矢量和标量的定义
矢量和标量运算
矢量和标量运算
摘要：
1.矢量和标量的定义
2.矢量和标量运算的规则
3.矢量和标量运算的例子
4.矢量和标量运算的意义
正文：
一、矢量和标量的定义
矢量是具有大小和方向的物理量，例如力、速度、加速度等，通常用有向线段表示。
标量是只有大小，没有方向的物理量，例如质量、时间、温度等。
二、矢量和标量运算的规则
矢量运算遵守平行四边形法则，即两个矢量的和等于它们构成的平行四边形的对角线。
标量运算则遵守代数加减法则。
三、矢量和标量运算的例子
例如，假设有一个物体，其质量为2kg，受到一个向东的力F1=3N 和一个向北的力F2=4N。
我们可以通过矢量运算求出物体的合速度和加速度。
首先，计算合力：F=sqrt(F1^2+F2^2)=5N。
然后，根据牛顿第二定律，
F=ma，可以求出物体的加速度a=F/m=2.5m/s^2。
物体的合速度则可以通过解方程组得出。
四、矢量和标量运算的意义
矢量和标量运算是物理学中描述物体运动状态的重要工具，它们可以帮助我们理解和预测物体的运动。
矢量和标量
矢量和标量
【三、比较矢量和标量】
标量可以用算术法则直接相加减，而矢量 的运算遵循平行四边形定则(后面的章ห้องสมุดไป่ตู้将 学到)。
矢量和标量
【四、特别提醒】
1、求某一矢量时，除求出其大小外，还要 指出它的方向。
2、矢量的“＋”、“－”号仅仅表示方向， 不表示矢量的大小。
知识点—— 矢量和标量
矢量和标量
【一、定义】
1、矢量：在物理学中，既有大小又有方向 的物理量叫矢量。
2、标量：在物理学中，只有大小而没有方 向的物理量叫标量。
矢量和标量
【二、性质】
1、矢量可用带箭头的有向线段表示，线段的长短表示矢量 的大小，箭头的指向表示矢量的方向。 2、同一直线上的矢量，可用正负号表示矢量的方向，当矢 量方向与规定的正方向相同时，用正号表示，当矢量方向 与规定的正方向相反时用负号表示。
【答案】C
矢量和标量
【六、变式训练】
对矢量和标量的表述正确的是( ) A、它们都有大小和方向 B、它们的运算法则相同 C、出租车的收费标准是1.20元/公里，其中 “公里”这一物理量是矢量 D、矢量相加时遵从平行四边形定则
矢量和标量
【解析】
既有大小、又有方向的物理量是矢量。只有大小、没有方向的物理量 是标量。位移、加速度、速度均是矢量。路程、时间是标量，速度变 化量是矢量。矢量相加时遵从平行四边形定则。 A、既有大小、又有方向的物理量是矢量。只有大小、没有方向的 物理量是标量。故A错误。 B、矢量运算时遵从平行四边形定则，标量是代数和。故B错误。 C、出租车按路程收费。故C错误。 D、矢量运算时遵从平行四边形定则或平行四边形定则。故D正确。
矢量标量
A Ax Ay Az Ax i Ay j Az k
Ax Acos, Ay Acos , Az A cos y
Ay
A Ax2 Ay2 Az2
A
cos2 cos2 cos2 1
Az
j
O k
γ
β
α
i
Ax x
z
四、矢量的乘法 物理中学常遇到两个矢量相乘的问题。
1．矢量的标积
W Fcos s
定义：两个矢量相乘得到一个标量的乘法叫标积（点积）
A B ABcos
2．矢量的矢积
c
定义：两矢量相乘得到矢量的乘法叫矢积（叉积）
C A B
大小: C ABsin
方向:
垂直于A 、B 组成的平面，
指向用右手螺旋法则确定。
B
A
rr r r r r ii j j kk 0
已知：A
、B，求
A B
O
利用平行四边形法则解 ①平移使起点重合 ②作平行四边形 ③从交点0作对角线就是合矢量
2．矢量的减法
B
C AB
A B A (-B) 三角形法则
B
C
A
B
三、矢量合成的解析法（矢量投影 ，代数运算，问题简化）
矢量的正交分解（坐标表示）
rr r i, j, k 表示x、y、z正方向的单位矢量。
rr r i j k
rrr rr r jk i ki j r
zk
rr
rr
i j : 大小： i j sin 900 1
r
z 方向：
o
jy
rr r i j k
