高一数学函数的基本性质

在[4，14]上内任取两个值t1，t2，只要t1＜t2 ，就有θ1＜θ2，就可以说在区间[4，14]上，θ随t 的增大而增大．
问题：
设函数y＝f(x)的定义域为A，区间IA, 在区间I上，y随x的增大而增大，该如何用 数学符号语言来刻画呢？
函数y＝f(x)的定义域为A，区间IA，如果 对于区间I内的任意两个值x1，x2，
问题： 在区间[4，14]上，如何用数学符号语言来刻
画“θ随t的增大而增大”这一特征？
在[4，14]上，取几个不同的输入值，例如 θ
t1＝5，t2＝6，t3 ＝8，t4＝10，得到相对应的
输出值θ1，θ2，θ3，θ4．在t1＜t2＜t3＜t4时，有
θ1＜θ2＜θ3＜θ4，所以在[4，14]上，θ随t的增 大而增大．
x1 x2
x1, x2 (0,) x1 x2 0
x1 x2 x2 x1 0

-1＜1 f（-1）＜f（1）
f ( x1 ) f ( x2 ) 0f (x1) f (x2 )
函数f ( x) = 1 在(0, )上是减函数. 函数f (x) = 1 在(,0 )上是减函数吗？.
分析：按题意，只要证明函数在区间上是减函数 即可。
我例们2、，物对理于学一中定的量玻的意气耳体定，律当其p =体Vk积(kV为减正小常时数，) 告压诉 强p将增大。试用函数的单调性证明之。
证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域 取值
(0，+∞)上的任意两个实数，且V1<V2，则
p(V1) 由V1，V2∈
解:函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5], 其中y=f(x)在区间[-5,-2),[1,3)上是减函数, 在区间[-2,1),[3,5]上是增函数.
例2：物理学中的玻意耳定律
p= k V
（k为正常数）
告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，
压强p将增大。试用函数的单调性证明之。
注意：
1、函数最大（小）值首先应该是某一个函数值， 即存在x0∈I，使得f(x0) = M；
2、函数最大（小）值应该是所有函数值中最大 （小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M （f(x)≥M）．
例3、“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时 一般是期望在它达到最高点(大约是在距地面高度 25m到30m处)时爆裂. 如果在距地面高度18m的地 方点火，并且烟花冲出的速度是14.7m/s.
x 能说：函数f
( x)
=
1 的单调递减区间是(, 0
x
)
(0, )吗？
x
方法小结
用定义证明函数的单调性的步骤:
(1). 设x1＜x2, 并是某个区间上任意二值; (2). 作差 f(x1)－f(x2) ; (3). 判①断分解f(因x1式)－, 得f(出x2因) 式的(x符1－号x2:
定号 结论
例：证明函数f(x)= x3在R上是增函数.
证明：设x1,x2是R上任意两个 实数， 且x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=x13-x23 =(x1-x2)(x12+x1x2 +x22 ) = (x1-x2)[(x1+ x2) 2 + x22] 因为 x1<x2 ，则 x1-x2 <0 又 (x1+ x2) 2 + x22>0 所以 f(x1)-f(x2)<0 即 f(x1)<f(x2)
所以f(x)= x3在R上是增函数.
