高三数学一轮复习每日一练8(解析版)
2022届高三数学一轮复习 第八章第八节课时知能训练 理
课时知能训练
一、选择题
1．2022·湛江调研以坐标轴为对称轴，原点为顶点且过圆2＋2－2＋6＋9＝0圆心的抛物线方程是
A．＝32或＝－32B．＝32
C．2＝－9或＝32 D．＝－32或2＝9
【解析】圆的标准方程为－12＋＋32＝1，故圆心坐标为1，－3，
设抛物线方程为2＝2
1求抛物线方程；
2过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．
【解】1抛物线2＝20,2，
∵F1,0，∴FA＝错误!
∵MN⊥FA，∴MN＝－错误!
则FA所在直线的方程为＝错误!－1．
MN所在直线的方程为－2＝－错误!
解方程组错误!，得错误!
∴N错误!，错误!．
10．给定抛物线C：2＝4，F是C的焦点，过点F的直线与C相交于A、B两点，O为坐标原点．
1设的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；
2若错误!，且错误!－错误!，0，记点A1，1，B2，2，
由错误!得2－4－4＝0，
∴Δ＝42－－16＝162＋1>0，
∴1＋2＝4，1·2＝－4
由错误!＝a错误!，得1＋错误!，1＝a－1,1－1，
∴a＝错误!＝－错误!，同理可得b＝－错误!，
∴a＋b＝－错误!＋错误!＝－2＋错误!＝－1，
∴对任意的直线，a＋b为定值－1。
高三数学一轮复习 第八章第8课时知能演练轻松闯关 新人教版
1．抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线y25－x24＝1的一个焦点重合，则该抛物线的标准方程可能是( )A ．x 2＝4yB ．x 2＝－4yC ．y 2＝－12xD ．x 2＝－12y解析：选D.由题意得c ＝5＋4＝3，∴抛物线的焦点坐标为(0,3)或(0，－3)，∴该抛物线的标准方程为x 2＝12y 或x 2＝－12y ，故选D.2．(2011·高考课标全国卷)已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A 、B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( ) A ．18 B ．24 C ．36 D ．48解析：选C.不妨设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，由于l 垂直于对称轴且过焦点，故直线l 的方程为x ＝p2.代入y 2＝2px 得y ＝±p ，即|AB |＝2p ，又|AB |＝12，故p ＝6，所以抛物线的准线方程为x ＝－3，故S △ABP ＝12×6×12＝36.3．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点A (2,2)，其焦点F 在x 轴上． (1)求抛物线C 的标准方程；(2)求过点F ，且与直线OA 垂直的直线的方程．解：(1)设抛物线C 的方程为y 2＝2px (p >0)，因为点A (2,2)在抛物线C 上，所以p ＝1，因此，抛物线C 的标准方程为y 2＝2x .(2)由(1)得焦点F 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，又直线OA 的斜率为22＝1，故与直线OA 垂直的直线的斜率为－1，因此，所求直线的方程是x ＋y －12＝0.一、选择题1．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4解析：选D.由已知得椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点为F (2,0)，∴p2＝2，得p ＝4.2．(2010·高考湖南卷)设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．12解析：选B.y 2＝8x 的焦点是F (2,0)， 准线x ＝－2，如图所示，|PA |＝4，|AB |＝2，∴|PB |＝|PF |＝6.故选B.3．已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是( )A ．y 2＝±22xB ．y 2＝±2xC ．y 2＝±4xD ．y 2＝±42x 解析：选D.因为双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0)．设抛物线方程为y 2＝±2px (p >0)， 则p2＝2，所以p ＝22， 所以抛物线方程为y 2＝±42x .4．已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (1，m )(m >0)到其焦点的距离为5，双曲线x 2a－y 2＝1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值是( )A.125B.19C.15D.13解析：选B.根据抛物线定义可得，抛物线的准线方程为x ＝－4，则抛物线方程为y 2＝16x . 把M (1，m )代入得m ＝4，即M (1,4)．在双曲线x 2a －y 2＝1中，A (－a ，0)，则k AM ＝41＋a ＝1a .解得a ＝19.5．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1,0)，过焦点F 的直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点，若直线l 的倾斜角为45°，则弦AB 的中点坐标为( ) A ．(1,0) B ．(2,2) C ．(3,2) D ．(2,4) 解析：选C.依题意得，抛物线C 的方程是y2＝4x ，直线l 的方程是y ＝x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4xy ＝x －1消去y 得(x －1)2＝4x ，即x 2－6x ＋1＝0，因此线段AB 的中点的横坐标是62＝3，纵坐标是y＝3－1＝2，所以线段AB 的中点坐标是(3,2)，因此选C. 二、填空题6．已知抛物线y 2＝4x 上一点M 与该抛物线的焦点F 的距离|MF |＝4，则点M 的横坐标x ＝________.解析：抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线为x ＝－1.根据抛物线的定义，点M 到准线的距离为4，则M 的横坐标为3. 答案：37．(2012·开封质检)已知抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的焦点为F ，准线l 与对称轴交于R 点，过已知抛物线上一点P (1,2)作PQ ⊥l 于Q ，则(1)抛物线的焦点坐标是________；(2)梯形PQRF 的面积是________．解析：代入(1,2)得a ＝2，所以抛物线方程为x 2＝12y ，故焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18.又R ⎝⎛⎭⎪⎫0，－18，|FR |＝14，|PQ |＝2＋18＝178， 所以梯形的面积为12×⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋178×1＝1916.答案：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18 (2)1916 8．已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时，测量水面的宽度为8米，当水面上升12米后，水面的宽度是________米．解析：设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，将(4，－2)代入方程得16＝－2p ·(－2)，解得2p ＝8，故方程为x 2＝－8y ，水面上升12米，则y ＝－32，代入方程，得x 2＝－8·(－32)＝12，x ＝±2 3.故水面宽4 3 米．答案：4 3 三、解答题9．抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为(32，6)，求抛物线与双曲线的方程．解：由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点， ∴p ＝2c .设抛物线方程为y 2＝4c ·x ，∵抛物线过点(32，6)，∴6＝4c ·32，∴c ＝1，故抛物线方程为y 2＝4x .又双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1过点(32，6)，∴94a 2－6b 2＝1.又a 2＋b 2＝c 2＝1， ∴94a 2－61－a2＝1. ∴a 2＝14或a 2＝9(舍)．∴b 2＝34，故双曲线方程为：4x 2－4y 23＝1.10．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M . (1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标． 解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2，于是4＋p2＝5，∴p ＝2.∴抛物线方程为y 2＝4x .(2)∵点A 的坐标是(4,4)，由题意得B (0,4)，M (0,2)．又∵F (1,0)，∴k FA ＝43，∵MN ⊥FA ，∴k MN ＝－34.又FA 的方程为y ＝43(x －1)，故MN 的方程为y －2＝－34x ，解方程组得x ＝85，y ＝45，∴N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45. 11．已知直线AB 与抛物线y 2＝2px (p >0)交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆经过坐标原点O ，OD ⊥AB 于点D ，点D 的坐标为(2,1)，求抛物线的方程．解：由题意得k OD ＝12，∵AB ⊥OD ，∴k AB ＝－2， 又直线AB 过点D (2,1)，∴直线AB 的方程为y ＝－2x ＋5， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵以AB 为直径的圆过点O ，∴O A →·O B →＝0， 即x 1x 2＋y 1y 2＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋5y 2＝2px得4x 2－(2p ＋20)x ＋25＝0，∴x 1＋x 2＝p ＋102，x 1x 2＝254，∴y 1y 2＝(－2x 1＋5)(－2x 2＋5) ＝4x 1x 2－10(x 1＋x 2)＋25 ＝25－5p －50＋25＝－5p ， ∴254＋(－5p )＝0， ∴p ＝54，∴抛物线方程为y 2＝52x .。
高考数学一轮复习第八章 解析几何答案 (2)
第八章 解析几何第40讲 直线的方程及位置关系1.B【解析】 由于倾斜角为60°，故斜率k ＝3.又直线过点(－1，0)，所以直线方程为y ＝3(x ＋1)，即3x －y ＋3＝0.2. C【解析】 若直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则有2m＝m ＋13≠4－2，故m ＝2或－3.3. C【解析】 因为x ＜0时，a x＞1，所以0＜a ＜1，则直线y ＝ax ＋1a的斜率满足0＜a ＜1，在y 轴上的截距1a＞1，只有C 符合．4.D 【解析】因为直线x ＋a 2y －a ＝0(a 是正常数)在x 轴，y 轴上的截距分别为a 和1a ，所以此直线在x 轴，y 轴上的截距和为a ＋1a≥2，当且仅当a ＝1a，即a ＝1时等号成立．故当直线x ＋a 2y －a ＝0在x 轴，y 轴上的截距和最小时，正常数a 的值是1，故选D.5. D【解析】 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋x 知，函数f (x )的图象关于x ＝π4对称，所以f (0)＝f⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，所以－b ＝a ，则直线ax －by ＋c ＝0的斜率为k ＝a b＝－1.又直线倾斜角的取值范围为[0，π)，所以该直线的倾斜角为3π4.6.C【解析】由题易知直线AB 的方程为x ＋y ＝4，点P (2,0)关于直线AB 的对称点为D (4,2)，关于y 轴的对称点为C (－2，0)，则光线经过的路程为CD ＝62＋22＝210.(第6题)7.ACD【解析】设M (x ，y )，由k MA ·k MB ＝3，得y x ＋1·y x －1＝3，即y 2＝3x 2－3.联立⎩⎪⎨⎪⎧x －my ＋3m ＝0，y2＝3x2－3，得⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1m2－3x 2＋23m x ＋6＝0(m ≠0)，则Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23m 2－24⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1m2－3≥0，即m 2≥16，解得m ≤－66或m ≥66.所以实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－∞，－66∪⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫66，＋∞.故选ACD. 8.ABD【解析】对于动直线l 2：(k ＋1)x ＋ky ＋k ＝0(k∈R )，当k ＝0时，斜率不存在，倾斜角为90°，故A 正确；联立方程组⎩⎨⎧x －y －1＝0，(k ＋1)x ＋ky ＋k ＝0，可得(2k ＋1)x ＝0，对任意的k ，此方程有解，可得l 1与l 2有交点，故B 正确；因为当k ＝－12时，k ＋11＝k －1＝k －1成立，此时l 1与l 2重合，故C 错误；由于直线l 1：x －y －1＝0的斜率为1，动直线l 2的斜率为k ＋1－k＝－1－1k≠－1，故对任意的k ，l 1与l 2都不垂直，故D 正确．9. AD 【解析】 设点P 的坐标为(a ，b )． 因为A (4，－3)，B (2，－1)，所以线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)． 而AB 所在直线的斜率k AB ＝－3＋14－2＝－1，所以线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3， 即x －y －5＝0.因为点P (a ，b )在直线x －y －5＝0上， 所以a －b －5＝0.①又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2， 所以|4a ＋3b －2|42＋32＝2，即4a ＋3b －2＝±10，②联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝277，b ＝－87.所以所求点P 的坐标为(1，－4)或⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫277，－87. 10.2x －4y ＋3＝0【解析】因为AC ＝BC ，所以欧拉线为AB 的中垂线，又A (1,0)，B (0,2)，故AB 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，1，k AB ＝－2，故AB 的中垂线方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －12，即2x －4y ＋3＝0. 11. 2910【解析】因为36＝48≠－125，所以两直线平行，将直线3x ＋4y －12＝0化为6x ＋8y －24＝0，由题意可知PQ的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以PQ 的最小值为2910.12.6【解析】以A 为坐标原点，平行于l 1的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，(第12题)设B (a ，－2)，C (b,3)．因为AC ⊥AB ，所以ab －6＝0，ab ＝6，b ＝6a. 所以Rt △ABC 的面积S ＝12a2＋4·b2＋9＝12a2＋4·36a2＋9＝1272＋9a2＋144a2≥1272＋72＝6(当且仅当a 2＝4时取等号)．所以△ABC 的面积的最小值为6. 13.【解答】(1)由题知过点P 的直线l 与原点的距离为2，而点P 的坐标为(2，－1)，显然，过点P (2，－1)且垂直于x 轴的直线满足条件，此时l 的斜率不存在，其方程为x ＝2.若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0.由已知得|－2k －1|k2＋1＝2，解得k ＝34.此时直线l 的方程为3x －4y －10＝0.综上可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.(第13题)(2)作图可得过点P 且与原点O 的距离最大的直线是过点P 且与PO 垂直的直线，如图．由l ⊥OP ，得k l ·k OP ＝－1，因为k OP ＝－12，所以k l ＝－1kOP ＝2.由直线方程的点斜式得y ＋1＝2(x －2)，即2x －y －5＝0.所以直线2x －y －5＝0是过点P 且与原点O 的距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝5.(3) 由(2)可知，过点P 不存在到原点的距离超过5的直线，因此不存在过点P 且到原点的距离为6的直线．14. 【解答】 (1) 设A ′(x ，y )，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413.所以A ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－3313，413.(2) 在直线m 上取一点M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得M ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4，3)．又因为m ′经过点N (4,3)，所以由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. (3)设P (x ，y )为l ′上任意一点，则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )，因为点P ′在直线l 上，所以2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0，即2x －3y －9＝0. 15. 【解答】 如图，建立平面直角坐标系，则E (30,0)，F (0,20)， 所以直线EF 的方程为x30＋y20＝1(0≤x ≤30)．易知当矩形草坪的一个顶点在EF 上时，可取最大值，在线段EF 上取点P (m ，n )， 作PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥CD 于点R . 设矩形PQCR 的面积为S ， 则S ＝PQ ·PR ＝(100－m )(80－n )．又m30＋n20＝1(0≤m ≤30)，所以n ＝20－23m ， 所以S ＝(100－m )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫80－20＋23m ＝－23(m －5)2＋18 0503(0≤m ≤30)．所以当m ＝5时，S 有最大值，这时EPPF＝5∶1.所以当矩形草坪的两边在BC ，CD 上，一个顶点在线段EF 上，且这个顶点分有向线段EF 成5∶1时，草坪面积最大．(第15题) 第41讲 圆的方程1. A2. B3. A4.B【解析】设圆心为(0，b )，半径为r ，则r ＝|b |，所以圆的方程为x 2＋(y －b )2＝b 2.因为点(3,1)在圆上，所以9＋(1－b )2＝b 2，解得b ＝5，所以圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0.5. D 【解析】 由题意，设P (x ，y )，则(x ＋2)2＋y 2(x －2)2＋y 2＝12，化简可得x 2＋y 2＋203x ＋4＝0.6.D【解析】由圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0知其标准方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，因为圆x 2＋y 2＋2x －6y＋1＝0关于直线ax －by ＋3＝0(a >0，b >0)对称，所以该直线经过圆心(－1,3)，即－a －3b ＋3＝0，所以a ＋3b ＝3(a >0，b >0)．所以1a ＋3b ＝13(a ＋3b )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a ＋3b ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋3a b ＋3b a ＋9≥13⎝⎛⎭⎪⎪⎫10＋23a b ·3b a ＝163，当且仅当3b a ＝3a b ，即a ＝b 时取等号，故选D. 7.ABD【解析】对于A ，将圆化为标准方程，得(x －1)2＋(y －2)2＝4，圆心坐标为(1,2)，半径为r ＝2，点(1，－2)到圆心的距离d ＝(1－1)2＋(－2－2)2＝4>r ，所以点在圆外．对于B ，由圆心(1,2)到直线的距离公式得d ＝|1－2＋2|12＋12＝22.对于C ，因为两圆的圆心坐标分别为O (0,0)和C (－2,2)，直线l 为线段OC 的垂直平分线，所以直线l 的方程是x －y ＋2＝0.对于D ，设P (x ，y )是圆C 上一点．而y x的几何意义就是直线OP 的斜率(O 为坐标原点)．设yx＝k ，则直线OP 的方程为y ＝kx . 由图可知，当直线OP 与圆相切时，斜率取最值．(第7题)因为点C 到直线y ＝kx 的距离d ＝|3k －3|k2＋1，所以当|3k －3|k2＋1＝6，即k ＝3±22时，直线OP 与圆相切，所以y x的最大值是3＋22，故选ABD.8. ACD【解析】 由于y ≥0，所以x 2＋y 2＝4(y ≥0)为上半圆，如图，设3x ＋y ＝m ，当直线过点(－2,0)时，m ＝－23.设圆心O 到直线3x ＋y －m ＝0的距离为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－23，d ≤r ，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－23，|－m|2≤2，解得m ∈[－23，4]．故选ACD.(第8题)9.AC【解析】如图，由原点到直线l 的距离d ＝212＋12＝1，知直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切．由图可知，当AP ，AQ 均为圆x 2＋y 2＝1的切线时，∠PAQ 取得最大值，连接OP ，OQ ，由∠PAQ 的最大值为90°，且∠APO ＝∠AQO ＝90°，则四边形APOQ 为正方形，所以OA ＝2OP ＝2.设A (t ，2－t )，则由两点间的距离公式得OA ＝t2＋(2－t )2＝2，整理得2t 2－22t ＝0，解得t ＝0或2.因此，点A 的坐标为(0，2)或(2，0)．(第9题)10.x 2＋y 2－2x ＝0【解析】方法一：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.因为圆经过点(0,0)，(1,1)，(2,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，2＋D ＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝0，F ＝0.所以圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0.方法二：画出示意图如图所示，则△OAB 为等腰直角三角形，故所求圆的圆心为(1,0)，半径为1，所以所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2－2x ＝0.(第10题)11.25【解析】 因为圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0，故圆C 是以C (2,1)为圆心，半径r ＝5的圆．设点A (0,2)关于直线x ＋y ＋2＝0的对称点为A ′(m ，n )，故⎩⎪⎨⎪⎧m ＋02＋n ＋22＋2＝0，n －2m －0＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ＝－2，故A ′(－4，－2)．连接A ′C 交圆C 于点Q ，由对称性可知PA ＋PQ ＝A ′P ＋PQ ≥A ′Q ＝A ′C －r ＝25. 12.22【解析】x2＋y2表示曲线上的任意一点(x ，y )到原点的距离．当x ≥0，y ≥0时，x 2＋y 2－2x －2y ＝0化为(x －1)2＋(y －1)2＝2，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×2＝22；当x ≤0，y ≤0时，x 2＋y 2＋2x ＋2y ＝0化为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×2＝22；当x ≥0，y ≤0时，x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0化为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×2＝22；当x ≤0，y ≥0时，x 2＋y 2＋2x －2y ＝0化为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×2＝22.综上可知，x2＋y2的最大值为22.13.【解答】(1)由条件可得圆C 的圆心坐标为(0,4)，PC ＝2，设P (a,2a )，则a2＋(2a －4)2＝2，解得a ＝2或a ＝65，所以点P 的坐标为(2,4)或⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫65，125.(2)设P (b,2b )，过点A ，P ，C 的圆即是以PC 为直径的圆，其方程为x (x －b )＋(y －4)(y －2b )＝0，整理得x 2＋y 2－bx －4y －2by ＋8b ＝0， 即(x 2＋y 2－4y )－b (x ＋2y －8)＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x2＋y2－4y ＝0，x ＋2y －8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝85，y ＝165，所以该圆必经过定点(0,4)和⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫85，165.14. 【解答】 (1) 若选择条件①， 则PM PN＝2，即(x －2)2＋y 2(x －5)2＋y 2＝2，整理得x 2＋y 2－12x ＋32＝0，即(x －6)2＋y 2＝4. 若选择条件②，由A (4,0)，B (6,2)的中点为E (5,1)，k AB ＝2－06－4＝1，知AB 的垂直平分线的方程为y －1＝－(x －5)，即x ＋y －6＝0. 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －6＝0，x ＋y －6＝0，解得圆心C (6,0)．半径r ＝CA ＝2，所以曲线C 的方程为(x －6)2＋y 2＝4. (2) 由直线x ＝ay ＋4被曲线C 截得的弦长为2，知圆心到直线的距离d ＝4－1＝3.由点到直线的距离公式得d ＝|6－a ·0－4|a2＋1＝3，解得a ＝±33.15. 【解答】 (1) 设圆C 的圆心为C (a ，b )， 则圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝8.因为直线y ＝x 与圆C 相切于原点O ，所以点O 在圆C 上，且OC 垂直于直线y ＝x ， 于是有⎩⎪⎨⎪⎧a2＋b2＝8，ba ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2.因为点C (a ，b )在第二象限，故a <0，b >0，所以圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝8. (2) 假设存在点Q 符合要求，设Q (x ，y )，则有⎩⎨⎧(x －4)2＋y 2＝16，(x ＋2)2＋(y －2)2＝8，解得x ＝45或x ＝0(舍去)．所以存在点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫45，125，使Q 到定点F (4,0)的距离等于线段OF 的长．第42讲 直线与圆、圆与圆的位置关系1.A【解析】方法一：直线l ：mx －y ＋1－m ＝0过定点(1,1)，因为点(1,1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部，所以直线l 与圆相交．方法二：(几何法)由题意知，圆心(0,1)到直线l 的距离d ＝|m|m2＋1<1<5，故直线l 与圆相交．方法三：(代数法)由⎩⎪⎨⎪⎧mx －y ＋1－m ＝0，x2＋(y －1)2＝5，消去y ，整理得(1＋m 2)x 2－2m 2x ＋m 2－5＝0，Δ＝(－2m 2)2－4(1＋m 2)(m 2－5)＝4(4m 2＋5)>0，故直线l 与圆相交．2.C【解析】 由圆C 1与圆C 2外切，可得(a ＋b )2＋(－2＋2)2＝2＋1＝3，即(a ＋b )2＝9.根据基本不等式可知ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b 22＝94，当且仅当a ＝b 时等号成立，故ab 的最大值为94. 3.C【解析】当直线y ＝x ＋1上的点与圆心距离最小时取得切线长的最小值，圆心(3,0)到直线的距离为d ＝|3－0＋1|2＝22，圆的半径为1，故切线长的最小值为d2－r2＝8－1＝7.4.C【解析】 因为圆心到直线的距离为|9＋12－11|5＝2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，由数形结合知，圆上到直线的距离为1的点有3个．(第4题)5. C 【解析】 将x ＝2y －y2化为x 2＋(y －1)2＝1，x ≥0，表示半圆，所以圆心(0,1)，半径r ＝1.因为圆心到直线x －y －2＝0的距离d ＝322，所以圆上的点到直线的最小距离b ＝322－1， 最大距离为(0,2)到直线的距离，即a ＝42＝22， 则a －b ＝22＋1. 6.D【解析】圆的标准方程为x 2＋(y －5)2＝3，圆心为(0，5)，半径r ＝3，由圆心到直线2x ·sinθ＋y ＝0的距离d ＝54sin2θ＋1＜3，解得sin 2θ＞16，所以弦长为2r2－d2＝23－54sin2θ＋1，因为53＜4sin 2θ＋1≤5，所以1≤54sin2θ＋1＜3，所以弦长2r2－d2＝23－54sin2θ＋1∈(0,22]，当4sin 2θ＋1＝5，即sin 2θ＝1时，弦长有最大值22.7. BC【解析】 因为直线y ＝kx －1过定点(0，－1)，故圆C 的圆心(－3,3)到直线y ＝kx －1的距离的最大值为(－3－0)2＋(3＋1)2＝5.又圆C 的半径为6，故弦长AB 的最小值为262－52＝211.又当直线y ＝kx －1过圆心时，弦长AB 取最大值为直径12，故AB∈[211，12]．