泛函分析课程重点
泛函分析解读课程设计
泛函分析解读课程设计一、课程目标知识目标：1. 理解泛函分析的基本概念，如赋范线性空间、内积空间、有界线性算子等；2. 掌握泛函分析中的重要性质和定理，如开映射定理、闭图像定理、Hahn-Banach定理等；3. 学会运用泛函分析方法解决实际问题，如优化问题、微分方程等。
技能目标：1. 能够运用泛函分析的知识对实际问题进行建模和求解；2. 能够运用数学软件（如MATLAB）进行泛函分析的计算；3. 能够运用逻辑推理和证明方法，阐述泛函分析中的性质和定理。
情感态度价值观目标：1. 培养学生严谨、科学的思维方式和探究精神，增强对数学美的感悟；2. 培养学生团队协作和沟通交流的能力，学会倾听、尊重他人观点；3. 激发学生对数学学科的兴趣和热情，提高学生的学术素养。
课程性质：本课程为高年级数学专业或相关专业的学科基础课程，旨在帮助学生掌握泛函分析的基本概念、性质和定理，培养其运用泛函分析方法解决实际问题的能力。
学生特点：学生具备一定的数学基础和分析能力，具有较强的逻辑思维和抽象思维能力。
教学要求：结合学生特点，注重理论与实践相结合，强调知识的应用性和实践性。
通过案例分析、讨论交流等教学方式，引导学生掌握泛函分析的核心内容，提高其分析问题和解决问题的能力。
同时，注重培养学生的学术素养和团队协作精神。
在教学过程中，将课程目标分解为具体的学习成果，便于后续教学设计和评估。
二、教学内容1. 引言与背景：介绍泛函分析的发展历程、应用领域及与其它数学分支的联系。
2. 赋范线性空间：涵盖赋范线性空间的定义、性质、例证，以及范数的性质和运算。
- 教材章节：第2章 赋范线性空间- 内容列举：范数的定义与性质、Cauchy序列与完备性、赋范线性空间的例子。
3. 内积空间：探讨内积的定义、性质、希尔伯特空间及其几何意义。
- 教材章节：第3章 内积空间- 内容列举：内积的定义与性质、Cauchy-Schwarz不等式、内积空间的例子、希尔伯特空间。
泛函分析第一讲
线性算子和线性泛函
第二章 泛函分析
绪论
2.1 距离空间
第二章 泛函分析
一、距离空间的定义
lim
n
xn
x
0, N, 当 n 时N,有
dx, y x y
x y 0, x y 0当且仅当 x y
xy yx
xy xz zy
xn x
第二章 泛函分析
第一节 距离空间
一、距离空间的定义
第一节 距离空间
一、距离空间的定义
例2.1.2 设 X ,d 是距离空间，对任意 x, y X ，源自定义x,y
d
1+d
x,xy, y ，则
X
,
也是距离空间.
证明 三角不等式 d(x, y) d(x, z) d(z, y)，
第二章 泛函分析
第一节 距离空间
一、距离空间的定义
例2.1.3 空间l p p 1.
x0 X. 如果d (xn , x0 ) 0, n , 则称该点列 xn
收敛于 x0 , 并记为
lim
n
xn
x0
或
xn x0 n
定理1 距离空间 X ,d 中,收敛点列的极限是唯一的.
第二章 泛函分析
第一节 距离空间
二、距离空间中的收敛
例2.1.5 在Rn 中，点列的收敛为按坐标收敛.
♣ 泛函分析在微分方程、概率论、函数论、计算 数学、控制论、最优化理论、连续介质力学、量 子物理等以及一些工程技术学科都有重要作用.
