第六讲 随机过程的遍历性
通信原理-随机过程课件
遍历性的数学描述
对于一个随机过程，如果存在一个常 数$c$，使得对于任意的时间$t$，有 $E[X(t)]=c$，则称该随机过程具有遍 历性。其中$X(t)$表示在时刻$t$的随 机变量的取值。
标量乘法
标量乘法满足结合律和分 配律，即对于任意标量a 和任意随机过程X，有 a(X+Y)=aX+aY。
线性变换的应用
信号处理
在通信系统中，信号经常 需要进行线性变换以实现 调制、解调、滤波等操作 。
控制系统
在控制系统中，线性变换 被广泛应用于系统的分析 和设计，如传递函数、状 态方程等。
图像处理
在图像处理中，线性变换 被广泛应用于图像的增强 、滤波、变换等操作。
04
CATALOGUE
随机过程的平稳性
平稳性的定义
平稳性定义
一个随机过程如果对于任何正整数n，以及任何非负整数k，其n维联合分布函 数与n+k维联合分布函数相同，则称该随机过程是严平稳的。
数学表达式
若对于任意的正整数n和任意的非负整数k，都有P(X_1, X_2, ..., X_n) = P(X_1+k, X_2+k, ..., X_n+k)，则称随机过程{X_t}是严平稳的。
06
CATALOGUE
随机过程的功率谱密度
功率谱密度的定义
功率谱密度
表示随机信号的功率随频率的分布， 是描述随机信号频域特性的重要参数 。
定义方式
功率谱密度函数通常由傅里叶变换来 定义，将随机信号的时域表示转换为 频域表示。
随机过程-习题解答电子科技大学陈良均
在独立同分布的随机变量序列中，当样本量趋于无穷时，无论总体分布是什么，样本均 值的分布趋近于正态分布。
05
随机过程的估计与预测
参数估计
矩估计法
利用随机过程的数学期望、方差等矩特征，通过 样本矩来估计参数。
最小二乘估计法
通过最小化误差的平方和来估计参数，常用的有 普通最小二乘法和加权最小二乘法。
泊松过程
总结词
泊松过程是一种随机过程，其中事件 的发生是相互独立的，且具有恒定的 发生率。
详细描述
泊松过程描述了在单位时间内发生事 件的次数，其中事件的发生是相互独 立的，且具有恒定的发生率。这种过 程在物理学、工程学、统计学等领域 有广泛应用。
随机漫步
总结词
随机漫步是一种随机过程，其中每一步 都是随机的，且与前一步无关。
信号的滤波与预测
要点一
信号滤波
利用滤波器对随机信号进行处理，提取出所需频率成分， 抑制噪声和其他干扰。
要点二
信号预测
基于随机过程理论，利用历史数据对未来信号进行预测， 提高信号处理的准确性和可靠性。
信号的检测与估计
信号检测
在存在噪声和干扰的情况下，利用随机过程理论，检测 出有用的信号，提高信号检测的灵敏度和抗干扰能力。
参数估计
通过分析随机信号的统计特性，估计出信号的某些参数 ，如频率、相位等，为进一步处理和应用提供依据。
感谢您的观看
THANKS
06
随机过程在信号处理中的应 用
信号的随机模型化
信号的随机模型化
01
将信号表示为随机过程，以便更好地理解和分析信号的特性。
随机信号的统计特性
02
研究随机信号的均值、方差、相关函数等统计特性，以描述信
平稳各态遍历随机过程的概念
平稳各态遍历随机过程的概念在概率论和数理统计中，平稳各态遍历随机过程是一种重要的概念，它由平稳性和各态遍历性两个性质共同定义。
这种随机过程在许多实际应用领域，如物理学、经济学、生物学等，都有广泛的出现。
本文将详细介绍平稳各态遍历随机过程的概念，包括平稳性、各态遍历性、随机过程和遍历性等方面。
1. 平稳性平稳性是指随机过程的统计特性不随时间的推移而改变。
