广义函数的运算
绝对值函数广义函数求导
绝对值函数广义函数求导
1、在该点x0处，分别求其左右导数，若左导数=右导数，即是该点导数；若至少有一个不存在，则该点导数不存在。
有些可以简化：f（x）=x²|x-1|，f'（0）=Limit[x²|x-1|/x，x->0]=0.
2、在其他点，去掉绝对值符号，直接用公式求导。
上例中，当x∈（-∞，1），f（x）=-x²|（x-1）=-x³+x²=-3x²+2x；当x∈（1，+∞），f（x）=x²|（x-1）=x³-x²=3x²-2x。
求导是微积分的基础，同时也是微积分计算的一个重要的支柱。
物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。
如导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度、可以表示曲线在一点的斜率、还可以表示经济学中的边际和弹性。
它的定义就是，当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。
在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。
可导的函数一定连续。
不连续的函数一定不可导。
广义积分的计算方法
广义积分的计算方法广义积分是微积分中的一个重要概念，它是对函数在某一区间上的积分进行推广，可以用来求解曲线下面的面积、求解物体的质量、求解电荷的总量等问题。
在实际问题中，广义积分的计算方法非常重要，下面我们将介绍一些常见的广义积分的计算方法。
首先，我们来看一下对于无界函数的广义积分。
对于函数f(x)在区间[a, +∞)上的广义积分，可以通过极限的方法来进行计算。
具体来说，如果极限lim┬(t→+∞)∫(a)^t f(x)dx存在且有限，则称广义积分∫(a)^+∞ f(x)dx收敛，记为∫(a)^+∞f(x)dx=lim┬(t→+∞)∫(a)^t f(x)dx。
否则，称广义积分∫(a)^+∞ f(x)dx发散。
在计算无界函数的广义积分时，我们需要先对函数进行适当的变形，使得积分变为有限的形式，然后再进行极限的计算。
其次，对于在有限区间上发散的函数，我们可以通过分段积分的方法来进行计算。
具体来说，如果函数f(x)在区间[a, b]上有一个或多个无界点，那么我们可以将积分区间分成若干个有界区间，然后分别计算每个有界区间上的广义积分，最后将这些广义积分的极限相加得到原广义积分的值。
另外，对于奇异点的处理也是广义积分计算中需要注意的问题。
在计算广义积分时，如果积分区间上存在奇异点，我们需要先对奇异点进行适当的处理，例如使用柯西主值等方法，然后再进行积分的计算。
最后，需要注意的是，在计算广义积分时，我们还需要考虑函数的性质、积分区间的选择等因素。
有时候，我们需要对函数进行分解、变形，以便于进行积分的计算。
同时，选择合适的积分区间也是非常重要的，可以通过变量替换、对称性等方法来简化积分的计算。
总之，广义积分的计算方法涉及到许多微积分的知识和技巧，需要我们对函数的性质有深入的理解，熟练掌握各种积分计算方法。
通过不断的练习和实践，我们可以更加熟练地运用广义积分的计算方法，解决实际问题，提高数学建模和问题求解的能力。
广义函数的运算
但对一般的广义函数， 义上的函数。
T ( x)
仅是一个记号，并非经典意
运算：对变量操作
• 对正规函数变量操作：平移、对称、放缩
T ( x a)、T ( x)、T (ax)
其对应的分布如何变化？
Ta , f T ( x a) f ( x)dx T ( x) f ( x a)dx T , f a
• 库伦势的Laplacian
Байду номын сангаас
1 / rf (r )dV
f (r )(1 / r ) 1 / r( f (r )) dS
1 / rf (r )dV 1 / r , ( f (r )) 1 d 2 df (r ) 2 r dr dr 1 / r , f (r ) 4f (0) 4 , f ( f (r )) 1 / r 4
– 将其推广到一般的广义函数上 – 经典例子：
H , f H , f H ( x) f ( x)dx f (0)
0
H
经典例子
1 / r , f (r ) (1 / r ) f (r )dV (1 / r ) f (r ) dS (1 / r ) ( f (r ))dV
• 被作用的函数一般在有限区域取值：场是定域的
Definition
• 广义函数是定义在测试函数空间 ( R n )上的连续线
性函数： T : ( Rn ) R / C
• 测试函数：光滑、在有限区域上定义的函数 • 广义函数通过积分作用在测试函数上，更近似于一种 算符 • 其集合构成 测试函数空间 的对偶空间
广义函数及其运算pdf
广义函数及其运算pdf广义函数是数学中的一个重要概念，它是对传统函数的一种扩展和推广。
广义函数的定义和运算在数学和物理学中有着广泛的应用。
本文将介绍广义函数的概念、性质以及其在数学和物理学中的应用，并提供相关的pdf资料供读者深入学习。
广义函数是一种将函数的概念推广到更一般的对象上的数学工具。
传统的函数是将一个自变量映射到一个因变量的规则，而广义函数则可以将一个自变量映射到一个更一般的对象，如分布或测度。
