现代精算风险理论第4章_破产理论

合集下载

精算数学

（1）保费设定；）保费设定；（2）准备金评估；）准备金评估；（3）再保险形式的选择及自留额的确定问）题；（4）资产负债与偿付能力管理问题。）资产负债与偿付能力管理问题。
因为不同的人对同一潜在后果有不同的风险态度，态度，即使是同一个人在不同的时候对同一个风险亦有不同的认识，个风险亦有不同的认识，当然价值判断也就不同，折射到保险学方面，不同，折射到保险学方面，就会有不同保额的产生或者保单的不同设计条款。的产生或者保单的不同设计条款。
例如，有两个决策者，其中一个是概率论高手，例如，有两个决策者，其中一个是概率论高手A，一个是做梦都想发财的B，两个人手里都有10元钱元钱，是做梦都想发财的，两个人手里都有元钱，目标是通过购买彩票或不够买彩票这两种可能的决策方案来获得最大的收益，结果A的决策是不作为的决策是不作为，却选择了购买。大的收益，结果的决策是不作为，而B却选择了购买。面却选择了购买临着同样的风险，A和B的风险态度便有了区别。临着同样的风险，和的风险态度便有了区别。的风险态度便有了区别
对于后面的两个问题，对于后面的两个问题，构造一个决策问题示意图来说明。一个决策问题示意图来说明。假如有n个决策个决策DM1，假如有个决策 DM2，……，DM n为了达，到某个决策目标O而提出一到某个决策目标而提出一系列被选方案f, 系列被选方案 g,……,h,要要在其中选择一个最优秀或最满意的方案. 满意的方案
表1中的每一项都可能形成风险，譬中的每一项都可能形成风险，中的每一项都可能形成风险保险收入”如不稳定，如“保险收入”如不稳定，假设出现大量的退保现象，现大量的退保现象，则会形成保费收入现金流动风险。税务” 收入现金流动风险。“税务”一栏也会形成风险，也会形成风险，假设法律法规更改突然规定税率的提高，突然规定税率的提高，则会形成税金准备不足风险等等。金准备不足风险等等。

风险理论第1章效用理论与保险

实
布
概微
务
、
率积
风
论分
、、
02
Ⅰ
01
试准科第一章效用理论与保险 2 第二章个体风险模型 3 第三章聚合风险模型 4 第四章破产理论 5 第五章保费原理
本章主要内容本章从效用理论出发，研究风险决策的基本原
理以及在第保费一设章计中效的应用用理，并论分析与了保不同风险险态度的决策人的风险决策结果，最后应用期望效
上述不等式意味着保险人选用的效益函数是个凸函数。
如果上面的不等号成立，那么他的期望效用将会提高。如果用 P 表示保险人要求的最小保费，可从反映保险人
状况的效用均衡方程中解出：
如果U (x)是一个非减的连续函数，则有 P P 。
如果 P P，那么达成交易会同时增加被保险人与
保险人双方的期望效用。
相同的决策，即
等价于
效用函数的确定
人们在做某个决策时，不自觉地使用这效益函数，因此效用函数是客观存在的，但却很难给出一个明确的解析式。
可以向决策人提出大量的问题，通过他们对这些问题的回答来决定该决策人的效用函数。
如“为了避免以概率q损失1个单位货币，你愿意支付多少保费P？”
例 1.2.2（偏好风险与厌恶风险）假设一个拥有资
如果上面的不等号成立，意味着他的期望效用将会提高。
如果用 P 代表被保险人愿意支付的最大保费，它是以下效用均衡方程的解
E u w X u W P ，（1.10）
由于 u 是一个非减的连续函数，则有 P P 。
设保险人的效用函数为U ，原始本金为 W。
如费果P 承E 保U（损W失2）XP 。保X 险 U人W 方，那面么保：险人将以保

现代精算风险理论第1章_效用理论与保险2007

可以证明（见习题 1.4
第
3
题）
d
E
X
X
d
以
及 2 d Var X X d 是 d 的连续函数．注意
0 2 0 0, EX 和 2 VarX .
有重大的决策时，决策者往往在风险厌恶者。被保险人是风险厌恶者。风险厌恶者的效用函数的特点：
1．边际效用递减u'(x) 0 ； 2．凹函数 u''(x) 0 。
定理1.2.3 ( Jensen 不等式）如果是一个凸函数，Y 是一个随机变量，则
其中等号成立当且仅当在Y 的支撑集上是线性的或 Var (Y)=0，由此不等式可以得到，对于一个凹的效用函数，有
下的游戏．抛掷一枚均匀的硬币，直到出现正面为
止．如果投掷 n 次才首次出现正面，则游戏的参与者
就可以获得2n 元．因此，从该游戏中获得的期望收益
是
n1
2n
1 2
n
．然而，除非
P
很小，否则很少有人会
参加这样的游戏，这就意味着人们并不仅仅看到期望
收益．
在经济学中，由冯· 诺伊曼（von Neumann）和
厌恶风险
例：我们有这样的二种选择： A：0.1%的失去得到10000元钱，99.9%
的机会不损失。
B：100%的机会夫去20元。选择A？或B？
1.2 期望效用模型
假设一个个体面临损失额为B ，发生概率0.01 的风险，他可以将损失进行投保，并愿意为这份保单支付保费P，B 和P之间有何种关系？
对于这样的决策，效用函数u 应该具有怎样的形式？
选择 w=0．假设u 0 0 和u 1 1 ．
当b = 1 时，他选择A； u( 1) 1 [u(0) u(1)]

应用随机过程4.4 Lundberg-Cramer 破产论

rX rx 0 0
至少在某个包含原点的邻域内存在； c 其次，方程 M X (r) 1 r ()存在正解.

