第一讲 集合中的计数问题
3.3集合的计数
集合的分类
如果集合A的元素个数为n，则记为|A|=n； 称A为有限集合（有穷集）；否则称A为 无限集合（无穷集）。
有穷集的计数
(1)max(A,B)≤AB≤A+B
(2)AB≤min(A,B)
(3)A—B≤A—B≤A (4)若A,B不相交,则AB=A+B
Байду номын сангаас
多个集合的包含排斥定理
三个集合的包含排斥定理 |A∪B∪C=A+B+C -A∩B-A∩C-B∩C +A∩B∩C =S1-S2+S3 |A1∪A2∪……∪An|=S1-S2+...+(-1)n-1Sn
例2、求1到500之间能被2,3,7任一数 整除的整数个数。
解 : 设 1 到 500 间分别能被 2,3,7 整除的整数集合为 A,B,C 。 则求： A∪B∪C。 可知：A=[500/2]=250(注[x]表示不大于x的最大整数)
B=[500/3]=166;
C=[500/7]=75;
A∩B=[500/(2*3)]=83;A∩C=[500/(2*7)]=35; B∩C=[500/(3*7]]=23; A∩B∩C =[500/(2*3*7)]=11 ∴A∪B∪C= S1-S2+S3 =(250+166+71)-(83+35+23)+11=357
习题
1、某班有25个学生，其中14人会打篮球， 12人会打排球，6人会打篮球和排球，5人 会打篮球和网球，还有2人会打这3种球， 而6个会打网球的人都会打另外一种球（指 篮球和排球），求不会打这3种球的人数）
2、对24名科技人员进行掌握外语情况的 调查，其统计资料如下：会英、日、德和 法语的人数分别为13、5、10、9人，其中 同时会英语和日语的有2人。同时会英语和 法语的，或者同时会英语和德语，或者同 时会法语和德语各有4人。会日语的人既不 懂法语也不懂德语。由上述资料，知道在 这24名人员中只掌握一门外语的人数：会 英语的(?)人,会法语的(?)人,会德语的(?)人, 会日语的(?)人,会英、德、法语的(?)人
第一讲集合中的计数问题
第一讲---集合中的计数问题一．基本问题1．含有个元素的集合的子集的个数；2．领悟容斥原理并简单的应用之.二．学习目标1．通过探究含有个元素的集合的子集的个数，培养学生猜证结合的数学思想，渗透乘法计数原理和等比数列的基本内容；2．通过容斥原理的探究，加深学生对集合运算的理解，提高学生的逻辑推理能力.3．通过针对性的习题训练，培养学生分析问题的能力.三．课程内容1．含有个元素的集合的子集的个数引例：（1）用列举法表示集合，（2）上述集合有多少个子集？答案：（1）（2）共有8个子集.注：要求学生把8个子集列举出来.问：如何探究含有n个元素的集合的子集的个数规律呢？填写下列表格：集合元素个数n 子集个数发现规律1 22 43 84 165 32发现了什么样的规律呢？猜测：含有个元素的集合的子集的个数为.如何证明这一猜测呢？方法一含有n+1个元素的集合的子集个数与含有n个元素的集合的子集个数有什么关系吗？发现：集合每增加一个新元素x时，若将元素x加入到其原有的每一个子集，就可以得到同等数量的新的子集，故可知集合每增加一个元素，其子集个数翻倍。
即：.又,所以.方法二我们还可以发现：把一个子集的产生过程分成n步，逐个确定每一个元素是否被选入，完成这一过程一共有多少种不同的方式，就对应多少个子集.依据乘法计数原理：完成一件事需要n步，每一步分别有种的方式，则完成这件事共有种不同的方式.可得含有个元素的集合的子集的个数为例1 如果A，则满足条件的集合A有_______个.解:所以满足条件的集合A的个数等于集合的非空子集的个数，共个.总结：探究新问题时，要从简单的具体的情况入手，归纳多种特殊情况下结论的共性或关联，而后在想办法进行一般性论证。
2．容斥原理及其应用引例：如果集合A中有10个元素，集合B中有8个元素，问：（1）集合中最多有多少个元素？最少有多少个元素？（2）如果集合中有15个元素，那么集合中有多少个元素？由此例，可以总结出怎样的规律？设表示集合A中元素的个数，则这就是统计两个集合元素个数的基本原理---容斥原理.容斥原理可以拓展为求n个集合元素总数的情形，它是以两个集合的容斥原理为基础的.例2某学校先后举行数学、物理、化学三科知识竞赛，共有965人参赛，事后统计表明：数学答卷807份，物理答卷739份，化学答卷437份，又统计出有593人都参加了数学和物理竞赛，有371人都参加了数学和化学竞赛，有267人都参加了物理和化学竞赛，问：（1）其中参加数学或物理竞赛的同学共有多少人？没有参加数学或化学竞赛的共多少人？（2）共有多少人参加了三科竞赛？解：设参加数学竞赛的同学构成集合A，参加物理竞赛的同学构成集合B，参加化学竞赛的同学构成集合C，由已知可知：而，且（1）参加数学或物理竞赛的总人数，而没有参加数学或化学竞赛的人数为（2）所求依据容斥原理，可以得到如下公式：所以即共有213人参加了三科竞赛.容斥原理：在计数时，先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
01第一章 集合与计数原理【讲义】
第一讲 集合与计数原理一、基础知识定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x 在集合A 中，称x 属于A ，记为A x ∈，否则称x 不属于A ，记作A x ∉。
例如，通常用N ，Z ，Q ，B ，Q +分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用∅来表示。
集合分有限集和无限集两种。
集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如{1，2，3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。
例如{有理数}，}0{>x x 分别表示有理数集和正实数集。
定义2 子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，则A 叫做B 的子集，记为B A ⊆，例如Z N ⊆。
规定空集是任何集合的子集，如果A 是B 的子集，B 也是A 的子集，则称A 与B 相等。
如果A 是B 的子集，而且B 中存在元素不属于A ，则A 叫B 的真子集。
定义3 交集，}.{B x A x x B A ∈∈=且 定义4 并集，}.{B x A x x B A ∈∈=或定义5 补集，若},{,1A x I x x A C I A ∉∈=⊆且则称为A 在I 中的补集。
定义6 差集，},{\B x A x x B A ∉∈=且。
定义7 集合},,{b a R x b x a x <∈<<记作开区间),(b a ，集合},,{b a R x b x a x <∈≤≤记作闭区间],[b a ，R 记作).,(+∞-∞定理1 集合的性质：对任意集合A ，B ，C ，有：（1）);()()(C A B A C B A = （2）)()()(C A B A C B A =； （3）);(111B A C B C A C = （4）).(111B A C B C A C =定理2 加法原理：做一件事有n 类办法，第一类办法中有1m 种不同的方法，第二类办法中有2m 种不同的方法，…，第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事一共有n m m m N +++= 21种不同的方法。
3.3 集合中元素的计数 (1)
难点：文氏图法公式法——包含排斥原理教Biblioteka 内容:3.3集合中元素的计数
一、本节主要内容
集合的基数与有穷集合
包含排斥原理
有穷集的计数
二、教学内容
集合的基数与有穷集合
集合A的基数：集合A中的元素数，记作cardA
有穷集A：cardA=|A|=n，n为自然数.
