2020年河南省顶级名校高考数学考前模拟试卷(理科)(6月份) (含解析)

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河南省巩义市2020届高三下学期6月高考模拟考试试题数学理【含解析】

河南省巩义市2020届高三下学期6月高考模拟考试试题数学理【含解析】第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：（本大题12个小题，每小题5分，共60分） 1. 已知集合{}1,0,1A =-，2{1}B x x =< ，则AB =（）A. {}1,1-B. {}1,0,1-C. {}11x x -≤≤D. {}1x x ≤【答案】C 【解析】集合{}1,0,1A =-，{}21{|11}B x x x x =<=-<<所以{}11A B x x ⋃=-≤≤. 故选C.2. 若复数z 满足(1)3z i i -=+（i 为虚数单位），则z 的虚部为（） A. 3 B. 3iC. 3-D. 3i -【答案】A 【解析】【分析】根据复数的四则运算，计算得到23z i =-，进而得到共轭复数z 的虚部. 【详解】因为3(1)3123iz i i z i i+-=+⇒=+=-，所以23z i =+，所以其虚部为3. 故选A.【点睛】本题考查复数的四则运算、共轭复数的虚部概念，考查对概念的理解与应用，属于基础题.3. 已知角(02)ααπ≤<终边上一点的坐标为77sin ,cos 66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则α=（）A. 56πB. 76π C.43π D.53π【答案】C 【解析】【分析】根据三角函数的定义求tan α，结合角的范围写出角即可. 【详解】由诱导公式知，71sinsin sin 6662ππππ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭， 73coscos cos 666ππππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭，所以角(02)ααπ≤<终边上一点的坐标为13,22⎛-- ⎝⎭，故角的终边在第三象限，所以tan 3α= 由02απ≤<知，43πα=. 故选：C .【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，诱导公式，特殊角的三角函数，属于容易题.4. 各项均不相等的等差数列{}n a 的前5项的和55S =-，且3a ，4a ，6a 成等比数列，则7a =（）． A. 14- B. 5-C. 4-D. 1-【答案】B 【解析】【分析】根据等差数列的求和公式及通项公式，解方程即可求出. 【详解】因为55S =-，所以154552a d ⨯+=-，即121a d +=-，因为3a ，4a ，6a 成等比数列，所以2436()a a a =，即2(1)1(13)d d -+=-⨯-+，解得1d =-或0d =（数列各项不相等，舍去），所以734145a a d =+=--=-，故选：B【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，求和公式，考查了运算能力，属于中档题.5. 已知α是给定的平面，设不在α内的任意两点M ，N 所在的直线为l ，则下列命题正确的是（） A. 在α内存在直线与直线l 异面 B. 在α内存在直线与直线l 相交 C. 在α内存在直线与直线l 平行 D. 存在过直线l 的平面与α平行【答案】A 【解析】【分析】利用M 、N 是不在α内的任意两点，可得直线l 与平面α平行或相交，进而可判断直线与平面内直线的位置关系.【详解】M 、N 是不在α内的任意两点，则直线l 与平面α平行或相交，若l 与平面α平行，则在α内不存在直线与直线l 相交，所以B 错误：若直线l 与平面α相交，则不存在过直线l 的平面与α平行，所以D 错误：若直线l 与平面α相交，则在α内都不存在直线与直线l 平行，所以C 错误；不论直线l 与平面α平行还是相交.在α内都存在直线与直线l 异面，所以A 正确. 故选：A .【点睛】本题考查了直线与平面的位置关系，属于基础题.6. 某几何体三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A. 163πB. 3π C.29π D.169π【答案】D 【解析】【分析】根据三视图可得该几何体是圆锥的一部分，结合三视图的数据，即可求解. 【详解】从三视图中提供的图形信息与数据信息可知：该几何体的底面是圆心角为23π的扇形，高是4的圆锥体．底面面积14433S ππ=⨯=，所以其体积14164339V ππ=⨯⨯=．故选：D.【点睛】本题考查三视图求直观图的体积，由三视图还原出直观图是解题的关键，属于基础题．7. 设a 、b 、c 依次表示函数()121f x x x =-+，()12log 1g x x x =-+，()112xh x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的零点，则a 、b 、c 的大小关系为（）． A. a b c << B. c b a <<C. a c b <<D. b c a <<【答案】D 【解析】【分析】根据题意可知，12121,log ,()2xy x y x y ===的图象与1y x =-的图象的交点的横坐标依次为,,a b c ，作图可求解.【详解】依题意可得，12121,log ,()2xy x y x y ===的图象与1y x =-的图象交点的横坐标为,,a b c ，作出图象如图：由图象可知，b c a <<，故选：D【点睛】本题主要考查了幂函数、指数函数、对数函数的图象，函数零点，数形结合的思想，属于中档题. 8. 若数列{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，且满足：2020127a a +=，120202b b ⋅=，函数()f x 满足()()2f x f x +=-且()x f x e =，[]0,2x ∈，则10101011101010111a a f b b ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭（）A. eB. 2eC. 1e -D. 9e【答案】A 【解析】【分析】首先根据等差数列和等比数列的定义，可得1010101127a a +=，101010112b b =，即可求出101010111010101191a a b b +=+；又()()2f x f x +=-，所以函数()f x 的最小正周期为4，由此根据题意即可求出()9f ，进而求出结果. 【详解】因为数列{}n a 为等差数列，且2020127a a +=，所以1010101127a a +=；又{}n b 为等比数列，且120202b b ⋅=，所以101010112b b =，所以101010111010101127913a ab b +==+；又()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，所以函数()f x 的最小正周期为4，又()xf x e =，[]0,2x ∈所以 ()()()92411f f f e =⨯+==，即10101011101010111a a f e b b ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭.故选：A.【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的性质，同时考查了函数的周期性，属于基础题. 9. 有编号分别为1，2，3，4的4个红球和4个黑球，随机取出3个，则取出的球的编号互不相同的概率是（）． A.47B.37C. 27D.17【答案】A 【解析】【分析】先求出基本事件总数3856n C ==，取出的编号互不相同包含的基本事件个数1118643332c c c m A ==,由此能求出取出的编号互不相同的概率.【详解】有编号分别为1，2，3，4的4个红球和4个黑球，随机取出3个,基本事件总数3856n C ==，取出的编号互不相包含的基本事件个数1118643332c c c m A ==，则取出的编号互不相同的概率是324567m p n ===，故选：A【点睛】本题主要考查了概率的求法，查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题.10. 设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，与圆222x y a +=相切的直线1PF 交双曲线C 于点P （P 在第一象限），且212PF F F =，则双曲线C 的离心率为（）． A.103B.53C.32D.54【答案】B 【解析】【分析】先设PF 1与圆相切于点M ,利用|PF 2|= |F 1F 2|,及直线PF 1与圆x 2 + y 2 = a 2相切，可得a ，c 之间的关系，从而可求双曲线的离心率的值.【详解】设PF 1与圆相切于点M ,如图，因为212PF F F =，所以12PF F △为等腰三角形，N 为1PF 的中点，所以1114F M PF =，又因为在直角1F MO 中，2222211F M FO a c a =-=-，所以1114F M b PF ==①，又12222PF PF a c a =+=+ ②，222c a b =+ ③，由①②③可得2222c a c a +⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即为4()c a c a -=+，即35c a =，解得53c e a ==，故选：B【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，双曲线的简单几何性质，属于中档题. 11. 已知函数()1sin cos ,4f x x x x ωωω⎛⎫=+>∈ ⎪⎝⎭R ，若()f x 的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭，则ω的取值范围是（）． A. 15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 15,44⎛⎤⎥⎝⎦D. 1,24⎛⎤⎥⎝⎦【答案】A【解析】【分析】化简函数为()2)4f x x πω=+，由题意利用正弦函数的图象的对称性和周期性，求得ω的取值范围.【详解】因为()sin cos 2)4f x x x x πωωω=+=+ 1,4x ω⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭R ，若()f x 的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭, 则1222πππω⋅-，即124ω<≤，由42x k ππωπ+=+得对称轴方程为4,k x k Z ππω+=∈,所以42k πππω+≤且(1)4k πππω++≥，k Z ∈，解得152,24k k k Z ω+≤≤+∈,当0k =时，1524ω≤≤，满足124ω<≤，故ω的取值范围是1524ω≤≤，故选：A【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，正弦函数的图象的对称性和周期性，属于中档题.12. 对于函数()y f x =，若存在区间[],a b ，当[],x a b ∈时值域为[](),0ka kb k >，则称()y f x =为k 倍值函数.若()2xf x e x =+是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是（）A. ()1,e ++∞B. ()2,e ++∞C. 1,e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭D. ,e e 2⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】可看出()y f x =在定义域R 内单调递增，可得出,a b 是方程2x e x kx +=的两个不同根，从而得出2x e k x =+，通过求导，求出2xe x+的值域，进而可得到k 的范围．【详解】解：()y f x =在定义域R 内单调递增，(),()f a ka f b kb ∴==，即2,2abe a ka e b kb +=+=，即,a b 是方程2x e x kx +=的两个不同根，∴2xe k x=+，设2(1)()2,()x x e e x g x g x x x'-=+=， ∴01x <<时，()0g x '<；1x >时，()0g x '>， ∴1x =是()g x 的极小值点，()g x ∴的极小值为：(1)2g e =+，又x 趋向0时，()g x 趋向+∞；x 趋向+∞时，()g x 趋向+∞，2k e ∴>+时，y k =和()y g x =的图象有两个交点，方程2xe k x=+有两个解，∴实数k 的取值范围是()2,e ++∞．故选B ．【点睛】本题考查了对k 倍值函数的理解，根据导数符号判断函数极值点的方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．二、填空题：（本大题4个小题，每小题5分，共20分）13. 我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有5个车次正点率为0.97，有10个车次的正点率为0.98，有5个车次正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为______. 【答案】0.98 【解析】【分析】先求得总车次，再利用平均正点率求解. 【详解】因为总车次：5+10+5=20 所以平均正点率：50.97100.9850.990.9820⨯+⨯+⨯=则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为0.98 故答案为：0.98【点睛】本题主要考查了样本估计总体，还考查了运算求解的能力，属于基础题.14. 已知函数()ln()f x a x =+在()()0,0f 处的切线方程为y x =，则满足()021f x ≤-≤的x 的取值范围为_________. 【答案】[2,1]e + 【解析】【分析】因为1()f x a x'=+，可得1(0)1f a '==，即1a =，所以()ln(1)f x x =+，()f x 是(1,)-+∞上的增函数，结合已知，即可求得答案. 【详解】1()f x a x'=+， 1(0)1f a'∴==， 1a ，∴()ln(1)f x x =+，()f x 是(1,)-+∞上的增函数，又()00f =，(1)ln(11)1f e e -=-+=，∴021x e ≤-≤-，21x e ∴≤≤+.即[2,1]e +故答案为：[2,1]e +【点睛】本题主要考查了根据切线方程求参数和解函数不等式，解题关键是掌握导数求切线方程的方法和导数判断函数单调的解法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.15. 焦点为F 的抛物线2:4C x y =的准线与坐标轴交于点A ，点P 在抛物线C 上，则PAPF的最大值为______．【答案】2 【解析】【分析】根据抛物线定义转化为||||PA MP 取最大值，利用三角函数知直线AP 倾斜角最小时，即直线与抛物线相切时，||||PA MP 取最大值，联立方程利用判别式为0即可求解. 【详解】根据题意，过P 做PM 与准线垂直，垂足为M ，如图：设PAM θ∠=则||||1|||si |n PA PA PF MP θ== 若||||PA PF 取得最大值，必有sin θ取得最小值，则θ取得最小值，此时AP 与抛物线相切，设直线AP 的方程为1y kx =-，联立241x y y kx ⎧=⎨=-⎩，消去y 得：2440x kx -+= 由216160k ∆=-=，解得：1k =或1k =-，取tan 1k θ==来计算，0θπ≤<知，4πθ=，所以|| || PA PF的最大值为222=，故答案为：2【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，直线与抛物线相切，直线的倾斜角、斜率，属于中档题.16. 已知四面体ABCD，2AD=，ABC为边长为3的等边三角形，若顶点A在平面BCD的投影是BCD的垂心，则四面体ABCD的体积为________.【答案】34【解析】【分析】由E是BCD的垂心，可证明DB DC=，,DH BC CG DB⊥⊥，进一步证明AC DB⊥，进一步证明D在平面ABC的射影是ABC的中心，所以三棱锥D ABC-是正三棱锥，其体积可求.【详解】解：作AE⊥平面BCD，垂足为E，E是BCD的垂心，连结CE交BD于G，连结DE交CB于H，则DH BC⊥，CG BD⊥因为=AB CA，所以=EB EC，所以H是BC边的中点，HD是BC边的垂直平分线，所以DB DC=，BC⊂平面BCD，BD⊂平面BCD，所以AE BC⊥，AE BD⊥，DH⊂平面ADH，AE⊂平面ADH，AE DH E=所以BC⊥平面ADH，AH⊂平面ADH，所以BC AH⊥BC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ADH，在平面ADH内作DM AH⊥，垂足M，平面ABC平面=ADH AH，所以DM ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以DM AC ⊥ 连结BM 交AC 于NCG ⊂平面ACG ，AE ⊂平面ACG ，CG DB G =所以BD ⊥平面ACG ，AC ⊂平面AGC ，所以AC DB ⊥，DM ⊂平面DBN ，DB ⊂平面DBN ，DMDB D =，所以AC ⊥平面DBN ，BN ⊂平面DBN ，所以AC BN ⊥，由等边三角形的高线、中线、角平分线合一，所以M 是ABC 的中心，所以三棱锥D ABC -是正三棱锥，所以2DA DB DC ===，33602AH =︒=，2321323MA AH ==⨯=， 2222213DM AD AM =--，21133(3)3334D ABC ABC V S DM -=⨯⨯==△，故答案为：34【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征，以及三棱锥的体积的计算，其中解答中熟记三棱锥的几何结构特征，利用体积公式准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，中档题. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （一）必做题：共60分.17. 已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，120C =︒. （1）若2a b =，求tan A 的值；（2）若ACB ∠的平分线交AB 于点D ，且1CD =，求ABC 的面积的最小值. 【答案】（1）3tan A =（23【解析】【分析】（1）解法一：根据条件2a b =、120C =︒及正弦定理，化为角A 的等式，再由正弦差角公式，展开化简即可求得tan A 的值；解法二，根据余弦定理求得b 、c 的等量关系，即可再由余弦定理求得cos A ，结合同角三角函数关系式求得sin A ，进而求得tan A 的值.（2）根据+=ACDBCDABCSSS及三角形面积公式，代入即可得等式a b ab +=，结合基本不等式即可求得ab 的最小值，进而得ABC 的面积的最小值.【详解】（1）解法一：由2a b =及正弦定理知sin 2sin A B =，则()sin 2sin 60A A =︒-，则sin 3sin A A A =-，得3tan A =解法二：∵22222212cos 42272c a b ab C b b b b b ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，∴7c b =，则222222cos 2277b c a A bc b b +-===⨯⨯∴243sin 1cos 177A A --， ∴sin 3tan cos A A A ==.（2）ACB ∠的平分线交AB 于点D ，则+=ACDBCDABCSSS，∴111sin 60sin 60sin120222b a ab =︒︒+︒，则a b ab +=，由2a b ab ab +=≥得4ab ≥，当且仅当a b =时等号成立，则()min 134=32ABC S =△【点睛】本题考查了正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用，三角形面积公式及基本不等式的用法，属于基础题.18. 如图，已知三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为2，1π3B BA ∠=．（Ⅰ）证明：11B C AC ⊥；（Ⅱ）若平面11ABB A ⊥平面ABC ，M 为11A C 的中点，求1B C 与平面1AB M 所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）22613【解析】【分析】（Ⅰ）根据等边三角形可知1B D AB ⊥，CD AB ⊥，可得AB ⊥平面1B CD ，进而可求1B C ⊥平面1ABC ，即可求证11B C AC ⊥；（Ⅱ）以D 为原点，DB 为x 轴，DC 为y 轴，1DB 为z 轴建立空间直角坐标系，利用线面角的向量公式计算即可.【详解】证明：（Ⅰ）取AB 中点D ，连接1B D ，CD ，1BC ．如图，∵三棱柱的所有棱长均为2，1π3B BA ∠=， ∴ABC 和1ABB △是边长为2的等边三角形，且11B C BC ⊥． ∴1B D AB ⊥，CD AB ⊥．∵1B D ，CD ⊂平面1B CD ，1⋂=B D CD D ， ∴AB ⊥平面1B CD ．∵1B C ⊂平面1B CD ，∴1AB B C ⊥．∵AB ，1BC ⊂平面1ABC ，1AB BC B =，∴1B C ⊥平面1ABC ， ∴11B C AC ⊥．（Ⅱ）∵平面11ABB A ⊥平面ABC ，且交线AB ，由（Ⅰ）知1B D AB ⊥， ∴1B D ⊥平面ABC ．则DB ，1DB ，DC 两两垂直，则以D 为原点，DB 为x 轴，DC 为y 轴，1DB 为z 轴，建立空间直角坐标系．则()0,0,0D ，()1,0,0A -，(13B ，()3,0C ，(13,3C -，(13A -∵M 为11A C 的中点，∴33,322M ⎛- ⎝，∴(13,3B C →=-，(13AB →=，13,322AM →⎛=- ⎝，设平面1AB M 的法向量为(),,n x y z =，则13013302AB n x z AM n x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，取1z =，得()3,3,1n →=--．设1B C 与平面1AB M 所成的角为α，则114326sin 13613B C nB C nα→→→→⋅===⋅⋅∴1B C 与平面1AB M 226．【点睛】本题主要考查了线线、线面垂直的判定与性质，线面角的向量求法，考查了空间想象力及运算能力，属于中档题.19. 点(),M x y 与定点()1,0F 的距离和它到直线4x =的距离的比是常数12．（Ⅰ）求点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过坐标原点O 的直线交轨迹C 于A ，B 两点，轨迹C 上异于A ，B 的点P 满足直线AP 的斜率为32-．（ⅰ）求直线BP 的斜率；（ⅱ）求ABP △面积的最大值．【答案】（Ⅰ）22143x y +=（Ⅱ）（ⅰ）12（ⅱ）23 【解析】【分析】（Ⅰ）利用已知条件可得等式，化简可得曲线C 的轨迹方程;（Ⅱ）（ⅰ）设点()11,A x y ，则点()11,B x y --,利用点差法即可求解；（ⅱ）由题意转化为2ABP OAP S S =△△，由弦长公式及点到直线的距离求出2ABP OAP S S =△△，利用二次函数求最值即可. 【详解】()221142x y x -+=-，两边平方并化简得223412x y +=，即点M 的轨迹C 的方程为：22143x y +=．（Ⅱ）（ⅰ）设点()11,A x y ，则点()11,B x y --，满足2211143x y +=， ①设点()22,P x y ，满足2222143x y +=， ②由①－②得：()()()()12121212043x x x x y y y y -+-++=，∵121232AP y y k x x -=-=--，1212BP y y k x x +=+，∴121212BP y y k x x +==+．（ⅱ）∵A ，B 关于原点对称， ∴2ABP OAP S S =△△，设直线3:2AP y x m =-+，代入曲线22:143x y C +=化简得：223330x mx m -+-=，设()11,A x y ，()22,P x y ，由>0∆得：212m <，12x x m +=，21233m x x -=，()22121212999114144443m AP x x x x x =+-=++-=+-，点O 到直线AP 的距离914m d =+，∴24212244233ABP OAPm m S S AP d m m ==⨯⨯⋅=-=-△△， ∴()42221461233ABPm S m m =-+=--+△，当26m =时，∴ABP S △取到最大值23【点睛】本题主要考查了椭圆的轨迹方程，点差法，直线与椭圆的位置关系，三角形的面积，属于难题. 20. 某医药开发公司实验室有()*n n N ∈瓶溶液，其中()m m N ∈瓶中有细菌R ，现需要把含有细菌R 的溶液检验出来，有如下两种方案：方案一：逐瓶检验，则需检验n 次；方案二：混合检验，将n 瓶溶液分别取样，混合在一起检验，若检验结果不含有细菌R ，则n 瓶溶液全部不含有细菌R ；若检验结果含有细菌R ，就要对这n 瓶溶液再逐瓶检验，此时检验次数总共为1n +. (1)假设52n m ==，，采用方案一，求恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌R 的概率； (2)现对n 瓶溶液进行检验，已知每瓶溶液含有细菌R 的概率均为(01)P p ≤≤. 若采用方案一.需检验的总次数为ξ,若采用方案二.需检验的总次数为η. (i )若ξ与η的期望相等.试求P 关于n 的函数解析式()P f n =;(ii )若14P 1e -=-,且采用方案二总次数的期望小于采用方案一总次数的期望.求n 的最大值. 参考数据：ln 20.69,ln3 1.10,ln5 1.61,ln 7 1.95≈≈≈=【答案】（1）310（2）（ⅰ）()1*11nP n n ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭N （ii ）8【解析】【分析】（1）对可能的情况分类：<1>前两次检验出一瓶含有细菌第三次也检验出一瓶含有细菌，<2>前三次都没有检验出来，最后就剩下两瓶含有细菌；（2）(i )根据()()E E ξη=，找到P 与n 的函数关系；(ii )根据()()E E ξη>得到关于n 的不等式式，构造函数解决问题.【详解】解：（1）记所求事件为A ，“第三次含有细菌R 且前2次中有一次含有细菌R ”为事件B ，“前三次均不含有细菌R ”为事件C ，则A BC =，且,B C 互斥，所以111322333355113()()()51010A A A A P A PB PC A A =+=+=+= （2）()()i E n ξ=，η的取值为1,1n +，(1)(1),(1)1(1)n n P P P n P ηη==-=+=--，所以()(1)(1)1(1)1(1)n n nE P n P n n P η⎡⎤=-++--=+--⎣⎦，由()()E E ξη=得1(1)nn n n P =+--，所以()1*11nP n n ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭N ；（ii ）141P e-=-,所以4()1n E n n eη-=+-⋅，所以4(1)n n n e n -+-⋅<，所以ln 0,4nn -> 设()ln (0)4xf x x x =->， 114()44xf x x x-'=-=，当(0,4)x ∈时，()0,()f x f x '>在(0,4)上单调递增；当(4,)x ∈+∞时，()0,()f x f x '<在(4,)+∞上单调递减又9(8)ln820,(9)ln 904f f =->=-<，所以n 的最大值为8【点睛】本题考查离散型随机变量的均值以及随机事件的概率计算，难度较难.计算两个事件的和事件的概率，如果两个事件互斥，可将结果写成两个事件的概率之和；均值（或期望）的相关计算公式要熟记.. 21. 已知函数2()2ln f x x ax x =-+．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）设函数()f x 有两个极值点12,x x （12x x ＜），若()12f x mx >恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）分类讨论，详见解析；（2）(],3-∞-．【解析】【分析】（1）求出导函数()222()0x ax f x x x-+'=>，令()222p x x ax =-+，利用判别式讨论a 的取值范围，结合导数与函数单调性的关系即可求解.（2）根据题意可得12,x x 是方程2220x ax -+=的两个不等正实根，由（1）知4a >，利用韦达定理得121=x x ，且1201x x <<<，然后分离参数只需()12f x m x >恒成立，2231111111121()222ln 22ln 1f x x x x x x x x x x --+==--+，从而令3()22ln h t t t t t =--+，利用导数求出()h t 的最小值即可求解.【详解】（1）因为2()2ln f x x ax x =-+，所以()222()0x ax f x x x-+'=>．令()222p x x ax =-+，216a ∆=-，当0∆≤即44a -≤≤时，()0p x ≥，即()0f x '≥，所以函数()f x 单调递增区间为()0,∞+．当>0∆即4a 或4a >时，22121616a a a a x x --+-==．若4a ，则120x x ＜＜，所以()0p x >，即()0f x '>，所以函数()f x 单调递增区间为()0,∞+．若4a >，则210x x >>，由()0f x '>，即()0p x ＞得10,x x <<或2x x >；由()0f x '<，即()0p x ＜得12x x x <<．所以函数()f x 的单调递增区间为()()120,,,x x +∞；单调递减区间为()12,x x ．综上，当4a ≤时，函数()f x 单调递增区间为()0,∞+；当4a >时，函数()f x 的单调递增区间为()()120,,,x x +∞，单调递减区间为()12,x x ．（2）由（1）得()222()0x ax f x x x-+'=>，若()f x 有两个极值点12,x x ，则12,x x 是方程2220x ax -+=的两个不等正实根，由（1）知4a >．则12122,12a x x x x +=>=，故1201x x <<<，要使()12f x mx >恒成立，只需()12f x m x >恒成立．因为222311111111111221()2ln 222ln 22ln 1f x x ax x x x x x x x x x x x -+--+===--+，令3()22ln h t t t t t =--+，则2()32ln h t t t '=-+，当01t <<时，()0h t '＜，()h t 为减函数，所以()(1)3h t h >=-．由题意，要使()12f x mx >恒成立，只需满足3m ≤-．所以实数m 的取值范围(],3-∞-．【点睛】本题考查函数和导数及其应用、不等式等基础知识；考查抽象概括能力、运算求解能力、推理论证能力与创新意识；考查函数与方程思想、分类与整合思想、化归与转化思想等思想；考查数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现综合性、应用性、创新性．．（二）选做题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22. 在平面直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E 的极坐标方程为2 4cos 4sin 12ρρθρθ+-=，直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩(t 为参数).点P 为曲线E 上的动点，点Q 为线段OP 的中点.（1）求点Q 的轨迹(曲线C )的直角坐标方程；（2）若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，点(1,2)M -恰好为线段AB 的三等分点，求直线l 的普通方程.【答案】（1）22223x y x y ++-=；（2）30x y -+=或10x y +-=.【解析】【分析】（1）设点Q ，P 的极坐标分别为( ,)ρθ，00( ,)ρθ，由题意可得22cos 2sin 3ρρθρθ+-=，由极坐标方程与直角坐标方程的转化公式即可得解；（2）直线参数方程代入曲线C 的方程得22(cos )(1sin )5t t αα++=，化简后利用韦达定理结合题意即可得解.【详解】（1）设点Q ，P 的极坐标分别为( ,)ρθ，00( ,)ρθ，则2000004cos 4sin 12ρρθρθ+-=且02ρρ=，0θθ=，所以2(2)4(2)cos 4(2)sin 12ρρθρθ+⋅-⋅=，所以点Q 轨迹的极坐标方程为22cos 2sin 3ρρθρθ+-=，故Q 轨迹的直角坐标方程为22223x y x y ++-=；（2）由（1）得曲线C 的直角坐标方程为22(1)(1)5x y ++-=，将直线参数方程代入曲线C 的方程得22(cos )(1sin )5t t αα++=，即22sin 40t t α+-=，>0∆，由点(1,2)M -恰好为线段AB 的三等分点，不妨设方程两根为,2t t -，所以22sin 24t t t t α-+=-⎧⎨-⋅=-⎩，即22sin 2t t α=-⎧⎨=⎩，所以2211sin cos 22αα=⇒=，又sin α与cos α在一、三象限同号，二、四象限异号，所以直线的斜率tan 1k α==±，又直线过(1,2)M -，故直线的普通方程为30x y -+=或10x y +-=.【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，考查了参数方程t 的几何意义的应用，属于中档题.23. 已知函数()()0,0f x x a x b a b =-++>>．（Ⅰ）当1a b ==时，解不等式()2f x x <+；（Ⅱ）若()f x 的值域为[)2,+∞，证明：111211a b ab++≥++．【答案】（Ⅰ）{}02x x <<．（Ⅱ）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）分区间讨论去掉绝对值号即可求解；（Ⅱ）根据绝对值不等式可得2a b +=，变形()()114a b +++=，利用基本不等式即可求证.【详解】（Ⅰ）当1a b ==时，不等式为112x x x -++<+，当1x <-时，不等式化为2223x x x -<+⇒>-，此时不等式无解；当11x -≤<时，不等式化为220x x <+⇒>，故01x <<；当1≥x 时，不等式化为222x x x <+⇒<，故12x ≤<．综上可知，不等式的解集为{}02x x <<．（Ⅱ）()f x x a x b a b =-++≥+，∵()f x 的值域为[)2,+∞，且0a >，0b >，故2a b +=．故()()11111111111411a b a b ab a b ab ⎛⎫++=+++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++++⎝⎭ 11112411b a a b ab ++⎛⎫=+++ ⎪++⎝⎭ 2111222112411b a a b a b ⎛++⎛⎫≥+⋅+=+= ⎪ +++⎝⎭⎝（当且仅当1a b ==时取等号）．【点睛】本题主要考查了分类讨论解不等式，基本不等式的运用，属于中档题.。

