海伦公式(课堂PPT)
高中数学《第一章解三角形1.2应用举例阅读与思考海伦和秦九韶》347PPT课件 一等奖名师
2
思考：以上公式对任意的四边形是否都成立？
八、课后作业
南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积
术”，与著名的海伦公式等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，
余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，
求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三
角形的边长满足 a b 12, c 8.则此三角形面积的最大值=__8___5____.
六、师生小结
<1>海伦（Heron）:古希腊数学家主要著作有《量度论》，《体积求法》，《几何》
等，最著名的是已知三边长求三角形面积的海伦公式.
证明：如图，在△ABC中，过A作高AD交BC于D,
设 BD x ，那 么 DC a x .
由于AD是△ABD、△ACD的公共边.
h c2 x2 b2 a x2.
则x c2 b2 a2 . 2a
于是h
c2
c2
b2 2a
a2
2
.
又
SABC
1 2
ah
1 2
ac2c2源自b2 2a开平方得积．”若把以上这段文字写成公式, 即S
1 4
c 2 a 2
c2
a2 2
b2
2
在ABC 中，若 AB 13, BC 14, AC 15,D在AC上，且BD平分 ABC,
则 ABC 的面积=________; BD=____________.
[针对训练] 南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积术”，
S
p p a p b p c
海伦公式'
海伦公式'海伦公式是一个用于计算三角形面积的公式，在数学学习中可有着不小的作用呢！先来说说海伦公式到底是啥。
它的表达式是：$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$，其中$S$表示三角形的面积，$a$、$b$、$c$分别是三角形的三条边长，而$p$则是半周长，即$p = \frac{a + b + c}{2}$。
这个公式看起来有点复杂，是不是？但其实只要掌握了，用起来还是挺方便的。
我记得有一次给学生们讲这个公式的时候，发生了一件特别有趣的事儿。
当时我在黑板上画了一个三角形，标好了三条边的长度，然后就开始引导学生们一起用海伦公式来计算面积。
有个小同学特别积极，把手举得高高的，嘴里还喊着：“老师，我会，我会！”我就让他到黑板前来试试。
结果这小家伙一紧张，把公式给记错了，算出了一个特别离谱的答案。
其他同学都忍不住笑了起来，他自己也不好意思地挠挠头。
我笑着鼓励他别灰心，重新再算一次。
最后，在大家的帮助下，他终于算出了正确的结果，那高兴劲儿就别提了。
咱们继续说海伦公式啊。
为什么要有这个公式呢？其实就是为了在只知道三角形三条边长度的时候，能够方便地算出面积。
比如说，在实际生活中，工程师要计算一块三角形土地的面积，或者设计师要计算一个三角形零件的面积，用海伦公式就能轻松搞定。
那怎么用海伦公式来解题呢？咱们来举个例子。
假设一个三角形的三条边分别是 3、4、5，那首先我们来算半周长$p$，$p = \frac{3 + 4 + 5}{2} = 6$。
然后把$p$和三条边的值代入公式，$S = \sqrt{6×(6 - 3)×(6- 4)×(6 - 5)} = \sqrt{6×3×2×1} = \sqrt{36} = 6$ ，所以这个三角形的面积就是 6。
再比如，如果三角形的三条边是 5、12、13，那$p = \frac{5 + 12 + 13}{2} = 15$，面积$S = \sqrt{15×(15 - 5)×(15 - 12)×(15 - 13)} =\sqrt{15×10×3×2} = \sqrt{900} = 30$ 。
三角形 海伦公式
三角形海伦公式海伦公式（Heron's formula），也被称为三角形面积公式，是用来计算任意三角形面积的一种公式。
它是由古希腊数学家海伦提出的。
海伦公式的形式如下：S = √(s(s-a)(s-b)(s-c))其中，S表示三角形的面积，a、b、c表示三角形的三边长度，s表示半周长，即s = (a+b+c)/2。
海伦公式的推导和应用可以帮助我们更好地理解三角形的性质和计算方法。
下面将通过一些实际问题来说明海伦公式的应用。
1. 问题一：已知一个三角形的三边分别为5cm、7cm和9cm，求其面积。
根据海伦公式，我们可以先计算半周长s：s = (5+7+9)/2 = 10.5cm然后代入公式计算面积：S = √(10.5(10.5-5)(10.5-7)(10.5-9))= √(10.5*5.5*3.5*1.5)≈ √(495.375)≈ 22.25cm²所以，该三角形的面积约为22.25平方厘米。