有穷集的实例：
例2
24名科技人员，每人至少会1门外语.
英语：13；日语：5；德语：10；法语：9
英日：2;英德：4；英法：4；法德：4
会日语的不会法语、德语
求：只会1种语言人数，会3种语言人数
x+2(4-x)+y1+2=13
x+2(4-x)+y2=10
x+2(4-x)+y3=9
x+3(4-x)+y1+y2+y3=19
授课时间第七周第1次课
授课章节
3.3集合中元素的计数
任课教师
及职称
唐新华
教学方法
与手段
板书和电子课件结合
课时安排
2课时
使用教材和
主要参考书
1、教材：
耿素云等，离散数学，清华大学出版社，2008
2.参考书
左孝琳、李为槛、刘永才，离散数学（上海科技文献版）2006
教学与目的要求：
掌握有穷集合的计数方法
教学重点、难点:
证明
证明要点：任何元素x，如果不具有任何性质，则对等式右边计数贡献为１，否则为０
证设x不具有性质P1, P2, … , Pm ,
xAi , i = 1, 2, … , m
xAiAj , 1i < jm
3.1集合的基本概念-3.3集合中元素的计数精品PPT课件
3.2 集合的基本运算
集合基本运算的定义
文氏图（John Venn） 例题 集合运算的算律 集合包含或恒等式的证明
14
集合基本运算的定义
并
AB = { x | xA xB }
交
AB = { x | xA xB }
相对补（差） AB = { x | xA xB }
对称差
AB = (AB)(BA)
6
集合与元素
集合的元素是彼此不同的，如果同一个元素在集合中多次 出现应该认为是一个元素，如 {1，1，2，2，3}＝{1，2，3}
集合的元素是无序的，如 {1，2，3}＝{3，1，2}
元素与集合的关系：隶属关系 属于，不属于
实例 A={ x | xRx2-1=0 }, A={-1,1} 1A, 2A
= (AB)(AB)
绝对补
A = EA
Байду номын сангаас
15
例如 则有
A＝{a，b，c}，B＝{a}，C＝{b，d} A∪B＝{a，b，c}，A∩B＝{a}，A－B＝{b，c}，
B－A＝ ，B∩C＝
如果两个集合的交集为 ，则称这两个集合是不相交
的。例如B和C是不相交的。
16
文氏图表示
17
关于运算的说明
运算顺序： 和幂集优先，其他由括号确定 并和交运算可以推广到有穷个集合上，即
集合运算的算律（续）
D.M 律 双重否定
A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC)
(BC)=BC (BC)=BC
A=A
补元律 零律 同一律 否定
AA=(矛盾律)
A= A=A =E
E AA=E(排中律)
AE=E AE=A E=
第1篇预备知识ch1集合论ch2计数问题
2.3.2 容斥原理(The Principle of Inclusionexclusion) • 定理1.3.2 设A和B是任意有限集合,则有 • A∪B= A+ B- A∩B • 容斥原理可推广到n个有限集上。 • 例4 求从1到1000的整数中不能被5、6和8中任何 一个整除的整数个数。 • 例5 有100个学生，其中60个爱看小说，30个爱下 棋，10个既爱看小说，又爱下棋，5个既爱看小说， 又爱跳舞，没有既爱下棋，又爱跳舞的，三种活 动都不爱的有10个，问有几个学生爱跳舞？
定义1-1.1
设A、B是任意两个集合，如果A的每
一个元素都是B的元素，则称集合A是集合B的 子集合（或子集，subsets），或称A包含在B 内，记为AB ；或称B包含A，记为BA 。 即
AB x(xAxB)
设A，B，C为任意集合，根据定义，显然有： 包含关系具有自反性：A A 包含关系具有传递性：若A B且B C，则A C。
第一篇
预备知识
第一章
集合论
第1章 集合
1-1 集合的概念和表示
1-2 集合运算 第2章 计数问题 2-1 基本原理 2-2 排列与组合 2-3 鸽笼原理与包含排斥原理（容斥原理） 2-4 离散概率简介 2-5 递归关系
1-1 集合的基本概念
集合是一些ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ定的、作为整体识别的、互相区别
的对象的总体。
。
• 证明思路： 根据并运算和交运算的定义， 先证： 等式的左端 等式的右端。 对任意x 左端 x 右端 再证： 等式的右端 等式的左端。 对任意x 右端 x 左端
•
定理1-2.2 设 A、B 为任意两个集合，则下列关系式 （吸收率）成立：
a) A (AB)=A b) A (AB)=A
10的集合计数教案
10的集合计数教案教案：10的集合计数一、教学目标1.了解集合的基本概念和符号表示法；2.掌握计算10的集合计数的方法；3.能够解决与10的集合计数相关的问题。
二、教学准备1.小白板/黑板和白板笔/粉笔；2.教学用具：10个小球/图钉等。
三、教学步骤步骤一：引入1.创设情境：张三有10个不同颜色的小球，他想知道组成多少种不同的排列组合。
2.提问引导学生思考：如果给你10个小球，你能够组成多少种不同的排列组合呢？步骤二：讲解集合的基本概念1.定义集合：集合是由一些确定的对象构成的整体。
集合中的对象称为元素，用大写字母和花括号表示（如集合A：{a, b, c}）。
2.元素的个数称为集合的基数，用竖线表示（如集合A的基数：|A|）。
3.当集合A中的元素都是从集合B中选出来的，且集合A的基数等于集合B的基数时，集合A和集合B称为相等集合，用等号表示（如集合A = 集合B：A = B）。
步骤三：介绍10的集合计数方法1.列出全排列：将10个小球按照不同顺序排列，计算总共有多少种情况。
–第一个小球有10种选择，第二个小球有9种选择，以此类推，第十个小球有1种选择；–一共有10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 10!（10的阶乘）种情况。
2.列出组合数：从10个小球中选取一部分进行组合，计算总共有多少种情况。
–使用组合数公式：C(n, k) = n! / (k! × (n-k)!)，其中n为总数，k为选取的个数；–具体计算过程为：C(10, 0) + C(10, 1) + C(10, 2) + …+ C(10, 10) = 2^10 - 1 = 的二进制表示为1010 11111111）。
步骤四：练习与巩固1.练习一：如果有20个不同颜色的小球，计算组成的排列组合数。
2019届高中数学专题--集合中的计数.高考中的亮点(共19张PPT)(共19张PPT)
6.(2006 年辽宁高考试题)设集合 A={1,2},则满足 A∪B={1,2,3}的集合 B 的个数是( (A)1 (B)3 (C)4 (D)8
子题详解:
5.解:故选(B). 6.解:由 A={1,2},A∪B={1,2,3} B={3}∪X,其中 X 满足 X A,所以,B 的个数=X 的个数=A 的子集个数=22=4. 故选(C).
