整理法向量的快速求法

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法向量的求法归纳

a1 行列式可借助代数余子式 b1 c1
故n =
a1 a2 三阶行列式 b1 b2 c1 c2
a2 b2 c2
a3 b b3 = a1 2 c2 c3
b3 b b b b − a2 1 3 + a3 1 2 展开得到 c31 2 1 2 3 3 1 2 1 2 3 ,− , i− j+ k = −9i + 7 j − 3k 即 n = ( −9, 7, −3) ，也即 n = 0 −3 1 −3 1 0 0 −3 1 −3 1 0

6 + 3x + 1 = 0 ⇒
x=−
7 7 即 n = 3, − ,1 调 3 3
整为 n = ( 9, −7,3) 可以借助线性运算产生 0 ；若两个向量有 0 在同一个位置，则直接得到法向量，特例：若两个向量均没有 0 出现，此时平面为坐标平面例：（1） a = (1, 2,3) ， b = ( 2,3,1) ，则 2a − b = ( 0,1,5 ) ，可设 n = ( x,5, −1) 后用 n ⋅ a = 0 得到 x = −7 （2） a = (1, 2, 0 ) ， b = ( 3, −1, 0 ) ，则 n = ( 0, 0,1)
法 2：行列式法（高等数学方法）定义：二阶行列式
⇒
x = 3z 7 y=− z 3
取 z = 3 ，则 x = 9 ， y = −7 ，故 n = ( 9, −7,3)

a c
b d
= ad − bc
a3 b3 = a1b2 c3 + a2b3c1 + a3b1c2 − a3b2 c1 − a2b1c3 − a1b3c2 c3 i j k 由 AB = ( 2,3,1) ， AC = (1, 0, −3) 得 n = 2 3 1 = −9i + j − 3k + 6 j = −9i + 7 j − 3k = ( −9, 7, −3) 1 0 −3

法向量的快速求法

法向量的快速求法
法向量的快速求法可以通过以下方法实现：
1. 对于平面上的一个向量，其法向量可以通过求其逆时针旋转90度得到，即将向量(x,y)变为(-y,x)。

2. 对于三维空间中的一个向量，其法向量可以通过向量积（又称为叉积）求得。

设a和b是两个不共线的向量，则它们的向量积a×b是一个向量，其大小等于以a和b为邻边所构成的平行四边形的面积，方向垂直于这个平行四边形，满足右手定则。

向量积的计算公式为：
a ×
b = (aybz −azby,azbx −axbz,axby −aybx)
其中，aybx表示a向量y分量与b向量x分量相乘。

3. 对于曲面上的一个点P，其法向量可以通过求其切平面的法向量得到。

曲面的切平面包含该点的所有切线，其法向量指向切平面凸出的一侧。

切平面的法向量可以通过对曲面方程求偏导数得到。

平面法向量坐标的快速求法人教版

空间直角坐标系中平面法向量的三种求法某某第八中学谭武昌近几年高考立体几何解答题的设计，注意了求解方法既可用传统的几何方法解决，又可用向量方法处理，在求异面直线所成角、直线与平面的所成角、二面角的大小以及点到平面的距离时，向量方法都有标准的公式，这些公式对学生的空间想象能力要求相对不高，因此，师生逐渐重视空间向量方法的应用，但是，在完成解答的过程中，正确求出法向量的坐标是关键，下面总结三种常见的求法向量坐标的方法，希望大家在比较中掌握这一重要技能。

1．方程法利用直线与平面垂直的判定定理构造三元一次方程组，由于有三个未知数，两个方程，要设定一个变量的值才能求解，这是一种基本的方法，师生容易接受，但运算稍繁，要使法向量简洁，设值可灵活，法向量有无数个，它们是共线向量，取一个就可以。

例1向量a 、b 是平面α内的两个不共线的向量，()3,2,1=a ，)1,1,2(-=b ，求平面α的一个法向量n 的坐标。

解：设),,(z y x n =，那么由a n ⊥，b n ⊥得⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00b n a n 即⎩⎨⎧=-+=++02032z y x z y x 不妨设1=z ，得⎩⎨⎧=+-=+1233y x y x ， ⎪⎩⎪⎨⎧-==3735y x 取)1,37,35(-=n 2．矢量积公式111(,,)a x y z =，222(,,)b x y z =，111111222222(,,)y z x z x y a b y z x z x y ⨯=-，其中行列式11122122y z y z y z y z =-，法向量取与向量a b ⨯共线的即可。

用这一方法解答例1，先把平面内的两个向量坐标对齐写⎪⎩⎪⎨⎧-==)1,1,2()3,2,1(b a 蒙住第一列，把后两列看成一个二阶行列式，计算531)1(2-=⨯--⨯就是向量a b ⨯的x 坐标，蒙住第二列，把前后两列看成一个二阶行列式，计算732)1(1-=⨯--⨯，取7-的相反数7作为a b ⨯的y 坐标，蒙住第三列，把前两列看成一个二阶行列式，计算32211-=⨯-⨯作为z 坐标，所以)3,7,5(--=⨯b a ，可以取)3,7,5(--=n ，它与前面方程法求得的)1,37,35(-=n 是共线向量。

