换元积分法(二)1
常用积分换元公式
第一类换元积分法
部分常用的凑微分公式：
（1）
1
()
dx d ax b
a
=+（2）1
1
()
1
n n
x dx d x
n
+
=
+
（3
d
=（4）
2
11
()
dx d
x x
=-
（5）1
(ln)
dx d x
x
=（6）()
x x
e dx d e
=
（7）cos(sin)
xdx d x
=（8）sin(cos)
xdx d x
=-
常用的凑微分公式
第二类换元积分法
1.当被积函数中含有
1)sin
x a t
=或cos
x a t
=；
2)tan
x a t
=；
3)sec
x a t
=.
通过三角代换化掉根式。
但是，去掉被积函数根号并不一定要采用三角代换，
22
ch sh1
t t
-=，采用双曲代换sh
x a t
=或ch
x a t
=消去根式，所得结果一致。
所以应根据被积函数的具体情况尽量选取简单的方法对根式进行有理化代换。
2.当有理分式函数中分母的阶数较高时，可采用倒代换
1
x
t
=.
3.类型f dx
⎰：可令t=；类型f dx
⎰：可令t=（第四节内容）
4.类型()x
f a dx
⎰：可令x
t a
=.
适合用分部积分法求解的被积函数。
4.2_换元积分法
x x
dx 3
t2
t
3
2tdt
2
t2 3 dt 2 t3 6t C 3
再将t x 3代回整理得
x dx 2 x3 3
3
x3 6 x3C
补充例：求
1 dx
ex 1
解: 令 ex 1 t 则x ln(1 t 2 )
dx
2t 1 t2
dt , 于 是
1 dx
ex 1
Fu C
Fx C
由此可得换元法定理P103定理4.3
P103定理4.3 设 f (u)具有原函数，u ( x)可导，
则有换元公式
f [ ( x)] ( x)dx [ f (u)du]u ( x)
第一类换元公式（凑微分法） 说明 使用此公式的关键在于将
g( x)dx 化为 f [( x)]( x)dx.
2
2
xex2dx 1 ex2 x2 dx（直接凑微分） 2
1 ex2dx 2
2
1 2
eudu
堂上练习 P108-习题4.2----4、5、6、
4、
2x 1 x2 dx
1 1 x2
1 x2
dx
1
1 x2
d1
x
2
ln
1
x
2
C
5、 x x2 5dx 1 2
x2
1 t
2t 1 t2
dt
2
1 1 t 2 dt
2arctant C
2arctan ex 1 C
课堂练习： 求
x 1dx . x
解 : 令 x 1 t,则x 1 t 2 , dx 2tdt;于是有
x-1 dx. 2 x
t2 1 t 2 dt
定积分换元积分法的不同换元方法
一、定积分的换元积分法概述定积分的换元积分法是计算定积分的一种重要方法，其主要思想是通过变量替换的方式将原积分转化为一个更容易求解的形式。
这种方法在解决复杂的定积分问题时具有较大的实用价值，因此对于不同的换元方法的掌握和熟练应用显得尤为重要。
二、常见的换元方法在定积分的换元积分法中，常见的换元方法包括但不限于以下几种：1. 第一类换元法：直接代入法直接代入法是指直接将被积函数中的某一个部分用一个变量表示并进行代入的方法。
通常适用于被积函数较简单的情况，能够将原积分转化为一个更容易处理的形式。
2. 第二类换元法：三角代换法三角代换法是指通过选取合适的三角函数来进行变量替换，将原积分转化为三角函数的积分形式。
这种方法通常适用于出现平方根和平方项时的情形，通过选择合适的三角函数可以使原积分变得更加简单。
3. 第三类换元法：指数代换法指数代换法是指通过选取适当的指数函数进行变量替换，将原积分转化为指数函数的积分形式。
这种方法通常适用于出现指数函数和对数函数时的情形，能够将原积分化为更容易处理的形式。
4. 第四类换元法：倒代换法倒代换法是指通过选取合适的变量倒数进行变量替换，将原积分从一个区间转化为另一个区间或者将原积分中的除法项转化为乘法项。
这种方法通常适用于变量之间的换元关系为倒数关系的情形，能够简化原积分的形式。
三、不同换元方法的选用原则在实际应用中，选择合适的换元方法是十分重要的。
一般而言，可以根据以下原则进行选择：1. 根据被积函数的形式选择当被积函数具有特定的形式时，可以根据不同的形式选择对应的换元方法。
如当被积函数中出现三角函数时，可以考虑使用三角代换法；当被积函数中出现指数函数时，可以考虑使用指数代换法。
2. 根据逆变换的便捷性选择在选择换元方法时，通常也要考虑逆变换的便捷性。
换元后新的积分形式是否容易转化回原来的变量，这将影响到最终的计算复杂程度。
3. 根据积分区间的选择当积分区间发生变化时，可以考虑使用倒代换法将原积分转化为更便于处理的形式，从而简化计算过程。
§4.2换元积分法(第二类换元法)