探究： 画出反比例函数
y=
1 x
的图象。
（1）这个函数的定义域I是什么？
（2）它在定义域I上的单调性是怎样的？证明
你的结论。
通过观察图象，先对函数是否具有某种性质做 出猜想，然后通过逻辑推理，证明这种猜想的正确 性，是研究函数性质的一种常用方法。
例.函数f (x) = 1 在(0, )上是增函数还是 x
f(x1)＜ f(x2),那么就说f(x)在
x2 x 这个区间上是增函数
二、减函数
y
f(x1)
f(x2)
0 x1
x2
设函数f(x)的定义域为I:
如果对于属于定义域I内某
个区间上的任意两个自变量
的值x1,x2, 当x1＜x2时,都有
x
f(x1)＞ f(x2),那么就说f(x)在 这个区间上是减函数
三、单调性与单调区间
如果这个函数在某个单调区间上的图象 是上升的，那么它在这个单调区间上就是增 函数；如果图象是下降的，那么它在这个单 调区间上就是减函数。
1、增函数、减函数的三个特征：
（1）局部性：也就是说它肯定有一个区间。区间可以 是整个定义域，也可以是其真子集，因此，我们说增函 数、减函数时，必须指明它所在的区间。如y=x+1 (X∈Z)不具有单调性
新课标人教版课件系列
《高中数学》
必修1
1.3.1 函数的基本性质
教学目的
• （1）通过已学过的函数特别是二次函数， 理解函数的单调性及其几何意义；
• （2）学会运用函数图象理解和研究函数的 性质；
• （3）能够熟练应用定义判断数在某区间上 的的单调性．
• 教学重点：函数的单调性及其几何意义． • 教学难点：利用函数的单调性定义判断、
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数, 那么就说函数y=f(x)在这个区间具有(严格的)单调性, 这一区间叫做y=f(x)的单调区间.
请问: 在单调区间上增函数的图象是___上__升__的___, 减函数的图象是___下__降__的___. (填“上升的”或“下降的”)
想一想 ：如何从一个函数的图象来判断这个 函数在定义域内的某个单调区间上是增函数 还是减函数？
∴f ( x1) – f ( x2 ) > 0 即 f ( x1) < f ( x2)
∴ f (x)= x +
1 x
在[1，+∞）上是增函数.
例3求函数f(x)=x+ k （k>0）在x>0上的单调性
x
kk
解：对于x2>x1>0,f(x2)-f(x1)=x2-x1+x2 - x1
=
x2 x1 x2 x1
② 配成非负实数和。 ③有理化。
(4). 作结论.
5、讨论函数f(x)= x + 1 在(0,+∞) 上的单调性. x
解：设 0 <x1 < x2
1 1 -(x1 –x2) (x1 x2 –1)
则 f (x1) – f ( x2) =（x1 - x2）+ x1 x2 =
x1·x2
∵0 < x1 < x2 ∴x1 - x2 < 0, x1·x2 > 0
⑴当0 < x1 < x2 < 1时， x1 x2 < 1， ∴ x1 x2 –1 < 0
∴f ( x1) – f ( x2 ) < 0 即 f ( x1) > f ( x2)
∴ f (x)= x +
1 x
wenku.baidu.com
在(0,1]上是减函数.
⑵当1 < x1 < x2 时， x1 x2 > 1， ∴ x1 x2 –1 > 0
(x1x2-k)
因 x2 x1 x2 x1
>0
X12-k <x1x2-k <x22-k 故x22-k≤0即x2≤ k
时，f(x2)<f(x1) 同理x1≥ k 时，f(x2)>f(x1)
总之，f(x)的增区间是 k , ，减区间是 0, k
图象上有一个最低点（0,0），即对于任意的 x R，
都有 f (x) f (0).
图象没有最低点。
画出下列函数的草图，并根据图象解答下列问题： (1) f (x) = 2x 3 (2) f (x) = x2 2x 1
1 说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的 单调性；
2 指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现
函数的什么特征？
(1)写出烟花距地面的高度与 时间之间的关系式.
(2) 烟花冲出后什么时候是它 爆裂的最佳时刻?这时距地 面的高度是多少(精确到1m).
解: (1)设烟花在t秒时距地面的高度为h m,则由物体运 动原理可知： h(t)= -4.9t2+14.7t+18
当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，
那么就说函数y=f(x)在区间I上是单调增函数， 区间I称为函数y=f(x)的单调增区间.