行列式求法向量的计算方法

行列式求法向量的计算方法
首先，我们需要明确一点，行列式与法向量是两个不同的概念。

行列式是一个数学表达式，而法向量是几何概念，通常用于描述平面或空间中的方向。

然而，在某些情况下，我们可以使用行列式来计算与特定向量垂直的法向量。

具体来说，如果我们有一个向量v和一个矩阵A，我们可以使用以下公式来计算与v垂直的法向量：
$n = \frac{v^T \times A \times v}{v^T \times v}$
其中，$v^T$表示v的转置，$\times$表示矩阵乘法。

这个公式的含义是：首先，我们计算向量v和矩阵A的乘积，得到一个新的矩阵$v^T \times A$。

然后，我们计算这个新矩阵与向量v的点积，得到
一个标量。

最后，我们将这个标量除以向量v的模的平方，得到最终的法向量n。

需要注意的是，这个公式只适用于向量v不为零的情况。

如果向量v为零，我们需要使用其他方法来计算法向量。

平面的法向量

平面的法向量
平面法向量的求法：1.在平面内找两个不共线的向量2.待求的法向量与这两个向量各做数量积为零就可以确定出法向量了.3.为方便运算，提取公因数，若其中含有未知量x,为x代值即可得到一个最简单的法向量。

普通平面法向量的具体步骤：（待定系数法）1、建立恰当的直角坐标系2、设平面法向量n=（x，y，z）3、在平面内找出两个不共线的向量，记为a=（a1，a2, a3）b=（b1，b2，b3）4、根据法向量的定义建立方程组①n·a=0 ②n·b=0。

空间直角坐标系中平面法向量的三种求法：一、方程法，利用直线与平面垂直的判定定理构造三元一次方程组，由于有三个未知数，两个方程，要设定一个变量的值才能求解，这是一种基本的方法，但运算稍繁，要使法向量简洁，设值可灵活，法向量有无数个，它们是共线向量，取一个就可以。

二、矢量积公式。

三、双0速算法：如果空间直角坐标系中的点在坐标轴上，那么就有两个坐标为0，点在坐标平面上，就会有一个坐标为0，同理，如果向量与坐标轴平行，则向量就有两个坐标为0，向量与坐标平血平行，向量就有一个坐标为0，有的学生在实践中发现，两个向量的六个坐标中，只要出现2个0,就可以快速求得法向量，有点“十字相乘法”快速分解二次三项式的味道，而且正确率高，在考试中作用明显。

扩展资料：高中法向量更快求法：叉乘，造0法。

叉乘口诀：掐头去尾，交叉相乘再相减。

造0法：构造0时，加减乘除都行。

法向量的算法与举例

法向量的算法与举例摘要高中数学中的向量作为沟通代数与几何的桥梁，大大简化了几何问题的运算量。

然而在高中数学体系中，几何占有很重要的地位，有些几何问题用常规的方法去解决往往比较繁杂，而运用向量能使过程得到大大的简化。

[1]用向量法解决几何问题有着思路清晰、过程简洁的优点。

[2]在立体几何中常用法向量来解决距离问题，夹角问题，于是求法向量又是一个新问题。

如果能够掌握平面法向量的快速求法，那么在解决立体几何问题中一定会有事半功倍之效。

关键词：法向量；矩阵；行列式；速算一、法向量的定义如果向量平面，那么向量叫做平面的法向量。

由定义可知，法向量并不是唯一的，以致只要是与平面互相垂直的向量都可以作为平面的法向量。

二、法向量的算法1、待定系数法求法向量与举例在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量 [或，或 ]，在平面内任找两个不共线的向量。

由，得且，由此得到关于的方程组，解此方程组即可得到 .具体步骤如下：①联立方程②消元求解③得出结论举例：如果，那么与的法向量为?解：设，因为，，则，，得，①-②得，，取，，（注意：给其中一个字母取一个不为零的值）。