河南省部分重点中学2020届高考数学质检试卷1(6月份) (含答案解析)

河南省部分重点中学2020届高考数学质检试卷1（6月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若集合A ={x|x 2−1≥0}，B ={x|0<x <4}，则A ∩B =( )A. (−∞,−1)B. [0,4)C. [1,4)D. (4,+∞)2. 已知复数z =3+12i ，则复数z 的虚部为( )A. −12B. 12C. −12iD. 12i3. 已知a =3−13，b =log 213，c =log 1213，则( )A. a >b >cB. a >c >bC. c >a >bD. c >b >a4. 为考察某一型号的疫苗预防某种病毒的效果，在小白鼠身上进行临床实验，随机抽查了100只注射该疫苗的小白鼠和100只未注射该疫苗的小白鼠，逐一检测小鼠是否感染病毒，得到下面的列联表，参照附表公式及数据进行计算，则下列结论正确的是 ( )附：K 2=(a+b)(a+c)(c+d)(b+d)．B. 有95%的把握认为“小白鼠是否感染病毒与注射疫苗有关”C. 有99%的把握认为“小白鼠是否感染病毒与注射疫苗有关”D. 有99.5%的把握认为“小白鼠是否感染病毒与注射疫苗无关”5. 已知双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦点重合，且双曲线的一条渐近线被圆(x −3)2+y 2=8截得的弦长为4，则此双曲线的渐近线方程为( )A. y =±2xB. y =±2√55x C. y =±√663xD. y =±2√6x6. 以下形式的等式：2√23=√223，3√38=√338，4√415=√4415，5√524=√5524，…按照以上规律，若有9√9n =√99n，则n =( )A. 80B. 63C. 48D. 357.函数y=sin3x1+cosx，x∈(−π,π)图象大致为()A. B.C. D.8.执行如图所示的程序框图，若输入的c的值为3，则输出的结果是()A. 27B. 9C. 8D. 39.已知函数的部分图象如图所示，则φ等于()A. −π6B. π6C. −π3D. π310.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△ABC的面积，若S=14(b2+c2−a2)，则∠A=()A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°11.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过焦点F的直线l交抛物线于M，N两点，MN的中点为P，若|MN|=5，则点P到y轴的距离为()A. 3B. 32C. 1 D. 1212.已知f(x)=x2−alnx−ax(a≠0)恰有一个零点，则实数a的取值范围是()A. a<0或a=1B. a<0C. a≥1D. a<0或a≥1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(1，m)，b⃗ =(2，1)，且a⃗⊥b⃗ ，则m=____．14.在区间[1,2]上随机取一个数r，则使得圆x2+y2=r2与直线x+y+2=0存在公共点的概率为______ ．15.定义域为R的可导函数y=f(x)的导函数f′(x)，满足f(x)>f′(x)，且f(0)=2，则不等式f(x)<2e x的解集为_________．16.如图，在三棱锥A−BCD中，点E在BD上，EA=EB=EC=ED，BD=√2CD，△ACD为正三角形，点M，N分别在AE，CD上运动(不含端点)，且AM=CN，则当四面体C−EMN的体积取得最大值23时，三棱锥A−BCD的外接球的表面积为_________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知{a n}的前n项和为S n=2n+1+m，且a1，a4，a5−2成等差数列．(1)求{a n}的通项公式；(2)若b n=a n(a n−1)(a n+1−1)，求数列{b n}的前n项和T n．18.在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=√2，AA1=2，D为AA1的中点，BD与AB1交于点O，CO⊥侧面ABB1A1．(Ⅰ)证明：CD ⊥AB 1；(Ⅱ)若OC =OA ，求三棱锥B 1−ABC 的体积．19. 某大型设备公司对上半年1到6月份某设备的销售情况进行了统计，y 表示第x 月设备销售的台数，得到统计表格如下： x 1 2 3 4 5 6 y 5 8 8 10 14 15x 与y 具有线性相关关系．(1)请根据表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ̂=b ̂x +a ̂． (2)预测7月份设备销售的台数．参考公式：b ̂=x i ni=1y i −nx·y ∑x 2n −n(x)2=(ni=1x i −x)(y i −y)∑(n x −x)2，a ̂=y −b ̂x ．20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，离心率为√32，两焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线交椭圆C于M 、N 两点，且△MF 2N 的周长为8． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若|MN|=8，求△MF2N的面积．521.设函数f(x)=x2−ax+lnx(a∈R)在x=1时取得极值．(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间．22.以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且在两种坐标系中取相．同的长度单位.曲线C的极坐标方程是ρ2=161+3cos2θ(Ⅰ)求曲线C的直角坐标方程；(Ⅱ)设曲线C与x轴正半轴及y轴正半轴交于点M，N，在第一象限内曲线C上任取一点P，求四边形OMPN面积的最大值．23.设函数f(x)=|x|．(1)设f(x−1)+f(x+2)<4的解集为A，求集合A；(2)已知m为(1)中集合A中的最大整数，且a+b+c=m(其中a，b，c均为正实数)，求证：1−a a ⋅1−bb⋅1−cc≥8．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：A={x|x2−1≥0}={x|x≤−1或x≥1}，B={x|0<x<4}，∴A∩B=[1,4)．故选：C．本题考查集合的交集，是基础题．求出集合A，再根据交集的定义求解即可．2.答案：B解析：解析：本题考查复数的概念，是基础题．根据复数z写出它的虚部即可．解：复数z=3+12i，其虚部为12，故选B．3.答案：C解析：解：a=3−13∈(0,1)，b=log213<0，c=log 1213>1．∴c>a>b．故选：C．判断a、b、c与1，0的大小，即可得到结果．本题考查函数值的大小比较，基本知识的考查．4.答案：B解析：本题主要考查了独立性检验问题，属于基础题．利用列联表直接求解，再将结果与临界值表比较即可得解．解：由列联表可得，k2=200×(45×40−55×60)2100×100×105×95=600133≈4.511，由于4.511>3.841，故有95%的把握认为“小鼠是否感染病毒与注射疫苗有关”，故选B．5.答案：B解析：解：抛物线y2=12x的焦点坐标为(3,0)，∵双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，∴c=3，∵双曲线的一条渐近线被圆(x−3)2+y2=8截得的弦长为4，∴圆心到渐近线的距离为2，设渐近线方程为bx+ay=0，则√b2+a2=2，∴b=2，∴a=√5，∴双曲线的渐近线方程为y=±2√55x.故选：B．求出抛物线的焦点坐标，可得c=3，利用双曲线的一条渐近线被圆(x−3)2+y2=8截得的弦长为4，可得圆心到渐近线的距离为2，从而可求a，b，即可求出双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的渐近线方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．6.答案：A解析：本题考查了归纳推理的问题，关键是发现规律，观察所给的式子，找到其中的规律，问题得以解决，属于基础题．【解答】解：∵2√23=2√222−1=√223，3√38=3√332−1=√338，4√415=4√442−1=√4415，5√524=5√552−1=√5524.则按照以上规律9√9n =√99n，可得n=92−1=80.故选A.。

河南省顶级名校2019-2020学年下学期高二六月模拟考试数学(理科)含答案

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2020年河南高考模拟题理数(附答案)

2020年高中毕业年级第一次质量预测数学（理科）参考答案一、选择题1-12BDACB CBCDB DA 二、填空题13.10;x y -+=14.4;15.;53016.{}.66,2,0--三、解答题17.解析：(I)222(sinsin )()sin .R A B a c C -=-∴2222(sinsin )()sin 2,R R A B a c C R ⋅-=-⋅即：222.a c b ac +-=……3分∴2221cos .22a c b B ac+-==因为0,B π<<所以3B π∠=……6分(II)若12,8b c ==，由正弦定理，sin sin b c B C=,3sin 3C =,由b c >，故C ∠为锐角，6cos 3C =……9分3613323sin sin()sin().323236A B C C π+=+=+=⋅+⋅=……12分18.解析：（I ）如图所示：连接OM ，在ABC ∆中：2,22AB BC AC ===，则90,2ABC BO ∠=︒，OB AC ⊥.……2分在MAC ∆中：2M A M C A C ===O 为AC 的中点，则OM AC ⊥，且 6.O M ……4分在MOB ∆中：2,6,22BO OM MB =222BO OM MB +=根据勾股定理逆定理得到OB OM⊥,AC OM 相交于O ，故OB ⊥平面AMC ………………….6分（Ⅱ）因为,,OB OC OM 两两垂直，建立空间直角坐标系㜠Ꮉ婈Ӭ如图所示．因为2M A M B M C A C ====,2AB BC ==则(0,2,0),(2,0,0),2,0),6)A B C M -……8分由23BN BC = 所以，222(,33N 设平面MAN 的法向量为(,,)m x y z = ，则252252(,,0)(,,)0,33332,6)(,,)260AN n x y z x y AM n x y z z ⎧⋅=⋅=+=⎪⎨⎪⋅=⋅==⎩ 令3y =(53,3,1)m =-- ……10分因为BO ⊥平面AMC ，所以(2,0,0)OB = 为平面AMC 的法向量，所以(53,3,1)m =-- 与(2,0,0)OB = 所成角的余弦为5653cos ,79279m OB < 所以二面角的正弦值为253279|sin ,|1(797979m OB -<>=-= .……12分19．（I ）由题意知1b =，22c a =.……1分又因为222a b c =+解得，2a =.……3分所以椭圆方程为2212y x +=.……4分（Ⅱ）设过点1(,0)3-直线为13x ty =-，设()11,A x y ，()22,B x y 由221312x ty x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得()2291812160t ty y +--=，且>0∆.则12212212,918616,918y y y t y t t ⎧+=⎪⎪+⋯⋯⎨⎪=-⎪+⎩分又因为()111,CA x y =- ，()221,CB x y =- ，()()212121212121244416(1)(1)13339CA CB x x y y ty ty y y t y y t y y ⎛⎫⎛⎫⋅=--+=--+=+-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()22216412161091839189t t t t t -=+-⋅+=++，……10分所以C A C B ⊥ .因为线段AB 的中点为M ，所以||2||AB CM =.……12分20.解析：(I)该混合样本达标的概率是28(39=，……2分所以根据对立事件原理，不达标的概率为81199-=.……4分(II)（i ）方案一：逐个检测，检测次数为4.方案二：由(1)知，每组两个样本检测时，若达标则检测次数为1，概率为89；若不达标则检测次数为3，概率为19.故方案二的检测次数记为ξ2，ξ2的可能取值为2,4,6.其分布列如下，2ξ246p 64811681181可求得方案二的期望为26416119822()246818181819E ξ=⨯+⨯+⨯==方案四：混在一起检测，记检测次数为ξ4，ξ4可取1,5.其分布列如下，4ξ15p 64811781可求得方案四的期望为46417149()15818181E ξ=⨯+⨯=.比较可得42()()4E E ξξ<<，故选择方案四最“优”．……9分(ii)方案三：设化验次数为3η，3η可取2,5.3η25p3p 31p -3333()25(1)53E p p p η=+-=-；方案四：设化验次数为4η，4η可取1,54η15p4p 41p -4444()5(1)54E p p p η=+-=-；由题意得34343()()53544E E p p p ηη<⇔-<-⇔<.故当304p <<时，方案三比方案四更“优”．……12分21解析：(I)()ln x e f x x x x=--，定义域(0,)+∞，221(1)(1)()()1x x e x x x e f x x x x---'=--=，由1x e x x ≥+>，()f x 在(0,1]增，在(1,)+∞减，max ()(1)1f x f e ==-……4分(II)1()()e 1x f x x bx x++-≥e e ln e 1x x x x x x bx x x⇔-+-++-≥ln e 10x x x x bx ⇔-++--≥e ln 1x x x x b x --+⇔≥min e ln 1(,x x x x b x--+⇔≥……6分令e ln 1()x x x x x x ϕ--+=，2ln ()x x e x x xϕ+'=令2()ln x h x x e x =+，()h x 在(0,)+∞单调递增，0,()x h x →→-∞，(1)0h e =>()h x 在(0,1)存在零点0x ，即02000()ln 0x h x x e x =+=0001ln 2000000ln 1ln 0(ln )()x x x x x e x x e e x x +=⇔=-=……9分由于x y xe =在(0,)+∞单调递增，故0001ln ln ,x x x ==-即001x e x =()x ϕ在0(0,)x 减，在0(,)x +∞增，000000min00e ln 111()2x x x x x x x x x ϕ--++-+===所以2b ≤.……12分22.解析：(I)将点3(1,)2P 代入曲线E 的方程，得1cos ,3,2a αα=⎧⎪⎨=⎪⎩解得24a =，……2分所以曲线E 的普通方程为22143x y +=,极坐标方程为22211(cos sin )143ρθθ+=.……5分(Ⅱ)不妨设点,A B 的极坐标分别为1212()(00,2A B πρθρθρρ+>>，，，，，则22221122222211(cos sin )1,4311(cos ()sin ()1,4232ρθρθππρθρθ⎧+=⎪⎪⎨⎪+++=⎪⎩即22212222111cos sin ,43111sin cos ,43θθρθθρ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩……8分2212111174312ρρ+=+=,即22117||||12OA OB +=……10分23.解：(I)由()f x m ≥，得，不等式两边同时平方，得221)(21)x x ≥(－＋，……3分即3(2)0x x +≤，解得20x -≤≤.所以不等式()f x m ≥的解集为{|20}x x -≤≤．……5分(Ⅱ)设g (x )＝|x －1|－|2x ＋1|，……8分()0()f n g n m ≥⇔≥-因为(2)(0)0g g -==，(3)1,(4)2,(1) 3.g g g -=--=-=-又恰好存在4个不同的整数n ，使得()0f n ≥，所以2 1.m -<-≤-故m 的取值范围为[1,2).……10分12,,21()3,1,22,1,x x g x x x x x ⎧+≤-⎪⎪⎪=--<≤⎨⎪-->⎪⎪⎩。

