辅助圆专题(课堂PPT)
人教版九年级数学上册《构造辅助圆解决几何问题》PPT
E
D F
解：∵∠ABC =90°，
BE平分∠ABC，
B
C
∴∠ABE =45°.
∴∠ACE=∠ABE =45°.
三、利用“四点共圆”构造辅助圆
例3 如图，四边形ABCD为矩形,BE平分∠ABC, 交AD于点F,∠AEC =90°.
(1)A、B、C、E四点共圆吗？
(2)求∠ACE的度数；
(3)求证：BE⊥ED .
A
E
D F
证明：连接BD.
∵四边形ABCD是矩形，
∴A、B、C、D四点共圆，
B
C
并且BD是直径.
又∵A、B、C、E四点共圆，
∴A、B、C、D、E五点共圆.
∴∠BED为直角，即BE⊥ED.
三例、3 利如用图“，四四点边共形圆A”BC构D造为辅矩助形圆,BE平分∠ABC, 交AD于点F,∠AEC =90°.
纵观例题及其变式，其共同之处都存在着同一个结 构，如图所示，即共端点的三条等线段，它让我们联想到 “所有到定点的距离等于定长的点都在以定点为圆心、定 长为半径的同一个圆上”
建立模型：遇等线（共端点），作辅圆
拓展训练
1. 在平面直角坐标系xoy中，已知点A（-2,0），B(0,3)， 在坐标轴上找一点P，使得△ABP是等腰三角形，则这样的点共 有 ８ 个．
一、利用圆的定义来构造辅助圆
变式：（2019江西九江模拟） 如图，已知AB＝AC＝AD， ∠CBD＝2∠BDC68° B.88° C.90° D.112°
解题策略： 利用圆的定义构造圆 （圆可以看成是所有到定点的距离等于定长的点的集合）
一、利用圆的定义来构造辅助圆
通过构造辅助圆，巧妙地将线段的最值问
题转化为圆外一点与圆上的点的最大距离与最
辅助圆专题
练习
已知：△AOB 中，AB=OB=2，△COD 中，CD=OC=3，∠ABO 2 ∠ABO=∠DCO．点 M、N、P 分别为 OA、OD、BC 的中点． 若 A、O、C 三点在同一直线上，请证明：△PMN∽△BAO
1989cm2，P为正方形内一点，且∠OPB=45°，
PA：PB=5：14，则PB的长
为
．
• 如图，正方形ABCD的中心为O，面积为
1989cm2，P为正方形内一点，且∠OPB=45°，
PA：PB=5：14，则PB的长
为
．
42
• 如图，在锐角△ABC中，∠ACB=45°，AB=1，分别以 A、B为直角顶点，向△ABC外作等腰直角三角形ACE和 等腰直角三角形BCF，再分别过点E、F作边AB所在直线 的垂线，垂足为M、N。
如图，等边三角形ABC的边长为6，点D在AB 边上，从A匀速运动到B。点E在BC边上，以 相同的速度从B匀速运动到C。AE和CD相交于 点P， 求动点P所走过的路径长。
O
E
练习
已知：△AOB 中，AB=OB=2，△COD 中，CD=OC=3，∠ABO 2 ∠ABO=∠DCO．点 M、N、P 分别为 OA、OD、BC 的中点． 若 A、O、C 三点在同一直线上，请证明：△PMN∽△BAO
• 如图，在边长为2的菱形中，∠A=60°，M是AD 边上的中点，N是AB边上的一个动点，将△AMN 沿着MN所在的直线翻折，得到△A’MN，连接 A’C，则A’C长度的最小值是多少？
E
A’
•
D
•
D
D
基本类型
2、三点共圆：定角度对定线段。
C O
A
B
• 如图，正方形ABCD的中心为O，面积为
中考数学复习专题解读——《辅助圆》问题(共19张PPT)
3.如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，若 ∠CAD=76°，则∠CBD= 度。
4.如图，在△ABC中，∠C为钝角，点E，H分别 是边AB上的点，点K和M分别是边AC和BC上的 点，且AH=AC，EB=BC，AE=AK，BH=BM。
判定3：共底边的两个三角形顶角相等，且 在底边的同侧，则四个顶点共圆。
判定4：对于凸四边形ABCD，若对角互补 或一个外角等于其邻补角的内对角，则A、 B、C、D四点共圆。
判定5：对于凸四边形ABCD其对角线AC、 BD交于点P，若PA·PC=PB·PD，则A、B、C、 D四点共圆。（相交弦定理的逆定理）
例1.已知：四边形ABCD中, ∠ ABC=∠ ADC=90°, E、F分别是AC、BD的中点.求证：EF⊥BD.