X A X
n
1. 元素个数
子题类型Ⅰ:(2013 年大纲高考试题)设集合 A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则 M 中元素的个数为( )
(A)3 (B)4 (C)5 (D)6
［解析］由 A 中的最小元素为 1,B 中的最小元素为 4 M 中的最小元素为 5;又由 A 中的最大元素为 3,B 中的最大元素为 5 M 中的最大元素为 8,且 M 中的元素构成连续的整数 M 中元素的个 数=8-5+1=4.故选(B).
集合计数问题与枚举计数、排列和组合方法有关,不仅具有综合性,而且还 具有技巧性,是数学竞赛的热点问题,随着高考的继续和深入,集合计数已成为 高考的热点问题。 母题结构: 母题解析:
关于子集个数有如下结论:①如果 A 是 n 元集合,则 A 的子集个数为 2 ;②满足条件 A∪X=M 的集合 X 的个数等于集合 A 的子集个数;③满足条件 A∩X=M 的集合 X 的个数等于集合 CUA 的子集个数。
子题类型Ⅲ:(2011 年安徽高考试题)设集合 A={1,2,3,4,5,6},B={4,5,6,7}, 则满足 S A,且 S∩B≠ 的集合 S 的个数 是( ) (A)57 (B)56
6
(C)49
(D)8
3
集合的子集与幂集的计数
集合的子集与幂集的计数在数学中，集合是一种包含多个元素的概念，而子集和幂集则是集合的重要概念之一。
本文将介绍集合的子集与幂集，并探讨如何计算它们的数量。
一、子集的概念与计数子集是指一个集合中的部分元素构成的集合。
对于一个集合A，如果B中的每一个元素都是A中的元素，那么B就是A的子集。
一个集合的子集包括空集和该集合本身，同时还包括所有仅包含该集合部分元素的子集。
为了计算一个集合的子集数量，我们可以使用二进制的方法。
假设一个集合A有n个元素，那么它的子集的数量为2^n个。
这是因为对于A中的每个元素，都可以选择将它包含在子集中或者不包含在子集中，所以总共有2^n种选择。
举个例子，对于集合{1, 2, 3}，它的子集可以是：{},{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}，共计8个子集。
二、幂集的概念与计数幂集是指一个集合中所有可能子集构成的集合。
对于一个集合A，它的幂集为所有包含A的子集的集合，记作P(A)。
一个集合的幂集包括空集和该集合本身，以及所有的子集。
计算一个集合的幂集数量可以使用组合数学的概念。
假设一个集合A有n个元素，那么它的幂集的数量为2^n个。
这是因为在计算幂集时，我们可以对集合A的每个元素都有选择地将其包含在子集中，所以每个元素都有两种选择：包含或者不包含。
根据乘法原理，总的幂集数量为2^n。
举个例子，对于集合{1, 2, 3}，它的幂集可以是：{},{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}，共计8个子集。
三、子集与幂集的关系在集合论中，集合A的幂集是A的所有可能子集构成的集合。
也就是说，幂集P(A)包含了A的所有子集。
所以，可以得出一个结论：对于一个集合A，A的幂集数量为2^n，其中n为集合A的元素个数。
四、举例说明假设有一个集合A={a, b, c}，根据上述的计算方法，可以得到集合A的子集数量为8个，分别是：{},{a},{b},{c},{a, b},{a, c},{b, c},{a, b, c}。
集合与排列组合集合运算与排列组合的计数技巧
集合与排列组合集合运算与排列组合的计数技巧集合与排列组合：集合运算与排列组合的计数技巧在数学领域中，集合运算和排列组合的计数技巧是常见且重要的概念。
本文将探讨集合运算以及排列组合的基本概念和应用，帮助读者更好地理解和应用这些计数技巧。
一、集合运算集合运算是指对给定的集合进行操作，常见的集合运算包括交集、并集、差集和补集等。
1. 交集交集是指两个或多个集合中共有的元素所构成的集合。
例如，集合A={1, 2, 3}和集合B={2, 3, 4}的交集为A∩B={2, 3}。
2. 并集并集是指两个或多个集合中所有元素所构成的集合。
例如，集合A={1, 2, 3}和集合B={2, 3, 4}的并集为A∪B={1, 2, 3, 4}。
3. 差集差集是指从一个集合中去除与另一个集合中相同元素后所得到的集合。
例如，集合A={1, 2, 3}和集合B={2, 3, 4}的差集为A-B={1}。
4. 补集在集合论中，补集是指相对于全集的补集。
全集通常表示为U，对于给定集合A，补集表示为A'或A^c。
补集包括了全集中不属于给定集合的所有元素。
例如，若全集U={1, 2, 3, 4, 5}，集合A={2, 3}，则补集A'={1, 4, 5}。
二、排列组合排列组合是数学中涉及计数和次序的概念，用于解决“从给定元素中选取若干个元素进行排列或组合”的问题。
1. 排列排列是指从给定元素中选取若干个元素按照一定的次序进行排列。
排列通常分为有重复和无重复的情况。
- 无重复的排列当从n个元素中选取m个元素进行排列时，无重复的排列数表示为P(n, m)，计算公式为：P(n, m) = n! / (n-m)!- 有重复的排列当从n个元素中选取m个元素进行排列，其中元素可重复时，有重复的排列数表示为P_r(n, m)，计算公式为：P_r(n, m) = n^m2. 组合组合是指从给定元素中选取若干个元素进行组合，与排列不同的是，组合不考虑元素的次序。
集合的计数
Topic 6集合的計數6_1 交集、聯集、宇集、差集、補集由集合 A、B 的共同元素所成的集合，稱為 A、B 的交集，記為 A ∩ B。
由集合 A、B 的所㈲元素所成的集合，稱為 A、B 的聯集，記為 A ∪ B。
說明 A ∩ B = { x| x ∈ A 且 x ∈ B } A ∪ B = { x| x ∈ A 或 x ∈ B }由在 A 而不在 B 的元素所成的集合，稱為 A 與 B 的差集合，記為 A − B。