2020届河南省名校联盟高三下学期6月联考数学(理)试题(解析版)

2020届河南省名校联盟高三下学期6月联考数学（理）试题一、单选题 1．已知集合101x A x x ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭，()(){}230B x x x =∈+-<Z ，则A B =（） A ．{}0,1 B ．{}1,0,1- C ．{}0,1,2D ．1,0,1,2【答案】A【解析】先解分式不等式101x x -≤+得{}11A x x =-<≤，解不等式()()023x x +-<得{}1,0,1,2B =-，再求集合交集即可【详解】解：解分式不等式101x x -≤+得11x -<≤，故{}10111x A x x x x ⎧⎫-=≤=-<≤⎨⎬+⎩⎭，解一元二次不等式()()023x x +-<得23x -<< ，故{}1,0,1,2B =-，所以{}0,1AB =.故选：A. 【点睛】本题考查分式不等式，一元二次不等式的解法，集合的交集运算，是基础题. 2．已知在复数域内一元n 次方程有n 个根，i 是虚数单位.若复数12i z =-+为一元二次方程20x ax b ++=（a ，b ∈R ）的一个根，则此一元二次方程的另一个根在复平面内所对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】根据实系数一元二次方程的虚根成对定理和复数的几何意义可得结果. 【详解】因为复数12i -+为一元二次方程20x ax b ++=（a ，b ∈R ）的一个根，所以根据实系数一元二次方程的虚根成对定理知此一元二次方程的另一个根为12i --，它在复平面内所对应的点(1,2)--在第三象限.故选：C. 【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对定理，考查了的复数的几何意义，属于基础题.3．设曲线C 是双曲线，则“C 的方程为22184y x -=”是“C 的渐近线方程为y =”的（） A ．充分必要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据C 的方程为22184y x -=，则渐近线为y =；若渐近线方程为y =，则双曲线方程为222y x λ-=（0λ≠）即可得答案.【详解】解：若C 的方程为22184y x -=，则a =2b =，渐近线方程为a y x b =±，即为y =，充分性成立；若渐近线方程为y =，则双曲线方程为222y x λ-=（0λ≠），∴“C 的方程为22184y x -=”是“C 的渐近线方程为y =”的充分而不必要条件. 故选：B. 【点睛】本题通过圆锥曲线的方程主要考查充分条件与必要条件，属于中档题.判断充要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.4．正项等比数列{}n a 中，225689264a a a a ++=，且3a 与7a 的等差中项为2，则1a =（） A ．325B ．2C ．25D ．117【答案】C【解析】根据等比数列的下标和性质可得598a a +=，再由等差中项的性质可得374a a +=，从而求出公比，求得首项1a ；【详解】解:由题意，在正项等比数列{}n a 中，由225689264a a a a ++=，可得()2222256895599592264a a a a a a a a a a ++=++=+=，即598a a +=.由3a 与7a 的等差中项为2，得374a a +=.设公比为q ，则()223748q a a q +==，则q =或q =（舍去），所以26114a a q q +=，解得125a =. 故选:C . 【点睛】本题考查等比数列下标和性质的应用，以及等比数列通项公式的应用，考查计算能力，属于基础题.5．若()3,a m =（m ∈R ），()6,4b =-，且λab （R λ∈），则()()3a b a b +⋅+=（） A ．0 B ．5-C ．12-D ．13-【答案】D【解析】根据向量平行的坐标表示可得2m =-，再根据平面向量数量积的坐标表示可得结果. 【详解】a b λ=，所以34(6)0m ⨯--=，解得2m =-，()3,2a ∴=-，()6,4b =-，()3,2a b +=-，()33,2a b +=-，()()()39413a b a b ∴+⋅+=-+-=-.故选：D. 【点睛】本题考查了向量平行的坐标表示，考查了平面向量数量积的坐标表示，属于基础题. 6．2019年12月，国家统计局发布社会消费品零售总额1~11月相关数据，如下图所示，下面分析正确的是（）2019年11月份社会消费品零售总额主要数据指标11月1~11绝对量（亿元）同比增长（%）绝对量（亿元）同比增长（%）社会消费品零售总380948.03728728.0额其中：除汽车以外346299.13379519.0的消费品零售额其中：限额以上单13965 4.4132639 3.9位消费品零售额其中：实物商品往——7603219.7上零售额按经营地分城镇323457.93186147.9乡村57489.1542599.0A．2019年1~11月中，6月是社会消费品零售总额最高的月份B．2019年11月，社会消费品总额乡村增长率高于城市增长率，所以乡村对拉动社会消费品总额总增长率的作用大于城镇C．2019年前3季度中，第一季度平均同比增长率最高D ．2019年1~11月份，社会消费品零售总额372872亿元，其中汽车消费品零售总额34921亿元【答案】D【解析】对于A ，由图表可知6月是社会消费品零售总额同比增长速度最高的月份，而不是社会消费品零售总额最高的月份，对于B ，11月，乡村社会消费品零售总额同比增长率比较高但是绝对量较少，从图表看，对于C ，11月，乡村社会消费品零售总额同比增长率比较高但是绝对量较少，对于D 选项，从表中的数据计算可得答案. 【详解】由图知2019年1~11月中，6月是社会消费品零售总额同比增长速度最高的月份，A 错误；2019年11月，乡村社会消费品零售总额同比增长率比较高但是绝对量较少，所以城镇的影响更大，B 错误；第二季度平均同比增长率高于第一季度，C 错误；2019年1~11月，汽车消费品零售总额37287233795134921=-=亿元，D 正确. 故选：D. 【点睛】此题考查了统计图表的识别和应用，属于基础题.7．设点P 是函数()()()201xf x e f x f ''=-+图象上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（） A ．30,4π⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．30,,24πππ⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭C ．3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【答案】B【解析】在()f x '中令0x =后可求()01f '=，再根据导数的取值范围可得tan α的范围，从而可得α的取值范围. 【详解】()()()2e 01x f x f x f ''=-+，()()2e 0x f x f ''∴=-，()()020f f ''∴=-，()01f '=，()()2e 1x f x x f '∴=-+，()2e 11x f x '∴=->-.点P 是曲线上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α，tan 1α∴>-.[)0,απ∈，30,,24ππαπ⎡⎫⎛⎫∴∈⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭.故选：B. 【点睛】本题考查导数的运算以及导数的几何意义，还考查了直线的斜率与倾斜角的关系，本题属于基础题.8．如图，边长为3的正方形ABCD ，射线BP 从BA 出发，绕着点B 顺时针方向旋转至BC ，点E 为线段DC 上的点，且1CE =，则在旋转的过程中，BP 与线段EC 有交点的概率为（）A ．13 B ．12C ．23D ．14【答案】A【解析】首先求出CBE ∠，再根据角度型几何概型概率公式计算可得；【详解】解：3tan 33CE CBE CB ∠===，6CBE π∴∠=，BP ∴与线段EC 有交点的概率为1632ππ=. 故选：A . 【点睛】本题考查几何概型的概率公式的应用，属于基础题. 9．已知函数()()()cos 2,0,sin 2,0x a x f x x b x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩（a 、b ∈R ）的图像关于y 轴对称，将函数()()2cos 4g x x a b =++的图像向右平移6π个单位长度，再把所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数()y h x =的图像，则下列关于函数()y h x =的说法正确的是A ．最小正周期为4π B ．图象关于直线3x π=对称C ．图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 D ．在,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数【答案】C【解析】由函数()()()cos 2,0,sin 2,0x a x f x x b x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩（a 、b ∈R ）的图像关于y 轴对称，可求出22a b k ππ+=+，从而得()2cos 42g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()2cos 26h x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后依次求解此函数的周期，对称轴，对称中心，单调区间，可得答案. 【详解】因为函数()()()cos 2,0sin 2,0x a x f x x b x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩的图像关于y 轴对称，所以cos sin 22a b ππ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()cos sin a b ππ-+=+，即sin cos a b =，cos sin a b =，因此22a b k ππ+=+（k ∈Z ），所以()()2cos 22cos 42g x x a b x π⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭，从而()2cos 26h x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其周期22T ππ==，选项A 错误；由26x k ππ-=（k ∈Z ）得对称轴方程为122k x ππ=+（k ∈Z ），选项B 错误；对称中心为,032k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（k ∈Z ），1k =-时，对称中心为,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭，选项C 正确；由2226k x k ππππ≤-≤+，得7,()1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 所以单调递减区间为12127,k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ），选项D 错误. 故选：C. 【点睛】此题考查了三角函数的图像和性质，三角函数的图像变换，属于基础题.10．已知函数()()1ln ,1,1e ,1,x x x f x x x -≥⎧=⎨--⋅<⎩函数()()()1e g xf f x =-零点的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】令()f x t =，讨论t 的取值范围：当1t ≥时或当1t <时，可得()1ee f x =或()0f x =，讨论x 的取值范围，再利用导数研究函数的单调性，求出最值即可求解.【详解】令()f x t =，则()()1ln ,11e ,1t t t f t t t -≥⎧=⎨--⋅<⎩，（1）当1t ≥时，()1e f t =，即1e 1ln e et t =⇒=，即()1e e f x =. 当1≥x 时，1e ln e x =有一个解.当1x <时，()1e xf x x -'=-，(),0x ∈-∞，()0f x '>；()0,1x ∈，()0f x '<，且()10ef =.当1x <时，()111ee x x ---⋅≤，而1e 1e e>，所以方程()111e e t t -+⋅=无解. （2）当1t <时，()1ef t =，由（1）知0t =，即()0f x =. 当1≥x 时，ln 0x =有一个解. 当1x <时，()10ef x <≤，所以()0f x =无解. 综上，函数()g x 有两零点. 故选：B . 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的零点，考查了计算求解能力，属于中档题. 11．设数列{}n a 满足12a =，26a =，312a =，数列{}n a 前n 项和为n S ，且211131n n n n S S S S +-+-+=-+（n *∈N 且2n ≥）.若[]x 表示不超过x 的最大整数，()21n n n b a ⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则2020T =（）A ．2019B ．2020C ．2021D ．2022【答案】C【解析】根据递推公式，可知{}1n n a a +-从第2项起是等差数列，可得122n n a a n +-=+，再根据累加法，可得()1n a n n =+，由此可得当2n ≥时，()211n n n b a ⎡⎤+==⎢⎥⎢⎥⎣⎦，又()211112b a +==，由此即可求出n T .【详解】当2n ≥时，211131n n n n S S S S +-+-+=-+， 211131n n n n a a a a ++++++∴=+，2122n n n a a a ++∴-+=，()2112n n n n a a a a +++∴---=，{}1n n a a +∴-从第2项起是等差数列.又12a =，26a =，312a =，()()32212a a a a ∴---=，()142122n n a a n n +∴-=+-=+，当2n ≥时，()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+()()()1221222212n n n n n n +=+-++⨯+=⨯=+， ()211nn n a n++∴=（2n ≥）， ∴当2n ≥时，()2111n n n n b a n ⎡⎤++⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦. 又()211112b a +==，2222020122020232021220192021T a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∴=+++=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.故选：C.【点睛】本题主要考查了数列的递推公式、等差数列的概念，以及累加法在求通项公式中的应用，属于中档题.12．已知正方体1111ABCD A B C D -的外接球的表面积为27π，1A DB △与11A DC △的重心分别为E ，F ，球O 与该正方体的各条棱都相切，则球O 被EF 所在直线截的弦长为（） A．B．C．D【答案】D 【解析】由题意可求得正方体棱长为3，则球O的半径2r =，以点D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得111,,,(1,0,1)222OE EF →→⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，进而可得点O 到直线EF 的距离d =，根据公式可得弦长【详解】设正方体的边长为a，则24272a ππ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，即正方体棱长为3a =，.球O 的球心为正方体的中心，以点D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则A （3，0，0），1303A （，，），B （3，3，0），()1033C ，，，D （0，0，0）， 333(2,1,1),(1,1,2),,,222E F O ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭ 111,,,,(1,0,1)222OE EF →→⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，∴点O 到直线EF的距离12d ==，又球O的半径为2r ==，因此正方体外接球被EF 所在直线截的弦长为2222321221722r d ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：D.【点睛】本题考查了正方体的几何性质，正方体和球的关系以及垂径定理，考查空间想象能力和计算能力，属于中档题.二、填空题 13．已知()8223160123161x a a x a x a x a x -=+++++，则45a a +=______.【答案】28【解析】先求出二项的通项公式()()82181rrr r T Cx -+=-，由此通项可知展开式中x 的次数均为偶数，所以50a =，当6r =时，x 的次数为4，从而可求出4a ，进而可得结果. 【详解】解：因为()821-x 的第1r +项为()()82181rrrr T C x -+=-（08r ≤≤且r *∈N ），所以5x 不存在，所以50a =，因为4x 的系数为()668128C -=，所以428a =，所以4528a a +=. 故答案为：28 【点睛】此题考查二项式展开式的指定项的系数，熟记二项式展开式的通项公式是解题的关键，属于基础题.14．已知抛物线C ：22x py =-()0p >的焦点F 与22184y x +=的一个焦点重合，过焦点F 的直线与C 交于A ，B 两不同点，抛物线C 在A ，B 两点处的切线相交于点M ，且M 的横坐标为2，则弦长AB =______. 【答案】10【解析】首先根据已知条件得到抛物线方程为28x y ，设直线AB 方程为2y kx =-，()11,A x y ，()22,B x y ，利用导数的几何意义得到两条切线分别为21148x x y x =-+和22248x x y x =-+，联立切线得到122M x x x +=，从而得到124x x +=，联立直线AB 与抛物线，利用韦达定理即可得到12k =-，再求焦点弦长即可. 【详解】由题意可得()0,2F -，则4p =，抛物线方程为28xy .设直线AB 方程为2y kx =-，()11,A x y ，()22,B x y ，其中2118x y =-，2228x y =-. 由28x y =-得4x y '=-，所以在点A 处的切线方程为()1114x y y x x -=--，化简得21148x x y x =-+①，同理可得在点B 处的切线方程为22248x x y x =-+②.联立①②得122M x x x +=，又M 的横坐标为2， 124x x ∴+=.将AB 方程代入抛物线得28160x kx +-=，1284x x k ∴+=-=，12k ∴=-，()1212144462y y k x x ∴+=+-=-⨯-=-，1210AB p y y ∴=--=.故答案为：10【点睛】本题主要考查抛物线的焦点弦，同时考查导数的几何意义，属于中档题. 15．函数()2cos sin f x x x x x =+-，当3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x ax ≤恒成立，则实数a 的取值范围是______. 【答案】[)0,+∞ 【解析】先根据2x π=时22f a ππ⎛⎫≤⎪⎝⎭得0a ≥，再对函数()f x 求导，研究导函数的单调性、最值等，进而研究函数()f x 单调性，即可解决. 【详解】解：22f a ππ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π，0a ∴≥. 由题意得()()2sin sin cos 1sin cos 1f x x x x x x x x '=-++-=-+-⎡⎤⎣⎦，令()sin cos 1g x x x x =-+-，则()sin g x x x '=-. 当,2x π⎛⎤∈π⎥⎝⎦时，()0g x '<，()g x 单调递减；当3,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增， ()g x ∴的最小值为()1g ππ=--.又22g π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，302g π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 3,22x ππ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，()0g x ≤，即()0f x '≤，()f x ∴在区间3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为减函数.02f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴当3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x ≤.又当0a ≥，3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，0ax ≥，故()f x ax ≤恒成立，因此a 的取值范围是[)0,+∞.故答案为：[)0,+∞ 【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查分析与解决问题的能力，是中档题.三、双空题16．已知点(),P x y 在不等式组230y x y x y a ≥+⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域D 上运动，（1）若区域D表示一个三角形，则a 的取值范围是______；（2）若6a =，则2z x y =-+的最小值是______.【答案】()3,+∞ 5【解析】要使不等式组2,30,y x y x y a ≥+⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域是一个三角形，结合图形可知3a >；作出可行域，根据图形找到最优解，可得答案.【详解】因为直线2y x =+与30y x -=的交点为()1,3，所以要使不等式组2,30,y x y x y a ≥+⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是3a >.当6a =时，作出可行域，如图：由图可知，当直线2z x y =-+经过点(1,3)M 时，z 取得最小值5. 故答案为：()3,+∞；5. 【点睛】本题考查了利用线性规划求线性目标函数的最值，属于基础题.四、解答题17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()()sin sin sin a c A C b c B -+=-.（1）求角A 的大小；（2）若2cos a b C =，试判断ABC 的形状并给出证明. 【答案】（1）3π；（2）ABC 为等边三角形，证明见解析. 【解析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；（2）由正弦定理边化角及诱导公式、两角和的正弦公式可得sin cos cos sin 0B C B C -=，即可得到B C =，从而得到三角形的形状；【详解】解：（1）()()()sin sin sin a c A C b c B -+=-，∴由正弦定理得()()()a c a c b c b -+=-，222122b c a bc +-∴=，根据余弦定理知1cos 2A =.又角A 为ABC 的内角，3A π∴=.（2）ABC 为等边三角形2cos a b C =，∴由正弦定理得sin 2sin cos A B C =.由三角形内角和公式得()A B C π=-+，故()sin sin A B C =+，()sin 2sin cos B C B C ∴+=，整理得sin cos cos sin 0B C B C -=，()sin 0B C -=∴，又(),B C ππ-∈-，B C ∴=.又由（1）知3A π=，ABC ∴为等边三角形.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，两角和的正弦公式的应用，属于中档题. 18．2019年，受非洲猪瘟影响，全国猪肉价格大幅上涨.10月份全国居民消费指数（CPI ）同比上涨3.8%，创七年新高，其中猪肉价格成为推动居民消费指数上涨的主要因素之一.某学习调查小组为研究某市居民对猪肉市场的信心程度，对当地200名居民在未来一段时间内猪肉价格上涨幅度的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如图所示的频率分布直方图：（1）求频率分布直方图中a 的值，并估算该市居民对猪肉价格上涨幅度的平均心理预期值；（2）将猪肉价格上涨幅度预期值在[)10,30和[)90,110的居民分别定义为对市场“信心十足型”和“信心不足型”，现采用分层抽样的方法从样本中位于这两个区间的居民中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3名进行跟踪调查，记X 表示这三人中“信心十足型”的人数，求X 的分布列、数学期望与方差.【答案】（1）0.015a =，预期值为55%；（2）分布列见解析，()2E X =，()0.4D X =. 【解析】（1）由频率直方图中的各矩形的面积和为1，可求得a ，再由频率直方图求得对猪肉价格上涨幅度心理预期值的平均数，则由此可估计该市的居民对猪肉价格上涨幅度的平均心理预期值；（2）先由分层抽样的定义分别求出在“信心十足型”居民中和在“信心不足型”居民中各抽取的人数，再得出随机变量可能的取值，根据古典概率公式可求得其分布列，从而求得期望和方差. 【详解】解：（1）由直方图知()0.0050.020.00750.0025201a ++++⨯=，解得0.015a =. 设该市居民对猪肉价格上涨幅度的平均心理预期值为x ，则()0.005200.015400.02600.0075800.00251002055x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，所以该市居民对猪肉价格上涨幅度的平均心理预期值为55%.（2）由题意，样本中，“信心十足型”型居民有0.0052020020⨯⨯=人.“信心不足型”型居民有0.00252020010⨯⨯=人.由分层抽样的定义可知“信心十足型”居民抽取4人，“信心不足型”居民抽取2人. 则X 的可能取值为1，2，3，()124236C C110.2C 5P X ⋅====，()214236C C 320.6C 5P X ⋅====，()304236C C 130.2C 5P X ⋅====，故X 的分布列为 X 1 2 3 P 0.20.60.2()10.220.630.22E X =⨯+⨯+⨯=，()()()()222120.2220.6320.20.4D X =-⨯+-⨯+-⨯=.【点睛】本题考查识别频率直方图，根据频率直方图估计总体的预期值，考查随机变量的分布列的求法，以及随机变量的期望和方差，属于中档题.19．如图，在三棱锥P ABC -中，底面是正三角形，24AB PA ==，PA ⊥底面ABC ，点E ，F 分别为AC ，PC 的中点.（1）求证：平面BEF ⊥平面PAC ；（2）在线段PB （不含端点）上是否存在点G ，使得平面EFG 与平面PBC 所成锐二15？若存在，确定点G 的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）不存在，理由见解析.【解析】（1）根据PA ⊥底面ABC 可得PA BE ⊥，结合BE AC ⊥可证BE ⊥平面PAC ，从而可得平面BEF ⊥平面PAC .（2）设BG BP λ=，以EB ，EC ，EF 方向为x ，y ，x 轴建立坐标系，求出平面EFG 的法向量与平面PBC 的法向量的夹角的余弦值后得到关于λ的方程，求出λ后可得线段PB 上不存在满足条件的点G . 【详解】证明：（1）AB BC =，E 为AC 的中点，BE AC ∴⊥.又PA ⊥平面ABC ，BE ⊂平面ABC ，PA BE ∴⊥.PA AC A =，PA ，AC ⊂平面PAC ，BE ∴⊥平面PAC ，又BE ⊂平面BEF ，∴平面BEF ⊥平面PAC .（2）如图，由（1）知，PA BE ⊥，PA AC ⊥，点E ，F 分别为AC ，PC 的中点，//EF PA ∴，EF BE ∴⊥，EF AC ⊥，又BE AC ⊥，EB ∴，EC ，EF 两两垂直，以E 为原点，以EB ，EC ，EF 方向为x ，y ，x 轴建立坐标系，则()0,2,0A -，()0,2,2P -，()23,0,0B ，()0,2,0C ，()0,0,0E ，()0,0,1F .设()23,2,2BG BP λλλλ==--（()0,1λ∈），)()231,2,2G λλλ∴--，)()()231,21,2AG AB BG λλλ∴=+=--，()0,0,1EF =，)()231,2,2EG λλλ=--.设平面EFG 的法向量为(),,m a b c =，则)0,0,1220,0,c m EF a b c m EG λλλ=⎧⎧⋅=⎪∴⎨⎨-⋅-⋅+⋅=⋅=⎪⎩⎩令a λ=，则)1b λ=-，)(),1,0m λλ∴=-.()23,2,0BC -，()0,4,2PC =-，设平面PBC 的法向量(),,n x yz =，则0,20,0,420,n BC y n PC y z ⎧⎧⋅=-+=⎪∴⎨⎨⋅=-=⎪⎩⎩令1x =，则y =z =(1,3,2n ∴=.由已知1cos ,14m n =-=，114λ=⇒=，因为()0,1λ∈，故线段PB 上不存在点G ，使得直线AG 与平面PBC 所成的角的正弦. 【点睛】面面垂直的判定可由线面垂直得到，而线面垂直可通过线线垂直得到，注意面中两条直线是相交的．由面面垂直也可得到线面垂直，注意线在面内且线垂直于两个平面的交线.空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.20．在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的离心率是e ，定义直线eby=±为椭圆的“类准线”，已知椭圆C 的“类准线”方程为y =±，长轴长为8.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）O 为坐标原点，A 为椭圆C 的右顶点，直线l 交椭圆C 于E ，F 两不同点（点E ，F 与点A 不重合），且满足AE AF ⊥，若点P 满足2OP OE OF =+，求直线AP 的斜率的取值范围.【答案】（1）2211612xy +=；（2）5656⎡-⎢⎣⎦. 【解析】（1）由题意列关于a ，b ，c 的方程，联立方程组求得216a =，212b =，24c =，则椭圆方程可求；（2）分直线l x ⊥轴与直线l 不垂直于x 轴两种情况讨论，当直线l 不垂直于x 轴时，设()11,E x y ，()22,F x y ，直线l ：y kx t =+（4t k ≠-，0k ≠），联立直线方程与椭圆方程，消元由>0∆，得到2216120k t -+>，再列出韦达定理，由AE AF ⊥则0AE AF ⋅=，解得47k t =-，再由2OP OE OF =+，求出P 的坐标，则178AP k k k+=，再利用基本不等式求出取值范围；【详解】解：（1）由题意得：e b abc==28a =，又222a b c =+，联立以上可得：216a =，212b =，24c =，∴椭圆C 的方程为2211612x y+=.（2）由（1）得()4,0A ，当直线l x ⊥轴时，又AE AF ⊥，联立224,1,1612y x x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2732160x x -+=，解得47x =或4x =，所以47E F x x ==，此时4,07P ⎛⎫⎪⎝⎭，直线AP 的斜率为0. 当直线l 不垂直于x 轴时，设()11,E x y ，()22,F x y ，直线l ：y kx t =+（4t k ≠-，0k ≠），联立223448y kx t x y =+⎧⎨+=⎩，整理得()2223484480k x ktx t +++-=，依题意()()2222644344480k t kt∆=-+->，即2216120k t -+>（）且122834kt x x k +=-+，212244834t x x k-⋅=+. 又AE AF ⊥，()()()()()()121212124444AE AF x x y y x x kx t kx t ∴⋅=-⋅-+⋅=-⋅-+++()()222212122732161(4)16034t kt k k x x kt x x t k++=+⋅+-+++==+，22732160t kt k ∴++=，即()()7440t k t k ++=，47kt ∴=-且t 满足（）， ()121222862,,3434kt t OP OE OF x x y y k k ⎛⎫∴=+=++=- ⎪++⎝⎭，2243,3434kt t P k k ⎛⎫∴- ⎪++⎝⎭，故直线AP 的斜率2222331344716412874834APt t k k k kt k kt k k k k+==-==+++--++，当k 0<时，7788k k k k ⎛⎫+=--+≤-=- ⎪-⎝⎭78k k -=-，即k =时取等号，此时0AP k ≤<；当0k >时，78k k +≥=78k k =，即k =时取等号，此时056AP k <≤；综上，直线AP的斜率的取值范围为5656⎡-⎢⎣⎦. 【点睛】本题考查利用待定系数法求椭圆方程，直线与椭圆的综合应用，属于难题. 21．已知函数()()21ln f x ax x b x =-++（a 、b ∈R ）.（1）当1a =，4b =-时，求()y f x =的单调区间；（2）当2b =-，1≥x 时，求()()g x f x =的最小值.【答案】（1）增区间为3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭，减区间为30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）()min 1,0,0,01,1, 1.a a g x a a a -≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩. 【解析】（1）求出函数的定义域，然后对函数求导，导函数大于零，解得其增区间，导函数小于零，解得其减区间；（2）由()2ln g x ax x x =--，令()2ln x ax x x ϕ=--（1≥x ），然后利用导数讨论()x ϕ的单调性，最值，从而可求出()g x 的最小值.（1）当1a =，4b =-时，()23ln f x x x x =--（()0,x ∈+∞）.()()()223132321x x x x f x x x x x-+--'=--==，令()0f x '=得32x =，或1x =-（舍去）. 当30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，当3,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增， ()f x ∴单调递增区间为3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）()2ln g x ax x x =--.设()2ln x ax x x ϕ=--（1≥x ），()121x ax xϕ'=--， 1）当0a ≤时，()0x ϕ'<，则()x ϕ在[)1,+∞上单调递减，且()110a ϕ=-<，()()g x x ϕ∴=-，()g x 在[)1,+∞上单调递增，()()min 11g x g a ∴==-.2）当0a >时，()221ax x x xϕ--'=，设()221t x ax x =--，180a ∆=+>，()0t x ∴=有两根1x ，2x .12102x x a+=>，12102x x a =-<，不妨令120x x <<，∴当()20,x x ∈时，()0t x <，即()0x ϕ'<，()x ϕ在()20,x 上单调递减，当()2,x x ∈+∞时，()0t x >，即()0x ϕ'>，()x ϕ在()2,x +∞上单调递增. ①当()1220t a =-≥，即1a ≥时，21x ≤，()x ϕ在[)1,+∞上单调递增. 又()110a ϕ=-≥，()()g x x ϕ∴=，()()()min min 11g x x a ϕϕ∴===-.②当()10t <，即01a <<时，21>x ，()x ϕ在()21,x 上单调递减，在()2,x +∞上单又()110a ϕ=-<，()()2222min ln x x ax x x ϕϕ==--，2242222ln ln 0a a a a a a a ϕ⎛⎫=⋅--=-> ⎪⎝⎭，∴存在[)022,1,x x a ⎛⎫∈⊆+∞ ⎪⎝⎭使得()20x ϕ=，()()0min 0g x x ϕ∴==.综上可得()min1,0,0,01,1, 1.a a g x a a a -≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩【点睛】此题考查利用导数求函数的单调性，利用导数求函数的最值，考查分类讨论思想和计算能力，属于较难题.22．已知直线l的参数方程为：1x ty =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线C的极坐标方程为：4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，点P 是曲线C 上除极点以外的任意一点，点M 在直线OP 上且满足1OP OM ⋅=，设点M 的轨迹为曲线E . （1）求直线l 和曲线E 的极坐标方程；（2）若直线l 分别与曲线C 、曲线E 交于A （与原点不重合）、B 两不同点，求线段AB 的长.【答案】（1）3πθ=（ρ∈R ），sin 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；（2【解析】（1）先将直线l 的参数方程化为普通方程，再将普通方程化为极坐标方程，设()00,P ρθ（00ρ≠），(),M ρθ，则由题意得01ρρ=，0θθ=，而点P 是曲线C 上除极点以外的任意一点，所以14πθρ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，化简后得曲线E 的极坐标方程；（2）设A 、B 两点的极径分别为1ρ、2ρ，直线l 的极坐标方程分别与曲线C 的极坐标方程和曲线E 的极坐标方程联立方程组求出1ρ、2ρ，从而可求出12AB ρρ=-的值.（1）将直线l的参数方程1x ty =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）消去参数t ，得y =，又cos x ρθ=，sin y ρθ=，得直线l 的极坐标方程为3πθ=（ρ∈R ）.设()00,P ρθ（00ρ≠），(),M ρθ，由题意0θθ=，① 又1OP OM ⋅=，01ρρ∴=，即01ρρ=.②因为点P 在曲线C上，所以004πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，将①②代入004πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，得14πθρ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，整理得曲线E 的极坐标方程为sin 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （2）设A 、B 两点的极径分别为1ρ、2ρ，联立直线l 和曲线C的极坐标方程34πθπρθ⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪=+ ⎪⎪⎝⎭⎩，得1134ππρ⎛⎫=+=⎪⎝⎭联立直线l 和曲线E的极坐标方程3sin 14πθπθ⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩，得2134ρππ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭(121AB ρρ∴=-==【点睛】此题考查参数方程与极坐标方程，考查了极坐标系中极径的几何意义，考查运算能力，属于中档题.23．已知函数()21f x x x =--+. （1）解不等式()2f x <；（2）若正实数m ，n 满足3m n +=，试比较122m n +与()32f x -的大小，并说明理由. 【答案】（1）12x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭；（2）()12322f x m n +≥-，理由见解析. 【解析】（1）通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可；（2）先根据绝对值的三角不等式可得()33f x -≤≤，进而求出()933222f x -≤-≤；再利用基本不等式求出122m n+的最小值32，由此即可得结果．【详解】（1）①当1x ≤-时，()()212x x --++<，无解； ②当12x -<<时，()()212x x ---+<，122x -<<； ③当2x ≥时，()()212x x --+<，恒成立，2x ≥，所以该不等式的解集为12x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭.（2）因为|()21213x x x x --+≤--+≤，当有仅当()()210x x -⋅+≥，即1x ≤-或2x ≥时取“=”，所以()33f x -≤≤，即()933222f x -≤-≤. 又1212112322233222m n n m m n m n m n +⎛⎫⎛⎫+=+⋅=+++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当22n mm n=，即1m =，2n =时取等号，所以()12322f x m n +≥-. 【点睛】本题考查了绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，以及基本不等式的应用，属于中档题．。