第二章 泛函分析
绪论
二、泛函分析课程内容 1.空间 集合 + 一定的结构
距离空间 赋范线性空间 内积空间 Banach空间 Hilbert空间
泛涵分析课程设计
泛涵分析课程设计一、教学目标本节课的教学目标是使学生掌握泛函分析的基本概念和基本性质，能够运用泛函分析的方法解决一些实际问题。
具体来说，知识目标包括：掌握泛函空间、映射、变换等基本概念；理解泛函分析的基本性质，如闭性、连续性等；掌握泛函分析的基本运算，如加法、数乘等。
技能目标包括：能够运用泛函分析的方法解决一些线性代数和微分方程的问题；能够运用泛函分析的方法分析和解决一些实际问题。
情感态度价值观目标包括：培养学生的抽象思维能力，提高学生解决实际问题的能力；培养学生对数学的兴趣和热情，提高学生对数学的自信心。
二、教学内容本节课的教学内容主要包括泛函分析的基本概念、基本性质和基本运算。
具体来说，首先介绍泛函空间的概念，包括赋范空间、内积空间等，并介绍其基本性质；然后介绍映射和变换的概念，包括连续性、可积性等，并介绍其基本性质；最后介绍泛函分析的基本运算，如加法、数乘等，并介绍其运算规则。
三、教学方法为了达到本节课的教学目标，将采用多种教学方法进行教学。
首先，采用讲授法，向学生讲解泛函分析的基本概念、基本性质和基本运算；其次，采用讨论法，引导学生进行思考和讨论，提高学生解决问题的能力；再次，采用案例分析法，通过分析一些实际问题，让学生学会运用泛函分析的方法解决问题；最后，采用实验法，让学生通过实验验证泛函分析的理论和方法。
四、教学资源为了支持本节课的教学内容和教学方法的实施，将选择和准备以下教学资源。
首先，教材《泛函分析导论》作为主要的学习材料，为学生提供系统的泛函分析知识；其次，参考书《泛函分析原理》和《泛函分析的应用》作为辅助的学习材料，为学生提供更多的泛函分析的知识和实例；再次，多媒体资料，包括PPT、视频等，用于辅助讲解和演示；最后，实验设备，如计算机、投影仪等，用于实验和演示。
五、教学评估为了全面、客观地评估学生的学习成果，将采用多种评估方式。
平时表现占30%，包括课堂参与度、提问回答、小组讨论等；作业占20%，包括课后习题、小论文等；考试占50%，包括期中和期末考试。
泛函分析(科) 教学大纲
泛函分析（科）一、课程说明课程编号：130911Z10课程名称（中/英文）：泛函分析（科）/Functional Analysis课程类别：专业核心课学时/学分：88/5.5先修课程：数学分析、高等代数、实变函数适用专业：数学科学班教材、教学参考书：《泛函分析》江泽坚孙善利，高等教育出版社，2005；《泛函分析讲义》（上册）张恭庆林源渠，北京大学出版社，1995.二、课程设置的目的意义泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间满足各种代数和拓扑条件的映射的分支学科。
它是从变分法、微分方程、积分方程、函数论以及量子物理等的研究中发展起来的，运用几何学、代数学的观点和方法研究分析学的课题，可看作无限维的分析学。
它已成为现代纯粹数学和应用数学研究和应用的基础,在微分方程、概率论、函数论、连续介质力学、量子物理、计算数学、控制论、最优化理论等学科中都有重要的应用。
这门课程旨在引导相关专业的学生初步进入这一领域；培养学生对数学分析、拓扑学、代数等知识的综合运用能力；为进一步学习研究现代数学打下良好基础.三、课程的基本要求泛函分析是数学各专业的核心课程之一。
通过本课程的学习，学生应该理解泛函分析的基本思想；掌握度量空间、赋范线性空间、有界线性算子，内积空间，算子的谱等基本概念；掌握Hilbert空间和Banach空间的基本理论。
四、教学内容、重点难点及教学设计注：实践包括实验、上机等五、实践教学内容和基本要求共计安排24学时的习题课，用以讲解与讨论每一章节课后的练习题。
其中，一部分为基础练习题，目的是加深对于基本概念的理解，促使掌握基本原理的典型运用；一部分为拓展练习题，目的是对课堂讲解内容作适度的补充以及延伸。
六、考核方式及成绩评定七、大纲主撰人：大纲审核人：。
《泛函分析》课程标准
《泛函分析》课程标准英文名称：Functional Analysis 课程编号：407012010适用专业：数学与应用数学学分数：4一、课程性质泛函分析属于数学一级科下的基础数学二级学科，在数学与应用数学专业培养方案中学科专业教育平台中专业方向课程系列的一门限选课程。
二、课程理念1、培育理性精神，提高数学文化素养基础数学研究数学本身的内在规律，是整个数学学科的基础，它在数学学科其他领域、物理学、工程及社会科学中都有着广泛的应用。