注： (1) 有上述假设知，所谓“小索赔”就是其矩母函数再原点附近存在.
( ２ ) 由于M X (r )是严格增加的凸函数，故()如果有正根，则必唯一，记作R，称为调节系数.
另外，此模型必须满足三个基本假设：
记F (x),分别是X1的分布函数和期望； {N(t)，t 0}是参数为 ( 0)的Poisson过程，且与{X k，k 1}相互独立.
假设1 ． {X k，k 1}是一列恒正的独立同分布的随机变量，
由假设1中的独立性知，索赔总额的期望
E[S(t)]=E[N(t)] EX1 t.
推广：
如果放宽对X1的要求，允许它服从别的分布G，则称由 X1，X 2，X 3，...确定的计数过程是延迟更新过程.
N(t)
这里的u是保险公司的初始资本， c是保费收入率(即，表示第k次公司单位时间收取的保险费)，Xk，k 1 索赔额，N(t)表示到时刻t所发生的索赔次数.
从而，S(t) k 1 X k 表示时刻t之前保险公司的索赔总
N(t)
额(aggregate claims).
上述模型就是L-C经典破产模型.
4.3 Lundberg-Cramer 破产理论
本节是更新理论的应用，就是利用更新理论来估计保险公司的破产概率；首先介绍Lundberg-Cramer 经典破产模型，接着依据更新理论得到相应的结论.
一、
Lundberg-Cramer经plus）表示为：
U(t) u+ct k 1 X k， t 0,

小索赔: 额度很小的索赔 (light-tailed claim)；大索赔：额度很大的索赔 (heavy-tailed claim).

经典风险理论破产概率的统一表述

经典风险理论破产概率的统一表述摘要本文主要的研究经典风险模型中有限时间内破产概率的统一表达式;N M)N Jt)引入并讨论风险模型其中'⑴与乂(/)不独立分本文共四章。

第一章主要介绍了风险理论的背景和发展脉络。

第二章介绍经典风险模型的主要研究成果，介绍了索赔量的分布以及在重尾分布情形下的破产概率的研究现状_简述了本文研究的主要问题。

第三章给出了经典风险模型有限时间内破产概率的统一表达式•第四章引入如下风险模型：U(t)^u-^X Xi-L Y j，其中分别表示保险公司保费收入与索赔M户1的次数，x t t巧分别表示每次保费收入与索赔量，{%(/):/之0}是强度为;I 的Poisson过程，给定/2 0，A T2(0是取自于y(r)的二项分布随机变量，即假定当时，乂(/) D B(k，P)，其中/;是发生索赔的概率•假设 X l9X2t^X n M a d的，也是i_i.d , Y t □F(y),且认1，义2广々与{«，•••}相互独立，l-F(y)^F{y)GRp^S f在以上的假设条件下，本文讨论了模型的简单性质。

关键词：经典风险模型；Poisson；破产概率；过程重尾分布；正规变化函数作者：马树建指导老师：王晓谦（副教授）The Unity Expression of Ruin ProbabilitiesIn the Classical Risk TheoryAbstractIn this dissertation we mainly study the following contents.We obtain the unity expression of ruin probability in the finite time for the the classical risk th e o ry* w e alsostudy the model £/(/) = 2, ^ - ^»where N^t) is dependent with N2(t)•This dissertation includes four chapters. First, we introduce the development of the risk theory. A brief review of the theory of ruin, the main questions and the results disscued in the paper are given in the second chapter. In the third ,we mainly give the unity expression of ruin probability in the finite time for the classical risk theoty* In the last chapter w e study a kind of ruin probabilities with heavy tail-For the model M) 妙*- 1Y t §where '⑴stands for the number of premium rate and J V2(?) stands for the claim number until time t Nx(t)is dependent with N2(t) .In this paper,we assum e the following: {Nx(t);/ > 0}is a Poisson process with intensity 又,J V2(0 □B(k9p)s X vX23- Xn and Y vY2,^Y n are U.d，{Xt>X2f^}is dependent with {《,匕…}, F(y) e ' .we discuss the simple nature of this model.Keywords: Classical risk model; Poisson; Ruin probabilities; Heavy tail process;Regular variation functionWritten by Ma ShujianSupervised by Prof W ang Xiaoqian第一早刖吕在人类社会发展历史上，人们无时无刻不在和不同的风险、不确定性现象以及它们所带来的后果进行长时间的斗争。

具有随机投资收益的风险模型下若干破产问题的研究

具有随机投资收益的风险模型下若干破产问题的研究【摘要】：风险理论是保险精算学的核心研究内容之一,它通过研究保险业中的随机模型来处理与精算相关的一些问题,因此模型的选取在风险理论的研究中起到非常核心的作用。