2. 问题二：已知一个三角形的两边分别为6cm和8cm，夹角为60°，求其面积。
我们可以利用余弦定理计算出第三边的长度：c² = a² + b² - 2ab*cosC= 6² + 8² - 2*6*8*cos60°= 36 + 64 - 48= 52然后，我们可以根据海伦公式计算面积：s = (6+8+√52)/2= (14+√52)/2≈ (14+7.211)/2≈ 10.605S = √(10.605(10.605-6)(10.605-8)(10.605-√52))≈ √(10.605*4.605*2.605*0.605)≈ √(59.027)≈ 7.68cm²因此，该三角形的面积约为7.68平方厘米。
3. 问题三：已知一个三角形的三个顶点坐标分别为A(0, 0)，B(3, 0)，C(0, 4)，求其面积。
海伦公式
海伦公式
• 海伦公式： [1] S=√p(p-a)(p-b)(p-c) • 假设在平面内，有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的 面积S可由以下公式求得： • S=√p(p-a)(p-b)(p-c)
证明过程
公式简史
• 古希腊的数学发 • 阿基米德 • 展到亚历山大里亚时期，数学的应用得到了很大的发展，其突出的一点 就是三角术的发展，在解三角形的过程中，其中一个比较难的问题是如 何利用三角形的三边直接求出三角形面积。 • 这个公式是由古希腊数学家阿基米德得出的，但人们常常以古希腊的数 学家海伦命名这个公式，称此公式为海伦公式，因为这个公式最早出现 在海里的著作《测地术》中，并在海伦的著作《测量仪器》和《度量数》 中给出证明。 [1] [5] • 中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，虽然它 与海伦公式形式上有所不同，但它完全与海伦公式等价，它填补了中国 数学史中的一个空白，从中可以看出中国古代已经具有很高的数学水平。
海伦公式展开式
海伦公式展开式海伦公式是一个用于计算三角形面积的公式，它的展开式可是相当有趣呢！咱们先来说说海伦公式本身哈，它的表达式是：S = √[p(p - a)(p -b)(p - c)] ，其中 S 表示三角形的面积，a、b、c 分别是三角形的三条边，而 p 则是半周长，也就是 p = (a + b + c) / 2 。
那海伦公式的展开式到底是啥样呢？咱们来一步步推导推导。
假设三角形的三条边分别是 a、b、c ，半周长 p = (a + b + c) / 2 ，那咱们就从 p 开始动手。
p = (a + b + c) / 2 ，两边同时乘以 2 ，得到 2p = a + b + c 。
接下来，我们把海伦公式里的S = √[p(p - a)(p - b)(p - c)] 中的 (p -a)(p - b)(p - c) 乘开。
先看 (p - a)(p - b) ，乘出来就是 p² - pb - pa + ab 。
然后再乘以 (p - c) ，得到：(p² - pb - pa + ab)(p - c) = p³ - p²c - p²b + pbc - p²a + pac + pab - abc把这个式子代入到海伦公式里，就有S = √[p(p³ - p²c - p²b + pbc - p²a + pac + pab - abc)]这式子看起来挺复杂，是吧？但咱们别怕，数学就是这样，一步一步来，总能理清楚。
我想起之前给学生们讲这个的时候，有个小同学皱着眉头问我：“老师，这公式这么麻烦，有啥用啊？”我笑着告诉他：“就像你搭积木，每一块积木看起来不起眼，但是组合在一起就能搭出漂亮的城堡。
这个公式也是，虽然复杂，但是在解决一些三角形面积问题的时候，可管用啦！”咱们接着说这个展开式。
为了让它更简洁一点，咱们再做进一步的变形和化简。
海伦公式的推导和应用
海伦公式的推导和应用(总6页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除海伦公式海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式，传说是古代的叙拉古国王希伦（Heron,也称海龙）二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。
但根据Morris Kline在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表（未查证）。
我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。
假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]而公式里的p为半周长：p=(a+b+c)/2——————————————————————————————————————————————注1："Metrica"(《度量论》)手抄本中用s作为半周长，所以S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。