《泛函分析》课程是数学与应用数学本科学生的专业课程之一，是数学分析、高等代数、实变函数等基础课程的后继课程，是研究生学习的基础，。
它不仅在数学学科占有十分重要的地位，而且在其他学科领域也有广泛的应用，掌握泛函分析的方法对学生更好地理解基础课程的理论将有很大的益处。
该课程培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力，体现知识、能力和素质的统一，符合应用型人才培养的目标要求。
2、良好的学习状态，提高综合解题能力本课程面对的是数学与应用数学专业四年级的学生。
学生刚刚结束教育实习，准备考研的学生进入紧张复习阶段，另一部分学生开始准备找工作。
《泛函分析》这门课内容比较抽象，课时又少，所以，如何让学生安保持良好的学习状态，是本门课要面对的一个重要问题，也是学生要面对的一个具体问题。
需要师生共同努力去正确面对才能顺利完成本门课的教学任务。
为学习研究生课程和现代数学打下必要的基础；进一步提高学生的数学素养。
3、内容由浅入深本课程的框架结构是根据教学对象和教学任务来安排的：“度量空间”泛函分析的基本概念之一，十分重要。
首先，引入度量空间的概念，并在引入度量的基础上定义了度量空间中的极限、稠密集、可分空间、连续映照、柯西点列、完备度量空间，对于一般的度量空间，给出了度量空间的完备化定理，并证明了压缩映照原理。
然后，在度量空间上定义线性运算并引入范数，就得到线性赋范空间以及巴拿赫空间。
在赋范空间上定义线性算子及线性泛函，并讨论相关性质。
泛函分析课程教学大纲
（签名）
上海大学理学院（公章）
年月日
内容：规范直交系、直交系的完备性与完全性、直交化定理、可分Hilbert空间、泛函表达式、共轭空间、共轭算子、有界自共轭算子、投影算子的运算及不变子空间、Hermit泛函、有界二次泛函、谱系、谱测度及关系、酉算子的谱分解、谱测度、对称算子与自共轭算子、自共轭算子的谱分解、全连续自共轭算子、乘积谱测度、正常算子的谱分解、算子代数、算子的扩张与膨胀。
4．重点掌握开（闭）集、平均收敛、度量收敛、完备化定理、（C[a,b], L_p）中紧性判定法。
（二）线性算子（20学时）
内容：线性算子的有界性、连续性、算子空间、连续泛函、延拓定理、测度问题
（选）、共轭、强、弱收敛、弱列紧、共轭算子、逆算子定理、共鸣定理及应用、特征值、特征向量、正则点、谱点、不变子空间、全连续算子的谱与不变子空间。
1．了解内积、直交、投影、Hilbert空间、共轭空间概念，（以下为50学时外）
2．理解规范直交系、谱分解、谱测度、对称算子与自共轭算子、算子代数（选）概念
3．掌握并能熟练应用直交系的完备性与完全性、直交化定理、泛函表达式、投影算子的运算及不变子空间、Hermit泛函、有界二次泛函、谱系、谱测度及关系、酉算子的谱分解（以下选讲）、自共轭算子的谱分解、正常算子的谱分解
《泛函分析》课程教学大纲
课程
编号
01025051
01825142
课程
名称
（中文）泛函分析
（英文）Functional Analysis
课
程
基
本
情
况
1．学分：5学时：50（课内学时：50实验学时：）
2．课程性质：学科基础必修课
3．适用专业：理学
“泛函分析”课程学习指南
“泛函分析”课程学习指南本课程主要分为四部分内容：绪论，空间理论，算子理论和算子谱理论。
绪论从分析和代数中的若干问题出发，运用类比、联想、化归等方法，引入泛函分析中的一些基本概念和研究方法，诠释数学研究的基本思想。
空间理论中主要介绍距离空间，赋范空间和内积空间三类空间结构，重点讲授Hilbert空间的几何特征。
算子理论中主要介绍了Banach空间中有界线性算子的基本定理和它们的应用，即：一致有界原则，开映射定理，闭图像定理和Hahn-Banach定理，这是本门课程的核心内容。
算子谱理论中主要介绍有界线性算子的基本性质，重点讲述了有界自共轭算子和紧算子谱的性质。
为了让学生更好地理解和掌握这些内容，下面按章列出知识要点，重点难点和学习要求。
绪论1.知识要点泛函分析中十分抽象的基本概念（空间的结构、收敛性、按坐标分解等）的来源和背景2.重点难点从有限维空间到无穷维空间的过渡，数学研究的基本方法：化归，类比，归纳，联想。
3.学习要求从分析和代数中具体的实例中感悟数学研究的思想方法。
第一章距离空间1.知识要点距离空间的定义；收敛性；开集；闭集；连续映射；可分的距离空间；距离空间中的列紧集；完备的距离空间；距离空间的完备化；压缩映射原理2.重点难点一些具体的距离空间（如：[,],,,,p pC a b L l S s）的完备性，可分性及收敛的具体含义。