广义函数的定义和性质在分析学、泛函分析、偏微分方程等领域中有着重要的应用。
广义函数的定义可以通过极限的概念来进行。
对于一个广义函数，我们可以通过一个序列或者一个函数列来逼近它。
当这个序列或者函数列收敛到一个有限的函数时，我们就可以说这个广义函数是可积的。
广义函数的积分运算是广义函数运算中的一个重要操作，它可以通过逼近的方法来定义。
广义函数的运算包括加法、乘法、导数等。
广义函数的加法运算可以通过逐点相加的方式进行。
对于两个广义函数f和g，它们的和f+g可以通过逐点相加的方式定义为(f+g)(x)=f(x)+g(x)。
广义函数的乘法运算可以通过逐点相乘的方式进行。
对于两个广义函数f和g，它们的乘积fg可以通过逐点相乘的方式定义为(fg)(x)=f(x)g(x)。
广义函数的导数运算可以通过逐点求导的方式进行。
对于一个广义函数f，它的导数f'可以通过逐点求导的方式定义为f'(x)=lim┬(h→0)〖(f(x+h)-f(x))/h〗。
广义函数在数学和物理学中有着广泛的应用。
在分析学中，广义函数可以用来描述一些不连续或者不可导的函数。
在泛函分析中，广义函数可以用来描述一些非线性算子的性质。
在偏微分方程中，广义函数可以用来描述一些奇异解的性质。
在物理学中，广义函数可以用来描述一些物理量的分布或者测度。
为了帮助读者更好地理解广义函数及其运算，我们提供了一份相关的pdf资料。
这份资料包括广义函数的定义、性质以及一些典型的例子和应用。
广义积分的几个计算公式
广义积分的几个计算公式广义积分是指将拓展由单变量积分发展而来并用于多变量积分和有限元积分的变体，以帮助解决由分段函数和更宽泛形式的函数定义的积分问题。
其计算的公式如下：1.单变量积分：对于一元函数f（x），它的定积分为∫f (x) dx, 其结果为[ F(x ) + C], 其中C为常数，F(x)为原函数f (x )的积分函数。
2.多变量积分：对于二元函数f (x, y)，根据变量分别求积分，即∫f (x, y)d x∫f (x, y)d y, 其结果为[ F(x , y） + C], 其中C为常数，F(x , y)为原函数f (x , y )的积分函数。
3.向量积分：对于M元函数f（x1，x2，…，xM），将它视为一个向量，其积分可求为∫ ∫…∫f (x1，x2，…，xM) dx1dx2…dxM , 其结果为[ F(x1，x2，…，xM ) + C]，其中C为常数，F(x1，x2，…，xM )为原函数f (x1，x2，…，xM )的积分函数。
4.曲面积分：对于曲面f (x, y, z)，其积分可求为∫∫f (x，y，z) da, 其结果为[F (x，y，z) + C]，其中C为常数，F (x，y，z)为原函数f (x，y，z)的积分函数。
5.对象积分：用于计算实体表面和体积之间关系的积分，是为求解几何学问题而出现的，其积分形式为∫∫∫f (x，y，z) d v, 其结果为[F (x，y，z) + C]，其中C为常数，F (x，y，z)为原函数f (x，y，z)的积分函数。
综上所述，广义积分分为单变量积分、多变量积分、向量积分、曲面积分和对象积分等模式，它的计算公式均为[F ( x , y, ... , z )+C]，其中C为常数、[F ( x , y, ... , z )]为原函数f ( x , y, ... , z )的积分函数。
它可用于计算傅立叶级数和拉普拉斯积分等积分问题。
综上所述，可以看出，广义积分具有很好的应用价值，可以帮助解决很多积分问题。
广义函数与Sobolev空间
§3.1基本解
§3.2椭圆方程
第四章整数阶Sobolev空间（10学时）
§4.1连续函数空间与 空间
§4.2整数阶Sobolev空间的定义与基本性质
§4.3对偶空间与负整数阶Sobolev空间
§4.4用光滑函数逼近 中的元素
§4.5延拓定理、导数的内插定理
第五章嵌入定理（8学时）
学分：4
先修课程要求：实变函数，泛函分析
课程组教师姓名
职称
专业
年龄
学术专长
张显文
教授
应用数学
49
非线性偏微分方程
段志文
副教授
应用数学
47
非线性偏微分方程
魏金波
讲师
应用数学
33
非线性偏微分方程
课程教学目标：
本课程是为基础数学，应用数学，计算数学和概率论等专业相关研究方向的研究生开设的基础课.其目的是让研究生掌握广义函数与Sobolev空间的基本知识,为以后学习非线性发展方程、反应扩散方程、无穷维动力系统等偏微分方程课程以及进行相关方向的科学研究奠定坚实的理论基础。
§5.1Gagliardo-Nirenberg-Sobolev不等式
§5.2Morrey不等式
§5.3一般的Sobolev嵌入定理
§5.4Rellich-Kondrachov紧嵌入定理
§5.5迹嵌入定理
第六章实数阶Sobolev空间 （10学时）
§6.1空间 的基本性质
§6.2 的嵌入定理、内插定理与等价范数
[3]L.Hörmander.《The Analysis of Linear Partial Differential Operator》I.distribution theory and fourier analysis,Berlin：Springer, 2003.
