第十六讲希尔伯特变换和过程介绍
希尔伯特变换
§5.6 希尔伯特(Hilbert )变换•希尔伯特变换的引入 • 可实现系统的网络函数与希尔伯特变换一．由傅里叶变换到希尔伯特变换正负号函数的傅里叶变换 根据对称性得到那么假设系统函数为那么冲激响应系统框图:系统的零状态响应利用卷积定理具有系统函数为 － 的网络是一个使相位滞后 弧度的宽带相移全通网络同理可得到: 假设系统冲激响应为()[]ωj t F 2sgn =()jt 221sgn ⋅↔-πω()ωπ-↔sgn 1j t ()为奇函数ωsgn ()ωπsgn 1j t -↔()⎩⎨⎧<>--=-=090 0 90sgn )(00ωωωωj j j j H ()()[]t j H F t h πω11==-()()ωF t f ˆˆ ()()ωF t f ()ωsgn j -()()()()t t f t h t f t f π1ˆ*=*=()[]()()()[]()()⎩⎨⎧<>-=-⋅== 0 0 sgn ˆˆωωωωωωωjF jF j F F t f F ()t t h π1-=2π()ωsgn j其网络的系统函数为该系统框图为输出信号利用卷积定理具有系统函数为 的网络是一个使相位滞后 弧度的宽带相移全通网络 希尔伯波特变换二． 可实现系统的网络函数与希尔伯特变换可实现系统是因果系统，其冲激响应()[]()⎩⎨⎧<->===090 0 90 sgn )(00ωωωωj j j t h FH ()()ωt f ()(ωF t f ˆˆ ()ωsgn j ()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-*=*=t t f t h t f t f π1ˆˆ()()()()()⎩⎨⎧<->=⋅= 0 0 sgn ˆωωωωωωωjF jF j FF 2π()ωsgn j ()[]()()τττπd 1ˆ⎰∞∞--==t f t f tf H ()()t t f t f π1ˆ*=()[]()()τττπd 1ˆ1⎰∞∞----==t f t f tf H ()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-*=t t f t f π1ˆ即:其傅里叶变换又那么根据实部与实部相等，虚部与虚部相等，解得因果系统系统函数 的实部与虚部满足希尔伯特变换约束关系三．常用希尔伯特变换对作为一种数学工具在通信系统中得到了广泛的应用()()()t u t h t h ⋅=()00<=t t h()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+*=ωωπδωπωj j H j H 121()()())()(ωωωωωϕj jX j R e j H j H j +==()ωωj jX j R +)(()()[]()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+*+=ωωπδωωπj j jX j R 121()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡*+=ωωωππ121j X j R ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡*-+ωωωππ12j R j X j ()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+∴⎰∞∞-λλωλπωωωd 2121j X j R j jX j R ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+⎰∞∞-λλωλπωd 212j R j X j ()λλωλπωd 1)(⎰∞∞--=j X j R ()()λλωλπωd 1⎰∞∞---=j R j X )(ωj H例5-6-1用三种方法求解此题：方法1 :方法2：那么希尔伯特变换的频谱函数为即：方法3：直接用希尔伯特变换定义式例5-6-2因为即系统函数式中实部虚部[]的实部与虚部满足希尔，证明)()()(thFtueth tα-=().ˆtft的希尔伯特变换ω()()弧度，即滞后比希尔伯特变换2ˆπtftf()()[]tttfHtfsin4cosˆωπω=⎪⎭⎫⎝⎛-==()[]()()cosωωπδωωπδωω-++==tFF因()()()[]()()()sgnˆωωπδωωπδωωω--++=-⋅=jjjFF()()()[]()ttfjFsinˆˆωωωδωωδπω=↔--+=[]tttHsindcos1cosωτττωπω=-=⎰∞∞-()[][]ωααjtueFthF t+==-1)(()()()ωωωαωωααωjjXjRjjH+=+-+=2222()22ωααω+=jR()22ωαωω+-=jX现在求 的希尔伯特变换可求出各分式系数那么()ωj X ()[]()λλωλπωd 1⎰∞∞--=j X j X H ()()λλωαλλπd 122⎰∞∞-=+-=()()λωαλαλλωαλλ-+++-==+-C