梁坤京理论力学第十二章动量矩定理课后答案

动量矩定理

12-1 质量为m 的点在平面Oxy 内运动，其运动方程为: x a cos t y bsin2 t 式中a 、b 和 为常量。求质点对原点 O 的动量矩。 解：由运动方程对时间的一阶导数得原点的速度

V x

dx

sin t dt a

V y dy 2b cos2 t 质点对点 O 的动量矩为

L O M o (mV x ) M 0(

mV y )

mv x y mv y x m ( a sin t) bsin2 t m 2b cos2 t acos t 2mab cos 3 t 12-3 如图所示，质量为m 的偏心轮在水平面上作平面运动。 轮子轴心为A,质心为C, AC = e ；轮子半径为 R,对轴心A 的转动惯量为J A ； C 、A 、B 三点在同一铅直线上。（1 ）当轮子只 滚不滑时，若 V A 已知，求轮子的动量和对地面上 B 点的动量矩。（2）当轮子又滚又滑时， 若V A 、 已知，求轮子的动量和对地面上 B 点的动量矩。 解：（1）当轮子只滚不滑时 B 点为速度瞬心。 轮子角速度

V A R

质心C 的速度V C

BC

R e

轮子的动量

p mv C

mv A (方向水平向右)

R

对B 点动量矩L B J B

2 2 2

由于 J B J C m (R e) J A me m (R e) 故 L B J A me 2 m （R e ）2

食 （2）当轮子又滚又滑时由基点法求得 C 点速

度。

V C V A V CA V A e 轮子动量 p mv C m(v A e) （方向向右） 对B 点动量矩

L B mv C BC J C

m(v A 2

e) (R e) (J A me) mv A (R e) (J A mRe) 12-13 如图所示，有一轮子，轴的直径为 50 mm 无初速地沿倾角 20的轨道滚下，设 只滚不滑，5秒内轮心滚动的距离为 s =3m 。试求轮子对轮心的惯性半径。 解：取轮子为研究对象，轮子受力如图（ a ）所示，根据刚体平面运动微分方程有 ma C mgsi n F （ 1） J C = Fr （ 2）

因轮子只滚不滑，所以有 a c = r （ 3） ® 12

将式（3）代入式（1）、（2）消去F 得到

mr sin

m?g

上式对时间两次积分，并注意到 t = 0时 0, 0,则 mgrt 2 sin mgrt 2s in 2(J C mr 2) 2(m 2 mr 2) 把 r = 0.025 m 及 t = 5 s 时，s 'grt 2sin f gt 2sin

-

r r

「

s r 1

grt 2

sin 2( 2 r 2) r 3 m 代入上式得

0.025

9.8 52si n20

2 3

0.09 m 90 mm

12-17 图示均质杆 AB 长为I ，放在铅直平面内，杆的一端 A 靠在光滑铅直墙上，另一端 B 放在光滑的水平地板上，并与水平面成 °角。此后，令杆由静止状态倒下。求（1）杆在任 意位置时的角加速度和角速度； （2）当杆脱离墙时，此杆与水平面所夹的角。 解：（1）取均质杆为研究对象，受力分析及建立坐标系 Oxy 如图（a ），杆AB 作平面运动,

质心在C 点。 mx c F NA (1)

my c F NB mg ⑵

J c

匚l 匚l • F NB 2cos F N A 2 sin

(3)

由于 1 l . X c cos , y c sin 2 2

将其对间 t 求两次导数，且注意到 J ?

刚体平面运动微分方程为 得到

y c

-(sin 2

-(cos 2

2

cos ) 2

sin )

将式 再将 J c

(4 )、( 5)代入式 F NA ， F N B 的表达式代入

式

ml 2 （ 4 ml 2

(1 )、(2)中，得

ml

NA —( sin

ml

N B ~2~ ( cos

3)中，得

(4) (5)

2

cos

2 .

sin cos mgl 2

4 l 2

代入上式得

12 d dt

分离变量并积分得

)mg

2・

sin )cos mgl cos

2

止(sin

4

cos

塑cos

2I

H 12 17 [?]

2

cos )sin

{^(sin o sin )

(2)当杆脱离墙时F NA = 0 ,设此时 1

则 F NA

ml

( sin 1 2

cos 1) 0 2

2

将和表达式代入上式解得

sin 1

—sin 0 3

2

1 arcsin(-sin 0)

3

12-19 均质实心圆柱体 A 和薄铁环B 的质量均为 m 半径都等于r ,两者用杆 AB 铰接，无 滑动地沿斜面滚下，斜面与水平面的夹角为 ，如图所示如杆的质量忽略不计，求杆 AB 的

（2）若在圆柱体 A 上作用一逆时针转向，矩为 M 的力偶，试问在什么条件下圆柱体 B 的质

a ）、（

b ）所示，A 和B 均作平 面运动，杆AB 作平动，由题意知

A

B

,a A a B

a, F T

F T

。

对圆柱A 有

ma mgsi n F T F 1

(1) Rr J A

(2)

对薄铁环B 有

ma T mgsi n

F 2

⑶

F 2r J B

(4)

滚不滑条件得到的 a = r 代入，解得

(4)，并将 J A m

r 2

, J

2 1 . F T F T

mg sin 2

mr , F T F T ，以及根据只

4

(压力)及 a gsin

7

12-21 图示均质圆柱体的质量为 m 半径为r ，放在倾角为60的斜面上。一细绳缠绕在圆 柱体上，其一端固定于点 A ，此绳与A 相连部分与斜面平行。若圆柱体与斜面间的摩擦系数

1

为f

，试求其中心沿斜面落下的加速度

as

3

解：取均质圆柱为研究对象，其受力如图（ a ）所示，圆柱作平面

运动，则其平面运动微分方程为

J （F T F ）r （1） 0 F N mgcos60

（2）

ma C mgs in 60 F T F （3）

而

F = fF N

（ 4）

圆柱沿斜面向下滑动，可看作沿AD 绳向下滚动，且只滚不滑, 所以有 a c = r

1

把上式及f —代入式（3）、（4）解方程（1）至（4），得

3

a =

（方向沿斜面向下）

12-23 均质圆柱体 A 和B 的质量均为 m 半径为r ，一绳缠在绕固定轴 O 转动的圆柱A 上, 绳的另一端绕在圆柱 B 上，如图所示。摩擦不计。求: （1）圆柱体B 下落时质心的加速度; 加速度和杆的内力。 解：分别取圆柱 A 和薄铁环B 为研究对象，其受力分析如图（ 联立求解式（ 1）、 （2）、 （3）、

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