2020届河南省高三考前6月份适应性考试数学(理)试题(解析版)

17．已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若对，不等式恒成立，求a的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】【详解】
解：（1），．
等价于，或，或，．
解得或或．
故不等式的解集为．
（2）因为．所以，．
则对恒成立等价于对恒成立，．
即对恒成立，．
则，．
因为，所以，即a的取值范围为．
其中符合条件的情况有，，共3种．
故所求概率．
15．已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，且椭圆C的短轴是圆的一条直径．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点作直线，与椭圆C交于M，N两点，过点作直线，与椭圆C交于P，Q两点，，且垂足异于，两点．试问是否为定值？如果是，求出的值，如果不是，说明理由．
则，，．
故．
14．自新冠肺炎疫情爆发以来，国内外数学专家纷纷利用数学模型对新冠病毒的可能感染规模和传播风险等进行预测，为疫情防控作出数据指导．某同学从国家卫健委获取了2020年1月20日至2020年1月25日全国累计报告确诊病例数据如下表．
日期
1月20日
1月21日
1月22日
1月23日
1月24日
【答案】
【解析】
如图，过点作，垂足为，设，利用余弦定理及锐角三角函数求得，再根据多边形相似面积比等于相似比的平方，从而计算出几何概型的概率；
【详解】
解：如图，过点作，垂足为，设，由题意可得，，则，
在中，，则，因为，所以，所以，记正五边形与的面积分别为和，因为正五边形与相似，所以，故所求概率

2020年河南省名校联盟高考数学联考试卷(理科)(6月份)(有解析)