问题： 如何定义单调减函数和单调减区间呢？
函数y＝f(x)的定义域为A，区间I A，如 果对于区间I内的任意两个值x1，x2
当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)， 那么就说函数y=f(x)在区间I上是单调减函数，
值 增大
；图（2）中的y值 增大
。
2、当x∈(－∞，0)，x增大时，图（1）中的y
值 减小
；图（2）中的y值 增大
。
3、分别指出图(1)、图(2)中，当x ∈[0，+∞) 和x∈(－∞，0)时，函数图象是上升的还是 下降的？ 4、通过前面的讨论，你发现了什么？
结论：若一个函数在某个区间内图象是上升的， 则函数值y随x的增大而增大，反之亦真；
减函数？证明你的结论.
证明： 设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则
1
1
f ( x1 ) = x1 , f ( x2 ) = x2
f ( x1 ) f ( x2 ) =
= x2 x1
1 x1

1 x2
y
1 －1 1
O
－1
f（x）在定义域 上是减函数吗？
取x1=-1，x2=1
x
f（-1）=-1 f（1）=1
(0，p(V+2∞) )=且VkV1 1<VkV2 2=，k得VV2V1V1VV2 12>0,
V2-
作差 变形
V1 >0
又k>0,于是 p(V1) p(V2 ) 0
即 p(V2 ) p(V1) 也就所是以说，，函当数体p积=VVk减,少V 时，(0,压强)p是将减增函大数. .
3.已知函数y＝f(x)的定义域为[0，＋∞)，若 对于任意的x2＞0，都有f(x2)＜f(0)，则函数y＝f(x) 在区间[0，＋∞)上是单调减函数．
y
x2
O
x
f(x2)
一、增函数
y
f(x1)
0
x1
设函数f(x)的定义域为I:
如果对于属于定义域I内某
个区间上的任意两个自变量
f(x2)
的值x1,x2, 当x1＜x2时,都有
（2）任意性：它的取值是在区间上的任意两个自变量， 决不能理解为很多或无穷多个值。
（3）一致性
增函数： 减函数：
xx11
＜ ＜
x2 x2
f( x1 ) ＜ f( x2 ) f( x1) ＞ f( x2 )
例1.下图是定义在 闭区间[-5,5]上的函数y=f(x)的图 象,根据图象说出y=f(x)的单调区间,以及在每个单调 区间上, y=f(x)是增函数还是减函数?
y
y
2
-1 o x
o
x
1．最大值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果 存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M; （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M 那么，称M是函数y=f(x)的最大值
2．最小值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果 存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M; （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M 那么，称M是函数y=f(x)的最小值
若一个函数在某个区间内图象是下降的， 则函数值y随x的增大而减小，反之亦真。
观察某城市一天24小时气温变化图．
θ＝f (t)，t∈[0，24]
问题：如何描述气温θ随时间t的变化情况？
如图，研究函数θ＝f(t)，t∈[0，24]的图 象在区间[4，14]上的变化情况．
(t2,θ2)
(t1,θ1) t1 t2
O
t
取区间内n个输入值t1，t2，t3，…， tn， 得到相对应的输出值θ1，θ2，θ3，…，θn，在 t1＜t2＜t3＜…＜tn时，有θ1＜θ2＜θ3＜…＜θn ，所以在区间[4，14]上，θ随t的增大而增大 ．
在[4，14]上任取两个值t1，t2，只要t1＜t2 ，就有θ1＜θ2，就可以说在区间[4，14]上，θ 随t的增大而增大．
区间I称为函数y=f(x)的单调减区间.
概念辨析
1.函数y＝f(x)，x ∈[0，3]的图象如图所示．
y
O 123
x
区间[0，3]是该函数的单调增区间吗？
判断
2.对于二次函数f(x)＝x2，因为－1，2∈(－∞， ＋∞)，当－1＜2时，f(－1)＜f(2)，所以函数f(x) ＝x2在区间(－∞，＋∞)上是单调增函数．
证明函数的单调性．
观察下列各个函数的图象，并说说它们 分别反映了相应函数的哪些变化规律：
1、观察这三个图象，你能说出图象的特征吗？ 2、随x的增大，y的值有什么变化？
1.3.1 单调性与最大（小）值
请观察函数y=x2与y=x3图象，回答下列问题：
1、当x∈[0，+∞)，x增大时，图（1）中的y