例1 如图，在四棱锥S－ABCD中，S A⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，S A ＝AB＝2，∠BAD＝60°，E是PA的中点．(1)求证：直线S C∥平面BDE；证明设AC∩BD＝O.因为∠BAD＝60°，AB＝2，底面ABCD为菱形，s所以BO＝1，AO＝CO＝，AC⊥BD.如图，以O为坐标原点，以OB，OC所在直线分别为x轴，y 轴，过点O且平行于S A的直线为z轴，建立空间直角坐标系O－xyz，则S(0，－，2)，A(0，－，0)，B(1,0,0)，C(0，，0)，D(－1,0,0)，E(0，－，1)．(1)设平面BDE的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，因为BE＝(－1，－，1)，BD＝(－2,0,0)，由得令z1＝，得y1＝1，所以n1＝(0,1，)．又＝(0,2，－2)，所以·n1＝0＋2－2＝0，即⊥n1，又，所以S C∥平面BDE.例 2 如图，在直三棱柱ADE—BCF中，面ABFE和面ABCD都是正方形且互相垂直，M为AB的中点，O为DF的中点．运用向量方法证明：(1)OM∥平面BCF；(2)平面MDF⊥平面EFCD.解：（1）略( 2)建系如右图，设平面MDF与平面EFCD的一个法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)．∵DF＝(1，－1,1)，DM＝，DC＝(1,0,0)，由n1·DF＝n1·DM＝0，得解得令x1＝1，则n1＝.同理可得n2＝(0,1,1)．∵n1·n2＝0，∴平面MDF⊥平面EFCD.1.行列式法求法向量与举例向量＝(x，y，z )，＝(x，y，z )是平面内的两个不共线向量，则向量＝(y z－y z，－(x z－x z )，x y－x y )是平面的一个法向量.如果用二阶行列式表示，则＝(，－， ) ，这更便于记忆和计算.（注：1、行列式:；2、纵坐标前边要加一个负号）.具体步骤：①竖着列出平面内的两个不共线向量②算出法向量的三个坐标（要算横坐标，就把已知两个向量的横坐标那一列遮起来用纵坐标和竖坐标求，其它坐标相同的求法）③得到平面的法向量。

法向量的求法和其应用

法向量的求法和其应用第一篇：法向量的求法和其应用平面法向量的求法及其应用引言：本节课介绍平面法向量的三种求法,并对平面法向量在高中立体几何中的应用作归纳和总结。

其中重点介绍外积法求平面法向量的方法，因为此方法比内积法更具有优越性,特别是在求二面角的平面角方面。

此方法的引入，将对高考立体几何中求空间角、求空间距离、证明垂直、证明平行等问题的解答变得快速而准确，那么每年高考中那道12分的立体几何题将会变得更加轻松。

一、平面的法向量→→1、定义：如果a⊥α，那么向量a叫做平面α的法向量。

平面α的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。

2、平面法向量的求法ρρϖ方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面α的法向量n=(x,y,1)[或n=(x,1,z)，或n=(1,y,z)]，在平ρρρρρρρ面α内任找两个不共线的向量a,b。

由n⊥α，得n⋅a=0且n⋅b=0，由此得到关于x,y的方程组，解此方程组即可ρ得到n。

方法二：任何一个x,y,z的一次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是x,y,z的一次方程。

→Ax+By+Cz+D=0(A,B,C不同时为0)，称为平面的一般方程。

其法向量n=(A,B,C);若平面与3个坐标轴的交点为P1(a,0,0),P2(0,b,0),P3(0,0,c),如图所示,则平面方程为:为一般式即可求出它的法向量。

xa+yb+zc=1,称此方程为平面的截距式方程，把它化方法三(外积法): 设 , 为空间中两个不平行的非零向量，其外积a⨯b 为一长度等于|a||b|sinθ，（θ→→→→为,两者交角，且0<θ<π），而与, 皆垂直的向量。

通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由→的方向转为→的方向时，大拇指所指的方向规定为a⨯b的方向,a⨯b=-b⨯a。

→→→→→→→→x1z1x1y1⎫⎛y1z1⎪,-,设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则:a⨯b=yx2z2x2y2⎪⎝2z2⎭（注：1、二阶行列式:M=→→acbd=ad-cb；2、适合右手定则。

(完整版)整理法向量的快速求法

法向量的快速求法在数学考试过程中，大部分同学往往因为时间不够而没法做完一份完整的试卷，有些同学也因为时间不够，计算速度加快而出现计算错误等原因导致失分，所以能够简便而快速的算出结果是很多同学梦寐以求的。

用向量方法做立几题，必须会的一种功夫是求平面的法向量。

不少理科同学为经常算错平面的法向量而苦恼，下面介绍一种快速求平面的法向量方法。

新教材对平面几何的要求，重点在于求平面的法向量，常见的待定系数法解方程组，运算量大，学困生容易算错，最简单快捷的方法是行列式法。

结论：向量a r ＝(x 1，y 1，z 1)，b r＝(x 2，y 2，z 2)是平面α内的两个不共线向量，则向量n r＝(y 1z 2－y 2z 1，－(x 1z 2－x 2z 1)，x 1y 2－x 2y 1)是平面α的一个法向量.如果用二阶行列式表示，则n r ＝(1122y z y z ，－1122x z x z ，1122x y x y ) ，这更便于记忆和计算.结论证明（用矩阵与变换知识可以证明，此处略去），但你可以验证 n r一定满足0m a m b ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩u r r ur r ⇔1112220x x y y z z x x y y z z ++=⎧⎨++=⎩；而且∵a r 、b r 不共线，∴n r 一定不是0r.怎样用该结论求平面的法向量呢？举例说明.例、向量a r ＝(1，2，3)，b r＝(4，5，6)是平面α内的两个不共线向量，求平面α的法向量解：设平面α的法向量为n r＝(x ，y ，z )，则00n a n b ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩r r r r ⇒2304560x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩ 令z ＝1，得n r＝(1，－2，1).注意：① 一定按上述格式书写，否则易被扣分.② n r的计算可以在草稿纸上完成，过程参照右边“草稿纸上演算过程”.而在运算的过程中往往会碰到在一个平面中的两个向量的坐标中会有一个坐标轴的数字为0，这时候也可以用下面这种方法来运算。