换句话说，平稳随机过程在任何时间点的概率分布与时间无关。
例如，在金融市场中，如果一个股票价格的时间序列是平稳的，那么无论何时观察该股票价格，其均值和方差等统计特性都保持不变。
2. 各态遍历性各态遍历性是指随机过程在长时间内能够充分地展现出所有可能的状态。
具体来说，如果一个随机过程是各态遍历的，那么对于任何给定的时间间隔，在间隔内的任何时刻观察到的样本点都具有相同的概率分布。
例如，在气象学中，如果一个气候模型的时间序列是各态遍历的，那么可以通过观察该时间序列来预测未来任何时间点的气候状态。
3. 随机过程随机过程是指一系列随时间变化的随机变量。
例如，在金融市场中，股票价格可以看作是一个随机过程，它随时间变化，并且每个时刻的股票价格都是一个随机变量。
随机过程可以用来描述许多自然现象和人为现象，如天气变化、交通流量、人口增长等。
4. 遍历性遍历性是指一个随机过程能够覆盖所有可能的状态。
具体来说，如果一个随机过程是遍历的，那么在足够长的时间内，该过程可以展现出所有可能的状态。
例如，在密码学中，一个随机密钥生成器是遍历的，意味着在足够多的次数之后，该生成器能够产生所有可能的密钥。
总的来说，平稳各态遍历随机过程是指具有平稳性和各态遍历性的随机过程。
这种随机过程在许多领域都有广泛的应用，如预测气候变化、金融市场分析、密码学等。
通过对其概念的理解和研究，可以更好地应用这些方法来处理和分析实际问题。
随机过程的基本概念ppt课件
.
2.3 平稳随机过程
三、相关系数及相关时间
也称为归一化协方差函 数或标准协方差函数。
相关系数： rX()KXX 2 ()RX()X 2mX 2
相关时间：
0
0 rX()d
rX ( )
1
rX(0) 0.05
0
0
相关时间示意图
.
2.3 平稳随机过程
三、相关系数及相关时间
为随机过程X(t)的二维概率分布。定义
fX(x1,x2,t1,t2)2FX(xx11,xx22,t1,t2)
为随机过程X(t)的二维概率密度。 注意：X(t1)及X(t2)为同一随机过程上的随机变量。
.
2.2 随机过程的统计描述
2、二维概率分布
例2、设随机相位信号
X (n )co s( n/1 0 )
.
2.2 随机过程的统计描述
二、随机过程的数字特征（连续）
• 协方差函数
K X ( t 1 , t 2 ) E { [ X ( t 1 ) m X ( t 1 ) ] [ X ( t 2 ) m X ( t 2 ) ] } （1）如果 KX(t1,t2)0，则称 X (t1 )和 X (t2 )是不相关的。
.
2.3 平稳随机过程
一、定义
(1)严格平稳随机过程
f X ( x 1 , ,x n ,t 1 , ,t n ) f X ( x 1 , ,x n ,t 1 , ,t n )
一维概率密度： fX(x,t)fX(x)
二维概率密度： fX (x 1 ,x 2 ,t1 ,t2 ) fX (x 1 ,x 2 ,) t1 t2
接收机噪声
5
x1(t) 0
随机过程重点
1.平稳过程:随机过程的变化只和时间差（t-s）有关，和时间起点t0没有关系。
2.遍历性:简单的理解就是一个粒子在足够长的时间能够到达所有状态空间上的点。
第三章:最主要的是排队的问题，也就是像例3.1.1/3.1.2/3.1.3/3.2.1这样的都是很基本的计算可能会穿插在题目里面。