——————————————————————————————————————————————由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。
比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。
证明（1）：与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。
设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为cosC = (a^2+b^2-c^2)/2abS=1/2*ab*sinC=1/2*ab*√(1-cos^2 C)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]设p=(a+b+c)/2则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]证明（2）：我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。
海伦公式的几种证明与推广
海伦公式的几种证明与推广高中数学必修⑤第一章在阅读与思考栏目向学生介绍一个非常重要且优美的公式——海伦公式〔Heron's Formula 〕：假设有一个三角形，边长分别为,,,c b a ，三角形的面积S 可由以下公式求得：))()((c p b p a p s ---=，而公式里的)(21c b a p ++=，称为半周长。
图1C海伦公式又译希伦公式，传说是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。
但根据Morris Kline 在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表。
由于任何n 边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。
比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。
海伦公式形式漂亮，结构工整，有多种变形，如：S=))()((c p b p a p p ---=))()()((41a c b b c a c b a c b a -+-+-+++=])(][)[(412222b a c c b a ---+ =)]2()[2(41222222ab c b a ab c b a --+-+-+=222222)(441c b a b a -+- =44422222222241c b a c b c a b a ---++ 教课书中并以习题形式出现，给出的参考答案是利用三角形面积计算公式C ab s sin 21=和余弦定理C ab b a c cos 2222-+=的证明过程：C ab s sin 21==C n ab 2cos 121-=2222)2(121abc b a ab -+-下略。
我国南宋著名数学家秦九韶也发现了与海伦公式等价的“三斜求积”公式，中国古代的天元术发展水平非常高，笔者猜想秦九韶在独立推出“三斜求积”公式过程中，利用了解方程的方法，因此海伦公式可以作如下推证，从三角形最基本的面积公式a ABC ah S 21=∆入手，利用勾股定理，布列方程组求高。
海伦公式及其证明方法
海伦公式及其证明方法海伦公式是三角形的重要结论之一，它描述了三角形的边长和面积之间的关系。
具体地说，海伦公式给出了三角形的面积可以通过其三条边的长度来计算。
假设我们有一个三角形ABC，其三个边的长度分别为a，b和c。
令s 为半周长，则s=(a+b+c)/2、海伦公式可以表示为：面积=√(s(s-a)(s-b)(s-c))下面我将介绍两种常见的证明方法，一种基于面积的计算，另一种基于三角函数的计算。
1.基于面积的证明方法：C/\h1/\h2/\/_______\AbB----a-----我们可以通过计算这些小三角形的面积来求解整个三角形的面积。
令s1、s2和s3分别表示三个小三角形的半周长，即s1=(a+h1+h2)/2，s2=(b+h2+h3)/2，s3=(c+h1+h3)/2分别应用海伦公式到s1、s2和s3得到小三角形的面积：S1=√(s1(s1-a)(s1-h1)(s1-h2))S2=√(s2(s2-b)(s2-h2)(s2-h3))S3=√(s3(s3-c)(s3-h1)(s3-h3))然后，我们将这些小三角形的面积相加，得到整个三角形ABC的面积：面积=S1+S2+S3=√(s1(s1-a)(s1-h1)(s1-h2))+√(s2(s2-b)(s2-h2)(s2-h3))+√(s3(s3-c)(s3-h1)(s3-h3))接下来，我们需要证明上式等于√(s(s-a)(s-b)(s-c))。