j B j A 22令22,21,21αωωαωαω+=+-=--=C j B j A ()[]()()()()()()λωλαωωαλαωαλαωπωd 2121122⎰∞∞-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++++-+---=j j j j j X H ()[]()()()()()()λωλαωωαλαωαλαωπωd 2121122⎰∞∞-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++++-+---=j j j j j X H ()λωλωαλωλααωπd 122222⎰∞∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+=()λωλωαλωλαλααωπd 12222222⎰∞∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++=()()()∞∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+=ωλωαλαωαλααωπln ln arctg 12222()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++=0022122ππααωπ22αωα+=()ωR =例5-6-3试分析下面系统可以产生单边带信号信号 是带限信号，其频谱函数为图中系统函数 载频由调制定理可知 为带通信号其频谱函数 是的希尔伯特变换信号其频谱那么其频谱函数即输出信号其频谱为()t y 2m m()t g ()ωG ()()ωωsgn j j H -=m ωω>>0()()t t g t y 01cos ω=()[]()()()00112121ωωωωω-++==G G Y t y F ()t g ˆ()t g ()[]()()()ωωωsgn ˆˆj jG G t g F -==()()()t t g t y 02sin ˆω-⋅=()[]()()()()[]0022ˆ21ωωδωωδπωπω+--*==j G Y t y F ()()()()[]0000sgn sgn 2ωωωωωωωω+++---=jG jG j ()()()()()00002sgn 21sgn 21ωωωωωωωωω++---=G G Y ()()()t y t y t y 21+=()()()ωωω21Y Y Y +=频谱图如下所示是带通信号〔上边带调幅信号〕的频谱 00m 0m 000m 0m 0()ωY。
希尔伯特变换的定义和性质
1 希尔伯特变换的定义 1) 卷积积分设实值函数)(t f ,其中),(+∞-∞∈t ，它的希尔伯特变换为ττπτd t f t f ⎰+∞∞-∧-=)()()(， (1) 常记为)]([)(t f H t f =∧(2)由于)(t f ∧是函数)(t f 与πt 1的卷积积分，故可写成 )(t f ∧=)(t f *πt 1(3)2) 2π相位设])([)(∧∧=t f F f F ，根据(3)式和傅里叶变换性质可知，)(f F ∧是)(t f ∧的傅里叶变换)(f F 和πt 1的傅里叶变换的乘积。
由⎩⎨⎧<>-=-=.0,,0,)sgn(]1[f j f j f j t F π (4)得).()]sgn([)(f F f j f F -=∧)sgn(f j -可表达为⎪⎩⎪⎨⎧<>=-=--.0,0,)sgn()(22f f f j f B e e jj ππ或者ef jf B )sgn(2)(π-=所以)(f B 是一个2π相移系统，即希尔伯特变换等效于2π±的相移，对正频率产生2π-的相移，对负频率产生2π相移，或者说，在时域信号中每一频率成分移位41波长。
因此，希尔伯特变换又称为90度移相器。
3) 解析信号的虚部为进一步理解希尔伯特变换的意义，引入解析函数)(t Z :∧+=)()()(t f j t f t Z (5)也可以写成)()()(t j e t A t Z φ-= (6)其中，)(t A 称为希尔伯特变换的包络；)(t φ称为瞬时响应信号。
希尔伯特变换包络)(t A 定义为)()()(22t f t f t A ∧+=(7)相位定义为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=∧)()(arctan )(t f t f t φ (8)瞬时频率定义为dtf d f )(210φπ=(9)根据傅里叶变换式)]([)(1f Z F t Z -=)()(t f j t f ∧+=⎩⎨⎧==∧)](Im[)()](Re[)(t Z t f t Z t f (10) 为计算)(f Z ，由).()]sgn([)(f F f j f F -=∧知)()]sgn(1[)(f F f f Z +=)()(1f F f B = (11)其中⎩⎨⎧<>=0,00,2)(1f f f B因此，可以简单地从)(f F 得到)(t Z ，而)(t Z 的虚部即)(t f ∧。