3.学习要求(1)掌握距离空间的定义及例；(2)掌握距离空间中点集的拓扑概念；(3)清楚具体的距离空间的拓扑性质和收敛的具体含义；(4)掌握压缩映射原理的内容及证明，并能利用压缩映射原理解决一些具体问题。
第二章赋范空间1.知识要点赋范空间和Banach空间的定义；范数与距离的关系；Riesz引理；有限维空间的几何特征；赋范空间中的级数；赋范空间的商空间2.重点难点(1)范数与距离的关系；(2)Riesz引理的内容与应用。
3.学习要求(1)掌握赋范空间的定义和典型例子；(2)能够证明一些具体空间是赋范空间及它的完备性；(3)准确掌握Riesz引理的背景，内容和应用；(4)掌握有限维空间的几何特征；(5)了解赋范空间中的级数和商空间的含义。
泛函分析课程重点
泛函分析单元知识总结与知识应用数学与计算科学学院 数学与应用数学 一、单元知识总结第七章、 度量空间和赋范线性空间§1 度量空间§1.1定义：若X 是一个非空集合，:d X X R ⨯→是满足下面条件的实值函数，对于,x y X ∀∈，有（1）(,)0d x y =当且仅当xy =；（2）(,)(,)d x y d y x =； （3）(,)(,)(,)d x y d x z d y z ≤+，则称d 为X 上的度量，称(,)X d 为度量空间。
例：1、设X 是一个非空集合，,x y X ∀∈，当1,(,)0,=x y d x y x y ≠⎧=⎨⎩当当，则(,)X d 为离散的度量空间。
2、序列空间S ，i =1i |-|1(,)21+|-|i i i i d x y ξηξη∞=∑是度量空间 3、有界函数全体()B A ，(,)sup|(t)-(t)|t Ad x y x y ∈=是度量空间4、连续函数[a,b]C ，(,)max|(t)-(t)|a t bd x y x y ≤≤=是度量空间 5、空间2l ，122=1(,)[(-)]k k i d x y y x ∞=∑是度量空间§2 度量空间中的极限，稠密集，可分空间§2.1收敛点列：设{}n x 是(,)X d 中点列，如果∃x X ∈，使n lim (,)=0n d x x →∞，则称点列{}n x 是(,)X d 中的收敛点列。
例：1、n n x R ∈，{}n x 按欧氏距离收敛于x 的充要条件为1,i n ∀≤≤各点列依分量收敛。
2、[a,b]C 中(,)0k d x y x x →⇔→（一致）3、可测函数空间()M X 中点列(,)0n n d f f f f →⇔⇒（依测度） §3 连续映射§3.1对0Tx 的每个ε-领域U ，必有0x 的某个δ-领域V 是TV U ⊂,其中TV 表示V 在映射T 作用下的像。
泛函分析课程提纲
泛函分析课程提纲第一章，度量空间度量空间及其附属概念：距离、收敛、极限、Cauchy列、完备性、完备化、列紧性。
一般的拓扑空间上，可以定义收敛序列、领域、闭包、稠密性、可分性、连续映射、紧性等概念。
度量空间依所给的度量，自然成为一个拓扑空间，其相应的如上概念可以用度量重新给出定义。
要求：理解这些概念和定义，会利用这些概念和定义对一些具体的例子进行验证或否定。
理解度量空间的完备化操作。
度量空间上的列紧性与自列紧性，ϵ-网，完全有界集，列紧性与完全有界性之间的关系，度量空间上自列紧性与紧性的等价性。
要求：学会运用这些命题证明度量空间上某些集合的列紧性、完全有界性或紧性。
理解这部分几个命题的证明和技巧(Hausdorff定理)。
连续函数空间的性质：完备性，等度连续与列紧集的刻画，Arzela-Ascoli定理。
要求：理解并会运用这些性质。
度量空间上的压缩映射以及Banach不动点定理。
要求：理解压缩映射，并会运用不动点定理。
第二章，赋范向量空间基本概念：向量空间（又称线性空间），拓扑向量空间，向量空间上的范数、半范数，Banach 空间，闭单位球的列紧性与有限维。
要求：理解并会验证这些概念和定义，掌握一些常见Banach空间的例子和不完备的赋范空间例子，并会验证它们相应的完备性和不完备性。
赋范线性空间上的线性算子和线性泛函的定义，线性算子的连续性和有界性，算子的范数，算子收敛。
有界线性算子空间的完备性，对偶空间及其性质。
要求：理解这些概念和定义，会推导并运用相关性质。
三、内积空间和Hilbert空间基本概念和定义：线性空间上的内积，内积空间，Hilbert空间，正交，集合之间的距离相关性质和定理：Schwarz不等式，极化恒等式，平行四边形公式，Hilbert空间上的最优逼近，正交分解定理，正交规范集(标准正交集)及其完备性、封闭性，Bessel不等式，Parseval 恒等式，可分Hilbert空间中完备正交规范集的存在性与Gram-Schmidt正交化，Riesz表示定理及其应用。