通过一系列代换和简化，可以证明上述等式成立。
这个证明过程相对复杂，涉及到较多的代数和几何计算，超出了本回答的范围。
感兴趣的读者可以参考相关数学教材或其他资料进行学习和探索。
2.基于三角函数的证明方法：另一种证明海伦公式的方法是基于三角函数。
这种方法使用三角函数的性质，将三角形的面积表达为三个边长和角度的函数，然后进行推导得到海伦公式。
我们首先假设三个边的正弦值为三个角度的函数，即sinA = a/2R，sinB = b/2R，sinC = c/2R，其中R为三角形的外接圆半径。
八年级数学-张美玲-海伦公式
八年级数学-张美玲-海伦公式C1407班的李镜楠有一天拦住我，说：“老师，我觉得海伦公式很重要，你可以讲一下吗？”海伦公式一、什么是海伦公式？如图1，在三角形ABC中，A=15，B=14，C=13，求三角形ABC的面积，运用我们已经学习过的知识可以直接求解吗？图1像这样的题目，用海伦公式很容易解决，那么，什么是海伦公式呢？海伦公式：三角形的面积()()()cS-p=--apbpp1其中：a、b、c分别是三角形的三边长，()c=+ap+b2海伦公式亦称“海伦-秦九韶公式”。
此公式（利用三角形的三条边长来求三角形面积）相传是亚历山大港的海伦发现的，并可在其于公元60年的《Metrica 》中找到其证明。
亦有认为早于阿基米德时代已经懂得这条公式，而由于《Metrica 》是一部古代数学知识的结集，该公式的发现时期很有可能先于海伦的著作。
亚历山大里亚的海伦（希腊语： Ἥρων ὁ Ἀλεξανδρεύς）（公元10年－70年） ，是一位古希腊数学家，居住于托勒密埃及时期的罗马省。
他也是一名活跃于其家乡亚历山大里亚的工程师，他被认为是古代最伟大的实验家，他的著作在希腊化时期文明（Hellenistic civilization ）科学传统方面享负盛名。
我国南宋末年数学家秦九韶，其著作《数书九章》卷五第二题即三斜求积。
“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知为田几何？”答曰：“三百十五顷．”其术文是：“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之为实，……开平方得积。
”若以大斜记为 a ，中斜记为 b ，小斜记为 c ，用现代公式表示即为：〉-+-〈=222222)2(41b a c a c s能否由秦九韶的公式推导出海伦公式？ 二、秦九韶公式推导出海伦公式 详见人教版教材八年级下册三、秦九韶公式的证明中国古代的天元术发展水平非常高，猜想秦九韶在独立推出“三斜求积”公式过程中，利用了解方程的方法，从三角形最基本的面积公式a ABC ah S 21=∆入手，利用勾股定理，布列方程组求高。
海伦公式
证明（1）
与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为 cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab S=1/2*ab*sinC =1/2*ab*√(1-cos^2 C) =1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2] =1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2] =1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)] =1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2] =1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)] 设p=(a+b+c)/2 则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2, 上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16] =√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
证明（3）
在△ABC中∠A、∠B、∠C对应边a、b、c O为其内切圆圆心，r为其内切圆半径，p为其半周长 有tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2=1 r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2)=r ∵r=(p-a)tanA/2=(p-b)tanB/2=(p-c)tanC/2 ∴ r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2) =[(p-a)+(p-b)+(p-c)]tanA/2tanB/2tanC/2 =ptanA/2tanB/2tanC/2 =r ∴p^2r^2tanA/2tanB/2tanC/2=pr^3 ∴S^2=p^2r^2=(pr^3)/(tanA/2tanB/2tanC/2) =p(p-a)(p-b)(p-c) ∴S=√p(p-a)(p-b)(p-c)