故选BC.8.AD【解析】当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，x2＋y2－2x －2y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1－3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1＋3，所以AB ＝23，符合题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋3，由已知可得圆的标准方程为(x－1)2＋(y －1)2＝4，其圆心为C (1,1)，半径r ＝2，所以圆心C (1,1)到直线kx －y ＋3＝0的距离d ＝|k －1＋3|k2＋1＝|k ＋2|k2＋1.因为d 2＝r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB 22，所以(k ＋2)2k 2＋1＝4－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2322，即(k ＋2)2＝k 2＋1，解得k ＝－34，所以直线l 的方程为y ＝－34x ＋3，即3x ＋4y －12＝0.综上，满足题意的直线l 的方程为x ＝0或3x ＋4y －12＝0，故选AD.9. ABD 【解析】 如图，因为原点O 到直线4x －3y ＋5＝0的距离d ＝|5|42＋(－3)2＝1，到直线y ＝－1的距离为1，且到(0,1)的距离为1，所以圆O 1和圆O 2的一个圆心为原点O ，不妨看作是圆O 1，设O 2(a ，b )，则由题意知⎩⎨⎧b ＋1＝a2＋(b －1)2，b ＋1＝|4a －3b ＋5|42＋(－3)2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，则O 2(2,1)，所以O 1O 2＝22＋12＝5.O 2到直线4x －3y ＋5＝0的距离d ＝2.由于O 1，O 2的位置不确定，故ABD 错误．(第9题)10.10【解析】由x 2＋y 2－2x －4y ＝0，得(x －1)2＋(y －2)2＝5，所以该圆的圆心坐标为(1,2)，半径r ＝5.又圆心(1,2)到直线3x －y －6＝0的距离为d ＝|3－2－6|32＋(－1)2＝102，由⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB 22＝r 2－d 2，得AB 2＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5－52＝10，即AB ＝10.11. y ＝－12【解析】由题意知，点P ，A ，C ，B 在以PC 为直径的圆上，易求得这个圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，将此圆的方程与圆C 的方程作差可得AB 所在直线的方程为y ＝－12.12. 3 【解析】 方法一：设A (a,2a )，a >0，则C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋52，a ，所以圆C 的方程为⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －a ＋522＋(y －a )2＝(a －5)24＋a 2， 由⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －a ＋522＋(y －a )2＝(a －5)24＋a 2，y ＝2x ，得⎩⎪⎨⎪⎧xD ＝1，yD ＝2，所以AB→·CD→＝(5－a ，－2a )·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－a －32，2－a ＝a2－2a －152＋2a 2－4a ＝0，所以a ＝3或a ＝－1.又a >0，所以a ＝3，所以点A 的横坐标为3.方法二：因为AB→·CD →＝0，所以AB ⊥CD ，又点C 为AB 的中点，所以∠BAD ＝45°.设直线l 的倾斜角为θ，直线AB 的斜率为k ，则tanθ＝2，k ＝tan⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4＝－3.又B (5,0)，所以直线AB 的方程为y ＝－3(x －5)，又A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，联立⎩⎨⎧y ＝－3(x －5)，y ＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝6，所以点A 的横坐标为3.13. 【解答】 (1) 不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下： 设A (x 1,0)，B (x 2,0)，则x 1，x 2满足x 2＋mx －2＝0，所以x 1x 2＝－2. 又点C 的坐标为(0,1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x1·－1x2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC 的情况． (2) 由(1)知BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x22，12，则BC 的中垂线方程为y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －x22. 由(1)可得x 1＋x 2＝－m ， 所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m2，y －12＝x2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －x22，x22＋mx2－2＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m 2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－m 2，－12， 半径r ＝m2＋92.故该圆在y 轴上截得的弦长为2·r2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫m 22＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值． 14.【解答】(1)设圆心C (a,0)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a>－52，则|4a ＋10|5＝2，解得a ＝0或a ＝－5(舍去)，所以圆C ：x 2＋y 2＝4.(2) 存在，当点N 为(4,0)时，x 轴平分∠ANB . 理由如下：当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x2＋y2＝4，y ＝k (x －1)，得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝2k2k2＋1，x 1x 2＝k2－4k2＋1.若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN ⇒y1x1－t ＋y2x2－t＝0⇒k (x 1－1)x 1－t ＋k (x 2－1)x 2－t ＝0⇒2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0⇒2(k 2－4)k 2＋1－2k2(t ＋1)k 2＋1＋2t ＝0⇒t ＝4，所以当点N 为(4,0)时，使得∠ANM ＝∠BNM 总成立． 15.【解答】(1)将圆M 的方程化为标准形式为(x －6)2＋(y －7)2＝25，圆心M (6,7)，半径r ＝5，由题意，设圆N 的方程为(x －6)2＋(y －b )2＝b 2(b >0)，且(6－6)2＋(b －7)2＝b ＋5，解得b ＝1， 所以圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.(第15题)(2)因为k OA ＝2，所以可设l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0.又BC ＝OA ＝22＋42＝25.由题意，圆M 的圆心M (6,7)到直线l 的距离为d ＝52－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫BC 22＝25，即|2×6－7＋m|22＋(－1)2＝25，解得m ＝5或m ＝－15.所以直线l 的方程为y ＝2x ＋5或y ＝2x －15.(3) 由TA→＋TP →＝TQ →，知四边形AQPT 为平行四边形， 又因为P ，Q 为圆M 上的两点，所以PQ ≤2r ＝10. 所以TA ＝PQ ≤10，即(t －2)2＋42≤10， 解得2－221≤t ≤2＋221， 故实数t 的取值范围为[2－221，2＋221]．第43讲 椭 圆第1练1.C【解析】设椭圆C 的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a >b >0)．因为短轴长为2，所以2b ＝2，解得b ＝1.因为离心率e ＝c a＝255，又a 2＝b 2＋c 2＝1＋c 2，所以a 2＝5，所以椭圆C 的标准方程为y25＋x 2＝1.故选C.2. A 【解析】 当m ＝4时，a 2＝5，b 2＝4,2c ＝25－4＝2，即m ＝4时，椭圆x25＋y2m＝1的焦距为2.当m ＝6时，a 2＝6，b 2＝5,2c ＝26－5＝2，即“m ＝4”是“椭圆x25＋y2m＝1的焦距为2”的充分不必要条件，故选A.3. A【解析】 由题意知y21m＋x 2＝1，所以a 2＝1m，b 2＝1，所以2×1m＝2×1×2＝4，所以m ＝14.故选A.4. A【解析】 过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，则△AF 1F 2∽△CDF 2，由AF2→＝2F2C →，知F 1F 2＝2F 2D ，AF 1＝2CD ，所以点C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2c ，b22a ，因为点C 在椭圆上，所以(2c )2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b22a 2b2＝1，即5c 2＝a 2，所以e ＝c a ＝55.5. A 【解析】 设PF 1＝m ，PF 2＝n ，因为OP ＝OF 2，所以OP ＝OF 2＝OF 1，所以△PF 1F 2为直角三角形，即∠F 1PF 2＝90°.因为tan ∠PF 2F 1＝2，所以m ＝2n .因为△PF 1F 2的面积为4，所以12mn ＝4，即mn ＝8.因为∠F 1PF 2＝90°，所以m 2＋n 2＝F 1F 22＝4c 2.由椭圆的定义可得m ＋n ＝2a ，所以m 2＋n 2＋2mn ＝4a 2，解得b 2＝4，m ＝4，n ＝2，所以a ＝3，所以所求椭圆方程为x29＋y24＝1，故选A.6. A 【解析】如图，设椭圆的左焦点为F ′，连接AF ′，BF ′，则四边形AFBF ′为矩形，因此AB ＝FF ′＝2c ，AF ＋BF ＝2a ，AF ＝2c sin α，BF ＝2c cosα，所以2c sinα＋2c cosα＝2a ，所以e ＝1sin α＋cos α＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4，因为α∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π12，π6， 所以α＋π4∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π3，5π12，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32，2＋64，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤62，1＋32，所以e ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3－1，63.(第6题)7.AB【解析】 由题意知m >0，当m ＜5时，a ＝5，b ＝m ，c ＝5－m ，所以e ＝c a ＝5－m 5＝105，解得m ＝3；当m ＞5时，a ＝m ，b ＝5，c ＝m －5，所以e ＝c a＝m －5m＝105，解得m ＝253.故选AB.8.BD【解析】 观察图形可知a 1＋c 1>a 2＋c 2，即A 选项不正确；a 1－c 1＝a 2－c 2＝PF ，即B 选项正确；由a 1－c 1＝a 2－c 2>0，c 1>c 2>0知，a1－c1c1<a2－c2c2，即0＜a1c1<a2c2，从而c 1a 2>a 1c 2，c1a1>c2a2，即D 选项正确，C 选项不正确．故选BD 9.ACD【解析】对于A ，因为F 1F 2＝2，所以F 2(1,0)，PF 2＝1，所以QF 1＋QP ＝2a －QF 2＋QP ≥2a －PF 2＝2a －1，当Q ，F 2，P 三点共线时取等号，故A 正确；对于B ，假设椭圆C 的短轴长为2，则b ＝1，a ＝2，所以椭圆方程为x22＋y21＝1，代入点P 的坐标得12＋11>1，则点P 在椭圆外，假设不成立，故B 错误；对于C ，因为点P (1,1)在椭圆内部，所以1a＋1b <1，又a －b ＝1，所以b ＝a －1，所以1a＋1a －1<1，即a 2－3a ＋1>0，解得a >3＋52＝6＋254＝(1＋5)24，所以a >1＋52，所以e ＝1a<5－12，所以椭圆C 的离心率的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，5－12，故C 正确； 对于D ，若PF1→＝F1Q →，则F 1为线段PQ 的中点，所以Q (－3，－1)，所以9a ＋1b ＝1，又a －b ＝1，即a 2－11a ＋9＝0，解得a ＝11＋852＝22＋2854＝(5＋17)24，所以a ＝5＋172，所以椭圆C 的长轴长为5＋17，故D 正确．10.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，12 【解析】 由方程x2m＋y21－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，可得1－m >m >0，解得0<m <12，所以实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，12. 11. 24【解析】 在椭圆x249＋y224＝1中，a ＝7，b ＝26，c ＝49－24＝5，设PF 1＝m ，PF 2＝n ，由PF 1⊥PF 2，得m 2＋n 2＝(2c )2＝100，又m ＋n ＝2a ＝14，所以⎩⎪⎨⎪⎧m2＋n2＝4c2＝100，m ＋n ＝2a ＝14，所以mn ＝(m ＋n )2－(m 2＋n 2)2＝142－1002＝48，所以S △PF 1F 2＝12mn ＝24.12.33【解析】由于AF 2的中点P 恰好落在y 轴上，又A ，B 是椭圆上关于x 轴对称的两点，所以AB 过左焦点F 1且AB⊥F 1F 2，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－c ，b2a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－c ，－b2a .因为P 是AF 2的中点，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，b22a .又F 2(c,0)，则BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫c ，3b22a ，AF2→＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2c ，－b2a .因为BP →·AF2→＝0，则2c 2－3b42a2＝0，即2c ＝3b2a .又b 2＝a 2－c 2，则2ac ＝3(a 2－c 2)，即3e 2＋2e －3＝0，解得e ＝33或e ＝－3(舍去)．13. 【解答】 (1) 由已知可设C 2的方程为y 2＝4cx ，其中c ＝a2－b2. 不妨设A ，C 在第一象限，由题设得A ，B 的纵坐标分别为b2a，－b2a，C ，D 的纵坐标分别为2c ，－2c ，故AB ＝2b2a，CD ＝4c . 由CD ＝43AB ，得4c ＝8b23a，即3×c a＝2－2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫c a 2，解得c a ＝－2(舍去)或c a ＝12.所以C 1的离心率为12.(2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，故C 1：x24c2＋y23c2＝1，所以C 1的四个顶点坐标分别为(2c,0)，(－2c,0)，(0，3c )，(0，－3c )，C 2的准线方程为x ＝－c .由已知得3c ＋c ＋c ＋c ＝12，即c ＝2.所以C 1的标准方程为x216＋y212＝1，C 2的标准方程为y 2＝8x .14.【解答】(1)由椭圆x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的右顶点为A (a,0)，上顶点为B (0，b )，可得直线AB 的方程为x a ＋y b＝1，即bx ＋ay －ab ＝0,则点O 到直线AB 的距离d ＝ab a2＋b2＝255，即4a 2＋4b 2＝5a 2b 2，①因为△OAB 的面积为1，所以12ab ＝1，即ab ＝2，②由①②，可解得a ＝2，b ＝1, 所以椭圆的标准方程为x24＋y 2＝1.(2) 由(1)可得x ＋2y －2＝0，所以直线AB 的斜率为－12，设直线l 的方程为y ＝－12x ＋t ，C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋t ，x24＋y2＝1，整理得2y 2－2ty ＋t 2－1＝0，则y 1＋y 2＝t ，y 1y 2＝t2－12，所以k 1·k 2＝y1x1－2·y2－1x2＝y1y2－y1x1x2－2x2，所以x 1x 2－2x 2＝4(t －y 1)(t －y 2)－4(t －y 2)＝4[t 2－t (y 1＋y 2)＋y 1y 2－t ＋y 2]＝4[(y 1＋y 2)2－(y 1＋y 2)(y 1＋y 2)＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋y 2]＝4(y 1y 2－y 1)， 所以k 1·k 2＝y1y2－y14(y 1y 2－y 1)＝14，即k 1k 2＝14为定值．第2练1.D【解析】由于方程x2m＋y2m2－1＝1为椭圆，且焦点(0,1)在y 轴上，所以⎩⎪⎨⎪⎧m>0，m2－1>0，m2－1>m ，m2－1－m ＝1，解得m ＝2，所以a ＝22－1＝3，长轴长为2a ＝23.2. B 【解析】 因为椭圆E 的离心率为22，所以c a ＝22，因为椭圆过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22，32，所以12a2＋34b2＝1， 又a 2＝b 2＋c 2，解得c ＝1，所以焦距为2c ＝2. 故选B.3. D 【解析】 依题意，8π＝ab ·π，故ab ＝8①. 不妨设直线l ：xa ＋yb ＝1，即bx ＋ay －ab ＝0，则椭圆的中心到直线l 的距离为ab a2＋b2＝43417，解得a 2＋b 2＝34②，联立①②，又a ＞b ＞0，解得a ＝42，b ＝2，故椭圆C 的方程为x232＋y22＝1. 4.B【解析】 由题意可知，以AB 为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，也过左焦点，如图所示，OA ＝OB ＝OF 1＝OF 2，故这两个焦点F 1，F 2和A ，B 两点为顶点得一矩形．直线y ＝－3x 的倾斜角为120°，所以矩形宽为c ，长为3c .由椭圆定义知矩形的长宽之和等于2a ，即c ＋3c ＝2a ，所以e ＝c a ＝23＋1＝3－1，故选B.(第4题)5. A 【解析】 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x2a2＋y2b2＝1⇒(b 2＋a 2k 2)x 2＝a 2b 2，则x ＝±ab b2＋a2k2，由题意知ab b2＋a2k2＝c ①，因为e ＝c a＝12，所以a ＝2c ，b ＝a2－c2＝3c ，代入①可得12c43c2＋4c2k2＝c 2⇒k ＝±32.故选A. 6. C 【解析】如图，由椭圆的定义可知QF 1＋QF 2＝2a ，PF 1＋PF 2＝2a ，F 1F 2＝2c ，因为PF 2＝F 1F 2，所以PF 2＝2c ，则PF 1＝2(a －c )．因为2PF 1＝3QF 1，所以QF 1＝23PF 1，所以QF 1＝4(a －c )3，则QF 2＝2a ＋4c3.在△PF 1F 2中，由余弦定理可得cos ∠PF 1F 2＝PF21＋F2F21－PF222PF1·F2F1＝a －c2c ；在△QF 1F 2中，由余弦定理可得cos ∠QF 1F 2＝QF21＋F2F21－QF222QF1·F2F1＝a －3c4c .因为∠PF 1F 2＋∠QF 1F 2＝180°，所以cos ∠PF 1F 2＝－cos ∠QF 1F 2，所以a －c 2c＝－a－3c4c，化简得3a＝5c，所以e＝ca＝35. 所以椭圆的离心率为35.(第6题)7. BC 【解析】因为x26＋y2＝1，所以a＝6，b＝1，所以c＝a2－b2＝6－1＝5，则椭圆C的焦距为25，离心率为e＝ca＝56＝306.设P(x，y)(－6≤x≤6)，则PD2＝(x＋1)2＋y2＝(x＋1)2＋1－x26＝56⎝⎛⎭⎪⎪⎫x＋652＋45≥45>15，所以圆D在椭圆C的内部，且PQ的最小值为45－15＝55.故选BC. 8. ABC 【解析】由椭圆x225＋y216＝1，得a＝5，b＝4，c＝3，故A正确；椭圆上的动点P满足a－c≤PF1≤a＋c，即有2≤PF1≤8，故FP1的最小值为2，B正确；设FP1，FP2，FP3，…组成的等差数列为{a n}，公差d>0，则a1≥2，a n≤8，又d＝an－a1n－1，所以d≤6n－1≤621－1＝310，所以0<d≤310，所以d的最大值是310，故C正确，D错误．故选ABC.9. ABD 【解析】 设P (x 0，y 0)，则k PA ·k PB ＝y20－9x20＝y20－91－y209＝－9.设k PA ＝k (k ＞0)，则k PB ＝－9k，直线AP 的方程为y ＝kx －3，则点M 的坐标为(5,5k－3)．直线BP 的方程为y ＝－9k x ＋3，则点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5，－45k ＋3， 所以MN ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪5k －3－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－45k ＋3＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪5k ＋45k －6≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪25k ·45k －6＝24，当且仅当5k ＝45k，即k ＝3时等号成立．从而△DMN 面积的最小值为12×24×6＝72，故选ABD.10.2＋6－2【解析】如图，因为△ABF 为顶角是150°的等腰三角形，所以设AB ＝x ＝AF ，则由余弦定理得cos 150°＝AB2＋AF2－BF22AB ·AF，则BF ＝6＋22x .又OF ＝AB 2＋AF ·cos ∠AFO ＝3＋12x ＝2，解得x ＝6－2，BF ＝6＋22x ＝2，则2a ＝BF ＋BF 2＝BF ＋AF ＝2＋6－2.(第10题)11.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫12，1【解析】由题意，椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ，即点F 到点P 与点A 的距离相等，而FA ＝a2c －c ＝b2c，PF ∈(a －c ，a ＋c ]，于是b2c∈(a －c ，a ＋c ]，即ac －c 2<b 2≤ac ＋c 2，⎩⎪⎨⎪⎧ac －c2<a2－c2，a2－c2≤ac ＋c2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ca <1，c a ≤－1或c a ≥12，又e ∈(0,1)，故e ∈⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫12，1. 12.63【解析】 如图，设点F (c,0)，因为直线AB ：y ＝33x ，所以tan ∠AOF ＝33，即∠AOF ＝30°.又AF ⊥BF ，O 为AB 中点，所以OA ＝OF ＝c ，所以点A (c cos ∠AOF ，c sin ∠AOF )，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3c 2，c 2.因为点A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3c 2，c 2在椭圆上，所以3c24a2＋c24b2＝1， 又b 2＝a 2－c 2，化简得3c 4－8a 2c 2＋4a 4＝0，即3e 4－8e 2＋4＝0，解得e 2＝23或2(舍去)，故e ＝63.(第12题)13. 【解答】 (1) 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧94a2＋3b2＝1，c a ＝53，c2＋b2＝a2，解得a 2＝9，b 2＝4，所以椭圆C 的方程为x29＋y24＝1.(2)由(1)知A (0,2)，所以∠PAQ 的平分线方程为y ＝2x ＋2，在直线y ＝2x ＋2上取点B (－1,0)，则AB ＝5，因为直线AP ，AQ 互相垂直，所以∠PAQ ＝90°， 所以点B 到AP ，AQ 的距离为102.设AP ：y ＝kx ＋2，则102＝|－k ＋2|1＋k2，解得k ＝－3或13.不妨取AP ：y ＝－3x ＋2，则AQ ：y ＝13x ＋2，分别与椭圆C 方程联立解得x P ＝10885，y P ＝－15485，x Q ＝－125，y Q ＝65，所以直线PQ 的斜率k PQ ＝－3239.14. 【解答】 (1) 由点P (2，3)在椭圆上可得2a2＋3b2＝1，整理得2b 2＋3a 2＝a 2b 2①.由S △PF 1F 2＝12×2c ×3＝23，解得c ＝2，所以a 2＝b 2＋c 2＝b 2＋4，代入①式整理得b 4－b 2－12＝0，解得b 2＝4，a 2＝8.所以椭圆的标准方程为x28＋y24＝1.(2) 由(1)可得F 2(2,0)，所以设直线l 1：x ＝my ＋2，联立直线与椭圆的方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，x28＋y24＝1，整理得(m 2＋2)y 2＋4my －4＝0，所以直线l 1与椭圆两交点的中点M 的纵坐标y M ＝y1＋y22＝－2mm2＋2.同理直线l 2与椭圆两交点的中点N 的纵坐标y N ＝2m 1m2＋2＝2m2m2＋1，所以S △MNF 2＝12MF 2·NF 2＝121＋m2·1＋1m2·|y M ||y N |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m (1＋m 2)2m 4＋5m 2＋2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m (1＋m 2)2(m 2＋1)2＋m 2， 将上式分子分母同除m (1＋m 2)可得， S △MNF 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪22m2＋1m ＋m 1＋m2， 不妨设m >0，令m2＋1m ＝t ，t ≥2，则S △MNF 2＝22t ＋1t ，令f (t )＝2t ＋1t ，f ′(t )＝2t2－1t2，因为t ≥2，所以f ′(t )>0，所以f (t )在[2，＋∞)上单调递增，所以当t ＝2时，△MNF 2的面积取得最大值，且S max ＝24＋12＝49. 第44讲 双曲线1. C2. B3. B【解析】 因为双曲线的右焦点为F (3,0)，即c ＝3，双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线方程为bx ±ay ＝0.又点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为1，所以|3b|b2＋a2＝1，即3b c＝1，所以b ＝1，则a ＝c2－b2＝22，因此e ＝ca ＝324.故选B.4.B【解析】由双曲线的离心率为2，可知双曲线为等轴双曲线，a ＝b ，将点(3，2)代入双曲线方程得a ＝b ＝1，根据对称性，不妨设点P 在第一象限，点P 到x 轴的距离为h ，F 1F 2＝22，PF 1－PF 2＝2，由余弦定理得F 1F 22＝PF 12＋PF 22－2PF 1·PF 2cos60°＝(PF 1－PF 2)2＋PF 1·PF 2，所以PF 1·PF 2＝4，由三角形面积公式得12PF 1·PF 2sin60°＝12F 1F 2·h ，解得h ＝62.故选B.5.A【解析】方法一：双曲线x24－y22＝1的右焦点F (6，0)，渐近线方程为y ＝±22x ，不妨设点P 在第一象限，由PO ＝PF ，得点P 的横坐标为62，纵坐标为22×62＝32，即△PFO 的底边长为6，高为32，所以△PFO 的面积为12×6×32＝324.方法二：不妨设点P 在第一象限，根据题意可知c 2＝6，所以OF ＝6.又tan ∠POF ＝ba ＝22，所以等腰三角形POF 的高h ＝62×22＝32，所以S △PFO ＝12×6×32＝324.6. D 【解析】 如图，设△AMF 1的内切圆在边AF 1，AM 的切点分别为E ，G ，(第6题)则MF 1－MF 2＝2a ，得NF 1＋2－MF 2＝2a ，又NF 1＝EF 1＝GF 2，则GF 2＋2－MF 2＝2a ，得2＋MG ＝2a ，又MG ＝2，则2a ＝4, a ＝2，所以双曲线C 的离心率为22＋42＝2.故选D.7. BC 【解析】 由双曲线方程x24－y212＝1，得a ＝2，b ＝23，c ＝a2＋b2＝4，所以实轴长2a ＝4，故选项A 错误；渐近线方程为y ＝±b ax ＝±3x ，故选项B 正确；离心率e ＝c a＝2，故选项C 正确；准线方程为x ＝±a2c ＝±1，取其中一条准线x ＝1，y ＝3x 与x ＝1的交点A (1，3), 点A 到直线y ＝－3x 的距离d ＝|3×1＋3|(3)2＋12＝3，故D 错误．故选BC.8.ACD【解析】对于A ，双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，正确；对于B ，由题意得F 2(2， 0)，F 1(－2， 0)，则以F 1F 2为直径的圆的方程不是x 2＋y 2＝1，错误；对于C ，F 1(－2， 0)到渐近线y ＝x 的距离为1，正确；对于D ，由题意得F 1(－2，0)，F 2(2，0)，设P (x 0，y 0)，根据PF1→·PF2→＝0，解得x 0＝±62，y 0＝±22，则△PF 1F 2的面积为1，正确．9.AC【解析】设双曲线C 的左焦点为F ′，则QF －QF ′＝2a ，即QF ＝QF ′＋2a ，故QF ＋PQ ＝QF ′＋PQ ＋2a ≥PF ′＋2a .由题意可得PF ＝PF ′＝24＋1＝5，所以PQ ＋QF ＋PF ≥2PF ＋2a ≥14，所以a ≥2，则双曲线C 的离心率e ＝c a ＝26a≤6.