函数的加减乘除运算
函数的加减乘除运算在数学中，函数是一个非常重要的概念。
函数可以做各种各样的运算，包括加法、减法、乘法和除法。
本文将详细介绍函数的加减乘除运算。
一、函数的定义函数是一种映射关系，它把一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素。
在数学中，函数通常表示为f(x)，其中x是函数的自变量，f(x)是函数对应的因变量。
二、函数的加法运算在函数的加法运算中，我们将两个函数相加得到一个新的函数。
具体来说，如果有两个函数f(x)和g(x)，它们的和函数可以表示为h(x) = f(x) + g(x)。
三、函数的减法运算函数的减法运算与加法运算类似，它也是将两个函数相减得到一个新的函数。
如果有函数f(x)和g(x)，它们的差函数可以表示为h(x) = f(x) - g(x)。
四、函数的乘法运算函数的乘法运算是指将两个函数相乘得到一个新的函数。
如果有函数f(x)和g(x)，它们的乘积函数可以表示为h(x) = f(x) * g(x)。
五、函数的除法运算在函数的除法运算中，我们将一个函数除以另一个函数得到一个新的函数。
具体来说，如果有函数f(x)和g(x)，它们的商函数可以表示为h(x) = f(x) / g(x)，其中g(x)不等于零。
在进行函数的加减乘除运算时，需要注意以下几点：1. 函数的定义域：函数的定义域是指自变量的取值范围。
在进行加减乘除运算前，需要确保两个函数具有相同的定义域，以保证运算的有效性。
2. 运算法则：函数的加减乘除运算遵循相应的数学法则。
例如，加法和乘法满足交换律和结合律，减法和除法则不满足。
3. 特殊情况：在进行函数的除法运算时，需要注意除数不等于零的条件。
如果除数为零，那么函数的除法运算将无法进行。
总结：函数的加减乘除运算是数学中常见的运算方式。
通过对函数进行加法、减法、乘法和除法运算，可以得到新的函数。
在进行这些运算时，需要注意函数的定义域和运算法则，以保证运算的有效性和准确性。
通过以上对函数的加减乘除运算的介绍，相信读者对这一概念有了更加全面的了解。
微积分中的广义函数初步介绍
微积分中的广义函数初步介绍微积分是数学的一个分支，它研究的是连续变化的现象。
它对于科学和工程学科都非常重要。
微积分有很多重要的概念，其中广义函数就是其中之一。
本文将对初步的广义函数概念进行介绍。
一、广义函数的定义通俗地说，广义函数既不是函数也不是数，但它在微积分中有着非常重要的作用。
广义函数是一种分布，它是指一个能够将一些测试函数映射成一个实数的线性函数。
其中，测试函数是指一类光滑函数，这类函数在实数轴上连续并且无限可微。
广义函数可以表示离散函数和连续函数，而且它可以表示出在普通意义下没有定义的函数，比如狄利克雷函数和步函数。
广义函数在微积分和物理学中都有非常重要的应用，因为它能够更加准确地描述相对论和量子力学中的物理现象。
二、广义函数的性质广义函数具有以下性质：1. 线性性质：广义函数满足线性运算的法则。
2. 对称性：如果广义函数满足一个条件，并且能够交换自变量和因变量，那么这个函数就是对称的。
3. 扩展性：如果广义函数满足一个条件，并且能够扩大或缩小，那么这个函数就是可扩展的。
4. 连续性：广义函数的值随着自变量的变化而连续。
5. 局部性：广义函数的值只与测试函数在某个局部部分有关。
三、广义函数的应用广义函数在微积分和物理学中有着非常广泛的应用。
在微积分中，广义函数可以用来描述某个物体的质量分布、电荷分布以及密度分布等。
在物理学中，广义函数则可以用来描述量子力学中的波动函数以及相对论中的坐标变换。
广义函数还可以应用于信号处理中。
在信号处理中，广义函数可以用来平滑信号、去除噪声以及提取信号中的特征。
四、结论综上所述，广义函数是微积分中非常重要的一个概念。
它可以帮助我们更加准确地描述物理现象，并且在信号处理领域中也具有广泛的应用。
虽然广义函数的定义相对比较复杂，但是它在实际应用中具有非常重要的作用。
广义二次项定理
广义二次项定理广义二次项定理（General Quadratic Formula）是指对于任意形如 $ax^2+bx+c=0$ 的二次方程，通过特定的推导和变换，可以得到它的通解。
这个定理在高中数学中被广泛地使用，并且在实际问题中具有重要的应用。
首先，让我们回顾一下一元二次方程的解法。
对于普通的二次方程，我们可以通过使用配方法（或称为乘法逆运算）计算出$x$的解。
配方法的基本思想是将二次方程展开为两个一次项的乘积，然后利用因式分解的方法求出解。
具体做法如下：假设有一个一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$ （其中$a ≠ 0$），我们可以通过乘法逆运算来配方，即乘以一个适当的因子。
为了让方程的两个一次项具有相同的系数，我们可以乘以$4a$ （$a ≠ 0$），这样我们就得到了：$4a^2x^2+4abx+4ac=0$然后，我们将上述等式两边加上 $b^2$：$4a^2x^2+4abx+b^2+4ac-b^2=0$接下来，我们可以将上述等式进行拆分：$4a^2x^2+4abx+b^2-4ac+b^2=0$再进一步，我们可以通过合并同类项来简化方程：$4a^2x^2+4abx+2b^2-4ac=0$考虑到 $2b^2$ 可以写成 $b^2$ 的形式，我们可以将方程进一步改写为：$4a^2x^2+4abx+b^2-(4b^2-4ac)=0$现在，我们可以将括号中的部分化简成一个完全平方的形式。