用勾股定理证海伦公式-PPT课件
• 一书,该书的原稿本於1896年才被发现,全书共分为三卷.第一卷由矩形 和三角形开始,讨论了平面图形和立体表面之面积,并给出了著名的三 角形面积公式-海龙公式.第二卷探讨立体图形,其中包括圆锥体,圆柱体, 稜柱体等立体体积的求法.第三卷介绍了平面和立体图形案给定比例之 分割,并用到了求立方根的近似公式.海龙另一部关於测地学的著作 (Dioptra)也很有名,在这部著作中,海龙对如何在隧道之两端同时动工 而能使之衔接提出说明,也解释如何测量两地的距离,包括有一地不能 到达以及两地均能看见但均不能到达的情形;另外他也说明如何从已知 点到不可及的一线作垂线,以及如何测知一块地的面积而不需进入这块 地面上.大家熟知的三角形面积公式(a,b,c为三角形之三边长,s为周长 之半),是最后提到的观念(不进入一块地而能测知其面积的依据).这个 公式出现於他的测地学(Deodesy),在Dioptra和Metrica中又再度出现, 并且附上证明.海龙的著作之特色是掺合了严密数学和近似方法以及埃 及人的公式,
• 学、建筑学木工和生活上使用到之技巧。大量的海龙的著 作已经被发现，尽管有些地方对於是否真的是海龙本人所 著还有争议，在书上的天文学一篇文章说，如何利用月来 测量亚历山大城到罗马城，在气体学的部分如何利用空气、 河流和水压来作机械的用途，并运用到战场上，在物理学 上，他也会利用杠杆、滑轮、阶梯或螺旋来撑起重物，并 考虑物体的中心等问题。在数学上，他已经会求三角形和 正方形的面积，知道边数是3到12的正多面体种类，锥和 柱的表面积算法，并且他已经会算平方根的近似值了，事 实上他也找出了从1到100所有的数的立方根，当然海伦最 著名的当然是他证明了他的''海伦公式''。 希腊的数学家与 测量学家,大约生於西元75年左右,他在数学方面最能代表 其成就的著作是度量论(Metrica)
八年级数学-张美玲-海伦公式
八年级数学-张美玲-海伦公式C1407班的李镜楠有一天拦住我，说：“老师，我觉得海伦公式很重要，你可以讲一下吗？”海伦公式一、什么是海伦公式？如图1，在三角形ABC中，A=15，B=14，C=13，求三角形ABC的面积，运用我们已经学习过的知识可以直接求解吗？图1像这样的题目，用海伦公式很容易解决，那么，什么是海伦公式呢？海伦公式：三角形的面积()()()cS-p=--apbpp1其中：a、b、c分别是三角形的三边长，()c=+ap+b2海伦公式亦称“海伦-秦九韶公式”。
此公式（利用三角形的三条边长来求三角形面积）相传是亚历山大港的海伦发现的，并可在其于公元60年的《Metrica 》中找到其证明。
亦有认为早于阿基米德时代已经懂得这条公式，而由于《Metrica 》是一部古代数学知识的结集，该公式的发现时期很有可能先于海伦的著作。
亚历山大里亚的海伦（希腊语： Ἥρων ὁ Ἀλεξανδρεύς）（公元10年－70年） ，是一位古希腊数学家，居住于托勒密埃及时期的罗马省。
他也是一名活跃于其家乡亚历山大里亚的工程师，他被认为是古代最伟大的实验家，他的著作在希腊化时期文明（Hellenistic civilization ）科学传统方面享负盛名。
我国南宋末年数学家秦九韶，其著作《数书九章》卷五第二题即三斜求积。
“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知为田几何？”答曰：“三百十五顷．”其术文是：“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之为实，……开平方得积。
”若以大斜记为 a ，中斜记为 b ，小斜记为 c ，用现代公式表示即为：〉-+-〈=222222)2(41b a c a c s能否由秦九韶的公式推导出海伦公式？ 二、秦九韶公式推导出海伦公式 详见人教版教材八年级下册三、秦九韶公式的证明中国古代的天元术发展水平非常高，猜想秦九韶在独立推出“三斜求积”公式过程中，利用了解方程的方法，从三角形最基本的面积公式a ABC ah S 21=∆入手，利用勾股定理，布列方程组求高。
人教a版必修二海伦公式
海伦公式是一种用于计算三角形面积的公式，它可以通过已知三个边长来计算三角形的面积。
人教A版必修二中海伦公式是用来解决这个问题的一个重要工具。
首先，我们来了解一下海伦公式的数学背景。
在三角形中，已知三边长a、b、c，可以使用海伦公式计算三角形的面积。
具体来说，三角形的面积可以通过以下公式计算：S = sqrt[p * (p - a) * (p - b) * (p - c)]其中，p是半周长，即p = (a + b + c) / 2。