因为e >1，所以双曲线C 的离心率的取值范围为(1，6]．10.x210－y25＝1【解析】 由题意设所求双曲线方程为x212－y26＝k ，因为双曲线过点(23，－1)，所以1212－16＝k ，k ＝56，所以所求双曲线方程为x212－y26＝56，即x210－y25＝1. 11.10【解析】 因为双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝2x ，所以b a＝2，即b ＝2a .因为左焦点F (－3，0)，所以c ＝3，所以c 2＝a 2＋b 2＝3a 2＝3，所以a 2＝1，b 2＝2，所以双曲线方程为x 2－y22＝1，直线l 的方程为y ＝2(x ＋3)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝2(x ＋3)，x 2－y22＝1，消去y 可得x 2＋43x ＋7＝0，Δ＞0， 所以x 1＋x 2＝－43，x 1x 2＝7，所以AB ＝1＋k2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋4·48－28＝5×20＝10. 12. 75 【解析】 由定义知PF 1－PF 2＝2a .又PF 1＝6PF 2，所以PF 1＝125a ，PF 2＝25a .当P ，F 1，F 2三点不共线时，在△PF 1F 2中，由余弦定理，得cos∠F 1PF 2＝PF21＋PF22－F1F222·PF1·PF2＝14425a2＋425a2－4c22·125a ·25a ＝3712－2512e 2，即e 2＝3725－1225cos ∠F 1PF 2.因为cos ∠F 1PF 2∈(－1,1)，所以e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，75.当P ，F 1，F 2三点共线时，因为PF 1＝6PF 2，所以e ＝c a ＝75.综上，e 的最大值为75. 13. 【解答】(1) 设所求双曲线的方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，则 42－(－10)2＝λ，所以λ＝6.所以所求双曲线的标准方程为x26－y26＝1.(2) 将点M (3，m )代入双曲线方程，得326－m26＝1，所以m 2＝3，所以M (3，±3)． 又由双曲线方程知F 1(－23，0)，F 2(23，0)，所以kMF 1·kMF 2＝m 3＋23·m 3－23＝m2－3＝3－3＝－1，所以MF 1⊥MF 2.(3) 由MF 1⊥MF 2知∠F 1MF 2＝90°， 所以MF 21＋MF 2＝F 1F 2.① 又因为MF 1－MF 2＝26，②①－②2得2MF 1·MF 2＝F 1F 2－24＝24，所以MF 1·MF 2＝12，所以S △F 1MF 2＝12MF 1·MF 2＝6.14. 【解答】 (1) 设双曲线C 的方程为x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)． 由已知得a ＝3，c ＝2，又a 2＋b 2＝c 2，所以b 2＝1， 所以双曲线C 的方程为x23－y 2＝1.(2) 设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )， 将y ＝kx ＋2代入x23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－3k2≠0，Δ＝36(1－k 2)＞0，x A＋x B＝62k 1－3k 2＜0，x A x B＝－91－3k 2＞0，解得33＜k ＜1.所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫33，1.15. 【解答】 (1) 设点F 1，F 2的坐标分别为(－c,0)，(c,0)(c >0)，由题知c a＝2，所以c ＝2a ，c 2＝4a 2，b 2＝c 2－a 2＝3a 2，又因为点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，32在双曲线C 上，所以1a2－94b2＝1， 则b 2－94a 2＝a 2b 2，即3a 2－94a 2＝3a 4，解得a 2＝14，a ＝12.所以c ＝1.连接PQ ，因为OF 1＝OF 2，OP ＝OQ ，所以四边形PF 1QF 2为平行四边形． 因为四边形PF 1QF 2的周长为42，所以PF 2＋PF 1＝22>F 1F 2＝2.所以动点P 的轨迹是以点F 1，F 2分别为左、右焦点，长轴长为22的椭圆(除去左右顶点)．可得动点P 的轨迹方程为x22＋y 2＝1(y ≠0)．(2) 因为x 21＋x 2＝2，x212＋y 21＝1，x222＋y 2＝1，所以y 21＋y 2＝1，所以OG ·MN ＝MN ·OG ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x1＋x222＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y1＋y222＝12x21＋x22＋y21＋y22－2x1x2－2y1y2· x21＋x22＋y21＋y22＋2x1x2＋2y1y2 ＝123－2x1x2－2y1y23＋2x1x2＋2y1y2≤12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3－2x1x2－2y1y2＋3＋2x1x2＋2y1y22＝32. 当且仅当3－2x 1x 2－2y 1y 2＝3＋2x 1x 2＋2y 1y 2，即x 1x 2＋y 1y 2＝0时取等号， 此时OM ⊥ON ，即△OMN 为直角三角形．第45讲 抛物线1. D2. C 【解析】 将x ＝4代入抛物线方程得P (4,4)，根据抛物线定义得PF ＝4＋p 2＝4＋1＝5.3.B【解析】设P (x P ，y P )，由题可得抛物线焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.又点P 到焦点F 的距离为2，所以由定义知点P 到准线的距离为2,所以x P ＋1＝2，所以x P ＝1.代入抛物线方程得|y P |＝2，所以△OFP 的面积为S ＝12·OF ·|y P |＝12×1×2＝1.4.C【解析】抛物线C ：x 2＝4y 的准线方程为y ＝－1，圆M ：(x －3)2＋(y －4)2＝r 2(r >0)的圆心为(3,4)，因为准线恰好与圆M 相切，所以圆心到准线的距离为r ＝|4＋1|＝5.5.B【解析】因为CC 1的中点为M (1,4)，所以y A ＋y B ＝8，x C －p 2。
最新高考数学一轮复习-第八周-每日一练【含答案】
第八周[周一]1．(2023·邵阳模拟)已知向量a＝(1,3)，b＝(1，－1)，c＝(4,5)．若a与b＋λc垂直，则实数λ的值为()A.2 19B.411C．2D．－47答案A解析由题意，b＋λc＝(1＋4λ，5λ－1)，由a与b＋λc垂直，则a·(b＋λc)＝0，即1＋4λ＋3×(5λ－1)＝0，解得λ＝2 19 .2．(2023·龙岩质检)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f(x＋4)＝23，当x∈(0,4]时，f(x)＝x2－2x，则函数f(x)在区间(－4,2023]上的零点个数是()A．253B．506C．507D．759答案B解析由f(x)＋f(x＋4)＝23得f(x＋4)＋f(x＋8)＝23，所以f(x＋8)＝f(x)，即f(x)是以8为周期的周期函数，当x∈(0,4]时，f(x)＝x2－2x有两个零点2和4，当x∈(4,8]时，x－4∈(0,4]，f(x)＝23－f(x－4)＝23－(x－4)2＋2x－4，令23－(x－4)2＋2x－4＝0，则有2x－4＝(x－4)2－23，当x∈(4,8]时，(x－4)2－23<0,2x－4>1，所以2x－4＝(x－4)2－23无解，所以当x∈(4,8]时，f(x)＝23－(x－4)2＋2x－4无零点，又2023＝252×8＋7，因此在(0,2016]上函数有2×252＝504(个)零点，当x∈(0,4]时，f(x)有两个零点2和4，当x∈(4,7]时，f(x)无零点，当x∈(－4,0]时，f(x)无零点，因此在(－4,2023]上，f(x)有504＋2＝506(个)零点．3．(多选)在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为侧面ABB1A1内的一个动点(含边界)，则下列说法正确的是()A．随着P点移动，三棱锥D－PCC1的体积有最小值为118B．三棱锥A－PCD体积的最大值为16C ．直线BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为63D ．作体对角线AC 1的垂面α，则平面α截此正方体所得截面图形的面积越大，其周长越大答案BC解析对于A ，如图1，1D PCC V -＝1P DCC V -＝13×1DCC S △×1＝16为定值，故A 错误；图1对于B ，如图2，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，当点P 在A 1B 1上时，三棱锥A －PCD 即P －ACD 的体积取最大值，V max ＝13×S △ACD ×1＝13×12×1＝16，故B 正确；图2对于C ，根据题意作图如图3所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AC ⊥BD ，图3BB 1⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以BB 1⊥AC ，因为BD ∩BB 1＝B ，BD ，BB 1⊂平面BDB 1，所以AC ⊥平面BDB 1，又B 1D ⊂平面BDB 1，即AC ⊥B 1D ，因为CD 1⊥C 1D ，B 1C 1⊥平面D 1C 1CD ，CD 1⊂平面D 1C 1CD ，所以B 1C 1⊥CD 1，且C 1D ∩B 1C 1＝C 1，C 1D ，B 1C 1⊂平面B 1C 1D ，所以CD 1⊥平面B 1C 1D ，又B 1D ⊂平面B 1C 1D ，即B 1D ⊥CD 1，因为AC ∩CD 1＝C ，AC ，CD 1⊂平面ACD 1，所以B 1D ⊥平面ACD 1，设AC ∩BD ＝O ′，连接D 1O ′，设D 1O ′∩B 1D ＝F ，则∠DD 1F 为直线DD 1与平面ACD 1所成的角，在Rt △DD 1O ′中，cos ∠DD 1F ＝DD 1D 1O ′＝162＝63，因为BB 1∥DD 1，所以直线BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为63，故C 正确；对于D ，如图4，平面α⊥AC 1，截面α从A 点到平面A 1BD 过程中，图4截面面积和周长都越来越大；从平面A 1BD 到平面CB 1D 1过程中，设A 1H ＝a (0≤a ≤1)，则A 1G ＝A 1H ＝BI ＝BN ＝DE ＝DF ＝a ，B 1I ＝B 1H ＝CN ＝CE ＝D 1G ＝D 1F ＝1－a ，所以GH ＝IN ＝EF ＝2a ，HI ＝EN ＝FG ＝2(1－a )，所以截面周长为32，所以截面面积先变大后变小而周长不变；从平面CB 1D 1到C 1过程中，截面面积和周长都越来越小，故D 错误．4．(2023·邵阳模拟)已知数列{a n }满足a 1＝2，na n ＋1＝2(n ＋2)a n (n ∈N *)，设数列{a n }的前n 项和为S n ，则数列{a n }的通项公式为a n ＝______________，S n ＋2＝______________.答案(n 2＋n )·2n－1(n 2－n ＋2)·2n解析因为na n ＋1＝2(n ＋2)a n ，且a 1＝2≠0，所以a n ＋1a n ＝2(n ＋2)n，则当n ≥2时，a n ＝a 1×a 2a 1×a 3a 2×…×a n a n －1＝2×2×31×2×42×2×53×…×2×(n ＋1)n －1＝n (n ＋1)·2n －1＝(n 2＋n )·2n－1.又当n ＝1时，a 1＝2符合上式，故a n ＝(n 2＋n )·2n －1.由S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(1×2)×20＋(2×3)×21＋…＋n (n ＋1)·2n －1，①2S n ＝1×2×21＋…＋(n －1)n ·2n －1＋n (n ＋1)·2n ，②①－②得－S n ＝2－n (n ＋1)·2n ＋4·21＋6·22＋…＋2n ·2n －1＝－n (n ＋1)·2n ＋(1·21＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n )．令T n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ，③所以2T n ＝1·22＋2·23＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1，④③－④得－T n ＝21＋(22＋23＋ (2))－n ·2n ＋1＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1＝(－n ＋1)·2n ＋1－2，所以T n ＝(n －1)·2n ＋1＋2.故－S n ＝－n (n ＋1)·2n ＋(n －1)·2n ＋1＋2，则S n ＝(n 2－n ＋2)·2n －2，即S n ＋2＝(n 2－n ＋2)·2n .5．(2023·台州模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a sin B ＝b b cos C ＝c cos B .(1)求A 的值；(2)若点D 为边BC 上的一个点，且满足cos ∠BAD ＝45，求△ABD 与△ACD 的面积之比．解(1)因为a sin B ＝b所以由正弦定理可得sin A sin B ＝sin B 在△ABC 中，A ，B ，C ∈(0，π)，显然sin B ≠0，所以sin A ＝所以又因为π2－A －π2，A －π6∈－π6，所以π2－A ＝A －π6或π2－A ＋A －π6＝0(显然不成立)，所以A ＝π3.(2)因为b cos C ＝c cos B ，所以sin B cos C ＝sin C cos B ，即sin(B －C )＝0.在△ABC 中，B ，C ∈(0，π)，所以B －C ∈(－π，π)，所以B ＝C ，所以b ＝c ，因为cos ∠BAD ＝45，所以sin ∠BAD ＝35，所以sin ∠CAD ＝∠＝32×45－12×35＝43－310；所以sin ∠BAD sin ∠CAD ＝643－3＝83＋613，所以由正弦定理得△ABD 与△ACD AB ×AD ×sin ∠AC ×AD ×sin ∠＝83＋613.[周二]1．(2023·东三省四市教研体模拟)要得到函数f (x )＝12sin 2x ＋32cos 2x 的图象，只需把函数g (x )＝sin 2x 的图象()A ．向左平移π6个单位长度B ．向右平移π6个单位长度C ．向左平移π3个单位长度D ．向右平移π3个单位长度答案A解析f (x )＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝x把函数g (x )＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位长度得到y ＝sin sin x 足要求，A 正确，其他选项均不符合要求．2．(2023·南通模拟)已知三棱锥P －ABC ，Q 为BC 的中点，PB ＝PC ＝AB ＝BC ＝AC ＝2，侧面PBC ⊥底面ABC ，则过点Q 的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为()A.π，5π3B.π2，2π3C.2π3，2π D.[π，2π]答案A解析如图，连接PQ ，QA ，由PB ＝PC ＝AB ＝BC ＝AC ＝2，可知△ABC 和△PBC 是等边三角形，设三棱锥P －ABC 外接球的球心为O ，所以球心O 到平面ABC 和平面PBC 的射影分别是△ABC 和△PBC 的中心E ，F ，因为△PBC 是等边三角形，Q 为BC 的中点，所以PQ ⊥BC ，又因为侧面PBC ⊥底面ABC ，侧面PBC ∩底面ABC ＝BC ，PQ ⊂侧面PBC ，所以PQ ⊥底面ABC ，而AQ ⊂底面ABC ，因此PQ ⊥AQ ，所以四边形OFQE 是矩形，因为△ABC 和△PBC 是边长为2的等边三角形，所以两个三角形的高h ＝3，在矩形OFQE 中，OE ＝FQ ＝13h ＝33.AE ＝23h ＝233，连接OA ，所以OA ＝OE 2＋EA 2＝13＋43＝153，设过点Q 的平面为α，当OQ ⊥α时，所得截面的面积最小，该截面为圆形，OQ ＝OF 2＋FQ 2＝23h ＝23×3＝63，因此圆Q 的半径为OA 2－OQ 2＝159－69＝1，所以此时截面面积为π·12＝π，当点Q 在以O 为圆心的大圆上时，此时截面的面积最大，面积为＝5π3，所以截面面积的取值范围为π，5π3.3．(多选)(2023·烟台模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，O 为坐标原点，过C 的右焦点F 作C 的一条渐近线的平行线交C 于点P ，交C 的另一条渐近线于点Q ，则()A ．向量QF →在OF →上的投影向量为12OF→B ．若△OQF 为直角三角形，则C 为等轴双曲线C ．若tan ∠OQF ＝－34，则C 的离心率为10D ．若PQ →＝4FP →，则C 的渐近线方程为x ±2y ＝0答案ABD解析对于A ，由题意可得△OQF 是等腰三角形，且|OQ |＝|QF |，∴Q 在OF 上的投影为OF 的中点，∴QF →在OF →上的投影向量为12OF →，故A 正确；对于B ，若△OQF 为直角三角形，可得渐近线的倾斜角为45°，∴ba ＝1，∴a ＝b ，∴C 为等轴双曲线，故B 正确；对于C ，若tan ∠OQF ＝－34，设∠OQF ＝2α，则2tan α1－tan 2α＝－34，解得tan α＝3或tan α＝－13(舍去)，设渐近线y ＝b a x 的倾斜角为β，可得tan β＝13，∴b a ＝13，∴a ＝3b ，∴a 2＝9b 2，∴a 2＝9(c 2－a 2)，∴10a 2＝9c 2，∴c a ＝103，故C 错误；对于D ，设直线QF 的方程为y ＝b a (x －c )，与渐近线y ＝－b a x 的交点坐标为若PQ →＝4FP →，则FP →＝15FQ →，设P (m ，n )，∴(m －c ，n )－c 2，－∴m ＝9c 10，n ＝－bc 10a ，∵P 在双曲线上，∴81c 2100a 2－b 2c 2100a 2b 2＝1，∴4c 25a 2＝1，∴b a ＝12，∴C 的渐近线方程为y ＝±12x ，即x ±2y ＝0，故D 正确．4．(2023·福州质检)已知变量x 和y 的统计数据如表：x 678910y3.54566.5若由表中数据得到经验回归方程为y ^＝0.8x ＋a ^，则当x ＝10时的残差为________(注：观测值减去预测值称为残差)．答案－0.1解析x ＝6＋7＋8＋9＋105＝8，y ＝3.5＋4＋5＋6＋6.55＝5，则5＝0.8×8＋a ^，解得a ^＝－1.4，所以y ^＝0.8x －1.4，当x ＝10时，y ^＝6.6，所以当x ＝10时的残差为6.5－6.6＝－0.1.5．(2023·湛江模拟)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝2a n －4n ＋2.(1)证明：数列{a n ＋4}为等比数列；(2)n 项和为T n ，证明：T n <16.证明(1)由a 1＝S 1＝2a 1－4×1＋2，解得a 1＝2，所以a 1＋4＝6.由S n ＝2a n －4n ＋2，得S n －1＝2a n －1－4(n －1)＋2，n ≥2，a n ＝S n －S n －1＝(2a n －4n ＋2)－[2a n －1－4(n －1)＋2]＝2a n －2a n －1－4，n ≥2，所以a n ＝2a n －1＋4，n ≥2，故a n ＋4a n －1＋4＝2a n －1＋4＋4a n －1＋4＝2，n ≥2，所以数列{a n ＋4}是以6为首项，2为公比的等比数列．(2)由(1)知a n ＋4＝6×2n －1＝3×2n ，即a n ＝3×2n －4，故2n a n ·a n ＋1＝2n (3×2n －4)·(3×2n ＋1－4)所以T n ＝2a 1·a 2＋22a 2·a 3＋…＋2n a n ·a n ＋1＝13×－18＋18－120＋…＋13×2n －4＝16－13×13×2n ＋1－4<16.[周三]1．(2023·衡阳模拟2x 的展开式中的常数项是()A ．－20B ．20C ．－160D ．160答案C解析二项展开式的通项为T k ＋1＝C k6·(2x )6－＝(－1)k ·26－k ·C k 6·x3－k，令3－k ＝0，得k ＝3，所以2x 展开式中的常数项为(－1)3·26－3·C 36＝－160.2．设a ＝33e ，b ＝2ln 2，c ＝e 24－ln 4，则()A ．c <a <bB ．b <c <aC ．a <c <bD ．c <b <a答案D解析a ＝3e ln 3e ，b ＝2ln 2＝42ln 2＝4ln 4，c ＝e 2ln e 44e 2＝e 22ln e 22，设f (x )＝xln x ，x >0且x ≠1，由f ′(x )＝ln x －1(ln x )2＝0，得x ＝e ，当0<x <1和1<x <e 时，f ′(x )<0，函数单调递减；当x >e 时，f ′(x )>0，函数单调递增，因为f (2)＝f (4)，且1<3e<2<e<e 22<4，所以f (3e)>f (2)>f c <b <a .3．(多选)(2023·云南333联考)在正三棱锥P －ABC 中，|PA |＝|PB |＝|PC |＝2，D 为PC 的中点，以下四个结论中正确的是()A ．若PC ⊥平面ABD ，则二面角P －AB －C 的余弦值为13B ．若PC ⊥平面ABD ，则三棱锥P －ABC 的外接球体积为6πC ．若PA ⊥BD ，则三棱锥P －ABC 的体积为223D ．若PA ⊥BD ，则三棱锥P －ABC 的外接球表面积为12π答案ABD解析A ，B 选项中，如图1，因为PC ⊥平面ABD ，所以PC ⊥AD ，PC ⊥BD ，图1因为D 为PC 的中点，所以PA ＝AC ，PB ＝BC ，所以正三棱锥P －ABC 为正四面体，设AB 的中点为E ，则二面角P －AB －C 的平面角为∠PEC ，|PE |＝3，|EC |＝3，|PC |＝2，根据余弦定理可知cos ∠PEC ＝3＋3－42×3×3＝13，根据正四面体外接球半径公式可知，外接球半径R ＝64a ＝64×2＝62，则外接球体积为43πR 3＝43×π＝6π，故A ，B 正确；C ，D 选项中，根据条件可知，正三棱锥P －ABC 为PA ，PB ，PC 两两垂直的正三棱锥，所以体积为13×12×2×2×2＝43，故C 错误；如图2，将正三棱锥补形为正方体，则其外接球半径r ＝1222＋22＋22＝3，图2故外接球表面积S 球＝4πr 2＝4π×3＝12π，故D 正确．4．(2023·湖北星云联盟模拟)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，直线x ＝t 与C 交于A ，B 两点，AF 与C 的另一个交点为D ，BF 与C 的另一个交点为E .若△ABF 与△DEF 的面积之比为4∶1，则t ＝________.答案2解析如图，抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，可知t >1，由题意，得A (t ,2t )，B (t ，－2t )，即|AB |＝4t ，所以直线AD 的方程为y ＝2tt －1(x －1)，＝2t t －1(x －1)，2＝4x ，化简得tx 2－(t 2＋1)x ＋t ＝0，设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝t 2＋1t ，因为A (t ,2t )，可得点D 的横坐标为t 2＋1t－t ＝1t ，代入抛物线方程可得，y ＝±2t ，所以|DE |＝4t，所以S △ABF ＝12×4t ×(t －1)＝2t ·(t －1)，S △DEF ＝12×4t ×＝2(t －1)t ·t ，所以S △ABF S △DEF＝2t ·(t －1)2(t －1)t ·t＝t 2＝4，又t >1，所以t ＝2.5.(2023·东三省四市教研体模拟)如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD 且2AB <CD ，其中△PAD 为等腰直角三角形，AP ＝4，∠PDA ＝π2，∠PAB ＝π4，且平面PAB ⊥平面PAD ，DB ⊥BA .(1)求AB 的长；(2)若平面PAC 与平面ACD 夹角的余弦值是315，求CD 的长．解(1)取AP 的中点O ，连接OD ，OB ，则OD ⊥AP ，又∵平面PAB ⊥平面PAD ，平面PAB ∩平面PAD ＝AP ，OD ⊂平面PAD ，∴OD ⊥平面APB ，∵AB ⊂平面APB ，∴OD ⊥AB ，∵DB ⊥BA ，OD ∩DB ＝D ，OD ，DB ⊂平面DOB ，∴AB ⊥平面DOB ，∵BO ⊂平面DOB ，∴AB ⊥BO ，又∠PAB ＝π4，∴AB ＝22AO ＝2.(2)在平面APB 内，过O 作AP 的垂线OM ，交PB 于点M ，以O 为坐标原点，OP →，OM →，OD →的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (－2,0,0)，B (－1,1,0)，D (0,0,2)，P (2,0,0)，AB →＝(1,1,0)，AD →＝(2,0,2)，设平面ACD 的法向量为n ＝(a ，b ，c )，·n ＝a ＋b ＝0，·n ＝2a ＋2c ＝0，取n ＝(－1,1,1)．设DC →＝tAB →(t >2)，∴DC →＝(t ，t ,0)，∴AC →＝AD →＋DC →＝(t ＋2，t ,2)，设平面ACP 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，AP →＝(4,0,0)，·m ＝(t ＋2)x ＋ty ＋2z ＝0，·m ＝4x ＝0，取m ＝(0,2，－t )，∵平面PAC 与平面ACD 夹角的余弦值是315，∴315＝|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝|2－t |3·t 2＋4，∴6t 2－25t ＋24＝0，∴(3t －8)(2t －3)＝0，解得t ＝83或t ＝32(舍去)，∴CD ＝823.[周四]1．已知等比数列{a n }的各项均为正数，3a 2＋2a 3＝a 4，{a n }的前n 项和为S n ，则S3a 2等于()A ．3 B.133C.72D ．13答案B解析设等比数列{a n }的公比为q ，由于数列{a n }的各项均为正数，则q >0，因为3a 2＋2a 3＝a 4，即3a 2＋2a 2·q ＝a 2·q 2，所以3＋2q ＝q 2，解得q ＝3或q ＝－1(舍)，则S 3a 2＝a 1＋a 2＋a 3a 2＝2＝13＋1＋3＝133.2．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ>0，|φ|x ＝－π8是函数f (x )的一个零点，直线x ＝π8是函数f (x )图象的一条对称轴，若f (x )ω的最大值是()A ．14B ．16C ．18D ．20答案A解析设函数f (x )的最小正周期为T ，∵x ＝－π8是函数f (x )的一个零点，直线x ＝π8是函数f (x )图象的一条对称轴，则2n ＋14T ＝π8＝π4，其中n ∈N ，则T ＝π2n ＋1＝2πω，∴ω＝4n ＋2，∵函数f (x )上单调，则π4－π5≤T 2＝πω，∴ω≤20.∴ω的可能取值有2,6,10,14,18.当ω＝18时，f (x )＝sin(18x ＋φ)，f －9π4＋0，∴φ－9π4＝k π(k ∈Z )，则φ＝k π＋9π4(k ∈Z )，∵－π2≤φ≤π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝x 当π5<x <π4时，4π－3π20＝77π20<18x ＋π4<19π4＝4π＋3π4，∴函数f (x )当ω＝14时，f (x )＝sin(14x ＋φ)，f －7π4＋0，∴φ－7π4＝k π(k ∈Z )，则φ＝k π＋7π4(k ∈Z )，∵－π2≤φ≤π2，∴φ＝－π4，∴f (x )＝x 当π5<x <π4时，2π＋11π20＝51π20<14x －π4<13π4＝2π＋5π4，∴函数f (x )因此ω的最大值为14.3．(多选)(2023·潍坊模拟)如图所示的几何体，是将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点，作平行于底面的截面所得，且其所有棱长均为1，则()A ．直线BD 与直线JL 所成的角为π3B ．直线CG 与平面EFHILK 所成的角为π6C ．该几何体的体积为23212D ．该几何体中，二面角A －BC －D 的余弦值为13答案AC解析将该几何体还原为原正四面体Q －MNS ，棱长为3，设△MNS 的中心为O ，连接OQ ，ON ，则ON ＝3，OQ ＝6，S △MNS ＝34×32＝934，V 三棱锥Q －MNS ＝13×934×6＝924，对于A ，因为JL ∥QN ，所以直线BD 与直线JL 所成的角即为直线MQ 与QN 所成的角，为π3，故A 正确；对于B ，直线CG 与平面EFHILK 所成的角即为直线QN 与底面MNS 所成的角，∠QNO 即为所求角，sin ∠QNO ＝QO QN ＝63，∠QNO ≠π6，故B 错误；对于C ，该几何体的体积为大正四面体的体积减去4个棱长为1的小正四面体的体积，924－4×13×34×12×63＝23212，故C 正确；对于D ，二面角A －BC －D 的大小与A －BC －Q 的大小互补，显然二面角A －BC －Q 的平面角为锐角，所以二面角A －BC －D 的平面角一定为钝角，其余弦值小于零，故D 错误．4．(2023·邵阳模拟)已知直线l 是曲线y 1＝ln(x －2)＋2与y 2＝ln(x －1)的公切线，则直线l 与x 轴的交点坐标为________．答案3＋ln 22，0解析设直线l 与曲线y 1＝ln(x －2)＋2和y 2＝ln(x －1)分别相切于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，分别求导，得y ′1＝1x －2，y ′2＝1x －1，故l ：y －[ln (x 1－2)＋2]＝1x 1－2(x －x 1)，整理可得y ＝1x 1－2x ＋ln(x 1－2)＋2－x 1x 1－2.同理得l ：y －ln(x 2－1)＝1x 2－1(x －x 2)，整理可得y ＝1x 2－1x ＋ln(x 2－1)－x 2x 2－1.因为直线l ＝1x 2－1，2)＋2－x 1x 1－2＝ln (x 2－1)－x 2x 2－1，2＝32，1＝52，所以直线l 的方程为y ＝2x －3－ln 2，令y ＝0，得x ＝3＋ln 22.得直线l 与x5．(2023·广东名校联盟大联考)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A (2,0)，直线l 过点P (4,0)，当直线l 与双曲线E 有且仅有一个公共点时，点A 到直线l 的距离为255.(1)求双曲线E 的标准方程；(2)若直线l 与双曲线E 交于M ，N 两点，且x 轴上存在唯一一点Q (t ，0)，使得∠MQP ＝∠NQP 恒成立，求t .解(1)因为双曲线E 的右顶点为A (2,0)，所以a ＝2.当直线l 与双曲线E 有且仅有一个公共点时，直线l 平行于双曲线E 的一条渐近线．不妨设直线l 的方程为y ＝ba (x －4)，即bx －ay －4b ＝0，所以点A 到直线l 的距离d ＝2b b 2＋a 2＝2b c ＝255，所以c ＝5b .因为c 2＝a 2＋b 2，所以b ＝1，c ＝5，故双曲线E 的标准方程为x 24－y 2＝1.