xr i
1.矢量的导数
五、矢量的导数和积分
ur ur r ur r ur r A Axi Ay j Az k
矢量简介
i i j j k k 1 i j j k k i 0
②分量式表示点积
C AB
(Axi Ay j Azk ) (Bxi By j Bzk )
Ax Bx Ay By Az Bz BA
2.叉乘：矢积
C AB
大小：C ABsin
方向：垂直于 A 和 B 组成的
平面，满足右手螺旋法则--
由 A 经由小于180°转向B 时
大拇指伸直时所指的方向。
B
B sin
A
i i 0, j j 0, k k 0
i j k, jk i,k i j
C AB
(Axi Ay j Azk )(Bxi By j Bzk )
(AyBz Az By )i (AzBx AxBz ) j (AxBy AyBx )k
Ax
Bx
i
Ay By j B A
Az
Bz
k
即：叉乘不满足交换律。
六、矢量函数的求导和积分
A(t) Axi Ay j Azk
dA dAx i dAy j dAz k dt dt dt dt
大小: C m A
方向：m>0 与 A 同向；
m<0，与 A 反向。
五、矢量运算的点乘与叉乘
1.点乘：标积
B
C AB
Acos
B cos
ABcos
①点乘的结果为标量（如力 A 与位移点乘得功）
i i j j k k 1
i j j k k i 0
d2A dt 2
物理中常见的矢量和标量
物理中常见的矢量和标量1.引言1.1 概述矢量和标量是物理学中常见的概念。
在物理学中，我们经常需要描述和测量物体的某些特性或属性，而这些特性或属性可以被分为两类：矢量和标量。
矢量是有大小和方向的量。
它们可以用箭头表示，箭头的长度表示量的大小，箭头的方向表示量的方向。
例如，速度、力、位移和加速度等都是矢量量，它们除了有大小之外还有方向。
与此相反，标量是只有大小而没有方向的量。
标量只有数值大小，没有箭头来表示方向。
例如，时间、质量、温度和能量等都是标量量，它们只有一个数值大小而没有具体的方向。
矢量和标量在物理学中有着广泛的应用。
在运动学中，我们可以使用矢量来描述物体的运动状态，例如速度矢量可以告诉我们物体的速度和方向。
在力学中，矢量可以用来描述物体所受的力和力的作用方向。
在电磁学中，电场和磁场都可以用矢量来描述。
总结起来，物理学中常见的矢量和标量分别指的是有大小和方向的量以及只有大小而没有方向的量。
它们在描述和测量物理现象中起着关键的作用。
在接下来的文章中，我们将详细讨论矢量和标量的定义、特点以及它们在物理学中的应用。
文章结构部分的内容可以如下编写：1.2 文章结构本文将按照以下结构来介绍物理中常见的矢量和标量：第二部分将详细介绍矢量的定义和特点。
我们将从矢量的基本概念开始，解释什么是矢量以及它们的特点。
我们将探讨矢量的大小和方向，以及如何表示和运算矢量。
接着，第二部分将转向标量的定义和特点。
我们将解释什么是标量以及它们与矢量的区别。
我们将讨论标量的大小但没有方向的特点，并介绍一些常见的标量物理量。
第三部分将探讨矢量和标量在物理中的应用。
我们将以实际的例子来说明矢量和标量在物理学中的重要性和用途。
我们将讨论矢量和标量在运动学、力学和其他物理学领域中的应用，并解释它们如何帮助我们理解和描述物理现象。
最后，我们将在第三部分总结本文的主要内容和观点。
我们将强调矢量和标量在物理学中的作用，以及它们在解决物理问题时的重要性。
矢量标量
x
( t )d t i
B
y
(t )d t j
B
z
( t )d t k
i
o
j
y
i j k
五、矢量的导数和积分 1.矢量的导数
A Axi Ay j Azk
d Ax dt d Ay dt d Az dt
可以证明
dA dt
i
j
k
2.矢量的积分
若
B ( t ) B x ( t ) i B y (t ) j B z ( t ) k
则
B ( t )d t B
A
j O
γβ i来自αcos2
cos
2
cos
2
1
k
Az
Ax
x
z
