广义函数的运算
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Outline
v 背景：点源电荷 v 问题抽象 v 广义函数的引入 v 广义函数的运算：变量操作，导数 v 经典例子：阶跃函数导数
1/ r
的Laplacian
背景
v 对于点源电荷，其电荷密度：
❖仅在一点上有值，且为无穷大 ❖积分为有限值
问题抽象
• 非经典意义函数
• 通过积分与函数作用：函数空间上的线性 函数
• 被作用的函数一般在有限区域取值：场是
Definition
• 广义函数是定义在测试函数空间 (Rn)上的连续线 性函数： T : (Rn ) R / C
• 测试函数：光滑、在有限区域上定义的函数 • 广义函数通过积分作用在测试函数上，更近似于一种
算符 • 其集合构成 测试函数空间 的对偶空间
Example
v 对正规函数变量操作：平移、对称、放缩
T (x a)、T (x)、T (ax)
其对应的分布如何变化？
Ta , f
T (x a) f (x)dx
T (x)
f
(x
a)dx
ຫໍສະໝຸດ Baidu
T,
fa
类似地，可得对称、放缩操作后的分布 将其推广到一般的广义函数上
运算：导数
v 对正规函数求导
T (x)
其对应的分布如何变化？
References
❖ Walter.Appel,Mathematics for physics and physicists,Princeton University Press
1/ rf (r)dV f (r)(1/ r) 1/ r( f (r))• dS
1/ rf (r)dV 1/ r, ( f (r))
(
f
(r))
1 r2
d dr
(r 2
df ) dr
1/ r, f (r) 4f (0) 4 , f
1/ r 4
进一步应用
❖ 定义函数间断点导数：用分布描述场 ❖ 卷积代数：微分方程的格林函数法 ❖ ……
v 正规函数：在任意有限区间上积分总存在
其对应的广义函数定义如下：
T ( f ) T , f : T (x) f (x)dx
v 类似于正规函数，对任意广义函数，都用
记号：T ( f ) T ,
f
: T (x) f (x)dx
T ( x)
但对一般的广义函数，
仅是一个记号，并
运算：对变量操作
T , f T (x) f (x)dx T (x) f (x)dx T , f
将其推广到一般的广义函数上
H 经, f典例子 ：H , f
H (x) f (x)dx
f (0)
0
H
经典例子
v 库伦势的Laplacian
1/ r, f (r) (1/ r) f (r)dV (1/ r) f (r) • dS (1/ r) • ( f (r))dV
v 背景：点源电荷 v 问题抽象 v 广义函数的引入 v 广义函数的运算：变量操作，导数 v 经典例子：阶跃函数导数
1/ r
的Laplacian
背景
v 对于点源电荷，其电荷密度：
❖仅在一点上有值，且为无穷大 ❖积分为有限值
问题抽象
• 非经典意义函数
• 通过积分与函数作用：函数空间上的线性 函数
• 被作用的函数一般在有限区域取值：场是
Definition
• 广义函数是定义在测试函数空间 (Rn)上的连续线 性函数： T : (Rn ) R / C
• 测试函数：光滑、在有限区域上定义的函数 • 广义函数通过积分作用在测试函数上，更近似于一种
算符 • 其集合构成 测试函数空间 的对偶空间
Example
v 对正规函数变量操作：平移、对称、放缩
T (x a)、T (x)、T (ax)
其对应的分布如何变化？
Ta , f
T (x a) f (x)dx
T (x)
f
(x
a)dx
ຫໍສະໝຸດ Baidu
T,
fa
类似地，可得对称、放缩操作后的分布 将其推广到一般的广义函数上
运算：导数
v 对正规函数求导
T (x)
其对应的分布如何变化？
References
❖ Walter.Appel,Mathematics for physics and physicists,Princeton University Press
1/ rf (r)dV f (r)(1/ r) 1/ r( f (r))• dS
1/ rf (r)dV 1/ r, ( f (r))
(
f
(r))
1 r2
d dr
(r 2
df ) dr
1/ r, f (r) 4f (0) 4 , f
1/ r 4
进一步应用
❖ 定义函数间断点导数：用分布描述场 ❖ 卷积代数：微分方程的格林函数法 ❖ ……
v 正规函数：在任意有限区间上积分总存在
其对应的广义函数定义如下：
T ( f ) T , f : T (x) f (x)dx
v 类似于正规函数，对任意广义函数，都用
记号：T ( f ) T ,
f
: T (x) f (x)dx
T ( x)
但对一般的广义函数，
仅是一个记号，并
运算：对变量操作
T , f T (x) f (x)dx T (x) f (x)dx T , f
将其推广到一般的广义函数上
H 经, f典例子 ：H , f
H (x) f (x)dx
f (0)
0
H
经典例子
v 库伦势的Laplacian
1/ r, f (r) (1/ r) f (r)dV (1/ r) f (r) • dS (1/ r) • ( f (r))dV