常见函数的希尔伯特变换
常见函数的希尔伯特变换希尔伯特变换（Hilbert Transform）是一种非常常见的空间变换，经常被用来处理数字信号、图像、数据驱动系统，以及许多其他应用领域。
它是一种大小取决于源信号数据的差分运算，用以将空间信号转换为时间信号，最终产生特殊的效果。
希尔伯特变换的目的是创建一个具有更深层次理解和更广阔视野的空间信号。
它也可以在某些情况下用于提取信息，如图像特征，以及在有模式的环境中区分信号的不同组件（如语音识别的分离）等。
当输入信号被变换成希尔伯特变换时，产生的特殊效果导致从源数据中获得地面实况图像，分离不同频谱（低频段、高频段），并根据用户请求提供图像锐化，掩膜等功能。
希尔伯特变换也可以用于数字信号处理，如滤波、分析和压缩。
它将输入信号转换为另一种更高维度的信号，以便充分利用周围空间的所有信息，并充分提取信息。
例如，其中一种可行的方法是采用Hilbert变换将音频信号转换为功率频谱或有效功率，从而使得信号分析和滤波计算变得更加容易。
在数据驱动系统中，希尔伯特变换可用于动态数据分析，即空间变换-时间变换-空间变换这一过程，其中最后的空间变换把所有时间空间的失真，噪声，脉冲和抖动都转换为频率信号，从而有效地消除它们，最终得到用于分析或模拟系统支持的输出。
另外，希尔伯特变换还可以用于支持压缩，拍摄电影或视频时，将空间图像变换成更小的图像，然后恢复出原图像，即可以利用它以获取更多信息，从而以更小的带宽压缩视频数据。
总而言之，希尔伯特变换在处理多种数据驱动系统的时候都会派上用场，因为它的转换和处理方式都不一样，且可以有效有效地消除噪声、抖动和失真。
而且，它还可以用于许多其他不同的应用领域，以便提取出一些独特和新颖的信息以及提升图像和视频的品质。
希尔伯特变换原理及应用
希尔伯特变换原理及应用一、引言希尔伯特变换是一种经典的数学工具，具有广泛的应用领域。
本文将深入介绍希尔伯特变换的原理及其在不同领域的应用。
二、希尔伯特变换原理希尔伯特变换是一种线性积分变换，它是将一个实函数转换为另一个复函数的过程。
希尔伯特变换的主要思想是通过引入一种称为“解析信号”的复函数，来描述原始信号的相位和幅度信息。
希尔伯特变换可表示为：H(f)(t)=1π⋅P.V.∫f(x)t−x∞−∞dx其中，H(f)(t)表示函数f(t)的希尔伯特变换，P.V.表示柯西主值，∫表示积分。
三、希尔伯特变换的应用希尔伯特变换在信号处理、图像处理、通信等领域有着重要的应用。
下面将具体介绍希尔伯特变换在不同领域的应用。
3.1 信号处理在信号处理中，希尔伯特变换常用于提取原始信号的包络信息。
通过对原始信号进行希尔伯特变换，可以得到解析信号，然后从解析信号中提取包络。
这在音频处理、振动分析等领域有着重要的应用。
3.2 图像处理希尔伯特变换在图像处理中也有广泛的应用。
通过对图像进行希尔伯特变换，可以提取图像的边缘信息，并用于图像分割、目标识别等任务。
希尔伯特变换在图像处理中的具体应用包括图像增强、边缘检测等。
3.3 通信在通信领域，希尔伯特变换常被用于信号调制和解调中。
通过对信号进行希尔伯特变换，可以得到解调信号的相位信息，从而实现信号的解调。
希尔伯特变换在调频调相通信系统中具有重要的作用。
四、希尔伯特变换的优缺点希尔伯特变换作为一种强大的数学工具，有着许多优点，但也存在一些缺点。
4.1 优点•希尔伯特变换能够提取出信号的相位和幅度信息，对于研究信号的时频特性非常有用。
•希尔伯特变换具有线性性质，可以方便地与其他信号处理算法结合使用。
•希尔伯特变换可以应用于各种类型的信号，具有较广泛的适用性。
4.2 缺点•希尔伯特变换对噪声比较敏感，当信号中存在较强的噪声时，变换结果可能会受到严重干扰。
•希尔伯特变换计算量较大，对于大规模信号处理任务，可能需要较长的计算时间。
信号的Hilbert变换原理
4）调制信号（s(t)+n(t)）进行频谱分析
figure(3) xt=st+n_1; subplot(2,1,1); plot(t,xt); title('调制信号x(t)=s(t)+n(t)（初始信号+噪声）'); xlabel('t/s'); ylabel('幅度/v');grid on;
fc=4000;%载波频率
Lt=length(t);%时间序列长度 L=2*min(at); R=2*max(abs(at));
（2）产生高斯白噪声n（t）并进行频谱分析
nt = wgn(1,length(t),0.1); %wgn(m,n,p)产生一个m行n列强度为p的高斯白噪声的矩阵 n_1=nt/max(abs(nt)); %噪声 figure(1); subplot(2,1,1); plot(t,n_1); title('高斯白噪声n(t)信号'); xlabel('t/s'); ylabel('幅度/v');grid on; n=0:M-1; %t=n/fs; %时间序列 y0=fft(n_1,M); mag0=(abs(y0)); f=n*fs/(1000*M); subplot(2,1,2); plot(f,mag0); title('高斯白噪声频谱分析'); xlabel('f/KHz'); ylabel('幅度/v'); axis([0 10 0 20]);grid on;