例1.已知：四边形ABCD中, ∠ ABC=∠ ADC=90°, E、 F分别是AC、BD的中点.求证：EF⊥BD.
本题考察知识点比较隐蔽，没有添 加辅助线对于学生来讲是一个难点 ，变式性比较强，图形可变，条件 也可以变，施展的平台可以借助于 四点共圆来实现更多的变式。
（1）求证：E、H、M、K四点共圆； （2）若KE=EH，CE=3，求线段KM的长。
F分别是AC、BD的中点. 求证：∠ABD=∠ACD
练习反馈
1. 锐角△ABC的三条高AD、BE、CF交于H， 在A、B、C、D、E、F、H七个点中。能组 成四点共圆的组数是（ ）
A. 4组 B. 5组 C. 6组 D. 7组
2如图，A，B，C，D是圆上四点，AD，BC 的延长线交于点P，弧AB、弧CD分别为 100°、40°，则∠P的度数为（ ）
解析：证明：连接BE、DE ∠ ∠ ABC=∠ ADC=90°，
中考数学备考课件：辅助圆问题 (共19张PPT)
BM C
∴△ABM≌△BCN(SAS)
∴ BAM CBN
∵ ABP CBN 90o ∴ ABP BAM 90o ∴ APB 90o ∴点 P 在以 AB 为直径的圆上
运动,设圆心为 O,连接 OC 交⊙O 于 P,此时 PC 最小 ∵ AB 4 ∴ OP OB 2
A
D
O
N
P B MC
解:∵ AB AC AD 2
E
∴点 B,C,D 在以点 A 为圆心, 半径为 2 的圆上延长 BA 交 D ⊙A 于 E,连接 DE
∵AB∥CD ∴ EBD BDC
A
B
C
∵ DE DE , BC BC ∴ EAD 2EBD ,
BAC 2BDC
∴ EAD BAC
E
A
B
∴ ED BC 1
小值为 BC sin B 3 3
∴DE 长的最小值为
3 2
PC
3 2
3
3
9 2
.
类型二 定点 定长模型 方法与技巧 常见图形中共顶点的多条线段相等,可考虑利用到 定点的距离等于定长推导共圆,再利用圆有关性质 解决问题.
3.如图,在四边形 ABCD 中, AB AC AD 2 , BC 1,AB∥CD.求 BD 的长.
由勾股定理,得 OC OB2 BC2 2 5
∴ PC OC OP 2 5 2
∴PC 长的最小值为 2 5 2 .
2.如图,在 Rt△ ABC 中, ACB 90o , AB 5,
cos
B
4 5
,⊙A
与边
BC
交于点
C,过
A
作
DE∥BC,
交⊙A 于点 D,E,点 F 在 DC 上,连接 EF,过 A 作
提分微课(04)-构造辅助圆课件
构造辅助圆
1
“隐圆”一般有如下呈现方式:①定点定长:当遇到同一个端点出发的等长线 段时,通常以这个端点为圆心,等线段长为半径构造辅助圆;②定弦定角:当遇到 动点对定线段所张的角为定值时,通常把张角转化为圆周角构造辅助圆.当遇 到直角时,通常以斜边为直径构造辅助圆.“隐圆”常与线段最值结合考查.如图 ①,点A到圆O的最短距离为AB,最长距离为AC.如图②,点A到圆O的最短距离 为AB,最长距离为AC.
段PF的最小值为
.
图W4-11
18
13. [2018 ·徐州节选]如图W4-12,将等腰直角三角形ABC对折,折痕为CD.展平 后,再将点B折叠在边AC上(不与A,C重合),折痕为EF,点B在AC上的对应点为M, 设CD与EM交于点P,连接PF.随着点M在边AC上取不同的位置, △PFM的形状 是否发生变化?请说明理由.
图W4-9
15
(2)定角
11.如图W4-10,△ABC为等边三角形,AB=2,若点P为△ABC内一动点,且满足
∠PAB=∠ACP,则线段PB长度的最小值为
.