說明 A − B = { x| x ∈ A，x ∉ B }。
討論範圍內最大的集合，稱為宇集，記作 U。
說明 擲㆒個骰子，則 U = { 1，2，3，4，5，6 }。
設 A 的宇集為 U，則 U − A 稱為 A 的補集，記為 A 。
說明 A = U − A = { x| x ∈ U，x ∉ A }。
6_2 集合的重要性質設 A、B 為㆓集合，則必滿足㆘列性質： ∅ ⊂ A、A ⊂ A、∅ ∩ A = ∅、∅ ∪ A = A。
( A ∩ B ) ⊂ A ⊂ ( A ∪ B )。
A ∪ B = B ∪ A、A ∩ B = B ∩ A，但 A − B = B − A 未必會成立。
若 A ⊂ B，則 A ∩ B = A、A ∪ B = B。
基礎概念 Topic 61A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C )、 A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C )。
A ∩ B = A ∪ B 、 A ∪ B = A ∩ B 。
( 此稱為迪摩根定理 )6_3 集合元素個數的計算設 n ( X ) 表示集合 X 所含的元素個數，則㈲㆘列計算公式：n ( A ∪ B ) = n ( A ) + n ( B ) − n ( A ∩ B )。
n(A∪B∪C)=n(A)+n(B)+n(C)−n(A∩B)−n(B∩C)− n ( C ∩ A ) + n ( A ∩ B ∩ C )。
集合中元素的个数问题
集合中元素的个数问题
集合元素个数的问题主要取决于集合的性质和表示方式。
以下是几种常见的求解集合元素个数的方法：
1.直接数：对于有限集合，可以直接数出其中的元素个数。
2.使用数学定义或性质：无限集合的元素个数：对于无限集
合，由于无法直接数出其中的元素个数，可以使用数学定义或性质推导出集合的元素个数。
3.利用集合的性质：有些集合具有特定的性质，可以通过这
些性质来求解元素个数。
4.利用集合的表示法：集合可以通过不同的表示法进行描述，
例如列表、集合符号表示法、集合的定义性描述等。
针对不同的表示法，可以采用不同的方法来求解元素个数。
例如，利用集合符号表示法{x x 0} 表示的是大于0的实数集合，可以通过定义集合的性质推导出元素个数。
综上所述，求解集合元素个数的方法主要包括直接数出、利用集合的性质、以及根据集合的表示法来求解。
集合的计数
例1、把n 个学生分成若干小组的每一个分法称为 n 分组，不同的分组种数记为，至少有一组只有一个学生的不同的n 分组，记为，求证， n a n b 1n n n a b b −=+证：为将n 个学生分组的方法种数, 是n 个学生分组并且使得至少有一组只有一个学生的方法种数。
是将个学生分组并且每组至少只有2个学生的方法种数。
n a n b n c 则 n n a b c n =+ ，只需证1n n c b −=，1n b − 是将n-1个学生分组并且是至少有一组只有一个学生的方法种数。
1nn c b −→第个学生离开第个学生所在的组分裂成单人组L 是从将n 个学生分组并且每组至少两个学生的分法集合，到将n-1个学生分组且至少有一组只有一个学生的方法集合，L 是将n 个学生此类分组的一种方法变为将第n 个学生从分组中去掉第n 个学生所在组分裂成一人一组，其他人所在组不变的一个映射，显然，这种映射一一对应，所以， 1n n c b −=例2、 集合x 划分为两两不交的子集，又划分为12,,......n A A A 12,,......n B B B ，已知任意两个不相交的子集，与i A j B 的并i j A B U ，至少含n 个元素，证明集合x 的元素个数至少为22n 证：不妨设{}1212min ,,...,,,...n n A A A A B B B =记1A k = 设与相交的1A j B 共有m 个，则与不相交1A j B 的共n-m 个，x k ≥ ()()()(2m n K n m n k n m n k )+−−=−−−若，则(2)n k −≥022()(2)22x n k n k n k n kn k ≥−−−=−+222222442222222n n n n kn k n kn k −+=+−+=+≥2若,则2n k −<02nk >，2,22n n x n ≥=例6、对于100个点，一共有个三角形，有个五点组，每个五点组至多有7个锐角三角形。
集合中的计数问题解决策略
集合中的计数问题解决策略
以集合为背景的计数问题是高中数学中的一个难点,也是近年来各类考试的热点.这类问题新颖灵活,有一定难度,本文以高考与竞赛题为例谈谈这类问题的求解对策
一、分类讨论法
二、利用不等式的性质
三、利用数论的知识（如剩余系）
四、利用抽屉原理
五、利用递推数列
六、利用配对原理
七、利用反证法
八、利用构造法
问题是数学的核心。
如何培养学生解决数学问题的能力是每个数学老师不可避免的话题，数学解题策略是为实现解题目的而确定的采取行动的方针、方式和方法.实践表明;认真审题,仔细观察是制定策略的主要手段;逻辑是制定策略的有力工具;数学知识是制定策略的主要依据;实践经验及其他学科知识是制定策略的丰富源泉。
人教A版必修1 第一章 PPT素材：集合中子集个数与元素个数问题
方法二
A
B
(5) (3) (9)
=5+3+9 =17 ∴两次运动会中，这个班共有17名同学参赛.
集合中元素个数问题
例4. 某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动 都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数是多少？ 【思路点拨】利用集合间的关系画出韦恩图，设出适当的未知数，建立方程解决．
∴满足条件的集合P的个数为32个 【方法归纳】 掌握将不熟悉的问题转化为熟知的问题这种思维方式.