信号的Hilbert变换原 理
组长：范荣贵
副组长：杨智东 组员：韦鹏、高世杰
一、Hilbert变换简介
希尔伯特变换
希尔伯特变换2.1 共轭Poisson 核在()S ¡中给定一个函数f ，由()(),*t u x t P f x =可将其延伸到上半平面，t P 是Poisson 核.我们同样可以表示成：()()()0220ˆˆ,iz iz u z fe d fe d πξπξξξξξ∞⋅⋅-∞=+⎰⎰.z x it =+定义()()()0220ˆ,iz iz iv z f e d fe d πξπξξξξξ∞⋅⋅-∞=-⎰⎰)则v 在2+¡中也是调和的，若f 是实的，则u 和v 均是实的。
因此, u iv + 是可分的,所以 v 是u 的调和共轭。
显然，v 也可表示为()()()22ˆsgn ,t ix v z i e fe d πξπξξξξ-⋅=-⎰¡等价于（2.1） ()(),*,t u x t Q f x =（2.2） ()()2ˆsgn ,t t Q i e πξξξ-=- 引用傅里叶变换，有（2.3） ()221,t xQ x t x π=+ 容易验证 ()(),t Q x t Q x =在上半平面以及其共轭Poisson 核 ()t P x .更精确地说,()()221,t t t ix iP x iQ x t x zππ++==+在Im 0z >中是可分的。
2.2 1/x 的柯西主值我们定义回火分布称为1/x 的主值,记为 ..1/p v x ，()()01..lim,.x x p v dx S x x εεφφφ→>=∈⎰这种表达即定义了一种回火分布,()()()()1101..;x x x x p v dx dx xx xφφφφ<>-=+⎰⎰由1/x 在1x ε<<上可积且为0.得出()()'1...p v C x xφφφ∞∞≤+命题2.1 在'S 中，011lim ...t t Q p v xπ→=证明：对任意的0ε>，函数(){}1x x x εεϕχ->=是有界的。
希尔伯特变换性质
R d
根据实部、虚部对应相等，可得： 1 X R( ) d ， X 1
R d
因果系统的系统函数，其实部与虚部之间满足 一定的约束关系。实部(虚部)包含全部信息。
第 8 页
H.T.关系： f t f R t j f R t 实信号（或虚信号）才定义H.T。 定理：乘积调制信号的H.T. 定理：调幅信号的H.T. 定理：最小相位信号的幅度和相位的Bode关系式。 参考书：
– 《信号分析与处理》 – 《信号重构理论及应用》
X
1 1 H H 2 j
X
第 3 页
1 1 R jX R 2 2
注 非 H(j)
X d
意 应 H()
X 1 j 2 2
j sgn
ˆ t f ˆ F
jF ˆ ˆ F f t F F j sgn jF
0 0
具有系统函数为 j sgn 的网络是一个使相位滞 后 弧度的宽带相移全通网络。
其傅里叶变换：
即: ht 0， t 0
假设 H ( ) H e j R jX ( ) 则： 1 1 R jX R( ) jX 2 j 1 1 j 1 R X X R 2 2
X
四．希尔伯特变换的等价系统
f t F
第 6 页
ht
j sgn
ˆ t f ˆ F
第十六讲 希尔伯特变换和解析过程
ˆ 输出为 x(t ) = x(t ) * hH −1 (t ) = x(t ) * hH (t ) * hH −1 (t )
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希尔伯特变换
正交滤波器
x(t ) 的希尔伯特变换看成是：将 x(t ) 通过一个具有 冲击响应为 h(t ) = 1/ π t 的线性(时不变系统)滤波器。 ⎧ π ⎪− 2 ω ≥ 0 ⎧− j ω ≥ 0 ⎪ H (ω ) = ⎨ | H (ω ) |= 1 ϕ (ω ) = ⎨ ⎩+ j ω < 0 ⎪+ π ω < 0
H [a (t ) cos ω0t ] = a (t ) sin ω0t H [a (t ) sin ω0t ] = a (t ) cos ω0t
2012-05-15
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证
设 s (t ) = a (t ) cos ω0t 其频谱为：
⎧1 ⎪ 2 [ A(ω − ω0 ) ω ≥ 0 1 S (ω ) = [ A(ω − ω0 ) + A(ω + ω0 )] = ⎨ 1 2 ⎪ A(ω + ω0 ) ω < 0 ⎩2
RXX (0) = − RXX (0) ˆ ˆ
RXX (0) = 0 ˆ
ˆ 表明在同一个时刻t，随机变量 X t 和 X t 正交，即
ˆ E[ X t X t ] = 0 ˆ 注意，上式并不意味着 X t 和 X t 两个随机过程正交。
