(完整版)高等数学上册知识点

高等数学上册
第一章 函数与极限 （一） 函数
1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；
2、 反函数、复合函数、函数的运算；
3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函
数、双曲函数、反双曲函数； 4、 函数的连续性与间断点；
函数)(x f 在
0x 连续 )()(lim 00
x f x f x
x =→
第一类：左右极限均存在。

间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在。

无穷间断点、振荡间断点
5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定
理、介值定理及其推论。

（二） 极限 1、 定义 1） 数列极限
εε<->∀N ∈∃>∀⇔=∞
→a x N n N a x n n n , , ,0lim 2） 函数极限
δδε-<-<∀>∃>∀⇔=→A
x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00
时，当
左极限：)(lim )(0
0x f x f x x -
→-= 右极限：)(lim )(0
0x f x f x x +→+
= )()( )(lim 000
+
-→=⇔=x f x f A x f x x 存在
2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤
2
）
a z y n n n n ==→∞
→∞
lim lim a x n n =∞
→lim
2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限。

3、 无穷小（大）量
1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷
大量。

2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无
穷小 Th1 )(~
ααββαo +=⇔;
Th2 αβαβαβββαα'
'
=''''lim lim lim
,~,~存在，则（无穷小代换）
4、 求极限的方法 1） 单调有界准则； 2） 夹逼准则；
3） 极限运算准则及函数连续性； 4） 两个重要极限： a) 1sin lim 0
=→x
x
x
b)e x
x x
x x
x =+=++∞→→)11(lim )1(lim 10 5） 无穷小代换：（0→x ） a)
x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~
b) 2
2
1~cos 1x x -
c) x e x
~1- （a x a x
ln ~1-）
d) x x ~)1ln(+ （a x
x a ln ~)1(log +）
e)
x x αα
~1)1(-+
第二章 导数与微分 （一） 导数
1、 定义：0
00)
()(lim )(0
x x x f x f x f x x --='→
左导数：000)
()(lim )(0
x x x f x f x f x x --='-→-
右导数：0
00)
()(lim )(0
x x x f x f x f x x --='+
→+
函数
)(x f 在0x 点可导)()(00x f x f +-'='⇔
2、 几何意义：)(0x f '为曲线)(x f y =
在点())(,00x f x 处的切线的
斜率。

3、 可导与连续的关系：
4、 求导的方法
1） 导数定义； 2） 基本公式； 3） 四则运算；
4） 复合函数求导（链式法则）； 5） 隐函数求导数； 6） 参数方程求导； 7） 对数求导法。

5、 高阶导数
1） 定义：⎪⎭
⎫
⎝⎛=dx dy dx d dx y d 22 2） Leibniz 公式：()∑=-=n
k k n k k n n v u C uv 0)
()()
( （二） 微分
1） 定义：)()()(00x o x A x f x x f y ∆+∆=-∆+=∆，其中A 与
x ∆无关。

2） 可微与可导的关系：可微
⇔
可导，且
dx x f x x f dy )()(00'=∆'=
第三章 微分中值定理与导数的应用 （一） 中值定理
1、 Rolle 定理：若函数
)(x f 满足：
1）
],[)(b a C x f ∈； 2）),()(b a D x f ∈； 3）
)()(b f a f =；
则0)(),,(='∈∃ξξf b a 使.
2、 Lagrange 中值定理：若函数
)(x f 满足：
1）
],[)(b a C x f ∈； 2）),()(b a D x f ∈；
则))(()()(),,(a b f a f b f b a -'=-∈∃ξξ使. 3、 Cauchy 中值定理：若函数)(),(x F x f 满足：
1）
],[)(),(b a C x F x f ∈； 2）),()(),(b a D x F x f ∈；3）
),(,0)(b a x x F ∈≠'
则)()
()()()()(),,(ξξξF f a F b F a f b f b a ''=--∈∃使
（二） 洛必达法则
1、尽量先化简（有理化、无穷小代换、分离非零因子）
再用洛必达法则！
:
如：x
x
x x 420tan cos 1lim --→2、对于某些数列极限问题，可化为连续变量的极限，
然后用洛必达法则！
n
n
n
n b a ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞→2lim 如：
（三） T aylor 公式
n 阶Taylor 公式：
1
0)1(00)(200000)()!
1()()(!)( )(!2)
())(()()(++-++-++-''+-'+=n n n
n x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f ξΛ
ξ在0x 与x 之间.
当00
=x 时，成为n 阶麦克劳林公式：
1
)1()(2)!
1()(!)0(!2)0(!1)0()0()(++++++''+'+=n n n n x
n f x n f x f x f f x f ξΛ
ξ在0与x 之间.
常见函数的麦克劳林公式：
1）1
2)!
1(!1!211+++++++=n n x x n e x n x x e ξ
Λ
ξ
在0与x 之间，+∞<<∞-x ；
2
）
121
21753)!
12(2)12(sin )!12()1(!7!5!3sin +--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡
+++--++-+-=m m m x m m m x x x x x x πξΛ
ξ
在0与x 之间，+∞<<∞-x ；
3
）
m m m x
m m m x x x x x 22
21
642)!
2(22cos )!22()1(!6!4!21cos ⎥⎦⎤⎢⎣⎡
⋅++--++-+-=--πξΛ
ξ
在0与x 之间，+∞<<∞-x ；
4）1
1
1
432)1)(1()1()1(432)1ln(++-++-+-++-+-
=+n n n n n n x n x x x x x x ξΛ
ξ
在0与x 之间，11<<-x
5
）
n
x
n n x x x x !
)1()1(!3)2)(1(!2)1(1)1(32+--++--+-++=+αααααααααα
ΛΛ
11
)!
1()1)(()1(+--++--+
n n x n n αξαααΛ，
ξ
在0与x 之间，11<<-x .
（四） 单调性及极值
1、 单调性判别法：
],[)(b a C x f ∈，),()(b a D x f ∈，则若
0)(>'x f ，则)(x f 单调增加；则若0)(<'x f ，则)(x f 单
调减少。