集合中元素个数问题
例3. 学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动 会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参加的有3人，两次运动会中，这个班 共有多少名同学参赛？ 【思路点拨】运用有限集并的元素个数计数公式进行求解．
∵card(A∪B∪C) =card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B) -card(A∩C)-card(C∩B)+card(A∩B∩C)
∴49=28+25+15-8-6-7+ card(A∩B∩C)
∴同时参加数学、物理和化学小组的人数是2人
集合中元素个数问题
例5. 某班有49名同学，参加数学、物理和化学课外小组的人数分别为28,25,15(每人 至少参加一项)，同时参加数学和物理小组的有8人，同时参加数学和化学小组的有6 人，同时参加物理和化学小组的有7人，求同时参加数学、物理和化学小组的人数？
设两者都喜欢的人数为x人. 则只喜爱篮球的人数是 15-x =12
U(某班所有学生)
A(篮球)
B(乒乓球)
只喜爱乒乓球的的人数是 10-x ∵班级总人数为30人 ∴(15-x)+(10-x)+x+8=30
排列与组合
第一章 排列与组合第一讲、计数的基本原则A. 主要知识要点：1. 有限集、无限集、集合中元素的个数2. 一一映射、相等原则：设,A B 是两个有限集，如果存在由A 到B 上的一个一一对应映射，则A B =.3. 加法原则 如果完成一件事的全部方法可分成互不相容的K 类，其中属于第(1)i i k ≤≤类的方法有i n 种，则做这件事情的方法共有1ki i n =∑种.4. 乘法原则 已知做一件事要经过两个步骤，完成第一个步骤的方法有m 种，完成第一个步骤之后，完成第二个步骤的方法有n 种，则做这件事的方法共有mn 种.B. 典型例题例1 n 名选手参加乒乓球单打淘汰赛，需要打多少场比赛才能产生冠军？变形：有101名选手参加羽毛球比赛，如果采用单循环淘汰制，问要产生冠军需要进行多少场比赛？例2：设n 为大于1的正整数，求满足条件x y n +≤的有序整数对(,)x y 的个数.例3：把4个人分成两组，每组至少1人，求不同的分组方法数. 思考：能否使用包含排斥的问题来解决？例4.求n 元集12{,,}n A a a a =的子集的个数.思考：用乘法原则或者加法原则两种方法进行解答，能否得到多项式的结论.例5 以N 表示万位数字不是5且各位数字互异的5位数的个数，求N .例6. 设自然数(2)n n ≥的质因数分解式为1212k a a a k n p p p =，求n 的不同的正约数的个数.C. 相关习题：36 1-5P .第二讲：排列与组合 A.主要知识点：1.不允许重复的排列问题 例1: （1）从数字{1,2,9}选取数字构成四位数，如果要求每位数字都不相同，问有多少种方法？ （2）从数字{1,2,9}选取数字构成四位数，问有多少种选法？定义：从n 个元素的集合S 中有序的选取的r 个元素叫做S 的一个r 排列，不同的排列的总数记作(,)P n r .如果r n =，则称这个排列S 的全排列，简称为S 的排列.定理1：对满足r n ≤的正整数n 和r 有()!(,)(1)(1)!n P n r n n n r n r =--+=-. 推论1：n 元集的全排列的个数为!n .2.不允许重复的组合问题定义：从n 个元素的集合S 中无序的选取的r 个元素叫做S 的一个r 组合，不同的组合的总数记作(,)C n r .规定：0n ≥时，我们规定(,0) 1.C n = 定理2：对满足r n ≤的正整数n 和r 有(,)!(,)P n r r C n r =.重要概念：含有k 种不同元素的多重集S 记作1122{,,}k k n a n a n a3.多重集的排列问题 定义：从一个多重集S 中有序选取的r 个元素叫做S 的一个r 排列.当r n =时也叫做S 的排列.例如：{2,1,3}S a b c =，,acab abcc 是S 的4-排列，而abccca 是S 的排列.定理3：设多重集12{,,,}k S a a a =∞∞∞则S 的r 排列数是r k . 推论2：设多重集1122{,,}k k S n a n a n a =，且对一切1,2,i k =有i n r ≥，则S 的r 排列数是r k .定理4 设多重集1122{,,}k k S n a n a n a =，且12k n n n n =++，则S 的排列数等于12!!!!k n n n n •••.4.多重集的组合问题 定义：从一个多重集S 中选取的r 个元素叫做S 的一个r 组合.当r n =时则S 的-n 组合只有一个，就是S 本身.例如：{2,1,3}S a b c =，S 的2-组合有五个，它们是{a,a},{a,b},{a,c},{b,c},{c,c}. 定理5 设多重集12{,,,}k S a a a =∞∞∞则S 的r 组合数是(1,)C k r r +-. 推论4：设多重集1122{,,}k k S n a n a n a =，且对一切1,2,i k =有i n r ≥，则S 的r 组合数是(1,)C k r r +-.B.典型例题例1：求由n 个相异元1a 与2a 不相邻的全排列的个数.例2：（1）在5天内安排3次不同的考试，若每天至多安排一次考试，问有多少种排法？（2）同（1）中，若不限制每天考试的次数，问有多少种排法？例3：排列26个字母，使得在a 和b 之间正好有7个字母，问有多少种排法？例4：（1）10个男孩和5个女孩站成一排.如果没有两个女孩相邻，问有多少种排法？（2）10个男孩和5个女孩站成一个圆圈，如果没有两个女孩相邻，问有多少种排法？例5：设由1,2,3,4,5,6组成的各位数字互异的4位偶数共有N 个，它们的和记为M ，求N 和M .例6：由1,2,3,4,5,6可组成多少个大于35000的5位数？例7.用两面红旗，三面黄旗依次悬挂在一根旗杆上，问可以组成多少种不同的标志？例8.求多重集={5a,3b}M 的6-排列的个数.例9：在平面上给定25个点，其中任意三点都不在同一直线上，过两个点可以做一条直线，以三个点为顶点可以做一个三角形，问这样的直线和三角形各有多少？例10.设n A 是一个凸n 边形，在n A 的内部任何3条对角线不相交于同一点，求： （1）n A 的对角线的条数（2）由n A 的边和对角线围成的三角形的个数. 例11 求不定方程12n x x x r +++=的非负整数解的个数.例12 不定方程12()n x x x r r n +++=≥的正整数解的个数.例13 把r 件相同的物件分给n 个人的不同的方法数.例14 把r 件相同的物件分给()n n r ≤个人，每个人至少分得一件的不同的方法数.例15 试确定多重集12{1,,}k S a a a =∞∞的r 组合数.C. 相关的习题1.现有100件产品，从其中任意的抽出3件. （1）共有多少种不同的抽法？（2）如果100件产品中有2件次品，抽出的产品中至少有1件是次品的抽法有多少种？（3）如果100件产品中有两件是次品，抽出的产品中恰好有1件是次品的抽法有多少种？2.有纪念章4枚，纪念册6本，赠给10位同学，每人分得一件，共有多少种不同的送法？3.书架上有9种不同的书，其中4本是红皮的，5本是黑皮的. （1）9本书的排列有多少种？（2）若黑皮的书都排在一起，这样的排列有多少种？（3）若黑皮的书排在一起，红皮的书也排在一起，这样的排列有多少种？ （4）若黑皮的书与红皮的书必须相间，这样的排列又有多少种？4.（1）15名篮球运动员被分成A 、B 、C 三个组，使得每组有5名运动员，那么有多少种分法？（2）15名篮球运动员被分成三个组，使得每组有5名运动员，那么有多少种分法？5.从整数1,2……1000中选取三个数使得它们的和正好被4整除，问有多少种选法？6.有红球1个，黄球3个，白球3个，把它们排成一条直线，问有多少种排法？7.从{0,1,2}S =∞∞∞中取n 个数作成排列，若不允许相邻位置的数相同，问有多少种排法？8.把字母,,,,,,,a b c d e f g h 进行排列，使得a 在b 的左边，b 在c 的左边，问这样的排法有多少种？9.给出多元集1{2,1,3}a b c 的所有3-组合和4-组合数. 思考：确定多重集{3,4,5}S a b c =的10组合数.完成了思考题，请解答：确定方程1231235(02,02,15)x x x x x x ++=≤≤≤≤≤≤的整数解的个数. 9.36 6-16 19-32.P第三讲、组合数的基本性质A.主要知识点1.