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ˆ （8） RX (τ ) = 2[ RX (τ ) + jRXX (τ )] = 2[ RX (τ ) + jRX (τ )] ˆ
(完整版)Hilbert希尔伯特环变换
黄锷院士在《On Holo-Hilbert spectral analysis: a full informational spectral representation for nonlinear and non-stationary data》中提出一种高维全息谱分析理论HHSA(Holo-Hilbert spectral analysis)要理解HHSA方法，首先要了解希尔伯特变换、经验模态分解(EMD)、与希尔伯特-黄变换(HHT)。
学术背景：在信号处理与频谱分析的目的是要描述信号的频谱含量在时间上变化，以便能在时间和频谱上同时表示信号的能量或者强度。
傅里叶频谱并没有告诉我们哪些频率在什么时候出现。
因此傅里叶变换无法表现信号频率成分的时变性，因此学术界先后发展出了短时傅里叶变换、窗口傅里叶变换、小波等手段，近似的求信号某一时刻的瞬时频率。
希尔伯特变换：希尔伯特变换是以著名数学家大卫·希尔伯特(David Hilbert)来命名。
通过希尔伯特变换，使得我们对短信号和复杂信号的瞬时参数的定义及计算成为可能，能够实现真正意义上的瞬时频率的提取，因而希尔伯特变换在信号处理上具有十分重要的地位，使得希尔伯特变换具有广泛的工程应用。
但在进一步的工程应用中，希尔伯特变换具有以下缺陷：(1)希尔伯特变换只能近似应用于窄带信号。
但实际应用中，存在许多非窄带信号，希尔伯特变换对这些信号无能为力。
即便是窄带信号，如果不能完全满足希尔伯特变换条件，也会使结果发生错误。
而实际信号中由于噪声的存在，会使很多原来满足希尔伯特变换条件的信号无法完全满足；(2)对于任意给定时刻，通过希尔伯特变换运算后的结果只能在一个频率值，即只能处理任何时刻为单一频率的信号；(3)对于一个非平稳的数据序列，希尔伯特变换得到的结果很大程度上失去了原有的物理意义。
图1 傅立叶、小波与希尔伯特-黄变换对瞬时频率的分辨率希尔伯特-黄变换：针对上述的三个问题，黄锷院士在1998年提出希尔伯特-黄变换(HHT)。
(完整版)Hilbert希尔伯特环变换
黄锷院士在《On Holo-Hilbert spectral analysis: a full informational spectral representation for nonlinear and non-stationary data》中提出一种高维全息谱分析理论HHSA(Holo-Hilbert spectral analysis)要理解HHSA方法，首先要了解希尔伯特变换、经验模态分解(EMD)、与希尔伯特-黄变换(HHT)。
学术背景：在信号处理与频谱分析的目的是要描述信号的频谱含量在时间上变化，以便能在时间和频谱上同时表示信号的能量或者强度。
傅里叶频谱并没有告诉我们哪些频率在什么时候出现。
因此傅里叶变换无法表现信号频率成分的时变性，因此学术界先后发展出了短时傅里叶变换、窗口傅里叶变换、小波等手段，近似的求信号某一时刻的瞬时频率。
希尔伯特变换：希尔伯特变换是以著名数学家大卫·希尔伯特(David Hilbert)来命名。
通过希尔伯特变换，使得我们对短信号和复杂信号的瞬时参数的定义及计算成为可能，能够实现真正意义上的瞬时频率的提取，因而希尔伯特变换在信号处理上具有十分重要的地位，使得希尔伯特变换具有广泛的工程应用。
但在进一步的工程应用中，希尔伯特变换具有以下缺陷：(1)希尔伯特变换只能近似应用于窄带信号。
但实际应用中，存在许多非窄带信号，希尔伯特变换对这些信号无能为力。
即便是窄带信号，如果不能完全满足希尔伯特变换条件，也会使结果发生错误。
而实际信号中由于噪声的存在，会使很多原来满足希尔伯特变换条件的信号无法完全满足；(2)对于任意给定时刻，通过希尔伯特变换运算后的结果只能在一个频率值，即只能处理任何时刻为单一频率的信号；(3)对于一个非平稳的数据序列，希尔伯特变换得到的结果很大程度上失去了原有的物理意义。
图1 傅立叶、小波与希尔伯特-黄变换对瞬时频率的分辨率希尔伯特-黄变换：针对上述的三个问题，黄锷院士在1998年提出希尔伯特-黄变换(HHT)。
希尔伯特变换和解析过程
第四章 窄带随机过程 4.1 希尔伯特变换和解析过程4.1.1 希尔伯特变换一． 希尔伯特变换的定义设有实信号)(t x ，它的希尔伯特变换记作)(ˆt x或)]([t x H ，并定义为 τττπd t x t x H t x⎰∞∞--==)(1)]([)(ˆ 用'ττ+=t 代入上式，进行变量替换，可得到上式的等效形式为：'')'(1)(ˆτττπd t x t x⎰∞∞-+-=也可得'')'(1)(ˆτττπd t x t x⎰∞∞--=希尔伯特反变换为τττπd t xt xHt x ⎰∞∞----==)(ˆ1)](ˆ[)(1经变量替换后得τττπτττπd t xd t xt x ⎰⎰∞∞-∞∞-+=--=)(ˆ1)(ˆ1)(二． 希尔伯特变换的性质1. 希尔伯特变换相当于一个090的理想移相器。