关于风险模型的早期研究可以上溯到Lundberg[59]的结果,他的工作奠定了风险理沦的基础。

时至近日,已经有大量的论文和专著对Lundberg[59]的工作做了各种形式的推广和深入研究。

其中一个方面是就是模型的推广,如研究更新风险模型、带扰动的经典风险模型、离散风险模型、复合资产的破产论以及精算与金融的交叉研究等。

另外一个方面是控制理论和风险理论研究的结合,如讨论随机控制理论在投资、再保险、红利分配、新险种开发、费率厘定等领域的应用,详情可参考Hipp[42]的综述。

本文研究在一类具有随机投资收益的风险模型下的破产问题以及与破产问题有关的一些最优控制问题,主要讨论了两大类情形:连续时间的风险模型和离散时间的风险模型。

全文分为三大部分,共七章,其中第一章为前言,介绍了一些与本文有关的基本知识和本文的主要工作结果。

第一部分(第二章、第三章)讨论的是具有随机投资收益的连续时间风险模型。

第二章讨论的是具有随机投资收益的随机保费模型,假定公司的保费收入是一随机过程,而风险市场的资本价格过程为指数Lévy过程。

同已有的关于具有随机投资收益的风险模型的研究相比,本文考虑的是保费为随机的情况,并且通过离散化的方法得到上述模型的骨架过程,由此得到了破产概率的显式表达式。

此外,在这种模型下我们还讨论了破产理论中的一些经典研究内容,如破产概率的上下界估计等。

在投资回报过程的几何布朗运动等特殊情形下我们得到了破产概率所满足的积分微分方程并给出了一些例子来说明这些方程的用处。

第三章我们考虑了两种情况,第一种是带扰动的随机保费模型下的破产问题,这部分工作是Paulsen[68]的推广。

我们假定保费收入过程不仅仅是时间的线性函数,而且有额外的随机保费收益。

现代精算风险理论第3章聚合风险模型

E[etX ] exp( et 1)
P(N

k)

r
k k
1 pr
(1
p)k
,
E[etX
]

1
p (1
p)et
r
E[ X
]

r (1 p
p)
,Var[ X
]

r (1 p2
p)
,
例 3.3. l（泊松分布，参数的不确定性）设某个汽车驾驶员
3.1 引言
本章我们要引入聚合风险模型.同第2章那样，我们要计算在某个时间段内理赔总额的分布函数，但是现在要把风险组合理解为在随机时间点上产生的理赔全体. 记
其中N 表示理赔次数， X i 表示第i个理赔额．此外，按习惯约定当N = 0 时S = 0.
这样的模型称为聚合风险模型！
• 在聚合模型中我们要求理赔次数和理赔额之间相互独立，即（N与X1， X2，… Xn）
例3.4.3（应用：稀疏向量算法）如果理赔额X 是
非负整值随机变量，可以用一种有效的方式来计
算复合泊松分布F．
设

4
,
Pr X
1, 2,3
1,1,1. 424
S 1N1 2N2 3N3
采用卷积来计算S 的分布。
1

4
1 4
1, 2

4 1 2

2, 3

故S是一个复合泊松随机变量.
(1)m个独立复合泊松保单组合的总和仍然服从复合泊松分布. (2)对同一个复合泊松保单观测m年且假设逐年的结果相互独立，则m年结果的总和也仍然服从复合泊松分布．
当每一个Si 有非随机的理赔额xi 时，我们有Si xi Ni ，