通过分别提取 $a^2$ 和 $a$ 作为因子，我们可以将括号仅含有$b$ 相同项进行拆分。
最终，我们得到：$(2ax+b)^2-(4b^2-4ac)=0$接下来，我们可以移项并进行化简，得到：$(2ax+b)^2=4a(c-b^2/a)$然后，我们对方程两边开根号，得到一个去括号的表达式：$2ax+b=\pm \sqrt{4a(c-b^2/a)}$最后，通过移项，我们可以得到解的表达式：$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$这就是我们熟悉的一元二次方程的解法，也被称为普通二次项定理。
2-4分配函数
系列冲激函数的叠加， 系列冲激函数的叠加，强度为 1/ f ′(ti )
∫
+∞
−∞
δ (−t )ϕ (t )dt
+∞
µ =− t
= ∫
−∞
+∞
δ ( µ )ϕ (− µ )d (−u )
+∞ −∞
= ∫ δ ( µ )ϕ ( − µ ) du = ϕ ( −0) = ϕ (0) = ∫ δ (t )ϕ (t )dt
−∞
1 尺度： ④尺度：δ (at ) = δ (t ), (a ≠ 0) a
+ ε sin kt + ε sin kt sin kt lim ∫ ϕ (t )dt = lim ∫ ϕ (t )dt ≈ lim ϕ (0) ∫ dt −∞ −ε −ε k →∞ k →∞ k →∞ πt πt πt + k ε sin x ϕ (0) ϕ (0) +∞ sin x x = kt lim ∫ dx = ∫−∞ x dx = ϕ (0) π k →∞ − kε x π +∞
信号与系统— 信号与系统—signals and systems
证明： 区间单独考虑 ε 证明： t=0区间单独考虑， 为任意一个正数 区间单独考虑，
函数的四则运算
函数的四则运算函数的四则运算：设A ，B 是非空数集，且A ∩B ≠有两个函数f ：A →R ，g ：B →R ，函数f 与g 的和f ＋g ，差f －g ，积f ·g ，商g f分别定义为：（f ＋g ）（x ）＝f （x ）＋g （x ），x ∈A ∩B ；（f －g ）（x ）＝f （x ）－g （x ），x ∈A ∩B ；（f ·g ）（x ）＝f （x ）·g （x ），x ∈A ∩B ；)()()(x g x f x g f =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛，x ∈A ∩B －｛x |g （x ）＝0｝．函数的运算是构造新函数的一种重要的方法．在这里，可以提及一下运算．运算贯穿于中学数学的全过程，而且导致了代数结构思想的形成．代数结构是数学结构中的母结构之一，另两种结构是序结构和拓扑结构．从集合论的观点来看，运算是一种映射．设集合A 、B 、C ，把一个从A ×B →C 的映射叫做A ×B 到C 的一个代数运算或二元运算．例如，实数的加、减、乘是R 上的代数运算，除法是R ×M （M ＝R ／0）到R 的代数运算．了解了上述知识后，请同学们思考这样的问题：函数y ＝f （x ）＋g （x ）的图像与y ＝f （x ），y ＝g （x ）的图像有怎样的关系呢？可以通过以下的例子予以说明．设f （x ）＝x ，x x g 2)(=，F （x ）＝f （x ）＋g （x ），请同学们试试利用y＝f （x ）及y ＝g （x ）的图像画出y ＝F （x ）的图像．参考答案f （x ）＝x 的定义域D 1＝R ，g （x ）＝x 2的定义域D 2＝（－∞，0）∪（0，＋∞），故F （x ）的定义域Ｄ＝D 1∩D 2＝（－∞，0）∪（0，＋∞）．F （x ）＝x ＋,x 2x ∈（－∞，0）∪（0，＋∞）．过x 轴上不同于原点O 的任意点P （p ，0），作垂直于x 轴的直线l 交y ＝f（x ）的图像于点A （p ，p ），交y ＝g （x ）的图像于点B （p ，p 2），即PA ＝y A ＝p ，PB ＝y B ＝.p 2在l 上取点C ，使AC ＝PB ，于是PC ＝PA ＋AC ＝PA ＋PB ＝p ＋p 2，即点C 是y ＝F （x ）的图像上的点．取一定数量的点P ，就能得到一定数量的点C ，然后用描点法即可做出y＝F（x）的图像（如答案图1.2－1中的实线所示）．。
函数的四则运算
函数的四则运算函数是数学中的重要概念，用来描述输入和输出之间的关系。
函数可以进行四则运算，包括加法、减法、乘法和除法。
在本文中，我们将探讨函数的四则运算，并介绍每种运算的定义和性质。
加法运算：设有两个函数f(x)和g(x)，它们的加法运算定义为f(x) + g(x)，表示将f(x)和g(x)的值在相同的自变量x处相加得到的新函数。
例如，若f(x) = x^2，g(x) = 2x，则f(x) + g(x) = x^2 + 2x。
加法运算满足交换律和结合律，即对任意的函数f(x)，g(x)，h(x)，成立(f(x) + g(x)) + h(x) = f(x) + (g(x) + h(x))。
减法运算：减法运算与加法运算类似，定义为f(x) - g(x)，表示将f(x)和g(x)的值在相同的自变量x处相减得到的新函数。
例如，若f(x)= x^2，g(x) = 2x，则f(x) - g(x) = x^2 - 2x。
减法运算满足减法的逆元素，即对任意的函数f(x)，存在一个函数-g(x)，使得f(x) + (-g(x)) = f(x) -g(x) = 0。