(2)当l 过点P (4,0)且与x 轴垂直时，满足条件∠MQP ＝∠NQP 的点Q 不唯一，所以设直线l 的方程为x ＝my ＋4(m ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，my＋4，y2＝1，得(m2－4)y2＋8my＋12＝0，则y1＋y2＝－8mm2－4，y1y2＝12m2－4，m2－4≠0且Δ>0.因为∠MQP＝∠NQP，所以k QM＋k QN＝y1x1－t＋y2x2－t＝y1my1＋4－t＋y2my2＋4－t＝0，所以y1(my2＋4－t)＋y2(my1＋4－t)＝2my1y2＋(4－t)(y1＋y2)＝24mm2－4－(4－t)8mm2－4＝8m(t－1)m2－4＝0，解得t＝1.当直线l恰好为x轴时，t＝1也满足题意，故t＝1.[周五]1．(2023·白山模拟)《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，书中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，则直角圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为()A.π2B.22π C.2πD．22π答案C解析设直角圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为α，底面圆的半径为r，母线长为l，因为直角圆锥的轴截面为等腰直角三角形，所以l＝2r，则αl＝2πr，解得α＝2π.2．(2023·大庆模拟)函数f(x)＝e x(2x－1)x－1，则方程f(x)＝4e解的个数为()A．0B．1C．2D．3答案A解析f(x)＝e x(2x－1)x－1，定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，f′(x)＝(2x＋1)(x－1)e x－(2x－1)e x(x－1)2＝x(2x－3)e x(x－1)2，令f′(x)>0，解得x<0或x>32；令f′(x)<0，可得0<x<1或1<x<32，因此函数f(x)＝e x(2x－1)x－1在(－∞，0)上单调递增，在(0,1)且当x <0时，f (x )>0；当x ＝0时，取极大值f (0)＝1；当x ＝32时，取极小值f 324e ；因此，函数y ＝e x (2x －1)x －1的大致图象如图所示，因为1<4e<324e ，所以y ＝4e 与y ＝e x (2x －1)x －1的图象无交点，可知方程f (x )＝4e 无解．3．(多选)(2023·淄博模拟)已知△ABC 的面积是1，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，点M 是平面内一动点，则下列结论正确的是()A ．若M 是线段DE 的中点，则AB →＋AC →＝2AM →B ．若MA →＋MB →＋2MC →＝0，则△MDE 的面积是116C ．若点M 满足MA →·MB →＝MA →·MC →，则点M 的轨迹是一条直线D ．若M 在直线DE 上，则MB →·MC →＋BC →2的最小值是3答案CD解析对于A ，若M 是线段DE 的中点，则AB →＋AC →＝2(AD →＋AE →)＝2×2AM →＝4AM →，故A 错误；对于B ，由MA →＋MB →＋2MC →＝2MD →＋2MC →＝0，可得MD →＝－MC →，即M 为CD 的中点，则△MDE 的面积为S △MDE ＝12S △CDE ＝14S △CDA ＝18S △CBA＝18，故B 错误；对于C ，由MA →·MB →＝MA →·MC →，可得MA →·(MB →－MC →)＝MA →·CB →＝0，即MA →⊥CB →，所以点M 的轨迹是过A 与CB 垂直的一条直线，故C 正确；对于D ，如图，取BC 的中点为F ，作MN ⊥BC 于N ，则MB →·MC →＝14[(MB →＋MC →)2－(MC →－MB →)2]，又MB →＋MC →＝2MF →，MC →－MB →＝BC →，则MB →·MC →＝MF →2－14BC →2，得MB →·MC →＋BC →2＝MF →2＋34BC →2，注意到S △ABC ＝12·|BC →|·2|MN →|＝|BC →|·|MN →|＝1，则|BC →|＝1|MN →|，又|FM →|≥|MN →|，则MB →·MC →＋BC →2＝MF →2＋34BC →2≥|MN →|2＋34|MN →|2≥2|MN →|2·34|MN →|2＝3，当且仅当FM ⊥BC ，且|MN →|2＝34|MN →|2时取等号，故D 正确．4．已知f (x )＝1＋ae 2x ＋1是奇函数，则实数a ＝________.答案－2解析由题意得f (x )＝－f (－x )，所以1＋a e 2x ＋1＝－1－ae －2x ＋1，即1＋a e 2x ＋1＝－1－a e 2x e 2x ＋1，所以a e 2x ＋1＋a e 2xe 2x＋1＝－2，解得a ＝－2.5．(2023·福州质检)放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一．某机场自2012年起采取相关策略优化各个服务环节，运行效率不断提升．以下是根据近10年年份数x i 与该机场飞往A 地航班放行准点率y i (i ＝1,2，…，10)(单位：百分比)的统计数据所作的散点图及经过初步处理后得到的一些统计量的值．x y t 错误!2i 错误!i y i 错误!2i 错误!i y i2017.580.41.540703145.01621254.227.71226.8其中t i ＝ln (x i －2012)，t ＝110错误!i .(1)根据散点图判断，y ＝bx ＋a 与y ＝c ln(x －2012)＋d 哪一个适合作为该机场飞往A 地航班放行准点率y 关于年份数x 的经验回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)，并根据表中数据建立经验回归方程，由此预测2023年该机场飞往A 地的航班放行准点率；(2)已知2023年该机场飞往A 地、B 地和其他地区的航班比例分别为0.2,0.2和0.6.若以(1)中的预测值作为2023年该机场飞往A 地航班放行准点率的估计值，且2023年该机场飞往B 地及其他地区(不包含A ，B 两地)航班放行准点率的估计值分别为80%和75%，试解决以下问题：①现从2023年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率；②若2023年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往A 地、B 地、其他地区这三种情况中的哪种情况的可能性最大，说明你的理由．附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其经验回归直线v ^＝α^＋β^u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝错误!＝错误!，α^＝v －β^u .参考数据：ln 10≈2.30，ln 11≈2.40，ln 12≈2.48.解(1)由散点图判断y ＝c ln(x －2012)＋d 适合作为该机场飞往A 地航班放行准点率y 关于年份数x 的经验回归方程类型．令t ＝ln(x －2012)，先建立y 关于t 的经验回归方程．由于c ^＝错误!＝1226.8－10×1.5×80.427.7－10×1.52＝4，d ^＝y －c ^t ＝80.4－4×1.5＝74.4，该机场飞往A 地航班放行准点率y 关于t 的经验回归方程为y ^＝4t ＋74.4，因此y 关于年份数x 的经验回归方程为y ^＝4ln(x －2012)＋74.4，所以当x ＝2023时，y ^＝4ln(2023－2012)＋74.4＝4ln 11＋74.4≈4×2.40＋74.4＝84.所以2023年该机场飞往A 地航班放行准点率为84%.(2)设A 1＝“该航班飞往A 地”，A 2＝“该航班飞往B 地”，A 3＝“该航班飞往其他地区”，C ＝“该航班准点放行”，则P (A 1)＝0.2，P (A 2)＝0.2，P (A 3)＝0.6，P (C |A 1)＝0.84，P (C |A 2)＝0.8，P (C |A 3)＝0.75.①由全概率公式得，P (C )＝P (A 1)P (C |A 1)＋P (A 2)P (C |A 2)＋P (A 3)P (C |A 3)＝0.2×0.84＋0.2×0.8＋0.6×0.75＝0.778，所以该航班准点放行的概率为0.778.②P (A 1|C )＝P (A 1C )P (C )＝P (A 1)P (C |A 1)P (C )＝0.2×0.840.778，P (A 2|C )＝P (A 2C )P (C )＝P (A 2)P (C |A 2)P (C )＝0.2×0.80.778，P (A 3|C )＝P (A 3C )P (C )＝P (A 3)P (C |A 3)P (C )＝0.6×0.750.778，因为0.6×0.75>0.2×0.84>0.2×0.8，所以该航班飞往其他地区的可能性最大．[周六]1．(2023·齐齐哈尔模拟)已知复数z 1与z ＝3＋i 在复平面内对应的点关于实轴对称，则z 12＋i 等于()A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i 答案B 解析因为复数z 1与z ＝3＋i 在复平面内对应的点关于实轴对称，所以z 1＝3－i ，所以z 12＋i ＝3－i 2＋i ＝(3－i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝5－5i 5＝1－i.2．(2023·滨州模拟)在正四棱锥P －ABCD 中，AB ＝42，PA ＝45，过侧棱PA 的延长线上一点A 1作与平面ABCD 平行的平面，分别与侧棱PB ，PC ，PD 的延长线交于点B 1，C 1，D 1.设几何体P －A 1B 1C 1D 1和几何体ABCD －A 1B 1C 1D 1的外接球半径分别为R 1和R 2，当R 2R 1最小时，PA PA 1等于()A.15 B.25 C.35 D.45答案C 解析设PA 1＝tPA ，则PA PA 1＝1t ，t >1.过点P 作PN ⊥平面A 1B 1C 1D 1于点N ，交平面ABCD 于点M ，则PM ⊥平面ABCD .设几何体P －A 1B 1C 1D 1和几何体ABCD －A 1B 1C 1D 1的外接球球心分别为O 1，O 2，由AB ∥A 1B 1，PA ＝45，得PA 1＝45t ，由AB ＝42得A 1B 1＝42t ，如图1，几何体P －A 1B 1C 1D 1的外接球球心O 1在PN 上，PA 1＝45t ，A 1N ＝4t ，PN ＝PA 21－A 1N2＝(45t )2－(4t )2＝8t ，PM ＝8.在Rt △O 1A 1N 中，R 21＝A 1N 2＋(PN －PO 1)2＝(4t )2＋(8t －R 1)2，解得R 1＝5t .如图2，几何体ABCD －A 1B 1C 1D 1的外接球球心O 2在PN 上，设O 2M ＝x ，O 2N ＝|8t －8－x |，A 1N ＝4t ，则R 22＝AM 2＋O 2M 2＝A 1N 2＋O 2N 2，即R 22＝42＋x 2＝(4t )2＋(8t －8－x )2，解得x ＝5t 2－8t ＋3t －1＝5(t 2－1)－8(t －1)t －1＝5t －3，R 22＝42＋(5t －3)2，则R 22R 21＝42＋(5t －3)2(5t )2＝1t 2－65t ＋1，当1t ＝35时，R 22R 21取最小值，即R 2R 1最小，此时PA PA 1＝1t ＝35.则t ＝53，O 2M ＝x ＝5t －3＝163，MN ＝PN －PM ＝8t －8＝163，则O 2与N 重合．3．(多选)(2023·温州模拟)近年来，网络消费新业态、新应用不断涌现，消费场景也随之加速拓展，某报社开展了网络交易消费者满意度调查，某县人口约为50万人，从该县随机选取5000人进行问卷调查，根据满意度得分分成以下5组：[50,60)，[60,70)，…，[90,100]，统计结果如图所示．由频率分布直方图可认为满意度得分X (单位：分)近似地服从正态分布N (μ，σ2)，且P (μ－σ≤X ≤μ＋σ)≈0.6827，P (μ－2σ≤X ≤μ＋2σ)≈0.9545，P (μ－3σ≤X ≤μ＋3σ)≈0.9973，其中μ近似为样本平均数，σ近似为样本的标准差s ，并已求得s ＝12.则()A ．由直方图可估计样本的平均数约为74.5B ．由直方图可估计样本的中位数约为75C ．由正态分布可估计全县满意度得分在(98.5，＋∞)内的人数约为2.3万人D ．由正态分布可估计全县满意度得分在[62.5,98.5]内的人数约为40.9万人答案ABD 解析对于A 选项，由直方图可估计样本的平均数为x ＝(55×0.015＋65×0.02＋75×0.03＋85×0.025＋95×0.01)×10＝74.5，A 正确；对于B 选项，前两个矩形的面积为(0.015＋0.02)×10＝0.35<0.5，前三个矩形的面积之和为(0.015＋0.02＋0.03)×10＝0.65>0.5，设样本的中位数为m ，则m ∈(70,80)，由中位数的定义可得0.35＋(m －70)×0.03＝0.5，解得m ＝75，B 正确；对于C 选项，因为μ＝74.5，σ＝12,98.5＝μ＋2σ，所以P (X >98.5)＝P (X >μ＋2σ)＝1－P (μ－2σ≤X ≤μ＋2σ)2≈0.02275，所以由正态分布可估计全县满意度得分在(98.5，＋∞)内的人数约为50×0.02275≈1.14(万人)，C 错误；对于D选项，因为62.5＝μ－σ，98.5＝μ＋2σ，所以P(62.5≤X≤98.5)＝P(μ－σ≤X≤μ＋2σ)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＋P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.8186，2所以由正态分布可估计全县满意度得分在[62.5,98.5]内的人数约为50×0.8186≈40.9(万人)，D正确．4．(2023·滨州模拟)已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝1，S n＋1＝4a n＋1，b n＝a n＋1－2a n，则b n＝________；若数列{c n}的前n项和为T n，且c1＝1，c n＋(－1)n c n＋1＝2log2b n＋1，则T66＝________.答案2n2143解析因为a1＝1，S n＋1＝4a n＋1，所以S2＝a1＋a2＝4a1＋1，解得a2＝4，＝4a n＋1，得S n＝4a n－1＋1，当n≥2时，由S n＋1－S n＝4a n＋1－4a n－1－1，即a n＋1＝4a n－4a n－1，所以S n＋1－2a n＝2a n－4a n－1，即a n＋1－2a n＝2(a n－2a n－1)，所以a n＋1又因为b n＝a n＋1－2a n，所以b n＝2b n－1，n≥2，n∈N*，所以数列{b n}是以首项为b1＝a2－2a1＝2，公比为2的等比数列，所以b n＝2×2n－1＝2n.所以c n＋(－1)n c n＋1＝2log2b n＋1＝2log22n＋1＝2n＋1，因为c1＝1，所以c1－c2＝2×1＋1，解得c2＝－2，当n＝2k时，c2k＋c2k＋1＝4k＋1，－c2k＝4k－1，当n＝2k－1时，c2k－1－c2k＋2＝4k＋3，当n＝2k＋1时，c2k＋1所以c2k＋c2k＋2＝－2，c2k＋1＋c2k－1＝8k，所以T66＝(c1＋c3＋c5＋…＋c65)＋(c2＋c4＋c6＋…＋c66)＝1＋8×(2＋4＋6＋…＋32)＋(－2)×17＝1＋8×16×(2＋32)－34＝2143.25．(2023·常德模拟)已知函数f(x)＝ln x＋ax＋1－2a(a∈R)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个极值点x1，x2，且x1∈[e，e2]，求f(x1)－f(x2)的取值范围．解(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，又f ′(x )＝x 2＋(2－a )x ＋1x (x ＋1)2，x ∈(0，＋∞)，令f ′(x )＝0，得x 2＋(2－a )x ＋1＝0，当a ≤2时，因为x >0，所以f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当2<a <4时，Δ<0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＝4时，f ′(x )＝(x －1)2≥0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >4时，Δ>0，由x 2＋(2－a )x ＋1＝0，得x 1＝a －2－a 2－4a 2>0，x 2＝a －2＋a 2－4a 2>0，当x ∈(0，x 1)∪(x 2，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x )<0，所以f (x )在上单调递增．综上所述，当a ≤4时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >4时，f (x )(2)由(1)得，若f (x )有两个极值点x 1，x 2，则a >4，且x 1＋x 2＝a －2，x 1x 2＝1，即a ＝x 1＋x 2＋2，x 2＝1x 1；故f (x 1)－f (x 2)＝ln x 1＋a x 1＋1－2a x 2＋a x 2＋1－2＝ln x 1＋x 1＋x 2＋2x 1＋1－ln x 2－x 1＋x 2＋2x 2＋1＝ln x 1x 2＋x 2＋1x 1＋1－x 1＋1x 2＋1＝2ln x 1＋1x 1－x 1，x 1∈[e ，e 2]，令g (x )＝2ln x ＋1x－x ，x ∈[e ，e 2]，则g ′(x )＝2x －1x 2－1＝－(x －1)2x 2，所以g (x )在[e ，e 2]上单调递减，即g (e 2)≤g (x )≤g (e)，故4＋1e 2－e 2≤g (x )≤2＋1e－e ，综上所述，f (x 1)－f (x 2)的取值范围为4＋1e 2－e 2，2＋1e －e .。
普通高中高考数学一轮复习模拟试题08(毕业班)(2021学年)
广东省深圳市普通高中20１８届高考数学一轮复习模拟试题08（毕业班）编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望（广东省深圳市普通高中2018届高考数学一轮复习模拟试题08(毕业班)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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一轮复习数学模拟试题08第I 卷(选择题 共6０分）一、选择题：（本大题共1２小题，每小题5分，共６0分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．已知i 为虚数单位，复数i i z )1(+=在复平面内对应的点位于( )A 。
第一象限ﻩ B. 第二象限ﻩﻩ C. 第三象限ﻩ D 。
第四象限２．设集合}{21|<<-=x x A ,}{30|<<=x x B ，则B A 等于（ )A. }{20|<<x xB. }{21|<<-x x ﻩC ． }{30|<<x x ﻩＤ。
}{31|<<-x x３．“︒=60α”是“21cos =α”的( ） A ． 充分不必要条件ﻩﻩＢ。
必要不充分条件C 。
充要条件ﻩ D 。
既不充分也不必要条件 4.执行右边的程序框图,输出Ｓ的值为（ )A 。
14 ﻩ Ｂ. 20ﻩ ﻩＣ。
30 ﻩＤ。
5５5。
已知向量)2,1(=a ，向量)2,(-=x b ，且b a //,则实数x 等于（ ）Ａ。
0 ﻩ B. 4ﻩ C. —1ﻩ D 。
－4６.若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,2104,a a +=则11S 的值为（ )Ａ.1２ B.22 ﻩC ．1８ ﻩ D.４47. 函数125)(-+-=x x x f 的零点所在的区间是( ）A 。
高考数学一轮复习 基础题每日一练8(含解析)文
江西省吉安市永新县永新五中2015届高三一轮文科数学“基础题每日一练”(含精析)8一．单项选择题。
（本部分共5道选择题）1．正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，既与AB 共面也与CC 1共面的棱的条数为( )．A ．3B ．4C ．5D ．6解析 依题意，与AB 和CC 1都相交的棱有BC ；与AB 相交且与CC 1平行的棱有AA 1，BB 1；与AB 平行且与CC 1相交的棱有CD ，C 1D 1，故符合条件的棱共有5条．答案 C2.下列函数中，既是偶函数，且在区间()+∞,0内是单调递增的函数是（ ）A ． 21x y =B ．x y cos =C ． x y ln =D ．x y 2=答案 D3．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.20,0.30,0.10.则此射手在一次射击中不够8环的概率为( )．A ．0.40B ．0.30C ．0.60D ．0.90解析 依题意，射中8环及以上的概率为0.20＋0.30＋0.10＝0.60，故不够8环的概率为1－0.60＝0.40.答案 A4. 若PQ 是圆22x 9y +=的弦，PQ 的中点是（1,2）,则直线PQ 的方程是（ ）A ．230x y +-=B ．250x y +-=C ．240x y -+=D ．20x y -=答案 B5． 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 8＝30，S 4＝7，则a 4的值等于( ) A.14 B.94C.134D.174解析 由已知，得，⎩⎪⎨⎪⎧ 8a 1＋8×72d ＝30，4a 1＋4×32d ＝7，即⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 1＋14d ＝15，4a 1＋6d ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝14，d ＝1，则a 4＝a 1＋3d ＝134，故选C. 答案 C二．填空题。
（本部分共2道填空题）1．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，点D 在BC 边上，∠ADC ＝45°，则AD 的长度等于________．解析 在△ABC 中，∵AB ＝AC ＝2，BC ＝23，∴cos C ＝32，∴sin C ＝12；在△ADC 中，由正弦定理得，AD sin C ＝AC sin ∠ADC ， ∴AD ＝2sin 45°×12＝ 2. 答案 22．设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________． 解析 设a ＝λb (λ＜0)，则|a |＝|λ||b |，∴|λ|＝|a ||b |， 又|b |＝5，|a |＝2 5.∴|λ|＝2，∴λ＝－2.∴a ＝λb ＝－2(2,1)＝(－4，－2)．答案 (－4，－2)三．解答题。
高考数学一轮复习第八章 解析几何答案
第八章解析几何第40讲直线的方程及位置关系链教材·夯基固本激活思维1. ABCD 【解析】对于A，该方程不能表示过点P且垂直于x轴的直线，即点斜式只能表示斜率存在的直线，所以A不正确；对于B，该方程不能表示过点P且平行于x轴的直线，即该直线不能表示斜率为零的直线，所以B不正确；对于C，斜截式不能表示斜率不存在的直线，所以C不正确；对于D，截距式的使用条件是能表示在两坐标轴上都有非零截距的直线，所以D不正确；对于E，经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示，是正确的，该方程没有任何限制条件，所以E 正确．故选ABCD.2. B 【解析】化直线方程为y＝3x＋a，所以k＝tan α＝3.因为0°≤α<180°，所以α＝60°.3. B 【解析】由已知得k1＝1，k2＝m＋15.因为l1⊥l2，所以k1·k2＝－1，所以1×m＋15＝－1，即m＝－6. 故选B.4. C 【解析】由直线l的倾斜角为3π4得l的斜率为－1，因为直线l与l1平行，所以l1的斜率为－1.又直线l1经过点A(3,2)和B(a，－1)，所以l1的斜率为33－a，故33－a＝－1，解得a＝6.5. ABC 【解析】当直线经过原点时，斜率为k＝2－0 1－0＝2，所求的直线方程为y＝2x，即2x－y＝0；当直线不过原点时，设所求的直线方程为x±y＝k，把点A(1,2)代入可得1－2＝k或1＋2＝k，解得k＝－1或k＝3，故所求的直线方程为x－y＋1＝0或x＋y－3＝0.综上可知，所求的直线方程为2x－y＝0，x－y＋1＝0或x＋y－3＝0.故选ABC.知识聚焦1. (1) 向上方向平行或重合(2) [0，π)2. (1) tan α (2) y2－y1x2－x13. y －y 0＝k (x －x 0) y ＝kx ＋b Ax ＋By ＋C ＝0 A 2＋B 2≠04. (1) ①l 1∥l 2 l 1⊥l 2 k 1＝k 2，b 1＝b 2②A 1B 2＝A 2B 1且A 1C 2≠A 2C 1A 1A 2＋B 1B 2＝0 A 1B 2＝A 2B 1且A 1C 2＝A 2C 1 (2) ⎩⎪⎨⎪⎧A1x ＋B1y ＋C1＝0，A2x ＋B2y ＋C2＝05. (1) (x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2(2) |Ax0＋By0＋C|A2＋B2(3)|C1－C2|A2＋B2研题型·融会贯通 分类解析(1) 【答案】 B【解析】 设直线的倾斜角为θ，因为θ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ π3，3π4，所以当θ∈⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫π3，π2时，k ＝tan θ＞3.当θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤π2，3π4时，k ＝tan θ＜－1，所以其斜率的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．故选B.(2) 【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－∞，56∪[2，＋∞) 【解析】若要使l 过点P (2,2)，且与线段AB 相交，则k ≥k AP ＝4－23－2＝2或k ≤k BP ＝－3－2－4－2＝56，即k ≥2或k ≤56.所以直线l 的斜率k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－∞，56∪[2，＋∞)．(1) 【答案】 D 【解析】 因为sin θ＋cos θ＝55，①所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θ cos θ＝15，所以2sin θcos θ＝－45，所以(sin θ－cos θ)2＝95，易知sin θ>0，cos θ<0，所以sin θ－cos θ＝355，②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝255，cos θ＝－55，所以tan θ＝－2，即l 的斜率为－2.故选D. (2) 【答案】 AD【解析】 方法一：如图，当l 过点B 时，k l ＝－1，当l 过点A 时，k l ＝1，所以k l ∈[－1,1]，又k ＝tan α(α∈[0，π))，所以α∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫3π4，π.(变式(2))方法二：由题可知l 的斜率存在，可设l ：y ＝kx －1，即kx －y －1＝0，易知A ，B 两点在直线l 两侧，所以(k ＋1)·(2k －2)≤0，所以－1≤k ≤1，以下同方法一．【解答】 (1) 由点斜式方程得y －3＝3(x －5)，整理得3x －y ＋3－53＝0；(2) x ＝－3，即x ＋3＝0；(3) y ＝4x －2，即4x －y －2＝0； (4) y ＝3，即y －3＝0；(5) 由两点式方程得y －5－1－5＝x －(－1)2－(－1)，整理得2x ＋y －3＝0；(6) 由截距式方程得x－3＋y－1＝1，整理得x ＋3y ＋3＝0.【解答】(1)由题意知，直线的点斜式方程为y －5＝4(x －2)，整理得4x －y －3＝0.(2) 由题意可知，直线的斜率k ＝tan 150°＝－33，所以直线的斜截式方程为y ＝－33x －2，整理得3x ＋3y ＋6＝0.(3) 根据题意可得，直线的两点式方程为y ＋12＋1＝x ＋22＋2，整理得3x －4y ＋2＝0.【解答】 方法一： (1) 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2； 当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2；当a ≠1且a ≠0时，两直线方程可化为l 1：y ＝－a2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，由l 1∥l 2可得⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＝11－a ，－3≠－(a ＋1)，解得a ＝－1.综上可知，a ＝－1.(2) 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1与l 2不垂直，故a ＝1不符合； 当a ≠1时，l 1：y ＝－a2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，由l 1⊥l 2，得⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－a 2·11－a ＝－1⇒a ＝23. 方法二：(1) 由l 1∥l 2知⎩⎪⎨⎪⎧A1B2－A2B1＝0，A1C2－A2C1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧a (a －1)－1×2＝0，a (a 2－1)－1×6≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a2－a －2＝0，a (a 2－1)≠6⇒a ＝－1.(2) 因为l1⊥l2，所以A1A2＋B1B2＝0，即a＋2(a－1)＝0，解得a＝2 3.【答案】－10【解析】因为l1∥l2，所以4－m m＋2＝－2(m≠－2)，解得m＝－8(经检验，l1与l2不重合)．因为l2⊥l3，所以2×1＋1×n＝0，解得n＝－2，所以m＋n＝－10.(1) 【答案】x＋3y－5＝0或x＝－1【解析】方法一：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由题意知|2k－3＋k＋2|k2＋1＝|－4k－5＋k＋2|k2＋1，即|3k－1|＝|－3k－3|，解得k＝－13，所以直线l的方程为y－2＝－13(x＋1)，即x＋3y－5＝0.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意．故直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.方法二：当AB∥l时，有k＝k AB＝－13，直线l的方程为y－2＝－13(x＋1)，即x＋3y－5＝0.当l过AB中点时，AB的中点为(－1,4)，所以直线l的方程为x＝－1.故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.(2) 【答案】 2或－6【解析】依题意知，63＝a－2≠c－1，解得a＝－4，c≠－2，即直线6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋c2＝0，又两平行线之间的距离为21313，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪c2＋132＋(－2)2＝21313，解得c＝2或－6.