(第六部分)曲面积分习题解答
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第十章 曲线积分与曲面积分
(第六部分)曲面积分习题解答
一、对面积的曲面积分
1.计算曲面积分⎰⎰∑
+
+dS y x z )342(，其中∑为平面14
32=++z
y x 在第一卦限中的部分． 分析 因为∑：
14
32=++z y x ，可恒等变形为∑：y x z 34
24--=，又因被积函数
y x z 3
42+
+与∑形式相同，故可利用曲面方程来简化被积函数，即将434
2=++y x z 代
入，从而简化计算。
解 平面∑方程的为)3
21(4y
x z --
=（如图）， ∑在xoy 面上的投影区域xy D ：
0,0,13
2≥≥≤+y x y
x ；34,2-=∂∂-=∂∂y z x z ，面积元素 dxdy dxdy y z x z dS 36112
2
=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+= 从而 ⎰⎰⎰⎰⋅
=+
+∑
xy
D dxdy dS y x z 3
61
4)3
4
2( 614322
1
3614=⋅⋅⋅=
. 2. 计算曲面积分⎰⎰∑
+dS y x |)|(，其中∑为1||||||=++z y x .
解 由对称性可知，
=⎰⎰∑
xdS ，由轮换对称性和代入技巧知，
⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑
∑∑
=++=
dS dS z y x dS y 31
|)||||(|31||，再由曲面积分的几何意义知，34238=⋅
=⎰⎰∑
dS ，所以，33
4|)|(=
+⎰⎰∑
dS y x
.y
二、对坐标的曲面积分
1.计算曲面积分⎰⎰∑
dydz x 2．其中∑为球面2222R z y x =++在第一卦限部分的上侧。
分析 由于∑不是封闭曲面，且只是对坐标z y ,的曲面积分，故直接计算即可。 解 因∑：222z y R x --=取前侧，且∑在yoz 面上的投影区域为
0 ,0 , :222≥≥≤+z y R z y D yz .
于是得 ⎰⎰∑
dydz x 2
dydz z y R yz
D ⎰⎰--=
)(2
2
2
⎰
⎰⋅-θ=π
R
rdr r R d 0
2
22
0 )( 402228
1
41212R r r R R
π=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π=. 2. 计算曲面积分⎰⎰∑
++=
ydzdx xdydz zdxdy I ．
其中∑是柱面122
=+y x 被平面0=z 及
3=z 所截得的在第一卦限内的部分的前侧。
分析 本题为计算对坐标的组合积分，但由于∑不是封闭曲面，且其中的三个曲面积分化为二重积分计算又比较容易（因为∑为柱面，在xoy 坐标面上的投影0=dxdy ），故直接计算即可。
解 因∑在xoy 坐标面上的投影0=dxdy ，所以0=⎰⎰∑
zdxdy ；
又∑在yoz 、zox 坐标面上的投影区域为：
30 ,10 :≤≤≤≤z y D yz ； 30 ,10 :≤≤≤≤z x D zx .
⎰⎰∑
++=ydzdx xdydz zdxdy I
⎰⎰⎰⎰∑
∑
+=
ydzdx xdydz
⎰⎰⎰⎰
-+-=
zx
yz
D D dzdx x dydz y 2211
⎰⎰
-=3 0 1 0
212dz dx x 3412⋅π⋅=π=2
3
.
3. 计算曲面积分⎰⎰∑
++-+=dxdy z y dzdx z y x dydz xz I )2()(2222．其中∑为上半球体
222a y x ≤+，2220y x a z --≤≤的表面外侧。
分析由于 为封闭曲面，所以可采高斯公式计算。
解 本题中，2xz P =，22z y x Q -=，z y R 22+=．积分曲面∑为封闭曲面，设∑所围成的空间闭区域为Ω(如图)，则
Ω：222a y x ≤+，2220y x a z --≤≤；
或 Ω：a r ≤≤0，2
0π
≤ϕ≤，π≤θ≤20.
于是由Gauss 公式，得
⎰⎰⎰Ω
∂∂+∂∂+∂∂=
dxdydz z
R y Q x P I )(
⎰⎰⎰Ω
++=dxdydz y x z )(2
2
2
⎰⎰⎰
ϕ⋅ϕθ=
ππ
a
dr r r d d 0
222
0 2 0
sin 55
2a π=
. 注 若将本题中的积分曲面∑改为上半球面222y x a z --=的上侧，则由于∑不是封闭曲面，又不是平面块，采用下述方法计算较为简便，现计算如下：
补平面块)( ,0 :222a y x z ≤+=∑'取下侧，则∑与∑'构成一封闭曲面，且取外侧（如图所示）。在封闭曲面∑'+∑上应用Gauss 公式，得
⎰⎰∑'
+∑++-+dxdy z y dzdx z y x
dydz xz )2()(222
2
⎰⎰⎰Ω
∂∂+∂∂+∂∂=dv z R
y Q x P )(⎰⎰⎰Ω
++=
dv y x z
)(2
22
⎰⎰
⎰
ϕ⋅ϕθ=
π
π
a
dr r r d d 0 2
2
2
0 2 0
sin 55
2
a π=.
又 ⎰⎰∑'
++-+dxdy z y dzdx z y x dydz xz )2()(2222
⎰⎰∑'
+=dxdy z y )2(2222a dxdy xy
D π-=-=⎰⎰.
故 ⎰⎰⎰⎰∑'
+∑∑'
++-+-=dxdy z y dzdx z y x dydz xz I )2()( )(2222
)2(5225a a π--π=
)5(5
2
32a a +π=.
y
y