2020年河南省名校联盟高考数学联考试卷(理科)(6月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x∈Z|−1<x<5}，B={x|0<x≤2}，则A∩B=()A. {x|−1<x≤2}B. {x|0<x<5}C. {0,1，2}D. {1,2}2.已知z=(a−1)+(a+2)i在复平面内对应的点位于第三象限，则实数a的取值范围为()A. (−1,2)B. (−2,1)C. (2,+∞)D. (−∞,−2)3.“k<1”是“方程x23−k +y2k−1=1表示双曲线”的()A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.若等比数列{a n}，前n项和S n，且a2a3=2a1，54为a4与2a7的等差中项，则S4=()A. 29B. 30C. 31D. 335.设a⃗=(1,−2),b⃗ =(3,4),c⃗=(2,−1),则(a⃗+b⃗ )⋅c⃗=()A. 6B. 5C. 4D. 36.如图是我国2018年1月至12月石油进口量统计图(其中同比是今年第n个月与去年第n个月之比)，则下列说法错误的是()A. 2018年下半年我国原油进口总量高于2018上半年B. 2018年12个月中我国原油月最高进口量比月最低进口量高1152万吨C. 2018年我国原油进口总量高于2017年我国原油进口总量D. 2018年1月−5月各月与2017年同期相比较，我国原油进口量有增有减7. 函数f(x)=e x x的图象在点(1,f(1))处的切线方程为( )A. y =x +e −1B. y =eC. y =x −e −1D. x =e8. 在北京召开的第24届国际数学家大会的会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图(如图)设计的，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，若直角三角形的直角边的边长分别是3和4，在绘图内随机取一点，则此点取自内部小正方形部分的概率为( )．A. 125B. 925C. 1625D. 24259. 将y =f(x)的图象向右平移π3个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到y =sin(x −π6)的图象，则f(x)=( )A. cos2xB. sin 12xC. cos(12x +π6)D. sin(2x +π6)10. 函数f(x)=(x−1)ln(−x)x−3的零点个数为( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个11. 设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a n+1=a n +a n+２，且a 2=32，则Ｓ105为( )A. 3B. 6C. 9D. 1212. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M 是线段A 1C 1的中点，若四面体M −ABD 的外接球的表面积为36π，则正方体棱长为( )A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知C n 4=C n 6，设(3x −4)n =a 0+a 1(x −1)+a 2(x −1)2+⋯…+a n (x −1)n ，则a 1+a 2+⋯…+a n =_________ ．14. 已知不等式组{y ≥0y ≤x 2x +y −9≤0表示的平面区域为D.若直线y =a(x +1)与区域D 有公共点，则实数a 的取值范围是______．15.已知点F1是抛物线C1：y=14x2与椭圆C2：x2a2+y2b2=1(b>a>0)的公共焦点，F2是椭圆C2的另一焦点，P是抛物线C1上的动点，当|PF1||PF2|取得最小值时，点P恰好在椭圆C2上，则椭圆C2的离心率为________．16.函数f(x)=12x+sinx在区间[0,2π]上的最大值为________．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.在△ABC中，已知sin A：sin B：sin C=4：5：6，且a+b+c=30，求a．18.某大城市一家餐饮企业为了了解外卖情况，统计了某个送外卖小哥某天从9：00到21：00这个时间段送的50单外卖，以2小时为一时间段将时间分成六段，各时间段内外卖小哥平均每单的收入情况如表，各时间段内送外卖的单数的频率分布直方图如图．时间区间[9011)[11,13)[13,15)[15,17)[17,19)[19,21]每单收入(元)6 5.56 6.4 5.5 6.5(1)求频率分布直方图中a的值，并求这个外卖小哥送这50单获得的收入；(2)这个外卖小哥记得在[13,15)这个时段只有4单外卖带有饮品，现在从[13,15)这个时段送出的外卖中随机抽取3单外卖，求这3单外卖中带有饮品的单数X的分布列和数学期望．19.如图，在三棱锥A−BCD中，AB=AD=CD=12BC=2，E为BC的中点，BD⊥CD，且AE=√2．(1)证明：平面ACD⊥平面ABD．(2)求平面ABC与平面ACD所成锐二面角的余弦值．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2，且长轴长与短轴长之比为√2:1．(Ⅰ)求椭圆方程；(Ⅱ)若不与坐标轴平行的直线l与椭圆相切于点P，O为坐标原点，求直线OP与直线l的斜率之积．21. 已知函数g(x)=e x −2ax −b ，a ，b ∈R ．(1)求函数g(x)的单调区间； (2)求函数g(x)在[0,1]上的最小值．22. 在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 的参数方程为{x =tcosαy =1+tsinα(其中t 为参数).在以O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系(两种坐标系的单位长度相同)中，曲线C ：ρ(1+cos2θ)=λsinθ的焦点F 的极坐标为(1,π2)． (Ⅰ)求常数λ的值；(Ⅱ)设l 与C 交于A 、B 两点，且|AF|=3|FB|，求α的大小．23.已知函数f(x)=−|x|−|x+2|．(1)解不等式f(x)<−4；(2)若正实数a，b满足a+b=√5，试比较a2+b2与f(x)+3的大小，并说明理由．4【答案与解析】1.答案：D解析：本题考查集合的交集运算，属于基础题．先求出A ，再求交集即可．解：集合A ={x ∈Z|−1<x <5}={0,1，2，3，4}， B ={x|0<x ≤2}，则A ∩B ={1,2}．故选D ．2.答案：D解析：本题考查复数的几何意义，属于基础题目．依据复数a +bi(a,b ∈R)与复平面上的点(a,b)--对应，再由第三象限点横纵坐标都为负，即可求取值范围．解：因为z =(a −1)+(a +2)i 在复平面内对应的点位于第三象限，所以{a −1<0a +2<0，解得a <−2．故选D ．3.答案：A解析：解：若方程x 23−k+y 2k−1=1表示双曲线，则(3−k)(k −1)<0，即k <1或k >3．∴k <1⇒方程x 23−k+y 2k−1=1表示双曲线，反之不一定成立． ∴“k <1”是“方程x 23−k+y 2k−1=1表示双曲线”的充分不必要条件．故选：A ．由方程x 23−k+y 2k−1=1表示双曲线求得k 的范围，然后结合充分必要条件的判定得答案．本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的判断，考查充分必要条件的判定，是基础题．4.答案：B解析：本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查等差数列中项的性质，化简整理的运算能力，属于中档题．设等比数列{a n}的公比为q，运用等比数列的通项公式和等差数列中项的性质，解方程可得首项和公比，运用等比数列的求和公式，即可得到所求和．解：设等比数列{a n}的公比为q，a2a3=2a1，54为a4与2a7的等差中项，可得a1q⋅a1q2=2a1，2×54=a4+2a7=a1q3+2a1q6，解得q=12，a1=16，则S4=a1(1−q4)1−q =16(1−124)1−12=30．故选B．5.答案：A解析：解：根据题意，a⃗=(1,−2)，b⃗ =(3,4)，则a⃗+b⃗ =(4,2)，又由c⃗=(2,−1)，则(a⃗+b⃗ )⋅c⃗=4×2+2×(−1)=6；故选：A．根据题意，由a⃗、b⃗ 的坐标计算可得向量a⃗+b⃗ 的坐标，进而由向量数量积的坐标计算公式计算可得答案．本题考查向量的数量积的计算，关键求出向量a⃗+b⃗ 的坐标．6.答案：D解析：解：由图易知A，B正确，由数量同比折线图可知，除6月和10月同比减少外，其他月份同比都递增，且1月，4月，11月，12月同比增长较多，故2018年我国原油进口总量高于2017年我国原油进口总量，C正确，由2018年1月−5月各月与2017年同期相比较，我国原油进口量只增不减，故D错误，故选：D．先阅读题意，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解．本题考查了阅读能力及进行简单的合情推理，属中档题．7.答案：B解析：先对f(x)求导，然后得到切线的斜率，再求出切线方程即可．本题考查了利用导数研究函数的切线方程，属基础题．解：由f(x)=e xx ，得f′(x)=xex−e xx2，∴切线斜率k=f′(1)=0，又f(1)=e，∴在点(1,f(1))处的切线方程为y=e．故选：B．8.答案：A解析：本题考查几何概型，是基础题．由已知直角三角形的边长分别求出两个正方形的面积，即得答案．解：∵直角三角形的直角边的边长分别是3和4，∴大正方形的边长为5，小正方形的边长为4−3=1．大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，所以此点取自内部小正方形部分的概率为125．故选：A．9.答案：A解析：本题考查了三角函数图象的平移变换及伸缩变换，属于基础题．由三角函数图象的平移变换及伸缩变换可得：将y=sin(x−π6)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，再把所得图象向左平移π3个单位，即可得到f(x)的图象．解：将y =sin(x −π6)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍得到y =sin(2x −π6)，再把所得图象向左平移π3个单位，得到f(x)=sin[2(x +π3)−π6]=cos2x ，故选：A ．10.答案：A解析：解：∵函数f(x)=(x−1)ln(−x)x−3的零点个数，即为f(x)=0的根的个数，∴f(x)=(x−1)ln(−x)x−3=0，即(x −1)ln(−x)=0，∴x −1=0或ln(−x)=0， ∴x =1或x =−1， ∵{−x >0x −3≠0，解得x <0，∵函数f(x)的定义域为{x|x <0}， ∴x =−1，即方程f(x)=0只有一个根， ∴函数f(x)=(x−1)ln(−x)x−3的零点个数1个．故选：A ．将函数f(x)=(x−1)ln(−x)x−3的零点个数问题转化为方程f(x)=0的根的个数问题，求出方程的根，即可得到答案．本题考查了根的存在性及根的个数的判断．要注意函数的零点与方程根的关系，函数的零点等价于对应方程的根，等价于函数的图象与x 轴交点的横坐标，解题时要注意根据题意合理的选择转化．属于中档题．11.答案：A解析：本题考查数列的递推公式和求和，属中档题．解：根据题意，a n+2=a n+1−a n =a n −a n−1−a n =−a n−1，则有a n+3=−a n ，故a n+6=a n，∴数列{a n}的周期为6，又a n+3=−a n，则a1+a4=0，a2+a5=0，a3+a6=0，∴a1+a2+⋯+a6=0．又因数列{a n}的周期为6，则S105=17(a1+a2+⋯+a6)+a103+a104+a105=a1+a2+a3=2a2=3．故选A．12.答案：C解析：本题考查正方体棱长，考查四面体M−ABD的外接球表面积，属于中档题．设BD的中点O′，则球心O在MO′上，利用四面体M−ABD的外接球表面积为36π，求出球的半径，利用勾股定理建立方程，求出正方体棱长．解：设BD的中点O′，则球心O在MO′上，∵四面体M−ABD的外接球表面积为36π，设外接球的半径为R，∴4πR2=36π，∴R=3，设正方体棱长为2a，则O′A=√2a，由勾股定理可得32=(√2a)2+(2a−3)2，∴a=2，∴正方体棱长为2a=4．故选C．13.答案：1023解析：解：∵已知C n4=C n6，∴n=10，∵(3x−4)n=a0+a1(x−1)+a2(x−1)2+⋯+a n(x−1)n，即(3x−4)10=a0+a1(x−1)+a 2(x −1)2+⋯a 10(x −1)10，令x =1，可得a 0=1；再令x =2，可得1+a 1+a 2+⋯+a n =210，∴a 1+a 2+⋯+a n =210−1=1023，故答案为：1023．由题意利用二项式系数的性质，求得n =10，再分别令x =1、x =2，可得a 1+a 2+⋯+a n 的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14.答案：[0,34]解析：画出满足约束条件不等式组{y ≥0y ≤x 2x +y −9≤0的平面区域，然后分析平面区域各角的顶点，将其代入y =a(x +1)中，求出y =a(x +1)对应的a 的值即可．在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角的顶点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．解：满足约束条件不等式组{y ≥0y ≤x 2x +y −9≤0的平面区域如图示：因为y =a(x +1)过定点(−1,0)．所以当y =a(x +1)过点P ，由{y =x 2x +y −9=0，解得A(3,3)，得到3=a(3+1)，解得a =34，又因为直线y =a(x +1)与平面区域D 有公共点．所以0≤a ≤34 故答案为[0,34]．15.答案：√2−1解析：解：如下图所示，易知抛物线C 1的焦点为F 1(0,1)，所以，椭圆C 2的下焦点为F 2(0,−1)，抛物线C 1的准线为y =−1，该直线过点F 2，过点P 作PA ⊥l ，垂足为点A ，由抛物线的定义可得|PF 1|=|PA|，所以，|PF 1||PF 2|=|PA||PF 2|=cos∠APF 2=cos∠PF 2F 1，当直线PF 2与抛物线C 1相切时，∠PF 2F 1最大，此时，cos∠PF 2F 1取得最小值，即|PF 1||PF 2|取最小值，设直线PF 2的方程为y =kx −1，将该直线方程与抛物线C 1的方程联立得{x 2=4yy =kx −1，消去y 得，x 2−4kx +4=0，△=16k 2−16=0，解得k =±1，代入方程得x 2±4x +4=0，可求得点P 的坐标为(±2,1)，由椭圆定义可得2a =|PF 1|+|PF 2|=√(±2)2+(1−1)2+√(±2)2+(1+1)2=2+2√2， ∴a =1+√2，因此，椭圆C 2的离心率为e =ca =1+√2=√2−1．故答案为：√2−1．过点P作PA⊥l，由抛物线定义可得|PF1|=|PA|，再结合锐角三角函数得出|PF1||PF2|=|PA||PF2|=cos∠APF2=cos∠PF2F1，于是得出当直线PF2与抛物线C1相切时，∠PF2F1取得最大值，此时，|PF1||PF2|取得最小值，并设直线PF2的方程为y=kx−1，将该直线方程与抛物线的方程联立，利用△=0求出k 的值，从而求出点P的坐标，然后利用椭圆的定义求出a的值，最终计算出椭圆的离心率．本题考查圆锥曲线的综合问题，考查抛物线与椭圆的定义，解决本题的关键在于找出直线与抛物线相切的位置，考查计算能力与推理能力，属于难题．16.答案：π解析：此题考查利用导数研究函数在闭区间的最大值，注意函数的定义域．对函数求导，研究单调性，进而得到答案．解：因为f′(x)=12+cosx，令f′(x)=0，x∈[0,2π]，解得x=2π3或x=4π3，当x∈(0,2π3)或(4π3,2π)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，当x∈(2π3,4π3)，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，所以当x=2π3时，函数f(x)的极大值为f(2π3)=12×2π3+sin2π3=π3+√32，又f(0)=0，f(2π)=π，所以函数最大值为π．故答案为π．17.答案：解：∵sin A：sin B：sin C=4：5：6，由正弦定理可得：a：b：c=4：5：6，又∵a+b+c=30，∴a=30×44+5+6=8．解析：由sin A：sin B：sin C=4：5：6，利用正弦定理可得：a：b：c=4：5：6，即可得出．本题考查了正弦定理的应用，属于基础题．18.答案：解：(1)由频率分布直方图得：2a=1−2×(0.05×2+0.08×2+0.14)=0.2，∴a=0.1，∵样本n=50，∴在[9,11)这个时间段的频数为0.08×2×50=8，同理可求得[11,13)，[13,15)，[15,17)，[17,19)，[10,21]这5个时间段的频数分别为14，10，5，8，5，∴外卖小哥送50单的收入为8×6+14×5.5+10×6+5×6.4+8×5.5+5×6.5=293.5(元)；(2)由(1)知，在[13,15)这段时间共送10单，10单中有4单带饮品，6单不带饮品，X的可能取值为0，1，2，3，P(X=0)=C63C103=20120=16，P(X=1)=C41C62C103=60120=12，P(X=2)=C42C61C103=36120=310，P(X=3)=C43C103=4120=130，∴X的分布列为：E(X)=0×16+1×12+2×310+3×130=65．解析：本题主要考查了随机变量的分布列及数学期望的应用问题，是综合题．(1)由频率分布直方图得a，然后求解外卖小哥送50单的收入即可．(2)求出X的可能取值为0，1，2，3求出概率得到X的分布列然后求解期望即可．19.答案：(1)证明：取BD的中点为O，连接OA，OE.因为BD⊥CD，BC=4，CD=2，所以BD=2√3，OB=√3.又AB =AD =2，所以BD ⊥AO ，且AO =1. 在△AOE 中，EO =12CD =1，AE =√2，所以AO 2+OE 2=AE 2，即OE ⊥AO ，从而CD ⊥AO. 又CD ⊥BD ，BD ∩AO =O ，所以CD ⊥平面ABD. 因为CD ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面ABD ． (2)解：由(1)知OB ，OE ，OA 两两垂直，如图，分别以OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系O −xyz ，则B(√3,0,0)，C(−√3,2,0)，D(−√3,0,0)，A(0,0，1)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,2,−1)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√3,2,0). 设m⃗⃗⃗ =(x,y,z)是平面ABC 的法向量，可得{−√3x +2y −z =0,−2√3x +2y =0,令x =1，得m ⃗⃗⃗ =(1,√3,√3).设n⃗ =(x 1,y 1,z 1)是平面ACD 的法向量，因为DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,2,−1)，则{2y 1=0,−√3x 1+2y 1−z 1=0,令x 1=1，得n ⃗ =(1,0,−√3)．设平面ABC 与平面ACD 所成的锐二面角为θ，则cos θ=|cos ⟨m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ ⟩|=|1−3√7×2|=√77，即平面ABC 与平面ACD 所成锐二面角的余弦值为√77．解析：本题考查面面垂直的判定和利用空间向量求面面的夹角，考查推理能力、计算能力，属中档题．(1)取BD 的中点为O ，连接OA ，OE.推导出CD ⊥AO ，CD ⊥BD ，可得出CD ⊥平面ABD ，进而可证平面ACD ⊥平面ABD ．(2)由(1)知OB ，OE ，OA 两两垂直，如图，分别以OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系O−xyz，求出平面ACD和平面ABC的法向量，利用向量法进行求解即可．20.答案：解：(I)已知椭圆中2c=2，且2a2b =√2，又a2=b2+c2，可得椭圆的方程为x22+y2=1．(Ⅱ)由题意：可设l的方程为y=kx+m(k存在且k≠0)与椭圆C联立消去y可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2−2=0，由直线l与椭圆C相切，可设切点为(x0,y0)，由判别式△=0可得m2=1+2k2．解得x0=−2km ,y0=1m因此，直线OP的斜率为k OP=−12k，直线l的斜率为k，即直线OP与直线l的斜率之积为−12．解析：(Ⅰ)通过焦距，结合长轴长与短轴长之比为√2：1.求出a，b，然后求解椭圆方程．(Ⅱ)设出直线方程，与椭圆方程联立，设切点为(x0,y0)，利用△=0，推出直线OP的斜率为k OP=−12k，直线l的斜率为k，然后求解即可．本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．21.答案：解：因为g′(x)=e x−2a，x∈[0,1]，e x∈[1,e]，(1)若a≤12，则2a≤1，g′(x)=e x−2a≥0，所以函数g(x)在区间[0,1]上单调递增，g(x)min=g(0)=1−b．(2)若12<a<e2，则1<2a<e，于是当0<x<ln(2a)时，g′(x)=e x−2a<0，当ln(2a)<x<1时，g′(x)=e x−2a>0，所以函数g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减，在区间[ln(2a),1]上单调递增，g(x)min=g(ln(2a))=2a−2aln(2a)−b．(3)若a≥e2，则2a≥e，g′(x)=e x−2a≤0，所以函数g(x)在区间[0,1]上单调递减，g(x)min=g(1)=e−2a−b．综上所述，当a≤12时，g(x)在区间[0,1]上的最小值为g(x)min=g(0)=1−b，当12<a <e2时，g(x)在区间[0,1]上的最小值为g(x)min =g(ln(2a))=2a −2aln(2a)−b ；当a ≥e2时，g(x)在区间[0,1]上的最小值为g(x)min =g(1)=e −2a −b ．解析：本题考查了利用导数研究闭区间上函数的单调性极值与最值，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．(1)g(x)=f′(x)=e x −2ax −b ，g′(x)=e x −2a.对a 分类讨论，利用导数即可得出其单调性； (2)利用(1)的结论，对a 分类讨论，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．22.答案：解：(Ⅰ)曲线C ：ρ(1+cos2θ)=λsinθ，转换为：2ρ2cos 2θ=λρsinθ，即：x 2=λ2y ，由于：曲线C 的焦点F 的极坐标为(1,π2)．即：F(0,1)，所以：λ8=1，故：λ=8．(Ⅱ)把倾斜角为α的直线l 的参数方程为{x =tcosαy =1+tsinα(其中t 为参数)代入x 2=4y ．得到：cos 2αt 2−4sinαt −4=0．所以：t 1+t 2=4sinαcos 2α，t 1⋅t 2=−4cos 2α<0，且|AF|=3|FB|，故：t 1=6sinαcos 2α，t 2=−2sinαcos 2α，整理得−12sin 2αcos 4α=−4cos 2α，解得：tanα=±√33，由于：0<α≤π，故：α=π6或5π6．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的恒等变换，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．(Ⅰ)直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(Ⅱ)利用一元二次方程关系式的应用和三角函数关系式的变换的应用求出结果．23.答案：解：(1)由题知|x|+|x+2|>4，①当x≤−2时，−2x−2>4，解得x<−3；②当−2<x≤0时，2>4，矛盾，无解；③当x>0时，2x+2>4，x>1；所以该不等式的解集为{x|x<−3或x>1}．(2)因为|x|+|x+2|≥|x−x−2|=2，当且仅当−2≤x≤0时，取“=”，所以f(x)=−|x|−|x+2|≤−2，即f(x)+3≤1．又a2+b24=5b24−2√5b+5=54(b2−85√5b)+5=54(b−45√5)2+1≥1，当且仅当a=√55,b=4√55时取等号．所以a2+b24≥f(x)+3．解析：本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式以及二次函数的性质，是一道中档题．(1)通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；(2)求出f(x)+3≤1，根据二次函数的性质求出a2+b24≥1，从而比较大小．。

2020年河南省名校联盟高考数学联考试卷1(6月份) (含答案解析)