2、 极值及其判定定理：
a) 必要条件：)(x f 在0x 可导，若0x 为)(x f 的极值点，则
0)(0='x f . b) 第一充分条件：
)(x f 在0x 的邻域内可导，且0)(0='x f ，则
①若当0x x <时，0)(>'x f ，当0x x >时，0)(<'x f ，则0x 为极大值点；②若当0x x <时，0)(<'x f ，当0x x >时，
0)(>'x f ，则0x 为极小值点；③若在0x 的两侧)(x f '不变
号，则0x 不是极值点。

c) 第二充分条件：
)(x f 在0x 处二阶可导，且0)(0='x f ，
0)(0≠''x f ，则
①若0)(0<''x f ，则0x 为极大值点；②若0)(0>''x f ，则0x 为极小值点。

3、 凹凸性及其判断，拐点
1）)(x f 在区间I 上连续，若2)
()()2( ,,212121x f x f x x f I x x +<+∈∀，则称
)(x f 在区间I 上的图形是凹的；若
2
)
()()2( ,,212121x f x f x x f I x x +>+∈∀，则称)(x f 在区间I 上的图形是凸的。

2）判定定理：)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 上有一阶、二阶导数，则
a) 若0)(),,(>''∈∀x f b a x ,则)(x f 在],[b a 上的图形是凹的； b) 若0)(),,(<''∈∀x f b a x ,则)(x f 在],[b a 上的图形是凸的。

3）拐点：设)(x f y =在区间I 上连续，0x 是)(x f 的内点，如果曲线)(x f y =经过点))(,(00x f x 时，曲线的凹凸性改变了，则称点
))(,(00x f x 为曲线的拐点。

（五） 不等式证明
1、 利用微分中值定理；
2、 利用函数单调性；
3、 利用极值（最值）。

（六） 方程根的讨论
1、 连续函数的介值定理；
2、 R olle 定理；
3、 函数的单调性；
4、 极值、最值；
5、 凹凸性。

（七） 渐近线
1、 铅直渐近线：∞=→)(lim x f a
x ，则a x =为一条铅直渐近线； 2、 水平渐近线：b x f x =∞→)(lim ，则b y =为一条水平渐近线； 3、 斜渐近线：k x
x f x =∞→)
(lim b kx x f x =-∞→])([lim 存在，则b kx y +=为一条斜
渐近线。

（八） 图形描绘 步骤 :
1. 确定函数)(x f y =的定义域，并考察其对称性及周期性；
2. 求)(),(x f x f '''并求出)(x f '及)(x f ''为零和不存在的点；
3. 列表判别函数的增减及曲线的凹向 , 求出极值和拐点;
4. 求渐近线;
5. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 .
第四章 不定积分 （一） 概念和性质
1、 原函数：在区间I 上，若函数)(x F 可导，且)()(x f x F ='，
则)(x F 称为)(x f 的一个原函数。

2、 不定积分：在区间I 上，函数)(x f 的带有任意常数的原函数
称为)(x f 在区间I 上的不定积分。

3、 基本积分表（P188，13个公式）； 4、 性质（线性性）。

（二） 换元积分法
1、 第
一
类
换
元
法
（
凑
微
分
）：
[])()(d )()]([x u du u f x x x f ϕϕϕ=⎰⎰='
2、 第
二
类
换
元
法
（
变
量
代
换
）：
[])(1d )()]([)(x t t t t f dx x f -='=⎰⎰ϕϕϕ
（三） 分部积分法：
⎰⎰-=vdu uv udv
（四） 有理函数积分
1、“拆”；
2、变量代换（三角代换、倒代换等）。