§ 4.2 换元积分法(第二类)I 授课题目(章节)：§ 4.2 换元积分法(第二类换元积分法)n 教学目的与要求：1.了解第二类换元法的基本思想2.掌握几种典型题的第二类换元积分法解法川教学重点与难点：重点：第二换元法中的三角代换及根式代换难点：积分后的结果进行反代换IV 讲授内容：第一类换元积分法的思想是：在求积分g(x)dx时如果函数g(x)可以化为f[ (x)] (x)的形式那么g(x)dx f[ (x)] (x)dx f[ (x)]d (x)u (x) f(u)duF(u) C F[ (x)] C所以第一换元积分法体现了“凑”的思想•把被积函数凑出形如f[ (x)] (x)函数来.对于某些函数第一换元积分法无能为力，例如a2x2 dx.对于这样的无理函数的积分我们就得用今天要学习的第二类换元积分法。
第二类换元的基本思想是选择适当的变量代换x (t)将无理函数f (x)的积分f (x)dx化为有理式f[ (t)] (t)的积分f[ (t)] (t)dt。
即f(x)dx f[ (t)] (t)dt若上面的等式右端的被积函数f[ (t)] (t)有原函数(t)，则f[ (t)] (t)dt (t) C ,然后再把(t)中的t还原成1 (x)，所以需要一开始的变量代换x (t)有反函数。
定理2设x (t)是单调、可导的函数，且(t) 0,又设f[ (t)] (t)有原函数(t)，则1f(x)dx f[ (t)] (t)dt (t) C [ (x)] C分析要证明f(x)dx [ 1(x)] C，只要证明[1(x)]的导数为f(x),d 「1,、■, d dt dt[(x)] , ?dx dt dx dx可将原积分化作三角有理函数的积分x2例2求 . 2 dx4 x,)，则 ' 4 x2 24sin 2t2costdt =2cost2cost，dx 2costdt(2 2cos2t)dt 2t si n2t C2 2证明x (t)单调、可导，x (t)存在反函数t-(x)，且字dx1dxdt1It)Q —dx-J -JI A[1(x)]頁匸f[ (t)]⑴飞f(x)1 (x)］是f (x)是一个原函数f (x)dx [-(x)]第二换元法，常用于如下基本类型类型1 ：被积函数中含有..a2x2( a 0) ,可令x asint (并约定例1求a2x2dx (a 0)解令x asint acost dx acostdt.a2x2dx a costa costdt a2 (21-cos2t)dt2at22 a sin 2t42at22a sin tcost2a2x x —C arcs in a2 a 2把sin t，cost用x表示.借助下面的辅助三角形2t 2sin tcost解令x 2sint，4—^dt2C 2arcsi n ——44x2 C2 2类型2 :被积函数中含有,a2x2(a 0)可令x ata nt 并约定t ( ,)，则2 2asect ；dx 2a sec tdt ；可将原积分化为三角有理函数的积分dx(a 0)解令x atant，t ( , )，^V .”.：x a2 22asect, dx a sec tdtsectdt In sect tant C例4求解令xdxx 2 \ 42ta ntdxx2.4 x21 cost ,,2 dt4 sin t-^^dsi nt sint.4 x2 21 sect4 2dtant1 1 cC1dt414 sin t,)，则2 22sec t24tan t 2sectdx(x2 9)2（分母是二次质因式的平方23sec tdt2dx 2 sec tdt1萼dtsin2tcos t4 x2Cdx 3sec21 工 127cos2 tdt(x29) 2481sec1 t 1 t—(1 cos2t)dt ——cos 2tdt —54 54 54 54t 1 t 1—sin 2t —一sin t cost C54 2 54 54 54解令x 3tant,贝U x2 9 9sec21, dx12 54cos2td2t3x（第二换兀积分法分）(x 2x 5)1x 1 arcta n —2 2解(x 2x 5)2 2 2[2 (x 1)]，令x 1 2ta ntt (i ，2)则dx 2 2(x 2x 5)笄壬水1 (12 sec t 16cOs2t)dt1sin t cost C161 x 1 arcta n — 16 21 x 1 8 x 22x 类型3 被积分函数中含有(a 0)，当 x a 时，可令x asect ，并约定I 2 2t （0,—），贝U x a ata nt , 将原积分化为三角有理函数的积分。
4.2第二类换元积分法
t 1
6
(t 2
t
1
t
1 )dt 1
2t3 3t 2 6t 6 ln t 1 c
2 x 33 x 66 x 6 ln 6 x 1 c
例3
求
1 dx. 1 ex
解 令 t 1 e x e x t 2 1, x lnt 2 1,
ex f (ex 1)dx.