(1) 【答案】 BC【解析】直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0，即2x ＋6y ＋2m ＝0，因为它与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，所以|2m ＋3|4＋36＝10，解得m ＝172或－232，故选BC.(2) 【答案】 2 2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0 【解析】显然直线l 的斜率不存在时，不满足题意．设所求直线方程为y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0，由已知，得|－2k －2＋4－3k|1＋k2＝|4k ＋2＋4－3k|1＋k2，所以k ＝2或k ＝－23. 所以直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0. 课堂评价 1.D【解析】由题意，直线的斜率为k ＝－33，即直线倾斜角的正切值是－33.又倾斜角∈[0°，180°)，因为tan 150°＝－33，故直线的倾斜角为150°，故选D.2.C【解析】因为A (1，－2)和B (m,2)的中点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋m 2，0在直线x ＋2y －2＝0上，所以1＋m2＋2×0－2＝0，所以m ＝3.故选C.3.A【解析】若l 1∥l 2，则(3＋m )(5＋m )＝4×2，解得m ＝－1或m ＝－7.经检验，当m ＝－1时，l 1与l 2重合，所以m ＝－7.故“l 1∥l 2”是“m <－1”的充分不必要条件，故选A.4.x ＋2y －3＝05【解析】 当两条平行直线与A ，B 两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．因为A (1,1)，B (0，－1)，所以k AB ＝－1－10－1＝2，所以当l 1，l 2间的距离最大时，直线l 1的斜率为k ＝－12，所以当l 1，l 2间的距离最大时，直线l 1的方程是y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0，最大距离为AB ＝5.5. 【解答】 点C 到直线x ＋3y －5＝0的距离d ＝|－1－5|1＋9＝3105.设与x ＋3y －5＝0平行的一边所在直线的方程是x ＋3y ＋m ＝0(m ≠－5)， 则点C 到直线x ＋3y ＋m ＝0的距离d ＝|－1＋m|1＋9＝3105，解得m ＝－5(舍去)或m ＝7，所以与x ＋3y －5＝0平行的边所在直线的方程是x ＋3y ＋7＝0. 设与x ＋3y －5＝0垂直的边所在直线的方程是3x －y ＋n ＝0，则点C 到直线3x －y ＋n ＝0的距离d ＝|－3＋n|9＋1＝3105，解得n ＝－3或n ＝9，所以与x ＋3y －5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x －y －3＝0和3x －y ＋9＝0.第41讲 圆的方程链教材·夯基固本 激活思维 1. D 2. D 3.A【解析】根据题意可设圆的方程为x 2＋(y －b )2＝1，因为圆过点A (1,2)，所以12＋(2－b )2＝1，解得b ＝2，所以所求圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.4. (x －2)2＋y 2＝10【解析】 设圆心坐标为(a,0)，易知(a －5)2＋(－1)2＝(a －1)2＋(－3)2，解得a ＝2，所以圆心为(2,0)，半径为10，所以圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝10.5.5【解析】方法一：设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)．因为圆C 经过点M (－1,0)和N (2,3)，所以⎩⎨⎧(a ＋1)2＋b 2＝r 2，(a －2)2＋(b －3)2＝r 2，所以a ＋b －2＝0，① 又圆C 截两坐标轴所得弦长相等，所以|a |＝|b |，②由①②得a ＝b ＝1，所以圆C 的半径为5. 方法二：因为圆C 经过点M (－1,0)和N (2,3)，所以圆心C 在线段MN 的垂直平分线y ＝－x ＋2上，又圆C 截两坐标轴所得弦长相等，所以圆心C 到两坐标轴的距离相等，所以圆心C 在直线y ＝±x 上，因为直线y ＝－x 和直线y ＝－x ＋2平行，所以圆心C 为直线y ＝x 和直线y ＝－x ＋2的交点(1,1)，所以圆C 的半径为5.知识聚焦1. 定点 定长 (a ，b ) r D 2＋E 2－4F >0 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－D 2，－E 2 12D2＋E2－4F研题型·融会贯通 分类解析(1) 【答案】 AB 【解析】由题知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为2π3，设圆心(0，a )，半径为r (r ＞0)，则r sinπ3＝1，r cosπ3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33，故圆C 的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y ±332＝43. (2) 【答案】 213【解析】 设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋D ＋F ＝0，3＋3E ＋F ＝0，7＋2D ＋3E ＋F ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝－433，F ＝1，所以△ABC 外接圆的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，233，故△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为1＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2332＝213. (1) 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －762＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y －562＝16918 【解析】设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.把点A ，B 的坐标代入，得⎩⎨⎧(－1－a )2＋(3－b )2＝r 2，(4－a )2＋(2－b )2＝r 2，消去r 2，得b ＝5a －5.① 令x ＝0，则(y －b )2＝r 2－a 2，y ＝b ±r2－a2， 所以在y 轴上的截距之和是2b .令y ＝0，则(x －a )2＝r 2－b 2，x ＝a ±r2－b2， 所以在x 轴上的截距之和是2a . 所以2a ＋2b ＝4，即a ＋b ＝2.② ①代入②，得a ＝76，所以b ＝56.所以r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1－762＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3－562＝16918.所以圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －762＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y －562＝16918. (2) 【答案】 x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.【解析】 由题知圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－D 2，－E 2，因为圆心在直线x ＋y －1＝0上，所以－D 2－E 2－1＝0，即D ＋E ＝－2.①又因为半径长r ＝D2＋E2－122＝2，所以D 2＋E 2＝20.②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝2.又因为圆心在第二象限，所以－D2＜0，即D ＞0.则⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－4.故圆的一般方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.【解答】 (1) 原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆．y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝k ，即y ＝kx .如图(1)，当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k2＋1＝3，解得k ＝±3.所以yx的最大值为3，最小值为－3.(例2(1))(2)y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，如图(2)，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b|2＝3，解得b ＝－2±6.所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－6.(例2(2))(3)如图(3)，x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为2，所以x2＋y2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x2＋y2的最小值是(2－3)2＝7－43.(例2(3))【解答】(1) 因为x2＋y2－4x－14y＋45＝0可化为(x－2)2＋(y－7)2＝8，所以圆心C(2,7)，半径r＝2 2.设m＋2n＝t，将m＋2n＝t看成直线方程，因为该直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离d＝|1×2＋2×7－t|12＋22≤22，解得16－210≤t≤16＋210，所以m＋2n的最大值为16＋210.(2) 记点Q(－2,3)．因为n－3m＋2表示直线MQ的斜率，设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，n－3m＋2＝k.由直线MQ与圆C有公共点，知|2k－7＋2k＋3|1＋k2≤22，解得2－3≤k≤2＋3.所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－3.(1) 【答案】 BC【解析】 由题意知AB ＝(－1)2＋(－2)2＝5，l AB ：2x －y ＋2＝0，圆心坐标为(1,0)，所以圆心到直线l AB 的距离d ＝|2－0＋2|4＋1＝45＝455，所以S △PAB 的最大值为12×5×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫455＋1＝2＋52， S △PAB 的最小值为12×5×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫455－1＝2－52. (2) 【答案】 5－27【解析】如图，以点A 为原点，AB 边所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．则A (0,0)，B (4,0)，C (1，3)，设P (x ，y )，则PB→＝(4－x ，－y )，PC →＝(1－x ，3－y )，所以PB →·PC →＝(4－x )(1－x )－y (3－y )＝x 2－5x ＋y 2－3y ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －522＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y －322－3，其中⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －522＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y －322表示圆A 上的点P 与点M⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫52，32之间距离PM 的平方，由几何图形可得PM min ＝AM －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫322－1＝7－1，所以(PB →·PC →)min＝(7－1)2－3＝5－27.(例3(2))(1) 【答案】 A【解析】由点P 是x 轴上任意一点，知PM 的最小值为PC 1－1，同理PN 的最小值为PC 2－3，则PM ＋PN 的最小值为PC 1＋PC 2－4.作C 1关于x 轴的对称点C ′1(2，－3)，所以PC 1＋PC 2＝P C 1′＋PC 2≥C 1′C 2＝52，即(PM ＋PN )min ＝PC 1＋PC 2－4≥52－4，故选A.(2) 【答案】 22【解析】设P (x ，y )，因为PA→·PB→≤3，所以x 2＋y 2≤4，即点P 在以原点为圆心，2为半径的圆O 上或圆内，又因为点P 在圆C 上，所以圆O 与圆C 内切或内含，即圆心距(－a )2＋a2≤2－1，所以－22≤a ≤22，所以a 的最大值为22.课堂评价 1.A【解析】 由题意可知圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，a ＋32，因为该圆过原点，所以12＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋322＝1242＋(a －3)2，解得a ＝1，所以12＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋322＝5，所以该圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，故选A.2.ABD【解析】由圆M 的一般方程为x 2＋y 2－8x ＋6y ＝0，化为标准形式得(x －4)2＋(y ＋3)2＝25.圆M 的圆心坐标为(4，－3)，半径为5.令y ＝0，得x ＝0或x ＝8，故圆M 被x 轴截得的弦长为8；令x ＝0，得y ＝0或y ＝－6，故圆M 被y 轴截得的弦长为6，显然选项C 不正确．ABD 均正确．3.CD【解析】 由x 2＋y 2＋2x ＝0，得(x ＋1)2＋y 2＝1，表示以(－1，0)为圆心、1为半径的圆，y x －1表示圆上的点P (x ，y )与点M (1,0)连线的斜率，如图，易知，y x －1的最大值为33，最小值为－33.故选CD.(第3题)4. (0，－1)【解析】 因为圆C 的方程可化为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝－34k 2＋1，所以当k ＝0时圆C 的面积最大，此时圆心为(0，－1)．5.3【解析】因为cos 2θ＋sin 2θ＝1，所以P 为以原点为圆心的单位圆上一点，而直线x －my －2＝0过定点A (2,0)，所以d 的最大值为OA ＋1＝2＋1＝3.第42讲 直线与圆、圆与圆的位置关系链教材·夯基固本 激活思维 1.D【解析】圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋9＝0的圆心坐标为(2,3)，半径为2，因为直线l 过点(0,2)，被圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋9＝0截得的弦长为23，所以圆心到所求直线的距离为1，易知所求直线l 的斜率k 存在，设所求直线方程为y ＝kx ＋2，即kx －y ＋2＝0，所以|2k －1|k2＋1＝1，解得k ＝0或43，所以所求直线方程为y ＝43x ＋2或y ＝2.故选D.2. C 【解析】 直线2tx －y －2－2t ＝0恒过点(1，－2)， 因为12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5＜0，所以点(1，－2)在圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0内部，所以直线2tx －y －2－2t ＝0与圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0相交． 3.D【解析】圆C 1：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4，所以圆心C 1(－1，－1)，半径长r 1＝2；圆C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝1，所以圆心C 2(2,1)，半径长r 2＝1.所以圆心距d ＝(－1－2)2＋(－1－1)2＝13，r 1＋r 2＝3，所以d ＞r 1＋r 2，所以两圆相离，所以两圆有4条公切线．4. A 【解析】 联立⎩⎪⎨⎪⎧x2＋y2－4x ＋1＝0，x2＋y2－2x －2y ＋1＝0，解得x －y ＝0.圆C 1可化成(x －2)2＋y 2＝3，故C 1(2,0)，半径为3，圆心(2,0)到直线x －y＝0的距离为d ＝|2|12＋12＝2，故弦长为23－(2)2＝2.5.ACD【解析】将点(0,1)代入方程(x －2)2＋(y ＋3)2＝16的左边，则得4＋16＝20>16，所以点(0,1)在圆C 外，故A 不正确；由圆C ：(x －2)2＋(y ＋3)2＝16知圆心为(2，－3)，半径为r ＝4，则圆心(2，－3)到直线3x ＋4y －14＝0的距离d ＝|3×2＋4×(－3)－14|32＋42＝4＝r ，故B 正确；将点(2,5)代入方程(x －2)2＋(y ＋3)2＝16的左边，则得0＋64＝64>16，所以点(2,5)在圆C 外，故C 不正确；圆心(2，－3)到直线x ＋y ＋8＝0的距离d ＝|2－3＋8|12＋12＝72≠r ，故D 不正确，故选ACD.知识聚焦1. < > ＝ ＝ > <2. d >r 1＋r 2 无 d ＝r 1＋r 2 一组 |r 1－r 2|<d <r 1＋r 2 两组不同的 |r 1－r 2| ≤<研题型·融会贯通 分类解析(1) 【答案】 26【解析】 圆C 的方程为x 2＋(y －1)2＝8，圆心C (0,1)，直线l ：kx －y －k ＋2＝0，即k (x －1)－(y －2)＝0，过定点P (1,2)，当AB 取最小值时，AB ⊥PC ，此时CP ＝2，故AB min ＝2CA2－CP2＝26.(2) 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－53，53【解析】 因为A (0，a )，B (3，a ＋4)，所以AB ＝5，直线AB 的方程为y ＝43x ＋a .因为S△ABC ＝12AB ·h ＝52h ＝5，故h ＝2，因此，问题转化为在圆上存在4个点C ，使得它到直线AB 的距离为2.因为圆的半径为3，因此，圆心O 到直线AB 的距离小于1，即|3a|5<1，解得－53<a <53.(1) 【答案】 1023 【解析】易知最长弦为圆的直径10.又最短弦所在直线与最长弦垂直，且PC ＝2，所以最短弦的长为2r2－PC2＝225－2＝223.故所求四边形的面积S ＝12×10×223＝1023.(2) 【答案】 3 【解析】圆的方程化为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝8，圆心(－1，－2)到直线的距离d ＝|－1－2＋1|2＝2，半径是22，结合图形可知有3个符合条件的点．【解答】 (1) 设切线方程为x ＋y ＋b ＝0， 则|1－2＋b|2＝10，所以b ＝1±25，所以切线方程为x ＋y ＋1±25＝0. (2) 设切线方程为2x ＋y ＋m ＝0， 则|2－2＋m|5＝10，所以m ＝±52，所以切线方程为2x ＋y ±52＝0.(3) 因为k AC ＝－2＋11－4＝13，所以过切点A (4，－1)的切线斜率为－3，所以过切点A (4，－1)的切线方程为y ＋1＝－3(x －4)，即3x ＋y －11＝0.【解答】由方程x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0知，圆心为(－1,2)，半径长为2.当切线过原点时，设切线方程为y ＝kx ，则|k ＋2|k2＋1＝2，所以k ＝2±6，即切线方程为y ＝(2±6)x .当切线不过原点时，设切线方程为x ＋y ＝a ，则|－1＋2－a|2＝2，所以a ＝－1或a ＝3，即切线方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.综上所述，切线方程为y ＝(2±6)x 或x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.【解答】因为两圆的标准方程分别为(x －1)2＋(y －3)2＝11，(x －5)2＋(y －6)2＝61－m ，所以两圆的圆心分别为(1,3)，(5,6)，半径分别为11，61－m .(1) 当两圆外切时，由(5－1)2＋(6－3)2＝11＋61－m ，得m ＝25＋1011.(2) 当两圆内切时，因为定圆半径11小于两圆圆心之间的距离5，所以61－m－11＝5，解得m ＝25－1011.(3)由(x 2＋y 2－2x －6y －1)－(x 2＋y 2－10x －12y ＋45)＝0，得两圆的公共弦所在直线的方程为4x ＋3y －23＝0，故两圆的公共弦长为2(11)2－⎝⎛⎭⎪⎫|4×1＋3×3－23|42＋322＝27. (1) 【答案】 9或－11 【解析】依题意可得C 1(0,0)，C 2(3,4)，则C 1C 2＝32＋42＝5.又r 1＝1，r 2＝25－m，25－m ＞0.当两圆外切时，r 1＋r 2＝25－m ＋1＝5，解得m ＝9；当两圆内切时，|r 2－r 1|＝5，即|25－m －1|＝5，得25－m＝6，解得m ＝－11.(2) 【答案】 1 【解析】将x 2＋y 2＋2ay －6＝0与x 2＋y 2＝4两式相减得2ay ＝2，则y ＝1a.由题知22－(3)2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a ，a ＞0，解得a ＝1. 课堂评价 1.C【解析】圆C 2化简得(x －4)2＋(y －5)2＝35－m ，由圆的方程得C 1(1,1)，C 2(4,5)，半径分别为2和35－m ，因为两圆外切，所以(4－1)2＋(5－1)2＝35－m ＋2，解得m ＝26.故选C. 2.B【解析】由题意，过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则点(3,1)在圆上，代入可得r 2＝5，圆的方程为(x －1)2＋y 2＝5，则过点(3,1)的切线方程为(x －1)·(3－1)＋y (1－0)＝5，即2x ＋y －7＝0.3. A【解析】因为圆心(2,0)到直线的距离d ＝|2＋0＋2|2＝22，所以点P 到直线的距离d 1∈[2，32]．根据直线的方程可知A ，B 两点的坐标分别为(－2,0)，(0，－2)，所以AB＝22，所以△ABP 的面积S ＝12AB ·d 1＝2d 1.因为d 1∈[2，32]，所以S ∈[2,6]，即△ABP 面积的取值范围是[2,6]．4.BD【解析】 因为直线x －2y ＋a ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点(O 为坐标原点)，且△AOB 为等腰直角三角形，所以O 到直线AB 的距离为1，由点到直线的距离公式可得|a|12＋(－2)2＝1，所以a ＝±5，故选BD.5. 4【解析】 连接OO 1，记AB 与OO 1的交点为C ，如图所示，在Rt △OO 1A 中，OA ＝5，O 1A ＝25，所以OO 1＝5，所以AC ＝5×255＝2，所以AB ＝4.(第5题) 第43讲 椭 圆链教材·夯基固本 激活思维1. C2. D3. 724. x236＋y227＝15. 45 18 【解析】 由椭圆方程知a ＝5，b ＝3，c ＝4，所以其离心率e ＝c a ＝45.△PF 1F 2的周长为2a ＋2c ＝10＋8＝18.知识聚焦1. (1) 焦点 焦距 (2) PF 1＋PF 2＝2a (2a ＞F 1F 2)2. F 1(－c,0)，F 2(c,0) F 1(0，－c )，F 2(0，c ) c 2＝a 2－b 2ca＝1－b2a21 0研题型·融会贯通 分类解析(1) 【答案】 C 【解析】 设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)，由已知设BF 的方程为x c ＋y b＝1，因为点O 到直线BF 的距离为3，所以bc a ＝3，又因为过F 垂直于椭圆长轴的弦长为2，所以2b2a＝2，结合a 2＝b 2＋c 2，知a ＝4，b ＝2，故选C.(2) 【答案】x236＋y216＝1 【解析】 依题意，设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)，右焦点为F ′，连接PF ′.由已知，半焦距c ＝25.又由OP ＝OF ＝OF ′，知∠FPF ′＝90°.在Rt△PFF ′中，PF ′＝FF ′2－PF2＝(4 5 )2－42＝8.由椭圆的定义可知2a ＝PF ＋PF ′＝4＋8＝12，所以a ＝6，于是b 2＝a 2－c 2＝62－(25)2＝16，故椭圆C 的方程为x236＋y216＝1.(1) 【答案】x24＋y23＝1【解析】因为3AF1＝5AF2，由椭圆定义有AF1＋AF2＝4，解得AF2＝32，又AF2⊥x轴，故AF2＝b2a＝b22，所以b2＝3，故椭圆方程为x24＋y23＝1.(2) 【答案】x23＋y22＝1【解析】如图，由已知可设F2B＝n，则AF2＝2n，BF1＝AB＝3n，由椭圆的定义有2a＝BF1＋BF2＝4n，所以AF1＝2a－AF2＝2n.在△AF1B中，由余弦定理推论得cos∠F1AB＝4n2＋9n2－9n22·2n·3n＝13.在△AF1F2中，由余弦定理得4n2＋4n2－2·2n·2n·13＝4，解得n＝32.所以2a＝4n＝23，所以a＝3，所以b2＝a2－c2＝3－1＝2，所以椭圆C的方程为x23＋y22＝1.(变式(2))(1) 【答案】 C【解析】椭圆方程可化为x211＋m＋y21m＝1，由题意知m>0，所以11＋m＜1m，所以a＝mm，所以椭圆的长轴长2a＝2mm.故选C.(2) 【答案】 8【解析】 因为椭圆x2m －2＋y210－m＝1的长轴在x 轴上，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －2＞0，10－m ＞0，m －2＞10－m ，解得6<m <10.因为焦距为4，所以c 2＝m －2－10＋m ＝4，解得m ＝8.(3) 【答案】 3【解析】由椭圆的方程可知a ＝2，由椭圆的定义可知AF 2＋BF 2＋AB ＝4a ＝8，所以AB ＝8－(AF 2＋BF 2)≥3，由椭圆的性质可知2b2a＝3，所以b 2＝3，即b ＝3.(1) 【答案】 D【解析】 由题意可得椭圆的焦点在x 轴上，如图所示， 设F 1F 2＝2c ，因为△PF 1F 2为等腰三角形，且∠F 1F 2P ＝120°， 所以PF 2＝F 1F 2＝2c ，因为OF 2＝c ，所以点P 的坐标为(c ＋2c cos 60°，2c sin 60°)，即点P (2c ，3c )． 因为点P 在过点A ，且斜率为36的直线上，所以3 c 2c ＋a＝36，解得c a＝14，所以e ＝14，故选D.(例3(1))(2) 【答案】 ⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫12，1 【解析】不妨设椭圆焦点在x 轴上，设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)，PF 1＝m ，PF 2＝n ，则m ＋n ＝2a .在△PF 1F 2中，由余弦定理可知，4c 2＝m 2＋n 2－2mn cos 60°＝(m ＋n )2－3mn ＝4a 2－3mn ≥4a 2－3·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫m ＋n 22＝4a 2－3a 2＝a 2(当且仅当m ＝n 时取等号)，所以c2a2≥14，即e ≥12.又0<e <1，所以e 的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫12，1. (1) 【答案】255【解析】 不妨设点P 在第一象限，O 为坐标原点，由对称性可得OP ＝PQ 2＝a 2，因为AP ⊥PQ ，所以在Rt △POA 中，cos ∠POA ＝OP OA＝12，故∠POA ＝60°，易得P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 4，3a 4，代入椭圆方程得116＋3a216b2＝1，故a 2＝5b 2＝5(a 2—c 2)，所以椭圆C 的离心离e ＝255.(2) 【答案】 ⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫13，1 【解析】 由椭圆的定义知PF 1＋PF 2＝2a ，PF 1＝2PF 2， 所以PF 1＝43a ，PF 2＝23a ，又PF 1－PF 2≤F 1F 2，即23a ≤2c ，所以e ≥13，又0<e <1，所以椭圆的离心率e 的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫13，1.【解答】(1)由题意得c ＝3，c a＝32，所以a ＝23，又因为a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝3，所以椭圆的方程为x212＋y23＝1.(2) 由⎩⎪⎨⎪⎧x2a2＋y2b2＝1，y ＝kx ，得(b 2＋a 2k 2)x 2－a 2b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－a2b2b2＋a2k2，依题意易知，OM ⊥ON ，四边形OMF 2N 为平行四边形，所以AF 2⊥BF 2. 因为F2A →＝(x 1－3，y 1)，F2B →＝(x 2－3，y 2)， 所以F2A →·F2B →＝(x 1－3)(x 2－3)＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋9＝0. 即－a2(a 2－9)(1＋k 2)a 2k 2＋(a 2－9)＋9＝0，将其整理为k 2＝a4－18a2＋81－a4＋18a2＝－1－81a4－18a2.因为22＜e ≤32，所以23≤a ＜32，即12≤a 2＜18.所以k 2≥18，即k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－∞，－24∪⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫24，＋∞. 课堂评价 1. A2. C 【解析】 由椭圆x216＋y2m＝1的焦距为27，可得216－m ＝27或2m －16＝27，解得m ＝9或23.故选C.3. ACD【解析】由已知得2b ＝2，b ＝1，c a ＝63，又a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝3，所以椭圆C 的方程为y23＋x 2＝1.如图，PQ ＝2b2a＝23＝233，△PF 2Q 的周长为4a ＝43.故选ACD.(第3题)4.C【解析】 由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，又由三角形面积公式得12×2c ×b ＝12(2a ＋2c )×b3，得a ＝2c ，即e ＝ca ＝12，故选C.5.4【解析】如图，设AB 的方程为ty ＝x ，F (c,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＝－y 2.