图W4-10
16
17
12.如图W4-11,等边三角形ABC边长为6,AB边中点为F,动点D,E分别从A,B两点 同时出发,以相同的速度沿直线向各自终点C,A运动,连接BD,CE,交于点P,则线
连接BD交圆于点E,连接CE,则CE的最小值为
.
图W4-8
14
10. [2015 ·淮安改编]将一张正方形纸片ABCD折叠,再展开,如图W4-9所示,其中 CE,CF为折痕, ∠BCE=∠ECF=∠FCD,点B‘为点B的对应点,点D’为点D的对应 点,EB',FD'相交于点O.连接AB',则∠AB'E的度数为 45° .
九年级数学上册 圆的补充内容-辅助圆课件 人教新课标版
例1、如图，已知OA=OB=OC，∠ABC=70° 则∠AOC的大小是 .
B
A
O
C
D
D
例2、若上图中有公共斜边的两个直角三角形中分 别含45°和30° 角，连结BD交AC于G
.
（1）你能求出哪些角的度数 （2）若AC= （3）求S△BDC
B
8 2 ，你都能求出哪些线段的长度
B D
60° 30°
A F
45°
B
45°
D E
C
本节课我收获了 … …
B
B D
O
C
A
O
C
D
当两个有公共边的三角形不是直角三 角形时，四个顶点能否在同一个圆上
新的数学方法和概念， 常常比解决数学问题 本身更重要 --华罗庚
圆中联系两角的有关结论 1、在同圆 或等圆中，同弧或等弧 所对的圆心 角 相等 . 2、在同圆或等圆中同弧或等弧所 对的圆周角 相等 ，都等于这 条弧所对的圆心角的 一半 . 3、圆的内接四边形对角 互补 ； 任何一个 外角 等于 它的内对角.
1 2
例1 、（09年武汉）如图，已知O是四边形ABCD 内一点， OA=OB=OC ，，求∠DAO+ ∠DCO的大 小. 90°
B
B
A
O C
AOCD NhomakorabeaD
45° 30°
A
G O E
45° C 60°
A
45°45°
D
09—10上学期 海淀期末24题
O
C
两个常见的四点共圆的基本图形
• 在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为线段BC上一 动点，连结AD，以AD为一边且在AD的右侧作 正方形ADEF，如果AB≠AC，∠BAC≠90°。 当△ABC中∠ ACB= ，CF⊥BC（点C、F 重合除外）.
人教版九年级下册 第二十九章 利用辅助圆解决动点问题 课件(共15张PPT)
模型一 定点定长作圆
平面内，点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，则点B的轨迹在以点A为 圆心，AB长为半径的圆上(如图①). 依据的是圆的定义：圆是所有到定点的距离等 于定长的点的集合.
图①
图②
推广：如图②，点E为定点，点F为线段BD上的动点(不含点B)，将△BEF沿EF折叠
得到△B′EF，则点B′的运动轨迹为以点E为圆心，以线段BE为半径的一段圆弧.
2. 如图，⊙O与直线l相离，点P是⊙O上的一个动点，设圆心
O到直线l的距离为d，⊙O的半径为r，则点P到直线l的最小
距离是
(如图③)，点P到直线l的最大距离是
(如图④).
例4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC ＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC 上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在 点P处，则点P到边AB距离的最小值是( ）
例1、如图，边长为2的正方形ABCD中，点E是AB 上一点，将正方形沿CE折叠，点B落在正方形内一 点B′处，若△AB′D是等腰三角形，则BE的长为 .
3
到底在哪里 究竟有几个 该怎样求解
模型二 直角对直径 1. 半圆(直径)所对的圆周角是90°. 如图①，△ABC中，∠C＝90°， AB为⊙O的直径；
例3、已知点O及其外一点C，OC＝5，点A、B分别是平面内的动点，
且OA＝4，BC＝3，在平面内画出点A、B的运动轨迹如图所示，则OB
长的最大值为
，OB长的最小值为
，AC长的最大值
为
，AC长的最小值为
，AB长的最大值为
，AB长
的最小值为
.
针对练习
如图，在△ABC中，AB⊥BC，
AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动
北师大版九年级下册数学添加辅助圆,让动点有迹可寻——《圆》回顾思考拓展(共28张PPT)
寻点 抓本质特征，添辅助圆
探究二：如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是
△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP
长的最小值为
.