4.2 换元积分法
思考题
x2
1 2x
dx 4
3
1 (1
x)2
dx
1
1 u2
du
arctanu
c
1 3
1
1 1
x
2
dx
3
1 3
3
1
1 1
x
2
d
1
x 3
3
1 arctan 1 x c
(u 1)u10du
x u 1
(u11 u10)du
基本积分表(续)
tan xdx ln cosx C;
cot xdx ln sin x C;
secxdx ln secx tan x C;
cscxdx ln cscx cotx C;
2
a2
x asin t 作直角三角形
t arcsin x a
t
a2 x2
sin 2t 2sin t cost 2 x
a
a2 x2 a
(九)换元法
1 dx dx ∴ 原式 = ∫ x −a − ∫ x + a 2a
d(x + a) 1 d(x −a) −∫ = ∫ x +a 2a x −a
1 x −a 1 +C = [ ln x−a −ln x+ a ] +C = ln 2a x +a 2a
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(P203 公式 (23) )
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例22. 求 解: 原式 = ∫
5 ( 2 )2 −(x − 1)2 2
d(x − 1) 2
例23. 求 解: 原式 = −∫
de−x 1−e−2x
= −arcsine−x +C
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例24. 求 解: 令 x = 1 , 得 t 原式 = −∫
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例7. 求
∫
e3
x
x
dx.
3 x
2 3 x 解: 原式 = 2∫e d x = ∫e d(3 x) 3 2 3 x = e +C 3
例8. 求 ∫sec6xdx.
2 dtan xdx 解: 原式 = ∫(tan x +1 ⋅ sec ) 2 2
= ∫(tan4 x + 2tan2 x +1 dtan x )
第二节 换元积分法
一、第一类换元法 二、第二类换元法
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基本思路
设 F′(u) = f (u), 可导, 则有
dF[ϕ(x)] = f [ϕ(x)]ϕ′(x)dx
换元积分法
∫ cot xdx = ln | sin x | + C
2
∫
1 =∫ dx 2 2 a a −x
1
1 x 1− a
dx
=∫
= arcsin
x +C a
x d( ) 2 a x 1− a
1
∫
“凑微分法” 凑微分法” 凑微分法
x dx = arcsin + C 2 2 a a −x
)
三、第二类换元法
x = ϕ(t )是单调的、可导的函数 是单调的、
∫ f ( x )dx
x=ϕ( t )
=
∫ f [ϕ (t )]
= F ( ϕ − 1 ( x )) + C ϕ' (t )dt = F ( t ) + C
1、三角代换 、
(1)含有 a 2 − x 2 , 可令x = a sin t ( 2)含有 a 2 + x 2 , 可令x = a tan t ( 3)含有 x 2 − a 2 , 可令x = a sec t
∫e
u
du = e + C = e
u
2
x2
+C
u du
u =1− x 1 1 2 2 2 ∫ x 1 − x dx = − 2 ∫ 1 − x d (1 − x ) = − 2 3 3 1 1 2 2 = − ⋅ u + C = − (1 − x 2 ) 2 + C 3 2 3
∫
例5
1 1 x 1 a 2 dx = 1 ∫ d( ) 2 ∫ a 2 + x 2 dx = ∫ x 2 a a x 1+ 1+ a a
换元积分法
4.2 换元积分法
经济数学 4.2.1 第一换元积分法 3.第一换元积分公式的应用