组合数的基本性质及二项式定理定理1： （1）(0)n n n k k n k ⎛⎫⎛⎫=≥≥ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭（2）11(1)1n n n n k k k k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>≥ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）1(1)1n n n n k k k k -⎛⎫⎛⎫=≥≥ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭（4）1(1)1n n n k n k k k k ⎛⎫⎛⎫-+=≥≥ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭（5）1(0)n n n n k k k n k -⎛⎫⎛⎫=>≥ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭定理2：()n m n n k n m k m k k m k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=≥≥ ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭定理3.（二项式定理）设n 是正整数，对一切x 和y 有0().nnk n k k n x y x y k -=⎛⎫+= ⎪⎝⎭∑推论1.设n 是正整数，对一切x ，有0(1).nnk k n x x k =⎛⎫+= ⎪⎝⎭∑推论2.设n 是正整数，有201n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭推论3.设n 是正整数，有(1)0012n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.定理4.（多项式定理）设n 是正整数，12,,k x x x 是任意k 个实数，则1212121212!()!!!k n n n n n k k n n n n k n x x x x x x n n n ++=++=∑推论1：在1()n k x x ++的展开式在合并同类项以后不同的项数是1n k n +-⎛⎫⎪⎝⎭.2.组合恒等式1.1112212nn k n n n n k n n k n -=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑. 2.221(1)2.nn k n k n n k -=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑ 3.0110m n m n m n m n r r r r +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭4.0011m n m n m n m n m m m +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭0011m n m n m n m n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭5.0111n n k k k k +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 6.1101n n n k n k k k ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭B.典型例题1.证明： 111r r n n r r r r +-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2.计算：（1）22233312? 12? 12?n n n +++=+++=+++=3.证明：若p 是不等于2的素数，则当2p p ⎛⎫⎪⎝⎭被p 除时余数是2.4.求235(1234)x x x +++的展开式中5x 的系数.5.求证：1(1)0 (n 2)nk k n k k =⎛⎫-=≥ ⎪⎝⎭∑.6.求证：1011(2-1).11nn k n k k n +=⎛⎫= ⎪++⎝⎭∑ 7.求证：1(n m).1ns m s n m m =+⎛⎫⎛⎫=≥ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭∑提示：对n 进行数学归纳法的证明.8.求6123(235)x x x -+中32123x x x 项的系数.9.用多项式定理展开4123()x x x ++.10.确定在1012345()x x x x x ++++的展开式中3421235x x x x 项的系数.11.证明：2112231201211n n n n n n n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+++=⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 12.证明：11111(1)1.1222n n n n n n n-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 提示：先证明：1111(1).1211nn n n n n ⎛⎫⎛⎫-++-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭再进行数学归纳法. C.相关习题 习题36 33-35.P第四讲 鸽巢原理与Ramesy 定理 A.主要知识点1.定理1（鸽巢原理） 把1n +个物体放入n 个盒子里，则至少有一个盒子含有两个或两个以上的物体.2.定理2（鸽巢原理的加强形式)设12,,n q q q 都是正整数，若121n q q q n +++-+放入n 个盒子里，则第一个盒子里至少含有1q 个物体，或者第二个盒子里至少含有2q 个物体，……，或者第n 个盒子里至少含有n q 个物体.3.推论1 若(1)1n r -+个物体放入n 个盒子里，则至少有一个盒子含有r 个或者更多的物体4.推论2 设n 个正整数12,,n m m m 满足不等式121(,)1n m m m r n++>-证明：12,,n m m m 中至少有一个不小于r .定理3 设G 是具有6个顶点的完全图6K ,如果我们对它的边任意涂以红色或蓝色，则G 中一定包含一个红色的三角形，或者包含一个蓝色的三角形.相关模型：六个人参加宴会一定有三个人是相互认识或者三个人相互不认识的.定理4 设G 是具有10个顶点的完全图10K ，如果我们对它的边任意涂以红色或蓝色，则G 中一个包含一个红色的三角形或者一个蓝色的完全四边形.B.典型例题例1 13个人中至少有两个人是同一个月出生的.例2 在边长为2的正三角形中任意放5个点，证明至少有两个点之间的距离不大于1.例3 证明：从任意给出的5个整数中必能选出3个数，它们的和能被3整除。
高三数学 集合与简易逻辑考点题型与变式 4集合中的计
4．集合中的计数问题4.1集合元素的个数问题【例1】（2015江苏）已知集合{}3,2,1=A ，{}5,4,2=B ，则集合B A Y 中元素的个数为________．【解析】{123}{245}{12345}A B ==U U ，，，，，，，，，集合B A Y 中元素的个数为5．【评注】看清题中元素的属性， 注意元素的互异性，．常会把两个相同的对象错算作集合中的两个元素．【变式1】（2015新课标Ⅰ）已知集合{32,},{6,8,10,12,14}A x x n n N B ==+∈=，则集合A B I 中的元素个数为（ ）A ． 5B ．4C ．3D ．2【变式2】已知集合错误!未找到引用源。
，{}2,3N =错误!未找到引用源。
，{}|,P x y x M y N =+∈∈，P 中元素个数为（ ）A ．2错误!未找到引用源。
B ．3C ．4D ．5【变式3】(2008江苏)已知集合2{|(1)37A x x x =-<-，x R ∈}，则集合A Z I 中有_____个元素.【变式4】已知{1,2,3},A ⊂≠且A 中至少有一个奇数，则这样的集合A 共有_____个. 【变式5】已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素，(∁U A )∪(∁U B )中有n 个元素．若A ∩B 非空，则A ∩B 的元素个数为________．【例2】（2014·广东卷）设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5i A x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为（ ）A.60B.90C.120D.130【解析】法一：因为i x 的取值只有三种情况：1,0,1-，故0,0||1,1,1i i i x x x =⎧=⎨=-⎩. 记12345||||||||||m x x x x x =++++，则由题意可知13m ≤≤.