联立⎩⎪⎨⎪⎧ty ＝x ，x2a2＋y2b2＝1，可得y 2＝a2b2b2t2＋a2＝－y 1y 2，所以△ABF 的面积S ＝12c |y 1－y 2|＝12c (y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝ca2b2b2t2＋a2≤cb ，当且仅当t ＝0时取等号．所以bc ＝2，所以a 2＝b 2＋c 2≥2bc ＝4， 当且仅当b ＝c 时取等号，此时a ＝2. 所以椭圆E 的长轴长的最小值为4.(第5题) 第44讲 双曲线链教材·夯基固本 激活思维 1.A【解析】由双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，知c ＝4，a ＝2，b 2＝12，即双曲线的方程为x24－y212＝1，故选A.2.A【解析】 由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为x a±y b ＝0，即bx ±ay ＝0，所以2a ＝bc a2＋b2＝b .又a 2＋b 2＝c 2，所以5a 2＝c 2，所以e 2＝c2a2＝5，所以e ＝5.3. AC 【解析】 设双曲线方程为x29－y23＝λ，代入(3，2)得λ＝13，即x23－y 2＝1，故A 正确；由a ＝3，c ＝2，得e ＝23，故B 错误；焦点(2,0)在y ＝e x －2－1上，故C 正确；联立⎩⎪⎨⎪⎧x23－y2＝1，x －2y －1＝0，消去x 得y 2－22y ＋2＝0，可得Δ＝0，所以直线x －2y －1＝0与曲线C 只有1个交点，故D 错误．故选AC.4. A 【解析】 不妨设点P 在第一象限，根据题意可知c 2＝6，所以OF ＝6.又tan ∠POF ＝ba ＝22，所以等腰三角形POF 的高h ＝62×22＝32，所以S △PFO ＝12×6×32＝324.故选A.5. 5＋12 【解析】 将x ＝±c 代入双曲线的方程得y 2＝b4a2⇒y ＝±b2a，则2c ＝2b2a，即有ac ＝b 2＝c 2－a 2，由e ＝c a，可得e 2－e －1＝0，解得e ＝5＋12或e ＝1－52(舍去)．知识聚焦 1. 焦点 焦距2. |x |≥a ，y ∈R |y |≥a ，x ∈R F 1(－c,0)，F 2(c,0) F 1(0，－c )，F 2(0，c ) A 1(－a,0)，A 2(a,0) A 1(0，－a )，A 2(0，a )ca ＝1＋b2a2研题型·融会贯通 分类解析(1) 【答案】 B 【解析】由y28＋x22＝1，得a 2＝8，b 2＝2，所以c 2＝6，得c ＝6，即椭圆的半焦距为6.设与双曲线x22－y 2＝1有相同渐近线的双曲线方程为x22－y 2＝λ，因为所求双曲线的焦点在y 轴上，则λ<0，双曲线方程化为y2－λ－x2－2λ＝1，设双曲线的实半轴长为m ，虚半轴长为n ，则m 2＝－λ，n 2＝－2λ， 所以m 2＋n 2＝－λ－2λ＝(6)2，解得λ＝－2.所以所求双曲线的方程为y22－x24＝1.故选B.(2) 【答案】 x24－y26＝1【解析】不妨设B (0，b )，由BA→＝2AF →，F (c,0)，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2c 3，b 3，代入双曲线C 的方程可得49×c2a2－19＝1，即49·a2＋b2a2＝109，所以b2a2＝32①.又|BF →|＝b2＋c2＝4，c 2＝a 2＋b 2，所以a 2＋2b 2＝16②.由①②可得a 2＝4，b 2＝6，所以双曲线C 的方程为x24－y26＝1.(1) 【答案】 y22－x24＝1【解析】因为所求双曲线与已知双曲线x22－y 2＝1有公共的渐近线，故可设双曲线方程为x22－y 2＝λ(λ≠0)，代入点(2，－2)，得λ＝－2，所以所求双曲线的方程为x22－y 2＝－2，即y22－x24＝1.(2) 【答案】 x 2－y23＝1【解析】 设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)，由题意得B (2,0)，C (2,3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧4＝a2＋b2，4a2－9b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝1，b2＝3，所以双曲线的标准方程为x 2－y23＝1.(1) 【答案】 (0,2) 【解析】对于焦点在x 轴上的双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，它的一个焦点(c,0)到渐近线bx ±ay ＝0的距离为|bc|b2＋a2＝b .本题中，双曲线x28－m＋y24－m＝1，即x28－m－y2m －4＝1，其焦点在x 轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧8－m ＞0，m －4＞0，解得4<m <8，则焦点到渐近线的距离d ＝m －4∈(0,2)．故焦点到渐近线距离的取值范围是(0,2)．(2) 【答案】 y ＝±2x 【解析】由题意可得c 2＝m 2＋2m ＋6＝(m ＋1)2＋5，当m ＝－1时，c 2取得最小值，即焦距2c 取得最小值，此时双曲线M 的方程为x 2－y24＝1，所以渐近线方程为y ＝±2x .(1) 【答案】 D 【解析】不妨设P 为双曲线右支上一点，则PF 1>PF 2.由双曲线的定义得PF 1－PF 2＝2a .又PF 1＋PF 2＝6a ，所以PF 1＝4a ，PF 2＝2a .又因为⎩⎪⎨⎪⎧2c ＞2a ，4a ＞2a ，所以∠PF 1F 2为最小内角，故∠PF 1F 2＝π6.由余弦定理可得(4a )2＋(2c )2－(2a )22·4a ·2c ＝32， 即(3a －c )2＝0，所以c ＝3a ，则b ＝2a ，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .故选D. (2) 【答案】 x23－y29＝1【解析】 因为双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，所以e 2＝1＋b2a2＝4，所以b2a2＝3，即b 2＝3a 2，所以c 2＝a 2＋b 2＝4a 2，由题意可设A (2a,3a )，B (2a ，－3a )， 因为b2a2＝3，所以渐近线方程为y ＝±3x .则点A 与点B 到直线3x －y ＝0的距离分别为d 1＝|2 3 a －3a|2＝2 3 －32a ，d 2＝|2 3 a ＋3a|2＝23＋32a .又因为d 1＋d 2＝6， 所以23 －32a ＋23＋32a ＝6，解得a ＝3， 所以b 2＝9.所以双曲线的方程为x23－y29＝1.(1) 【答案】655【解析】 设BF 1＝x ，则AF 2＝3x .由图及双曲线的定义知AF 1－AF 2＝2a ，BF 2－BF 1＝2a ，则AB ＋x －3x ＝2a ，BF 2－x ＝2a .因为AF 2⊥BF 2，所以AB 2＝AF2＋BF 2，即(2a ＋2x )2＝9x 2＋(2a ＋x )2，解得a ＝3x 2，所以AB ＝5x ，BF 2＝4x ，所以cos ∠BAF 2＝35.在△AF 1F 2中，由余弦定理知AF 21＋AF 2－2·AF 1·AF 2·cos ∠BAF 2＝F 1F 22＝4c 2，所以36x 2＋9x 2－108x25＝4c 2，所以c ＝313x 2 5，所以双曲线的离心率为e ＝c a ＝655.(例3(1))(2) 【答案】3【解析】不妨设双曲线的一条渐近线方程为y ＝b ax ，则F 2到y ＝b a x 的距离d ＝|bc|a2＋b2＝b .在Rt △F 2PO 中，F 2O ＝c ，所以PO ＝a ，所以PF 1＝6a .又F 1O ＝c ，所以在△F 1PO 与Rt△F 2PO 中，根据余弦定理得cos∠POF 1＝a2＋c2－( 6 a )22ac ＝－cos ∠POF 2＝－a c ，即3a 2＝c 2，所以e ＝ca＝3.(1) 【答案】 (1,2) 【解析】若△ABE 是锐角三角形，只需∠AEF ＜45°，在Rt △AFE 中，AF ＝b2a，FE ＝a ＋c ，则b2a＜a ＋c ，b 2＜a 2＋ac,2a 2－c 2＋ac ＞0，e 2－e －2＜0，解得－1＜e ＜2.又e ＞1，则1＜e ＜2.(2) 【答案】 53【解析】 由双曲线定义知PF 1－PF 2＝2a ，又PF 1＝4PF 2，所以PF 1＝83a ，PF 2＝23a ，在△PF 1F 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝649a2＋49a2－4c22·83a ·23a ＝178－98e 2，要求e 的最大值，即求cos ∠F 1PF 2的最小值．因为cos ∠F 1PF 2≥－1，所以cos ∠F 1PF 2＝178－98e 2≥－1，解得e ≤53，即e 的最大值为53.【题组强化】 1.D【解析】由条件知y ＝－b ax 过点(3，－4)，所以3b a＝4，即3b ＝4a ，所以9b 2＝16a 2，所以9c 2－9a 2＝16a 2，所以25a 2＝9c 2，所以e ＝53.故选D.2. C 【解析】 由F 1F 2＝2OP ，可得OP ＝c ，故△PF 1F 2为直角三角形，PF 1⊥PF 2，则PF 21＋PF 2＝F 1F 2.由双曲线的定义可得PF 1－PF 2＝2a ，则PF 1＝2a ＋PF 2，所以(PF 2＋2a )2＋PF 22＝4c 2，整理得(PF 2＋a )2＝2c 2－a 2.又PF 1≥3PF 2，即2a ＋PF 2≥3PF 2，可得PF 2≤a ，所以PF 2＋a ≤2a ，即2c 2－a 2≤4a 2，可得c ≤102a .由e ＝ca ，且e ＞1，可得1<e ≤102.故选C.3.2【解析】由题知双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，不妨设右焦点F (c,0)，过点F 与渐近线平行的直线为l ：y ＝b a(x －c )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－b ax ，y ＝b a (x －c )，得x ＝c 2，则y ＝－b a×c 2＝－bc 2a ，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫c 2，－bc 2a ，PF 的中点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3c 4，－bc 4a .又点A 在双曲线上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3c 42a2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－bc 4a 2b2＝1，化简得c2a2＝2，即e ＝c a＝2.4.53【解析】由线段PF 1的垂直平分线恰好过点F 2，可得PF 2＝F 1F 2＝2c ，由直线PF 1与以坐标原点O 为圆心、a 为半径的圆相切于点A ，可得OA ＝a ，设PF 1的中点为M ，由中位线定理可得MF 2＝2a ，在Rt △PMF 2中，可得PM ＝4c2－4a2＝2b ， 即有PF 1＝4b ，由双曲线的定义可得PF 1－PF 2＝2a ，即4b －2c ＝2a ，即2b ＝a ＋c ，即有4b 2＝(a ＋c )2， 即4(c 2－a 2)＝(a ＋c )2，可得a ＝35c ，即e ＝53.(第4题)课堂评价 1. B 2. C【解析】 根据渐近线方程为x ±y ＝0，可得a ＝b ，所以c ＝2a ，则该双曲线的离心率为e ＝ca＝2，故选C. 3. A 【解析】 由题意知，e ＝ca＝3，所以c ＝3a ，所以b ＝c2－a2＝2a ，所以b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ＝±2x ，故选A.4. x28－y28＝1 【解析】 由离心率为2，可知a ＝b ，c ＝2a ，所以F (－2a,0)，由题意知k PF ＝4－00－(－2a )＝42a＝1，解得a ＝22，所以双曲线的方程为x28－y28＝1.5. 23 23 【解析】 由题意知a ＝2，b ＝23，c ＝4，F (4,0)，PF ＝b ＝23，△POF 的面积为12ab ＝12×43＝23.第45讲 抛物线链教材·夯基固本 激活思维 1. C2. AC 【解析】根据抛物线定义知选项A 正确；对于B ，符合条件的抛物线的焦点可能在x 轴上也可能在y 轴上，故B 错误；对于C ，抛物线焦点为(－1,0)，所以p ＝2，抛物线方程是y 2＝－4x ，故C 正确；对于D ，因为p 的符号不确定，所以方程不唯一，故D 错误．故选AC.3.B【解析】因为M 到准线的距离等于M 到焦点的距离，又准线方程为y ＝－116，设M (x ，y )，则y ＋116＝1，所以y ＝1516. 4.B【解析】抛物线y 2＝6x 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，0，准线方程为x ＝－32，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为AF ＝3BF ，所以x 1＋32＝3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x2＋32，所以x 1＝3x 2＋3， 因为|y 1|＝3|y 2|，所以x 1＝9x 2，所以x 1＝92，x 2＝12，所以AB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x1＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x2＋32＝8.故选B. 5.y 2＝8x 6【解析】由抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F (2,0)，可得p ＝4，则抛物线C 的方程是y 2＝8x .由M 为FN 的中点，得M 的横坐标为1，所以FN ＝2FM ＝2(x M ＋2)＝2×(1＋2)＝6.知识聚焦1. 相等 焦点 准线 研题型·融会贯通 分类解析(1) 【答案】 22【解析】 因为抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程是x ＝－p2，双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点为F 1(－2，0)，且抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，所以－p 2＝－2，解得p ＝22.(2) 【答案】 13 【解析】由题意得抛物线的焦点为F (2,0)，准线方程为x ＝－2.因为AF ＝(6－2)2＋32＝5，所以求△PAF 周长的最小值即求PA ＋PF 的最小值．设点P 在准线上的射影为D ，如图，连接PD ，根据抛物线的定义，可知PF ＝PD ，所以PA ＋PF 的最小值即PA ＋PD 的最小值．根据平面几何的知识，可得当D ，P ，A 三点共线时PA ＋PD 取得最小值，所以PA ＋PF 的最小值为x A －(－2)＝8，所以△PAF 周长的最小值为8＋5＝13.(例1(2))(1) 【答案】 A 【解析】设焦点为F ，准线为l ，过P 作PA⊥l ，垂足为A ，则PF ＝PA ，PF ＋PQ ＝PQ ＋PA ，当且仅当A ，P ，Q 三点共线时，和最小，此时P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14，－1，故选A. (2) 【答案】 4 【解析】因为双曲线的右焦点为(2,0)，所以抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点坐标为(2,0)，所以p ＝4.【解答】 (1) 由已知得抛物线焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫p 2，0. 由题意可设直线方程为x ＝my ＋p2，代入y 2＝2px ，得y 2＝2p ⎝⎛⎭⎪⎪⎫my ＋p 2，即y 2－2pmy －p 2＝0.(*) 易知y 1，y 2是方程(*)的两个实数根， 所以y 1y 2＝－p 2.因为y 21＝2px 1，y 2＝2px 2， 所以y 21y 2＝4p 2x 1x 2，所以x 1x 2＝y21y224p2＝p44p2＝p24.(2) 由题意知AF ＝x 1＋p2，BF ＝x 2＋p2，所以1AF ＋1BF＝1x1＋p 2＋1x2＋p 2＝x1＋x2＋px1x2＋p 2(x 1＋x 2)＋p24.因为x 1x 2＝p24，x 1＋x 2＝AB －p ，所以1AF ＋1BF ＝ABp24＋p 2(AB －p )＋p 24＝2p(定值)．(3)设AB 的中点为M (x 0，y 0)，分别过A ，B 作准线的垂线，垂足为C ，D ，过M 作准线的垂线，垂足为N ，则MN ＝12(AC ＋BD )＝12(AF ＋BF )＝12AB .所以以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．(例2)【解答】 (1) 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，因为PQ 为焦点弦，所以y 1y 2＝－p 2.因为直线OP 的方程为y＝y1x1·x ，它与准线的交点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－p 2，y0，所以y 0＝y1x1·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－p 2＝2p y1·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－p 2＝－p2y1＝y1y2y1＝y 2，故直线MQ ∥x 轴．(2) 设M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－p 2，y2，则k OM ＝y2－p 2＝－2y2p ，k OP ＝y1x1＝2p y1. 因为PQ 为焦点弦，所以y 1y 2＝－p 2，所以y 2＝－p2y1，所以k OM ＝－2y2p ＝2py1，所以k OM ＝k OP ，所以P ，O ，M 三点共线． (3)如图，连接PF 并延长交抛物线于Q ′，由(1)知MQ ′∥x 轴，所以Q 与Q ′重合，故PQ 为焦点弦．(例3)【解答】 (1) 由题意，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x1，x212p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x2，x222p ，x 1＜x 2，M (x 0，－2p )． 由x 2＝2py 得y ＝x22p ，则y ′＝xp ，所以k MA ＝x1p ，k MB ＝x2p.因此直线MA 的方程为y ＋2p ＝x1p (x －x 0)，直线MB 的方程为y ＋2p ＝x2p (x －x 0)．所以x212p ＋2p ＝x1p (x 1－x 0)，①x222p ＋2p ＝x2p (x 2－x 0)．② 由①②得x1＋x22＝x 1＋x 2－x 0，因此x 0＝x1＋x22，即2x 0＝x 1＋x 2.所以A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列．。
智慧测评新高考人教A版文科数学一轮总复习课时训练8.3椭圆(含答案详析)
第八篇 第 3 节一、选择题2 ＋ y21．设 P 是椭圆x＝ 1 上的点．若 F 1、F 2 是椭圆的两个焦点， 则|PF 1|＋ |PF 2|等于 ()25 16A ． 4B ．5C ． 8D ． 10分析： 由方程知 a ＝ 5，依据椭圆定义， |PF 1|＋ |PF 2 |＝ 2a ＝10.应选 D.答案： D2 2x y2．(2014 唐山二模 )P 为椭圆 4 ＋ 3 ＝ 1 上一点， F 1，F 2 为该椭圆的两个焦点， 若∠ F 1 PF 2→ → )＝ 60°，则 PF 1·PF 2等于 (A ． 3B ． 3C ． 2 3D ． 2分析： 由椭圆方程知 a ＝2， b ＝ 3， c ＝ 1，|PF 1|＋ |PF 2|＝ 4，∴ 1 2＋ |PF 2 2－ 4＝ 2|PF 1 2° |PF | |||PF |cos 60 ∴|PF 1||PF 2|＝ 4.→ → → →＝°4× 1 ＝2.∴PF 1·PF 2＝ |PF 1||PF 2|cos 60 2答案： D2 2x y3． (2012 年高考江西卷 )椭圆 a 2＋ b 2＝ 1(a>b>0) 的左、右极点分别是 A 、 B ，左、右焦点分别是 F 1，F 2.若 |AF 1 |， |F 1F 2|， |F 1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为()1 B ．5A. 4 51D ． 5－2C.2分析： 此题考察椭圆的性质与等比数列的综合运用． 由椭圆的性质可知 |AF 1 |＝ a － c ， |F 1F 2 |＝2c ， |F 1 B|＝ a ＋ c ，又 |AF 1|， |F 1F 2|， |F 1B|成等比数列，故 (a－ c)(a＋ c)＝ (2c)2，c5可得 e＝a＝5 .故应选 B.答案： B22x y4． (2013 年高考辽宁卷)已知椭圆 C：a2＋b2＝ 1(a>b>0) 的左焦点为F， C 与过原点的直线订交于A，B 两点，连结 AF ，BF .若 |AB|＝ 10，|BF |＝ 8，cos∠ ABF ＝4，则 C 的离心率为 ()5A.3 B ．5 57 4D．6C.57分析： |AF |2＝ |AB|2＋ |BF|2－ 2|AB||BF|cos∠ABF ＝ 100＋ 64－ 2×10× 8×45＝ 36，则 |AF|＝ 6，∠AFB ＝ 90°，1半焦距 c＝ |FO |＝2|AB|＝5，设椭圆右焦点F2，连结 AF 2，由对称性知 |AF2|＝ |FB|＝8，2a＝ |AF 2|＋ |AF|＝ 6＋ 8＝ 14，即 a＝7，c5则 e＝a＝7.应选 B.答案： Bx2y25．已知椭圆 E：m＋4＝ 1，对于随意实数k，以下直线被椭圆 E 截得的弦长与l： y＝kx＋ 1 被椭圆 E 截得的弦长不行能相等的是 ()A． kx＋ y＋ k＝0 B ．kx－ y－ 1＝0C． kx＋ y－ k＝ 0D． kx＋ y－ 2＝ 0分析：取 k＝ 1 时， l ： y＝ x＋ 1.选项 A 中直线： y＝－ x－ 1 与 l 对于 x 轴对称，截得弦长相等．选项 B 中直线： y ＝ x －1 与 l 对于原点对称，所截弦长相等．选项 C 中直线： y ＝－ x ＋ 1 与 l 对于 y 轴对称，截得弦长相等．清除选项 A 、 B 、 C ，应选 D.答案： D22xy6． (2014 山东省实验中学第二次诊疗)已知椭圆 a 2＋ b 2 ＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为a ＝c ，则该椭圆的离心率的取 F 1( －c,0)，F 2(c,0) ，若椭圆上存在点 P ，使sin ∠ PF 1F 2sin ∠ PF 2F 1值范围为 ( )2A ． (0， 2－ 1)B ． 2 ， 12C. 0， D ． ( 2－1,1)2分析： 由题意知点 P 不在 x 轴上，在△PF 1F 2 中，由正弦定理得|PF 2 ||PF 1|＝，sin ∠PF 1F 2 sin ∠PF 2F 1因此由 a ＝ csin ∠PF 1 F 2 sin ∠PF 2F 1a c可得|PF 2|＝ |PF 1|，|PF 1| c 即 |PF 2|＝ a ＝ e ，因此 |PF 1|＝ e|PF 2 |.由椭圆定义可知 |PF 1|＋ |PF 2|＝ 2a ，因此 e|PF 2|＋ |PF 2|＝ 2a ，2a解得 |PF 2|＝.因为 a － c<|PF 2|<a ＋ c ，2a因此有 a － c<<a ＋ c ，e ＋1即 1－e< 2<1＋ e ，e＋ 11－ e 1＋ e <2，也就是2< 1＋ e 2，解得 2－1< e.又 0<e<1，∴ 2－ 1<e<1.应选 D.答案： D二、填空题22xy7．设 F 1、F 2 分别是椭圆＋ ＝1 的左、右焦点， P 为椭圆上一点， M 是 F 1P 的中点，|OM |＝ 3，则 P 点到椭圆左焦点距离为 ________．分析： ∵|OM |＝3，∴|PF 2|＝ 6， 又 |PF 1|＋ |PF 2|＝ 10，∴|PF 1|＝ 4. 答案： 4228．椭圆x2＋ y2 ＝ 1(a>b>0)的左、右焦点分别是F 1、 F 2，过 F 2 作倾斜角为 120°的直线与a b椭圆的一个交点为 M ，若 MF 1 垂直于 x 轴，则椭圆的离心率为 ________．分析： 不如设 |F 1F 2|＝ 1，∵直线 MF 2 的倾斜角为 120°，∴∠MF 2F 1＝ 60°.∴|MF 2 1|＝1 23，|＝ 2， |MF 3，2a ＝ |MF |＋ |MF |＝ 2＋2c ＝ |F 1F 2|＝ 1.∴e ＝a c＝ 2－ 3.答案： 2－ 3y 2 x 29．(2014 西安模拟 )过点 ( 3，－ 5)，且与椭圆 25＋ 9 ＝ 1 有同样焦点的椭圆的标准方程为 ________________ ．分析： 由题意可设椭圆方程为y 2 ＋ x 2 ＝ 1(m<9) ，25－m 9－ m代入点 ( 3，－ 5)，得5＋3＝1，25－m 9－ m解得 m ＝5 或 m ＝ 21(舍去 )，y 2 x 2∴椭圆的标准方程为 20＋ 4 ＝1.22yx答案：＋＝ 12210．已知 F 1 ，F是椭圆 C ：x2y 2 →2 a ＋ b ＝ 1(a>b>0) 的两个焦点， P 为椭圆 C 上的一点， 且 PF 1 → 的面积为 9，则 b ＝ ________. ⊥ PF 2.若△ PF 1 F 2|PF 1|＋ |PF 2|＝ 2a ， 分析： 由题意得|PF 1|2＋ |PF 2|2 ＝ 4c 2，∴(|PF 1 |＋ |PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|＝ 4c 2， 即 4a 2 －2|PF 1||PF 2 |＝4c 2，∴|PF 122， ||PF |＝ 2b∴S △PF 1F 2＝1|PF 1||PF 2|＝b 2 ＝9，2 ∴b ＝3.答案： 3三、解答题C 1 ： x 2 y 211．(2012 年高考广东卷 )在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆 a 2＋ b 2＝ 1(a>b>0) 的左焦点为 F 1(－ 1,0)，且点 P(0， 1)在 C 1 上．(1)求椭圆 C 1 的方程；(2)设直线 l 同时与椭圆 C 1 和抛物线 C 2 ：y 2 ＝4x 相切，求直线l 的方程．a 2－b 2＝ 1，解： (1)由椭圆 C 1 的左焦点为 F 1(－ 1,0)，且点 P(0,1)在 C 1 上，可得b ＝ 1，a 2 ＝2，∴ 2 b ＝ 1.2故椭圆 C 1 的方程为 x2 ＋ y 2＝ 1.(2)由题意剖析，直线 l 斜率存在且不为0，设其方程为y＝ kx＋ b，由直线 l 与抛物线 C2相切得y＝ kx＋ b，y2＝ 4x，222消 y 得 k x＋ (2bk－4)x＋ b＝ 0，222①1＝(2bk－4)－4k b ＝ 0，化简得 kb＝ 1.y＝ kx＋ b，由直线 l 与椭圆 C1相切得x222＋ y ＝ 1，消 y 得(2k2＋ 1)x2＋ 4bkx＋ 2b2－ 2＝0，2＝ (4bk)2－4(2k2＋1)(2 b2－ 2)＝ 0，化简得 2k2＝ b2－ 1.②①②联立得kb＝ 1，2k2＝ b2－1，解得 b4－ b2－ 2＝ 0，∴b2＝ 2 或 b2＝－ 1(舍去 ) ，22∴b＝ 2时， k＝2， b＝－2时， k＝－ 2.22即直线 l 的方程为y＝2 x＋2或 y＝－2 x－ 2.x2y212．(2014 海淀三模 )已知椭圆 C：a2＋b2＝ 1(a>b>0) 的四个极点恰巧是一边长为2，一内角为 60°的菱形的四个极点．(1)求椭圆 C 的方程；(2)若直线 y ＝ kx 交椭圆 C 于 A，B 两点，在直线 l：x＋ y－3＝ 0 上存在点 P，使得△ PAB 为等边三角形，求 k 的值．x2y2解： (1)因为椭圆C：a2＋b2＝ 1(a>b>0)的四个极点恰巧是一边长为2，一内角为60°的菱形的四个极点．因此 a＝3， b＝ 1，2椭圆 C 的方程为x3＋ y2＝ 1.(2)设 A(x 1，y11，－y1)，)，则B(－ x当直线 AB 的斜率为0 时， AB 的垂直均分线就是y 轴，y 轴与直线 l ： x＋ y－ 3＝ 0的交点为P(0,3) ，又因为 |AB |＝23，|PO |＝ 3，因此∠PAO＝ 60°，因此△PAB 是等边三角形，因此直线 AB 的方程为y＝ 0，当直线 AB 的斜率存在且不为0 时，则直线 AB 的方程为y＝ kx，2x＋ y2＝ 1，因此3y＝ kx，化简得 (3k2＋1)x2＝3，因此 |x1|＝3，3k2＋ 1则 |AO|＝1＋ k233k2＋3＝.3k2＋ 13k2＋11设 AB 的垂直均分线为y＝－k x，它与直线 l ： x＋ y－ 3＝ 0的交点记为 P(x0， y0)，y＝－ x＋ 3，因此1y＝－k x，3kx0＝，解得－3y0＝.k－ 1则 |PO|＝9k2＋9 k－ 12，因为△PAB 为等边三角形，因此应有 |PO|＝3|AO|，9k2＋93k2＋ 3代入得k－ 12＝ 32，3k ＋ 1解得 k＝ 0(舍去 )， k＝－ 1.综上， k＝ 0 或 k＝－ 1.。
高三数学每日练习第8套(内含详细答案绝对经典)
高三数学每日练习第8套一、单选题1．在复平面内，复数20131iz i i=+-表示的点所在的象限是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，已知10a ≠，517S S =，则（ ） A ．110da >B ．120da >C ．1120a a >D ．1110a a <3．设变量,x y 满足约束条件86x y a x y x +≤⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩且不等式214x y +≤恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[]8,10B ．[]8,9C ．[]6,9D ．[]6,104．已知,l m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若,l l m α⊥，则m α⊥ B ．若,l l αβ，则αβ∥ C ．若,l ααβ⊥⊥，则l β∥D ．若,l l αβ⊥⊥，则αβ∥5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为1，则输出y 的值为（ ）A ．1-B ．2C ．0D ．无法判断6．已知函数()11x f x e x-=-，则()y f x =的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．7．设双曲线C: 22221x y a b-= (a,b>0)的一条渐近线与抛物线y 2=x 的一个交点为A,若点A 到直线14x =-的距离大于34，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是( ).A ．1,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．(C ．)+∞D ．+2⎛⎫∞ ⎪⎪⎝⎭二、解答题8．在数列{}n a ，{}n b 中，已知1111,2n n a a a +==，且()*1212(1)(41),6n b b nb n n n n N ++⋯+=+-∈.(Ⅰ)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (Ⅱ)求数列{}n n a b 的前n 项和n T .9．己知点(0,0)O ，直线l 与圆C ：（x 一1)2＋（y 一2）2＝4相交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ．（1）若直线OA 的方程为y ＝一3x ，求直线OB 被圆C 截得的弦长； （2）若直线l 过点（0，2），求l 的方程．10．如图，四棱锥S ABCD -的底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，22AB BC CD ==，⊿SAD 是正三角形。