O M
寻点：OC与圆的交点M即为CP最小时点P的位置
求解 抓本质特征，添辅助圆
探究二：如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是
显形：以A为圆心，AD长为半径作圆
寻点 添加辅助圆，动点显形
演练一：如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=8，点E为DC边 上的一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点刚好D 落在矩形ABCD的对称轴上时，则DE的长为___ .
寻点：矩形的两条对称轴与圆的交点，即为符合条件 的点。
求解 结合其他模型，进行求解
△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP
长的最小值为
.
∵∠ABC=90° ，
BC=4,OB=3
∴OC=5
∴CM=OC-r
O
=5-3
M
=2
∴CP最小值为2
显形 抓本质特征，添辅助圆
探究一：如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90∘,AC=4,BC=6,点D是边BC的中点,点E是边AB上的任意一点(点E不与点B重合)，沿DE翻折△DBE使点B落在点F处，连接AF，则线段AF长的最小
2、直径所对的圆周角是90°；
AF长的最小值为___ 显形：以AB为直径作圆
∵∠C=90°， AC=4,CD=3
.
探究一：如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90∘,AC=4,BC=6,点D是边BC的中点,点E是边AB上的任意一点(点E不与点B重合)，沿DE翻折△DBE使点B落在点F处，连接AF，则线段AF长的最小
第二十五讲辅助圆
第二十五讲辅助圆在处理平面几何中的许多问题时，常需要借助于圆的性质，问题才得以解决.而我们需要的圆并不存在(有时题设中没有涉及圆；有时虽然题设涉及圆，但是此圆并不是我们需要用的圆)，这就需要我们利用已知条件，借助图形把需要的实际存在的圆找出来，添补辅助圆的常见方法有：1利用圆的定义添补辅助圆；2.作三角形的外接圆；3•运用四点共圆的判定方法：(1)若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆.(2)同底同侧张等角的三角形，各顶点共圆.⑶若四边形ABCD的对角线相交于P,且PA・PC=PB • PD,则它的四个顶点共圆.(4)若四边形ABCD的一组对边AB、DC的延长线相交于P,且PA • PB= PC • PD,则它的四个顶点共圆.【例题求解】【例1】如图，直线AB和AC与O O分别相切于B、C, P为圆上一点，P到AB、AC的距离分别为4cm、6cm，那么P到BC的距离为___________________________.思路点拨连DF, EF,寻找PD、PE、PF之间的关系，证明△ PDFPFE,而发现P、D、B、F与P、E、C、F分别共圆，突破角是解题的关键.注：圆具有丰富的性质：(1)圆的对称性；(2)等圆或同圆中不同名称量的转化；(3)与圆相关的角；(4)圆中比例线段.适当发现并添出辅助圆，就为圆的丰富性质的运用创造了条件，由于图形的复杂性，有时在图中并不需画出圆，可谓“图中无圆，心中有圆”【例2】女口图，若PA=PB,Z APB=2 / ACB , AC 与PB 交于点P, 且PB=4, PD=3，贝UAD • DC 等于( )A. 6B. 7C. 12D. 16思路点拨作出以P点为圆心、PA长为半径的圆，为相交弦定理的应用创设了条件.注：到一个定点等距离的几个点在同一个圆上，这是利用圆的定义添辅助圆的最基本方法.【例3】 如图，在厶ABC 中，AB=AC ，任意延长 CA 到P ，再延长AB 到Q ,使AP=BQ ，求证：△ ABC 的外心0与A ，P , Q 四点共圆.思路点拨 先作出△ ABC 的外心0,连P0、0Q ,将问题转化为证明角相等.【例4】 如图，P 是O 0外一点，PA 切O 0于A , PBC 是O 0的割线，AD 丄P0于D .求思路点拨 因所证 比例 线段 不是对 应边，故 不能 通过判 定厶PBD 与△ PCD 相似证 明.PA 2=PD • P0=PB • PC , B 、C 、0、D 共圆，这样连 0B ，就得多对相似三角形，以此达到证明的目的.注：四点共圆既是一类问题， 又是平面几何中一个重要的证明方法， 它和证明三角形全等和 相似三角形有着同等重要的地位， 这是因为，某四点共圆，不但与这四点相联系的条件集中 或转移，而且可直接运•用圆的性质为解题服务.