通过这个公式，我们可以得到三角形的面积。
那么，如何将海伦公式应用到实际问题中呢？人教A版必修二为我们提供了一种方法。
具体来说，我们需要测量三角形三个顶点的坐标，分别为A(x1, y1)、B(x2, y2)和C(x3, y3)。
根据题目所给条件，我们可以得到三角形的三边长a、b、c，进而使用海伦公式求出三角形的面积。
在具体应用中，我们需要用到两点间的距离公式，即d = sqrt[(x2 - x1)2 + (y2 - y1)2]。
根据这个公式，我们可以求出三角形各个顶点之间的距离，进而得到半周长和各个顶点的坐标。
通过这些信息，我们可以使用海伦公式来计算三角形的面积。
在实际操作中，我们需要注意一些细节问题。
首先，我们需要确保测量数据的准确性，避免误差对结果产生影响。
其次，我们需要根据题目所给条件来确定三角形的形状和类型，以便选择合适的计算方法。
最后，我们还需要注意公式的适用范围和限制条件，以确保结果的正确性和可靠性。
总之，人教A版必修二中的海伦公式是一种非常实用的工具，可以帮助我们快速计算三角形的面积。
通过了解公式的数学背景和应用方法，我们可以更好地掌握这个工具，并将其应用到实际问题中。
同时，我们还需要注意一些细节问题，以确保结果的正确性和可靠性。
八年级数学海伦公式
C1407班的李镜楠有一天拦住我，说：“老师，我觉得海伦公式很重要，你可以讲一下吗？”海伦公式一、什么是海伦公式？如图1，在三角形ABC中，A=15，B=14，C=13，求三角形ABC 的面积，运用我们已经学习过的知识可以直接求解吗？图1像这样的题目，用海伦公式很容易解决，那么，什么是海伦公式呢？海伦公式：三角形的面积()()()cS--=-ppbppa1其中：a、b、c分别是三角形的三边长，()c+=p+ab2海伦公式亦称“海伦-秦九韶公式”。
此公式（利用三角形的三条边长来求三角形面积）相传是亚历山大港的海伦发现的，并可在其于公元60年的《Metrica》中找到其证明。
亦有认为早于阿基米德时代已经懂得这条公式，而由于《Metrica》是一部古代数学知识的结集，该公式的发现时期很有可能先于海伦的著作。
亚历山大里亚的海伦（希腊语： Ἥρων ὁ Ἀλεξανδρεύς）（公元10年－70年） ，是一位古希腊数学家，居住于托勒密埃及时期的罗马省。
他也是一名活跃于其家乡亚历山大里亚的工程师，他被认为是古代最伟大的实验家，他的著作在希腊化时期文明（Hellenistic civilization ）科学传统方面享负盛名。
我国南宋末年数学家秦九韶，其著作《数书九章》卷五第二题即三斜求积。
“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知为田几何？”答曰：“三百十五顷．”其术文是：“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之为实，……开平方得积。
”若以大斜记为 a ，中斜记为 b ，小斜记为 c ，用现代公式表示即为：〉-+-〈=222222)2(41b a c a c s能否由秦九韶的公式推导出海伦公式？ 二、秦九韶公式推导出海伦公式 详见人教版教材八年级下册 三、秦九韶公式的证明中国古代的天元术发展水平非常高，猜想秦九韶在独立推出“三斜求积”公式过程中，利用了解方程的方法，从三角形最基本的面积公式a ABC ah S 21=∆入手，利用勾股定理，布列方程组求高。
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=22(6x 2-1)(32 2-x)=S﹣2=
因为： 所以:
4 1|a r|2|b r|2的1 面|a r积|2 4 |b r为|2:co s2C
4
4
＝
1(|ar|2|br|2 4
rr (ab)2)
………………(1)
20
因为: a b c 0
,
所以: a b c
(a rb r)2,cr2所以:
,
a b 1(c 2a 2b 2)
所以:
2
…………………… (2)
将(2)式代入(1)式, 并化简得:
21
S 2 1 [a 2b2 1 (c2 a 2 b2 )2 ]
4
4
1 [2ab (c 2 a 2 b2 )][2ab (c 2 a 2 b2 )] 16
1 [(a b)2 c 2 ][c 2 (a b)2 ] 16
1 (a b c)(a b c)(c a b)(c a b) 16
1 2 p (2 p 2c) (2 p 2b) (2 p 2a ). 16
S 2p (p a )(p b )(p c )
Sp(pa)(pb)(pc)
22
四：内切圆证明法
由内切圆易知S=pr,
• 海伦有许多学术著作，都用希腊文撰写，但大部分已失传 。主要著作是《量度论》一书。该书共3卷，分别论述平 面图形的面积，立体图形的体积和将图形分成比例的问题 。其中卷Ⅰ第8题给出著名的已知三边长求三角形面积的 海伦公式。