2021年高考数学一轮复习第八单元平面向量单元A卷文
2021年高考数学一轮复习第八单元平面向量单元A 卷文注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直截了当答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试终止后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设平面向量()3,5=a ，()2,1=-b ，则2-=a b （ ） A ．()7,3B ．()7,7C ．()1,7D ．()1,32．在ABC △中，点D 为边AB 的中点，则向量CD =（ ）A 12BA BC - B 12BA BC - C 12BA BC +D 12BA BC +3．已知向量()4,2=-a ，(),1x =b ．若a ，b 共线，则x 的值是（ ） A ．1-B ．2-C ．1D ．24．已知平面向量()1,3=a ，(),3x=-b ，且∥a b ，则） A ．10B C ．5D 5．已知向量()3,1=a ，()21,k k =-b ，且()+⊥a b a ，则k 的值是（ ） A ．1-B．37C ．35-D ．356．若向量a 、b 满足1=a 、=b ()⊥+a a b ，则a 与b 的夹角为（ ）A ．2πB ．23πC ．34πD ．56π7．单位圆O中一条弦AB 长为，则·AB OB =（ ） A ．1B C ．2D ．无法确定8．已知向量a 与b 反向，则下列等式中成立的是（ ） ABCD 9．在ABC△中，2BD DC =，AD mAB nAC =+，则 ） A B 3C ．2D ．310．四边形ABCD 中，AB DC =，且AD AB AD AB -=+，则四边形ABCD 是（ ） A ．平行四边形B ．菱形C ．矩形D ．正方形11．已知向量a ，b 的夹角为120︒，且，则向量23+a b 在向量2+a b 方向上的投影为（ ）AB C D 12．在锐角ABC △中，60B=︒，2AB AC -=则AB AC ⋅的取值范畴为（ ） A ．()0,12 B C ．(]0,4 D ．(]0,2二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）13．已知向量()sin ,2x =a ，()cos ,1x =b ，满足∥a b ，则． 14．已知向量()12，=-m ，(),4x =n ，若⊥m n ，则2+=m n __________． 15．已知点()4,1A ，()1,5B ，则与向量AB 方向相同的单位向量为________． 16．已知()2,3A ，()4,3B -，点P 在线段AB 3AP PB =，则点P 的坐标是____________．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知向量()1,3=a ，()2,2=-b ， （1）设2=+c a b ，求()⋅b a c ； （2）求向量a 在b 方向上的投影．18．（12分）已知向量()3,2=a ，()1,2=-b ．（1）求2a +b 的值；（2）若()m ⊥+a b b ，求m 的值．19．（12，()sin ,cos x x =n ，（1）若⊥m n ，求tan x 的值； （2）若向量m ，n20．（12分）已知平面上三点A B C 、、满足，()23BC k =-，，()24AC =，， （1）若三点A B C 、、不能构成三角形，求实数k 满足的条件；（2）ABC △是不以C ∠为直角的Rt △，求实数k 的值．21．（12分）如图，在OAB △中，点P 为直线AB 上的一个动点，且满足AP AB λ=． （1，用向量OA ，OB 表示OP ；（2）若4OA =，3OB =，且60AOB ∠=︒，请问λ取何值时使得OP AB ⊥？22．（12分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量()sin ,A b c =+p ， (),sin sin q a c C B =--，满足+=-p q p q ．（1）求角B 的大小；（2）设1sin ,32C ⎛π⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭m ，()()2,cos 20k A k =≠n ，⋅m n 有最大值为32，求k 的值．单元训练金卷▪高三▪数学卷答案（A ）第八单元 平面向量一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】A【解析】∵()3,5=a ，()2,1=-b ，∴()()()()23,522,134,527,3-=--=+-=a b ， 故选A ． 2．【答案】A【解析】由题意结合平面向量的运算法则可得：1122CD CB BD BC BA BA BC =+=-+=-．本题选择A 选项．3．【答案】B【解析】∵()4,2=-a ，(),1x =b ，且a ，b 共线，∴24x -=，解得2x =-．故选B ． 4．【答案】D【解析】由题意得，()1,3=a ，(),3x =-b ，且()11,3x ⇒=-⇒=--∥a b b ， 则()21,3+=--a b ，即210+=a b ，故选D ． 5．【答案】A【解析】因为向量()3,1=a ，()21,k k =-b ，因此()22,1k k +=++a b ，又因为()+⊥a b a ，因此()770k +⋅=+=a b a ，1k =-，故选A ． 6．【答案】C【解析】()⊥+a a b ，因此，()0⋅+=a a b ，即2||cos ,0⋅+⋅=+⋅=a a a b a a b a b ， 因此2||2cos ,2=-=-⋅a a b a b ，又[],0,∈π a b ，故a 与b 的夹角为34π，故选C ．7．【答案】A【解析】单位圆O 中一条弦AB 长为2，则222+OA OB AB =，OAB △是等腰直角三角形，因此AB 与OB 成的角为4π，2·2112AB OB =⨯⨯=，故选A ． 8．【答案】C【解析】向量a 与b 反向：-=+a b a b ，+=-a b a b ，故选C ．9．【答案】A 【解析】如图，()22123333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，又AD mAB nAC =+，∴13m =，23n =，故12m n =．故选A ．10．【答案】C【解析】由于AB DC =，故四边形是平行四边形，依照向量加法和减法的几何意义可知，该平行四边形的对角线相等，故为矩形，故选C ． 11．【答案】D【解析】向量a ，b 的夹角为120︒，且2=a ，3=b ，因此2222341261+=+⋅=a b a a b +9b ，2361+=a b ．又22224413+=+⋅+=a b a a b b ， 因此213+=a b ，则()()232cos 23,22326113++++==++⋅a b a b a b a b a b a b，因此向量23+a b 在向量2+a b 方向上的投影为 191323cos 23,2616113+++=⨯=⋅a b a b a b ，故选D ． 12．【答案】A【解析】以B 为原点，BA 所在直线为x 轴建立坐标系，∵60B =︒，2AB AC -=，∴()1,3C ，设(),0A x ，∵ABC △是锐角三角形， ∴120A C +=︒，∴3090A ︒<<︒，即A 在如图的线段DE 上（不与D ，E 重合），∴14x <<，则221124AB AC x x x ⎛⎫⋅=-=-- ⎪⎝⎭，因此AB AC ⋅的取值范畴为()0,12，故选A ．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．【解析】因为向量()sin ,2x =a ，()cos ,1x =b ，∥a b ，sin 2cos 0x x ∴-=，tan 2x =，14．【答案】10【解析】由题意可得：240x ⋅=-+⨯=m n ，8x ∴=， 即()1,2=-m ，()8,4=n ，则()()()22,48,46,8+=-+=m n ，据此可知：210+=m n ． 15．【解析】()()()154134AB =-=-，，，，5AB =，∴与向量AB 16．【答案】()8,15-【解析】因为P 在AB 的延长线上，故AP ，PB 共线反向，故32AP PB =-，设(),P x y ， ，解得815x y ==-⎧⎨⎩，P 的坐标为()8,15-，故填()8,15-．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．【答案】（1）()16,16--；（2） 【解析】（1）()()()2,62,24,4=+-=c ，()()26416,16⋅=-=-⇒⋅=--b a b a c ．（2）向量a 在b 方向的投影18．【答案】（1（2）15-．【解析】（1）由已知得()21,6=a +b ，因此2=a +b ． （2）依题意得()3,22m m m +=-+a b ，又()m ⊥ +a b b ，()·0m ∴= +a b b ，即()()132220m m --++=，解得15m =-． 19．【答案】（1）tan 1x =；（2）12． 【解析】（1）由⊥m n 可得0⋅=m n ，即化简可得sin cos x x=，则tan 1x =． （2而由m ，n20．【答案】（1）12k =；（2）2-，1-，3． 【解析】（1）A B C ，，三点不能构成三角形，∴三点A B C ，，共线；∴存在实数λ，使BC AC λ=；22 34k λλ-=⎧∴⎨=⎩，解得12k =．k ∴满足的条件是12k =．（2）()()()23241AB CB CA k k =-=-----=，，，ABC △为直角三角形；∴若A ∠是直角，则AB AC ⊥，2402AB AC k k ∴⋅=+=∴=-，； 若B ∠是直角，则AB BC ⊥，2230AB BC k k ∴⋅=-++=，解得1k =-，或3； 综上可得k 的值为：2-，1-，3．）2133OP OA OB =+；13）由题意得13AP AB =，∴()13OP OA OB OA -=-，∴2133OP OA OB =+．（2）由题意知43cos606OA OB ⋅=⨯⨯︒=．∵AP AB λ=，∴()OP OA OB OA λ-=-，∴()1OP OA OB λλ=-+． ∵OP AB ⊥，∴()()10OP AB OA OB OB OA λλ⎡⎤⋅=-+⋅-=⎣⎦，∴()()()()2212161216190OA OB OA OB λλλλλλ+-⋅--=---+=，22．【答案】（1）3B π=；（2）1k =或2k =． 【解析】（1）由条件+=-p q p q ，两边平方得0⋅=p q ，又()sin ,A b c =+p ，(),sin sin －－ac C B =q ，代入得()()()sin sin sin 0a c A b c C B -++-=， 依照正弦定理，可化为()()()0－a a c b c cb -++=，即222ac b ac +-=， 又由余弦定理2222cos ＝a c b a B +-，因此1cos 2B =，3B π=．（2）1sin ,32C ⎛π⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭m ，()2,cos 2n k A =，()0k ≠，()2112sin cos 22sin cos 22sin cos 3222k C k A C B k A A k A π⎛⎫⋅=++=++=+-⎪⎝⎭m n 2211sin 2sin sin 22k k k A A k A k k ⎛⎫=-++=--++ ⎪⎝⎭，而203A <<π，(]sin 0,1A ∈，①01k <≤时，sin 1A =取最大值为3222k -=，1k =． ②1k >时，当1sin A k =时取得最大值，1322k k +=解得1k =或2k =， 1k =（舍去）2k ∴=．③0k <时，开口向上，对称轴小于0当sin 1A =取最大值3222k -=，1k =（舍去）， 综上所述，1k =或2k =．。
2018届北师大版高三数学一轮复习练习：第八章 第3讲
基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2017·榆林模拟)有下列命题：①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则直线l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b，b∥α，则a∥α；④若直线a∥b，b∥α，则a平行于平面α内的无数条直线.其中真命题的个数是()A.1B.2C.3D.4解析命题①l可以在平面α内，不正确；命题②直线a与平面α可以是相交关系，不正确；命题③a可以在平面α内，不正确；命题④正确.答案 A2.设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，且m，n α，则“α∥β”是“m∥β且n∥β”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析若m，n α，α∥β，则m∥β且n∥β；反之若m，n α，m∥β且n∥β，则α与β相交或平行，即“α∥β”是“m∥β且n∥β”的充分不必要条件.答案 A3.(2017·长郡中学质检)如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是()A.异面B.平行C.相交D.以上均有可能解析在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1，∵AB 平面ABC，A1B1⊄平面ABC，∴A1B1∥平面ABC，∵过A1B1的平面与平面ABC交于DE.∴DE∥A1B1，∴DE∥AB.答案 B4.下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是()A.①③B.①④C.②③D.②④解析①中，易知NP∥AA′，MN∥A′B，∴平面MNP∥平面AA′B，可得出AB∥平面MNP(如图).④中，NP∥AB，能得出AB∥平面MNP.在②③中不能判定AB∥平面MNP.答案 B5.已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是()A.若m∥α，n∥α，则m∥nB.若m⊥α，n α，则m⊥nC.若m⊥α，m⊥n，则n∥αD.若m∥α，m⊥n，则n⊥α解析若m∥α，n∥α，则m，n平行、相交或异面，A错；若m⊥α，n α，则m⊥n，因为直线与平面垂直时，它垂直于平面内任一直线，B正确；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n α，C错；若m∥α，m⊥n，则n与α可能相交，可能平行，也可能n α，D 错.答案 B二、填空题6.在四面体A－BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________.解析如图，取CD的中点E.连接AE，BE，由于M，N分别是△ACD，△BCD的重心，所以AE，BE 分别过M ，N ，则EM ∶MA ＝1∶2，EN ∶BN ＝1∶2，所以MN ∥AB .因为AB 平面ABD ，MN ⊄平面ABD ，AB 平面ABC ，MN ⊄平面ABC ，所以MN ∥平面ABD ，MN ∥平面ABC .答案 平面ABD 与平面ABC7.如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上.若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________.解析 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，∴AC ＝2 2.又E为AD 中点，EF ∥平面AB 1C ，EF 平面ADC ，平面ADC ∩平面AB 1C ＝AC ，∴EF ∥AC ，∴F 为DC 中点，∴EF ＝12AC ＝ 2.答案 28.(2017·承德模拟)如图所示，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是棱CC 1，C 1D 1，D 1D ，DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 只需满足条件________时，就有MN ∥平面B 1BDD 1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)解析 连接HN ，FH ，FN ，则FH ∥DD 1，HN ∥BD ，∴平面FHN ∥平面B 1BDD 1，只需M ∈FH ，则MN 平面FHN ，∴MN ∥平面B 1BDD 1. 答案 点M 在线段FH 上(或点M 与点H 重合)三、解答题9.一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.(1)请将字母F ，G ，H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系，并证明你的结论.解 (1)点F ，G ，H 的位置如图所示.(2)平面BEG ∥平面ACH ，证明如下：因为ABCD －EFGH 为正方体，所以BC ∥FG ，BC ＝FG ，又FG ∥EH ，FG ＝EH ，所以BC ∥EH ，BC ＝EH ，于是四边形BCHE 为平行四边形，所以BE ∥CH .又CH 平面ACH ，BE ⊄平面ACH ，所以BE ∥平面ACH .同理BG ∥平面ACH .又BE ∩BG ＝B ，所以平面BEG ∥平面ACH .10.(2014·全国Ⅱ卷)如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.(1)证明：PB ∥平面AEC ；(2)设AP ＝1，AD ＝3，三棱锥P －ABD 的体积V ＝34，求A 到平面PBC 的距离.(1)证明 设BD 与AC 的交点为O ，连接EO .因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点.又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB .又因为EO 平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以PB ∥平面AEC .(2)解 V ＝16P A ·AB ·AD ＝36AB .由V ＝34，可得AB ＝32.作AH ⊥PB 交PB 于H .由题设知AB ⊥BC ，P A ⊥BC ，且P A ∩AB ＝A ，所以BC ⊥平面P AB .又AH 平面P AB ，所以BC ⊥AH ，又PB ∩BC ＝B ，故AH ⊥平面PBC .∵PB 平面PBC ，∴AH ⊥PB ，在Rt △P AB 中，由勾股定理可得PB ＝132，所以AH ＝P A ·AB PB ＝31313.所以A 到平面PBC 的距离为31313.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.给出下列关于互不相同的直线l ，m ，n 和平面α，β，γ的三个命题：①若l 与m为异面直线，l α，m β，则α∥β；②若α∥β，l α，m β，则l ∥m ；③若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥γ，则m ∥n .其中真命题的个数为( )A.3B.2C.1D.0解析 ①中当α与β不平行时，也可能存在符合题意的l ，m ；②中l 与m 也可能异面；③中 ⎭⎬⎫ l ∥γ l ⊂αα∩γ＝n ⇒l ∥n ，同理，l ∥m ，则m ∥n ，正确.答案 C12.在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则在下列结论中，错误的是( )A.AC ⊥BDB.AC ∥截面PQMNC.AC ＝BDD.异面直线PM 与BD 所成的角为45°解析 因为截面PQMN 是正方形，所以MN ∥QP ，又PQ 平面ABC ，MN ⊄平面ABC ，则MN ∥平面ABC ，由线面平行的性质知MN ∥AC ，又MN 平面PQMN ，AC ⊄平面PQMN ，则AC ∥截面PQMN ，同理可得MQ ∥BD ，又MN ⊥QM ，则AC ⊥BD ，故A ，B 正确.又因为BD ∥MQ ，所以异面直线PM 与BD 所成的角等于PM 与QM 所成的角，即为45°，故D 正确.答案 C13.如图所示，棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1是菱形，设D 是A 1C 1上的点且A 1B ∥平面B 1CD ，则A 1D ∶DC 1的值为________.解析 设BC 1∩B 1C ＝O ，连接OD.∵A1B∥平面B1CD且平面A1BC1∩平面B1CD＝OD，∴A1B∥OD，∵四边形BCC1B1是菱形，∴O为BC1的中点，∴D为A1C1的中点，则A1D∶DC1＝1.答案 114.(2015·江苏卷)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.求证：(1)DE∥平面AA1C1C；(2)BC1⊥AB1.证明(1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DE∥AC.又因为DE⊄平面AA1C1C，AC 平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C.(2)因为棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.因为AC 平面ABC，所以AC⊥CC1.又因为AC⊥BC，CC1 平面BCC1B1，BC 平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1.又因为BC1 平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.因为AC，B1C 平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC.又因为AB1 平面B1AC，所以BC1⊥AB1.。
2020年人教版高考数学(理)一轮复习第八单元解析几何测评答案
小题必刷卷(十一)题组一刷真题角度11. B ［解析］方法一:易得△ ABC面积为1,利用极限位置和特值法.当a=0时易得b=1-—；当a=时，易得b=-当a=1时，易得b= 一- 1A.故选B.方法二:(直接法)？ y=——,y=ax+b与x轴交于--，结合图形与a>0- x——x2 一(a+b) =a(a+1)>0? a=—T a>0,・••一>0? b~,当a=0 时,极限位置易得b=1-一，故答案为B.2. —［解析］由两平行线间的距离公式得d〜=J.角度2. . 2 2 2 2 . . . .3. A ［解析］圆x +y -2x- 8y+13=0化为标准方程为(x- 1) +(y- 4) =4，故圆心为(1,4),圆心到直线的距离d= — =1,解得a=__.4. A ［解析］由题意知A(-2,0),B(0,-2),|AB|= 2 _.圆心(2,0)到直线x+y+2=0的距离为一「=2 ：设点2 2 ————P到直线AB的距离为d,圆(x- 2) +y =2的半径为r则d € [2 -r ,2 +r],即d€ [ ,3 ],又A ABP的面积S^B P=-|AB|• d= _d,所以A ABP面积的取值范围是[2,6].5. C ［解析］方法一：由点到直线的距离公式得d==m.方法二:该题考查圆周上一点到动直线的距离的最值问题，由题知动直线过定点(2,0),观察下图可知，所求距离的最大值为点(2,0)到单位圆上点的距离的最大值，故为3.角度32 26. C ［解析］方法一:设圆的方程为x+y+Dx+Ey+F：0,将点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的坐标代入得方程组解得所以圆的方程为x +y - 2x+4y- 20=0,即(x- 1) +(y+2) =25,所以=2 - =4 _方法二：因为k AE=--,k BC=3，所以k AB k BC=-1所以AB丄BC所以△ ABC为直角三角形所以△ ABC的外接圆圆心为AC的中点(1,-2),半径r=- =5,所以=2 -=4：方法三：由•=0得AB丄BC下同方法二.7. (x-2)2+y2=9 ［解析］设圆心的坐标为(a,0)(a>0),根据题意得_J,解得a=2(a=-2舍去)，所以圆的半__ . . 2 2径r= - - =3,所以圆的方程为(x-2) +y =9.2 2 28. (-2,-4) 5 ［解析］由题意知a=a+2,则a=2或a=-1.当a=2 时方程为4x +4y +4x+8y+10=0,即2 2 方法二:设点P(3,1),圆心为C,以PC为直径的圆的方程为- -+y - =0,整理得x-4X+y-y+3=0,2 2 I J 2 2 . . 2 2 2 2x +y +x+2y+-=0? x+- +(y+1)=--,不能表示圆；当a=-1 时方程为x +y +4x+8y- 5=0,即(x+2) +(y+4) =25, 所以圆心坐标是(-2,- 4),半径是5.角度49. A ［解析］设所求直线方程为2x+y+m=0,则圆心到该直线的距离为 ^一= 一,「.|m|=5,即m=± 5.10. D ［解析］设反射光线所在直线的斜率为k,反射光线过点(-2,-3)关于y轴的对称点(2,-3),二反射光线所在直线方程为y+3=k(x-2).又T 其与圆(x+3)2+(y- 2)2=1 相切，—==一=1,解得k=--或k=--.11. A ［解析］方法一:设点P(3,1),圆心为C,设过点P的圆C的切线方程为y-1=k -，由题意得-==1,解之得k=0或-,即切线方程为y=1或4x- 3y- 9=0.联立得一切点为，又Tk PC=——, .k AB=-一=- 2，即弦AB所在直线方程为y-仁-2 -，整理得2x+y- 3=0.联立两式相减得2x+y- 3=0.12. 4 n ［解析］x +y -2ay-2=0,即x +(y-a ) =a +2，则圆心为C(0,a).又|AB|= 2 _,C到直线y=x+2a 的距离为一所以(二)2+( ) 2=a2+2，得a2=2，所以圆C 的面积为n (a2+2)=4 n .13. 4 ［解析］直线丨：n(x+3)+y- _=0 过定点(-3, 一)又|AB|= 2 一,二(『^)2+( _)2=12,解得m=二.直线方程中，当x=0时,y=2 ".又(-3, _),(0,2 一)两点都在圆上，•••直线丨与圆的两交点为A(-3, _),B(0,2 ").设过点A(-3, 一)且与直线丨垂直的直线为_x+y+c i=0，将(-3, 一)代入直线方程_x+y+c i=0，得c i=2 _.令y=0,得x c=-2，同理得过点B且与I垂直的直线与x轴交点的横坐标为X D=2,• |CD|=4.题组二刷模拟214. A ［解析］若11 II l 2,则a x (- 1)=a(a+2),即a +3a=0,「.a=0 或a=- 3,经检验都符合题意，故选A15. C ［解析］•「△ ABC是等腰直角三角形，•圆心C(1,-a)到直线ax+y-1=0的距离d^= =—,.•. a= ±, 故选C16. A ［解析］由M为PQ的中点，=- ，得PA X QA即I 1丄l 2,. 1 x m+-2)x 1=0,解得m=2.故选A17. B ［解析］点B在直线y=2 一上，过点A(0,-2 一)作圆的切线，设切线的斜率为k,由点斜式求得切线方程为kx-y- 2 _=0.由圆心到直线的距离等于半径，得^== 一,解得k=± 一,•切线方程为y=± _x-2 一,与直线y=2 一的交点坐标为(士4,2 _), •要使视线不被圆C挡住，实数a的取值范围是(-%，- 4) U (4,+ 叼,故选B.18. D ［解析］如图，点A关于直线BC的对称点为D(-6,2),则直线DB的方程为x+2y+2=0直线DC的方程为y=2.由---- =——=——,| 2a-2|=——,得a=-1,-,1 士——，结合图像可知-1W 1 —，故选D.2 219. D ［解析］圆的标准方程为(x+2)+y=4,作CD丄AB于点D.由圆的性质可知/ ACB=20° ,△ ABC为等腰三角形,其中|CA|=|CB|，则|CD|=|CA| si M 30 ° =2X-=1,即圆心(-2,0)到直线4x- 3y+a=0的距离为1, 据此可得一-=1,即|a- & = 5,解得a=3或a=13,故选D20. A ［解析］设A(X1,y1),B(X2,y2)，联立-可化为5y2-4ay+a2- 2=0，则△ =16a2- 20(a2-2)>0,即a2<10,且y’+y2=—,y’y2 ----------------- .若=0,则X1X2+y1y2=0，即卩(2yy )(2y2-a )+y1y2=0, 5y’y2-2a(y1+y2)+a =0,二5X -2a x—+a =0,解得a=±，故"a= ”是“•=0”的充分不必要条件，故选A.21. C ［解析］由题可知直线I ：y=-(x+2)，即x- _y+2=0.设圆心C(a,0)(a>0),则_ :=a,解得a=2,所以圆C的方程为(x-2) +y =4.将y=—(x+2)代入圆C的方程，可得x - 2x+1=0，所以x<=1,故P(1,0).设M(x,y),2 2则----= ------------ =--------------- ,将x +y =4x代入，得-- =——=4,所以——=2,故选C22. 士2 ［解析］由题得/PMO M PN0h M0N90° ,|M0|=|0N|=1,.四边形PMO是正方形,••• |PO|= 一. •••满足以上条件的点P有且只有一个，••• O»l ,. 一=^,.・.b= ±.23. —懈析］若直线丨1与直线丨2垂直，则-2X- =-1?- =,则使得直线丨1丄l 2的{(a,b)}={(1,2),(2,4),(3,6)},故直线丨1丄I 2的概率P —=—.24. 2 —［解析］由得-即直线恒过定点q-1,-2).以C为圆心,5为半径的圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=25,圆心C(- 1，- 2)到直线3x+4y+1 =0 的距离d=- --- •=—=2，则|AB|= 2 - =2 - =2 (R为圆的半径).25. ①②③［解析］连接BC作CE_LAB于点E,易知|CE|=1,|BE|= 1,则|BC|= 一，则C(1, 一),所以圆C的方程为(x-1) +(y- 一)=2,A(0, _-1),B(0, _+1).因为MN在圆Qx+y=1 上，所以可设M(cos a ,sin a ),N(cos B ,sin B )，所以|NA|= - ,|NB|= - - _ ==2.角度24. A ［解析］—=-—=_-1=e-1=2所以-=± 一,所以渐近线方程为y=± "x.5.C ［解析］由题易知|PF 2|=b,|0P|=a.过P 向x 轴作垂线，垂足为E,可知|PE|=—,戶£|=—,所以 2 — _ 2 2 — |PF i |=— + -一 =( |0P|)=6a,从而可得e=. 6. D ［解析］由题意知A(-a,O),过A 且斜率为一的直线方程为y=—(x+a),设P(x °,y °),则有y o —(x o +a)①.又厶PFF 2为等腰三角形，且/F i F 2P=120 °所以①②③,消去x o ,y o ,得一 =_，即C 的离心率为_. 7. B ［解析］由双曲线方程知a= 一卩=1,则F(2,0).不妨设过点F 的直线垂直渐近线x- _y=0于M 交渐 近线 x+ _y=0 于 N.在 Rt △ OM 中，/MOF30 °」OF|= 2，所以 |OM|= 一.在 Rt △ OMF 中，/MON60 °」OM|=- 所以 |MN|=3.角度38. A ［解析］•••以线段AA 为直径的圆与直线bx-ay+ 2ab=0相切，•••圆心到此直线的距离 d 等于圆的半径，即 d= =a.2 2又a>b>0,则上式可化简为a =3b .Tb =a-c ,「.a =3(a -c )，即一=-，…e=-=—.9. A ［解析］设双曲线的一条渐近线方程为 bx+ay=0,则圆心到该直线的距离.根据已知得= ---- =tan 30 =—②, =一=tan 60° = 一③.联立2 2 21 + — =4,即—=3,所以b =-c ,所以e=-=—:=2.10. D ［解析］由题意及双曲线的对称性画岀示意图如图所示，渐近线OBy=_x.设Bx o,_x。