从定义可以看出，希尔伯特变换是)(t x 和tπ1的卷积，即 tt x t xπ1*)()(ˆ= 于是，可以将)(ˆt x看成是将)(t x 通过一个具有冲激响应为t t h π1)(=的线性滤波器的输出。
由冲激响应可得系统的传输函数为)sgn()(ωωj H -=式中，)sgn(ω为符号函数，其表达式为11)sgn(<-≥=ωωω可得滤波器的传输函数为)(<≥-=ωωωjj H即 1)(=ωH202)(<≥-=ωπωπωϕ上式表明，希尔伯特变换相当于一个090的理想移相器。
由上述分析可得，)(ˆt x的傅立叶变换)(ˆωX 为 )()sgn()sgn()()(ˆωωωωωX j j X X-=-⋅= 2. )(ˆt x 的希尔伯特变换为)(t x -，即)()](ˆ[t x t x H -=。
3. 若)(*)()(t x t v t y =，则)(t y 的希尔伯特变换为)(*)(ˆ)(ˆ*)()(ˆt x t v t x t v t y==4.)(t x 与)(ˆt x的能量及平均功率相等，即 dt t xTdt t x Tdt t xdt t x TTT TTT ⎰⎰⎰⎰-∞→-∞→∞∞-∞∞-==)(ˆ21lim)(21lim )(ˆ)(2222此性质说明希尔伯特变换只改变信号的相位，不会改变信号的能量和功率。
第十六讲希尔伯特变换和解析过程分析
第十六讲希尔伯特变换和解析过程分析希尔伯特变换（Hilbert transform）是一种在信号处理和解析过程分析中常用的数学工具。
它是由德国数学家大卫·希尔伯特（David Hilbert）于20世纪早期提出的。
希尔伯特变换可以将一个实函数转换为另一个实函数，使得原始函数和转换后的函数在频率域上是正交的。
这种变换的基本思想是通过引入一个90度相移的相位因子，将原始函数的频谱转移到正交补空间中。
希尔伯特变换的具体定义是通过傅里叶变换来实现的，用于计算一个函数的希尔伯特变换的公式如下：H\{x(t)\} = \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{x(\tau)}{t-\tau}d\tau其中，x(t)表示原始函数，H\{x(t)\}表示x(t)的希尔伯特变换。
利用希尔伯特变换，我们可以将复杂的时间域分析问题转化为简单的频域分析问题。
例如，可以使用希尔伯特变换来计算信号的瞬时频率、瞬时幅值和相位等。
此外，在通信系统、医学信号处理和音频处理等领域中，希尔伯特变换也被广泛应用于信号分析和滤波等问题中。
解析过程分析（Analytic Signal Processing）是一种利用希尔伯特变换进行信号处理的方法。
解析过程分析可以将一个实信号转换为一个复信号，其中包含了原始信号的全部信息。
具体来说，通过将原始信号与它的希尔伯特变换相加，我们可以得到原始信号的解析信号。
原始信号和解析信号在频域上是相同的，唯一的区别是它们在时域上的相位。
解析信号的相位总是比原始信号滞后90度。
这意味着我们可以利用解析信号来分析信号的相位、频率和幅值特性，而无需考虑相位问题。
对于一个实信号x(t)，它的解析信号z(t)可以通过以下公式计算得到：z(t)=x(t)+jH\{x(t)\}其中，j表示虚数单位。
解析信号z(t)可以分解为实部和虚部，即z(t) = A(t)e^{j\phi(t)}，其中A(t)表示瞬时幅值，\phi(t)表示瞬时相位。
希尔伯特黄变换及其应用
希尔伯特黄变换及其应用1. 应用背景希尔伯特黄变换（Hilbert-Huang Transform，HHT）是一种用于非平稳和非线性信号分析的方法，由中国科学家黄钧提出。
传统的傅里叶变换等线性方法仅适用于平稳信号，而在实际应用中，许多信号都是非平稳的，因此需要一种更加灵活和准确的分析方法。
希尔伯特黄变换结合了经验模态分解（Empirical Mode Decomposition，EMD）和希尔伯特变换（Hilbert Transform），能够有效地分解非平稳信号，并提取出其局部特征。
2. 应用过程希尔伯特黄变换的应用过程主要包括以下几个步骤：2.1 数据采集与预处理首先需要采集到待分析的非平稳信号，并进行预处理。
预处理包括去除噪声、滤波等操作，以提高信号的质量和准确性。
2.2 经验模态分解（Empirical Mode Decomposition，EMD）经验模态分解是希尔伯特黄变换的核心步骤，用于将非平稳信号分解成一系列固有模态函数（Intrinsic Mode Functions，IMF）。
IMF是一组具有局部特征的函数，它们能够准确地描述信号的本质。
经验模态分解的具体步骤如下： - 将信号的极大值点和极小值点连接起来，得到信号的上包络线和下包络线； - 计算信号的局部平均值（上包络线加下包络线的平均值），得到信号的均值函数； - 用原始信号减去均值函数，得到第一次分解得到的第一固有模态函数（IMF1）； - 对IMF1进行局部极值点的连接和平均值的计算，得到IMF1的上包络线和下包络线； - 用IMF1减去上包络线和下包络线的平均值，得到第二次分解得到的第二个固有模态函数（IMF2）； - 重复以上步骤，直到最后得到的IMF满足一定的停止准则。
