第一讲 集合中的计数问题

第一讲---集合中的计数问题

一． 基本问题

1． 含有)(N n n ∈个元素的集合的子集的个数；

2． 领悟容斥原理并简单的应用之.

二． 学习目标

1． 通过探究含有)(N n n ∈个元素的集合的子集的个数，培养学生猜证结合的数学思想，渗透乘法计数原理和等比数列的基本内容；

2． 通过容斥原理的探究，加深学生对集合运算的理解，提高学生的逻辑推理能力.

3． 通过针对性的习题训练，培养学生分析问题的能力.

三． 课程内容

1．含有)(N n n ∈个元素的集合的子集的个数

引例：（1）用列举法表示集合 9|_______9N x N x ⎧⎫∈∈=⎨

⎬-⎩⎭

， （2）上述集合有多少个子集？ 答案：（1）{

}9,3,1 （2）共有8个子集. 注：要求学生把8个子集列举出来.

问：如何探究含有n 个元素的集合的子集的个数规律呢？

发现了什么样的规律呢？

猜测：含有)(N n n ∈个元素的集合的子集的个数为n n a 2=. 如何证明这一猜测呢？

方法一 含有n+1个元素的集合的子集个数与含有n 个元素的集合的子集个数有什么关系吗？

发现：集合每增加一个新元素x 时，若将元素x 加入到其原有的每一个子集，就可以得到同等数量的新的子集，故可知集合每增加一个元素，其子集个数翻倍。

即：)(21N n a a n n ∈=+.

又,21=a 所以n n n n n a a a a 222211221=====--- .

方法二 我们还可以发现：把一个子集的产生过程分成n 步，逐个确定每一个元素是否被选入，完成这一过程一共有多少种不同的方式，就对应多少个子集.

依据乘法计数原理：完成一件事需要n 步，每一步分别有n M M M ,,,21 种的方式，则完成这件事共有n M M M ⨯⨯⨯ 21种不同的方式.

可得含有)(N n n ∈个元素的集合的子集的个数为n n n a 2222=⨯⨯⨯=

例1 如果{}2,1,1-⊂ A ⊆{}31|≤-∈x Z x ，则满足条件的集合A 有_______个.

解:{}

{}4,3,2,1,0,1,231|--=≤-∈x Z x

所以满足条件的集合A 的个数等于集合{}4,3,0,2-的非空子集的个数 ，共15个.

总结：探究新问题时，要从简单的具体的情况入手，归纳多种特殊情况下结论的共性或关联，而后在想办法进行一般性论证。

2． 容斥原理及其应用

引例：如果集合A 中有10个元素，集合B 中有8个元素，问：

（1） 集合中最多有多少个元素？最少有多少个元素？

（2） 如果集合B A ⋃中有15个元素，那么集合B A 中有多少个元素？

由此例，可以总结出怎样的规律？

设)(A N 表示集合A 中元素的个数，则)()()()(B A N B N A N B A N -+=

这就是统计两个集合元素个数的基本原理---容斥原理.

容斥原理可以拓展为求n 个集合元素总数的情形，它是以两个集合的容斥原理为基础的. 例2某学校先后举行数学、物理、化学三科知识竞赛，共有965人参赛，事后统计表明：数学答卷807份，物理答卷739份，化学答卷437份，又统计出有593人都参加了数学和物理竞赛，有371人都参加了数学和化学竞赛，有267人都参加了物理和化学竞赛，问：

（1）其中参加数学或物理竞赛的同学共有多少人？没有参加数学或化学竞赛的共多少人？

（2）共有多少人参加了三科竞赛？

解：设参加数学竞赛的同学构成集合A ，参加物理竞赛的同学构成集合B ，参加化学竞赛的同学构成集合C ，由已知可知：437)(,739)(,807)(===C N B N A N

而267)(,371)(,593)(===C B N C A N B A N ，且965)(=C B A N

（1） 参加数学或物理竞赛的总人数953593739807)(=-+=B A N ，而没有参加数学或化学竞赛的人数为1371437807965)(965=+--=-C A N 92=

（2） 所求?)(=C B A N

依据容斥原理，可以得到如下公式：

)()()()()()()()(C B A N C B N C A N B A N C N B N A N C B A N +---++=所以213267371593437739807965)(=+++---=C B A N

即共有213人参加了三科竞赛.

容斥原理：在计数时，先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

练习：（1）在大于0小于1000的自然数中，能被2或3或5整除的有多少个？

（2）在一根长的木棍上有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份，第二种将木棍分成12等份，第三种将木棍分成15等份。如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？

答案：（1）733336699166199333499=+---++（个）；

（2）设木棍长为60，则第一种刻度线有9条，相邻两条刻度线间距为6；第二种刻度线有11条，相邻两条刻度线的间距为5；第三种刻度线有14条，相邻两条刻度线的间距为4. 第一种刻度线与第二种刻度线重叠的有1条，第一种刻度线与第三种刻度线重叠的有4条，第二种刻度线与第三种刻度线重叠的有2条，没有三种刻度线重叠的情况.

由容斥原理，可得不同的刻度线有27024114119=+---++

故木棍共被锯成28段.