四、矢量的乘法
物理中学常遇到两个矢量相乘的问题。
W F cos s
1．矢量的标积
定义：两个矢量相乘得到一个标量的乘法叫标积（点积）
A B AB cos
2．矢量的矢积
定义：两矢量相乘得到矢量的乘法叫矢积（叉积）
已知：A
A
C
、B ，求 A B
O
B
利用平行四边形法则解 ①平移使起点重合 ②作平行四边形 ③从交点0作对角线就是合矢量
2．矢量的减法
A B A (- B )
B
C A B
A
B
三角形法则
三、矢量合成的解析法（矢量投影 ，代数运算，问题简化）
一、矢量和标量
1．标量：只有大小和正负无方向的量 运算法则：代数法则 2．矢量：既有大小又有方向的量
矢量和标量标量和矢量的区别和运算法则
矢量和标量标量和矢量的区别和运算法则矢量和标量是物理学中常见的两个概念，它们在运算法则和性质上有着明显的区别。
本文将从定义、区别和运算法则三个方面详细讨论矢量和标量的特点。
一、定义矢量是具有大小和方向的物理量，如速度、力、位移等。
通常用箭头来表示，箭头的长度表示大小，箭头的方向表示方向。
例如，一个速度为10 m/s向东的矢量可以表示为10 m/s➞。
矢量在运算中保留了大小和方向的信息。
标量是只有大小而没有方向的物理量，如质量、时间、温度等。
标量可以用一个数值来表示，没有箭头或其他符号。
例如，一个质量为5 kg的标量可以简单表示为5 kg。
标量在运算中只关注大小，不考虑方向。
二、区别1. 大小和方向：矢量有大小和方向，标量只有大小。
例如，一个力的矢量可以表示为10 N向上，而标量只能表示为10 N。
2. 符号表示：矢量通常用箭头表示，标量直接用数值表示。
3. 运算法则：矢量有特定的运算法则，如矢量的加法、减法、数量积和向量积等。
而标量的运算法则和普通数学运算相同，只是考虑了单位的换算。
4. 变换规律：矢量在空间中保持不变，具有平移、旋转和镜像等变换规律。
而标量在空间中的变换规律与具体物理量无关。
三、运算法则1. 矢量的加法：根据平行四边形法则，两个矢量相加的结果是以它们为邻边构成的平行四边形的对角线。
例如，矢量a➞和矢量b➞相加的结果为矢量c➞，即a➞ + b➞ = c➞。
2. 矢量的减法：矢量的减法可以理解为加上它的负矢量，即a➞ -b➞ = a➞ + (-b➞)。
3. 数量积：数量积又称点积，表示两个矢量的数量上的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。
数量积的结果是一个标量。
例如，矢量a➞和矢量b➞的数量积为a➞·b➞ = |a➞| |b➞| cosθ，其中θ为两个矢量夹角的大小。
4. 向量积：向量积又称叉积，表示两个矢量的数量上的乘积与它们夹角的正弦值的乘积，并且结果是一个新的矢量，垂直于原来两个矢量所在的平面。
高中物理矢量和标量的总结
高中物理矢量和标量的总结
矢量
1. 定义：矢量是在方向和大小上都有特定确定的量。
是向量的抽象，它描述了物体在某一方向上的变化或者运动的特性。
2. 特点：（1）方向性：方向就是指位置、运动和力的变化情况。
一般说，矢量包含的都是某一方向的变化或运动，如速度、加速度、原力等。
（2）大小有限性：矢量它有一个明确的量值，即它的大小。
它的数值一定是某一方向上物体变化或运动的实际量值，如速度、加速度等。
（3）单位性：矢量都有特定的单位系统来表示，这里涉及到的常用单位有米、千米、公里、米每秒等。
3. 例子：矢量可以作为表示气体运动特性，或表示位置、速度等等。
还有某一物体在特定方向上施加力的大小也可以用矢量表示。
标量
1. 定义：标量是指在特定方向上的一种特定的物理量，不论它有多少方向上的变化，它的数值并不会改变。
2. 特点：（1）无方向性：它不仅表示某一方向上的变化，而且表示所有方向上的变化情况。
（2）大小无限性：标量的数值不会随着位置、运动和力的变化而变化，因此它的范围是无限的。
（3）单位无关性：标量可以用任何单位表示，它所表示的数值不随着单位变化而改变。
3. 例子：标量可以作为表示物体和空间的距离，可以用来表示物体的体积、质量等等。