泛函分析复习与总结
《泛函分析》复习与总结第一部分 空间及其性质泛函分析的主要内容分为空间和算子两大部分. 空间包括泛函分析所学过的各种抽象空间, 函数空间, 向量空间等, 也包括空间的性质, 例如完备性, 紧性, 线性性质, 空间中集合的各种性质等等。
以下几点是对第一部分内容的归纳和总结。
一．空间（1）距离空间 （集合+距离）！验证距离的三个条件：(,)X ρ称为是距离空间，如果对于,,x y z X ∈(i) 【非负性】(,)0x y ρ≥，并且(,)0x y ρ=当且仅当x y =【正定性】；(ii) 【对称性】(,)(,)x y y x ρρ=；(iii) 【三角不等式】(,)(,)(,)x y x y y z ρρρ≤+。
距离空间的典型代表：s 空间、S 空间、所有的赋范线性空间、所有的内积空间。
（2）赋范线性空间 （线性空间 + 范数）！验证范数的三个条件：(,||||)X ⋅称为是赋范线性空间，如果X是数域K =¡（或K =£）上的线性空间，对于a K ∈和,x y X ∈，成立(i) 【非负性】||||0x ≥，并且||||0x =当且仅当0x =【正定性】； (ii) 【齐次性】||||||||||ax a x =⋅；(iii) 【三角不等式】||||||||||||x y x y +≤+。
赋范线性空间的典型代表：n ¡空间（1,2,3,n =L ）、n £空间（1,2,3,n =L ）、p l 空间（1p ≤≤∞）、([,])p L ab 空间（1p ≤≤∞）、[,]Cab 空间、[,]k C a b 空间、Banach 空间、所有的内积空间（范数是由内积导出的范数）。
（3）内积空间 （线性空间 + 内积）！验证内积的四个条件：(,(,))X ⋅⋅称为是内积空间，如果X 是数域K =¡（或K =£）上的线性空间，对于a K ∈和,,x y z X ∈，成立(i) 【非负性】(,)0x x ≥，并且(,)0x x =当且仅当0x =【正定性】；(ii) 【第一变元可加性】(,)(,)(,)x y z x z x z +=+；(iii) 【第一变元齐次性】(,)(,)ax z a x z =；(iv) 【共轭对称性】(,)(,)x z z x =。
《泛函分析》课程教学大纲
《泛函分析》课程教学大纲一、课程的适用专业、学时及学分本课程的适用专业为：数学与应用数学专业，72学时，4学分。
二、课程的性质、目的和任务泛函分析是数学专业一门重要的指定选修课，它是以集合论为基础的近代分析数学的一个重要组成部分。
通过课程的学习，使学生了解并进而掌握近代抽象分析的基本内容，扩大学生们通常的三维欧氏空间的视野，加深对数学分析和中学数学的认识和了解。
三、课程教学的基本要求在概要讲述和掌握实变函数中的集合论和欧氏空间中的点集等预备知识的基础上，理解和掌握度量空间的定义，性质及其上度量的特征，熟练掌握度量空间的典型例子；线性赋范空间的定义和性质及典型的Banach空间例子；内积空间的定义和性质；Hilbert空间及其特征；理解线性有界算子(线性连续泛函) 的概念，性质，了解线性算子空间和共朝空间的理论；初步理解和掌握空间中的四大基本定理；泛函延拓定理；一致有界性定理；逆算自定理和闭图象定理；理解线性算子的谱理论初步等。
四、课程的教学内容，重点和难点(-)预备知识1.集合的概念，运算，基数，可数集与不可数集。
2.欧氏空间中的聚点，内点，界点，开集，闭集和完备集等概念和性质。
(-)度量空间1.度量空间的定义及典型例子2.度量空间中的极限，连续映照3. Cauchy点列和完备度量空间4.压缩映照原理及其应用(三)赋范线性空间1.线性空间的定义2.赋范线性空间的定义性质和典型例子3. Banach空间及例子4.有限维赋范线性空间及性质（四）线性有界算子和线性连续泛函1.线性有界算子和线性连续泛函2.线性算子空间和共朝空间（五）内积空间1.内积空间的基本概念，性质，Herbert空间2.投影定理3. Herbert空间上的赋范直交系4. Herberl空间上的线性连续泛函5.自伴算子，酉算子和正常算子（六）Banach空间中的基本定理1.泛函延拓定理，C[a,b]的共舸空间2. 一致有界性定理3.强收敛，弱收敛和一致收敛4.逆算子定理5.闭图象定理（七）线性算子的谱论初步1.谱的概念2.有界线性算子谱的基本性质3.自伴全连续算子的谱论五、课程各教学环节的要求由于本课程概念较多，理论性强，比较抽象，学习时会感到困难，所以在教学过程中的各环节上要注意方法，尽量的多讲一些例子，以帮助学生理解。
《泛函分析》课程教学大纲