例2
求下列不定积分
(1) xex2 dx
解：
由于 xdx 1 d (x2 ) ，所以 2
xex2 dx 1 ex2 dx 2 1 ex2 C 2
同理:
(2)
x 1 x2
dx
1 2
ln(1
x2
)
C
4.2 换元积分法
4.2 换元积分法
经济数学 4.2.1 第一换元积分法 3.第一换元积分公式的应用
例1 求下列不定积分
(1)
dx x 1
解： 令 x 1 u 则 dx du，于是
dx x 1
du u
ln u C
同理可得:
(2)
dx 1 x
ln
1
x
C
(3)
dx 2
1 x
1 x C
再将u x 1 代回，得
dx x 1
ln
x
1
C
4.2 换元积分法
经济数学
4.2.1 第一换元积分法 3.第一换元积分公式的应用
例1 求下列不定积分
(4) (2x 1)4dx
同理有:
(5) e2x1dx 1 e2x1 C 2
解：
令
2x 1 u则
dx 1 du ，于是 2
(2x 1)4 dx 1 2
u 4 du
4.2 换元积分法
经济数学 4.2.1 第一换元积分法 2.第一换元积分法
计算过程
f
[ ( x)] ( x)dx
凑微分
f
[ ( x)]d ( x)
令 ( x)u
积分
不定积分的第二类换元积分法
dt t C
x 回代： arcsin C a
>>>
例7 求
解
1 a 2 x 2 dx
(a 0)
原式
x a tant
1 (a sec t )2 d (a tant )
1 1 dt t C a a 1 x 回代： arctan C a a
（ 2） 求 解
dx
dx 4x2 9
4x2 9 dx
(2 x) 2 32
1 d ( 2 x) 2 (2 x) 2 32
1 ln 2 x 4 x 2 9 C 2
（ 3） 求 解
xdx 2x x2 xdx
2x x2
( x 1)dx 2x x
6t 2 t 2 1 1 dt 6 dt 2 2 1 t 1 t
1 6 1 dt 6[t arctant ] C 2 1 t
6[6 x arctan6 x ] C
根式代换(去根式) 1 dx 例4 求 1 ex
第四章
第三节
不定积分
不定积分的换元积分法
主要内容：
第二类换元法.
内 容 回 顾
一、第一类换元法
定理1(换元积分公式)
设 F 是 f 的一个原函数, u=(x)可导, 则有
f [ ( x)] ( x)dx [ f (u )du ] f [ ( x)] ( x)dx
F [ ( x)] C
2 2
a 2 x 2 dx a 2 a 2 sin 2 t a costdt
2
换元积分法
例2 求 (3x 1)
2008
dx.
解 令u 3x 1，得du 3dx，得dx 1 du， 3
于是有 (3x－ 1)
2008
dx u
2008 1
3
du
1 2008 = u du 3
1 1 2009 u C 3 2009 1 (3 x 1) 2009 C. 6027
1 x arctan C. a a
例11 求
1
a -x
2
2
dx.
1 dx
1 解 dx 2 2 a a -x
1
x 1 a
1
2
1 a
1
x d 2 a x
a
x arcsin C. a
1 例12 求 2 dx. 2 x a
3 1 2 ( x 4)2 C. 3
还应注意到，在换元—积分—还原的解题过程中， 关键是换元，若在被积函数中作变量代换 ( x), 还需要 在被积表达式中再凑出 ' ( x)dx 即d ( x) ，也就是 du ， 这样才能以u为积分变量作积分，也就是所求积分化为
f ( x) d ( x) f (u ) du F ( x) C
1 2 dt 2 d(1 t ) 1 t
2t 2 ln 1 t C
2 x 2 ln 1 x C.
一般的说，若积分 f ( x)dx不易计算可以作适当的 变量代换 x (t ) ，把原积分化为 f ( ( x))' ( x) dt 的形 式而可能使其容易积分.当然在求出原函数后， 还要 将 t 1 ( x) 代回.还原成x的函数，这就是第二换元 积分法计算不定积分的基本思想.
