北师大版九年级数学勾股定理专项训练

北师大版九年级数学勾股定理专项训练

一、填空题（）

1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=

3cm，动点P从点B出发，沿射线BC以2cm/s的

速度移动，设运动的时间为t s，当t=________s时，

△ABP为直角三角形．

【答案】2或25

8

【解析】

【分析】

本题主要考查了勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解，属于中档题．

首先根据勾股定理求出BC的长度，再分两种情况：①当∠APB为直角时，②当∠BAP为直角时，分别求出此时的t值即可．

【解答】

解：∵∠C=90°，AB=5cm，AC=3cm，

∴BC=4cm．

①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP=BC=4cm，

∴t=4÷2=2s；

②当∠BAP为直角时，BP=2tcm，CP=(2t−4)cm，AC=3cm，

在Rt△ACP中，AP2=AC2+CP2=32+(2t−4)2，

在Rt△BAP中，AB2+AP2=BP2，

∴52+[32+(2t−4)2]=(2t)2，

s.

解得t=25

8

s时，△ABP为直角三角形．

综上，当t=2s或25

8

s.

故答案为2s或25

8

2.如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，

D中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的概率

为________．

【答案】3

4

【解析】

【分析】

本题考查概率的求法以及勾股定理的逆定理的应用，用到的知识点为：概率=所求情况数与情况总数之比，属于中档题．

从点A、B、C、D中任取三点，找出所有的可能以及能构成直角三角形的情况数，即可求出所求概率．

【解答】

解：∵从点A，B，C，D中任取三点能组成三角形的一共△ABD，△ADC，△ABC，△BCD 四种情况，

∵AB2=12+22=5，BD2=12+22=5，CD2=12+32=10，AD2=12+32=10，AC2=22+42=20，BC2=52=25，

∵AB2+BD2=AD2，则△ABD为直角三角形，

同理△ADC，△ABC是直角三角形，

∴所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为3

．

4

．

故答案为3

4

二、解答题（）

3.一块钢板形状如图所示，量得AB=3，BC=4，AC=5，

CD=12，AD=13，请你计算一下这块钢板的面积．

【答案】解：∵42+32=52，52+122=132，

即AB2+BC2=AC2，故∠B=90°，

同理，∠ACD=90°，

∴S

四边形ABCD

=S△ABC+S△ACD

=1

2

×3×4+

1

2

×5×12

=6+30

=36．

【解析】本题考查了勾股定理和它的逆定理，三角形的面积计算方法，熟练掌握勾股定理逆定理的运用，证明△ACD是直角三角形是关键．

由勾股定理逆定理可得△ACD与△ABC均为直角三角形，进而可求解其面积．

4.由于大风，山坡上的一颗树甲被从A点处拦腰折断，如图

所示，其树顶端恰好落在另一颗树乙的根部C处，已知

AB=4米，BC=13米，两棵树的水平距离为12米，求这

棵树原来的高度．

【答案】解：如图所示：延长AB，过点C作CD⊥AB延长线于点D，

由题意可得：BC=13m，DC=12m，

故BD 2=BC2−CD2=132−122=25，

∵BD>0，则BD=5m，

即AD=9m，

则AC2=AD2+CD2=92+122=225，

∵AC>0，则AC=15m，

故AC+AB=15+4=19m．

答：这棵树原来的高度是19米．

【解析】本题主要考查了勾股定理的应用，得出BD的长是解题关键，属于中档题．首先构造直角三角形，进而求出BD的长，进而求出AC的长，即可得出答案．

5.如图是一副秋千架，左图是从正面看，当秋千绳子自然下垂时，踏板离地面0.5m(踏

板厚度忽略不计)，右图是从侧面看，当秋千踏板荡起至点B位置时，点B离地面垂直高度BC为1m，离秋千支柱AD的水平距离BE为1.5m(不考虑支柱的直径).求秋千支柱AD的高．

【答案】解：设AD=xm，则由题意可得

AB=(x−0.5)m，AE=(x−1)m，

在Rt△ABE中，AE2+BE2=AB2，

即(x−1)2+1.52=(x−0.5)2，

解得x=3．

即秋千支柱AD的高为3m．

答：秋千支柱AD高为3米．

【解析】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出关于x的等式是解题关键．

设未知数，直接利用AE2+BE2=AB2，进而得出答案．

6.在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积．

某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．

作AD

⊥BC 于D ，设BD =x ，用含x 的代数式表示CD → 根据勾股定理，利用AD 作为“桥梁”，建立方程模型求出x → 利用勾股定理求出

AD 的长，再计算三

角形面积

【答案】解：如图，过点A 作AD ⊥BC 交BC 于点D ，设BD =x ，则CD =14−x ，

在Rt △ABD 中，AD 2=AB 2−BD 2=152−x 2，

在Rt △ACD 中，AD 2=AC 2−CD 2=132−(14−x)2，

∴152−x 2=132−(14−x)2，解得x =9，

此时AD 2=152−92=122，故AD =12，

△ABC 的面积：12×BC ×AD =1

2×14×12=84．

【解析】本题主要考查三角形面积的计算有关知识，先作出三角形的高，然后求出高，利用三角形的面积公式进行计算即可．

7. 课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图．

(1)求证：△ADC ≌△CEB ；

(2)从三角板的刻度可知AC =25 cm ，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a 的大小(每块砖的厚度相等)．

【答案】(1)证明：由题意得：AC =BC ，∠ACB =90°，AD ⊥DE ，BE ⊥DE ， ∴∠ADC =∠CEB =90°，

∴∠ACD +∠BCE =90°，∠ACD +∠DAC =90°，

∴∠BCE =∠DAC ，

在△ADC 和△CEB 中，

{∠ADC =∠CEB ∠DAC =∠BCE AC =BC

,