2020年人教版高考数学(理)一轮复习第八单元解析几何作业答案
课时作业(四十八)1. C ［解析］直线y=x的斜率k=1,故tan a =1,所以a =45°，故选C2. B ［解析］由斜率公式可得,直线丨的斜率k=—=_,故选B3. D［解析］因为直线在x轴、y轴上的截距分别为-<0,-->0,所以直线Ax-By-C=0不经过的象限是第四象限，故选D.4. 3x-y- 5=0 ［解析］由点斜式方程，得y+2=3(x- 1),即3x-y- 5=0.5.1或-1 ［解析］令x=0，得y=k;令y=0,得x=- 2k. •••所围成的三角形的面积S=_ - =k2=1，二k=1 或-1.6. A ［解析］由题意得直线ax+by+c=0的斜率存在，且为k=--,又直线的倾斜角为45 ° ,• k二-=tan 45° =1, • a=-b ,• a+b=0,故选 A.7. B ［解析］•••点P的横坐标为2,且点P在直线x-y+ 1 =0上,•点P的纵坐标为3, •P(2,3).又T = , •-直线PA,PB的斜率互为相反数，•-直线PB的斜率为-1,则直线PB的方程是y- 3=- (x- 2),即x+y- 5=0，故选B8. B ［解析］由题意得易得点Q- 的坐标满足-+b=1,即点Q在直线I上.由方程组得两式相加，得c+-=1,即点P在直线l上.故选B9. B ［解析］联立两直线方程得" 解得一所以两直线的交点坐标为---- ---- .因为两直线的交点在第一象限，所以一解得k>-，则tan 0 >—,所以0 € --故选B10. A ［解析］T丙车最先到达终点，丁车最后到达终点，二丙车速度最大，丁车速度最小，二由s-t图像的几何意义可知丙车s-t图像(直线)的倾斜角最大，丁车s-t图像(直线)的倾斜角最小，故选A11. B ［解析］由题意可得A(1,0),B(2,3),且两直线斜率之积等于-1,二直线x+my-1=0和直线mx-y-2m£=0垂直，则|PA| +|PB| =|AB| =10》-------- ，即|PA|+|PB| < 2 一当且仅当|PA|=|PB|= 一时等号成立,二|PA|+|PB|的最大值为2 一故选B.12. x+ 2y- 3=0 ［解析］设A(a,0),B(0,b),由=-2 ，可得a-1= -2x (0- 1),0- 1=-2(b- 1),W a=3,b二,由截距式可得直线丨的方程为-+―=1，即x+2y- 3=0.13. —或一［解析］设直线丨1,直线12的倾斜角分别为a ,3，因为k>0，所以a , B均为锐角.直线丨1,1 2 与x 轴围成一个等腰三角形，有以下两种情况：当a =2 3时,tan a =tan 2 3，即-= 又因为k>0所以k=—；当3 =2 a 时,tan 3 =tan 2 a，即2k= 又因为k>0，所以k=.14. 4 ［解析］•••直线丨过点(a,0)和(0,b),a€ N*,b€ N*,「.可设直线丨的方程为-+-=1. 丁直线丨过点(1,6),.••-+-=1，即卩6a=(a-1)b, 工1,当a>2 时,b=一=6+一.当a=2 时,b=12;当a=3 时,b=9;当a=4 时,b=8; 当a=7时,b=7;当a>7时满足条件的正整数b不存在.综上，满足条件的直线有4条.15. C ［解析］如图所示，可知A_,0),B(1,1),C(0, _),D(- 1,1),所以直线ABBCCD的方程分别为y=「(x- _),y=(1- _)x+ _,y=( _- 1)x+整理为一般式即为x+( _- 1 )y- 一=0,(1- _)x-y+ _=0,( _-1)x-y+ _=0,分别对应题中的ABD选项.故选C16. A ［解析］设C(mn),由重心坐标公式得,△ ABC的重心为，代入欧拉线方程得+2=0,整理得m-n+4=0①.AB的中点为(1,2),k A B=——=-2,则AB的中垂线方程为y-2=-(x- 1),即x-2y+3=0.由一得_•••△ ABC的外心为(-1,1).2 2 2 2 2 2则(m+1) +(n-1) =3 +(-1) =10,整理得m+n +2m-2n=8②,由①②得m=4n=0或m=0,n=4.当m=0,n=4时,BC重合,舍去，•顶点C的坐标是(-4,0).故选A.课时作业(四十九)1. C ［解析］由两条平行线之间的距离公式得所求距离d= - -=2，故选C2. C ［解析］由题意及点到直线的距离公式得一一= ，解得a二-或--,故选C解得交点坐标为- ，由题意得解得4. 0<k<_ ［解析］由方程组3. A ［解析］由两直线丨1：2x-y+3=0,1 2：mx+2y+1=0平行可得-=2且3斗-,解得m=4,故选A.0<k<-.5. - 2 ［解析］如图所示,A点关于x轴的对称点为A',则点A'在直线MB上.由对称性可知A' (3,-2),则光线MB所在直线的斜率k=：-=-2.16. A ［解析］设C(mn),由重心坐标公式得,△ ABC的重心为，代入欧拉线方程得+2=0, 6. A ［解析］由直线丨1：ax-(a+1)y+1=0与直线12：2x-ay- 1=0垂直，可得2a+a(a+1)=0,解得a=0或-3,所以“a=-3”是“直线Max-(a+1)y+1=0与直线|2：2x-ay- 1=0垂直”的充分不必要条件，故选A到y 轴的距离就是这条光线经过的最短路程 ，所以最短路程是3.7. B ［解析］由题意得-- • tan 0 =-1，二 tan 0 =2, - cos 2 0 = 8. B ［解析］因为直线I 与直线3x-4y+5=0关于x 轴对称所以直线I 的斜率与直线3x-4y+5=0的斜率 相反,所以可设直线I 的方程为3x+4y+b=0,又因为两直线在x 轴上的截距相等，所以b=5,所以直线I 的 方程为3x+4y+5=0,故选B9. C ［解析］如图所示，点A(3,-1)关于直线I ：x+y=0的对称点为qi,-3),直线BC 的方程为一=一，即 x- 4y-13=0,与x+y=0联立可得直线BC 与直线I 的交点坐标为一 -一 .|PA|+|PB|=|PC|+|PB|，由图可知,当点P 的坐标为一-—时,|PB|+|PC|取得最小值，即|PA|+|PB|取得最小值，故选C 10. C ［解析］由题意知点(0,2)与点(4,0)关于折痕对称，两点连线的中点坐标为 --------- ,即(2,1).点 (0,2)与点(4,0)确定的直线的斜率为—=--，则折痕所在直线的斜率为2,所以折痕所在直线的方程为y-1=2(x-2),即y=2x-3.由题意知点(7,3)与点(min)也关于直线y=2x- 3对称,则有 _ 解得所以m+nh.故选C.11. (3,0)［解析］T 直线I i ：y=kx+2-k 与直线12关于直线y=x-1对称，二直线I 2的方程为x- l=k(y+l)+2-k , 即x-ky- 3=0，显然直线I 2经过定点(3,0).12. 3 ［解析］由直线I 2经过点C(1 ,n),D(-1,m+|),可得丨2的斜率为 一^二-.因为直线I 1平行于12,所以直 线I 1的斜率也是--,即——=—,解得m=3.13. 3 ［解析］设点A 关于直线I 的对称点为B(mn),则 - 解得 即B(3,1).因为点B 二一,故选B.P(1,-2).由于直线(2k-1)x+ky+1=0经过定点P(1,-2),又|0P|=-= 一,所以原点到直线I 的距离 的最大值为 15. ②③［解析］根据题意，可通过求各直线上的点到点 M 的最小距离，即点M 到直线的距离d 来分析. 对于①,d= =3 —>4,故直线上不存在点到点 M 的距离等于4,所以该直线不是“切割型直线”；对 于②,d=2<4，所以在直线上可以找到两个不同的点，使之到点M 的距离等于4,所以该直线是“切割型直 线”;对于③,d= - =4，所以直线上存在一点，使之到点M 的距离等于4,所以该直线是“切割型直线”； 对于④,d= ^—>4,故直线上不存在点到点 M 的距离等于4,所以该直线不是“切割型直线”.16. - -［解析］设直线0P 的斜率为k,点0关于BC 的对称点为N 则点N 的坐标为(4,0),则直线NP 的斜 率为-k,故直线NP 的方程为y=-k(x-4)，故点E 的坐标为-- .易知直线EQ 的斜率为k,则直线EQ 的方程为y-2=k_x- (--+4)_ ,故点Q 的坐标为(-1,4- 5k).若OP 的斜率为-，即k=-，则点Q 的纵坐标为-. 若点Q 恰为线段AD 的中点，则4- 5k=1，即 k=-,即OP 的斜率为-•课时作业(五十) . . 2 2 . .1. D ［解析］圆x +y +ax=0的圆心坐标为--，二--=1,解得a=-2.故选D.2. B ［解析］•••线段ABx-y- 2=0(0<x < 2)的两个端点为(0,-2),(2,0),二圆心为(1,-1),半径为2 2---------- =，二圆的方程为(x-1) +(y+1) =2,故选B2 2 23. C ［解析］配方得［x-(2m+l)］ +(y-m) = m(m^ 0),所以圆心坐标为(2m+,n),令 消去m 得 x- 2y-1=0(x 工 1),故选 C . . 2 2 . . . .4. - 1 ［解析］圆的方程配方得(x-1)+y =1,则圆心为(1,0),半径为1,则由题意知圆心(1,0)在直线x+y+a=0 上，所以1+a=0，所以a=-1.14. ［解析］(2k- l )x+ky+i=o 可化为(1-x )+k (2x+y )=o,由 解得x=1,y=-2，即直线丨过定点5.2 ［解析］点P到直线l的距离的最小值是 --------- -1=2.6. D ［解析］由题意得，所以(x- 3)2+(y+4)2- 4=x2+y2,即6x- 8y- 21 =0,故选D7. D ［解析］一 =一+1,其中—表示半圆上的动点P(x,y)与点Q(0,1)所在直线的斜率.过点Q0,1)作QB与半圆相切,B为切点则在Rt△ CBC中, =- 所以/ CQB30 °则k oB=tan / CQB=,所以一-的最大值为一+1.8. D ［解析］直线AB：—+_=1，即卩4x-3y+12=0.若厶ABC的面积最小，则点C到直线AB的距离d最短，易知d min= ---------- 1.又|AB|= 5,^ABC的面积的最小值为-,•••-X 5X --------------- - =-,即| 4m+2|= 10,二m—或--,故选D2 2 2 2 . . . .9. A ［解析］将x +y -2x- 6y+9=0化成标准形式为(x- 1) +(y- 3) =1，则圆心为(1,3),半径r= 1.设所求圆的方程为(x-a) +(y-b) =1,则圆心为(a,b). J所求圆与圆x +y -2 x-6y+9=0关于直线2x+y+5=0对称,•所求圆的圆心(a,b)与圆心(1,3)关于直线2x+y+5=0对称,•-•-a=-7,b=-1,二与圆2 2 2 2x +y - 2x- 6y+9=0关于直线2x+y+5=0对称的圆的方程是(x+7) +(y+1) =1，故选A.2 o11. 1 ［解析］圆C(x-2)+(y+m-4) =1 的圆心为C(2,-m+4),半径r=1,可得= - ，•当时，最小，且最小值为2又|OC|min-r=2-仁1,故当m变化时，圆C上的点与原点的最短距离是 1.12. 2 —［解析］因为M(mn)为圆Cx +y =4上任意一点，所以可设则m+2n =2cose +4sin 0 =2 "sin ( 0 +$ )<2 一，其中tan $「所以m+2n的最大值为2 一数形结合可得,——表示圆Cx2+y2=4上的点Mmn)与点P(-2,-3)连线的斜率，显然当直线PM与圆相切时，斜率最小.设此时切线的斜率为k,则切线方程为y+3=k(x+2),即kx-y+ 2k-3=0.由圆心到切线的距离等于半径，得^==2,解得k=—,所以-- 的最小值为一.2 210. (x-1) +(y-1)=2 ［解析］因为|CA|=|CB|=R ,△ ABC为直角三角形所以/C=90°，又C在第一象限所_ , . 2 2以C(1,1)且R= 一，故圆C的标准方程为(x- 1) +(y- 1) =2.13. 解:⑴当弦AB 为圆的直径时，圆的周长最小.弦AB 的中点为(0,1),|AB|= ___ . . 2 2 r= —则圆的方程为x+(y-1)=10. (2)k AB =-=-3,弦AB 的中点为(0,1),所以AB 的中垂线方程为y- 1d(x-0),即x- 3y+3=0.由- 解得 所以圆心为(3,2),. . _ . . 2 2 所以圆的半径r= - =2 一,所以圆的方程为(x- 3) +(y- 2) =20.14. 解:⑴设动点 P 的坐标为(x,y),则 =(x,y-1), =(x,y+1),=(1-x ，-y). 2 2 2 2 2=k| | ,.・.x +y-仁k[(x-1) +y ], 即(1-k)x 3 4+(1-k)y 2+2kx-k- 1=0 ①.若k=1则①为x=1,表示过点(1,0)且平行于y 轴的直线；2 . .若k 工1,则①为 一 +y =—，表示以-— 为圆心,—为半径的圆.16. A ［解析］依题意得，函数f(x)的图像与两坐标轴的交点分别是 A(2018,0),B(-2019,0),C(0,- 2018X 2019).设经过点 A,B,C 的圆与 y 轴的另一个交点是 D(O,y 。
2021年高考数学一轮复习 题组层级快练8(含解析)
2021年高考数学一轮复习 题组层级快练8（含解析）1．若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (4)＝f (1)，则( ) A ．f (2)>f (3) B ．f (3)>f (2) C ．f (3)＝f (2)D ．f (3)与f (2)的大小关系不确定 答案 C解析 ∵f (4)＝f (1)，∴对称轴为52，∴f (2)＝f (3)．2．若二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1，则f (x )的表达式为( ) A ．f (x )＝－x 2－x －1 B ．f (x )＝－x 2＋x －1 C ．f (x )＝x 2－x －1 D ．f (x )＝x 2－x ＋1答案 D解析 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，a x ＋12＋b x ＋1＋c －ax 2＋bx ＋c ＝2x .故⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0，c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，c ＝1，则f (x )＝x 2－x ＋1.故选D.3.如图所示，是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像，则|OA |·|OB |等于( )A.caB ．－c aC ．±c aD ．无法确定答案 B解析 ∵|OA |·|OB |＝|OA ·OB |＝|x 1x 2|＝|c a |＝－c a(∵a <0，c >0)．4．(xx·上海静安期末)已知函数f (x )＝－x 2＋4x ，x ∈[m,5]的值域是[－5,4]，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,2]C ．[－1,2]D ．[2,5)答案 C解析 二次函数f (x )＝－x 2＋4x 的图像是开口向下的抛物线，最大值为4，且在x ＝2时取得，而当x ＝5或－1时，f (x )＝－5，结合图像可知m 的取值范围是[－1,2]．5．一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图像大致是( )答案 C6．(xx·山东济宁模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c x ≤0，2 x >0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为( )A ．4B ．2C ．1D ．3答案 D解析 由解析式可得f (－4)＝16－4b ＋c ＝f (0)＝c ，解得b ＝4.f (－2)＝4－8＋c ＝－2，可求得c ＝2.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2x ≤0，2 x >0.又f (x )＝x ，则当x ≤0时，x 2＋4x ＋2＝x ，解得x 1＝－1，x 2＝－2. 当x >0时，x ＝2，综上可知有三解．7．二次函数f (x )的二次项系数为正数，且对任意的x ∈R 都有f (x )＝f (4－x )成立，若f (1－2x 2)<f (1＋2x －x 2)，则实数x 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0,2)C ．(－2,0)D ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)答案 C解析 由题意知，二次函数的开口向上，对称轴为直线x ＝2，图像在对称轴左侧为减函数．而1－2x 2<2,1＋2x －x 2＝2－(x －1)2≤2，所以由f (1－2x 2)<f (1＋2x －x 2)，得1－2x 2>1＋2x －x 2，解得－2<x <0.8．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1,1]时，f (x )>0恒成立，则实数b 的取值范围是( )A ．－1<b <0B ．b >0C ．b <－1或b >2D ．不能确定答案 C解析 由f (1－x )＝f (1＋x )，得对称轴方程为x ＝1＝a2.∴a ＝2，f (x )在[－1,1]上是增函数． ∴要使x ∈[－1,1]，f (x )>0恒成立．只要f (x )min ＝f (－1)＝b 2－b －2>0，∴b >2或b <－1.9．(xx·上海虹口二模)函数f (x )＝－x 2＋4x ＋1(x ∈[－1,1])的最大值等于________． 答案 4解析 因为对称轴为x ＝2∉[－1,1]，所以函数在[－1,1]上单调递增，因此当x ＝1时，函数取最大值4.10．设函数f (x )＝mx 2－mx －1，若f (x )<0的解集为R ，则实数m 的取值范围是________． 答案 (－4,0]11．设函数y ＝x 2＋(a ＋2)x ＋3，x ∈[a ，b ]的图像关于直线x ＝1对称，则b ＝________. 答案 612．已知函数f (x )＝x 2－6x ＋5，x ∈[1，a ]，并且函数f (x )的最大值为f (a )，则实数a 的取值范围是________．答案 a ≥5解析 ∵f (x )的对称轴为x ＝3，要使f (x )在[1，a ]上f (x )max ＝f (a )，由图像对称性知a ≥5. 13．已知y ＝(cos x －a )2－1，当cos x ＝－1时，y 取最大值，当cos x ＝a 时，y 取最小值，则实数a 的范围是________．答案 0≤a ≤1解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－a ≤0，－1≤a ≤1，∴0≤a ≤1.14．若函数f (x )＝x 2－2x ＋3在区间[0，m ]上的最小值是2，最大值是3，则实数m 的取值范围是________．答案 [1,2]解析 ∵f (x )＝(x －1)2＋2≥2， ∴x ＝1∈[0，m ]．∴m ≥1.① ∵f (0)＝3，而3是最大值．∴f (m )≤3⇒m 2－2m ＋3≤3⇒0≤m ≤2.② 由①②知：1≤m ≤2，故应填[1,2]．15．在函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 中，若a ，b ，c 成等比数列且f (0)＝－4，则f (x )有最________值(填“大”或“小”)，且该值为________．答案 大 －3解析 ∵f (0)＝c ＝－4，a ，b ，c 成等比，∴b 2＝a ·c ，∴a <0.∴f (x )有最大值，最大值为c －b 24a＝－3.16．函数f (x )＝x 2＋2x ，若f (x )>a 在区间[1,3]上满足：①恒有解，则a 的取值范围为________；②恒成立，则a 的取值范围为________．答案 a <15 a <3解析 ①f (x )>a 在区间[1,3]上恒有解，等价于a <[f (x )]max ，又f (x )＝x 2＋2x 且x ∈[1,3]，当x ＝3时，[f (x )]max ＝15，故a 的取值范围为a <15.②f (x )>a 在区间[1,3]上恒成立，等价于a <[f (x )]min ，又f (x )＝x 2＋2x 且x ∈[1,3]，当x ＝1时，[f (x )]min ＝3，故a 的取值范围为a <3.17．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数； (3)当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间． 答案 (1)最小值－1，最大值35 (2)a ≤－6或a ≥4(3)单调递增区间(0,6]，单调递减区间[－6,0]解析 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4,6]， ∴f (x )在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增．∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35.(2)由于函数f (x )的图像开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4.(3)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，∴f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋3，x ∈0，6]，x 2－2x ＋3，x ∈[－6，0].∴f (|x |)的单调递增区间是(0,6]， 单调递减区间是[－6,0]．18．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a >0)，设f (x )＝x 的两个实根为x 1，x 2. (1)如果b ＝2且|x 2－x 1|＝2，求实数a 的值；(2)如果x 1<2<x 2<4，设函数f (x )的对称轴为x ＝x 0，求证：x 0>－1. 答案 (1)a ＝2－12(2)略 解析 (1)若b ＝2，则f (x )＝ax 2＋2x ＋1. 由f (x )＝x ，得ax 2＋2x ＋1＝x . 即ax 2＋x ＋1＝0.由|x 2－x 1|＝2，得(x 2－x 1)2＝4.∴(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4.∴(1a )2－41a ＝4，得a ＝2－12(a >0)． (2)由f (x )＝x ，得ax 2＋bx ＋1＝x . 即ax 2＋(b －1)x ＋1＝0. 设g (x )＝ax 2＋(b －1)x ＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧g 2<0，g 4>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b －1<0，16a ＋4b －3>0.画出点(a ，b )的平面区域知该区域内有点均满足2a －b >0.从而2a >b ，∴x 0＝－b2a>－1.1．(xx·浙江)已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则( ) A ．a >0,4a ＋b ＝0 B ．a <0,4a ＋b ＝0 C ．a >0,2a ＋b ＝0 D ．a <0,2a ＋b ＝0答案 A解析 由f (0)＝f (4)，得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝－b2a ＝2，∴4a ＋b ＝0，又f (0)>f (1)，∴f (x )先减后增，∴a >0，选A.2．已知f (x )是二次函数，且函数y ＝ln f (x )的值域为[0，＋∞)，则f (x )的表达式可以是( ) A ．y ＝x 2B ．y ＝x 2＋2x ＋2 C ．y ＝x 2－2x ＋3 D ．y ＝－x 2＋1答案 B解析 由题意可知f (x )≥1.3．已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为( ) A ．[2－2，2＋2] B ．(2－2，2＋2) C ．[1,3] D ．(1,3)答案 B解析 由题可知f (x )＝e x －1>－1，g (x )＝－x 2＋4x －3＝－(x －2)2＋1≤1，若有f (a )＝g (b )，则g (b )∈(－1,1]．即－b 2＋4b －3>－1，解得2－2<b <2＋ 2.4．对一切实数x ，若不等式x 4＋(a －1)x 2＋1≥0恒成立，则a 的取值范围是( )A ．a ≥－1B ．a ≥0C ．a ≤3D ．a ≤1答案 A解析 令t ＝x 2≥0，则原不等式转化为t 2＋(a －1)t ＋1≥0，当t ≥0时恒成立． 令f (t )＝t 2＋(a －1)t ＋1，则f (0)＝1>0. (1)当－a －12≤0即a ≥1时，恒成立． (2)当－a －12>0即a <1时，由Δ＝(a －1)2－4≤0，得－1≤a ≤3. ∴－1≤a <1，综上：a ≥－1.5．若二次函数y ＝8x 2－(m －1)x ＋m －7的值域为[0，＋∞)，则m ＝________. 答案 9或25 解析 y ＝8(x －m －116)2＋m －7－8·(m －116)2，∵值域为[0，＋∞)，∴m －7－8·(m －116)2＝0，∴m ＝9或25.6．已知t 为常数，函数y ＝|x 2－2x －t |在区间[0,3]上的最大值为2，则t ＝________. 答案 1解析 ∵y ＝|(x －1)2－t －1|，∴对称轴为x ＝1.若－t －1<0，即t >－1时，则当x ＝1或x ＝3时为最大值，即|1－2－t |＝t ＋1＝2或9－6－t ＝2，得t ＝1；若－t －1≥0，即t ≤－1时，则当x ＝3时为最大值，即9－6－t ＝2，t 无解．故得t ＝1.7．(xx·北京丰台期末)若f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )，其中a ≤b ≤c ，对于下列结论：①f (b )≤0；②若b ＝a ＋c2，则∀x ∈R ，f (x )≥f (b )；③若b ≤a ＋c2，则f (a )≤f (c )；④f (a )＝f (c )成立的充要条件为b ＝0.其中正确的是________．(请填写序号)答案 ①②③解析 f (b )＝(b －a )(b －b )＋(b －b )(b －c )＋(b －c )·(b －a )＝(b －c )(b －a )，因为a ≤b ≤c ，所以f (b )≤0，①正确；将f (x )展开可得f (x )＝3x 2－2(a ＋b ＋c )x ＋ab ＋bc ＋ac ，又抛物线开口向上，故f (x )min＝f (a ＋b ＋c3)．当b ＝a ＋c2时，a ＋b ＋c3＝b ，所以f (x )min ＝f (b )，所以②正确；f (a )－f (c )＝(a －b )(a －c )－(c －a )(c －b )＝(a －c )(a ＋c －2b )，因为a ≤b ≤c ，且2b ≤a ＋c ，所以f (a )≤f (c )，③正确；因为a ≤b ≤c ，所以当f (a )＝f (c )时，即(a －c )(a ＋c －2b )＝0，所以a ＝b ＝c 或a ＋c ＝2b ，故④不正确．8．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5(a >1)．(1)若f (x )的定义域和值域均是[1，a ]，求实数a 的值；(2)若f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，求实数a 的取值范围．解析 (1)∵f (x )＝(x －a )2＋5－a 2(a >1)，∴f (x )在[1，a ]上是减函数．又定义域和值域均为[1，a ]， ∴⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝1－2a ＋5＝a ，fa ＝a 2－2a 2＋5＝1.解得a ＝2.(2)∵f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，∴a ≥2. 又x ＝a ∈[1，a ＋1]，且(a ＋1)－a ≤a －1， ∴f (x )max ＝f (1)＝6－2a ，f (x )min ＝f (a )＝5－a 2.∵对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4， ∴f (x )max －f (x )min ≤4，即(6－2a )－(5－a 2)≤4，解得－1≤a ≤3.又a ≥2，∴2≤a ≤3.!31151 79AF 禯c36871 9007 逇uw24092 5E1C 帜D30343 7687 皇-22306 5722 圢\20882 5192 冒32406 7E96 纖r。
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3 的是（ 2
D ）
(0， 1)
1) C． (，
(1， ) D． (1， 0) (0， 1)
3.下列各式中，值为
B ） （D） sin2 15 cos 2 15
（A） 2 sin15 cos 15 （B） cos 2 15 sin2 15 （C） 2 sin2 15 1 4.函数 f ( x) cos x 2 cos
解： （I）我们有
x x f ( x) cos 2 x 4t sin cos 4t 3 t 2 3t 4 2 2 2 2 sin x 1 2t sin 4t t 2 3t 4 sin 2 x 2t sin x t 2 4t 3 3t 3 (sin x t )2 4t 3 3t 3 ． 2 由于 (sin x t ) ≥ 0 ， t ≤1 ，故当 sin x t 时， f ( x ) 达到其最小值 g (t ) ，即
1 1 ， 2
0
极大值 g
1 2
1 2
由此可见， g (t ) 在区间 1 ，
1 1 1 1 1 1 单调增加，在区间 ， 单调减小，极小值为 g 2 ，极大值为 和 ， 2 2 2 2 2
2 2
x 的一个单调增区间是（ A ） 2
C． 0，
A． ，
2 3 3
B． ，
6 6
5.在数列 {an } 中， a1 2 ， an 1 an ln(1 ) ，则 an (A) A． 2 ln n B． 2 (n 1) ln n C． 2 n ln n .-72 D． 1 n ln n
每日一练 8 x 1 1.设曲线 y 在点 (3， 2) 处的切线与直线 ax y 1 0 垂直，则 a （ D ） x 1 1 1 A．2 B． C． D． 2 2 2 f ( x) f ( x) 0 的解集为（ ) 上为增函数，且 f (1) 0 ，则不等式 2.设奇函数 f ( x ) 在 (0， x
g (t ) 4t 3 3t 3 ．
（II）我们有 g (t ) 12t 3 3(2t 1)(2t 1)， t 1．
2
列表如下：
t
g (t ) g (t )
1， 2
1 2
1 ， 2 2
1 2
0
极小值 g
g 4 ． 2
6.设 Sn=是等差数列{an}的前 n 项和，a12=-8,S9=-9,则 S16= 7.设函数 f ( x) cos x 4t sin
2
x x cos 4t 3 t 2 3t 4 ， x R ， 2 2 其中 t ≤1 ，将 f ( x ) 的最小值记为 g (t ) ． （I）求 g (t ) 的表达式； ， 内的单调性并求极值． （II）讨论 g (t ) 在区间 (11)