第十六讲希尔伯特变换和过程介绍
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主要内容
3.1 线性系统基本理论 3.2 随机信号通过连续时间系统的分析 3.3 随机信号通过离散时间系统的分析 3.4 白噪声通过线性系统和等效噪声带宽 3.5 希尔伯特变换和解析过程 3.6 窄带随机过程表示方法 3.7 窄带随机过程包络和相位的特性 3.8 正弦信号与窄带SP之和的包络和相位的特性
t
hH1 (t)
1
t
为希尔伯特逆变换的单位冲击响应。
证明： 若输入信号为 xˆ(t) x(t) * hH (t)
通过一个滤波器 hH1(t)
输出为 x(t) xˆ(t) * hH1 (t) x(t) * hH (t) * hH1 (t)
显然有 H H ( j)H H1 ( j) 1
1
E X (t )X (t )
d
1 RX ( )d 1 RX ( )d
jt
整理得：
hH
(t)
1
t
HH
(
j)
源自文库
j sgn()
2020/2/29
5
H
()
j j
0 0
| H () | 1
()
2
2
0 0
正交滤波器的传输函数
2020/2/29
6
希尔伯特逆变换
x(t) H 1 xˆ(t) 1 xˆ(t )d 1 * xˆ(t)
1 希尔伯特变换
设有一个实值函数 x(t)，其希尔伯特 变换记作 xˆ(t)（或记作 H[x(t)] ）
xˆ(t)
H
x(t )
1
x( )d t
反变换为
x(t) H 1 xˆ(t) 1 xˆ( )d
t
xˆ(t)
希尔伯特
2020/2/29
2020/2/29
10
2020/2/29
11
希尔伯特变换的性质
1. Xˆ (t)的希尔伯特变换为 X (t) 。
H[ Xˆ (t)] 1 Xˆ ( )d X (t)
t
连续两次希尔伯特变换相当于连续两次90度相 移，正好180度相反。
2020/2/29
12
)
d
1
E
X
(t
)X
(t
)
1
d
1
RX
(
)d
Rˆ X
(
)
2020/2/29
18
（4） RXXˆ ( ) RXˆX ( )
RXˆX ( ) RˆX ( ) RXXˆ ( ) RˆX ( )
RXXˆ ( ) RXˆX ( )
2
t
xˆ(t) 1 x(t )d 1 x(t )d
x(t) 1 xˆ(t )d 1 xˆ(t )d
2020/2/29
3
希尔伯特变换 ←→ 正交滤波器
2020/2/29
15
解析过程的性质
（1）若X (t)为实平稳随机过程，则 Xˆ (t)也是实随 机平稳过程，且联合平稳。
因为希尔伯特变换是线性变换，线性系统 输入为平稳过程，输出也为平稳过程，且联合 平稳。
2020/2/29
16
（2）实函数与其希尔伯特变换的相关函数和功率谱相同
RXˆ ( ) RX ( ), SXˆ ( ) SX ( )
2020/2/29
13
2020/2/29
14
2 解析过程及其性质
定义任一实随机过程 X (，t) X是ˆ (t) 的X希(t)尔伯特变换, 即
Xˆ (t) H[X (t)] 1 X ( )d
t
复随机过程定义为
X%(t) X (t) jXˆ (t)
X%(t) 为实随机过程 X (t) 的复解析过程，简称解析过程。
1
t
x(t )
4
希尔伯特变换的冲击响应及传递函数
hH
(t)
1
t
HH
(
j)
j sgn()
j j
0 0
证明：由对称性性质可知，若 f (t) F( j)，则
F( jt) 2f ()
因为 sgn(t) 2 ，所以
j 2 2 sgn() 2 sgn()
Xˆ (t) X (t) * h(t) SXˆ () SX () H ( j) 2 SX () ( H ( j) 2 1)
经傅里叶反变换，得 RXˆ ( ) RX ( )
2020/2/29
17
（3） RXˆX ( ) RˆX ( ) RXXˆ ( ) RˆX ( )
将 Xˆ (t) 1
X ()d t
代入 RXˆX ( ) E[Xˆ (t)X (t )]
RXˆX
(
)
E
1
X () t
d
X
(t
)
令 t
RXˆX
(
)
E
1
X
(t
)X
(t
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（5） RXˆX ( ) RXˆX ( ) RXXˆ ( ) RXXˆ ( )
RXˆX
(
)
E[
Xˆ
(t
)
X
(t
)]
E
1
X () t
d
X
(t
)
令 t 并作变量替换
RXˆX
(
)
由 xˆ(t) 1 x( ) d x可(知) ，d x(t)* 1
t
(t )
t
x(t的) 希尔伯特变换看成是：将 通x(t过) 一个具有冲击响
应为
h(t的) 线1性/ 滤t 波器（时不变系统） 。
x(t )
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h(t )
所以
H H1 ( j)
1
HH ( j)
1
j sgn()
j sgn()
反变换
hH1
(t
)
1
t
HH1 ( j)
j sgn()
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可见，若x(t)若为t的偶函数，则 x为(t)t的奇函数。
同理，可见，若x(t)若为t的奇函数，则 x(为t)t的偶函数。
3.1 线性系统基本理论 3.2 随机信号通过连续时间系统的分析 3.3 随机信号通过离散时间系统的分析 3.4 白噪声通过线性系统和等效噪声带宽 3.5 希尔伯特变换和解析过程 3.6 窄带随机过程表示方法 3.7 窄带随机过程包络和相位的特性 3.8 正弦信号与窄带SP之和的包络和相位的特性
t
hH1 (t)
1
t
为希尔伯特逆变换的单位冲击响应。
证明： 若输入信号为 xˆ(t) x(t) * hH (t)
通过一个滤波器 hH1(t)
输出为 x(t) xˆ(t) * hH1 (t) x(t) * hH (t) * hH1 (t)
显然有 H H ( j)H H1 ( j) 1
1
E X (t )X (t )
d
1 RX ( )d 1 RX ( )d
jt
整理得：