它也可以表示时间的长短，如秒、分、小时等。
矢量和标量的定义
矢量和标量的定义
矢量和标量是一种常见的物理量，它们在物理学中占据了很重要的地位。
本文将对这两者进行详细阐述，包括定义、特性及应用。
矢量和标量是物理量的两类基本概念，它们的本质不同。
矢量是带有方向的量，它可以描述位置、速度、加速度等物理量。
矢量的大小取决于它的方向和强度，可以用箭头来表示，其中箭头的长度代表着矢量的大小，而箭头的方向则表示矢量的方向。
例如，风向可以用矢量来表示，风的大小用箭头的长度来表示，而风的方向用箭头的方向来表示。
标量是没有方向的量，它可以描述物质的体积、质量、温度、能量等物理量。
标量没有方向，只有大小，所以它不能用箭头来表示，而是用数字来表示。
例如，温度可以用标量来表示，用数字表示温度的大小，没有温度的方向。
矢量和标量都有一些特性，其中矢量有三个重要特性，即大小、方向和方向不变性。
大小表示矢量的强度，方向表示矢量指向的方向，而方向不变性则表示矢量在平行移动或旋转的时候，它的方向不会发生变化。
标量则有两个重要特性，即大小和变化性。
大小表示标量的强度，
而变化性则表示标量可以随着空间位置的变化而发生变化。
矢量和标量在物理学中都有着广泛的应用。
矢量可以用来描述力、速度、加速度等物理量，它们也可以用来描述电磁场。
标量则可以用来描述温度、质量、体积等物理量。
此外，矢量和标量也可以用来表示重力、热量和动能等物理量。
总之，矢量和标量是物理学中两种基本概念，它们有着明显的不同，矢量有三个重要特性，即大小、方向和方向不变性，而标量则有两个重要特性，即大小和变化性。
矢量和标量在物理学中都有着广泛的应用。
矢量和标量运算
矢量和标量运算
摘要：
一、矢量和标量的概念
1.矢量的定义
2.标量的定义
二、矢量和标量的运算
1.矢量加法
2.矢量减法
3.矢量数乘
4.标量与矢量的乘法
5.标量与矢量的除法
三、矢量和标量运算的应用
1.物理运动中的矢量和标量运算
2.工程计算中的矢量和标量运算
四、总结
1.矢量和标量运算的重要性
2.矢量和标量运算在实际生活中的应用
正文：
矢量和标量运算是在物理学和工程学等领域中经常用到的基本概念。
矢量是具有大小和方向的量，例如力、速度和加速度等，而标量只有大小，例如温度、时间和质量等。
矢量的运算包括矢量加法、矢量减法、矢量数乘等。
矢量加法是将两个矢量相加得到一个新的矢量，其大小和方向由原矢量的大小和方向决定。
矢量减法是将两个矢量相减得到一个新的矢量，其大小和方向由原矢量的大小和方向决定。
矢量数乘是将一个标量与一个矢量相乘得到一个新的矢量，其大小和方向由原矢量的大小和方向以及标量的大小决定。
标量与矢量的乘法是将一个标量与一个矢量相乘得到一个新的矢量，其大小和方向由原矢量的大小和方向以及标量的大小决定。
标量与矢量的除法是将一个标量与一个矢量相除得到一个新的矢量，其大小和方向由原矢量的大小和方向以及标量的大小决定。
矢量和标量运算在物理学和工程学等领域中有广泛的应用。
例如，在物理运动中，我们可以用矢量和标量运算来计算物体的速度、加速度和位移等。
在工程计算中，我们可以用矢量和标量运算来计算力、压力和功等。
总结起来，矢量和标量运算是在物理学和工程学等领域中非常重要的基本概念，其应用范围非常广泛。
矢量和标量的概念
矢量和标量的概念
标量亦称“无向量”。
有些物理量，只具有数值大小，而没有方向，部分有正负之分。
这些量之间的运算遵循一般的代数法则。
用通俗的说法，标量是只有大小，没有方向的量。
矢量是一种既有大小又有方向的量，又称为向量。
一般来说，在物理学中称作矢量，例如
速度、加速度、力等等就是这样的量。
标量：有些物理量，既要有数值大小（包括有关的单位），又要由方向才能完全确定。
这些量之间的运算并不遵循一般的代数法则，而遵循特殊的.运算法则。
这样的量叫做物
理矢量。
有些物理量，只具有数值大小(包括有关的单位)，而不具有方向性。
这些量之间
的运算遵循一般的代数法则。
这样的量叫做物理标量。