乘法运算：乘法运算定义为f(x) * g(x)，表示将f(x)和g(x)的值在相同的自变量x处相乘得到的新函数。
例如，若f(x) = x^2，g(x) = 2x，则f(x) * g(x) = x^2 * 2x = 2x^3。
乘法运算满足交换律和结合律，即对任意的函数f(x)，g(x)，h(x)，成立(f(x) * g(x)) * h(x) = f(x) * (g(x) *h(x))。
除法运算：除法运算定义为f(x) / g(x)，表示将f(x)和g(x)的值在相同的自变量x处相除得到的新函数。
但需要注意的是，在除法运算中，分母不能为零，即g(x) ≠ 0。
例如，若f(x) = x^2，g(x) = 2x，则f(x) /g(x) = x^2 / 2x = x/2。
泛函分析第6章广义函数与Sobolev空间简介
第六章广义函数与Sobolev空间简介函数是经典分析中的基本概念之一，然而这样的一个基本概念，在近代科学技术的发展中逐渐不够用了。
下面用几个例子加以说明。
例6.1（脉冲） 20世纪初，Heaviside在解电路方程时，提出了一种运算方法，称之为算子演算。
这套算法要求对如下函数求导数，并把导数记为。
但按照经典分析的理论，并不可导，因此不可能是普通意义下的函数，它除了作为一个记号进行形式演算外，在数学上是没有意义的。
但是，这个在实际中是没有意义的，又代表一种理想化的“瞬时”单位脉冲。
例6.2（Dirac符号）在微观世界中，把可观测到物质的状态用波函数来描述，最简单的波函数具有形式，是实参数，并考虑如下形式的积分这种积分按Cauchy积分来定义，即显然，这个极限在普通意义下不存在。
然而，物理学家认为这个极限是前面所提到的，并认为是Dirac符号。
特别，在量子力学中，进一步发展了不少关于的运算法则，并广泛地使用。
例6.3（广义微分）在数学本身的发展中，也时常要求冲破经典分析中对一些基本运算使用范围所加的限制。
20世纪30年代，Sobolev为了确定微分方程的存在性和惟一性问题，通过分部积分公式，推广了函数可微性的概念，建立了广义微商理论，形成了以他的名字命名的Sobolev空间理论。
这标志着现代微分方程理论的诞生。
基于上述原因，扩充函数概念，为广义函数寻找坚实的数学基础，对数学家提出了新的挑战。
20世纪40年代，Schwartz完成了这一艰巨的任务，创立了广义函数的系统理论，并因此于1950年获得数学最高奖——菲尔兹奖。
6.1 基本函数空间与广义函数6.1.1基本函数空间把普通函数视为某类函数空间上的线性泛函是推广函数概念的一条行之有效的途径。
广义函数正是定义在一类性质很好的函数空间上的线性泛函。
这类函数空间称为基本函数空间。
在引进基本函数空间之前，先介绍一些记号和术语。
对于欧氏空间表示中的点，范数。
设为个非负整数，有序数组称为多重指标。
数学分析(第三册)目录
数学分析讲义目录第一册第1章集合与映射1.1 集合1.2 集合运算及几个逻辑符号1.3 映射1.4 映射的乘积(或复合)1.5 可数集1.6 习题1.7 补充教材一：关于自然数集合N1.8 补充教材二：基数的比较1.9 补充习题进一步阅读的参考文献第2章实数与复数2.1 实数的四则运算2.2 实数的大小次序2.3 实数域的完备性2.4 复数2.5 习题2.6 补充教材一：整数环z与有理数域Q的构筑2.7 补充教材二：实数域R的构筑进一步阅读的参考文献第3章极限3.1 序列的极限3.2 序列极限的存在条件3.3 级数3.4 正项级数收敛性的判别法3.5 幂级数3.6 函数的极限3.7 习题进一步阅读的参考文献第4章连续函数类和其他函数类4.1 连续函数的定义及其局部性质4.2 (有界)闭区间上连续函数的整体性质4.3 单调连续函数及其反函数4.4 函数列的一致收敛性4.5 习题4.6 补充教材：半连续函数及阶梯函数进一步阅读的参考文献第5章一元微分学5.1 导数和微分5.2 导数与微分的运算规则5.3 可微函数的整体性质及其应用5.4 高阶导数，高阶微分及Taylor公式5.5 Taylor级数5.6 凸函数5.7 几个常用的不等式5.8 习题5.9 补充教材一：关于可微函数的整体性质5.10 补充教材二：一维线性振动的数学表述5.10.1 谐振子5.10.2 阻尼振动5.10.3 强迫振动进一步阅读的参考文献第6章一元函数的Riemann积分6.1 Riemann积分的定义6.2 Riemann积分的简单性质6.3 微积分学基本定理6.4 积分的计算6.5 有理函数的积分6.6 可以化为有理函数积分的积分6.6.1 R(x,根号(αx+β)/(γx+δ))的积分6.6.2 R(x,根号ax2+bx+c)的积分6.6.3 R(sinx,cosx)的积分6.7 反常积分6.8 积分在几何学，力学与物理学中的应用6.8.1 定向区间的可加函数6.8.2 曲线的弧长6.8.3 功6.9 习题6.10 补充教材一：关于Newton—Leibniz公式成立的条件6.11 补充教材二：Stieltje8积分6.12 补充教材三：单摆的平面运动和椭圆函数6.12.1 一维的非线性振动的例：单摆的平面运动6.12.2 描述单摆平面运动的椭圆函数6.13 补充教材四：上、下积分的定义进一步阅读的参考文献参考文献名词索引第二册第7章点集拓扑初步7.1 拓扑空间7.2 连续映射7.3 度量空间7.4 拓扑子空间，拓扑空间的积和拓扑空间的商7.5 完备度量空间7.6 紧空间7.7 Stone-Weierstrass逼近定理7.8 连通空间7.9 习题7.10 