【例5】如图，在△ ABC 中，高 BE 、CF 相交于 H ,且/ BHC=135 ° , G ABC 内的一 点，且 GB=GC ,/ BGC = 3/ A ，连结 HG ,求证：HG 平分/ BHF .思路点拨 经计算可得/ A=45 ° ,△ ABE ,△ BFH 皆为等腰直角三角形，只需证/GHB= / GHF=22.5 ° .由/BGC=3 / A=135证明. 证:PB PC PD _CD注：许多直线形问题借助辅助圆，常能降低问题的难度，使问题获得简解、巧解或新解.学力训练21.如图，正方形ABCD的中心为0,面积为1989cm , P为正方形内一点，且/ OPB=45PA: PB=5 : 14,贝U PB 的长为_______________ .2.如图，在△ABC 中，AB=AC=2 , BC 边上有100个不同的点P i、P2,, P100，记2m i=AP j - BP i P i C(i=1 , 2,, 100),则mt +m2半八-+m1003.设△ ABC三边上的高分别为AD、BE、CF,且其垂心H不与任一顶点重合，则由点B、C、D、E、F、H中某四点可以确定的圆共有（）(第｝JS1)D . 6个A｛第3题）4.如图，已知OA=OB=OC，且/A. ^k 倍B. 是k 倍25 .如图，在等腰梯形ABCD中，AD上，满足条件的/1AOB= k / BOC，则/ ACB 是/1C. 2kD.'kBAC 的(BPC=90°C.AB // CD , AB=998 , CD=1001 ,的点P的个数为（）D .不小于3的整数AD=1999 , 点P在线段6 .如图，AD、A. 37 .如图;&如图,已知求证:BE是锐角三角形的两条高, ABC= 18 , DEC =2 ,D. 34则COSC等于（）1 2B.丄C.-3 3H是厶ABC三条高的交点，连结DF, DE , EF,求证：H是厶DEF的内心.已知△ ABC中，AH是高，AT是角平分线，且TD丄AB , TE丄AC.(1) / AHD= / AHE ;(2)BHBDCHCE｛第7題） 爍&謝｝9 .如图，已知在凸 四边形 ABCDE 中，/ BAE=3 ：• , BC=CD=DE ,且/ BCD= / CDE= 180 _2 ：..求证：/ BAC= / CAD= / DAK ,10.如图，P 是O O 外一点，PA 和PB 是O O 的切线,11.如图，已知点P 是O O 外一点，PS 、PT 是O O 的两条切线，过点P 作O O 的割线PAB , 交O OA 、B 两点，与ST 交于点C .求证：」丄•丄）PC 2 PA PB A AA ,B 为切点，P O 与AB 交于点M , 过M 任作O O 的弦CD .求证: / CPO= / DPO .（第 11【例■求解】 例 1 275 连ZfFP. A ADPF C ^AFPE, ft PF = PD* PE. 011 A BA0ffi,i£iaOApOC .OP’OQ,在△OCF 〒△□&(?申.OC N OA .由 d®，CA = AB^AP-BQ, ^CP-AQ.又叮 OjftAABC 的外心，:・£OCP=ZOAC、丫等H 三角旱的外心必在II 角的平分线上+齐^OAC=ZOAQ,从而£OCP - ZOAQ.得 AOCPK2AOlAQ ，TJaZCPO=ZAQO 故 O,儿f\Q 四点共亂■/ PA 1 = PD PO= PB ・ FG^B,C r O. D 四点共圆， A ^PCD^^POB. 得務■需=題 ①又 △P0CSAM6 帯龙■誌 ② 由①•②得 舌常=祐MS V ZA = 180*-ZBHC=135* ・ZBGC=3ZA = 135\ Z^BH-45* A B,G,C t H 四点并圆，褂■蔓畤竺 =22.产.XZBHF=45*.^ZGHB= yZBHF.tt HG 平5>ZBHR【学力训给】1. 42 隹结OA£乩A”吕・O ・P 四点拄圆，得ZAPB = ZAOB=9Q*2. 400 3, D ,显见疔別应有下列四点共IB1 iAFHE,BFHD t CDHE,AFDC,UFEC,CDFA*. n S. C 将何删特比为直St AB 与以CD 为直径的位■关系 6. B7(井剧由BDHF.CDHE 四越其凰，得= £FDH ・^FCH 工£FDH +DH 为"DE 平分线8. (l)D t E.H 在WAT 为直栓的0U± J»ZAHD=ZATD t ZAHE=ZATE.Jl ；ZATD=Z^TE ，故ZAHD=Z J AHEi {2JR/AAHB 与思A TDB 有公共ffiZB, »AAHBc^ATDB +冷器■等*同理心AHCs&TEC 、得器-笛・由于 丁"亦所冷 ^久連苗 BD.CE.ll] BC- CD= DE^BCD-^CDE= 1B0' - 2a ^CIiD=ZCDB=ZDCE^ZDEC=V . f#^BCD^^CDE, :' ZfiCE=C180D -2a )-& = lB0,-3<l .