一换元积分法二常用的定积分公式及应用
1ex1dx 21dx
0
1x
01ex1dx1121xdx
ex 11 0ln x1 211 eln 2
二、常用的定积分公式及应用
1.设 fx 在 a,a上连续，则
a afx d x 0 afx fx dx………①
（1）若 fx为偶函数，fx f x ，
a fxdx 2afxdx
a
0
………②
x1， t ， 2
1
0
1 x2d x 0 2
1 s2 itn ctodst
2
0
cos2
tdt
12021co2stdt
1 20 2d t0 2co2ts1 2d2t
12t
12sin2t02
4
注 第一步是采用的换元（不定积分第二类换
元法），换元的同时必须换限。在计算 2 0
cos2tdt
时，我们采用了凑微分法，没有写出新变量，
解 0 sx i s n 3 i x d n 0 x sx ic n 2 x o ds x
0 sixncoxsdx
2 0
sixc no xd s xsix n co x dsx
2
2 0
sixd nsixn
sixd nsixn
2
32sin23x02
32sin23x
4 3
2
例4
设
f x 11x, x 0,
第三节 定积分的换元积分
一、换元积分法 二、常用的定积分公式及应用
一、换元积分法
1.定理 设函数 fx在 a,b上连续；函数 t在 ,（或 ,）上有连续导数； 当 t在 t在 ,（或 ,）上变化时， x在a,b上变化，且 a，b，
则有
第四章 第3节 第二类换元积分法
a xb c xd
) dx
,
令
t
n
a xb c xd
节 讲
(3) f (x , a2 x2 ) dx , 令 x a sin t 或 x a cos t
(4) f (x , a2 x2 ) dx , 令 x a tan t
(5) f (x , x2 a2 ) dx , 令 x a sect
f ( x)dx F( x) C [( x)] C,
f ( x)dx f [ (t)] (t)dt t ( x)
第二类积分换元公式
4
例1 求
1 dx (a 0).
x2 a2
解 令 x a tan t dx a sec2 tdt
20
(6) f (a x ) dx , 令 t ax
(7) 分母中因子次数较高时, 可试用倒代换
说明:
被积函数含有
或 x2 a2 时, 除采用
三角代换外, 还可利用公式
ch2 t sh2 t 1
采用双曲代换
x a sh t 或 x a ch t
消去根式 , 所得结果一致 .
1
f
(x) f (x) f 2(x)
dx
f (x) f (x)
f
2
(
x)
f (x) f 2(x)
f
(
x)
dx
f (x) f (x)
d(
f (x) ) f (x)
1 2
f (x) f (x)
2
C
23
换元积分法
1 1 1 3 2 xdx 2 3 2 x ( 3 2 x )dx
令u 3 2 x
1 1 1 1 du ln u C ln 3 2 x C . 2 2 u 2
一般地
1 f (ax b)dx [ f ( u)du]u ax b a
x 1 x
e udu e u C
dx
e
x
1 x
1 x 1 d( x ) e x C. x
12
dx 1. cos 2 x(1 tan x )
f (tan x ) sec2 xdx f (tan x )d tan x
d(1 tan x ) ln 1 tan x C 1 tan x
x x
x
1 du ( u 1) u du 1 1 du u(1 u) u(1 u) u u1
1 1 du d( u 1) u u1
ex ln u ln u 1 C ln x C. e 1
21
解 原式
1 4 1 8 1 12
23
1 1 例 求 dx sec2 x d x 1 cos x dx 2 cos 2 x 2 2 x
解
1 1 cos x dx 1 cos x 1 cos x 1 cos x
1 1 x a 2 x 2 dx a arctan a C 1 x 同理 dx arcsin C .(a 0) a a2 x2
14
1 dx . 例 求 2 x 8 x 25
1 1 x a 2 x 2 dx a arctan a C
高等数学——第二类换元积分法
1.根式代换
被积函数中含有n ax b（根号里是一次式），
此类型所用方法为---根式代换法，具体
令 t n ax b
例1 计算
x 1 dx. x
令 x 1 t, x t 2 1, dx 2tdt,
x 1 dx = x
t
t2
2tdt 1
2t 2 t 2 1 dt
2
t2 11 t 2 1 dt
2
2
2
a2 (t sin t cos t) C
2
例2 计算 a2 x2dx(a 0)
a2 x2dx a2 (t sin t cos t ) C 2
把变量 t 换为 x . 为简便起见, 画一个辅助三角形，如图.