补充教材：Urysohn引理进一步阅读的参考文献第8章多元微分学8.1 微分和导数8.2 中值定理8.3 方向导数和偏导数8.4 高阶偏导数与T aylor公式8.5 反函数定理与隐函数定理8.6 单位分解8.7 一次微分形式与线积分8.7.1 一次微分形式与它的回拉8.7.2 一次微分形式的线积分8.8 习题8.9 补充教材一：线性赋范空间上的微分学及变分法初步8.9.1 线性赋范空间上的重线性映射8.9.2 连续重线性映射空间8.9.3 映射的微分8.9.4 有限增量定理8.9.5 映射的偏导数8.9.6 高阶导数8.9.7 Taylor公式8.9.8 变分法初步8.9.9 无限维空间的隐函数定理8.10 补充教材二：经典力学中的Hamilton原理8.10.1 Lagrange方程组和最小作用量原理8.10.2 Hamilton方程组和Hamiltom原理进一步阅读的参考文献第9章测度9.1 可加集函数9.2 集函数的可数可加性9.3 外测度9.4 构造测度9.5 度量外测度9.6 Lebesgue不可测集的存在性9.7 习题进一步阅读的参考文献第10章积分10.1 可测函数10.2 积分的定义及其初等性质10.3 积分号与极限号的交换10.4 Lebesgue积分与Riemann积分的比较10.5 Futfini-ronelli定理10.6 Jacobi矩阵与换元公式10.7 Lebesgue函数空间10.7.1 LP空间的定义10.7.2 LP空间的完备性10.7.3 Hanner不等式10.7.4 LP的对偶空间10.7.5 Radon-Nikodym定理10.7.6 Hilbert空间10.7.7 关于微积分学基本定理10.8 二次微分形式的面积分10.8.1 一次微分形式的外微分10.8.2 二次微分形式和平面的定向10.8.3 二次微分形式的回拉和积分10.8.4 三维空间的二次微分形式10.8.5 平面上的Green公式10.9 习题进一步阅读的参考文献参考文献名词索引第三册第11章调和分析初步和相关课题11.1 Fourier级数11.2 Fourier变换的L1-理论11.3 Hermite函数11.4 Fourier变换的L2-理论11.5 习题11.6 补充教材一：局部紧度量空间上的积分理论11.6.1 C0(M)上的正线性泛函11.6.2 可积列空间L111.6.3 局部紧度量空间上的外测度11.6.4 列空间L1中的元素的实现11.6.5 l-可积集11.6.6 积分与正线性泛函的关系11.6.7 Radon泛函与Jordan分解定理11.6.8 Riesz-Kakutani表示定理11.6.9 概率分布的特征函数11.7 补充教材二：广义函数的初步介绍11.7.1 广义函数的定义和例11.7.2 广义函数的运算11.7.3 广义函数的局部性质11.7.4 广义函数的Fourier变换11.7.5 广义函数在偏微分方程理论上的应用11.8 补充习题进一步阅读的参考文献第12章复分析初步12.1 两个微分算子和两个复值的一次微分形式12.2 全纯函数12.3 留数与Cauchy积分公式12.4 Taylor公式和奇点的性质12.5 多值映射和用回路积分计算定积分12.6 复平面上的Taylor级数和Laurent级数12.7 全纯函数与二元调和函数12.8 复平面上的Г函数12.9 习题进一步阅读的参考文献第13章欧氏空间中的微分流形13.1 欧氏空间中微分流形的定义13.2 构筑流形的两个方法13.3 切空间13.4 定向13.5 约束条件下的极值问题13.6 习题进一步阅读的参考文献第14章重线性代数14.1 向量与张量14.2 交替张量14.3 外积14.4 坐标变换14.5 习题进一步阅读的参考文献第15章微分形式15.1 Rn上的张量场与微分形式15.2 外微分算子15.3 外微分算子与经典场论中的三个微分算子15.4 回拉15.5 Poincare引理15.6 流形上的张量场15.7 Rn的开集上微分形式的积分15.8 习题进一步阅读的参考文献第16章欧氏空间中的流形上的积分16.1 流形的可定向与微分形式16.2 流形上微分形式的积分16.3 流形上函数的积分16.4 Gauss散度定理及它的应用16.5 调和函数16.6 习题16.7 补充教材一：Maxwell电磁理论初步介绍16.8 补充教材二：Hodge星算子16.9 补充教材三：Maxwell电磁理论的微分形式表示进一步阅读的参考文献结束语进一步阅读的参考文献参考文献关于以上所列参考文献的说明名词索引。
第十三讲 广义函数的运算
问题界的唯一性得到，非常巧妙。
(i)
.令
,则
,可见 是
Cauchy 问题 得
的解.对 ,注意到
作 Fourier 变换 ,所以 也
是 Cauchy 问题
的解,由唯一性的
.
(ii)
例2
证明
.
例3 证明
.由 续性力的结果. 例４ 特别的 证明
及 的连
.
定理 (i)
(ii)
证明 (i)经典 Fourier 变换中的 Fourier 积分定理.
变换算子 的逆算子。
命题 3
证明 计算
上的 Fourier 变换
定义 1 称
的共轭算子
为 上的 Fourier 变换，仍
记为 （由命题 3 知该记法是方便的）。
的共轭算子
为 上的 Fourier 逆变换，仍记为 。
性质 1
证明
性质 2
证明
。 性质 3 证明
.
性质 4
，即
，
，
证
明
。
例1
证明 思路：先证 1 维，用变量分离积分推广到高维。1 维时通过 Cauchy
也是
线性连续算子.