2020年河南省名校联盟高考数学联考试卷1（6月份）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.阅读如图所示的程序框图，若输入的a，b的值分别是2019，2020，则输出的a，b分别是()A. 2019，2019B. 2020，2019C. 2019，2020D. 2020，20202.已知点P(3,m)(m<0)为角α终边上一点，且sinα=m5，则tanα=()A. −35B. −53C. −34D. −433.二进制数10101(2)化为十进制数的结果为()A. 15B. 21C. 33D. 414.用秦九韶算法计算函数f(x)=2x4+3x3+5x−4，当x=2时，v2的值为()A. 10B. 2C. 12D. 145.函数f(x)=2sin(2x−π3)+3的最小值为()A. 5B. 1C. 3D. 46.程序框图如图所示，若输入值t∈(0,3)，则输出值S的取值范围是()A. (0,4)B. (0,4]C. [0,9]D. (0,3)7.某公司为了解职工每周参加体育锻炼的时间，随机抽取了300名职工进行调查，并将调查结果分为6组：[0,5),[5,10)，[10,15),[15,20)，[20,25),[25,30](单位：小时)，得到如图所示的频率分布直方图，则这300名职工中每周参加体育锻炼的时间不低于15小时的人数为()A. 90B. 135C. 150D. 2108.一个年级有16个班级，每个班级学生从1到50号编排，为了交流学习经验，要求每班编号为14的同学留下进行交流，这里运用的是()A. 分层抽样B. 抽签法C. 随机数表法D. 系统抽样9.若a，b分别为函数y=13sinx−1的最大值和最小值，则a+b等于()A. 23B. −23C. −43D. −210.某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近5年的广告支出x与销售额y(单位：百万元)进行了初步统计，得到下列表格中的数据：x24568y3040605070经测算，年广告支出x与年销售额y满足线性回归方程y=b̂x+17.5，则b^的值为()A. 6.5B. 5.5C. 4.5D. 3.511.欧阳修在《卖油翁》中写道：“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径3cm，中间有边长为1cm的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油(油滴大小忽略不计)，则油恰好落入孔中的概率是()A. 14πB. 12πC. 1πD. 2π12.校学生会现从高一、高二年级各3名同学中选出两人参加志愿者活动，则选出的两人恰好高一和高二各一人的概率是()A. 12B. 13C. 35D. 25二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.若一组样本数据2017，2019，x，2020，2018的平均数为2019，则该组样本数据的方差为______．14.若从4名男生和3名女生中任选2人参加演讲比赛，则至少选出1名女生的概率为_______(结果用分数表示)．15.若掷一颗质地均匀的骰子，则出现向上的点数大于4的概率是______16.有下列四个命题：①若α、β均为第一象限角，且α>β，则sinα>sinβ；②若函数y=2cos(ax−π3)的最小正周期是4π，则a=12；③函数y=sin2x−sinxsinx−1是奇函数；④函数y=sin(x−π2)在[0,π]上是增函数．其中正确命题的序号为________．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.如图，某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)图中语文成绩的众数是______ ．(2)求图中a的值；(3)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分和中位数(中位数要求精确到小数点后一位)．18.为提高产品质量，某企业质量管理部门经常不定期地抽查产品进行检测，现在某条生产线上随机抽取100个产品进行相关数据的对比，并对每个产品进行综合评分(满分100分)，将每个产品所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图．记综合评分为80分及以上的产品为一等品．(1)求图中a的值，并求综合评分的中位数；(2)用样本估计总体，以频率作为概率，按分层抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取5个产品，再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据，求这2个产品中恰有一个一等品的概率．19. 随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：年份 2010 2011 2012 20122014 年份代号t 1 2 3 4 5 储蓄存款y(千亿元) 578911参考公式：相关系数回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ̂=(ni=1t i −t)(y i −y)∑(n i=1t −t)2=∑t i ni=1y i −nty ∑t i 2n i=1−nt2，a ̂=y −b ̂t ，√2≈1.414． (Ⅰ)由散点图看出；可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明：(精确到0.01)(Ⅱ)建立y 与t 的回归方程：|≤1，则认为所得到回归方程是可靠的，现知2017年、2018年该地区城乡居(Ⅲ)如果|y i−yi民人民币储蓄存款分别为15千亿元、17千亿元，选取这两组数据检验，试问(Ⅱ)中所得的回归方程是否可靠⋅20.已知f(x)=|x|，g(x)=x−1．(1)若x是从区间[−3,4]上任取的一个实数，y=2，求满足f(x)≥|g(y)+1的概率．(2)若x、y都是从区间[0,4]上任取的一个实数，求满足f2(x)+g2(y)≤1的概率．21.下图是函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0,|ϕ|<π)的部分图象，求函数f(x)的解析式.222. 已知sinα=45，且，α是第二象限角．(1)求tanα的值；(2)求cos(2π−α)+sin(π+α)sin(π2+α)+cos(π2−α)的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题主要考查的是程序框图的有关知识，属于一般题型．【解答】解：输入2019，2020后，该程序框图的执行过程是x=2019，a=2020，b=2019，故选B．2.答案：D解析：【分析】本题考查任意角三角函数的定义，属于基础题．由题可得sinα=2=m5，解出m即可得．【解答】解：因为sinα=√9+m2=m5，所以√9+m2=5，解得m=−4或4(不合题意，舍去)，所以tanα=m3=−43．故选D．3.答案：B解析：【分析】本题考查的知识点是算法的概念，由二进制转化为十进制的方法，属于基础题．二进制转换为十进制的方法是依次累加各位数字上的数与该数位的权重的乘积，即可得到答案．【解答】解：10101(2)=1×20+0×21+1×22+0×23+1×24=21，故选：B．4.答案：D解析：解：∵f(x)=2x 4+3x 3+5x −4=(((2x +3)x +0)x +5)x −4，当x =2时，v 0=2，v 1=2×2+3=7，v 2=7×2+0=14，故选D ．f(x)=(((2x +3)x +0)x +5)x −4，进而得出答案．本题考查了秦九韶算法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.答案：B解析：【分析】本题考查正弦三角函数的最值问题，属于基础题型．直接根据正弦型函数的最值求解析式的最小值．【解答】解：f(x)=2sin(2x −π3)+3，当2x −π3=2kπ−π2，即x =kπ−π12(k ∈Z)时，函数f(x)min =−2+3=1，故选B ．6.答案：B解析：【分析】模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S ={3tt <14t −t 2t ≥1的值，分类讨论即可得解．本题主要考查了程序框图和二次函数的性质，属于基本知识的考查．【解答】解：由程序框图可知程序框图的功能是计算并输出S ={3tt <14t −t 2t ≥1的值， ∴当t ∈(0,1)时，0<3t <3；当t ∈[1,3)时，4t −t 2=4−(t −2)2∈[3,4]， ∴综上得：0<S ≤4．故选：B ．7.答案：C解析：【分析】本题考查频率分布直方图，属于基础题目．由频率分布直方图求出每周参加体育锻炼的时间不低于15小时的频率，进而求出答案即可．【解答】解：由直方图可得锻炼时间不低于15小时的频率为5×(0.06+0.03+0.01)=0.5，∴300名职工中每周参加体育锻炼的时间不低于15小时的人数为300×0.5=150．故选C．8.答案：D解析：解：∵学生人数比较多，∵把每个班级学生从1到50号编排，要求每班编号为14的同学留下进行交流，这样选出的样本是采用系统抽样的方法，故选D．学生人数比较多，把每个班级学生从1到50号编排，要求每班编号为14的同学留下进行交流，这样选出的样本是具有相同的间隔的样本，是采用系统抽样的方法．本题考查系统抽样，当总体容量N较大时，采用系统抽样，将总体分成均衡的若干部分即将总体分段，分段的间隔要求相等，系统抽样又称等距抽样．9.答案：D解析：【分析】本题主要考查三角函数的图象与性质，属于基础题．根据−1≤sinx≤1即可求解．【解答】解：由题意得，因为−1≤sinx≤1，所以函数y=13sinx−1的最大值和最小值分别是−23,−43,所以a+b=−2，故选D．10.答案：A解析：【分析】本题考查了线性回归方程经过样本中心的性质，属于基础题．求出x −,y −，代入回归方程计算b̂即可．【解答】解：x −=2+4+5+6+85=5，∴y −=30+40+60+50+705=50∵线性回归方程经过样本中心(5,50)， ∴50=b ̂×5+17.5，∴b ̂=6.5．故选A ．11.答案：C解析：【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要求出铜钱面积的大小和中间正方形孔面积的大小，然后代入几何概型计算公式进行求解．几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A 的基本事件对应的“几何度量”N(A)，再求出总的基本事件对应的“几何度量”N ，最后根据几何概率的公式求解．【解答】解：∵S 正=1，S 圆=π ∴P =1π，故选C ．12.答案：C解析：【分析】本题考查古典概型的概率计算公式，以及简单组合数的计算，属于基础题．分别求出总事件数和满足条件的事件数计算即可．【解答】解：设选出的两人恰好高一和高二各一人为事件A ，从6人中选2人共有C 62=15种选法，高一高二各一人共有C 31C 31=9种选法，∴P(A)=915=35．故答案为C ．13.答案：2解析：【分析】本题考查了数据的方差的求解，直接根据公式计算即可．【解答】=2019，解：由已知可得2017+2019+x+2020+20185解得x=2021，∴S2=1[(2019−2017)2+(2019−2019)2+(2019−2021)2+(2019−2020)2+(2019−52018)2]=2，故答案为2．14.答案：57解析：【分析】本题考查古典概型，注意等可能事件概率计算公式、对立事件概率计算公式的合理运用，属基础题．【解答】解：从4名男生和3名女生中任选2人参加演讲比赛，则所有可能结果共有种，设事件A“所选2人都是男生”，则A事件“所选2人都是男生”包含的基本事件个数有种，，故至少选出1名女生的概率为．故答案为：．15.答案：13解析：【分析】本题考查概率求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．基本事件总数n=6，则出现向上的点数大于4包含的基本事件个数m=2，由此能求出出现向上的点数大于4的概率．答案：解：掷一颗质地均匀的骰子，基本事件总数n=6，则出现向上的点数大于4包含的基本事件个数m=2，∴出现向上的点数大于4的概率p=mn =26=13．故答案为：13．16.答案：④解析：【分析】本题考查命题的真假判断与应用，正弦、余弦函数的图象与性质，突出考查正弦函数与余弦的周期性，奇偶性与单调性，属于基础题.利用正弦、余弦函数的图象与性质分别判断各命题，即可得正确命题．【解答】解：对于①，α=30°，β=−300°均为第一象限角，且α>β，但sin 30°=12<sin(−300°)=√32，故①错误；对于②，若函数y=2cos(ax−π3)的最小正周期是4π，即T=2π|a|=4π，则a=±12，故②错误；对于③，因为函数f(−x)=sin(−2x)−sin(−x)sin(−x)−1=sin2x−sinxsinx+1≠−sin2x−sinxsinx−1=−f(x)，所以函数y=sin2x−sinxsinx−1不是奇函数，故③错误；对于④，因为y=cosx在[0,π]上是减函数，所以函数y=sin(x−π2)=−cosx在[0,π]上是增函数，故④正确；综上所述，正确命题的序号为④．故答案为④．17.答案：解：(1)语文成绩的众数为60+702=65；(2)依题意得，10(2a+0.02+0.03+0.04)=1，解得a=0.005.(3)这100名学生语文成绩的平均分为：55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05= 73(分)．设中位数为(70+x)分，则由0.005×10+0.04×10+0.03x=0.5解得x=53≈1.7，∴这100名学生语文成绩的中位数约为71.7分．解析：本题考查频率分布直方图，属于基础题． (1)利用众数的意义即可得出；(2)根据频率分布直方图中各小矩形面积之和等于1即可得出； (3)根据平均数和中位数的意义即可得出．18.答案：解：(1)由(0.005+0.010+0.025+a +0.020)×10=1，解得a =0.040．令中位数为x ，则(0.005+0.010+0.025)×10+0.040(x −80)=0.5，解得x =82.5，所以综合评分的中位数为82.5．(2)由(1)与频率分布直方图可知，一等品的频率为 (0.040+0.020)×10=0.6，即概率为0.6，所以100个产品中一等品有60个，非一等品有40个，则一等品与非一等品的抽样比为3：2，所以现抽取5个产品，则有3个一等品，记为a ，b ，c ，2个非一等品，记为d ，e ，则从5个产品中抽取2个产品的所有情况为：(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,e)，(b,c)，(b,d)，(b,e)，(c,d)，(c,e)，(d,e)，共10种，而这2个产品中恰有一个一等品的情况为：(a,d)，(a,e)，(b,d)，(b,e)，(c,d)，(c,e)，共6种．记事件A 为“从5个产品中抽取2个产品，这2个产品中恰有一个一等品”．则P(A)=610=35．解析：本题考查频率分布直方图，众数、中位数、平均数，分层抽样，古典概型的计算与应用，考查计算能力，属于中档题．(1)由样本的频率和等于1，可得a 的值，再由频率直方图估计中位数的方法可得中位数为82.5； (2)由分层抽样可得现抽取5个产品，则有3个一等品，2个非一等品，列出所有基本事件，利用古典概型的计算公式可得这2个产品中恰有一个一等品的概率．19.答案：(Ⅰ)由所给数据求得t =3,y =8，5t ·y =120，∑t i 5i=1y i =1×5+2×7+3×8+4×9+5×11=134，∑t i 25i=1−nt 2=10，∑y i 25i=1−ny 2=20，所以r =20×10≈0.99，因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系；(Ⅱ)由数据，求得b̂=1.4，a ̂=8−1.4×3=3.8.所以y 关于t 的线性回归方程为y ̂=1.4t +3.8； (Ⅲ)2017年，2018年所对年份代号为8，9，当t =8时，y ̂=1.4×8+3.8=15，|15−15|=0<1，当t =9时，y ̂=1.4×9+3.8=16.4，|17−16.4|=0.6<1，所以，所得到的线性回归方程是可靠的．解析：本题考查了线性规划以及回归分析，属于中档题．(Ⅰ)由所给数据求得t =3,y =8，5t ·y =120，∑t i 5i=1y i =1×5+2×7+3×8+4×9+5×11=134，∑t i 25i=1−nt 2=10，∑y i 25i=1−ny 2=20，带入公式可求相关系数， (Ⅱ)由数据，求得b̂=1.4，a ̂=8−1.4×3=3.8，可得y 关于t 的线性回归方程； (Ⅲ)2017年，2018年所对年份代号为8，9，带入回归方程可得预测值，作差检验即可．20.答案：解：(1)当y =2时，满足f (x )≥|g (y )+1，即为|x |⩾1+1，解得x ≥2或x ≤−2，若x 是从区间[−3,4]上任取的一个实数满足f (x )≥|g (y )+1的概率P =2+17=37．(2)若x 、y 都是从区间[0,4]上任取的一个实数，其表示的平面区域为，满足f 2(x)+g 2(y)⩽1，即x 2+(y −1)1≤1表示以(0,1)为圆心，半径为1的圆在正方形内的部分，所以满足f 2(x )+g 2(y )≤1的概率．解析：本题考查集合概型与长度面积有关的问题，属于中档题．(1)根据不等式的解在区间[−3,4]内的长度即可求满足f (x )≥|g (y )+1的概率． (2)根据面积比求满足f 2(x )+g 2(y )≤1的概率．21.答案：f (x )=sin (2x +π6)解析：由图象知A =1，f (x )的最小正周期T =4×(5π12−π6)=π，故ω=2πT=2.将点(π6,1)代入f (x )的解析式得sin (π3+ϕ)=1， ∴π3+ϕ=2kπ+π2,k ∈Z ，即ϕ=2kπ+π6,k ∈Z ，又|ϕ|<π2，∴ϕ=π6.故函数f (x )的解析式为f (x )=sin (2x +π6)．22.答案：解：(1)∵sinα=45，且，α是第二象限角，∴cosα=−√1−sin 2α=−35，∴tanα=sinαcosα=−43．(2)cos(2π−α)+sin(π+α)sin(π2+α)+cos(π2−α)=cosα−sinαcosα+sinα=1−tanα1+tanα=1+431−43=−7．解析：本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．(1)由题意利用同角三角函数的基本关系求得cosα的值，可得tanα的值． (2)利用诱导公式、同角三角函数的基本关系求得所给式子的值．。

河南省2020年高考理科数学模拟试题及答案(二)

河南省2020年高考理科数学模拟试题及答案（二）（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 已知集合M ＝{x|x 2﹣2x ﹣3≤0}，N ＝{x|y ＝lg （x ﹣2）}，则M∪N ＝（）A. [﹣1，+∞）B. （﹣1，+∞）C. （2，3]D. （1，3）2. 若复数（2﹣i ）（a+i ）的实部与虚部互为相反数，则实数a ＝（）A. 3B.C.D. ﹣33．若，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4．已知()()4,f x g x =-函数()g x 是定义在R 上的奇函数,若(2017)2017,f =则(-2017)f = （）。

A ．-2017B ．-2021C ．-2025D ．20255. 已知过球面上三点A 、B 、C 的截面到球心距离等于球半径的一半，且AC ＝BC ＝6，AB ＝4，则球面面积为（） A. 42πB. 48πC. 54πD. 60π6是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．()1,8B ．()1,+∞C ．()4,8D ．[)4,87. 已知α为第二象限角,sin cos αα+=,则cos2α= ( ) A．B．CD8. 如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数有（）A. 24B. 48C. 96D. 1209. 定义运算：32414321a a a a a a a a -=，将函数xx x f ωωcos 1sin 3)(=（0>ω）的图像向左平移32π 个单位所得图像对应的函数为偶函数，则ω的最小值是（） A.45 B.41 C.47 D.43 10.设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+2211y x y x y x ，若目标函数y ax z 3+=仅在点（1,0）处取得最小值，则a的取值范围（）A.（-6，-3）B.（-6,3）C.（0,3）D.（-6,0]11.已知过点A （a ，0）作曲线C ：y ＝x•e x的切线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是（） A. （﹣∞，﹣4）∪（0，+∞） B. （0，+∞） C. （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D. （﹣∞，﹣1）12.在平面直角坐标系中，已知双曲线的左焦点为F ，点B 的坐标为(0，b)，若直线BF 与双曲线C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，且，则双曲线C 的离心率为（） A.B.C.D. 2二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年河南省顶级名校高考数学考前模拟试卷(理科)(6月份)