财政金融-寿险中的破产理论及应用

文章编号!"##$%"&’’($##$)#&%##"$%#&寿险中的破产理论及应用*高建伟+邱菀华(北京航空航天大学管理学院+北京"###,-)摘要!本文研究了求解寿险中破产概率的简洁方法+得到寿险破产模型+设计了求解寿险中的破产概率的一种算法+并得到寿险破产概率的一个上界.关键词!寿险/破产概率/准备金中图分类号!0$"$/1,2文献标识码!3"引言在我国保险公司的运作中+保费收入是主要收入来源+理陪是主要风险因素+为了保障保险公司的正常运作+保险公司必须充分考虑所面临的风险+而破产理论的研究主要针对保险公司如何估计所面临的风险+它主要研究在较长时间上保险公司发生盈余或破产的概率+以前我们所研究的破产理论主要是针对非寿险进行研究+并且主要考虑在理赔次数4(5)为泊松过程+理赔额6(5)为复合泊松过程情况下的盈余过程+在非寿险研究中得到一个789:;<=>不等式+这个破产概率上界为保险公司的风险分析提供了有力工具.本文利用(文献?"@)风险理论+考虑在寿险中破产理论的研究+得到寿险破产模型+设计了求解寿险中的破产概率的一种算法+并得到寿险破产概率的一个上界.$单一年龄结构下的破产模型设寿险中+刚投保时(5A#时刻)+年龄均为B 的被保险人有9"个+每个被保险人的死亡概率遵循相同的生命表+初始准备金为C "+并且设9D!第D 年年初时的被保险人数E!被保险人每年所交的保险费:D!第D 年内(D +D F")被保险人死亡的人数(")G B!被保险人在(B +B F")死亡的人数的概率;!每个被保险人死亡时+保险人要支付的保险金由此假定我们知!5A#时刻被保险人的总数9"+9D A 9D F "F :D 定义H 对任意5I#+设E I#为单位时间内的保费收入率+J (5)为到时刻5保险公司支付的理赔总额+8(#)A 8为时刻#时的初始准备金+则8(5)A 8F E 5K J (5)($)$"称为时刻!时的盈余由"#$可见%这里的盈余并没有考虑除了保费和理赔以外的影响盈余的因素&如附加费和保单持有人的分红等&显然&这种盈余并不是财务意义上的盈余&只是为了数学上处理方便而已’当盈余在某一时刻为负时&我们称(破产)发生&既然此处盈余并不是财务意义上的盈余&则此时破产就不等价于保险公司真的破产&但破产是衡量保险公司金融风险的极其重要的尺度*我们仅定义时间不连续时的破产概率定义+称,-".&/$0123."-$4563."7$85&对某7&709&#&’-:9;&为给定<&=时&第!年首次出现破产的概率*设<>表示第>年年初的准备金&且此时尚未收取第>年的保险费&?>表示第>年年末的准备金&且此时尚未支付第>年年末的保险金&@是常数利率&则?>0"<>A />B $"9A @$<>A 90?>:C D >定理E 寿险中&设初始准备金为<9&!05时刻被保险人的总数/9&且&F &G H&C 满足"9$的假设条件&则保险人在第!年末的破产概率,!"<9&=9$0I >JK 9L >=9G >H "9:G H $=9:>A I K 9>05L >=9G >H "9:G H $=9:>M !:9"<#&=9:>$其中K 90"<9A=9F $"9A@$C&<#0"<9A =9F $"9A @$:>C &证明%被保险人在第一年末&可能发生死亡也可能不发生死亡&当死亡时&保险人由于支付保险金&可能导致破产发生&也可能不发生破产&我们考虑临界状态%既第9年年初所收保费与初始准备金之和等于第一年年末支付的保险金*N D 90".9A /9B $"9A O $&即D 90".9A/9B $"9AO $N对给定的=9&在第9年内死亡人数的概率分布服从参数为"=9&G H$的二项分布&由此我们推得%第9年末破产的概率,9"<9&=9$0I >JK 9L >=9G >H "9:G H $=9:>第9年末没发生破产时&则第9年末的准备金%<#0"<9A =9F $"9A @$:>C &">05&9&’K 9$显然=>给定时=>A 9服从参数为"=>&G H A>$的二项分布&由此我们得&保险人在第!年末发生破产的概率为%,!"<9&=9$0I >JK 9L >=9G >H "9:G H $=9:>A I K 9>05L >=9G >H "9:G H $=9:>,!:9"<#&=9:>$其中K 90"<9A=9F $"9A@$C&<#0"<9A =9F $"9A @$:>C &注%定理9给出求解破产概率的公式&实际上我们可以利用迭代法求解保险期内任意年的破产概率*实际上&寿险保险人数相当大&而且被保险人死亡的概率非常小&存活过保险期的人数也相当大*我们知道二项分布中当=9充分大&G H 充分小时&由概率论中泊松定理知&泊松分布可更好逼近二项分布&记P 90=9G H &由泊松定理及定理9可得%推论9寿险中&设初始准备金为<9&!05时刻被保险人的总数/9&且F &K >&G H &C 满足"9$的假设条件&则保险人在第!年末的破产概率KS9寿险中的破产理论及应用其中!"#$%"&’"()$"&*)+,%-#%"&’"($"&*)./+0不同年龄结构下的破产模型为便于研究,对寿险中的被保险人进行分组,不妨设,刚投保时$1#2时刻),年龄为3$4)的被保险人有’"$4)个,共分成5组$这5组相互独立,且每个被保险人的死亡概率遵循相同的生命表),初始准备金为%",并且设’/$4)表示第/年年初时的第4组的被保险人数($4)表示第4组的被保险人每年所交的保险费$0)!/$4)表示第/年内$/,/&")第4组保险人死亡的人数63$4)表示第4组被保险人在$3,3&")死亡的人数的概率+表示每个被保险人死亡时保险人要支付的保险金由此假定我们知78#9:;#"<"$;),’/$4)#’/&"$4)&!/$4),=/#$%/&9:;#"</$;)>$;))$"&*),%/&"#=/.+9:;#"?/$;)利用向量表示法,令@AB#$’/$"),’/$-),C ’/$5)),D #$($"),E $-),C ($5))F,@A "D #9:;#"<"$;)>$;)G B #$!/$"),!/$-),C,!/$5))F,H A#$+,+,C,+),H AG "#+9:;#"?"$;)类似定理"和推论"的证明,我们可计算多年龄结构下的破产概率I "$J ",K )#L $$J "&K M "N )$"&O )P Q MR ")及S T $J ",K )U 理论上,当’"$4),$4#",C 5)充分大时,如果’"$4)63$4)充分小时,由概率论中泊松定理知,泊松分布可更好逼近二项分布记V "$;)#<"W 3$;)推论-寿险中,设初始准备金为%"#9:;#"J ;,1#2时刻被保险人的总数8#9:;#"<"$;),且’/$4),($4),!/$4),63$4),+满足$0)的假设条件,则保险人在第1年末的破产概率I 1$%",8)#954#"9/X!"$4)E/’"$4)6/3$4)$".63$4))’"$4)./&954#"9!"$4)/#2E /’"$4)6/3$4)$".63$4))’"$4)./I 1."$%-,8.Y)其中?"$;)#$J ;&<"$;)>$;))$"&O )Z,?