE＝__________度.4.如图，Rt△ABC中，CF是斜边AB上的高，角平分线BD交CF于G，DE⊥AB于E，则下列结论①∠A=∠BCF , ② CD=CG=DE, ③AD=BD ,④ BC=BE中正确的个数是（）A.1B.2C.3D.4第4题5. 如图，过边长为1的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上一点，当PA=CQ 时，连PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为（ ） A.13 B. 12 C. 23D 、不能确定 6．已知：如图，△ABC 为正三角形，D 是BC 延长线上一点，连结AD ，以AD 为边作等 边三角形ADE ，连结CE ，用你学过的知识探索AC 、CD 、CE 三条线段的长度有何关系? 试写出探求过程．7、如图，一个六边形ABCDEF 的每一个内角都等于120度，其中有相邻的四条边长依次为AB=2，BC=4，CD=3，DE=2，试求六边形ABCDEF 的周长和面积二、多解题(请画图说明)1、等腰三角形一腰上的高等于另一腰的一半，则此等腰三角形的顶角是 ；等腰三角形一腰上的高等于另一边的一半，则此等腰三角形的顶角是 ；等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为30 º。
2015届安徽中考数学总复习课件：第21讲 特殊三角形
AB＝AD＝DC，∠B＝80°，则∠C的度数为( B )
A．30° B．40°
C．45°
D．60°
2．(2014· 黔南州)如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，
BE 平分∠ABC，ED⊥AB 于 D.如果∠A＝30°，AE＝6
cm，那么 CE 等于( C )
A. 3 cm C．3 cm
B．2 cm D．4 cm
∠BPE＝∠CPF， ∠PBE＝∠PCF，∴△BEP≌△CFP(AAS)， 在△BEP 和△CFP 中， BE＝CF，
∴PB＝PC， ∵BF＝CE， ∴PE＝PF， ∴图中相等的线段为 PE＝PF，
BE＝CF，BF＝CE
【点评】
在证明线段相等时，利用全等三角形的
对应角相等向两腰转化构造等腰三角形是常用的解 题方法之一．
三个防范
(1)在解有关等腰三角形的问题时，有一种习惯上
的认识，总认为腰大于底，这是造成错解的原因．
实际上底也可以大于腰，此时也能构成三角形．
(2)有关等腰三角形的问题，若条件中没有明确底和
腰时，一般应从某一边是底还是腰这两个方面进行
讨论，还要特别注意构成三角形的条件；同时，在
底角没有被指定的等腰三角形中，应就某角是顶角
E，F分别在AB，AC上，AE＝AF，BF与CE相交
于点P.求证：PB＝PC，并直接写出图中其他相等
的线段．
AB＝AC， 解：在 △ABF 和 △ACE 中 ， ∠BAF＝∠CAE， ∴△ ABF ≌△ AF＝AE，
ACE(SAS)，∴∠ABF＝∠ACE(全等三角形的对应角相等)，∴BF＝ CE(全等三角形的对应边相等)，∵AB＝AC，AE＝AF，∴BE＝CF，
等腰三角形有关边角的讨论 【例1】 (1)(2014·盐城)若等腰三角形的顶角为40° ) D C．60° D．70°
中考总复习：特殊三角形--知识讲解(提高)
【考纲要求】
【高清课堂：等腰三角形与直角三角形考纲要求】
1．了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念，会识别这三种图形；理解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定．
2.能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题．
3.会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题．
【思路点拨】（1）首先根据已知条件可以证明△BOC≌△ADC，然后利用全等三角形的性质可以求出∠ADO的度数，由此即可判定△AOD的形状；
（2）利用（1）和已知条件及等腰三角形的性质即可求解．
【答案与解析】
解：（1）∵△OCD是等边三角形，
∴OC=CD，
而△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，
∵∠ACB=∠OCD=60°，
3．判定：
(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)；
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；
(3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．
要点诠释：
(1)腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念；
(2)等边三角形是特殊的等腰三角形．
考点二、直角三角形
1.直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．
∴ AB•PE+ AC•PF= AB•CH．∵AB=AC，∴PE+PF=CH．
（1）如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：
（2）填空：若∠A=30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH=______.点P到AB边的距离PE=________.