求法向量的方法

求法向量的方法法向量是一种在物理学和机器学习领域中非常重要的概念，这种想法被广泛用于估算物体表面的曲率、估算复杂几何体的几何特性等各种场景。

本文讨论如何求法向量的方法，包括五个主要部分：单位向量求法向量，内积求法向量，矩阵运算求法向量，特征值分解求法向量，固定的一般椭圆方程求法向量。

一、单位向量求法向量单位向量求法向量支持任意空间由维数确定的解析几何，假设X轴的单位向量为>$\hat{i}$，Y轴的单位向量为>${j}$，若将方程向量化话，则曲面方程为>$F(x, y)=ax \hat{i}+by \hat{j}$，则曲面的法向量为>$F_x \hat{i}+F_y \hat{j}$，其中$F_x=a$，$F_y=b$二、内积求法向量内积求法向量是基于内积运算的一种求法向量的方法，事实上是对导数的求取。

假设曲面的方程为>$F(x,y)=f(x,y)$，令曲面的法向量为>$\mathbf{N}=N_x \hat{i}+N_y \hat{j}$，则有曲面的法向量和法线方向矢量>$\mathbf{k}$之间的矢量积恒为>$\mathbf{k} \cdot\mathbf{N}=0$，故有>$N_x \frac{{\partial f \left( {x,y} \right)}}{{\partial x}}+N_y \frac{{\partial f \left( {x,y} \right)}}{{\partial y}}=0$，解出>$N_x=-\frac{{\frac{{\partial f \left( {x,y} \right)}}{{\partialy}}}}{{\frac{{\partial f \left( {x,y} \right)}}{{\partial x}}}}N_y$，可得到曲面的法向量>$N_x \hat{i}+N_y \hat{j}$三、矩阵运算求法向量通过矩阵的形式将曲面的坐标表达出来，以方便计算。

法向量求法及其空间几何题解答

法向量求法及其空间几何题解答XX一对一个性化辅导教案教师科目数学时间2022年X月X日学生年级高二学校XX校区授课内容空间法向量求法及其应用立体几何知识点与例题讲解难度星级★★★★教学内容上堂课知识回顾（教师安排）：1.平面向量的基本性质及计算方法2.空间向量的基本性质及计算方法本堂课教学重点：1.掌握空间法向量的求法及其应用2.掌握用空间向量求线线角，线面角，面面角及点面距3.熟练灵活运用空间向量解决问题得分：平面法向量的求法及其应用一、平面的法向量1、定义：如果，那么向量叫做平面的法向量。

平面的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。

2、平面法向量的求法方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量[或，或]，在平面内任找两个不共线的向量。

由，得且，由此得到关于的方程组，解此方程组即可得到。

二、平面法向量的应用1、求空间角(1)、求线面角：如图2-1，设是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，，则AB与平面所成的角为：图2-1-1:图2-1-2:图2-1-1αBACABα图2-1-2Cα图2-3ββα图2-2(2)、求面面角:设向量，分别是平面、的法向量，则二面角的平面角为：（图2-2）;(图2-3)两个平面的法向量方向选取合适,可使法向量夹角就等于二面角的平面角。

约定，在图2-2中，的方向对平面而言向外，的方向对平面而言向内；在图2-3中，的方向对平面而言向内，的方向对平面而言向内。

我们只要用两个向量的向量积（简称“外积”，满足“右手定则”）使得两个半平面的法向量一个向内一个向外，则这两个半平面的法向量的夹角即为二面角的平面角。

2、求空间距离图2-4nabAB（1）、异面直线之间距离:方法指导：如图2-4,①作直线a、b的方向向量、，求a、b的法向量，即此异面直线a、b的公垂线的方向向量；②在直线a、b上各取一点A、B，作向量；图2-5AαMBNO③求向量在上的射影d，则异面直线a、b间的距离为,其中AaBα图2-6（2）、点到平面的距离:方法指导：如图2-5,若点B为平面α外一点，点A为平面α内任一点，平面的法向量为，则点P到平面α的距离公式为图2-7αβAB（3）、直线与平面间的距离:方法指导：如图2-6,直线与平面之间的距离：，其中。

平面方程求法向量公式

平面方程求法向量公式在空间几何中，平面是一个重要的概念。

平面可以用平面方程来表示，而法向量则是平面的一个重要特征。

本文将介绍如何通过平面方程来求解平面的法向量，并给出相应的公式。

一、平面方程的基本形式平面方程的一般形式为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B和C为平面的系数，D为常数。