第四章:Poisson过程的推广，我觉得大概可能不会考……嗯……是酱紫的……第五章:1.将来只与现在有关，与过去无关2.状态转移，就是那个矩阵的那个，也是比较简单的，至于考不考，怎么考……就不太清楚……还是要掌握的……3.n步转移和C-K方程以及后面的例题啊神马神马的，就是状态转移的推广，，，4.状态的分类及性质:互通、一个类、常返、非常返，零常返……5.后面的应用里人口结构变化模型没有讲6.连续时间马氏链5.5.3/5.5.4也都没有8BB2第六章:1.鞅来源于赌博，表示的是第n次赌博的收获情况（也就是赢钱/输钱的情况）2.随机过程第n-1次赌博完后手上的钱，包含了之前的一切信息。
3.如果每次赌博的输赢的机会是均等的，并且赌博是公平的，经过长时期后，期望收益和最初的相同。
4.上鞅:对参与者有利；下鞅:对赌场老板有利5.例题6.1.3/6.1.4/6.1.5都没怎么讲提了一下6.例题6.2.4/6.2.5/6.2.6/定理6.2.2推论6.2.17.停时定理6.2.2没讲8.鞅的收敛定理:金融市场的投资会使得资产增加，但是不会变得无穷，一直投资下去，资产的期望值等于初始的期望；金融工程:构造一个凸函数形成下鞅；期权是构造价值标的资产凸函数。
随机的例子:排队问题、保险赔付、第五章的例子，鞅的那章跟我们关系比较密切的就是怎样利用下鞅（构造凸函数）进行金融市场里的套机，第七章相关的就是B-S公式，期权定价，不过貌似说七章不考啊……。
随机过程与随机信号的相关理论
第2章
随机过程与随机信号的相关理论
本章内容
随机过程的基本概念 随机信号的基本概念
随机变量
是指对不同的实验结果取不同数值的量，即把随机实验的结果数 量化，由于实验结果的随机性，所以它的取值也具有随机性。
举例： ----抛掷硬币实验
Ω = ω = 正面，反面为随机实验的样本空间，规定实验结果出现正面的
X
(t
)
2
且对任
意 t ， T 有
（a）X (t) E X (t) （常数）
（b）RX (t,t ) R( )
其中 R( ) 是 的某个函数，则称X (t),t T 为宽平稳过程。
宽平稳过程不一定是严平稳过程，反之亦然。但是如果严平稳过程有有 限的二阶矩，则它一定是宽平稳过程。而对于正态过程来说，两种平稳 过程是等价的。宽平稳过程有较强的适用性。
(t)
0
。σ
2 X
(t)
的平方根称为
随机过程的标准差，即
σX (t) =
σ
2 X
(t)
=
D X(t)
§2.1.3 随机过程的概率分布与统计分析
从统计上来说，σ
2 X
(t)
反应随机过程的样本函数偏离数学期望
μX (t)
的程度。从物理意义上讲，若X（t）为噪声电压，则
ψ
2 X
(t)
就是
X（t）消耗在单位电阻上瞬时功率的统计平均值，σ
判为 H0
η0 < ΛzN < ΛzN 不能判决，继续观测
式中， ΛzN 表示进行N次观测的似然比。如果进过N次观测判
决，还不能满足性能要求，则需要增加检测信息。
§2.2
随机信号的基本概念
随机过程第六章
2 X
mx2
若随机过程X(t)平稳，则其均值、均方值和方差均为常数。
对于严平稳随机过程X(t)的二维分布F2(X1,X2;t1,t2)=F2(X1,X2;t1+ ε,t2+ ε)， 若令ε=-t1，则
F2(X1,X2;t1,t2)=F2(X1,X2;0,t2-t1)，令t2-t1= τ ，则 F2(X1,X2;t1,t2)=F2(X1,X2; τ)
1.
l.i.mcn
lim
n
cn
c
2. l.i.mU U
3. l.i.m(cnU ) cU
4. l.i.m(aX n bYn ) aX bY
5.
lim
n
E[
X
n
]
E[ X
]
E[l.i.mXn
]
6.