《泛函分析》课程教学大纲《泛函分析》课程教学大纲一、课程基本信息课程代码：课程名称：泛函分析英文名称：Functional analysis课程类别：选修课学时：54学分：3适用对象: 数学类本科生考核方式：考察先修课程：数学分析，高等代数，实变函数二、课程简介《泛函分析》是现代教学中的一门较新的数学分支，是高等师范院校数学专业的一门重要专业课，它是在学生掌握了数学分析、高等代数的理论知识的基础上，继实变函数之后开设的。
本课程主要内容包括：⑴度量空间和赋范线性空间；⑵有界线性算子和连续线性泛函；⑶内积空间和希尔伯特(Hilbert)空间；(4)巴拿赫空间中的基本定理；(5) 线性算子的谱等。
通过该课程的学习，学生不仅能学到泛函分析的基本理论和方法，而且对学习其他数学分支以及把他应用到数理经济，现代控制论，量子场论，工程技术等领域有很大帮助。
三、课程性质与教学目的1、本课程是数学基础之一，授课对象为数学专业学生。
在讲授和学习时，应注重提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生良好的逻辑思维习惯，让学生掌握全面考虑问题的思维方法，这将有助于学生们顺利地学习其他现代专业数学理论课。
2、本课程主要内容包括：⑴度量空间和赋范线性空间；⑵有界线性算子和连续线性泛函；⑶内积空间和希尔伯特(Hilbert)空间；(4)巴拿赫空间中的基本定理；(5) 线性算子的谱等内容。
3、本大纲的教学总时数为54学时（含习题课），各章节教学时数的具体分配，请参考附表。
4、本课程以课堂讲授为主，讨论辅导为辅，课堂练习与课外作业相结合。
5、在制定本教学大纲时，为了明确对教学大纲中所列具体内容的要求程度，将本要求分为由低到高的三个等级，即对概念和理论性的知识，由低到高分别用“知道”、“了解”、“理解”三级区分，对运算、方法和应用方面的知识，由低到高分别用“会或能”、“掌握”、“熟练掌握”三级区分。
四、理论教学内容与教学基本要求1、第一章度量空间和赋范线性空间（14学时）(1) 度量空间的进一步例子(2) 度量空间中的极限，稠密集，可分空间（几类特殊的点集，稠密性与可分性）(3) 连续映射（度量空间上的连续映射）(4) 柯西(Cauchy)点列和完备度量空间(5) 度量空间的完备化（完备的距离空间，第一第二类型集，距离空间的完备化）(6) 压缩映射原理及其应用(7) 线性空间(8) 赋范线性空间和巴拿赫(Banach)空间教学目的及要求：要求学生掌握距离空间的一些基本概念，为后面学习打下基础。
泛函分析大纲
《泛函分析》教学大纲数学与应用数学（师范类）专业用一、说明部分（一）课程性质、目的和教学任务泛函分析是数学学科的一门专业限选课程。
本课程的目的在于运用泛函分析的理论和方法进一步研究无限维空间的结构。
通过教学，使学生了解和掌握这一学科的基本概念，理论，培养学生的理论思维能力，为从事数学学科的教学和研究打下一定的理论基础。
泛函分析的前期课程是《数学分析》《高等代数》《实变函数》。
泛函分析课程主要讲授第一章度量空间和赋泛线性空间，第二章有界线性算子和连续线性泛函，内积空间和希尔伯特（Hilbert）空间三章内容。
通过泛函分析的教学，具体使学生了解和掌握度量空间，赋泛线性空间，有界线性算子，连续线性泛函的基本概念和基本理论，培养学生理论思维能力，为进一步学习数学的有关学科打下扎实的理论基础。
（二）课程的教学原则和方法本课程的教学原则是逻辑推理和理论分析相结合、讲解法与自学相结合的原则。
教学方法是要在主要采用讲授法为主配合教改，使用讨论法、练习法等，仔细推敲概念间的相互联系和差异。
（三）课程的主要内容学时分配本课程为一学期课程，总学时为48学时，其中授课38学时，习题课10学时，各章节安排如下第一章度量空间和赋范线性空间32学时第二章有界线性算子和连续线性泛函10学时第三章内积空间和希尔伯特（Hilbert）空间6学时（四）课程大纲的编写执笔人执笔人孙丽男黑河学院数学系函数论教研室审定。