2.3 希尔伯特变换（Hilbert Transform）希尔伯特变换是一种用于计算信号的分析信号的方法，可以将实数信号转换为复数信号，并提取出信号的相位信息。
北大随机信号分析基础课件希尔伯特变换和解析过程
北⼤随机信号分析基础课件希尔伯特变换和解析过程第四章窄带随机过程 4.1 希尔伯特变换和解析过程4.1.1 希尔伯特变换⼀．希尔伯特变换的定义设有实信号)(t x ，它的希尔伯特变换记作)(?t x或)]([t x H ，并定义为τττπd t x t x H t x ?∞∞--==)(1)]([)(?⽤'ττ+=t 代⼊上式，进⾏变量替换，可得到上式的等效形式为：'')'(1)(?τττπd t x t x ?∞∞-+-=也可得'')'(1)(?τττπd t x t x ?∞∞--=希尔伯特反变换为τττπd t xt x H t x ?∞∞----==)(?1)](?[)(1经变量替换后得τττπτττπd t xd t xt x ?-∞∞-+=--=)(?1)(?1)(⼆．希尔伯特变换的性质1. 希尔伯特变换相当于⼀个090的理想移相器。
从定义可以看出，希尔伯特变换是)(t x 和tπ1的卷积，即tt x t xπ1*)()(?=于是，可以将)(?t x看成是将)(t x 通过⼀个具有冲激响应为t t h π1)(=的线性滤波器的输出。
由冲激响应可得系统的传输函数为)sgn()(ωωj H -=式中，)sgn(ω为符号函数，其表达式为0101)sgn(<-≥=ωωω可得滤波器的传输函数为00)(<≥-=ωωωj j H即1)(=ωH=ωπωπω?上式表明，希尔伯特变换相当于⼀个090的理想移相器。
由上述分析可得，)(?t x的傅⽴叶变换)(?ωX 为)()sgn()sgn()()(?ωωωωωX j j X X-=-?= 2. )(?t x的希尔伯特变换为)(t x -，即)()](?[t x t x H -=。
3. 若)(*)()(t x t v t y =，则)(t y 的希尔伯特变换为)(*)(?)(?*)()(?t x t v t x t v t y==4.)(t x 与)(?t x的能量及平均功率相等，即 dt t xTdt t x Tdt t xdt t x TTT TT T ?-∞→-∞→∞-==)(?21lim )(21lim )(?)(2222此性质说明希尔伯特变换只改变信号的相位，不会改变信号的能量和功率。
hilbert变换
若序列为因果序列，则()()()x n x n u n =，其中()()()()2e e x n x n x n x n +-==-()()()()2o o x n x n x n x n --==--如果()x n 为因果序列，即()()()x n x n u n = 即当0n <时，()x n =0，则可以从()e x n 恢复()x n ，或者从()e x n 中恢复()x n (0n ≠) 因为()x n 是因果的，()x n 和()x n -除0n =外， ()x n 和()x n -的非零部分不会重叠 ()[][][][]20e e x n x n u n x n δ=-和()[][][][]20o o x n x n u n x n δ=+若()x n 是稳定的，即绝对可和的， 则它的傅里叶变换存在。
即()()()j j j R I X eX e jX eωωω=+()j R X eω-实部 ()j I X e ω-虚部如果()x n 是实序列，则()[]FT j R e X ex n ω()[]FTj I o jX ex n ω因此，一个因果稳定的实序列，()j R X e ω 就完全确定了()j X e ω 可以用下列步骤求出()j X e ω1. 求()j R X e ω的反傅里叶变换()e x n2. 用()[][][][]20e e x n x n u n x n δ=-求出()x n3. 求()x n 的傅里叶变换()j X e ω 一实因果序列()x n ，DFT 实部()j R X e ω为()1cos(2)j R X eωω=+求其傅里叶变换()j X e ω及虚部()j I X e ω2211()122jwj j R X eee ωω--∴=++11()()(2)(2)22e x n n n n δδδ=+-++()()(2)x n n n δδ=+- 2()()11cos(2)sin(2)jwR jwj X eX eej ωωω-∴=+=+-()sin(2)jwI X eω∴=-利用()()()2o x n x n x n --=11()(2)(2)22o x n n n δδ∴=--+2211()sin()22j j I jX eej ωωωω--=-=()sin(2)jwI X eω∴=-上例中的合成方法可以用解析的方法来解释，以便得出()j R X e ω直接表示()j I X eω的一般关系式。
希尔伯特变换的基本原理
希尔伯特变换在数字信号处理理论和应用中有着十分重要的作用，它维系着对离散序列进行傅里叶变换后的实部和虚部之间或者幅度和相位之间的关系。