lim
n,m
E[
X
nYm
]
E[
XY
]
E[(l.i.mX
n
)(l.i.mYm
)]
定理6.2
设{Xn}为二阶矩随机序列，则{Xn}均方收敛的充要条件为下列极限存在：
各态历经定理的意义：
一个实平稳过程，如果它是各态历经的，则可用任意一个样本函数的
时间平均代替过程的集合平均，即
mX
l.i.m 1 T T
T
x(t)dt,
0
RX
(t)
l.i.m
T
1 T
T
x(t)x(t )dt
0
若样本函数X(t)只在有限区间[0,T]上给出，则对于实平稳过程有下列估
计式
l.i.m 1
T 2T
T
T X (t) X (t ) dt RX ( )
各态历经性质
所谓随机过程的遍历性，通俗地说，就是“在下标集T上，随机过程按其分布函数遍历其所有的可能状态”。
遍历性也称为各态历经性质。
具有遍历性的随机过程必为平稳过程，但平稳过程未必是遍历的。
如果平稳时间序列具有遍历性，则根据一次观测得到的样本序列即可计算序列的统计特征，这无疑对于工程领域中许多实际问题的分析处理带来了极大的便利。
尽管在实际应用中样本长度总是有限的，以至无法应用上式精确地计算序列的统计特征量，但在有限样本条件下仍可以得到各种统计特征量的一致无偏估计。
事实上，遍历性是工程信号统计分析方法的基础。
传递函数表示测试系统的输入信号与输出信号之间在复数域内的关系。
平稳各态遍历随机过程的概念
平稳各态遍历随机过程的概念
一、平稳性
平稳性是指一个随机过程的统计特性不随时间的推移而改变。
具体来说，如果一个随机过程在时间t的取值与时间0的取值之间的统计特性没有差异，那么我们称这个随机过程是平稳的。
平稳性是一种重要的性质，因为它可以让我们更好地理解随机过程的特性，并且简化了一些分析和计算。
二、各态遍历性
各态遍历性是指一个随机过程在足够长的时间后能够访问其所有可能的取值。
也就是说，无论随机过程从哪个初始状态开始，或者经历什么样的噪声干扰，它最终都会遍历所有的可能状态。
各态遍历性是马尔可夫过程的特性之一，这种过程是一种在每个时刻都只依赖于其当前状态的过程。
三、遍历性
遍历性是指一个随机过程能够访问其所有可能的取值，并且这个过程是无后效性的。
也就是说，在每个时间点上，下一个状态的取值只依赖于当前的状态，而与过去的状态无关。
遍历性是马尔可夫链和马尔可夫过程的特性之一，这种特性使得我们可以通过研究每个状态的概率分布来理解整个过程的统计特性。
四、随机过程
随机过程是一种数学模型，用于描述在时间演化过程中随机变化的量。
这个概念广泛用于各种领域，包括物理学、经济学、生物学等。
随机过程可以由一组随机变量构成，这些变量是在不同的时间点上取值的，并且这些变量的取值是随机的。
根据不同的特性，随机过程可以分为不同的类型，如马尔可夫过程、泊松过程、布朗运动等。
随机过程的功率谱密度
Rˆ X
(
)
1 2T
T
x(t ) x(t )dt
T
一、联合分布
二维联合分布函数：
FXY (x1, y1,t1,t1' ) P{X (t1) x1,Y (t1' ) y1}
二维联合概率密度：
f XY (x1, y1, t1, t1' ) 2FXY (x1, t1, y1, t1' )
x1y1
性质：
RXY (t1, t2 ) RXY ( ), t1 t2
RXY ( ) RYX ( ) KXY ( ) KYX ( )
RXY ( ) 2 RX (0)RY (0)
K XY
( )
2
2 X
2 Y
若 X (t)与Y (t)是联合平稳旳，则 Z (t) X (t) Y (t) 是平稳旳。
K X (0)KY (0)
XY
广义联合平稳旳定义：
mX (t) mX , mY (t) mY , RXY (t1, t2 ) RXY ( ), t1 t2