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）设z =1+i (1−i)2，则|z |＝（）A ．12B ．√22C ．1D ．√2【解答】解：∵z =1+i (1−i)2=1+i−2i ，∴|z |＝|1+i−2i |=|1+i||−2i|=√22．故选：B ．2．（5分）已知集合A ＝{y |y ＝2x }，B ＝{x |x 2﹣3x +2≤0}，则（） A ．A ∩B ＝∅B ．A ∪B ＝RC ．A ⊆BD ．B ⊆A【解答】解：集合A ＝{y |y ＝2x }＝{y |y ＞0}＝（0，+∞），集合B ＝{x |x 2﹣3x +2≤0}＝{x |（x ﹣1）（x ﹣2）≤0}＝[1，2]， ∴B ⊆A ，故选：D ．3．（5分）设α为平面，m ，n 为两条直线，若m ⊥α，则“m ⊥n ”是“n ⊂α”的（） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：在m ⊥α的前提下，由m ⊥n ，不一定得到n ⊂α，有可能n ∥α；反之，在m ⊥α的前提下，由n ⊂α，一定有m ⊥n ． ∴若m ⊥α，则“m ⊥n ”是“n ⊂α”的必要不充分条件．故选：C ．4．（5分）已知双曲线C ：y 2a −x 2b =1（a ＞0，b ＞0）的两条渐近线互相垂直，则C 的离心率为（） A ．√2B ．2C ．√3D ．3【解答】解：双曲线C ：y 2a 2−x 2b 2=1的渐近线方程为y =±abx ，∵两条渐近线互相垂直，∴−a b ⋅ab =−1，即a 2b =1，∴离心率e =√2a 2=√1+b 2a 2=√2．故选：A ．5．（5分）已知定义在R 上的函数f （x ）满足f （x +2）＝f （x ），当0≤x ＜1时，f （x ）＝x 13，则f （178）＝（）A ．12B ．2C ．18D ．8【解答】解：根据题意，函数f （x ）满足f （x +2）＝f （x ），即函数f （x ）是周期为2的周期函数，则有f （178）＝f （18+2）＝f （18），当0≤x ＜1时，f （x ）＝x 13，则f （18）=(18)13=12；故选：A ．6．（5分）若x 1，x 2，…，x n 的平均数为a ，方差为b ，则2x 1+3，2x 2+3，…，2x n +3的平均数和方差分别为（） A ．2a ，2bB ．2a ，4bC ．2a +3，2bD ．2a +3，4b【解答】解：由题可知，E （x ）＝a ，D （x ）＝b ，设y ＝2x +3，则E （y ）＝E （2x +3）＝2E （x ）+3＝2a +3， D （y ）＝D （2x +3）＝4D （x ）＝4b ，故选：D ．7．（5分）记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝2，则S 6＝（） A ．﹣6B ．﹣4C ．﹣2D ．0【解答】解：等差数列{a n }的前n 项和为S n ，∵S 2，S 4﹣S 2，S 6﹣S 4也成等差数列，又 S 2＝4，S 4＝2，∴2（2﹣4）＝4+（S 6﹣2），∴S 6＝﹣6，故选：A ．8．（5分）函数f （x ）=(1−4x )sinx x的部分图象大致为（） A ． B ．C ．D ．【解答】解：f （﹣x ）=(1−4−x )(−sinx)2−x =−(4x −1)sinx2x=f （x ），故f （x ）为偶函数，图象关于y 轴对称，排除选项B ，D ，因为f （2）＜0，排除选项A ．故选：C ．9．（5分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 23=1的右焦点为F ，O 为坐标原点，C 上有且只有一个点P满足|OF |＝|FP |，则C 的方程为（） A ．x 212+y 23=1 B ．x 28+y 23=1 C ．x 26+y 23=1D ．x 24+y 23=1【解答】解：∵C 上有且只有一个点P 满足|OF |＝|FP |，∴点P 为椭圆的右顶点，即a ＝2c ，∵a 2＝b 2+c 2＝3+c 2， ∴a ＝2，c ＝1，b =√3， ∴椭圆的方程为x 24+y 23=1．故选：D ．10．（5分）如图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图．其阴离子排列如图2所示，图2中圆的半径均为1，且相邻的圆都相切，A ，B ，C ，D 是其中四个圆的圆心，则AB →•CD →=（）A ．24B ．26C ．28D ．32【解答】解：如图所示，建立以a →，b →为一组基底的基向量，其中|a →|=|b →|=1且a →，b →的夹角为60°，∴AB →=2a →+4b →，CD →=4a →+2b →，∴AB →•CD →=(2a →+4b →)⋅(4a →+2b →)=8a →2+8b →2+20a →⋅b →=8+8+20×1×1×12=26．故选：B ．11．（5分）意大利数学家斐波那契（1175年﹣1250年）以兔子繁殖数量为例，引入数列：1，1，2，3，5，8，…，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即a n +2＝a n +1+a n（n ∈N *），故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为a n =5[（1+√52）n﹣（1−√52）n ]．设n 是不等式log√2[（1+√5）x﹣（1−√5）x ]＞2x +11的正整数解，则n 的最小值为（） A ．10B ．9C ．8D ．7【解答】解：因为n 是不等式log √2[（1+√5）x﹣（1−√5）x ]＞2x +11的正整数解，所以log√2[（1+√5）n﹣（1−√5）n ]＞2n +11，所以，log √2[(1+√52)n −(1−√52)n]＞11， ∴(1+√52)n −(1−√52)n ＞(√2)11，∴√5[(1+√52)n −(1−√52)n ]√2)11√5，令a n =15[(1+√52)n −(1−√52)n ]，则数列{a n }为斐波那契数列， ∴a n (√2)11√5，即a n 2＞2115，不难知道a 7＝13，a 8＝21，a 72＜2115，a 82＞2115，∴使得a n 2＞2115成立的n 的最小值为8．故log√2[（1+√5）n﹣（1−√5）n ]＞2n +11成立的n 的最小值为8．故选：C ．12．（5分）已知直线y ＝ω与函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（0＜ω＜1）的图象相交，将其中三个相邻交点从左到右依次记为A ，B ，C ，且满足AC →=n BC →（n ∈N *）．有下列结论：①n 的值可能为2；②当n ＝3，且|φ|＜π时，f （x ）的图象可能关于直线x ＝﹣φ对称； ③当φ=π6时，有且仅有一个实数ω，使得f （x ）在[−πω+1，πω+1]上单调递增；④不等式n ω＞1恒成立．其中所有正确结论的编号为（） A ．③B ．①②C ．②④D ．③④【解答】解：如图所示，不妨设A （x 1，ω），B （x 2，ω），C （x 3，ω），且线段AB 的中点为M （x 0，ω），显然有x 3−x 1=2πω，x 0=x 1+x 22，且f （x ）的图象关于直线x ＝x 0对称， ∵AC →=n BC →（n ∈N *），∴|AB →||AC →|=n−1n（n ∈N *），∴x 2−x 1=2(n−1)πnω，即ωx 2−ωx 1=2(n−1)πn，（1） ∵0＜ω＜1，且n ∈N *，∴由正弦曲线的图象可知，ωx 0+φ=2kπ−π2，k ∈Z ， ∴ω⋅x 1+x 22+φ＝2k π−π2，k ∈Z ，即ωx 2+ωx 1＝4k π﹣π﹣2φ，（2）由等式（1）（2）可得ωx 1+φ＝2k π−3π2+πn ， ∴sin （2k π−3π2+πn ）＝ω，即ω＝cos πn，∵ω=cos πn∈（0，1），且n ∈N *，∴n ≥3，且ω∈[12，1）．对于结论①，显然n ≠2，故结论①错误；对于结论②，当n ＝3，且|φ|＜π时，则ω＝cosπ3=12，故f （x ）＝sin （x2+φ），若f （x ）的图象关于直线x ＝﹣φ对称，则−φ2+φ＝k π+π2，k ∈Z ，即φ＝2k π+π，k ∈Z ，显然与|φ|＜π矛盾，从而可知结论②错误；对于结论③，∵ω∈[12，1），且f （x ）在区间[−πω+1，πω+1]上单调递增，∴{ω⋅πω+1+π6≤π2ω⋅(−πω+1)+π6≥−π2，解得ω=12，故结论③正确；对于结论④，下面证明ncos πn ＞1（n ≥3）．当n ≥3时，cos πn≥cosπ3=12，∴n cosπn≥32＞1（n ≥3），即ncos πn＞1（n ≥3），也就是n ω＞1恒成立，故④正确．综上所述，正确结论的序号是③④．故选：D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）曲线y ＝xlnx 在点（1，0）处的切线方程为 x ﹣y ﹣1＝0 ．【解答】解：由f （x ）＝xlnx ，得 y′=lnx +x ⋅1x=lnx +1， ∴f ′（1）＝ln 1+1＝1，即曲线f （x ）＝xlnx 在点（1，0）处的切线的斜率为1，则曲线f （x ）＝xlnx 在点（1，0）处的切线方程为y ﹣0＝1×（x ﹣1），整理得：x ﹣y ﹣1＝0．故答案为：x ﹣y ﹣1＝0．14．（5分）若x ，y 满足约束条件{y −2≤0，x −y ≤0，x +y −3≥0，则z =yx 的最大值为 2 ．【解答】解：作出平面区域如图所示：由平面区域可知当直线y ＝kx 过A 点时，斜率最大．即z =yx取得最大值，解方程组得{y =2x +y =3得A （1，2）．∴z 的最大值为21=2．故答案为：215．（5分）2020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足和医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援．若将4名医生志愿者分配到两家医院（每人去一家医院，每家医院至少去1人），则共有 14 种分配方案．【解答】解：根据题意，将4名医生志愿者分配到两家医院，每人去一家医院，每人有2种选法，则4人有2×2×2×2＝24＝16种情况，其中4人同去一个医院的情况有2种，则每人去一家医院，每家医院至少去1人的安排方法有16﹣2＝14种；故答案为：1416．（5分）已知正方形ABCD 边长为3，点E ，F 分别在边AB ，AD 上运动（E 不与A ，B 重合，F 不与A ，D 重合），将△AEF 以EF 为折痕折起，当A ，E ，F 位置变化时，所得五棱锥A ﹣EBCDF 体积的最大值为 2√3 ．【解答】解：不妨设|AE |＝3a ，|AF |＝3b ，a ，b ∈（0，1），在直角三角形AEF中，可得EF边上的高h=3ab√a 2+b．又五棱锥A ﹣EBCDF 的底面面积为S =9(1−ab2)，要使五棱锥A ﹣EBCDF 的体积最大，需要平面AEF ⊥平面EBCDF ， ∴V max =13Sℎ=9(1−ab2)⋅√a 2+b．∵a 2+b 2≥2ab ，∴V max ≤9(1−ab2)2ab=9√24(2√ab −ab √ab)，令t =√ab ，则t ∈（0，1），∴V max ≤9√24(2t −t 3)，t ∈（0，1），令f （t ）＝2t ﹣t 3（0＜t ＜1），则f ′（t ）＝2﹣3t 2，可得当t =√63时，f （t ）取得最大值为4√69，∴V max ≤9√24⋅4√69=2√3，综上所述，当a ＝b =√63时，五棱锥A ﹣EBCDF 的体积取得最大值为2√3，故答案为：2√3．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．（12分）△ABC 中，D 为BC 上的点，AD 平分∠BAC ，AD ＝5，AC ＝8，△ACD 的面积为10√3．（1）求CD 的长；（2）求sin B ．【解答】解：（1）因为AD ＝5，AC ＝8，△ACD 的面积为10√3． ∴12×5×8sin∠DAC =10√3，∴sin∠DAC =√32，因为0＜∠BAC ＜π，AD 平分∠BAC ，所以0＜∠DAC ＜π2， ∴∠DAC =π3，△ACD 中，由余弦定理可得，CD 2＝52+82﹣2×5×8×cos60°＝49，所以CD ＝7；（2）△ACD 中，由余弦定理可得，cos ∠ADC =52+72−822×5×7=17，所以sin ∠ADC =√1−149=4√37，所以sin B ＝sin （∠ADC −π3）=4√37×12−17×√32=3√314． 18．（12分）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，底面ABC 为等边三角形，E ，F 分别为AB ，AA 1的中点，CE ⊥FB 1，AB =√2AA 1=2√33EB 1．（1）证明：EF⊥平面CEB1；（2）求直线EF与平面CFB1所成角的大小．【解答】（1）证明：设AA1＝2a，∵AB=√2AA1=2√33EB1，∴AB=2√2a，EB1=√6a，BB1＝2a，∵点E为棱AB的中点，∴EB=√2a，则EB12=EB2+BB12，即EB⊥BB1．∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面ABB1A1为平行四边形，∴四边形ABB1A1为矩形，∵点F为棱AA1的中点，∴FB12=A1F2+A1B12=9a2，FE2＝AF2+AE2＝3a2，∴FB12=EF2+EB12，得EF⊥EB1．∵三棱柱的底面ABC是正三角形，E为AB的中点，∴CE⊥AB．∵CE⊥FB1，AB⊂平面ABB1A1，FB1⊂平面ABB1A1，AB与FB1相交，∴CE⊥平面ABB1A1，而EF⊂平面ABB1A1，∴CE⊥EF，又CE∩EB1＝E，∴EF⊥平面CEB1；（2）解：由（1）可知，CE⊥平面ABB1A1，则CE⊥BB1，又由（1）知即EB⊥BB1，EB∩CE＝E，∴BB 1⊥平面ABC ，∴三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1是正三棱柱．设A 1B 1 的中点为M ，则EB ，EC ，EM 两两互相垂直．以E 为坐标原点，分别以EB ，EC ，EM 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．设E （0，0，0），C （0，√6a ，0），F （−√2a ，0，a ），B 1（√2a ，0，2a ），则EF →=(−√2a ，0，a)，FC →=(√2a ，√6a ，−a)，FB 1→=(2√2a ，0，a)．设平面CFB 1的一个法向量为n →=(x ，y ，z)，由{n →⋅FC →=√2ax +√6ay −az =0n →⋅FB 1→=2√2ax +az =0，取x ＝1，得n →=(1，−√3，−2√2)．设直线EF 与平面CFB 1所成角的大小为θ．则sin θ＝|＜EF →，n →＞|=|EF →⋅n →||EF →|⋅|n →|=√2a−2√2a|3a⋅12=√22．则直线EF 与平面CFB 1所成角的大小为45°．19．（12分）足球运动被誉为“世界第一运动”．为推广足球运动，某学校成立了足球社团，由于报名人数较多，需对报名者进行“点球测试”来决定是否录取，规则如下：（1）如表是某同学6次的训练数据，以这150个点球中的进球频率代表其单次点球踢进的概率．为加入足球社团，该同学进行了“点球测试”，每次点球是否踢进相互独立，将他在测试中所踢的点球次数记为ξ，求E （ξ）；点球数 20 30 30 25 20 25 进球数101720161314（2）社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练，从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，接到第n 次传球的人即为第n +1次触球者（n ∈N *），第n 次触球者是甲的概率记为P n ．（i ）求P 1，P 2，P 3（直接写出结果即可）；（ii ）证明：数列{P n −13}为等比数列．【解答】解：（1）这150个点球中的进球频率为：10+17+20+16+13+14150=0.6，∴该同学踢一次点球命中的概率为P ＝0.6，由题意，ξ的可能取值为1，2，3，则P （ξ＝1）＝0.6， P （ξ＝2）＝0.6×0.4＝0.24， P （ξ＝3）＝0.42＝0.16，∴E （ξ）＝1×0.6+2×0.34+3×0.16＝1.56．（2）（i ）由题意P 1=1，P 2=0，P 3=12．（ii ）证明：∵第n 次触球者是甲的概率为P n ，当n ≥2时，第n ﹣1次触球者是甲的概率为p n ﹣1，第n ﹣1次触球者不是甲的概率为1﹣P n ﹣1，则P n =P n−1×0+(1−P n−1)×12=（1﹣P n ﹣1）×12， ∴P n −13=−12(P n−1−13)， ∵P 1−13=23，∴{P n −13}是以23为首项，公比为−12的等比数列．20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，P 为直线l 0：x ＝﹣4上的动点，动点Q 满足PQ ⊥l 0，且原点O 在以PQ 为直径的圆上．记动点Q 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）过点E （2，0）的直线l 1与曲线C 交于A ，B 两点，点D （异于A ，B ）在C 上，直线AD ，BD 分别与x 轴交于点M ，N ，且AD →=3AM →，求△BMN 面积的最小值．【解答】解：（1）由题意可设Q （x ，y ），则P （﹣4，y ），OP →=（﹣4，y ），OQ →=（x ，y ），因为O 在以PQ 为直径的圆上，所以OP →•OQ →=0，即（﹣4，y ）•（x ，y ）＝﹣4x +y 2＝0，所以y 2＝4x ，即曲线C 的方程为y 2＝4x ；（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），D （x 3，y 3），M （m ，0），N （n ，0），由题意可设直线l 1：x ＝ty +a （其中a ＝2），由方程组{x =ty +a y 2=4x，可得y 2﹣4ty ﹣4a ＝0，则y 1+y 2＝4t ，y 1y 2═﹣4a ＝﹣8，同理可得y 1y 3＝﹣4m ，y 2y 3＝﹣4n ，所以m =−y 1y 34，n =−y 2y 34，又AD →=3AM →，所以（x 3﹣x 1，y 3﹣y 1）＝3（m ﹣x 1，﹣y 1），所以y 3﹣y 1＝﹣3y 1，即y 3＝﹣2y 1，所以|MN |＝|m ﹣n |=14|y 1y 3﹣y 2y 3|=14|y 1﹣y 2|•|y 3|=14|y 1﹣y 2|•|﹣2y 1|=12|y 1|•|y 1﹣y 2|，所以S △BMN =12|MN |•|y 2|=14|y 1y 2|•|y 1﹣y 2|＝2√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=8√t 2+2，所以当t ＝0时，△BMN 的面积取得最小值，且为8√2．21．（12分）已知函数f （x ）＝e ax ﹣1•cos x （a ＞0）．（其中常数e ＝2.71828…，是自然对数的底数）．（1）若a =√3，求f （x ）在（0，π2）上的极大值点；（2）（i ）证明f （x ）在（0，√1+a 2）上单调递增；（ii ）求关于x 的方程f （x ）＝e−1a 在[0，π2]上的实数解的个数．【解答】解：（1）易知f ′（x ）＝（a cos x ﹣sin x ）e ax ﹣1＝（a ﹣tan x ）cos x •e ax ﹣1，若a =√3，则f ′（x ）＝（√3−tan x ）cos x •e ax ﹣1，x ，f ′（x ），f （x ）的变化如下：x （0，π3）π3（π3，π2）f ′（x ） + 0 ﹣ f （x ）递增极大值递减∴函数f （x ）在（0，π3）递增，在（π3，π2）递减， ∴函数f （x ）的极大值点是π3；（2）（i ）证明：∵a ＞0，∴在（0，π2）上必存在唯一实数x 0，使得tan x 0＝a ，∴函数f （x ）在（0，x 0）递增，在（x 0，π2）递减，欲证明f （x ）在（0，√1+a2）递增，只需证明√1+a 2≤x 0，∵tan x 0＝a ，∴√1+a 2=sin x 0，故只需证明sin x 0≤x 0，令g （x ）＝sin x ﹣x ，x ∈[0，π2），则g ′（x ）＝cos x ﹣1≤0， ∴函数g （x ）在[0，π2）递减，∴当x 0∈（0，π2）时，g （x 0）＜g （0）＝0，∴sin x 0﹣x 0＜0，即sin x 0＜x 0，亦即√1+a 2＜x 0，∴函数f （x ）在（0，√1+a 2）递增；（ii ）先证明当x ≥0时，有e x ≥1+x ，令h （x ）＝e x ﹣x ﹣1，（x ≥0），则h ′（x ）＝e x ﹣1≥0，（x ≥0）， ∴函数h （x ）在[0，+∞）递增， ∴当x ≥0时，h （x ）≥0，即e x ≥1+x ，再证明函数f （x ）的最大值f （x 0）＞e 1a ，显然tan x 0＝a ，∴cos x 0=1√1+a ，sin x 0=a√1+a ，法一：∵e1cosx 0−1≥1cosx 0，∴cos x 0≥e 1−1cosx 0，∴f （x 0）=e ax 0−1cos x 0≥eax 0−1cosx 0＞e asinx 0−1cosx 0，下面证明easinx 0−1cosx 0＞e −1a ，即证明a sin x 0−1cosx 0＞−1a ，即证明2√1+a 2−√1+a ＞−1a ，∵2√1+a 2−√1+a =−√1+a2−1a， ∴f （x 0）＞e−1a ；法二：∵e ax 0−1≥ax 0＞a sin x 0， ∴f （x 0）=e ax 0−1cos x 0＞a sin x 0cos x 0=a 21+a 2，下面证明a 21+a 2＞e −1a ，令t =−1a ，则t ＜0，即证明11+t ＞e t （t ＜0），即证明（1+t 2）e t ﹣1＜0（t ＜0），令F （t ）＝（1+t 2）e t ﹣1，则F ′（t ）＝（1+t ）2e t ≥0，∴函数F （t ）是单调递增函数 ∴当t ＜0时，F （t ）＜F （0）＝0，∴（1+t 2）e t ﹣1＜0（t ＜0），∴f （x 0）＞e −1a ，令函数G （x ）＝cos xe ax ﹣1−e −1a ，x ∈[0，π2]，（ii ）先求函数G （x ）在（x 0，π2]上的零点个数，∵G （π2）=−e−1a ＜0，G （x 0）＞0，且函数G （x ）在（x 0，π2]上单调递减，∴G （x ）在（x 0，π2]上有唯一零点，即函数G （x ）在（x 0，π2]上的零点个数是1个，再求函数G （x ）在[0，x 0]上的零点的个数，∵G （0）=1e −e −1a ，G （x 0）＞0，且G （x ）在[0，x 0]递增， ∴①当0＜a ＜1时，1e ＞e−1a ，即G （0）＞0，故函数G （x ）在[0，x 0]上没有零点，即函数G （x ）在[0，x 0]上的零点个数是0个， ②a ≥1时，1e ≤e−1a ，即G （0）≤0，故函数G （x ）在[0，x 0]上有唯一零点，即函数G （x ）在[0，x 0]上的零点个数是1个，综上，当0＜a ＜1时，函数G （x ）1个零点，a ≥1时，函数G （x ）2个零点， ∴0＜a ＜1时，关于x 的方程f （x ）＝e −1a 在[0，π2]上的实数解的个数是1个，a ≥1时，关于x 的方程f （x ）＝e −1a 在[0，π2]上的实数解的个数是2个．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示，在一个十字形的金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定的滑块A ，B ，它们可分别在纵槽和横槽中滑动，在直尺上的点M 处用套管装上铅笔，使直尺转动一周，则点M 的轨迹C 是一个椭圆，其中|MA |＝2，|MB |＝1，如图，以两条导槽的交点为原点O ，横槽所在直线为x 轴，建立直角坐标系．（1）将以射线Bx 为始边，射线BM 为终边的角xBM 记为φ（0≤φ＜2π），用φ表示点M 的坐标，并求出C 的普通方程；（2）已知过C 的左焦点F ，且倾斜角为α（0≤α＜π2）的直线l 1与C 交于D ，E 两点，过点F 且垂直于l 1的直线l 2与C 交于G ，H 两点．当1|FE|，|GH |，1|FD|依次成等差数列时，求直线l 2的普通方程．【解答】解：（1）设M （x ，y ）依题意得：x ＝2cos φ，y ＝sin φ，所以M （2cos φ，sin φ），由于cos 2φ+sin 2φ＝1，整理得x 24+y 2=1．（2）由于直线l 1的倾斜角为α（0≤α＜π2），且l 1⊥l 2，所以直线l 2的倾斜角为α+π2．依题意易知：F （−√3，0）．可设直线l 1的方程为{x =−√3+tcosαy =tsinα（t 为参数），代入x 24+y 2=1得到：(1+3sin 2α)t 2−2√3tcosα−1=0，易知△＝12cos 2α+4（1+3sin 2α）＝16＞0．点D 和点E 对应的参数为t 1和t 2，所以t 1+t 2=2√3cosα1+3sin 2α，t 1t 2=−11+3sin 2α．则|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=41+3sin 2α，由参数的几何意义：1|EF|+1|FD|=1|t 1|+1|t 2|=|t 1−t 2||t 1t 2|=4．设G 、H 对应的参数为t 3和t 4，同理对于直线l 2，将α换为α+π2，所以|GH|=|t 3−t 4|=√(t 3+t 4)2−4t 3t 4=41+3cos 2α．由于1|FE|，|GH |，1|FD|依次成等差数列，所以1|EF|+1|FD|=2|GH|，则：41+3cos 2α=2，所以cos2α=13，解得tanα=√2，所以直线l2的斜率为−√22．所以直线l2的直角坐标方程为x+√2y+√3=0．[选修4-5：不等式选讲]23．（10分）已知a，b，c为正实数，且满足a+b+c＝1．证明：（1）|a−12|+|b+c﹣1|≥12；（2）（a3+b3+c3）（1a2+1b2+1c2）≥3．【解答】证明：（1）∵a，b，c为正实数，且满足a+b+c＝1，∴b+c﹣1＝﹣a＜0，∴|a−12|+|b+c﹣1|＝|a−12|+|﹣a|≥|（a−12）+（﹣a）|=12．当且仅当（a−12）（﹣a）≥0，即0≤a≤12时，等号成立．∴|a−12|+|b+c﹣1|≥12；（2）（a3+b3+c3）（1a +1b+1c）≥3abc（1a+1b+1c）=3bc a+3ac b+3ab c=32(2bc a+2ac b+2ab c) =32[a(c b+b c)+b(c a+a c)+c(a b+b a)]≥32(2a√c b⋅c b+2b√c a⋅a c+2c√a b⋅b a)＝3（a+b+c）＝3．当且仅当a＝b＝c=13时等号成立．∴（a3+b3+c3）（1a +1b+1c）≥3．。