[#9:;#"?"$;),J -#$J "&9:;#"<"$;)>$;))$"&O ).\Z ,$Y #2,",C,![)推论0寿险中,设初始准备金为%"#9:;#"J ;,1#2时刻被保险人的总数8#9:;#"<"$;),且’/$4),($4),!/$4),63$4),+满足$0)的假设条件,则保险人在第1年末的破产概率I 1$%",8)#954#"9/X!"$4)].^"$4)^/"$4)/_&954#"9!"$4)/#2].^"$4)^/"$4)/_I 1."$%-,8.Y )‘"!破产概率上界在非寿险破产理论研究中"人们得到破产概率的上界"即#$%&’()*不等式"本文证明了在寿险破产理论研究中"破产概率的上界仍然满足#$%&’()*不等式+考虑,-./0,102.34/56782,-./0902.3:2.37;<367=02.3=02.344>/02!3函解如数4>I ,NO /0,4P&02O 3(7@22$0R ,N O /0%02O 3S 2O 3320RT 37#’3(7Q 02O 3Q 402O 34>I,NO /0,%02O 34/5(7@22$0R ,N O /0%02O 3S 2O 3320RT 37#’3(7Q 02O 3Q 402O 34>I,NO /0,%02O 34/5(7@22$0R ,N O /0%02O 3S 2O 337#’3(7Q 02O 3Q 402O 34>I (7@$0,NO /0,%02O 34/5(7@2,NO /0%02O 3S 2O 337#’3(7Q 02O 3Q 402O 34>/(7@$0由此证得"当K /0时成立+设K P0时不等式成立"考虑K R0时G K R 02$0"E 3/,NO /0,%02O 34P&02O 3(7Q 02O 3Q 402O 34>R ,NO /0,&02O 34/5(7Q 02O 3Q 402O 34>G K 702$L"E 7#3I ,NO /0,%02O 34P&02O 3(7Q 02O 3Q 402O 34>R ,NO /0,&02O 34/5(7@22$0R ,NO /0%02O 3S 2O 3320RT 37#’3(7Q 02O 3Q 402O 34>I ,NO /0,%02O 34/5(7@22$0R ,NO /0%02O 3S 2O 3320RT 37#’3(7Q 02O 3Q 402O 34>I ,NO /0,%02O 34/5(7@22$0R ,NO /0%02O 3S 2O 337#’3(7Q 02O 3Q 402O 34>I (7@$0,NO /0,%02O 34/5(7@2,NO /0%02O 3S 2O 337#’3(7Q 02O 3Q 402O 34>/(7@$0由定理L 我们看到当初始准备金$增大2减小3时"破产概率上界减少2增大3"即破产概率相应减小2增大3"$趋于无穷时"破产概率为5+U 算例设对于保险期限为05年期的定期保险"有两组被保险人"当K /5时"第一组被保险人数U0寿险中的破产理论及应用元人民币保险金!利率"#$%$&!死亡率遵循’()附录的生命表!由推论(和定理(可得*初始准备金为一万元人民币时!破产概率上界#$%&+,--./$0/!/1$2#$%$$/$3(初始准备金为$时!破产概率上界#/由此我们看到初始准备金增加时!破产概率减小!破产概率上界减小4./$0$!/1$2#$%$$+/(5+结论本文对寿险中破产理论进行研究!给出了寿险中求解破产概率的一种算法!这种算法对于求解非寿险的破产概率仍然成立!并得到具有与非寿险破产概率相同的上界4这对促进寿险和非寿险风险理论研究的统一!具有抛砖引玉的作用4但在考虑影响保险公司盈余的附加费和保单持有人分红等因素在破产理论中的研究仍需进一步探讨4’参考文献)’/)成世学!严颖译%数学风险导引678%北京*世界图书出版公司!/33,%’()雷宇%寿险精算学678%北京*北京大学出版社!/33-%’&)9:;"<!=%7%9">?@A B %C D "BE F A G :G "H "I "J @K "I L>A M N A D B <"B O:@@J I @6P 8%Q B @D F :B >J *M :I L J M :I ">@:B <R >A B A M ">@!/333!(1*53S+(%’5)R I "J B B J7:F >J :>H %T BH "U J"B @D F :B >JF J @J F ;J @"B :@I A >L :@I ">M A F I :H "I V:B <"B I J F J @I 6P 8%Q B @D F :B >J*M :I L J M :I ">@:B <R >A B A M ">@!/333!(1*(+/S(-$%’1)W L A M :@X "J O H !C A G J F I Y %W ">L V %C D "BI L J A F VK "I LF "@?N F A N A F I "A B :H I AI L J U F J J F J @J F ;J :B <@J >D F "I "Z :I "A B6P 8%Q B @D F :B >J *M :I L J M :I ">@:B <R >A B A M ">@!/333!(+*13S,&%[\]^_‘a b c d e ^fe g g h ]i e _]b ^j b c h ]j a ]^k \c e ^i al m T P ":B n K J "!o Q p q:B n L D :0X >L A A H A U M :B :O J M J B I !r J "s "B Op B ";J F @"I VA U m J F A B :D I ">@:B <m @I F A B :D I ">@!r J "s "B O /$$$-&!=L "B :2t u k _c e i _*Q BI L "@N :N J F F D "BN F A G :G "H "I "J @"BI L J H "U J "B @D F :B >J >A B I J v I :F J @I D <"J <!K L J F J I L J M A F I :H "I VA U J :>L "B @D F J <U A H H A K @I L J@:M JH "U JI :G H J %W L JN F J M "D M "@N :"<:B B D :H H V:I I L JG J O "B B "B OA U J :>LV J :FK L "H JI L J G J B J U "I @A U"B @D F J <:F JN :"<:II L JJ B <A UV J :FA U<J :I L %Y D F I L J F M A F J !w D B <G J F O I V N JG A D B <@U A FI L J @J N F A G :G "H "I "J @:F J O ";J B%x a dy b c f k *H "U J "B @D F :B >J z F D "BN F A G :G "H "I V z F J @J F ;J+/。