稠密 单。
例1
是一个线性连续算子.
例2
是一个线性连续算
子
广义函数的微商
定义 1 称
为 阶广义微商运算,即
,
性质 1 对 证明
. 评注：广义函数微商定义公式是分部积分公式的推广. 性质 2 广义函数对微商运算是封闭的,任何局部可积函数都存在任意 次广义导数. 引述：The space of distributions is essentially the smallest extension of
课程编号 002201 课程中文名称 实变函数论 48学时 2学分
课程编号 002201 课程中文名称实变函数论48学时/ 2学分英文译名：Real Variable Functions适用领域：数学、力学、计算机、控制理论等开课单位：理学院任课教师：杨海欧教学目的：把现代分析学中的要点测度论与积分学介绍给博士生，这些内容是现代分析数学的基础，是深入研究微分方程、泛函分析、概率等内容不可或缺的工具。
目的是让学生接受严格的数学思维训练，引导学生掌握这些知识并使他们可以阅读理解当代文献预备知识或先修课程要求：微积分（数学分析）、线性代数、偏微分方程（数学物理方程）、概率论与数理统计教学方式及学时分配：课堂授课40学时，讨论8学时教学主要内容以及对学生的要求：第一章集合与势1.理解集合的概念2.会进行集合运算3.理解对等与基概念4.理解（不）可列集概念，了解常见（不）可列集5.掌握实数定理，了解开、闭集关系与康托集第二章勒贝格测度1．理解内外测度的概念，掌握其性质2. 理解可测集概念，掌握可测集性质3．了解无界可测集第三章勒贝格可测函数1. 理解可测函数的概念，掌握可测函数的性质2. 理解叶果洛夫定理，并会运用它3. 掌握函数列的收敛性4．了解可测集的构造5. 理解鲁津定理，法都定理并会运用6. 掌握几乎处处收敛、依测度收敛和近一致收敛的概念和相关结论第四章勒贝格积分1. 了解黎曼积分的概念2. 理解勒贝格积分的概念，了解性质与黎曼积分的关系3 理解一般可积函数概念，了解它们的性质4. 理解积分的极限定理，并会运用5. 了解勒贝格积分的几何意义，理解Fubini定理6. 了解有界变差函数的概念及性质7. 了解斯蒂阶积分的概念8. 了解勒贝格-斯蒂阶积分的概念9. 掌握R积分与L积分的区别内容摘要：自从20世纪初Lebesgue在Borel测度基础上建立了Lebesgue测度和Lebesgue积分以来，在数学的许多领域中，如在实分析、复分析、调和分析、泛函分析、微分方程、及偏微分方程中，都产生了极大影响，它还有助于概率理论的建立，对于上世纪末才发展的分形几何也起着引导作用。
函数的四则运算与复合运算
函数的四则运算与复合运算函数的四则运算与复合运算函数是数学中非常重要的概念，它是将某个数集中的每个元素映射到另一个数集中的元素。
在实际应用中，我们经常需要对函数进行一些四则运算和复合运算，本文将对这两个概念进行详细的介绍。
一、函数的四则运算函数的四则运算实际上是对函数进行加减乘除等基本运算，例如：1. 函数的加法：假设有函数f(x)和g(x)，则它们的和是指两个函数相应值相加的函数，即：(f+g)(x) = f(x) + g(x)例如，f(x) = 2x + 1, g(x) = -x + 3，则(f+g)(x) = f(x) + g(x) = 2x + 1 + (-x + 3) = x + 4。
2. 函数的减法：函数的减法指的是取两个函数相减得到的函数，即：(f-g)(x) = f(x) - g(x)例如，f(x) = 2x + 1, g(x) = -x + 3，则(f-g)(x) = f(x) - g(x) = 2x + 1 - (-x + 3) = 3x - 2。
3. 函数的乘法：函数的乘法指的是取两个函数相乘得到的函数，即：(f×g)(x) = f(x) × g(x)例如，f(x) = 2x + 1, g(x) = -x + 3，则(f×g)(x) = f(x) × g(x) = (2x + 1) × (-x + 3) = -2x² + 5x + 3。
4. 函数的除法：函数的除法并不像普通除法一样单纯的做除法，而是要用一个另外的函数来表示。
我们定义一个函数h(x)使得h(x) = g(x)，并且g(x)不等于0，那么f(x)/g(x)可以表示为f(x)×[1/h(x)]，即：[f/g](x) =f(x)×[1/h(x)]例如，f(x) = 2x + 1, g(x) = -x + 3，则[g/h](x) = g(x)×[1/h(x)] = (-x + 3)×[1/(-x + 3)] = 1，因此[f/g](x) = f(x)×[1/g(x)] = (2x + 1)×[1/(-x +3)]。
广义笛卡尔积运算举例
广义笛卡尔积运算举例
嘿，朋友们！今天咱来聊聊广义笛卡尔积运算。
这玩意儿听起来是不是超级高大上，感觉很复杂？哈哈，别担心，听我慢慢跟你说道说道。
比如说啊，咱有两个集合，一个是水果集合，里面有苹果、香蕉、橙子，另一个呢是颜色集合，有红色、绿色、黄色。
那广义笛卡尔积运算就是把这两个集合里的元素两两组合起来！哇哦，你能想象出来有多少种组合吗？可不是简单的几个哦！
就好像苹果可以和红色、绿色、黄色分别组合，香蕉也能和这几种颜色组合，橙子也是一样啊！这就像搭积木一样，一块一块地堆起来，创造出各种不同的可能性。
再打个比方，咱有个班级集合，里面有男生和女生，然后有个兴趣爱好集合，有唱歌、跳舞、画画。