矢量：矢量就是数学、物理学和工程科学等多个自然科学中的基本概念，指一个同时
具备大小和方向的几何对象，因北埃尔普箭头符号标注以区别于其它量而闻名。
直观上，
矢量通常被标注为一个拎箭头的线段。
线段的长度可以则表示矢量的大小，而矢量的方向
也就是箭头所指的方向。
物理学中的加速度、速度、力、动量、磁矩、电流密度等，都就
是矢量。
与矢量概念相对的就是只有大小而没方向的标量。
在数学中，矢量也常称为向量，即有方向的量。
并采用更为抽象的矢量空间（也称为
线性空间）来定义，而定义具有物理意义上的大小和方向的向量概念则需要引进了范数和
内积的欧几里得空间。
矢量对标量微分后结果为矢量。
而标量对标量微分结果仍为标量。
高中物理量矢量标量
高中物理量矢量标量
在物理学中，物理量可分为矢量和标量。
矢量（Vector）：
1.定义：矢量是有大小和方向的量。
它们可以用箭头或向量来表示，箭头的
长度表示量的大小，箭头的方向表示量的方向。
2.例子：位移、速度、加速度、力等都是矢量量。
3.表示方法：通常用粗体字母表示，如位移用r、速度用v表示。
标量（Scalar）：
1.定义：标量是只有大小而没有方向的量。
它们可以通过一个数值来描述。
2.例子：质量、时间、温度、电荷等都是标量量。
3.表示方法：通常用普通字母表示，例如质量用m、时间用t表示。
区别：
1.方向性：矢量有方向，标量没有方向。
2.表示方法：矢量通常用箭头或向量表示，标量用单个数值表示。
3.运算：矢量在运算中需要考虑方向性，例如矢量的相加需考虑方向，而标
量的运算仅仅涉及数值的加减乘除。
在物理学中，矢量和标量的概念是非常重要的。
例如，当描述运动时，速度是一个矢量，因为它不仅有大小（即速度的大小），还有方向（即速度的方向）。
而时间则是一个标量，因为它只有数值上的大小而没有方向。
理解这些概念对于物理学、工程学和许多其他科学领域的问题建模和解决非常重要，因为矢量和标量有不同的数学性质和行为。
物理标量和矢量的区别举例
物理标量和矢量的区别举例标量只有大小没有方向，部分有正负之分，比如说质量、体积、温度、路程。
矢量既有大小又有方向,比如说力、速度、位移。
什么是标量标量亦称“无向量”。
有些物理量，只具有数值大小，而没有方向，部分有正负之分。
物理学中，标量（或作纯量）指在坐标变换下保持不变的物理量。
用通俗的说法，标量是只有大小，没有方向的量。
用通俗的说法，标量是只有大小，没有方向的量。
（以此相对，矢量既有大小，又有方向。
）物理学上常见的矢量、标量举例①矢量：力（包括力学中的力和电学中的力），力矩、线速度、角速度、位移、加速度、动量、冲量、角动量、场强等②标量：质量、密度、温度、功、功率、动能、势能、引力势能、电势能、路程、速率、体积、时间、热量、电阻等标量正负的意义什么是矢量既有大小又有方向的量。
一般来说，在物理学中称作矢量，在数学中称作向量。
在计算机中，矢量图可以无限放大永不变形。
有些物理量，既要有数值大小(包括有关的单位)，又要有方向才能完全确定。
这些量之间的运算并不遵循一般的代数法则，而遵循特别的运算法则。
比如说位移这样的物理量，这样的量叫做物理矢量。
有些物理量，只具有数值大小(包括有关的单位)，而不具有方向性。
这些量之间的运算遵循一般的代数法则。
例如温度、质量这些物理量，这样的量叫做物理标量。
矢量和标量的区分：1、概念的区分一种是在选定测量单位以后，仅需用数字表示大小的量叫标量；另一种是在选定测量单位后，除用数字表示其大小外，还需用肯定的方向才能说明性质，叫矢量。
2、运算法则区分在中学物理中，长度、质量、时间、密度、功、能量、温度、电流强度等都是标量，标量运算听从代数运算法则。
力、位移、速度、加速度、动量、冲量、电场强度、磁感应强度等都是矢量，矢量的运算要遵循平行四边形法则或三角形法则。
矢量常用带有箭头的直线段表示。
线段的长度代表矢量大小，箭头代表矢量的方向。
3、正负号区分在中学物理中，无论是矢量，还是标量，都存在正负号问题。
标量与矢量及其物理意义
标量与矢量及其物理意义
标量和矢量是数学中两个重要的概念。