《风险理论与非寿险精算》期末复习

分布参数的估计矩估计法、极大似然估计法、分位点法
常用分布二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布、伽玛分布、贝塔分布期望、方差
第三章损失分布的贝叶斯方法
3.1 贝叶斯方法的基本过程 3.2 先验概率的估计 3.3 先验概率与后验概率 3.4 损失函数与贝叶斯估计量 3.5 贝叶斯方法的理论基础－主观概率
5.5 中心极限定理与正态分布逼近
令 s (1 )E(S) ，称θE(S)为保单组合的安全
附加保费，称θ为相对附加安全系数（或安全附加保费率）。
第六章短期聚合风险模型
6.1 引言 6.2 理赔次数和理赔额的分布 6.3 理赔总量模型 6.4 复合泊松分布及其性质 6.5 聚合理赔量的近似模型
保费计算与实际相差较大；准备金的提取不充分；赔付过早发生；营运成本扩大；佣金的提高；投资失利；巨灾事故频繁发生；风险聚合估计不周；
意外责任事故的赔付；市场条件发生不利的变化；保单责任文字界定不清晰；宏观经济环境的不利变化；法律法规的改变；公司管理人员的贪污渎职行
第四章随机模拟
4.1 引言 4.2 均匀分布的随机数与伪随机数 4.3 服从各种分布的随机数 4.4 模拟应用举例 4.5 模拟样本的容量
4.2 均匀分布的随机数与伪随机数
产生均匀分布随机数的方法： 1、检表法 2、物理方法（可获得真正的随机数） 3、数学方法（伪随机数）
自然取中法（平方取中法）倍积取中法乘同余法（Skellam一阶线性同余法）
e n
fS (x)
n0
n!
p*n (x)
E(S) p1
Var(S ) p2
S的矩母函数：
M S (t) M N [ln M C (t)] e[MC (t)1]

风险理论

一、风险的含义对于我们来说，那些影响我们个人命运的诸事件间的关系不能看作是确定性的，且只能运用概率的术语来刻画。

在这一随机的视角内，风险是一关键的概念。

风险的定义方式及其决策过程中所起的作用是因学科的不同而相异的。

在相关的学科中，对于风险主要有如下几种说法：(1)风险是一种损失机会或损失的可能性。

这意味着有损失机会存在就有风险存在。

它表明风险是一种面临损失的可能性状况，是在这个状况下损失发生的概率。

当这个概率是0或l时，就没有风险；当这个概率介于0与1之间，则存在风险。

(2)风险是一种损失的不确定性。

这种不确定性又可分为客观的不确定性和主观的不确定性。

客观的不确定性是实际结果与预期结果的相对差异，它可以用统计学中的方差或标准差来衡量。

主观的不确定性是人为的对客观风险的评估，它同个人的知识、经验、精神和心理状态有关，不同的人面临相同的客观风险时，可能会有不同的主观的不确定性。

(3)风险是一种可能发生的损害。

这种损害的幅度与发生损害的可能性的大小共同衡量了风险的大小。

当损害的幅度大，发生损害的可能性也大时，风险就大，反之风险就小。

(4)风险是一种不能预期的结果。

这种未知结果可能是有利的好结果，也可能是不利的坏结果。

在保险学中，风险被分为两大类，一类是纯粹风险，另一类是投机风险。

纯粹风险是一种只有损失机会的风险，而投机风险则是一种既有损失机会也有盈利机会的风险。

在投资分析中，由于损失与盈利总是相互关联的，所以在投资领域主要涉及的是投机风险。

在保险领域所涉及的均是只有损失可能性的纯粹风险，因此在保险学中，风险通常被认为是“潜在的损失及其发生损失的概率”。

这里我们讨论保险领域的风险，即纯粹风险，所以风险可定义为：可能发生的损失及其发生损失的概率。

用损失的程度和发生损失的概率来共同度量风险的大小。

损失程度大而且发生的概率也大，则属高风险，反之则属低风险。

二、风险理论的含义保险公司承保了某个保险标的，也就承保了这个标的所具有的风险，因而弄清楚保险标的的损失分布，对于保险人来说是非常重要的，它是保险产品定价和提取责任准备金以及再保险的分保安排的重要依据。