hH
(t)
1
t
HH
(
j)
源自文库
j sgn()
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H
()
j j
0 0
| H () | 1
()
2
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0 0
正交滤波器的传输函数
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希尔伯特逆变换
x(t) H 1 xˆ(t) 1 xˆ(t )d 1 * xˆ(t)
1 希尔伯特变换
设有一个实值函数 x(t)，其希尔伯特 变换记作 xˆ(t)（或记作 H[x(t)] ）
xˆ(t)
H
x(t )
1
x( )d t
反变换为
x(t) H 1 xˆ(t) 1 xˆ( )d
t
xˆ(t)
希尔伯特
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希尔伯特变换的性质
1. Xˆ (t)的希尔伯特变换为 X (t) 。
H[ Xˆ (t)] 1 Xˆ ( )d X (t)
t
连续两次希尔伯特变换相当于连续两次90度相 移，正好180度相反。
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)
d
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E
X
(t
)X
(t
)
1
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RX
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)d
Rˆ X
(
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（4） RXXˆ ( ) RXˆX ( )
RXˆX ( ) RˆX ( ) RXXˆ ( ) RˆX ( )
RXXˆ ( ) RXˆX ( )
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t
xˆ(t) 1 x(t )d 1 x(t )d
x(t) 1 xˆ(t )d 1 xˆ(t )d
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希尔伯特变换 ←→ 正交滤波器
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解析过程的性质
（1）若X (t)为实平稳随机过程，则 Xˆ (t)也是实随 机平稳过程，且联合平稳。
因为希尔伯特变换是线性变换，线性系统 输入为平稳过程，输出也为平稳过程，且联合 平稳。
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（2）实函数与其希尔伯特变换的相关函数和功率谱相同
RXˆ ( ) RX ( ), SXˆ ( ) SX ( )
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14
2 解析过程及其性质
定义任一实随机过程 X (，t) X是ˆ (t) 的X希(t)尔伯特变换, 即
Xˆ (t) H[X (t)] 1 X ( )d
t
复随机过程定义为
X%(t) X (t) jXˆ (t)
X%(t) 为实随机过程 X (t) 的复解析过程，简称解析过程。
1
t
x(t )
4
希尔伯特变换的冲击响应及传递函数
hH
(t)
1
t
HH
(
j)
j sgn()
j j
0 0
证明：由对称性性质可知，若 f (t) F( j)，则
F( jt) 2f ()
因为 sgn(t) 2 ，所以
j 2 2 sgn() 2 sgn()
Xˆ (t) X (t) * h(t) SXˆ () SX () H ( j) 2 SX () ( H ( j) 2 1)
经傅里叶反变换，得 RXˆ ( ) RX ( )
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（3） RXˆX ( ) RˆX ( ) RXXˆ ( ) RˆX ( )
将 Xˆ (t) 1
X ()d t
代入 RXˆX ( ) E[Xˆ (t)X (t )]
RXˆX
(
)
E
1
X () t
d
X
(t
)
令 t
RXˆX
(
)
E
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X
(t
)X
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（5） RXˆX ( ) RXˆX ( ) RXXˆ ( ) RXXˆ ( )
RXˆX
(
)
E[
Xˆ
(t
)
X
(t
)]
E
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X () t
d
X
(t
)
令 t 并作变量替换
RXˆX
(
)
由 xˆ(t) 1 x( ) d x可(知) ，d x(t)* 1
t
(t )
t
x(t的) 希尔伯特变换看成是：将 通x(t过) 一个具有冲击响
应为
h(t的) 线1性/ 滤t 波器（时不变系统） 。
x(t )
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h(t )
所以
H H1 ( j)
1
HH ( j)
1
j sgn()
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反变换
hH1
(t
)
1
t
HH1 ( j)
j sgn()
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可见，若x(t)若为t的偶函数，则 x为(t)t的奇函数。
同理，可见，若x(t)若为t的奇函数，则 x(为t)t的偶函数。