随机过程旳功率谱密度 作业：2.31, 2.36, 2.39
功率谱定义：GX
(
)
E[lim T
1 2T
XT () 2 ]
平稳随机过程：维纳－辛钦定理 RX ( ) GX ()
2 4 10 2
9
求有关函数。
例3、若平稳过程X(t)旳功率谱密度为
GX
(
)
[1
1
2
]2
求有关函数。
二、平稳随机序列旳功率谱密度
对于平稳随机序列X(n)，其功率谱密度
GX ()
RX (m)e jm
m
傅里叶 变换对
《随机过程》课件
泊松过程
定义
泊松过程是一种计数随机过程，其事件的发生是 相互独立的，且具有恒定的平均发生率。
例子
放射性衰变、电话呼叫次数、交通事故等。
应用领域
物理学、工程学、保险学等。
03
随机过程的变换与函数
随机过程的线性变换
线性变换的定义
线性变换是指对随机过程中的每个时间点，将该点的随机变量或随机向量乘以一个常数 或矩阵，并加上另一个常数或矩阵。
应用
微分在随机过程的理论和应用中非常重要，例如在金融 领域中，可以通过计算股票价格的导数来预测股票价格 的变动趋势。
积分的定义
随机过程的积分是指对随机过程中的每个时间点，将该 点的随机变量进行积分。
积分的性质
积分运算可以改变随机过程的统计特性，例如期望、方 差和协方差等。
应用
积分在随机过程的理论和应用中也有重要应用，例如在 信号处理中，可以通过对信号进行积分来提取信号的特 征或进行信号的合成。
连续随机过程
01
定义
连续随机过程是在时间或空间上 连续取值的随机现象的数学模型 。
02
03
例子
应用领域
电子信号、温度波动、随机漫步 等。
物理、工程、金融等。
马尔可夫过程
定义
马尔可夫过程是一种特殊的随机过程，其未来状态只依赖于当前 状态，与过去状态无关。
例子
赌徒输赢的过程、天气变化等。
应用领域
统计学、计算机科学、人工智能等。
将随机信号视为随时间变化的随机变量序列，具有时间和概率的统 计特性。
随机模型
根据实际需求建立信号的随机模型，如高斯过程、马尔可夫过程等 。
信号的滤波与预测
滤波器设计
根据随机模型设计滤波 器，用于提取有用信号 或抑制噪声。
随机过程平稳性遍历性正交性不相关性和独立性
随机过程的遍历性
1 a x(t ) lim T T
T 2
T 2
x(t ) dt
1 T2 R( ) x(t ) x(t ) lim x(t ) x(t )dt T T T 2
如果平稳过程使下式成立
a a R( ) R( )
随机过程
1 2
平稳性 遍历性 正交性、不相关性与独立性 正态随机过程的主要性质
3
4
随机过程的平稳性 ， f ( x, y, z, t ) f ( x, y, z, t )，当 x x x 的特性不变，就称 f ( x, y, z, t ) 关于 x 函数是平稳的。 平稳性：若一个函数 判断方法： 方法一： 若X(t)为严平稳，k为任意正整数，则 E[ X (t )]与时间t 无关。 方法二：若X(t)为严平稳，则对于任一时刻t0 ， X(t0)具有相同的统计特性。 实际意义：
严格平稳
一定
广义平稳
不一定
当随机过程满足高斯分布时，严平稳和宽平稳是等价的。
随机过程的遍历性
• 实际意义： 随机过程的数字特征（均值、相关函数）是对随机过程的所有样本函数的统计 平均，但在实际过程中很难测得大量的样本。因此，我们想在满足一定条件下， 从一次试验中得到一个样本函数来决定平稳过程的数字特征，这就是各态历经 性，又称遍历性。
3.高斯过程有很多与高斯变量类似的统计特征，如：
•
• • • •
高斯过程通过线性系统或高斯过程的线性组合仍为高斯型。