（1）当1m =时，只有一个||1i x =，其余的值都取0，故不同的有序数对12345(,,,,)x x x x x 共有115210C C =个；（2）当2m =时，有两个||1i x =，其余的值都取0，故不同的有序数对12345(,,,,)x x x x x 共有21152240C C C =个；（3）当3m =时，有三个||1i x =，其余的值都取0，故不同的有序数对12345(,,,,)x x x x x 共有3111522280C C C C =个.综上，不同的有序数对共有104080130++=个，故选D.法二：（间接法）因为i x 的取值只有三种情况：1,0,1-，故0,0||1,1,1i i ix x x =⎧=⎨=-⎩. 记12345||||||||||m x x x x x =++++，则05m ≤≤.（1）当0m =时， {(0,0,0,0,0)}A =； （2）当4m =时，有4个||1i x =，其余一个的值取0，故不同的有序数对12345(,,,,)x x x x x 共有445280C =个；（3）当5m =时，有5个||1i x =，故不同的有序数对12345(,,,,)x x x x x 共有5232=个.所以集合A 中满足条件“13m ≤≤”的元素个数为：53(18032)130-++=，故选D.【评注】求解此类集合元素个数题的关键是过好双关：第一关、分类讨论关、即对集合中的元素所具有的特点，分类进行讨论；第二关、统计关、即利用排列组合的公式，计算此集合中的元素的总的个数．【变式1】设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5i A x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ++++≤≤”的元素个数为________.4.2子集的个数问题【例3】设集合{1,2}A =,则满足{1,2,3}A B ⋃=的集合B 的个数是（ ）(A)1 (B)3 (C)4 (D)8【解析】{1,2}A =，{1,2,3}A B ⋃=，则集合B 中必含有元素3，即此题可转化为求集合{1,2}A =的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B 共有224=个．故择C ．【评注】当集合元素较少时，可以按子集的元素的个数分类枚举，避免遗漏和重复．当集合元素较多时，常用如下公式：若集合M 中含有n 个元素，则集合M 的所有子集个数为2n；真子集个数有21n -．【变式1】在集合{1,0,1}A =-的子集中，含有元素0的子集共有（ ）A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个【变式2】设集合22{(,)|1},{(,)|4}49x x y A x y B x y y =+===，则A B I 的子集的个数是（ ）．A ．4B ．3C ．2D ．1【变式3】已知集合{}{}2,4,6,8,1,2,{,,}a M K P x x a M b K b====∈∈，则集合P 的真子集的个数为（ ）A ．4B ．6C ．15D ．63【变式4】满足{}1234M a a a a ⊆，，，，且{}{}12312M a a a a a =I ，，，的集合M 的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【变式5】设集合P ＝{(x ，y )|x ＋y <4，x ，y ∈*N }，则集合P 的非空子集个数是________．4.3和n 有关的元素的个数【例4】集合{|22,,,}n m M x x n m N n m ==-∈>且，},20041912|{N x x x P ∈≤≤=，则P M ⋂中所有元素的和等于_____.【解析】首先求出在[1912,2004]内形式为22n m -的整数， ∵101121024,22048==， ∴M 中满足条件的数为2048641984,20481281920-=-=.和为198419203904+=【评注】有关某范围内的指数形式的元素个数问题，常常要学会估算，或者记住几个常用的指数值. 本题中，先研究形如2n 的、且与1912和2004接近的数，只有210和211,再试验，看哪些数在[1912,2004]间且具有22n m-的形式；闭区间[],m n 内的整数个数为()1,n m n m Z -+∈,但若[],m n 中的,n m 是小数，最简单办法就是找简单例子试验一下，易得区间内的整数个数是不超过m n -的最大的整数.【变式1】 (2010启东模拟)设集合M ＝{m |m ＝2n，n ∈N ，且m <500}，则M 中所有元素的和为________．【变式2】若,n m 是正整数，区间[,]n m 中的整数个数是[]1m n -+，设函数2()f x x x=+的定义域是[,1]n n +(n ∈N )，那么函数()f x 的值域中有_____个整数.【变式3】若,n m 是正小数，区间[,]n m 中的整数个数是[]m n -设函数2()0.5f x x x =++的定义域是[,1]n n +(n ∈N ),那么函数()f x 的值域中有_____个整数.答案4.1【例1】1.D 【解析】 依题意，得集合A B I {}8,14=，所以集合A B I 中的元素个数为2，故选D ．2. B 【解析】因为,x M y N ∈∈，所以当1=x 时，2y =或3y =，此时34x y x y +=+=或； 当2x =时，2y =或3y =，此时45x y x y +=+=或；所以集合{3,4,5}P =共3个元素，应选B.3.0【解析】由2(1)37x x -<-得2580x x -+<.∵Δ＜0，∴A =∅，A Z =∅I .所以A Z I 中有0个元素.4.5【解析】若A 中仅一个奇数,则可以是{1},{3},{1,2},{2,3};若A 中两个奇数,则为{1,3}.故A 共有5个．5. m －n 【解析】U ＝A ∪B 中有m 个元素，∵(∁U A )∪(∁U B )＝∁U (A ∩B )中有n 个元素，∴A ∩B 中有m －n 个元素． 【例2】1. 90【解析】记12345m x x x x x =++++，由题意13m ≤≤.（1）若1m =，则可分为三类：第一类，12345,,,,x x x x x 中含有四个0，一个1，则不同的有序数对有155C =个；第二类，12345,,,,x x x x x 中含有两个0，两个1，一个-1，则不同的有序数对有215330C C =个；第三类，12345,,,,x x x x x 中含有两个-1，三个1，则不同的有序数对有2510C =个；故不同的有序数对有5301045++=个.（2）若2m =，则可分为两类：第一类，12345,,,,x x x x x 中含有三个1，一个-1，一个0，则不同的有序数对有315220C C =个；第二类，12345,,,,x x x x x 中含有两个1，三个0，则不同的有序数对有2510C =个；故不同的有序数对为201030+=个.（3）若3m =，则可分为两类：第一类，12345,,,,x x x x x 中含有三个1，两个0，则不同的有序数对有3510C =个；第二类，12345,,,,x x x x x 中含有四个1，一个0，则不同的有序数对有455C =个；故不同的有序数对为51015+=个.综上，不同的有序数对为45301590++=个.4.2【例3】1.B 【解析】A 的子集共328=个，含有元素0的和不含元素0的子集各占一半，有4个．选B.2. A 【解析】集合A 是以原点为对称中的，长半轴长为3，短半轴长为2的椭圆；集合B 是过点（0，1）的指数函数的图象，数形结合可知A B I 中有两个元素，所以A B I 的子集的个数是4，应选A ．3.D 【解析】由已知得{}2,1,4,6,3,8P =，故集合P 的真子集的个数为62163-=．4.B 【解析】集合M 中必含有12,a a ,则{}12,M a a =或{}124,,M a a a =..故集合M 的个数是2.，选B.5.7【解析】集合P 的元素个数为3，所以其非空子集个数为：3217-=．4.3【例4】1.511【解析】∵2n <500，∴n ＝0,1,2,3,4,5,6,7,8.∴M 中所有元素的和S ＝1＋2＋22＋…＋28＝511.2.23n +【解析】在定义域[,1]n n +(n ∈N )，函数()f x 的值域是[(),(1)]f n f n +，值域中含有(1)()123f n f n n +-+=+个整数.3.22n +【解析】函数2()0.5f x x x =++在区间[,1]n n +上单调递增，所以函数()f x 的值域是[(),(1)]f n f n +，值域中含有(1)()22f n f n n +-=+个整数.。
组合数学第一章基本计数问题PPT资料(正式版)
一、基本计数问题 1.1 加法原则与乘法原则 1.2 排列与组合 1.3 多重集合的排列与组合 1.4 二项式系数 1.5 集合的分划与第二类Stirling数 1.6 正整数的分拆 1.7 分配问题
1.1 加法原则与乘法原则
加法原则: 设事件A有m种选取方式, 事件B有n种选取方式, 则选A或B共有m+n种方式.