1 希尔伯特变换的基本原理Hilbert 变换测量法对各次谐波都能有精确的90°移相，给定一连续周期信号x(t)， 连续时间信号x(t)的希尔伯特变换定义为：t t x t x t x d d πττπττπττ1)(1)(1)(⊗==⎰⎰+∞∞--+∞∞-- (1)由式（1）可得单位冲击响应h(t)=)(1t x ,由于jh(t)=)(t j 的傅里叶变换是符号sgn(w),所以希尔伯特变换器频率特性为：H （e jw ）=—jsgn(w)= ⎩⎨⎧-j j 00<>x x 记H （j )ω=)(ωj H e j )(ωϕ,当)(ωj H =1时： ⎩⎨⎧-=22)(ππωϕ,, 00<>ωω 信号x(t)的希尔伯特变换可以看成信号x(t)通过一个幅度为1的全通滤波器输出，信号通过希尔伯特变换后，其负频率成分作+90的相移，而正频率成分作—90的相移。
这类滤波器要求滤波器的零频率响应为0，若滤波器的阶数为偶，则要求归一化频率为零。
即如果滤波器的阶数为偶数，那么增益在频率为0Hz 和2fs 处必须降为零，希尔伯特必须是一个带通滤波器。
如果滤波器的阶数为奇数，那么增益在频率为0Hz 处必须降为零，希尔伯特滤波器必须是一个高通滤波器。
随着信息时代的到来和高速发展,数字信号处理已经成为一门极其重要的学科和技术,并且在通信、语音、图像、自动控制等众多领域得到了广泛应用。
在数字信号处理中,数字滤波器占有极其重要的地位,具有精度高、可靠性好、灵活性大等特点。
现代数字滤波器可以用软件和硬件两种方式实现。
软件方式实现的优点是可以通过滤滤器参数的改变去调整滤波器的性能。
本文就是基于MATLAB提出希尔伯特FIR滤波器的设计方法。
MATLAB是matrix与laboratory两个词的组合，意为矩形工厂（矩阵实验室）。
希尔伯特变换
Definition of Hilbert Transform
~ ~ s(t ) Re s(t ) j Im s(t )
~ defined as
s(t ) j s (t )
^
S ( ) 2S ( )U ( )
~
FT [S ( )] FT 1[2S ( )U ( )]
This is defined as Hilbert Transform
Properties of Hilbert Transform
1 2 3
Hilbert变换等价于对信号进行正交滤波
两次Hilbert变换等价于倒相器
Hilbert逆变换等于负的Hilbert正变换
s(t ) j s (t )
^
defined as ~ jwt 1 s(t ) Re S ( )e dw Re s(t ) 2 0
S ( ) 2S ( )U ( )
~
Conclusion：实信号可以用仅含有其正频率分量的解析信号的实部来表示
1
^ 1 1 defined as s(t ) s(t )*[ (t ) ] s(t ) j[ s(t )* ] s(t ) jH [ s(t )] s(t ) j s(t ) j t t ~
~
s(t )
^
defined as
1 H [ s(t )] s(t )* t
Preliminary knowledge of Hilbert Transform
实信号的频谱是具有正负频率的双边谱，且关于0 点偶对称，故分析其单边谱信号形式即可满足分析问题、 恢复原信号的要求。 单边谱信号在时域是复信号。 那么如何从实信号中分解出单边谱信号呢？ 基于右边推导可以定义解析信号的表示方法：
第十六讲：希尔伯特变换与信号的复信号表示
ˆ RYY ( ) RY ( ) RYY ( ) ˆ ˆ
Rc (t , t ) RY ( )[cos 0 t cos 0 (t ) sin 0 t sin 0 (t )]
ˆ RY ( )[sin 0 t cos 0 (t ) cos 0 t sin 0 (t )]
Ac (t ), As (t ) 均为正态分布，且由于 Rcs (0) 0
所以二者也是正交和相互独立的
2 2 Act Ast 1 f A A ( Act , Ast ) f A ( Act ) f A ( Ast ) exp 2 2 c s c S 2 2
（3）
H [a(t ) cos 0 t ] a(t ) sin 0 t
H [a(t ) sin 0t ] a(t ) cos 0t
（4）
H [ A(t ) cos[ 0 t (t )] A(t ) sin[ 0 t (t )]
H [ A(t ) sin[ 0 t (t )] A(t ) cos[ 0 t (t )]
1 1
1
0
GY ( 0 ) cos[( 0 )]d GY ( 0 )[cos cos 0 sin sin 0 ]d GY ( 0 ) cos d cos 0
0
0
0
Transfer function of narrow system
y (t )
x(t )
t
t
Change in phase Change in amplitude
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