在物理学中，标量和矢量都有着广泛的应用。
标量是一个只有大小而没有方向的物理量。
例如，质量、电荷、体积等都是标量。
标量通常用希腊字母“lambda”表示。
矢量是一个既有大小又有方向的物理量。
例如，速度、加速度、力等都是矢量。
矢量通常用箭头表示，箭头的指向代表矢量的方向。
矢量通常用希腊字母“omega”表示。
在物理学中，标量和矢量有着截然不同的物理意义。
标量用于描述物体的大小和数量，而矢量用于描述物体的运动和受力情况。
标量和矢量的相互转化也是物理学中经常使用的工具。
例如，在物理学中，我们可以通过将标量乘以矢量来得到矢量的大小和方向。
总之，标量和矢量是物理学中两个重要的概念，它们分别用于描述物体的大小和数量以及物体的运动和受力情况。
物理学中的矢量与标量
矢量[1]（vector quantity）和标量（scalar quantity）的定义简单的理解：“矢量和标量的定义如下：（到大学物理中会详细研究）（1）定义或解释：有些物理量，既要有数值大小(包括有关的单位)，又要有方向才能完全确定。
这些量之间的运算并不遵循一般的代数法则，而遵循特殊的运算法则。
比如说位移这样的物理量，这样的量叫做物理矢量。
有些物理量，只具有数值大小(包括有关的单位)，而不具有方向性。
这些量之间的运算遵循一般的代数法则。
例如温度、质量这些物理量，这样的量叫做物理标量。
（2）说明：①矢量之间的运算要遵循特殊的法则。
矢量加法一般可用平行四边形法则。
由平行四边形法则可推广至三角形法则、多边形法则或正交分解法等。
矢量减法是矢量加法的逆运算，一个矢量减去另一个矢量，等于加上那个矢量的负矢量。
A-B=A+(-B)。
矢量的乘法。
矢量和标量的乘积仍为矢量。
矢量和矢量的乘积，可以构成新的标量，矢量间这样的乘积叫标积；也可构成新的矢量，矢量间这样的乘积叫矢积。
例如，物理学中，功、功率等的计算是采用两个矢量的标积。
W=F·S，P=F·v，物理学中，力矩、洛伦兹力等的计算是采用两个矢量的矢积。
M=r×F，F=qv×B。
②物理定律的矢量表达跟坐标的选择无关，矢量符号为表述物理定律提供了简单明了的形式，且使这些定律的推导简单化，因此矢量是学习物理学的有用工具。
”（3）矢量有两种，一种为只有大小与方向的物理量，譬如速度，我们称之为“奇矢量”；另外一种不但有大小与方向的物理量，而且还在矢量间作用产生效果所需时间的一个量，譬如力，我们称之为“偶矢量”或“极限矢量（即时、有上限）”，因为它们在矢量间作用产生效果所需的时间是即时与光速的。
矢量的大小比较一般来说，矢量只有在同方向上才可比较大小，不同方向上的矢量一般不能比较大小。
个人的理解：矢量规律的总结，基于人们对空间广义的对称性的理解。
矢量和标量的运算法则
矢量和标量的运算法则标量遵循代数运算，矢量遵循平行四边形法则。
标量亦称“无向量”，只具有数值大小，而没有方向，部分有正负之分；标量的运算遵循一般的数法则，不遵守平行四边形法则。
矢量既有数值大小，又要由方向才能完全确定；它的运算并不遵循一般的代数法则，而遵循特殊的运算法则，比如平行四边形法则。
矢量和标量的定义（1）定义或解释：有些物理量，既要有数值大小（包括有关的单位），又要由方向才能完全确定。
这些量之间的运算并不遵循一般的代数法则，而遵循特殊的运算法则。
这样的量叫做物理矢量。
有些物理量，只具有数值大小包括有关的单位，而不具有方向性。
这些量之间的运算遵循一般的代数法则。
这样的量叫做物理标量。
（2）说明：①矢量之间的运算要遵循特殊的法则。
矢量加法一般可用平行四边形法则。
由平行四边形法则可推广至三角形法则、多边形法则或正交分解法等。
矢量减法是矢量加法的逆运算，一个矢量减去另一个矢量，等于加上那个矢量的负矢量。
A-B=A+-B。
矢量的乘法。
矢量和标量的乘积仍为矢量。
矢量和矢量的乘积，可以构成新的标量，矢量间这样的乘积叫标积；也可构成新的矢量，矢量间这样的乘积叫矢积。
这里与数学中的向量知识一致。
例如，物理学中，功、功率等的计算是采用两个矢量的标积。