这个方程表示了平面上所有点的坐标满足该方程。

二、法向量的定义对于平面上的任意一点P(x, y, z)，过该点的平面的法向量可以表示为一个向量N = (A, B, C)，其中A、B和C为平面方程的系数。

三、求法向量的方法1. 已知平面方程的系数如果已知平面方程的系数A、B和C，那么法向量可以直接由系数得到，即N = (A, B, C)。

例如，对于平面方程2x + 3y - 5z + 4 = 0，法向量可以表示为N = (2, 3, -5)。

2. 已知平面上的三个点如果已知平面上的三个点P1(x1, y1, z1)，P2(x2, y2, z2)和P3(x3, y3, z3)，那么可以通过这三个点来求解法向量。

可以通过两个向量P1P2和P1P3来构造一个法向量。

向量P1P2可以表示为V1 = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)，向量P1P3可以表示为V2 = (x3 - x1, y3 - y1, z3 - z1)。

然后，将这两个向量进行叉乘，即可得到法向量N = V1 × V2。

例如，已知平面上的三个点P1(1, 2, 3)，P2(3, 4, 5)和P3(5, 6, 7)，可以通过这三个点来求解法向量。

向量P1P2可以表示为V1 = (3 - 1, 4 - 2, 5 - 3) = (2, 2, 2)，向量P1P3可以表示为V2 = (5 - 1, 6 - 2, 7 - 3) = (4, 4, 4)。

然后，将向量V1和V2进行叉乘，即可得到法向量N = V1 × V2 = (2, 2, 2) × (4, 4, 4) = (-8, 8, 0)。

法向量求法及应用方法

法向量求法及应用方法平面法向量的求法及其应用一、平面的法向量1、定义：如果al：，那么向量a叫做平面：的法向量。

平面:-的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。

2、平面法向量的求法方法一（内积法）：在给定的空间直角坐标系中，设平面:的法向量；=（X, y,1）［或*=（x,1,z），或： = （1,y,z）］，在平面:内任找两个不共线的向量a,b。

由二，，得n a=o 且nb=o，由此得到关于x,y的方程组，解此方程组即可得到n。

方法二：任何一个X,y,z的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是x,y,z的一次方程。

Ax By Cz 0 （A,B,C不同时为0），称为平面的一般方程。

其法向量n> = （AB,C）；若平面与3个坐标轴的交点为R（a,0,0）,P2（0,b,0）,P3（0,0,c）,如图所示，则平面方程为:{ b 亍1,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。

方法三（外积法）：设必&为空间中两个不平行的非零向量，其外积a b为一长度等于|a||b|si n =，（9为.,两者交角，且0":::二），而与, 皆垂直的向量。

通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由…的方向转为■的方向时，大拇指所指的方向规定为a b的方向，a b a。

、J -1 |tT TJX 1 乙 X 1 y 1设a ugyszjb 二凶卩乙),则 a 汉 b = |y 2 Z2J —X 2 Z 2 JX 2 y 2(注：1、二阶行列式：M=a: =ad_cb ； 2、适合右c d‘手定则。

)例 1、已知，a'(21,0),bl( — 1,2,1), 试求(i ): ( 2): b 爲.Key:⑴ a 汉 b=(1,—2,5) ； (2)b3=(-1,2,5)例2、如图1-1,在棱长为2的正方体ABCD —ABCP 中，求平面 AEF 的一y 个法量向二AF AE =(1,2,2) 量n 。