风险理论——精选推荐

第一章风险与风险决策理论第一节风险的含义一、风险的含义▪在不同的领域关于风险的定义不同。

▪在保险学中，风险通常被定义为“潜在损失的概率”或“不确定后果之间的差异程度”等等。

▪在投资分析中，由于损失与盈利总是相互关联的，风险常被分为纯粹风险和投资风险两种。

▪有人主张风险是客观存在的，因而应该被客观的度量，也有人强调风险是因人而异的主观概念。

▪对风险附加各种特殊的含义以适应其在不同领域中的应用，如社会风险、政治风险和自然风险等等。

▪等等▪风险是自然状态的不确定性（Uncertainty）与人的行为相结合而蕴含的某种后果；是相对于面临着某种不确定性状态的某个人或某些人而言的。

▪与风险直接有关的三要素：（1）自然状态的不确定性；（2）人的主观行为；（3）自然与人结合所蕴含的潜在后果。

▪最常见的三种情况：（1）从当事人或决策者的角度出发讨论潜在后果以及其所对应的不确定性，而且往往是关心不利的潜在后果；（通常的风险理论，我们主要讨论的内容）（2）从某个决策问题出发，讨论一个决策者面对某种风险的反应或态度，常称之为风险态度（Risk Attitude），或者比较一群人各自风险态度之间的差异；（度量和比较决策这个对风险的态度是风险研究的重要组成部分）（3）参照某个决策者的问题和目标来讨论每项备选方案的风险大小。

（投资分析和管理决策的核心内容）二、保险精算问题保险业务通常分成寿险和非寿险；寿险以被保险人的生命为标的，以生死为事故；非寿险是指除了寿险外的一切保险业务。

二者关系：虽然二者在本质上都是保险，但人寿保险的保修期相对较长，损失分布规律也相对比较稳定；而非寿险则多为短期保险，标的的损失情况也五花八门，损失情况较为复杂。

无论是人寿保险还是非寿险，在其经营和管理的过程中都需要在各个环节和各种层次上作一系列的管理决策，这就是保险公司内控系统中的核心问题，也称为精算问题：即如何制定合理的保费；如何提留适当的准备金；如何确定自留风险和安排再保险，等等。

保险精算学风险投资和风险理论

二、赫—俄模型的主要理论含义及结构
1、一国出口以自己相对丰富要素生产的产品，进口相对稀缺要素生产的产品。 2、如果两国生产要素存量的比例不同，那么即使相同生产要素的生产率完全一样，也会产生生产成本的差异，从而发生国际贸易。 3、国际间商品交换的结果，往往会使各国要素报酬的国际差异缩小，出现要素价格均等化趋势。
赫—俄模型的逻辑顺序
要素的自然禀赋
要素供给
要素的相对丰富
要素的相对价格
商品的相对价格
三、赫—俄模型的理论特点
1、建立在三要素论的基础之上。 2、从一个国家最基本的经济资源出发，解释国际贸易产生的原因，并分析了贸易本身对经济结构的影响。 3、某些前提假设是不符合实际的。 4、在许多情况下不符合实际，没有能够完全反映出国际贸易的客观运动规律。 5、没有认真分析需求方面的因素。
设X是一个周期内的理赔随机变量，B是这个周期内的理赔总额，I是表示理赔事件是否发生的只是变量，即：
10.6.2 理赔总额S的概率分布及其应用
在 n 1 的风险模型中，理赔总额 S是许多被保 SX X X 险人个体理赔额之和。独立随机变量之和 S X1 X 2 X n 的概率分布的确定，应该可以用以下两种方法。（1）卷积法（2）矩母函数法
自然资源稀缺（美国学者凡涅克J.Vanek）美国对于某些自然资源在很大程度上要依靠进口来满足需求，而这些资源的开发是耗费大量投资的，因此属于高资本投入的产品。所以，美国的进口替代产品中的资本密集度必然上升，从而出现列昂惕夫反论中的现象。
第三节国际贸易的新要素学说
一、人力资本说人力资本是资本与劳动力结合而形成的一种新的生产要素。人们通过对劳动力进行投资（如投资进行教育、卫生保健、职业培训等），可以使劳动力的素质得到极大改善，劳动生产率获得提高，从而对一个国家参加国际分工的比较优势产生作用和影响。

读书报告之一（现代风险投资组合理论简介）

读书报告之一（现代风险投资组合理论简介）第四章马科维茨投资组合理论马科维茨(Harry M.Markowitz,）1927年生于美国，1952年获芝加哥大学博士学位。