而££AE H 丸匸 A+E.GE 归圆一同理可证儿乩D 、E 其圆，拽 A,B t C,D»E 共IMJO. OA.fj OA 丄PA"A 阿丄OP, QM • MP = AM 1, MC • MD^ MA * MB = T /・ MD * MC = MO -MP,：,点 <XD 、P 工四点其时収 OC=O 乩 "： ZCPO=ZDPO.DA -L- pn】】・过o 点作OE 丄AB 干E,则—.由切制线定理得、F 卄PA ・PB.^阳・3\设OP 交ST 于D.则OP 丄ST, 由相假形町证,PS 2 * PD * PO ，X PS 1 - PA * PH t Iff ZCDO=- ZCEO= 90'. A C 、EQ 、D 四点 tE 以 OC 为直艮的圆上*"f ・PE=PD* PO ，W PA ・PB = PC* FE-PA 芋月*兀 化简潯点一寺（吉 参考答案 M lbW3。
中考数学总复习考点系统复习微专题 辅助圆问题61页PPT
中考数学总复习考点系统复习微专题 辅 助圆问题
31、园日涉以成趣，门虽设而常关。 32、鼓腹无所思。朝起暮归眠。 33、倾壶绝余沥，窥灶不见烟。
34、春秋满四泽，夏云多奇峰，秋月 扬明辉 ，冬岭 秀孤松 。 35、丈夫志四海，我愿不知老。
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
3、辅助圆
辅助圆（隐圆）一、从圆的定义构造圆圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合．构造思路：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧．若P 为动点，但AB=AC=AP 原理：圆A 中，AB=AC=AP 则B 、C 、P 三点共圆，A 圆心，AB 半径 备注：常转全等或相似证明出定长例1、如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A =60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ’MN ，连接A ’C ，则A ’C 长度的最小值是__________．例1 例2例2、如图，矩形ABCD 中，AB =4，BC =8，P 、Q 分别是直线BC 、AB 上的两个动点，AE =2，△AEQ 沿EQ 翻折形成△FEQ ，连接PF 、PD ，则PF +PD 的最小值是_________．例3、在凸四边形ABCD 中,AB=BC=BD ,∠ABC=80°,则∠ADC 的度数为 .例3 例4例4、在四边形ABCD 中,AB=AC=AD ,∠BAC=25°,∠CAD=75°,则∠BDC= °,∠DBC= °.A'NMABCDQABCDEFP二、定边对直角知识回顾：直径所对的圆周角是直角．构造思路：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．固定线段AB 所对动角∠C 恒为90° 原理：圆O 中，圆周角为90°所对弦是直径 则A 、B 、C 三点共圆，AB 为直径 备注：常通过互余转换等证明出动角恒为直角图形释义：若AB 是一条定线段，且∠APB =90°，则P 点轨迹是以AB 为直径的圆．例1、如图1，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上的两个动点，满足AE =DF ，连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ，若正方形边长为2，则线段DH 长度的最小值是________．例1 例2 例3例2、如图2，正方形ABCD 的边长为4，动点E 、F 分别从点A 、C 同时出发，以相同的速度分别沿AB 、CD 向终点B 、D 移动，当点E 到达点B 时，运动停止，过点B 作直线EF 的垂线BG ，垂足为点G ，连接AG ，则AG 长的最小值为 ．例3、如图3，正方形ABCD 的边长是4，点E 是AD 边上一动点，连接BE ，过点A 作AF ⊥BE 于点F ，点P 是AD 边上另一动点，则PC +PF 的最小值为________．