高三第一轮复习空间向量初步与法向量的求法

空间向量初步与法向量的求法主干知识归纳1．空间向量的有关概念、定理(1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量，其大小叫做向量的长度或模．(2)相等向量：方向相同且模相等的向量．(3)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，a平行于b记作a∥b.(4)共面向量：平行于同一平面的向量叫做共面向量．(5)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb.(6)共面向量定理：若两个向量a、b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝x a＋y b.(7)空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝x a＋y b＋z c.3．两个向量的数量积(1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4.直线的方向向量和平面的法向量（1）直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量．（2）平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．方法规律总结1.利用空间向量解决立体几何问题，要选择不共面的三个向量作为基底，也可能通过建立适当的空间直角坐标系来进行向量运算；2、利用用向量判断位置关系命题真假的方法（1）条件中的线面关系翻译成向量关系（2）确定由条件能否得到结论（3）将结论翻译成线面关系，即可判断命题的真假 3.空间法向量的求法：（先设再求）设平面α的法向量为(),,nx y z =，若平面上所选两条直线的方向向量分别为()()111222,,,,,a x y z b x y z ==，则可列出方程组：1112220x y z x y x y z x y z z ++=⎧⎨++=⎩ 解出,,x y z 的比值即可【指点迷津】【类型一】空间向量的线性运算【例1】：已知a ＝(2，－1，3)，b ＝(－1，4，－2)，c ＝(7，5，λ)，若a ，b ，c 三个向量共面，则实数λ等于( )A.627B.637C.647D.657【解析】存在实数x ，y 使得c ＝xa ＋yb ，即(7，5，λ)＝x(2，－1，3)＋y(－1，4，－2)，由此得方程组⎩⎪⎨⎪⎧7＝2x －y ，5＝－x ＋4y ，λ＝3x －2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝337，y ＝177，λ＝657.答案：D【例2】：对于空间内任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，有OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ，y ，z ∈R )，则x ＝2，y ＝－3，z ＝2是P ，A ，B ，C 四点共面的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】：当x ＝2，y ＝－3，z ＝2时，有OP →＝2OA →－3OB →＋2OC →，则AP →－AO →＝2OA →－3(AB →－AO →)＋2(AC →－AO →)，即AP →＝－3AB →＋2AC →，根据共面向量定理，知P ，A ，B ，C 四点共面；反之，当P ，A ，B ，C 四点共面时，根据共面向量定理，有AP →＝mAB →＋nAC →，即OP →－OA →＝m(OB →－OA →)＋n(OC →－OA →)，即OP →＝(1－m －n)OA →＋mOB →＋nOC →，即x ＝1－m －n ，y ＝m ，z ＝n ，这组数显然不只2，－3，2. 答案：B.【例3】：如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量： (1)AP →；(2)A 1N →；(3)MP →＋NC 1→.【解析】 (1)∵P 是C 1D 1的中点， ∴AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P → ＝a ＋AD →＋12D 1C 1→＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12b.(2)∵N 是BC 的中点，∴A 1N →＝A 1A →＋AB →＋BN →＝－a ＋b ＋12BC →＝－a ＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋12c.(3)∵M 是AA 1的中点， ∴MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A →＋AP →＝－12a ＋(a ＋c ＋12b)＝12a ＋12b ＋c ，又NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12BC →＋AA 1→＝12AD →＋AA 1→＝12c ＋a ， ∴MP →＋NC 1→＝(12a ＋12b ＋c)＋(a ＋12c)＝32a ＋12b ＋32c.【类型二】空间向量的简单应用【例1】：如图7－6－8所示，在45°的二面角α－l －β的棱上有两点A 、B ，点C 、D 分别在α、β内，且AC ⊥AB ，∠ABD ＝45°，AC ＝BD ＝AB ＝1，则CD 的长度为________．【解析】由CD →＝CA →＋AB →＋BD →，cos 〈AC →，BD →〉＝cos 45°cos 45°＝12，∴〈AC →，BD →〉＝60°，∴|CD →|2＝CA →2＋AB →2＋BD →2＋2(CA →·AB →＋AB →·BD →＋CA →·BD →)＝3＋2×(0＋1×1×cos 135°＋1×1×cos 120°) ＝2－2， ∴|CD →|＝2－ 2. 答案：2－ 2【例2】：如图所示，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为1的正方形，AA 1＝2，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°. (1)求线段AC 1的长；(2)求异面直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值； (3)求证：AA 1⊥BD.【解析】 (1)设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a|＝|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0，c·a＝c·b＝2×1×cos 120°＝－1.∵AC 1→＝AC →＋CC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→＝a ＋b ＋c ， ∴|AC 1→|＝|a ＋b ＋c|＝a ＋b ＋c2＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b＋b·c＋c·a＝12＋12＋22＋20－1－1＝ 2.∴线段AC 1的长为 2.(2)设异面直线AC 1与A 1D 所成的角为θ. 则cos θ＝|cos 〈AC 1→，A 1D →〉|＝|AC 1→·A 1D→|AC 1→||A 1D →||.