中考数学复习-特殊的三角形
• 二、关于边的问题 • 3、（1）一个等腰三角形两边长分别为4和5， 则它的周长等于_________。 • （2）一个等腰三角形的两边长分别为3和7， 则它的周长等于 。 • 4、（1）如果一个等腰三角形的周长为24，一 边长为10，则另两边长为 。 • （2）如果一个等腰三角形的周长为24，一边 长为6，则另两边长为 。
考点聚焦 勾股定理及逆定理 勾股 定理 勾股 定理 的逆 定理 勾股数 直角三角形两直角边a、b的平方和，等于斜边c 的平方．即：________2 a2＋b2＝c 如果三角形的三边长a、b、c有关系： 逆定 2 a________ ，那么这个三角形是直角三角 ＋b2＝c2 理 形 (1)判断某三角形是否为直角三角形；(2) 用途 证明两条线段垂直；(3)解决生活实际问 题 能构成直角三角形的三条边长的三个正整数，称 为勾股数
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等腰三角形 (等边 等腰三角形（等边 三角形)的性质 三角形）的判定
边
两条腰相等
（三条边都相等）
两条边相等
（三条边都相等）
角
重要线段
等边对等角
(三个角都相等，并且 每个角都等于60°)
等角对等边பைடு நூலகம்
(1.三个角都相等 2.有一个角等于60 °的 等腰三角形)
线段垂直平分线上的点到这条 线段的两个端点的距离相等
在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的 延长线上，且ED＝EC，如图20－3.试确定线段 AE与DB的大小关系，并说明理由．
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： (1)特殊情况，探索结论 当点E为AB的中点时，如图20－4①，确定线段 AE与DB的大小关系，请你直接写出结论： AE________DB(填“>”“<”或“＝”) ＝
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21D CB AD CBA学生： 科目： 数 学 教师： 刘美玲⒈ 三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点， 三角形ABC 用符号表示为△ABC ，三角形ABC 的边AB 可用边AB 所对的角C 的小写字母c 表示，AC 可用b 表示，BC 可用a 表示. 注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；（2）三角形是一个封闭的图形；（3）△ABC 是三角形ABC 的符号标记，单独的△没有意义．⒉ 三角形的分类：(1)按边分类： (2)按角分类：⒊ 三角形的主要线段的定义： （1）三角形的中线三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段． 表示法：1.AD 是△ABC 的BC 上的中线.2.BD=DC=12BC. 注意：①三角形的中线是线段；②三角形三条中线全在三角形的内部； ③三角形三条中线交于三角形内部一点； ④中线把三角形分成两个面积相等的三角形．（2）三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段 表示法：1.AD 是△ABC 的∠BAC 的平分线. 2.∠1=∠2=12∠BAC. 注意：①三角形的角平分线是线段；②三角形三条角平分线全在三角形的内部； ③三角形三条角平分线交于三角形内部一点； ④用量角器画三角形的角平分线．课 题中考总复习 : 三角形基本性质、 特殊三角形教学内容三角形 等腰三角形 不等边三角形 底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形三角形直角三象形 斜三角形 锐角三角形 钝角三角形 _C_B _AD CBA（3）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．表示法：1.AD是△ABC的BC上的高线.2.AD⊥BC于D.3.∠ADB=∠ADC=90°.注意：①三角形的高是线段；②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外；③三角形三条高所在直线交于一点．4. 在画三角形的三条角平分线，三条中线，三条高时应注意：(1)如图3，三角形三条角平分线交于一点，交点都在三角形内部.(2)如图4，三角形的三条中线交点一点，交点都在三角形内部.如图5,6,7，三角形的三条高交于一点，锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部，直角三角形的三条高的交点在直角三角形直角顶上.5.三角形的三边关系三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.注意：（1）三边关系的依据是：两点之间线段是短；（2）围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边．6. 三角形的角与角之间的关系：(1)三角形三个内角的和等于180 ;图3图4图5图6图7(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； (3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. (4)直角三角形的两个锐角互余. 三角形的内角和定理定理：三角形的内角和等于180°． 推论：直角三角形的两个锐角互余。
三角形的外角的定义三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. 注意：每个顶点处都有两个外角，但这两个外角是对顶角. 所以说一个三角形有六个外角，但我们每个顶点处只选一个外角，这样三角形的外角就只有三个了. 三角形外角的性质（1）三角形的外角和等于360°（三个外角的和）。
（2）三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和． （3）三角形的一个角大于与它不相邻的任何一个内角．7．三角形的稳定性：三角形的三边长确定，则三角形的形状就唯一确定，这叫做三角形的稳定性． 注意：（1）三角形具有稳定性；（2）四边形没有稳定性.适当添加辅助线，寻找基本图形 (1)基本图形一，如图8，在∆ABC 中，AB=AC ，B,A,D 成一条直线，则∠DAC=2∠B=2∠C 或∠B=∠C=21∠DAC. (2)基本图形二，如图9，如果CO 是∠AOB 的角平分线，DE ∥OB 交OA,OC 于D,E ， 那么∆DOE 是等腰三角形，DO=DE.当几何问题的条件和结论中，或在推理过程中出 现有角平分线，平行线，等腰三角形三个条件中的两个时，就应找出这个基本图形， 并立即推证出第三个作为结论.即：角平分线+平行线→等腰三角形.基本图形三，如图10，如果BD 是∠ABC 的角平分线，M 是AB 上一点，MN ⊥BD ，且与BP,BC 相交于P,N.那么BM=BN ，即∆BMN 是等腰三角形，且MP=NP ，即：角平分线+垂线→等腰三角形.当几何证题中出现角平分线和向角平分线所作垂线时，就应找出这个基本图形，如等腰三角形不完整就应将基本图形补完整，如图11，图12.图8图98.三角形知识扩充:1．直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。