河南省2020届高三6月质量检测数学(理科)试题

河南省2020届高三6月质量检测数学（理科）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知i 为虚数单位，则1111i i i i +--=-+（） A ．2i -B ．2iC ．－2D ．2 2．曲线()21ln 22y x x =-在某点处的切线的斜率为32-，则该切线的方程为（） A ．3210x y +-= B ．3210x y ++=C ．6450x y +-=D ．12870x y +-= 3．刘徽是我国魏晋时期的数学家，在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”所谓“割圆术”是指用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法.已知半径为1的圆O 内接正二十四边形，现随机向圆O 内投放a 粒豆子，其中有b 粒豆子落在正二十四边形内()*,a b b a N 、∈<，则圆周率的近似值为（） A．(ab B．(b a C．(a b D．(ba4．已知实数x ，y 满足约束条件23402402540x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪++≥⎩，则2z x y =-的最小值为（）A ．－5B ．－4C ．－3D ．－2 5．函数())ln xf x x =的图像大致为（） A ． B ．C ．D ． 6．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，得到的点数分别为a ，b （{},1,2,3,4,5,6a b ∈），若直线1:210l x y -+=，2:20l ax by -+=，则直线12//l l 的概率为（）A ．112B ．118C ．19D ．5367．若非零向量a ，b 满足()()22a b a b +⊥-，()()3a b a b +⊥+，则向量a 与b 夹角的余弦值为（）A ．78-B ．58- C ．34- D ．38- 8．已知函数()2e e 2,01,0x x x f x x x -⎧-+>=⎨-≤⎩，若0.015a =，33log 22b =，3log 0.9c =，则有（）A ．()()()f b f a f c >>B ．()()()f c f a f b >>C ．()()()f a f b f c >>D ．()()()f a f c f b >> 9．已知数列{}n a 中，112a =，()*111122n n n a a n ++=+∈N ，则数列{}n a 的前10项的和为（）A ．3316B ．12964C ．509256D ．653210．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，AD BP ⊥，PA AC =，若三棱锥P ABC -外接球的表面积为8π，则三棱锥P ACD -体积的最大值为（）A．3 B ．12 CD．4二、未知11．已知集合{}2|23A x x x =+>，(],2B a a =+，若A B =R ，则实数a 的取值范围为（）A ．[)0,1B ．()1,2C ．(],0-∞D ．()1,+∞12．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直线与双曲线C 的左支相交于点A ，与双曲线的右支相交于点B ，O 为坐标原点.若2123BF AF =，且122F F OB =，则双曲线C 的离心率为（）ABC ．2 D13．已知函数()()sin cos 05,0f x x a x a ωωω=+<<>对任意的1x ，2x 都有()()124f x f x +≥-，且存在0x ∈R ，()02f x =-，点,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭为曲线()y f x =的对称中心.若将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则()0g =________.14．已知函数()()2x ax a f x x a e+=+∈R 有两个零点. （1）求实数a 的取值范围；（2）设1x ，2x 是()f x 的两个零点，求证：12110x x +<.三、填空题15．若()()()6323456012345611,1,2,3,4,5,6i x x x a a x a x a x a x a x a x a i ---=++++++∈=R ，则4a =________.16．已知在等比数列{}n a 中，1231a a a =，12311172a a a ++=，则数列{}n a 的通项公式为_______.17．已知点()(),20P t t t >在抛物线2:4C y x =上，过点P 作两条直线分别交抛物线C 于相异两点A ，B ，若直线PA ，PB 的倾斜角互补，则直线AB 的斜率为________.四、解答题18．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c （a ，b ，c 互不相等），且满足()cos 2cos b C b c B =-.（1）求证：2A B =；（2）若c =，求cos B .19．随着互联网金融的发展，很多平台都推出了自己的虚拟信用支付，比较常用的有蚂蚁花呗、京东白条.花呗与信用卡有一个共同点就是可以透支消费，对于很多90后来说，他们更习惯提前消费.某研究机构随机抽取了1000名90后，对他们的信用支付方式进行了调查，得到如下统计表：每个人都仅使用一种信用支付方式，各人支付方式相互独立，以频率估计概率.（1）估计90后使用蚂蚁花呗的概率；（2）在所抽取的1000人中用分层抽样的方法在使用银行信用卡和蚂蚁花呗的人中随机抽取8人，再在这8人中随机抽取4人，记X 为这4人中使用蚂蚁花呗的人数，求X 的分布列及数学期望和方差.20．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//BC AD ，AB AD ⊥，1AB BC ==，2AD AP ==，E 为PD 的中点，F 为BP 的中点.（1）求证：//CE 平面PAB ；（2）求二面角P CE F --的正弦值.21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>以原点O 为圆心，椭圆C 焦距的一半为半径的圆与椭圆C 有四个交点，且这四个交点所构成的四边形的面积3. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点P 是椭圆C 的左顶点，过点()1,0D 且斜率不为零的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线PA ，PB 与直线4x =分别相交于M ，N 两点，求证：直线AN 与直线BM 的交点为定点，并求该定点的坐标.22．在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为()1,0；以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，点M 的极坐标为34π⎛⎫ ⎪⎝⎭，曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=.（1）若点N 为曲线1C 上的动点，求线段MN 的中点T 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）在（1）的条件下，若过点P 的直线l 与曲线2C 相交于A ，B 两点，求PA PB ⋅的值.23．已知函数()221f x x x =-++.（1）求不等式()4f x ≤的解集；（2）若函数()1y f x x =++的最小值为k ，求()220km m m+>的最小值.参考答案1．B【分析】根据复数的四则运算法则计算即可.【详解】()()()()2211114211112i i i i i i i i i i +--+--===-++-. 故选：B.【点睛】本题考查复数的四则运算，是基础题.2．D【分析】先求导得1y x x '=-，再令132y x x '=-=-解得12x =，再求出切点坐标11,28⎛⎫ ⎪⎝⎭，之后再利用切线方程的公式求解即可.【详解】解：求导得1y x x '=-，根据题意得132y x x '=-=-，解得2x =-（舍去）或12x =，可得切点的坐标为11,28⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以该切线的方程为131822y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，整理得12870x y +-=.故选：D.【点睛】本题考查已知切线斜率，求切线方程问题，考查导数的几何意义，是基础题.3．C【分析】本题首先可计算出正二十四边形的面积1S ，然后计算出半径为1的圆的面积2S ，最后根据几何概型的概率计算公式即可得出结果.【详解】因为正二十四边形的面积211241sin152432S ︒=⨯⨯⨯==，半径为1的圆的面积2S π=，所以123S S b a π==，解得(a b π=，故选：C.【点睛】本题考查几何概型的概率计算公式，能否求出正二十四边形的面积以及圆的面积是解决本题的关键，考查计算能力，是简单题.4．B【分析】画出可行域，再根据z 的几何意义求解即可.【详解】如图，可行域为图中阴影部分，可行域的端点的坐标为()2,0A -，()1,2B ，()3,2C -，由2z x y =-，则2y x z =-，可知z 的几何意义可知，2y x z =-与可行域有交点，且截距最大时，z 取得最小值，即当2y x z =-过点A 时，z 取得最小值，最小值为()min 2204z =⨯--=-.故选：B.【点睛】本题考查线性规划求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.5．D【分析】利用排除法，先判断奇偶性，再取特殊值即可得结果.【详解】解：由题意知())ln f x x x =，则())ln f x x x -=-，有()()()22ln 10x x f x x f x ⎡⎤-=+-=⎣⎦-，得()()f x f x =-，所以函数()f x 为偶函数，排除选项A ，B ；又())1ln10f =<，排除选项C. 故选：D.【点睛】此题考查了函数图像的识别，注意奇偶性、特殊值的使用，属于基础题.6．B【分析】先根据直线平行写出满足12//l l 的基本事件数，再根据古典概型计算概率即可.【详解】解：根据题意，基本事件共36个，若直线12//l l ，则满足2b a =且4b ≠，所以12//l l 包括的基本事件为①1a =，2b =；②3a =，6b =；当2a =，4b =时，直线1l 和2l 重合，不合题意，所以直线12//l l 的概率为213618=. 故选：B.【点睛】本题考查古典概型的概率，是基础题.7．A【分析】先根据()()22a b a b +⊥-得2a b =，根据()()3a b a b +⊥+得274a b b ⋅=-，再根据向量夹角的公式求解即可.【详解】由题意有()()222240a b a b a b +⋅-=-=，可得2a b =；又由()()222034347a b a b a a b b a b b +⋅+=+⋅+==⋅+，得274a b b ⋅=-，所以向量a 与b 夹角的余弦值为2277482b a b a b b=-=⋅-⋅. 故选：A.【点睛】本题考查向量垂直与数量积的关系，向量夹角的求解，是基础题.8．C【分析】、首先判断函数的单调性，再根据指数函数、对数函数的性质比较a 、b 、c 的大小关系，从而可得函数值的大小关系；【详解】解：因为()2e e 2,01,0x x x f x x x -⎧-+>=⎨-≤⎩，当0x >时，()e e 2x x f x -=-+，()e +e 0x x f x -=>'，所以()e e 2x x f x -=-+单调递增，且()01f =，当0x ≤时，()21f x x =-，在(],0-∞上单调递增，且()01f =，所以函数()f x 在R 上单调递增，又由0.0151a =>，30log 1b <=<，0c <，得a b c >>，所以()()()f a f b f c >>.故选：C.【点睛】本题考查分段函数的性质的应用，指数函数、对数函数的性质的应用，属于中档题. 9．C【分析】由题得{}2n n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，求出2n nn a =，再利用错位相减法求出222n n n S +=-，即得数列{}n a 的前10项的和.【详解】由题意得11221n n n n a a ++=+，所以{}2nn a 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以()211nn a n n =+-=，得2n nn a =. 记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则211212222n n n n nS --=++++， 231112122222n n n n nS +-=++++，作差得23111111222222n nnn S ，得111122111222n n n n S +⎛⎫- ⎪⎝⎭=--，即222n n n S +=-，所以10108123350922222256256S =-=-=-=. 故选：C. 【点睛】本题主要考查等差数列的判定和通项的求法，考查错位相减法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 10．A 【分析】设AB a ，BC b =，由三棱锥P ABC -外接球的表面积为8π，可得出224a b +=.根据等体积法得()22432P ABC D A AB P CD C V abV V a b ----+==，利用基本不等式可求得三棱锥P ACD -体积的最大值.【详解】设AB a ，BC b =，由三棱锥P ABC -外接球的表面积为8π，得外接球的半径R =又PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，所以()2222222228AB BC AP AC AP AP R ++=+===，所以2AP =，所以224a b +=.因为PA ⊥平面ABC ，AD PB ⊥，所以PB =2BD =，过D 作DE AB ⊥，垂足为E ，则DE ⊥平面ABC ，所以//DE PA ，所以DE BD PA BP =，所以2224a DE a =+，所以 ()()()222221124423643432P ABC D ABCACD P ACD a ab abV V S PA DE ab V a a a b ---⎛⎫-=-=-== ⎪++⎝=+⎭△4233a b b a =≤=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，当且仅当2a b b a =，即a =b =时，“=”成立，所以三棱锥P ACD -. 故选：A.【点睛】本题考查三棱锥的外接球的相关计算，等体积法的运用，属于较难题. 11．A 【详解】由()(),12,A =-∞+∞，AB =R ，则221a a +≥⎧⎨<⎩，得01a ≤<.故选A.12．D 【详解】设12AF m =，则23BF m =，因为212AF AF a -=，所以222AFm a =+.同理，123BF a m =+，所以112322BF AF a m A m a m B =-=+-=+.因为122F F OB =，所以12BF BF ⊥；在2Rt ABF 中，22222AF AB BF +=，即()()2222229m a a m m +=++，解得23am =，有22BF a =，14BF a =.在12Rt BF F 中，由2221212F F BF BF =+，即2224416c a a =+，得c =，所以e =.故选D.13．【详解】()()sin cos f x x a x x ωωωϕ=+=+（其中ϕ为锐角且tan a ϕ=），因为对任意1x ，2x ，恒有()()124f x f x +≥-成立，且存在0x ∈R ，()02f x =-，2=，解得a =，所以()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.又因为点,06π⎛⎫⎪⎝⎭为曲线()y f x =的对称中心，即()63k k ππωπ+=∈Z ，得()62k k ω=-∈Z .因为05ω<<，所以4ω=，所以()2sin 43πf x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()22sin 42sin 4433g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()202sin 3g π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭14．（1）(),0-∞；（2）证明见解析. 【详解】（1）解：函数()f x 的定义域为R ，则()()22x x xx e a ax f x x e e-'=-=. ①当0a =时，()2f x x =，此时函数()f x 仅有一个零点0x =，不合题意.②当0a <时，令()0f x '>，得0x >，故函数()f x 在()0,∞+上单调递增，令()0f x '<，得0x <，故()f x 在(),0-∞上单调递减.又由()00f a =<，()11f -=，所以()f x 在(),0-∞上有唯一零点；令()()10x x g x x e +=≥，则()0xxg x e'=-≤，所以函数()g x 单调递减，有()()001g x g <≤=，即101x x e +<≤，可得xax aa e +≥.又当x >20x a +>，所以()20f x x a ≥+>，所以()f x 在[)0,+∞上有唯一零点，所以当0a <时，函数()f x 有两个零点 ③当0a >时，令()0f x '=，得0x =，ln2a x =， i ）当ln 02a=，即2a =时，()()210xx x e f x e-'=≥，此时函数()f x 在R 上单调递增，不可能有两个零点，不合题意 ii ）当ln02a <，即02a <<时，令()0f x '>，得ln 2ax <或0x >，所以函数()f x 在,ln 2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，()0,∞+上单调递增，令()0f x '<，得ln 02a x <<，所以()f x 在ln ,02a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()ln2a f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭极大值，()()0f x f =极小值，又()00f a =>，可得此时函数()f x 最多有一个零点，不合题意； iii ）当ln02a >，即2a >时，令()0f x '>，得ln 2ax >或0x <，所以函数()f x 在(),0-∞、ln ,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，令()0f x '<，得0ln 2a x <<，所以()f x 在0,ln 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减.又当0x ≥时，有()0f x >，且函数()f x 在(),0-∞单调递增，所以函数()f x 最多仅有一个零点，不合题意.综上，若函数()f x 有两个零点，则实数a 的取值范围为(),0-∞.（2）证明：由（1）知，当(),0a ∈-∞时，函数()f x 有两个零点，且一个为正、一个为负.不妨设120x x <<，有()()12f x f x =.由()()()()112211211111x x ax a ax a f x f x f x f x x x e e -+-+⎛⎫⎛⎫--=--=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()111111x x a x e x e -⎡⎤=++-⎣⎦.令()()()()110x xh x x e x e x -=-++<，则()()()210x x x xx e h x x e e e--'=-=>，所以函数()h x 在(),0-∞上单调递增，所以对0x ∀<，()()00h x h <=. 又0a <，所以()()210f x f x -->，即()()21f x f x >-.又10x <，10x ->，且函数()f x 在区间()0,∞+上单调递增，所以21x x >-，所以120x x +>.又120x x <，所以121212110x x x x x x ++=<，所以12110x x +<. 15．14 【分析】先求()61x -展开式中4x 的系数，再根据题意减1即可. 【详解】解：根据题意，4a 表示的是展开式中4x 的系数，故只需分别求出()61x -展开式中4x 的系数和()31xx -展开式中中4x 的系数即可.()61x -展开式中含4x 的项为()2244216115T C x x +=⨯-=，()3341x xx x =--所以415114a =-=. 故答案为：14. 【点睛】本题考查二项式定理的运算，是基础题. 16．()2*2nn a n -=∈N 或()2*2n nan -=∈N【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，根据等比数列的性质可得21a =，即有131311152a a a a =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解出13,a a 的值，再分类讨论即可求出公比，得出答案．【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为1231a a a =，所以321a =，解得21a =，所以131311152a a a a =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得13212a a =⎧⎪⎨=⎪⎩或13122a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩. 当112a =时， 21a =，所以2q ，即有121222n n n a --=⨯=；当12a =时， 21a =，所以12q =，即有22nn a -=．故答案为：()2*2nn a n -=∈N 或()2*2n nan -=∈N .【点睛】本题主要考查等比数列的性质应用，以及通项公式基本量的计算，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题． 17．－1 【分析】求出P 点坐标，设直线AB 的方程为()0y kx b k =+≠，联立抛物线方程与直线方程消去x 得到关于y 的一元二次方程，利用韦达定理用k 表示出12y y +、12y y ，再由直线PA ，PB 的倾斜角互补可求得124y y +=-，与韦达定理所得12y y +相等即可求得k . 【详解】将点P 的坐标代入抛物线C 的方程得244t t =，又0t >，解得1t =，所以点P 的坐标为()1,2.由题意知AB 的斜率存在，且不为0，设直线AB 的方程为()0y kx b k =+≠，点A ，B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，联立方程24y x y kx b ⎧=⎨=+⎩，消去x 后整理为2440ky y b -+=，16160kb ∆=->，则124y y k+=，124b y y k =，.直线PA 的斜率为11211122411214y y x y y --==-+-，同理，直线PB 的斜率为242y +，由直线PA ，PB 的倾斜角互补，得1244022y y +=++，得124y y +=-，可得44k=-，所以1k =-. 故答案为：1- 【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用，涉及韦达定理、直线的倾斜角与斜率，属于中档题. 18．（1）证明见解析；（2）cos 4B +=. 【分析】（1）由正弦定理把边统一成角，然后利用三角函数公式化简得sin sin 2A B =，则有2A B =或2A B π+=，而当2A B π+=时，可得B C =，与a ，b ，c 互不相等矛盾，所以2A B =；（2）由（1）知()3ππ=-+=-C A B B ，所以03B π<<，由正弦定理得sinC A =，从而可得sin 32B B =，再把sin3B 化简为33sin 4sin B B -，于是有33sin 4sin 4sin B B B B -=-，化简得24cos 10B B --=，从而可求出cos B 的值.【详解】（1）证明：因为()cos 2cos b C b c B =-，由正弦定理，得sin cos 2sin cos sin cos B C B B C B =-，所以()sin sin 2B C B +=，所以sin sin 2A B =.又因为0A π<<，022B π<<，所以2A B =或2A B π+=.若2A B π+=，又A B C π++=，所以B C =，与a ，b ，c 互不相等矛盾，所以2A B =.（2）解：由（1）知()3ππ=-+=-C A B B ，所以03B π<<.因为c =，所以sin C A =，则()sin 32B B π-=，可得sin 32B B =.又因为()sin3sin 2sin 2cos cos2sin B B B B B B B =+=+2232sin cos 2sin cos sin 3sin 4sin B B B B B B B =+-=-所以33sin 4sin cos B B B B -=.因为03B π<<，所以sin 0B >，所以234sin B B -=，所以24cos 10B B --=，解得cos B =，又03B π<<，得cos 4B =. 【点睛】此题考查了正弦定理、两角和差的正弦公式，考查转化能力和计算能力，属于中档题.19．（1）0.5；（2）分布列见解析，()52E X =，()1528=D X .. 【分析】（1）先根据题意得500a =，再根据频率估计概率得90后使用蚂蚁花呗的概率为0.5；（2）先根据分层抽样的方法确定8 人中使用银行信用卡和蚂蚁花呗的人数分别为3人和5人，再根据超几何分布计算概率，写分布列，求期望与方差. 【详解】解：（1）100030015050500a =---=，所以使用蚂蚁花呗的概率为5000.51000=. （2）这8人中使用信用卡的人数为30083300500⨯=+人，使用蚂蚁花呗的人数为5人，则随机变量X 的取值为1，2，3，4.所以()3135481114C C P X C ===， ()223548327C C P X C ===， ()133548337C C P X C ===，()45481414C P X C ===.所以随机变量X 分布列为故()1331512341477142E X =⨯+⨯+⨯+⨯=，()222251535351151234214272721428D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查超几何分布的概率分布列，分层抽样等统计概率知识，考查学生分析问题，解决问题的能力，是中档题.20．（1）证明见解析；（2）9. 【分析】（1）取AP 的中点G ，利用中位线的性质，证明//GE BC 且GE BC =，则由四边形BCEG 为平行四边形可推出//CE BG ，即可由线线平行证明线面平行；（2）建立空间直角坐标系，求出平面PCE 、平面CEF 的法向量，代入cos ,m n m n m n⋅=求出二面角P CE F --的余弦值，再求出正弦值即可. 【详解】（1）证明：如图，取AP 的中点G ，连接EG ，BG . ∵E 为PD 的中点，G 为AP 的中点， ∴GE 为PAD △的中位线，//GE AD 且112GE AD == ∵//BC AD ，1BC =，∴//GE BC 且GE BC =， ∴四边形BCEG 为平行四边形，则//CE BG . 又∵BG ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ， ∴//CE 平面PAB .（2）∵AB AD ⊥，PA ⊥平面ABCD ，∴AP ，AB ，AD 两两垂直，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()0,2,0D，()1,1,0C ，()002P ,,，()0,1,1E ，1,0,12F ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()0,1,1PE =-，1,1,02FE ⎛⎫=-⎪⎝⎭，(1,0,1)CE =-. 设平面PCE 的一个法向量为(),,m x y z =，则00PE m y z CE m x z ⎧⋅=-=⎨⋅=-+=⎩，解得y zx z =⎧⎨=⎩，取1z =，得()1,1,1m =；设平面CEF 的一个法向量为(),,n a b c =，则1020FE n a b CE n a c ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=-+=⎩，解得12b a c a⎧=⎪⎨⎪=⎩，令2a =，得()2,1,2n =，所以2125m n ⋅=++=，3m =，3n =，有cos ,m n =所以二面角P CE F --9=. 【点睛】本题考查线面平行的证明、空间向量法求二面角的余弦值，属于中档题.21．（1）2214x y +=；（2）证明见解析，定点的坐标为()2,0. 【分析】（1）根据c a =222b a c =-可得椭圆C 的方程为22244x y b +=，联立222222443x y b x y b⎧+=⎨+=⎩，可得四个交点的坐标，结合四边形的面积可得1b =，从而可得椭圆C 的标准方程；（2）设直线AB 的方程为1x my =+，点A ，B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，联立方程22141x y my x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，可得1221222434m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，根据当直线AB 与x 轴垂直时，可求出直线AN与直线BM 的交点坐标为()2,0Q .再证明直线AN 与直线BM 的交点始终为点()2,0Q ：根据韦达定理和斜率公式证明0AQ NQ k k -=即可. 【详解】（1）解：设椭圆C 的焦距为2c .因为c a =所以a =所以222222433c c b a c c =-=-=，所以223c b =，224a b =，所以椭圆C 的方程为222214x y b b+=，整理为22244x y b +=.以原点O 为圆心，c 为半径的圆的方程为2223x y b +=，联立222222443x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩，解得22228313x b y b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以四边形的面积为24=2=，所以1b =. 所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=.（2）证明：由题意可知点P 的坐标为()2,0-，设直线AB 的方程为1x my =+，点A ，B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，联立方程22141x y my x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去x 后整理为()224230m y my ++-=，所以1221222434m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩当直线AB 与x 轴垂直时，直线PA 与直线PB 关于x 轴对称，此时直线AN 与直线BM 的交点在x 轴上，又易知此时AB 是PMN 的中位线，所以2AB MN =，所以此时直线AN 与直线BM 的交点坐标为()2,0Q .下面证明直线AN 与直线BM 的交点始终为点()2,0Q ：直线PB 的方程为()2222y y x x =++，代入4x =可得点N 的坐标为2264,2y x ⎛⎫⎪+⎝⎭. 因为111121AQy y k x my ==--，22222262334223NQ y x y y k x my +===-++，所以()()()()()2212121212121266323440131313AQNQm my y my y y y m m kk my my my my my my -++-++-=-===-+-+-+，所以点A ，N ，Q 三点共线，可得直线AN 过点()2,0Q ，同理可证，直线BM 也过点()2,0Q .所以直线AN 与直线BM 的交点为定点，该定点的坐标为()2,0. 【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了斜率公式的应用，运算求解能力，属于中档题. 22．（1）()2211x y +-=；（2）1. 【分析】（1）先求出点M 的直角坐标方程为()2,2-，将曲线1C 的方程化为直角坐标方程，再根据相关点法求解即可；（2）设直线的倾斜角为θ，写出直线的参数方程，再利用直线参数方程的几何意义求解即可. 【详解】解：（1）点M 的直角坐标方程为()2,2-，将ρ=cos x ρθ=，sin y ρθ=代入曲线1C 的极坐标方程，所以曲线C 的直角坐标方程为2240x y x +-=，整理为()2224x y -+=.设点T 的坐标为(),x y ，点N 的坐标为(),m n ，则()2224m n -+=.由T 为MN 的中点，有2222x m y n =-⎧⎨=+⎩，得2222m x n y =+⎧⎨=-⎩，代入()2224m n -+=，得()224224x y +-=，整理得()2211x y +-=.故线段MN 的中点T 的轨迹2C 的直角坐标方程为()2211x y +-=. （2）设直线l 的倾斜角为θ，则直线l 的参数方程为1cos sin x t y t θθ=+⎧⎨=⎩（t 为参数），A ，B 对应的参数分别为1t ，2t .将直线l 的参数方程代曲线2C 的直角坐标方程后整理为()22cos sin 10t t θθ+-+=，得()122cos sin t t θθ+=--，121t t ⋅=，所以121PA PB t t ⋅==. 所以PA PB ⋅的值为1 【点睛】本题考查相关点法求轨迹方程，直线参数方程的几何意义，是中档题.23．（1）51,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）6.【分析】（1）分1x ≤-，11x -<<，1≥x 三类解绝对值不等式即可；（2）利用绝对值三角不等式求得4k =，再根据三元均值不等式求解即可. 【详解】解：（1）①当1x ≤-时，不等式|2214x x -++≤可化为()()2214x x --+≤，得1x ≥-，故有1x =-；②当11x -<<时，不等式2214x x -++≤可化为()()2214x x --+≤，得1x ≥-，故有11x -<<；③当1≥x 时，不等式2214x x -++≤可化为()()2214x x --+≤，得53x ≤，故有513x ≤≤. 综上，不等式()4f x ≤的解集为51,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.（2）因为()()()121212112114y f x x x x x x x x =++=-++=-++≥--+=，所以4k =所以2222224226km m m m m m m +=+=++≥=，当且仅当222m m=，即1m =时“＝”成立，所以22km m +的最小值为6. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式求最小值，三元均值不等式等，考查学生的运算能力，是中档题.。