∵AC 1→＝a ＋b ＋c ，A 1D →＝b －c ，∴AC 1→·A 1D →＝(a ＋b ＋c)·(b－c)＝a·b－a·c＋b 2－c 2＝0＋1＋12－22＝－2， |A 1D →|＝b －c 2＝|b|2－2b·c＋|c|2＝12－2×－1＋22＝7.∴cos θ＝|AC 1→·A 1D →|AC 1→||A 1D →||＝|－22×7|＝147.故异面直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值为147. (3)证明 ∵AA 1→＝c ，BD →＝b －a ，∴AA 1→·BD →＝c·(b－a)＝c·b－c·a＝(－1)－(－1)＝0. ∴AA 1→⊥BD →.∴AA 1⊥BD.【例3】：已知正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为3，点E 在AA 1上，点F 在CC 1上，且AE ＝FC 1＝1.(1)求证：E ，B ，F ，D 1四点共面；(2)若点G 在BC 上，BG ＝23，点M 在BB 1上，GM ⊥BF ，垂足为H ，求证：EM ⊥平面BCC 1B 1.【解析】 (1)建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,0,0)，E(3,0,1)，F(0,3,2)，D 1(3,3,3)，则BE →＝(3,0,1)，BF →＝(0,3,2)，BD 1→＝(3,3,3)．所以BD 1→＝BE →＋BF →. 故BD 1→，BE →，BF →共面．又它们有公共点B ，所以E ，B ，F ，D 1四点共面． (2)设M(0,0，z 0)，G ⎝⎛⎭⎫0，23，0，则GM →＝⎝⎛⎭⎫0，－23，z 0，而BF →＝(0,3,2)，由题设得GM →·BF →＝－23×3＋z 0·2＝0，得z 0＝1.故M(0,0,1)，有ME →＝(3,0,0)．又BB 1→＝(0,0,3)，BC →＝(0,3,0)，所以ME →·BB 1→＝0，ME →·BC →＝0，从而ME ⊥BB 1，ME ⊥BC. 又BB 1∩BC＝B ，故ME ⊥平面BCC 1B 1.【类型三】法向量的求法【例1】：在三角形ABC 中，A （1，﹣2，﹣1），B （0，﹣3，1），C （2，﹣2，1），若向量与平面ABC 垂直，且||=，则的坐标为．答案：（2，﹣4，﹣1）或（﹣2，4，1）【例2】：如图，四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O ⊥平面ABCD ，AB=AA 1=．平面OCB 1的法向量=（x ，y ，z ）为（） A ．（0，1，1）B ．（1，﹣1，1）C ．（0，1，﹣1）D ．（﹣1，﹣1，1）【解析】：∵ABCD 是正方形，且AB=，∴AO=OC=1， ∴=（1，0，0），∵A （﹣1，0，0），B （0，1，0）， ∴=（1，1，0），∴=（1，1，0），∵OA=1，AA1=，∴OA1==1，故=（0，0，1），故=+=（1，1，1），∵向量=（x，y，z）是平面OCB1的法向量，∴•=x=0，•=x+y+z=0，故x=0，y=﹣z，结合选项可知，当y=1时，z=﹣1，答案：C．【例3】：已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长均为1，D是BC上一点，AD⊥C1D，以A为坐标原点，平面ABC 内AC的垂线，AC，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则点D的坐标为，平面ADC1的一个法向量为．【解析】：在空间直角坐标系A﹣xyz中，A（0，0，0），C（0，1，0），A1（0，0，1），C1（0，1，1）；由AD⊥C1D，得出AD⊥侧面BCC1B1，∴AD⊥BC，D为BC的中点，∴点D的坐标为（cos60°，sin60°，0），即（，，0）；设平面ADC1的一个法向量为=（x，y，z），则=（0，1，1），=（，，0），∴，即，令y=﹣1，得z=1，x=，∴法向量=（，﹣1，1）．答案：（，，0），（，﹣1，1）．【同步训练】【一级目标】基础巩固组一、选择题1．已知空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 中点，则MN →＝( ) A.12a －23b ＋12c B ．－23a ＋12b ＋12c C.12a ＋12b －12c D.23a ＋23b －12c 【解析】如图所示， MN →＝MA →＋AB →＋BN → ＝13OA →＋(OB →－OA →)＋12BC → ＝OB →－23OA →＋12(OC →－OB →)＝12OB →－23OA →＋12OC → ＝－23a ＋12b ＋12c.答案： B2．已知a ＝(－2,1,3)，b ＝(－1,2,1)，若a ⊥(a －λb )，则实数λ的值为( ) A ．－2B ．－143C.145D ．2【解析】由题意知a·(a－λb)＝0，即a 2－λa·b＝0， ∴14－7λ＝0，∴λ＝2. 答案：D 3．有四个命题：①若p ＝x a ＋y b ，则p 与a 、b 共面； ②若p 与a 、b 共面，则p ＝x a ＋y b ； ③若MP →＝xMA →＋yMB →，则P 、M 、A 、B 共面； ④若P 、M 、A 、B 共面，则MP →＝xMA →＋yMB →. 其中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解析】 ①正确，②中若a 、b 共线，p 与a 不共线，则p ＝xa ＋yb 就不成立；③正确，④中若M 、A 、B 共线，点P 不在此直线上，则MP →＝xMA →＋yMB →不正确，故选B. 答案： B4．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E 、F 分别是BC 、AD 的中点，则AE →·AF →的值为( )A ．a 2B.12a 2C.14a 2D.34a 2【解析】设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，则|a|＝|b|＝|c|＝a ，且a ，b ，c 三向量两两夹角为60°. AE →＝12(a ＋b)，AF →＝12c ，∴AE →·AF →＝12(a ＋b)·12c＝14(a·c＋b·c)＝14(a 2cos 60°＋a 2cos 60°)＝14a 2. 答案： C5．已知点A （0，0，0），B （1，0，1），C （0，1，1），则平面ABC 的一个法向量是（） A ．（1，1，1） B ．（1，1，﹣1） C ．（﹣1，1，1）D ．（1，﹣1，1）【解析】：=（1，0，1），=（0，1，1）．设平面ABC 的一个法向量为=（x ，y ，z ）．则，．∴，令z=1，解得x=﹣1，y=﹣1．∴=（﹣1．﹣1，1）．∴﹣=（1，1，﹣1）．答案：B ．二、填空题6．平行六面体ABCDA 1B 1C 1D 1中，向量AB →、AD →、AA 1→两两的夹角均为60°，且|AB →|＝1，|AD →|＝2，|AA 1→|＝3，则|AC 1→|等于______【解析】：设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则AC 1→＝a ＋b ＋c ，AC 1→2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝25，因此|AC 1→|＝5。