他曾任职于兰德公司，后为纽约市立大学巴鲁齐学院教授。

1990年因其在1952年提出的投资组合选择（Portfolio Selection)理论获得诺贝尔经济学奖。

Markowitz 诺贝尔奖演说结语“Finally, I would like to add a comment concerning portfo lio theory as a part of the microeconomics of action under uncertainty. It has not always been considered so. For ex ample, when I defended my dissertation as a student in the Economics Department of the University of Chicago, Profes sor Milton Friedman argued that portfolio theory was not E conomics, and that they could not award me a Ph.D. degree in Economics for a dissertation which was not in Economics . I assume that he was only half serious, since they did a ward me the degree without long debate. As to the merits o f his arguments, at this point I am quite willing to conce de: at the time I defended my dissertation, portfolio theo ry was not part of Economics. But now it is.”“当我作为芝加哥大学经济系的学生为我的博士论文答辩时，米尔顿·弗里德曼教授认为证券组合理论不是经济学，因而他们不能为一篇不是经济学的论文授予经济学的博士学位。

Anijqa《现代精算风险理论》课程简介

秋风清，秋月明,落叶聚还散,寒鸦栖复惊。

《现代精算风险理论》课程简介现代精算风险理论 3.0Modern Actuarial Risk Theory 3-0预修课程：数学分析，概率论,随机过程面向对象：三、四年级本科生内容简介:主要内容包括经典的风险理论的内容，如期望效用模型，个体风险模型，聚合风险模型等；也包括许多与精算实务息息相关的研究方法，如保费原理，IBNR 模型，汽车保险保单的评估,广义线性模型、信度理论等等。

课程的内容还包括现代精算风险理论的一些热点研究，如风险排序。

推荐教材或主要参考书：教材：现代精算风险理论，R.卡尔斯，M.胡法兹，J. 达呐，M.狄尼特著，唐启鹤，胡太忠，成世学译，科学出版社。

参考书：数学风险论导引，汉斯. U. 盖伯著，世界图书出版公司。

风险理论， N.L.鲍尔斯等著，上海科学技术出版社。

《现代精算风险理论》教学大纲现代精算风险理论 3.0Modern Actuarial Risk Theory 3-0预修课程：数学分析，概率论,随机过程面向对象：三、四年级本科生一、教学目的和基本要求：通过本课程的学习，要求学生掌握非寿险精算的一些经典风险理论的模型，包括期望效用模型，个体风险模型，聚合风险模型和破产模型。

掌握与精算实务息息相关的研究方法，包括保费原理，IBNR模型，汽车保险保单的评估,广义线性模型、信度理论等等，了解现代精算风险理论的一些热点,包括风险排序等。

二、主要内容及学时分配：第一章效用理论与保险（4学时）期望效用模型；效用函数族；停止损失再保险的最优性。

课后习题3-5题。

第二章个体风险模型（4学时）混合分布和风险；卷积；变换；近似；应用：最优再保险。

课后习题3-5题。

第三章聚合风险模型（4学时）复合分布；理赔次数的分布；复合泊松分布；Panjer递推；复合分布的近似；个体和聚合风险模型；几个理赔额分布和参数族；停止损失保险与近似；方差不等情形下的停止损失保费。

寿险中的破产理论及应用

寿险中的破产理论及应用寿险中的破产理论及应用一、引言在我国保险公司的运作中，保费收入是主要收入来源，理陪是主要风险因素，为了保障保险公司的正常运作，保险公司必须充分考虑所面临的风险，而破产理论的研究主要针对保险公司如何估计所面临的风险，它主要研究在较长时间上保险公司发生盈余或破产的概率，以前我们所研究的破产理论主要是针对非寿险进行研究，并且主要考虑在理赔次数N(t)为泊松过程，理赔额S(t)为复合泊松过程情况下的盈余过程，在非寿险研究中得到一个Lundberg不等式，这个破产概率上界为保险公司的风险分析提供了有力工具。

本文利用（文献[1]）风险理论，考虑在寿险中破产理论的研究，得到寿险破产模型，设计了求解寿险中的破产概率的一种算法，并得到寿险破产概率的一个上界。

二、单一年龄结构下的破产模型设寿险中，刚投保时（t=0时刻），年龄均为x的被保险人有n[,1]个，每个被保险人的死亡概率遵循相同的生命表，初始准备金为u[,1]，并且设n[,k]：第k年年初时的被保险人数c：被保险人每年所交的保险费d[,k]：第k年内(k,k+1)被保险人死亡的人数 (1)q[,x]；被保险人在(x,x+1)死亡的人数的概率b：每个被保险人死亡时，保险人要支付的保险金由此假定我们知：t=0时刻被保险人的总数n[,1],n[,k]=n[,k+1]+d[,k]。

定义1 对任意t＞0，设c＞0为单位时间内的保费收入率，s(t)为到时刻t保险公司支付的理赔总额，u(0)=u为时刻0时的初始准备金，则u(t)=u+ct-s(t) (2)称为时刻t时的盈余由(2)可见：这里的盈余并没有考虑除了保费和理赔以外的影响盈余的因素，如附加费和保单持有人的分红等，显然，这种盈余并不是财务意义上的盈余，只是为了数学上处理方便而已…当盈余在某一时刻为负时，我们称“破产”发生，既然此处盈余并不是财务意义上的盈余，则此时破产就不等价于保险公司真的破产，但破产是衡量保险公司金融风险的极其重要的尺度。