第五章 定积分 （一） 概念与性质： 1、 定义：
∑⎰
=→∆=n
i i i b
a
x f dx x f 1
)(lim )(ξλ
2、 性质：（7条）
性质7 （积分中值定理） 函数)(x f 在区间],[b a 上连续，则
],[b a ∈∃ξ，使
))(()(a b f dx x f b
a
-=⎰
ξ （平均值：
a
b dx x f f b
a
-=
⎰)()(ξ）
（二） 微积分基本公式（N —L 公式） 1、 变上限积分：设⎰
=
Φx
a
dt t f x )()(，则)()(x f x =Φ'
推广：)()]([)()]([)()
()(x x f x x f dt t f dx
d x x ααβββα'-'=⎰ 2、 N —L 公式：若)(x F 为)(x f 的一个原函数，则
)()()(a F b F dx x f b
a
-=⎰
（三） 换元法和分部积分 1、 换元法：
⎰⎰
'=β
α
ϕϕt t t f dx x f b
a
d )()]([)(
2、 分部积分法：[]⎰⎰
-=b
a
b a
b
a
vdu uv udv
（四） 反常积分 1、 无穷积分：
⎰
⎰+∞→+∞
=t
a
t a dx x f dx x f )(lim )( ⎰
⎰
-∞→∞-=b
t
t b
dx x f dx x f )(lim
)(
⎰
⎰
⎰
+∞
∞
-+∞
∞
-+=0
)()()(dx x f dx x f dx x f
2、 瑕积分：
⎰⎰+→=b
t
a
t b
a dx x f dx x f )(lim )(（a 为瑕点）
⎰⎰
-→=t
a
b
t b
a
dx x f dx x f )(lim )(（b 为瑕点）
两个重要的反常积分：
1) ⎪
⎩⎪
⎨⎧>-≤∞+=-∞+⎰1 ,1
1
,d 1p p a p x x p a p 2) ⎪
⎩⎪⎨⎧≥∞+<--=-=--⎰⎰1
,1 ,1)()(d )(d 1q q q a b x b x a x x q
b a q b a q
第六章 定积分的应用 （一） 平面图形的面积
1、 直角坐标：⎰-=
b
a
dx x f x f
A )]()([12
2、 极坐标：⎰-=βαθθϕθϕd A )]()([2
12
122
（二） 体积
1、 旋转体体积：
a)曲边梯形x b x a x x f y ,,),(===轴，绕x 轴旋转而成的旋
转体的体积：⎰
=b
a x dx x f V )(2
π b)曲边梯形x b x a x x f y ,,),(===轴，绕y 轴旋转而成的旋
转体的体积：⎰=b
a
y
dx x xf V )(2π （柱壳法）
2、 平行截面面积已知的立体：⎰
=b
a
dx x A V )(
（三） 弧长
1、 直角坐标：[]⎰
'+=b
a
dx x f s 2
)(1
2、 参数方程：[][]⎰'+'=
β
α
φϕdt t t s 2
2)()(
3、 极坐标：[][]⎰'+=βα
θθρθρd s 22)()(
第七章 微分方程 （一） 概念
1、 微分方程：表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系
的方程。

阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数。

2、 解：使微分方程成为恒等式的函数。

通解：方程的解中含有任意的常数，且常数的个数与微分方程的阶数相同。

特解：确定了通解中的任意常数后得到的解。

（二） 变量可分离的方程
dx x f dy y g )()(=，两边积分⎰⎰=dx x f dy y g )()(
（三） 齐次型方程
)(x y dx dy ϕ=，设x y u =，则dx
du
x u dx dy +=；
或)(y x dy dx φ=，设y x v =，则dy
dv y v dy dx += （四） 一阶线性微分方程
)()(x Q y x P dx
dy
=+ 用
常
数
变
易
法
或
用
公
式
：
⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰
=⎰-C dx e x Q e y dx x P dx
x P )()()(
（五） 可降阶的高阶微分方程
1、)()
(x f y
n =，两边积分n 次；
2、),(y x f y '=''（不显含有y ），令p y ='，则p y '=''；
3、),(y y f y '=''（不显含有x ），令p y ='，则dy dp
p y =''
（六） 线性微分方程解的结构
1、21,y y 是齐次线性方程的解，则2211y C y C +也是；
2、21,y y 是齐次线性方程的线性无关的特解，则2211y C y C +是方程的通解；
3、*
2211y y C y C y ++=为非齐次方程的通解，其中21,y y 为对应
齐次方程的线性无关的解，*
y 非齐次方程的特解。

（七） 常系数齐次线性微分方程
二阶常系数齐次线性方程：
0=+'+''qy y p y
特征方程：02
=++q pr r ，特征根：
21,r r
特征根
通 解
实根 x
r x
r e C e C y 2121+= 2
21p
r r -
==
x
r e
x C C y 1)(21+=
β
αi r ,±=21
)sin cos (21x C x C e y x
ββα+=
（八） 常系数非齐次线性微分方程 )(x f qy y p y =+'+''
1、
)()(x P e x f m x λ=
设特解)(*x Q e x y m x k λ=，其中 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=是重根
是一个单根
不是特征根
, λ, λ, λk 210
2、
()x x P x x P e x f n l x ωωλsin )(cos )()(+=
设特解[]x
x R x x R e x y m m x k ωωλsin )(cos )()
2()1(*+=，
其中 } ,max{n l m =，⎪⎩⎪⎨⎧++=是特征根
不是特征根i i k ωλωλ ,1 ,0
21
r r ≠。