效用(范里安微观经济)

例子：
如果U(x1,x2) = x11/2 x22 ，
U 1 1/ 2 2 MU1 x1 x2 x1 2 U 1/ 2 MU 2 2 x1 x2 x2
注意：
边际效用的量值取决于效用的 量值，取决于所选择的测度效用的 特定办法。边际效用本身没有行为 方面的内容，但可以用来计算描述 消费者行为的边际替代率。
x1
其它形式的柯布－道格拉斯函数
U(xU(x1,x2)
=aln x1 +(1-a)ln x2
Marginal Utilities

4.3 边际效用
商品2的数量保持不变，总效用对商品1 数量的变动率（rate-of-change）称为 商品1的边际效用
U MU i xi
U ( 1)( x2 ) x1 U ( x1 )( 1) x2
x2 x1
d x2 U / x1 x2 MRS . d x1 U / x2 x1
x U(x1,x2) = x1x2; MRS 2 x1
x2
8 6
MRS(1,8) = - 8/1 = -8 MRS(6,6) = - 6/6 = -1.
边际效用和边际替代率
无差异曲线的一般表达形式：
U(x1,x2) k
U U dx1 dx2 0 对等式两边求微分： x1 x2

变形得：
d x2 U / x1 .这就是MRS d x1 U / x2
一个例子

假设U(x1,x2) = x1x2，则：
Utility Function 效用是描述偏好的一种方法 效用函数：是为每个可能的消费束指派 一个数字，使得指派给受较多偏好的消 费束的数字大于指派给受较少偏好的消 费束的数字的方法。 即(x1,x2) ( y1,y2)，当且仅当 u(x1,x2) > u(y1,y2).

p

序数效用(ordinal utility)：强调商品 束的排列次序，任意两个商品束之间 的效用差额的大小无关紧要。
U = 36 1 6 U=8 x1
拟线性函数的边际替代率
U(x1,x2)
= f(x1) + x2
U 1 x2
U f ( x1 ) x1
d x2 U / x1 MRS f ( x1 ). d x1 U / x2
MRS与x2无关 x2 MRS is a MRS =- f(x1’) constant along any line MRS = -f(x1”) for which x1 is constant
x1’
x1”
x1
边际效用函数取决于描述行为的效用 函数，而边际效用的比率同选择的效 用函数的特定变换没有关系。 对效用函数作单调变换，其边际替代 率不会改变。 设V = f(U)，则：

V / x1 f (U ) U / x1 MRS V / x2 f '(U ) U / x2

U(x1,x2) = x1c x2d
E.g. (c > 0, d > 0) U(x1,x2) = x11/2 x21/2 (c = d= 1/2) U(x1,x2) = x1 x23 (c = 1, d = 3)


柯布－道格拉斯偏好是性状良好的无差 异曲线的标准范例
x2
c=1/2, d=1/2
柯布－道格拉斯函数的指数表达形式：
u( x1 , x2 ) x x
c 1
d 2
c 1 d 1 2 c d 1 1 2
u( x1 , x2 ) / x1 cx x MRS u( x1 , x2 ) / x2 dx x cx2 dx1
单调变换不改变边际替代率

(4,1) ~ (2,2)
V(2,3) = 36 > V(4,1) = V(2,2) = 16
因此：(2,3)

(4,1) ~ (2,2)
V 和U代表相同的排序，表示相同的偏好
p
p
单调变换例2：
U(x1,x2) = x1x2 (2,3) (4,1) ~ (2,2) 令W = 2U + 10 则 W(x1,x2) = 2x1x2+10 W(2,3) = 22 > W(4,1) = W(2,2) = 18 因此 (2,3) (4,1) ~ (2,2). W 和U代表相同的排序，表示相同的偏好
5 3
拟线性偏好
U(x1,x2)
= f(x1) + x2
效用函数对商品2来说是线性的，但对 商品1来说是非线性的，因此称为准线 性 （ quasi-linear ） E.g. U(x1,x2) = 2x11/2 + x2.
x2
每条无差异曲线都是一条 单一的无差异曲线垂直移 动的结果
x
1
柯布－道格拉斯偏好

用离开原点的距离量度
x2
4 3
2
1
0
x1
4.3 效用函数的几个例子
已知效用函数推导无差异曲线 U(x1,x2)=k 判断某函数是否是效用函数：


（1）沿着无差异曲线，它是否等于常数：： （2）对于较偏好的消费束，它是否指派了 较大的数字。
几个例子
完全替代（Perfect substitute） – V(x1,x2) = ax1 + bx2 完全互补（Perfect complement） – W(x1,x2) = min{ax1,bx2} 拟线性偏好（Quasi-linear） – U(x1,x2) = f(x1) + x2 柯布－道格拉斯偏好（Cobb-Douglas）
第4章 效 用
Utility
本章结构安排

效用函数 (Utility function ）
－定义（Definition） －单调转换（ Monotonic transformation ） －效用函数的几个例子
边际效用（ Marginal utility ） 边际替代率（MRS）

4.1 效用函数
单调变换：是以保持数字次序不变的方 式将一组数字换成另一组数字的方法。 通常用f(u)来表示单调变换。 单调变换的变动率总是正的。

f (u2 ) f (u1 ) f 0 u u2 u1

一个效用函数的单调变换还是一个效用 函数，这个效用函数代表的偏好与原效 用函数所代表的偏好相同。

从几何角度看，效用函数是一种给 无差异曲线标明序数的方法：较高 效用的无差异曲线得到较大的数字。 单调变换不过是对无差异曲线重新 标明数字。 x2
(2,3)
(2,2)
U6 (4,1) U 4
p
x1
单调变换例1：
U(x1,x2) = x1x2 (2,3) 令 V = U2 则 V(x1,x2) = x12x22

例如：U(x) = 6， U(y) = 2，则商品 束x严格偏好于商品束y 。但并不意 味着对x的偏好是 y的3倍。
指派效用的不同办法
商品束
A B C
效用1 效用2 效用3 （u1） （ u 2） （ u 3） 3 17 －1 2 10 －2 1 0.002 －3
注意：不可能只有一种为商品束指派效用 的办法。只要能够找到一种，通过单调变 换就能够找到无限多种。
U / x1 . U / x2
如果两个效用函数的边际替代率相 同，那么这两个效用函数就有相同 的无差异曲线。 例子：柯布－道格拉斯函数的对数形 式：
u ( x1 , x2 ) c ln x 1 d ln x2
u ( x1 , x2 ) / x1 x1 cx2 MRS u ( x1 , x2 ) / x2 d dx1 x2 c

p
p
基数效用
Cardinal Utility

基数效用论认为，效用如同长度、重量 等概念一样，可以具体衡量并加总求和， 具体的效用量之间的比较是有意义的。 表示效用大小的计量单位被称作效用单 位。
4.2 构造效用函数
Utility Function 不是每一种偏好都能用效用函数来表示， 通常能够找到效用函数来表示性状良好 的偏好。 根据无差异曲线构造效用函数

– U(x1,x2) = x1a x2b
完全替代: V(x1,x2) = x1 +
x2
13 9 5
x2
x1 + x2 = 5
x1 + x2 = 9 x1 + x2 = 13
5
9
13
x1
完全互补: W(x1,x2) =
x2 min{x1,x2} 45o
8
min{x1,x2} = 8
min{x1,x2} = 5 min{x1,x2} = 3 3 5 8 x1