法向量课件

第四步(取):取x(或y,或z)为任意一个正数, 便得到平面法向量n的坐标.
例2.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2，点E 为CC1中点，求平面BDE 的法向量.
D1 A1 C1
B1
E
D
C B
A
例2.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2，点E 为CC1中点，求平面BDE 的法向量.
Ｂ
ＡＯ
Ｃ
Ｄ
ｙ
由② - ①得y=0,由② + ①得x=2z 则可取z=1,得x=2 则面OA1D1的法向量为n=(2,0, 1 )
ｘ
第一步(设):设出平面法向量为n=(x,y,z);
第二步(找):找出平行于平面的两不共线向量a,b;
第三步(列):根据n· = 0且n· = 0可列出方程组 a b
x1 x y1 y z1z 0 x2 x y2 y z2 z 0
变式练习：求面BDC1的法向量.
z D1 A1 B1
C1
n DB 0 x y 0 ……① 则 n D C 0 y 2 z 0 ……② 1
D A x B
C
y
由①-②得取z=1,则x=2，y=-2 则 n (2,2,1)
解：以D为原点建立空间直角坐标系 ∵AB=BC=1,AA1=2,E为CC1中点 ∴D(0,0,0) B(1,1,0) E(0,1,1) ∴DE=(0,1,1) DB=(1,1,0) D1D=(0,0,-2) 设面BED的法向量n=(x,y,z) n DE 0 0 y z 0 ……① 由得 x y 0 0 ……② n DB 0 由①-②得取x 1, 则z 1

高考数学-整理法向量的快速求法

用向量方法做立几题，必须会的一种功夫是求平面的法向量。

不少理科同学为经常算错平面的法向量而苦恼，下面介绍一种快速求平面的法向量方法。

新教材对平面几何的要求，重点在于求平面的法向量，常见的待定系数法解方程组，运算量大，学困生容易算错，最简单快捷的方法是行列式法。

结论：向量a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)是平面α内的两个不共线向量，则向量n ＝(y 1z 2－y 2z 1，－(x 1z 2－x 2z 1)，x 1y 2－x 2y 1)是平面α的一个法向量.如果用二阶行列式表示，则n ＝(1122y z y z ，－1122x z x z ，1122x y x y ) ，这更便于记忆和计算.结论证明（用矩阵与变换知识可以证明，此处略去），但你可以验证 n 一定满足m a m b ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩⇔11122200x x y y z z x x y y z z ++=⎧⎨++=⎩；而且∵a 、b 不共线，∴n 一定不是0.怎样用该结论求平面的法向量呢？举例说明. 例、向量a ＝(1，2，3)，b ＝(4，5，6)是平面α内的两个不共线向量，求平面α的法向量解：设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则0n a n b ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩⇒2304560x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩ 令z ＝1，得n ＝(1，－2，1).注意：① 一定按上述格式书写，否则易被扣分. ② n 的计算可以在草稿纸上完成，过程参照右边“草稿纸上演算过程”.a ＝(1，2，b ＝(4，5，时，a 、b 的纵坐标就不参与运算，a ＝(1，2，3)， b ＝(4，5，y ＝－(1×时，a 、b 的竖坐标就不参与运算，a ＝(1，2，3)，b ＝(4，5，∴n ＝(－3，6而在运算的过程中往往会碰到在一个平面中的两个向量的坐标中会有一个坐标轴的数字为0，这时候也可以用下面这种方法来运算。

两点求法向量

两点求法向量
在平面直角坐标系中，假设有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，如何求出由这两个点确定的直线的法向量呢？
方法一：
1.计算出向量AB的坐标表示，即AB = (x2 - x1, y2 - y1)。

2.将向量AB逆时针旋转90度，得到向量的一个垂直向量，即法向量N = (- (y2 - y1), x2 - x1)。

3.将法向量N进行单位化，即将其长度归一化为1，得到单位法向量n = N/||N||，其中||N||表示向量N的长度。

方法二：
1.根据两点式求出直线的方程，即斜率为k，截距为b的直线方程为y = kx + b。

2.由于直线的法向量与直线垂直，所以其斜率为-k的直线与原直线垂直。

3.根据两条直线的斜率，可以求出它们构成的直角三角形的两条直角边的长度，即法向量的坐标表示为N = (-k,1)或N = (k,-1)。

4.将法向量N进行单位化，得到单位法向量n = N/||N||。

以上两种方法都可以求出直线的法向量，具体选择哪种方法取决于问题的具体情况和个人喜好。

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