4
5
6
新课导入 问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中
斜一十四里，大斜一十五里。里法三百步，欲知为 田几何？
23
又如图
a b c (x z) (x y) (z y) 2x
x abc 2
同理：y b c a ;z a c b ..........(2)
2
2
将（2）代入（1）得
r2 a b c a b ca c bb c a
2
8
r2
a
b 2
c
2
a
b
c
a
c 8
bb
c
a
a
移项得 a2-b2=t2-(c-t)2=c(2t-c) A
进而有
t a2 b2 c2 2c
C
b
h
a
c-t c
t DB
17
C
[再用a,b,c表示出h]
h2
ห้องสมุดไป่ตู้
a2
t2
a2
a2
b2 2c
c2
2
b
ha
4a 2c 2 (a 2 b 2 c 2 )2
4c2
[ 2 ac ( a 2 b 2 c 2 )][ 2 ac ( a 2 b 2 c 2 )] A
b 2
c
r a b c a b ca c bb c aa b c
2
16
即S= p( p a)( p b)( p c)
24
运用1：如图，已知A、B是线段MN上的两点， ，MN4M，A1MB1 ．以A为中心顺时针旋转 点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点 重合成一点C，构成△ABC，设 ABx ．
b
c)
b]
(a [
b
c)
c][
(a
b
c)
c]
2
2
2
2
p( p a)( p b)( p c)
19
三、向量证明法
证明: 在三角形ABC
,ar a
b
b,
c c
uB中uCur,ar设CuuAur br
uuur r ABc
,
ABC ,
S 1,absinC
,
S 2 1 |a r|2 |b r|2 s in 2 C 1 |a r|2 2|b r|2 ( 1 c o s 2 C )
海伦公式
选自人教版普通高中课程标准实验教科书必修 五
第一章“阅读与思考”
高一年级组 宋树燕
1
新课导入
运用我们已经学习过的知识可以直接求解吗？
2
问题提出
•
3
海伦
• 海伦，古希腊数学家、力学家、机械学家。生平不详。 约公元62年活跃于亚历山大，在那里教过数学、物理学等 课程。他多才多艺，善于博采众长。在论证中大胆使用某 些经验性的近似公式，注重数学的实际应用。
1 c (a b c)(a b c)(b a c)(b a c)
2
2c
(a b c)(a b c)(b a c)(b a c)
A
4
b
h
a
c-t c
t DB
(a b c) (a b c) (a b c) (a b c)
2
2
2
2
(a
b
c)
[
(a
又A+B+C=180o
tan Atan B +tan Atan C +tan B tan C =1
22
22
22
图中有
tan
A
r
B ; ta n
rC ; ta n
r
2y 2z 2x
代入前式得
r•r r•r r•r 1 yz yx zx
r 2 ( x y z ) xyz ..............(1)
转化为数学语言为下列图形：
7
问题提出
•
8
公式推导
一：余弦定理证明法
①
②
③
把③② 代入①，得：
“三斜求积” 公式
9
公式转化
10
•
11
过程梳理
•
余弦定理
“三斜求积”公式
等价
海伦公式
12
公式转化
•
等 价
13
课堂练习
•
14
自主探究 除了上述方法外，还有没有证明海伦公式的方法？
勾股定理法
向量法
4c2
c-
t
tc D B
[( a
c)2
b 2 ][ b 2 4c 2
(a
c)2 ]
(a
b
c )( a
b
c )( b 4c2
a
c )( b
a
c)
h(a b c)a ( b c 4 )c2 b (a c)b ( a c)
(abc)(abc)(bac)(bac)
2 c
18
[求出面积S ]
C
S 1 ch 2
（1）求x的取值范围；
（2）若△ABC为直角三角形，求x的值；
（3）探究：△ABC的最大面积？
C
M
A
B
N
（第24题）
25
解：设⊿ABC的面积为S,由本题 AB=c=x,AC=b=1,BC=a=3-x,
∴p=
1 2
abc
=2
∴S= ppapbpc 223x212x
= S2
2x2 6x4
∴ ∴当x=2
内切圆法
15
二：勾股定理证明法 如图, AB=c, BC=a, CA=b,CD⊥AB于D, CD=h, 又记 BD=t,则 AD= c-t
b
[首先求出t(用a,b,c,h表示]
C
h
a
[再用a,b,c表示h]
c-t
t
A
cD B
[进而求出面积S ]
16
[首先求出t(用a,b,c,h表示]
Rt△BCD中应用勾股定理,t2+h2=a2, Rt△ACD中应用勾股定理,(c-t)2+h2=b2, h2=a2-t2=b2-(c-t)2 由a2-t2=b2-(c-t)2