ABHGAB CD E FGFEDCB A A BCD EFP练习：1、如图1，Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB =8，BC =4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PAB =∠PBC ，则线段CP 长的最小值是_________．图1 图2 图32、如图2，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =4，AC =10，点D 是AC 上的一个动点，以CD 为直径作圆O ，连接BD 交圆O 于点E ，则AE 的最小值为_________．3、如图3，已知圆C 的半径为3，圆外一定点O 满足OC =5，点P 为圆C 上一动点，经过点O 的直线l 上有两点A 、B ，且OA =OB ，∠APB =90°，l 不经过点C ，则AB 的最小值为________．三、定边对定角在“定边对直角”问题中，依据“直径所对的圆周角是直角”，关键性在于寻找定边、直角，而根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相．定边必不可少，而直角则可一般为定角．例如，AB 为定值，∠P 为定角，则A 点轨迹是一个圆．当然，∠P 度数也是特殊角，比如30°、45°、60°、120°，下分别作对应的轨迹圆．PABCBl若∠P =30°，以AB 为边，同侧构造等边三角形AOB ，O 即为圆心．若∠P =45°，以AB 为斜边，同侧构造等腰直角三角形AOB ，O 即为圆心．若∠P =60°，以AB 为底，同侧构造顶角为120°的等腰三角形AOB ，O 即为圆心若∠P =120°，以AB 为底，异侧为边构造顶角为120°的等腰三角形AOB ，O 即为圆心．例1、如图1，△ABC 为等边三角形，AB =3，若P 为△ABC 内一动点，且满足∠PAB =∠ACP ，则线段PB 长度的最小值为_________．图1 图2 图3例2、如图2，等边△ABC 边长为2，E 、F 分别是BC 、CA 上两个动点，且BE =CF ，连接AE 、BF ，交点为P 点，则CP 的最小值为________．例3、如图3，AB 是圆O 的直径，M 、N 是弧AB （异于A 、B ）上两点，C 是弧MN 上一动点，∠ACB的角平分线交圆O 于点D ，∠BAC 的平分线交CD 于点E ，当点C 从点M 运动到点N 时，则C 、E 两点的运动路径长的比是_______．ABCPEFCBAPAB四、四点共圆1、四点共圆模型①若动角∠A+动角∠C=180° 原理：圆内接四边形对角互补 则A 、B 、C 、D 四点共圆 备注：点A 与点C 在线段AB 异侧2、四点共圆模型②固定线段AB 所对同侧动角∠P=∠C 原理：弦AB 所对同侧圆周角恒相等 则A 、B 、C 、P 四点共圆 备注：点P 与点C 需在线段AB 同侧例１、如图，AD 、BE 、CF 为△ABC 的三条高，H 为垂线，问： （1）图中有多少组四点共圆？ （2）求证：∠ADF ＝∠ADE ．变式：如图， BE.CF 为△ABC 的高，且交于点H,连接AH 并延长交于BC 于点D,求证：AD ⊥BC.例3、如图，E是正方形ABCD的边AB上的一点，过点E作DE的垂线交∠ABC的外角平分线于点F，求证：FE=DE.。
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在矩形 ABCD 中，点 P 在 AD 上，AB=2，AP=1，将三角板绕点 P 顺时针旋转，当点 E 与点 A 重合时停止，在这个过程中：∠PEF 的大 小是否发生变化？请说明理由
APΒιβλιοθήκη DAPDE
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C(F) B
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如图等边△PQR 内接于正方形 ABCD，其中点 P、Q、R 分别在边 AD、AB、DC 上，M 是 QR 的中点， 求证：不论等边△PQR 怎样运动，点 M 为不动点．
• （2）求△ABC面积的最大值。
• 如图，在锐角△ABC中，∠ACB=45°，AB=1，分别以 A、B为直角顶点，向△ABC外作等腰直角三角形ACE和 等腰直角三角形BCF，再分别过点E、F作边AB所在直线 的垂线，垂足为M、N。
• （2）求△ABC面积的最大值。
O
D
如图，E，F 是正方形 ABCD 的边 AD 上两个动点，满足 AE＝DF．连接 CF 交 BD 于 G，连接 BE 交 AG 于点 H． 若正方形的边长为 2，则线段 DH 长度的最小值是____．