根据 sin t x
a
得 t arcsin x , 又因为 cos t a
a2 x2 , a
a x
所以
a2 x2 dx a2 (t sin t cos t ) C 2
t
a2 x2
a2 2
arcsin
x a
x a
a2 a
x2
C
a2 arcsin x x a2 x2 C .
2
a2
例3 计算 x
dx 1 x2
令 x = tan t，则 dx = sec2 tdt， 于是得
2 (1 1 )dt 2(t arctan t) C
t2 1
2( x 1 arctan x 1) C
2.三角代换
被积函数中含有 x2 a2、a2 x2 类型------三角代换法
（1）被积函数中含有 a2 x2 ,设 x a sin t （2）被积函数中含有 x2 a2 ,设 x a tan t （3）被积函数中含有 x2 a2 ,设 x a sect
换元积分法(二)
三、求下列不定积分： （第二类换元法） dx 1、 ∫ ； 2 x + 1− x dx ； 2、 ∫ 2 3 ( x + 1) dx 3、 ∫ ； 1 + 2x x 4、 ∫ x dx ； 2a − x 5、设 ∫ tan n xdx ,求证： 1 In = tan n −1 x − I n − 2 , 并求 ∫ tan 5 xdx . n−1
1 三、1、 [arcsin x + ln( x + 1 − x 2 )] + C ； 2 x 2、 + C； 2 1+ x 3、 2 x − ln(1 + 2 x ) + C ； x 2 4、 3a arcsin − 2a x ( 2a − x ) 2a a− x + x ( 2a − x ) + C . 2
− x 2
− x 2
dx 7、 =____ d ( arctan 3 x ) ； 2 1 + 9x xdx = ____ d ( 1 − x 2 ) ； 8、 1 − x2 sin t 9、 ∫ dt = _________________； t x 2 dx = _______________ . 10、 ∫ 2 2 a −x
33 7、 (sin x − cos x ) 2 + C ； 2 1 2x 9 − 4x2 8、 arcsin + +C； 2 3 4 x2 9 9、 − ln( x 2 + 9 ) + C ； 2 2 1 x6 10、 ln 6 +C； 24 x + 4 11、(arctan x ) 2 + C ； 12、 ln( xe x ) − ln(1 + xe x ) + C ； 1 10 2 arccos x 14、 (ln tan x ) 2 + C . 13、 + C； 2 2 ln 10
换元积分法(2)
3.1.2换元积分法(2) ——第二类换元法
第二类换元法
第一类换元法解决的问题
f [ ( x)] ( x)dx f (u )d u u ( x)
难求 易求
若所求积分 f (u )d u 难求，
f [ ( x)] ( x)dx 易求,
则得第二类换元积分法 .
问题
dx
f ( x) [ f ( x)]2 f ( x) f ( x) dx 2 f ( x) [ f ( x)]
f ( x) f ( x) d( ) f ( x) f ( x)
1 f ( x) 2 C 2 f ( x)
小结 常用简化技巧:
5 2 x 1 x dx ?
解决方法 改变中间变量的设置方法. 过程
令 x sin t dx cos tdt ,
第二类换元法(变量替换法）
第二类换元法解题思路： 先引入新的积分变量，将被积函数变 为容易积分的式子。 难点：如何确定要引入什么新积分变量呢？
（一）简单根式代换
习
题
dx 1 3 x 2
解 令t 3 x2
dx 1 3 x 2
则x t 3 2
3
2 3 t dt d (t 2) 1 t 1 t t 2 1 1dt 1 3 3 [(t 1) ]dt 1 t 1 t 3 2 t 3t 3ln | t 1| C 2 33 ( x 2) 2 3 3 x 2 3ln | 3 x 2 1| C 2
说明
当被积函数含有两种或两种以上的 根式 k x ,, l x 时，可采用令 x t n （其中 n为各根指数的最小公倍数）
高等数学 第六章 积分法 6-2 不定积分的换元积分法(2)
第二节 不定积分的换元积分法
一、第一类换元积分法（凑积分法） 第一类换元积分法（凑积分法） 二 、第二类换元积分法 基本积分表（ 三 、基本积分表（Ⅱ）
二、第二类换元法
1. 引例
∫
1− x2 d x = ?