（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。
（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝ba。
2．斜三角形中各元素间的关系：如图6-29，在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。
（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。
（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等R CcB b A a 2sin sin sin ===。
（R 为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。
9．三角形的面积公式：（1）S △＝21ah a＝21bh b＝21ch c（h a、h b、h c分别表示a 、b 、c 上的高）；（2）S △＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ；（3）S △＝))()((c s b s a s s ---；⎪⎭⎫⎝⎛++=)(21c b a s ；(海伦公式)（4）S△＝)sin(2sin sin 2C B C B a +＝)sin(2sin sin 2A C A C b +＝)sin(2sin sin 2B A BA c +；公式(4)可由公式（2）通过正玄定理 和 公式“ Sin(B+C)=SinA ”推出,学生可以自己推导。
公式（1）和（2）学生必须掌握，公式（3）和（4）建议掌握。
10.特殊三角形的性质和判定：一、等腰三角形1. 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。
图112. 等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等；（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。
3. 等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。
4. 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。
5. 等边三角形的判定：（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
6. 含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
二、直角三角形1. 认识直角三角形。
学会用符号和字母表示直角三角形。
按照角的度数对三角形进行分类：如果三角形中有一个角是直角，那么这个三角形叫直角三角形。
通常用符号“Rt△”表示“直角三角形”，其中直角所对的边称为直角三角形的斜边，构成直角的两边称为直角边。
如果△ABC是直角三角形，习惯于把以C为顶点的角当成直角。
用三角A、B、C对应的小写字母a、b、c分别表示三个角的对边。
如果AB＝AC且∠A＝90°，显然这个三角形既是等腰三角形，又是直角三角形，我们称之为等腰直角三角形。
2. 掌握“直角三角形两个锐角互余”的性质。
会运用这一性质进行直角三角形中的角度计算以及简单说理。
3. 会用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形。
4. 掌握“直角三角形斜边上中线等于斜边的一半”性质。
能通过操作探索出这一性质并能灵活应用。
5在直角三角形中如果一个锐角是30°，则它所对的直角边等于斜边的一半”。
难点：在直角三角形中如何正确添加辅助线通常有两种辅助线：斜边上的高线和斜边上的中线。
【例题精讲】等腰三角形双基训练**1.已知等腰三角形ABC的底边BC=8，|AC-BC|=3，则腰AC的长为。
**二.若等腰三角形的周长为12，腰长为x，则腰长x的取值范围是。
**三.已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为15和6两部分，则腰长与底边的长分别为。
**四.若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这条高与底边的夹角为。
**五.在ΔABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为500，则底角B的大小为。
**六.已知两根木棒的长分别是8cm、10cm，要选择第三根木棒将它们钉成一个三角形，那么第三根木棒长x的范围是；如果以5cm为等腰三角形的一边，另一边为10cm，则它的周长应为。
**7.图14-32是由两个全等的有一个角为300的直角三角形拼成的，其中，两条长直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数自变量（）。
（A）4个（B）3个（C）2个（D）1个**八.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为300，腰长为a，则其底边上的高是。
纵向应用**1.如图14-33，在ΔABC中，D、E分别是AC、AB边上的点，BD与CE交于点O，给出下列四个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③∠BE=∠CD；④∠OB=∠OC。
（1）上述四个条件中，哪两个条件可判定ΔABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）？（2）选择第（1）小题中的一种情形，证明：ΔABC是等腰三角形。
***二.如图14-34，已知∠1=∠2，EF⊥AD于点P，交BC延长线于点M，求证：∠BME=12(∠ACB-∠B).***三.如图14-35，在RtΔABC中，∠C=900，AD∥BC，∠CBE=12∠ABE。
求证：ED=2AB***四.如图14-36，在ΔABC中，AB=AC，CM是边AB上的中线，BD=AB，求证：CD=2CM***五.如图14-37，在ΔABC中，AD是∠A的平分线，CD⊥AD，垂足为D，G为BC的中点，求证：∠DGC=∠B。