那广义笛卡尔积运算一下，不就知道班级里每个人和每种兴趣爱好的组合情况啦！这多有趣啊！
“哎呀，这广义笛卡尔积运算也没那么难嘛！”是不是有这种感觉啦？它真的就像一个神奇的魔法，能把看似不相关的东西巧妙地组合在一起，给
我们带来意想不到的惊喜或者惊讶呢！就像我们生活中，不同的人和事交织在一起，会产生各种奇妙的化学反应一样。
所以啊，广义笛卡尔积运算可别小看它哦！它在很多领域都有重要的作用呢，比如在数据库里帮助我们处理大量的数据，找到各种奇妙的关联。
总之，广义笛卡尔积运算就是这么个好玩的、有用的东西，能让我们看到更多的可能性，发现更多的奇妙之处！怎么样，你喜欢上它了吧！。
初三数学函数的运算规则
初三数学函数的运算规则函数是数学中的重要概念，它描述了两个变量之间的关系。
在初三数学学习中，函数的运算规则是一个关键点，它可以帮助我们进行函数的加减乘除和复合运算。
本文将介绍初三数学函数的运算规则，以帮助学生更好地掌握这一知识点。
一、函数的加法和减法运算规则1. 函数的加法运算当有两个函数f(x)和g(x)时，它们的加法运算可以表示为：(f+g)(x) = f(x) + g(x)。
例如，如果有函数f(x) = 2x和g(x) = 3x，那么它们的和函数为：(f+g)(x) = f(x) + g(x) = 2x + 3x = 5x。
这个规则表示了函数的加法运算，它可以将两个函数的值相加得到新的函数。
2. 函数的减法运算函数的减法运算与加法运算类似，只是将相加改为相减。
当有两个函数f(x)和g(x)时，它们的减法运算可以表示为：(f-g)(x) = f(x) - g(x)。
例如，如果有函数f(x) = 2x和g(x) = x，那么它们的差函数为：(f-g)(x) = f(x) - g(x) = 2x - x = x。
这个规则表示了函数的减法运算，它可以将两个函数的值相减得到新的函数。
二、函数的乘法和除法运算规则1. 函数的乘法运算当有两个函数f(x)和g(x)时，它们的乘法运算可以表示为：(f×g)(x) = f(x) × g(x)。
例如，如果有函数f(x) = 2x和g(x) = x，那么它们的积函数为：(f×g)(x) = f(x) × g(x) = 2x × x = 2x^2。
这个规则表示了函数的乘法运算，它可以将两个函数的值相乘得到新的函数。
2. 函数的除法运算函数的除法运算与乘法运算类似，只是将相乘改为相除。
当有两个函数f(x)和g(x)时，它们的除法运算可以表示为：(f÷g)(x) = f(x) ÷ g(x)。
例如，如果有函数f(x) = 2x和g(x) = x，那么它们的商函数为：(f÷g)(x) = f(x) ÷ g(x) = 2x ÷ x = 2。
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References
❖ Walter.Appel,Mathematics for physics and physicists,Princeton University P)(1/ r) 1/ r( f (r))• dS
1/ rf (r)dV 1/ r, ( f (r))
(
f
(r))
1 r2
d dr
(r 2
df ) dr
1/ r, f (r) 4f (0) 4 , f
1/ r 4
进一步应用
❖ 定义函数间断点导数：用分布描述场 ❖ 卷积代数：微分方程的格林函数法 ❖ ……
v 正规函数：在任意有限区间上积分总存在
其对应的广义函数定义如下：
T ( f ) T , f : T (x) f (x)dx
v 类似于正规函数，对任意广义函数，都用
记号：T ( f ) T ,
f
: T (x) f (x)dx
T ( x)
但对一般的广义函数，
仅是一个记号，并
运算：对变量操作
T , f T (x) f (x)dx T (x) f (x)dx T , f
将其推广到一般的广义函数上
H 经, f典例子 ：H , f
H (x) f (x)dx
f (0)
0
H
经典例子
v 库伦势的Laplacian
1/ r, f (r) (1/ r) f (r)dV (1/ r) f (r) • dS (1/ r) • ( f (r))dV
Outline
v 背景：点源电荷 v 问题抽象 v 广义函数的引入 v 广义函数的运算：变量操作，导数 v 经典例子：阶跃函数导数
1/ r
的Laplacian
背景
v 对于点源电荷，其电荷密度：
❖仅在一点上有值，且为无穷大 ❖积分为有限值
问题抽象
• 非经典意义函数
• 通过积分与函数作用：函数空间上的线性 函数
• 被作用的函数一般在有限区域取值：场是
Definition
• 广义函数是定义在测试函数空间 (Rn)上的连续线 性函数： T : (Rn ) R / C
• 测试函数：光滑、在有限区域上定义的函数 • 广义函数通过积分作用在测试函数上，更近似于一种
算符 • 其集合构成 测试函数空间 的对偶空间
Example
v 对正规函数变量操作：平移、对称、放缩
T (x a)、T (x)、T (ax)
其对应的分布如何变化？
Ta , f
T (x a) f (x)dx
T (x)
f
(x
a)dx
T,
fa
类似地，可得对称、放缩操作后的分布 将其推广到一般的广义函数上
运算：导数
v 对正规函数求导
T (x)
其对应的分布如何变化？