解 作变量代换： 作变量代换： 令 x = sint ( t < π ) 则 d x = cos t dt, ，
为去根式
解 令 x = asint , t ∈(− , ), 则 dx = acos t dt 2 2 x 2 2 2 2 2 = acos t sint = a − x = a − a sin t a 2 1+ cos 2t 2 2 I = ∫ acos t ⋅ acos t dt a ∫ dt ∫ cos t d = a x 2 t 2 t sin2t ) +C =a ( + 2 4 a2 − x2 x a2 − x2 sin2t = 2sint cos t = 2 ⋅ ⋅ a2 − x2 a a cos t = 2 x 1 a a = arcsin + x a2 − x2 + C. a 2 2
令 t = 1+ x2, 则 x2 = t 2 −1, xd x = t dt,
∫
(t2 −1)2 dx = ∫ t dt = ∫ (t4 − 2t2 + 1)dt t 1+ x2
x5
1 15 23 = t − t + t + C= (8− 4x2 + 3x4 ) 1+ x2 + C. 15 5 3
中 其 t = ψ−1( x)是x = ψ(t)的 函 . 反 数 端 分 得 后 其 右 积 求 之 ， 中t须 反 数 =ψ −1( x)回 . 用 函 t 代
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微积分II Calculus II
§6.1 不定积分的概念和性质§6.2 积分基本公式
§6.3 换元积分法
第六章
不定积分§6.4 分部积分法
6.3 换元积分法（二）
设为单调可导函数，并且又设具有原函数，则
是的一个原函数，且有换元积分公式()x t ϕ='()0t ϕ≠(())'()f t t ϕϕ()
F t 1(())F φx −()f x 1()[()]f x dx F x C ϕ−=+⎰一第二类换元法
定理四
1
()()(())'()x t f x dx f t t dt
ϕϕϕ==⎰⎰第二换元法的步骤：
()F t C
=+1
()1(())t φx F φx C
−=−=+
-1-1-1[(())](())[()]F x F x x '''
=ϕϕϕ()(())'()
F t f t t '=ϕϕ因为是的原函数
()F t (())'()f t t ϕϕ所以由复合函数求导法得则
所以1()[()]f x dx F φx C −=+⎰1()'()F t t '=⨯ϕ(())()
f t f x ==ϕ1
(())'()'()
f t t t =⋅ϕϕϕ
对于被积函数含有根式的不定积分，常用第二换元法,引入适当的代换，以去掉根号.
当被积函数含有时，可令将原积分化为不含根式的积分，再进行计算.(0)n ax b a +≠n t ax b
=+根式替换
2
解令6,x t =6,x t =3dx x x +⎰5326t dt t t =+⎰⎰+=dt
t t 163
31161t dt t +−=+⎰21
6(1)1t t dt
t =−+−+⎰32t =23t −6t +6ln |1|t C
−++2x =33x −66x +66ln(1)x C
−++56dx t dt
=⎰+3x x dx 求则例
当被积函数含有下列根式之一时，常用三角代换去掉根式进行计算.22a x −22a x +22x a −三角代换
2
一般代换方法为：
22
a x −sin ,x a t =,22t ππ−≤≤22
a x +tan ,x a t =,22t ππ−<<22x a −sec ,x a t =02
t π
<<
22a x dx −⎰22a x −222sin a a t =−cos a t =cos cos a t a tdt =⋅⎰22cos a tdt =⎰,22t ππ
−≤≤sin ,x a t =设t
x
2
2x a −a ()22 0a x dx a −>⎰求解则所以cos dx a tdt
=21cos 22t
a dt
+=⎰例
22
sin cos 22a a
t t t C =++2
arcsin 2a x
a =2
221arcsin 22a x x a x C a =+⋅−+22
a x C
a −⋅+22a x a +22sin 224a
a
t t C =++21cos 22t
a dt +=⎰22
a x dx =−⎰t x 22x a −a。