二、正文部分第一章度量空间和赋范线性空间（一）教学的目的和要求1.理解泛函分析研究的对象，掌握度量空间的定义及度量空间中极限,稠密集,可分空间的概念，能够对具体的问题进行判断；2.进一步了解连续映射的概念；3.掌握完备的度量空间；4.理解压缩映射原理，掌握压缩映射原理，能够应用压缩映射原理证明实际问题；5.掌握线性空间、赋范线性空间和Banach空间；（二）教学重点1.度量空间2.完备度量空间3.压缩映射原理4.赋范线性空间5.Banach空间（三）教学难点1.完备度量空间2.压缩映射原理3.赋范线性空间（四）主要教学内容及学时分配1.度量空间2学时2.度量空间的极限,稠密集,可分空间4学时3.连续映射4学时4.柯西点列和完备度量空间4学时5.度量空间的完备化2学时6.压缩映射原理及其应用2学时7.线性空间4学时8.赋范线性空间和Banach空间4学时9.习题课6学时第二章有界线性算子和连续线性泛函（一）教学的目的和要求1.掌握赋范线性空间的有界线性映射的概念；2.掌握赋范线性空间X到赋范线性空间Y上的线性映射的全体也是一个赋范线性空间；3.掌握线性同构的概念；（二）教学重点1.有界线性算子2.连续线性泛函3.有界线性算子空间4.共轭空间（三）教学难点1.有界线性算子空间2.共轭空间（四）主要教学内容及学时分配1.有界线性算子和连续线性泛函4学时2.有界线性算子空间和共轭空间4学时3.习题课2学时第三章内积空间和希尔伯特（Hilbert）空间（一）教学的目的和要求1.熟练掌握内积空间中的基本概念2.了解逼近理论并熟练掌握投影定理及其应用（二）教学重点1.内积空间的基本概念2.投影定理（三）教学难点1.投影定理（四）主要教学内容及学时分配1.内积空间的基本概念2学时2.投影定理2学时3.习题课2学时三、考核方式和成绩记载说明考核方式为考试。
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泛函分析单元知识总结与知识应用
数学与计算科学学院数学与应用数学一、单元知识总结
第七章、度量空间和赋范线性空间
§度量空间
§1.1定义：若X是一个非空集合，d :X X R是满足下面条件的实值函数, 对于x,y X，有(1)d(x,y) 0当且仅当X y ；
(2)d(x,y) d(y,x)；
(3)d(x,y) d(x,z) d(y,z)，则称d 为X 上的度量，称(X d)为度量空间。
例：1、设X是一个非空集合，x, y X，当d(x,y) 1,当x y 0,当x=y
则(X d)为离散的度量空间。
2、序列空间S，d(x y) 1i 1 i'i|是度量空间
'i=1 2i 1+| i-i l
3、有界函数全体B(A)，d(x, y) sup|x(t)-y(t)| 是度量空间
t A
4、连续函数C[a,b]，d(x,y) max|x(t)-y(t)|是度量空间
a t b
1
2 o -
5、空间I，d(x,y) [ (y k-x k) ]2是度量空间
i=1
§2度量空间中的极限，稠密集，可分空间
§2.1收敛点列：设焉是(X,d)中点列，如果x X，使lim d(x n,x)=0，n 则称点列x n是(X,d)中的收敛点列。
例：1、x, R n，x n按欧氏距离收敛于x的充要条件为1 i n,各
点列依分量收敛
2、C[a,b]中d(x,y) 0 x k x (一致)
3、可测函数空间M(X)中点列
d(f n, f ) 0 f n f( 依测度)
§3 连续映射
§3.1对TX Q的每个领域U，必有X o的某个领域V是TV U ,其中TV 表示V 在映射T 作用下的像。
§3.2定理1设T是度量空间(X,d)到度量空间d(Y,d)中的映射，那么T在x0 X 连续的充要条件为当x n x0(n ) 时，必有Tx n Tx0(n )
定理2度量空间X到Y中映射T是X上连续映射的充要条件为Y中任意开集M的原像T-1M是X中的开集。
§4 柯西点列和完备度量空间
§4.1定义：设X (X,d)是度量空间，X n是X中点列，如果对0，正整数N N(),使当n, m N时，必有d(x n, X m) ，则称x n是X
中的柯西点列，如果度量空间(X,d)中每个点列都在(x,d)中收敛，那么称(X,d)是完备的度量空间。
例： 1 、C[a,b] 是完备度量空间
2、l 2是完备度量空间
3、R n是完备的度量空间
注意：1、Q全体按绝对值距离构成的空间不完备
2、柯西点列不一定收敛，但是度量空间中每一个收敛点列都是柯西点列
3、实系数多项式全体P[a,b]，P[a,b]作为C[a,b]的子空间不是完备
度量空间
§4.2定理1完备度量空间X的子空间M是完备空间的充要条件是M为X中的
闭子空间。
(即完备性关于闭子空间具有可遗传性)
§5 度量空间的完备化
§5.1定理1 (度量空间的完备化定理)设X (X,d)是度量空间，那么一定存在一完
备度量空间X (X,d)，使X与X的某个稠密子空间W等距同构，并且X在等距同构
意义下是唯一的，即若(X,d)也是一万倍度量空间，且X与X的某个稠密空间等距同构，则(X,d)与(X,d)等距同构。
定理1设X (X,d)是度量空间，那么存在唯一的完备空间
X (X,d)，使X为X的稠密子空间。
§6 压缩映射原理及其应用