W=F·S，P=F·v，物理学中，力矩、洛仑兹力等的计算是采用两个矢量的矢积。
M=r×F，F=qv×B。
②物理定律的矢量表达跟坐标的选择无关，矢量符号为表述物理定律提供了简单明了的形式，且使这些定律的推导简单化，因此矢量是学习物理学的有用工具。
感谢您的阅读，祝您生活愉快。
高中物理矢量和标量
高中物理矢量和标量
高中物理矢量和标量
一、什么是矢量
1、矢量是指有大小和方向的物理量，大小可以通过它的模量反映出来，而方向可以通过它的有向性来确定。
2、矢量有很多种形式，其中常见的包括力，速度，加速度，磁场强度，电场强度等物理量。
二、什么是标量
1、标量是指没有方向性的物理量，它只有大小，而没有方向，诸如时间，温度，长度，能量，功率等都是标量。
2、在力学中，动能，位能，势能也属于标量。
因为它们实际上也只是
一个表示物体的潜在能量的值，而没有任何方向性。
三、矢量和标量的区别
1、矢量具有方向和大小，而标量只具有大小。
2、矢量可以相互加减，而标量只能进行加减，乘除运算。
3、矢量可以使用一般化坐标来表示，而标量只能用一个实数来表示。
4、矢量可以用虚矢量和实矢量来区分，而标量只能用实数来表示。
四、高中物理中矢量和标量的用途
1、矢量在表示物理量方面具有很大的优势，物理量的大小不仅可以表示为实数，而且还可以表示为方向，基于此可以绘制出各种物理量的分布和变化。
2、标量通常用于表示物理量的大小，诸如静电势，重力势等都是没有任何方向性的物理量，只能通过它们的实数值来表示。
3、矢量和标量在高中物理学中可以用于分析物理问题，帮助学生理解物理现象，归纳总结物理规律。
物理学中常见的矢量和标量
在物理学中，矢量是带有方向和大小的量。
它们在数学上表示为带有方向的线段，并且它们的运算遵循特定的规则。
矢量的运算包括加法、减法、数乘和点积。
例
如，在二维平面中，一个矢量可以表示为(x, y) 的形式，其中x 和y 分别是横纵坐标。
在三维空间中，一个矢量可以表示为(x, y, z) 的形式，其中x、y 和z
分别是横、纵和竖坐标。
标量是不带方向的量，它们在数学上表示为单独的数字。
标量的运算包括加法、减法、乘法和除法。
在物理学中，常见的标量包括质量、长度、时间、温度和能量。
例如，在力学中，力是一个矢量，因为它具有方向和大小。
而质量是一个标量，因为它只是一个数字，没有方向。
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•结论: 两矢量点积等于对应分量的乘积之和。
b.矢量积（叉积）：
ˆc A B | A | | B | sin a
ˆc a
•含义： 两矢量叉积，结果得一新矢量，其大小为这两个矢量 组成的平行四边形的面积，方向为该面的法线方向，且三 者符合右手螺旋法则。
在直角坐标系下的矢量表示:
三个方向的单位矢量用 a ˆx , a ˆy , a ˆ z 表示。 根据矢量加法运算：
Az
z
A
o
Ax
Ay
A Ax Ay Az
其中：
y
x
ˆ x , Ay Ay a ˆ y , Az Az a ˆz Ax Ax a
所以： A Ax a ˆ x Ay a ˆ y Az a ˆz
所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。
二、矢量的运算法则
1.加法: 矢量加法是矢量的几何和,服从平行四边形规则。
B
C
C
C A B
B
A
A
a.满足交换律： A B B A b.满足结合律： ( A B) (C D) ( A C ) ( B D)
两矢量的叉积又可表示为：
ˆx a A B Ax Bx
ˆy a Ay By
ˆz a Az Bz
（3）三重积：
三个矢量相乘有以下几种形式：
( A B)C
矢量，标量与矢量相乘。
A ( B C ) 标量，标量三重积。
A ( B C ) 矢量，矢量三重积。
a. 标量三重积 法则：在矢量运算中,先算叉积,后算点积。
B
A
两矢量的点积含义： 一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积， 其结果是一标量。