• 已知等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,D为BC中 点,E、F分别为AB、AC上的点,且满足 ∠EDF=90°。
• 求证：DE=DF
• 已知等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,D为BC中 点,E、F分别为AB、AC上的点,且满足 ∠EDF=90°。
• 求证：DE=DF
在矩形 ABCD 中，点 P 在 AD 上，AB=2，AP=1，将三角板绕点 P 顺时针旋转，当点 E 与点 A 重合时停止，在这个过程中：∠PEF 的大 小是否发生变化？请说明理由
1989cm2，P为正方形内一点，且∠OPB=45°，
PA：PB=5：14，则PB的长
为
．
• 如图，正方形ABCD的中心为O，面积为
1989cm2，P为正方形内一点，且∠OPB=45°，
PA：PB=5：14，则PB的长
为
．
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• 如图，在锐角△ABC中，∠ACB=45°，AB=1，分别以 A、B为直角顶点，向△ABC外作等腰直角三角形ACE和 等腰直角三角形BCF，再分别过点E、F作边AB所在直线 的垂线，垂足为M、N。
• 如图，在边长为2的菱形中，∠A=60°，M是AD 边上的中点，N是AB边上的一个动点，将△AMN 沿着MN所在的直线翻折，得到△A’MN，连接 A’C，则A’C长度的最小值是多少？
E
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•
D
D
基本类型
2、三点共圆：定角度对定线段。
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• 如图，正方形ABCD的中心为O，面积为
练习
已知：△AOB 中，AB=OB=2，△COD 中，CD=OC=3，∠ABO 2 ∠ABO=∠DCO．点 M、N、P 分别为 OA、OD、BC 的中点． 若 A、O、C 三点在同一直线上，请证明：△PMN∽△BAO
辅助圆专题
新东方 王昊龙
• 辅助圆是一种思想，是一个工具！不利用辅 助圆我们照样可以完成题目，但是利用辅助 圆可以方便我们完成题目！
基本类型
1、利用定义：等线段，共端点。
O C
A B
基本类型
1、利用定义：等线段，共端点。
O C
A B
• 如图，在边长为2的菱形中，∠A=60°，M是AD 边上的中点，N是AB边上的一个动点，将△AMN 沿着MN所在的直线翻折，得到△A’MN，连接 A’C，则A’C长度的最小值是多少？
已知：在△ABC 中，∠ABC=∠ACB=α，点 D 是 AB 边上 任意一点，将射线 DC 绕点 D 逆时针旋转 α 与过点 A 且 平行于 BC 边的直线交于点 E．当 α=45°时，判断线段 BD 与 AE 之间的数量关系
F
如图，等边三角形ABC的边长为6，点D在AB 边上，从A匀速运动到B。点E在BC边上，以 相同的速度从B匀速运动到C。AE和CD相交于 点P， 求动点P所走过的路径长。
如图，等边三角形ABC的边长为6，点D在AB 边上，从A匀速运动到B。点E在BC边上，以 相同的速度从B匀速运动到C。AE和CD相交于 点P， 求动点P所走过的路径长。
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练习
已知：△AOB 中，AB=OB=2，△COD 中，CD=OC=3，∠ABO 2 ∠ABO=∠DCO．点 M、N、P 分别为 OA、OD、BC 的中点． 若 A、O、C 三点在同一直线上，请证明：△PMN∽△BAO
如图等边△PQR 内接于正方形 ABCD，其中点 P、Q、R 分别在边 AD、AB、DC 上，M 是 QR 的中点， 求证：不论等边△PQR 怎样运动，点 M 为不动点．
已知：在△ABC 中，∠ABC=∠ACB=α，点 D 是 AB 边上 任意一点，将射线 DC 绕点 D 逆时针旋转 α 与过点 A 且 平行于 BC 边的直线交于点 E．当 α=45°时，判断线段 BD 与 AE 之间的数量关系
如图，E，F 是正方形 ABCD 的边 AD 上两个动点，满足 AE＝DF．连接 CF 交 BD 于 G，连接 BE 交 AG 于点 H． 若正方形的边长为 2，则线段 DH 长度的最小值是____．
H
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O M
基本类型
3、（1）对角互补 （2）同弦等角
基本类型
3、（1）对角互补 （2）同弦等角