§6.1定义：设X是度量空间，T是X到X中的映射，如果，0 1，S.t x,y X，d (Tx,Ty) d (x, y)，则称T 是压缩映射。
§6.2定理1 (压缩映射定理)设X是完备的度量空间，T是X上的压缩映射，那么T
有且只有一个不动点(就是说，方程Tx x，有且只有一个解)。
定理 2 ( 隐函数存在定理 ) 设函数f (x,y) 在带状域a x b, y 中处处连续，且处处有关于y的偏导数f y'(x, y)。
如果常数m和M，满足
0 m f y(x,y) M ,m M，则方程f(x,y) 0 在区间[a,b] 上必有唯一的
连续函数y (x) 作为解：f (x, (x)) 0,x [a,b]
§7 线性空间
§7.1 定义：设X 是一非空集合，在X 中定义了元素的加法运算和实数 (或复数)
与X 中元素的乘法运算，满足下列条件： (一)关于加法：(1)交换律( 2)结合律（3）有零元（4）有负元，（二）关于数乘：（1）分配律（2）结合律（3）x X , 均有1x X，满足这样性质的集合X称为线性空间。
例：1、R n按自身定义的加法和数乘成线性空间
2、C[a,b] 按自身定义的加法和数乘成线性空间
3、空间|p（p 0）按自身定义的加法和数乘成线性空间
§8赋范线性空间和巴拿赫空间
§8.1定义：设X是实（或复）的线性空间，如果对X X，都有确定的一个实
数，记为X与之对应，并且满足：
1°||x|| 0,且||x|| 0等价于x 0；（非负性）
2° || x|| | |||x||其中为任意实（复）数；
3o||x y ||x|| ||y||,x,y X ,（三角不等式）
则称IIx||为向量x的范数，称X按范数II x||成为赋范线性空间
注意：1、任意赋范线性空间都是度量空间
2、赋范线性空间是一种特殊的度量空间
3、||x||是x的连续函数
§8.2重要结论：1、完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间。
2、任何有限维赋范线性空间都同维数欧氏空间拓扑同构，相同维数的有限维赋范线性空间彼此拓扑同构。
（即拓扑同构范数等价）
例：1、R n按范数||x|| 7l 1 |2| n |2成巴拿赫空间
2、空间C[a,b]按范数x max | x（t） |成巴拿赫空间
a t b
1
p b _
§8.3定理2 L p[a,b]（p 1）按范数f （ |f（t）|p dt）p成巴拿赫空间
p
a
总而言之，赋范线性空间是一种特殊的度量空间，当它完备时称之为巴拿赫空间。
第八章有界线性算子和连续线性泛函
§有界线性算子和线性泛函的定义
§1.1定义：设X和Y是两个同为实(或复)的线性空间，D是X的线性子空间，T为D到Y中的映射，如果对x, y D及数，有
T(x y) Tx Ty，T( x) Tx，则称T为D到丫中的线性算子，
其D称为T的定义域，记为D(T)，TD称为T的值域，记为R仃)，当T取值于实(或复)数域时，就称T为实(或复)线性泛函。
例：相似算子、微分算子、乘法算子、积分算子都是线性算子
注意：n维线性空间上线性泛函与向量相对应。
定义：T为赋范线性空间X的子空间D(T)到赋范线性空间丫中的线性算子，称||T||sup也以为算子T在D(T)上的范数。
x 0 x
x D(T)
§1.2定理1设T是赋范线性空间X到赋范线性空间Y中的线性算子，则T为有界算子的充分必要条件是T为X上的连续算子。
这一定理说明，对于线性算子连续性与有界性是两个等价概念。
定理2设X是赋范线性空间，f是X上线性泛函，那么f是X上连续泛函的充要条件为f的零空间N( f)是X中的闭子空间。
注意：1、若T有界恫2、II T II IlTxll ||T
llllxll
3、若T有界||TX||||T||||x||
§有界线性算子空间和共轭空间
§2.1定义：设X是赋范线性空间，令X'表示X上连续线性泛函全体所成的空间，
称为X的共轭空间§2.2定理1当丫是巴拿赫空间时，B(X Y)也是巴拿赫空间定理2任何赋范线性空间的共轭空间是巴拿赫空间
例：1、I1的共轭空间为I有界序列全体，即(I1)' I ，但(I )' I1
2、X n X,x X,且x n x, f X',则f (x n) f (x), 其中f连续
3、设A B(Z Y),B B(X Z)，令(AB)x A(Bx)，
x X，则AB为线性算子
4、|p(1 p )的共轭空间为I q，其中丄丄1, (I q)' I p，
p q
当p 2时，(i2)' I2
二、列举泛函分析中的某个知识点在其他学科中的应用
1、Banach不动点原理的应用
a.不动点原理在证明数值分析中的迭代法不动点原理的应用
迭代法不动点不动点原理：设映射。