推论1：满足交换律 推论2：满足分配律
A B B A
A (B C) A B A C
推论3：当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。 •在直角坐标系中，已知三个坐标轴是相互正交的，即
推论：三个非零矢量共面的条件。
A (B C) 0
A
C
B
在直角坐标系中：
ˆx a Cx
ˆy a By Cy
ˆz a Bz Cz
ˆ x Ay a ˆ y Az a ˆ z ) Bx A ( B C ) ( Ax a
Ax A ( B C ) Bx Cx Ay By Cy Az Bz Cz
y
x
方向角与方向余弦：
, ,
Ay Ax A cos , cos , cos z | A| | A| | A|
在直角坐标系中三个矢量加法运算：
ˆx ( Ay By Cy )a ˆ y ( Az Bz Cz ) a ˆz A B C ( Ax Bx Cx ) a
3.乘法： （1）标量与矢量的乘积：
ˆ kA k | A | a k 0 方向不变，大小为|k|倍 k 0 k 0 方向相反，大小为|k|倍
（2）矢量与矢量乘积分两种定义 a. 标量积（点积）：
A B | A | | B | cos
A ( B C ) | A || B || C | sin cos 定义：
h BC
A
C
含义： 标量三重积结果为三矢量构成 的平行六面体的体积 。
B
V A ( B C ) C ( A B) B (C A)
h BC
注意：先后轮换次序。
推论1：不服从交换律： A B B A,
A B B A
B A
推论2：服从分配律： A ( B C ) A B A C 推论3：不服从结合律： A ( B C ) ( A B) C 推论4：当两个非零矢量叉积为零，则这两个矢量必平行。
在直角坐标系中，两矢量的叉积运算如下：
z o x y
ˆx Ay a ˆ y Az a ˆz ) (Bx a ˆx By a ˆ y Bz a ˆz ) A B ( Ax a
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ˆ x ( Az Bx Ax Bz )a ˆ y ( Ax By Ay Bx )a ˆz ( Ay Bz Az By )a
2.减法：换成加法运算
D A B A ( B )
逆矢量： B 和 ( B ) 的模相等，方向相反，互为逆矢量。
D
B
A
A
D
B
B
C
B
A
A B C 0
推论： 任意多个矢量首尾相连组成闭合多边形，其矢量和必为零。
在直角坐标系中两矢量的减法运算：
ˆ x ( Ay By )a ˆ y ( Az Bz ) a ˆz A B ( Ax Bx ) a
ˆ x Ay a ˆ y Az a ˆz 矢量： A Ax a
z
2 z
模的计算： 单位矢量：
ˆ a
| A | A A A
2 x 2 y
Az
A
Ay Ax Az A ˆ ˆ ˆz ax ay a | A| | A| | A| | A|
o
Ax
Ay
ˆ x cos a ˆ y cos a ˆz cos a
ˆx a ˆ y 0, a ˆx a ˆ x 1, a ˆx a ˆz 0, a ˆy a ˆ y 1, a ˆy a ˆz 0 a ˆz a ˆz 1 a
有两矢量点积：
ˆx Ay a ˆ y Az a ˆz ) (Bx a ˆx By a ˆ y Bz a ˆz ) A B ( Ax a
一、矢量和标量的定义
1.标量：只有大小，没有方向的物理量。 如：温度 T、长度 L 等
2.矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。
如:力 F、速度 、电场 等 v E ˆ ˆ A A a A a A e 矢量表示为： A
其中：| A | 为矢量的模，表示该矢量的大小。
ˆ 为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为1。 a