乘法原则: 设事件A有m种选取方式, 事件B有n种选取方式, 则选取A以后再选取B共有m·n种方式.
设A,B为有限集，A m, B n, 则
AB A B mn
设n个有限集合 A1, A2,,An 则
A1 A2 An A1 A2 An
n
n
则 | Ai | Ai
i 1
i 1
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例7：求至少出现一个6且能被3整除的五位数的个数。 （1）使得字母b正好在字母e的左邻的排列有多少种？
机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 （2）使得字母b在字母e的左边的排列有多少种？
至例少如有 ：连集例续合4S位8={是1：,21,的3某,4有}有车6个4圆站排列有。 6个入口，每个入口每次只能进一个人，
对任意正整数n ，有
n 0
n 1
n 2
n n
2n
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例6：单射函数 f : X Y 的个数等于P(m,n)，其中，
n X , m Y (m n).
则选取A以后再选取B共有m·n种方式. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 从1000到9999之间有多少个各位数字不同的奇数？
n! (n r)!
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第一讲---集合中的计数问题
一． 基本问题
1． 含有)(N n n ∈个元素的集合的子集的个数；
2． 领悟容斥原理并简单的应用之.
二． 学习目标
1． 通过探究含有)(N n n ∈个元素的集合的子集的个数，培养学生猜证结合的数学思想，渗透乘法计数原理和等比数列的基本内容；
2． 通过容斥原理的探究，加深学生对集合运算的理解，提高学生的逻辑推理能力.
3． 通过针对性的习题训练，培养学生分析问题的能力.
三． 课程内容
1．含有)(N n n ∈个元素的集合的子集的个数
引例：（1）用列举法表示集合 9|_______9N x N x ⎧⎫∈∈=⎨
⎬-⎩⎭
， （2）上述集合有多少个子集？ 答案：（1）{
}9,3,1 （2）共有8个子集. 注：要求学生把8个子集列举出来.
问：如何探究含有n 个元素的集合的子集的个数规律呢？
发现了什么样的规律呢？
猜测：含有)(N n n ∈个元素的集合的子集的个数为n n a 2=. 如何证明这一猜测呢？
方法一 含有n+1个元素的集合的子集个数与含有n 个元素的集合的子集个数有什么关系吗？
发现：集合每增加一个新元素x 时，若将元素x 加入到其原有的每一个子集，就可以得到同等数量的新的子集，故可知集合每增加一个元素，其子集个数翻倍。
即：)(21N n a a n n ∈=+.
又,21=a 所以n n n n n a a a a 222211221=====--- .
方法二 我们还可以发现：把一个子集的产生过程分成n 步，逐个确定每一个元素是否被选入，完成这一过程一共有多少种不同的方式，就对应多少个子集.
依据乘法计数原理：完成一件事需要n 步，每一步分别有n M M M ,,,21 种的方式，则完成这件事共有n M M M ⨯⨯⨯ 21种不同的方式.
可得含有)(N n n ∈个元素的集合的子集的个数为n n n a 2222=⨯⨯⨯=
例1 如果{}2,1,1-⊂ A ⊆{}31|≤-∈x Z x ，则满足条件的集合A 有_______个.
解:{}
{}4,3,2,1,0,1,231|--=≤-∈x Z x
所以满足条件的集合A 的个数等于集合{}4,3,0,2-的非空子集的个数 ，共15个.
总结：探究新问题时，要从简单的具体的情况入手，归纳多种特殊情况下结论的共性或关联，而后在想办法进行一般性论证。
2． 容斥原理及其应用
引例：如果集合A 中有10个元素，集合B 中有8个元素，问：
（1） 集合中最多有多少个元素？最少有多少个元素？
（2） 如果集合B A ⋃中有15个元素，那么集合B A 中有多少个元素？
由此例，可以总结出怎样的规律？
设)(A N 表示集合A 中元素的个数，则)()()()(B A N B N A N B A N -+=
这就是统计两个集合元素个数的基本原理---容斥原理.
容斥原理可以拓展为求n 个集合元素总数的情形，它是以两个集合的容斥原理为基础的. 例2某学校先后举行数学、物理、化学三科知识竞赛，共有965人参赛，事后统计表明：数学答卷807份，物理答卷739份，化学答卷437份，又统计出有593人都参加了数学和物理竞赛，有371人都参加了数学和化学竞赛，有267人都参加了物理和化学竞赛，问：
（1）其中参加数学或物理竞赛的同学共有多少人？没有参加数学或化学竞赛的共多少人？
（2）共有多少人参加了三科竞赛？
解：设参加数学竞赛的同学构成集合A ，参加物理竞赛的同学构成集合B ，参加化学竞赛的同学构成集合C ，由已知可知：437)(,739)(,807)(===C N B N A N
而267)(,371)(,593)(===C B N C A N B A N ，且965)(=C B A N
（1） 参加数学或物理竞赛的总人数953593739807)(=-+=B A N ，而没有参加数学或化学竞赛的人数为1371437807965)(965=+--=-C A N 92=
（2） 所求?)(=C B A N
依据容斥原理，可以得到如下公式：
)()()()()()()()(C B A N C B N C A N B A N C N B N A N C B A N +---++=所以213267371593437739807965)(=+++---=C B A N
即共有213人参加了三科竞赛.
容斥原理：在计数时，先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
练习：（1）在大于0小于1000的自然数中，能被2或3或5整除的有多少个？
（2）在一根长的木棍上有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份，第二种将木棍分成12等份，第三种将木棍分成15等份。
如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？
答案：（1）733336699166199333499=+---++（个）；
（2）设木棍长为60，则第一种刻度线有9条，相邻两条刻度线间距为6；第二种刻度线有11条，相邻两条刻度线的间距为5；第三种刻度线有14条，相邻两条刻度线的间距为4. 第一种刻度线与第二种刻度线重叠的有1条，第一种刻度线与第三种刻度线重叠的有4条，第二种刻度线与第三种刻度线重叠的有2条，没有三种刻度线重叠的情况.
由容斥原理，可得不同的刻度线有27024114119=+---++
故木棍共被锯成28段.。