泛函分析课程重点

泛函分析单元知识总结与知识应用

数学与计算科学学院数学与应用数学一、单元知识总结

第七章、度量空间和赋范线性空间

§度量空间

§1.1定义：若X是一个非空集合，d :X X R是满足下面条件的实值函数, 对于x,y X，有(1)d(x,y) 0当且仅当X y ；

(2)d(x,y) d(y,x)；

(3)d(x,y) d(x,z) d(y,z)，则称d 为X 上的度量，称(X d)为度量空间。

例：1、设X是一个非空集合，x, y X，当d(x,y) 1,当x y 0,当x=y

则(X d)为离散的度量空间。

2、序列空间S，d(x y) 1i 1 i'i|是度量空间

'i=1 2i 1+| i-i l

3、有界函数全体B(A)，d(x, y) sup|x(t)-y(t)| 是度量空间

t A

4、连续函数C[a,b]，d(x,y) max|x(t)-y(t)|是度量空间

a t b

1

2 o -

5、空间I，d(x,y) [ (y k-x k) ]2是度量空间

i=1

§2度量空间中的极限，稠密集，可分空间

§2.1收敛点列：设焉是(X,d)中点列，如果x X，使lim d(x n,x)=0，n 则称点列x n是(X,d)中的收敛点列。

例：1、x, R n，x n按欧氏距离收敛于x的充要条件为1 i n,各

点列依分量收敛

2、C[a,b]中d(x,y) 0 x k x (一致)

3、可测函数空间M(X)中点列

d(f n, f ) 0 f n f( 依测度)

§3 连续映射

§3.1对TX Q的每个领域U，必有X o的某个领域V是TV U ,其中TV 表示V 在映射T 作用下的像。

§3.2定理1设T是度量空间(X,d)到度量空间d(Y,d)中的映射，那么T在x0 X 连续的充要条件为当x n x0(n ) 时，必有Tx n Tx0(n )

定理2度量空间X到Y中映射T是X上连续映射的充要条件为Y中任意开集M的原像T-1M是X中的开集。

§4 柯西点列和完备度量空间

§4.1定义：设X (X,d)是度量空间，X n是X中点列，如果对0，正整数N N(),使当n, m N时，必有d(x n, X m) ，则称x n是X

中的柯西点列，如果度量空间(X,d)中每个点列都在(x,d)中收敛，那么称(X,d)是完备的度量空间。

例： 1 、C[a,b] 是完备度量空间

2、l 2是完备度量空间

3、R n是完备的度量空间

注意：1、Q全体按绝对值距离构成的空间不完备

2、柯西点列不一定收敛，但是度量空间中每一个收敛点列都是柯西点列

3、实系数多项式全体P[a,b]，P[a,b]作为C[a,b]的子空间不是完备

度量空间

§4.2定理1完备度量空间X的子空间M是完备空间的充要条件是M为X中的

闭子空间。(即完备性关于闭子空间具有可遗传性)

§5 度量空间的完备化

§5.1定理1 (度量空间的完备化定理)设X (X,d)是度量空间，那么一定存在一完

备度量空间X (X,d)，使X与X的某个稠密子空间W等距同构，并且X在等距同构

意义下是唯一的，即若(X,d)也是一万倍度量空间，且X与X的某个稠密空间等距同构，则(X,d)与(X,d)等距同构。

定理1设X (X,d)是度量空间，那么存在唯一的完备空间

X (X,d)，使X为X的稠密子空间。

§6 压缩映射原理及其应用

§6.1定义：设X是度量空间，T是X到X中的映射，如果，0 1，S.t x,y X，d (Tx,Ty) d (x, y)，则称T 是压缩映射。

§6.2定理1 (压缩映射定理)设X是完备的度量空间，T是X上的压缩映射，那么T

有且只有一个不动点(就是说，方程Tx x，有且只有一个解)。

定理 2 ( 隐函数存在定理 ) 设函数f (x,y) 在带状域a x b, y 中处处连续，且处处有关于y的偏导数f y'(x, y)。如果常数m和M，满足

0 m f y(x,y) M ,m M，则方程f(x,y) 0 在区间[a,b] 上必有唯一的

连续函数y (x) 作为解：f (x, (x)) 0,x [a,b]

§7 线性空间

§7.1 定义：设X 是一非空集合，在X 中定义了元素的加法运算和实数 (或复数)

与X 中元素的乘法运算，满足下列条件： (一)关于加法：(1)交换律( 2)结合律（3）有零元（4）有负元，（二）关于数乘：（1）分配律（2）结合律（3）x X , 均有1x X，满足这样性质的集合X称为线性空间。

例：1、R n按自身定义的加法和数乘成线性空间

2、C[a,b] 按自身定义的加法和数乘成线性空间

3、空间|p（p 0）按自身定义的加法和数乘成线性空间

§8赋范线性空间和巴拿赫空间

§8.1定义：设X是实（或复）的线性空间，如果对X X，都有确定的一个实

数，记为X与之对应，并且满足：

1°||x|| 0,且||x|| 0等价于x 0；（非负性）

2° || x|| | |||x||其中为任意实（复）数；

3o||x y ||x|| ||y||,x,y X ,（三角不等式）

则称IIx||为向量x的范数，称X按范数II x||成为赋范线性空间

注意：1、任意赋范线性空间都是度量空间

2、赋范线性空间是一种特殊的度量空间

3、||x||是x的连续函数

§8.2重要结论：1、完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间。

2、任何有限维赋范线性空间都同维数欧氏空间拓扑同构，相同维数的有限维赋范线性空间彼此拓扑同构。（即拓扑同构范数等价）

例：1、R n按范数||x|| 7l 1 |2| n |2成巴拿赫空间

2、空间C[a,b]按范数x max | x（t） |成巴拿赫空间

a t b

1

p b _