如果高斯过程是广义平稳的，则等价于平稳。 如果高斯过程的时间进程中两个不同时刻的随机变量不相关，则等价于统计独立。 高斯过程的线性积分则为相应的高斯随机变量。 两个高斯分布律的随机变量的卷积是高斯分布律，它的均值和方差是原来两个高斯分 布律的均值和方差的代数和。
随机过程课后试题答案
随机过程课后试题答案1. 题目：简述离散时间马尔可夫链和连续时间马尔可夫链的基本概念和性质。
答案：离散时间马尔可夫链（Discrete-time Markov Chain）是指在时间上的变化是离散的、状态空间是有限或可列无限的马尔可夫链。
其基本概念和性质如下：1.1 基本概念：- 状态空间：马尔可夫链的状态空间是指系统可能处于的状态集合，记作S。
离散时间马尔可夫链的状态空间可以是有限集合或可列无限集合。
- 转移概率：转移概率是指在给定前一个状态的条件下，系统转移到下一个状态的概率。
用P(i, j)表示系统从状态i转移到状态j的概率，其中i和j属于状态空间S。
- 转移概率矩阵：转移概率矩阵P是指表示从任一状态i到任一状态j的转移概率的矩阵。
对于离散时间马尔可夫链，转移概率矩阵是一个方形矩阵，维数与状态空间大小相同。
- 平稳概率分布：对于离散时间马尔可夫链，如果存在一个概率分布π，满足π = πP，其中π是一个行向量，P是转移概率矩阵，则称π为马尔可夫链的平稳概率分布。
1.2 性质：- 马尔可夫性：离散时间马尔可夫链具有马尔可夫性，即将来状态的发展只与当前状态有关，与过去的状态无关。
- 遍历性：若马尔可夫链中任意两个状态之间都存在路径使得概率大于零，则称该马尔可夫链是遍历的。
遍历性保证了马尔可夫链具有长期稳定的性质。
- 正常概率性：对于离散时间马尔可夫链，转移概率矩阵P的元素都是非负的，并且每一行的元素之和等于1。
- 可约性和不可约性：如果一个马尔可夫链中的所有状态彼此之间都是可达的，则称该马尔可夫链是不可约的。
反之，则称它是可约的。
不可约性保证了任意状态之间都可以相互转移。
- 周期性：对于不可约的离散时间马尔可夫链，如果存在某个状态，从该状态出发回到该状态所需的步数的最大公约数大于1，则称该状态是周期的。
若所有状态都是非周期的则称该马尔可夫链是非周期的。
2. 题目：连续时间马尔可夫链的定义和性质有哪些？答案：连续时间马尔可夫链（Continuous-time Markov Chain）是指在时间上的变化是连续的、状态空间是有限或可列无限的马尔可夫链。
第042_17讲随机过程的各态历经性
T T →∞ 0
T T →∞ 0
∫ ∫ lim 1 T s(t +τ )n(t)dt + lim 1 T n(t +τ )s(t)dt
T T →∞ 0
T T →∞ 0
= Rss (τ ) + Rnn (τ ) + Rsn (τ ) + Rns (τ )
= Rss (τ ) + Rnn (τ )
上式计算中，利用了信号和噪声的各态历经特性，它们的时间相关函数等于统计相 关函数；信号和噪声是统计独立的它们的均值为零因此他们的互相关函数为零。 进一步考虑到，周期性随机信号的相关函数具有周期性，噪声的相关函数不具有周
定义，自相关各态历经性，
设，ξ (t) 是均方连续平稳的随机过程，且对于固定的τ ，ξ (t + τ )ξ (t) 也是均方连续平
稳的随机过程， ξ (t + τ )ξ (t) 代表ξ (t + τ )ξ (t) 沿时间的平均值，即
∫ ξ (t +τ )ξ (t)
= lim
1
T
ξ (t + τ )ξ (t)dt
1 2
Cξ ξ
(v)dudv⎫⎪⎬ ⎪⎭
∫ ( ) =
⎧1 lim ⎨ T →∞ ⎩ 4T
2
2T −2T
2T − v
⎫ Cξξ (v)dv⎬
⎭
∫ =
lim
⎧⎪ ⎨
1
T →∞ ⎪⎩ 2T
2T −2T
⎛ ⎜1− ⎝
v 2T
⎞ ⎟ Cξ ξ ⎠
(v)dv⎫⎪⎬ ⎪⎭
∫ =
lim
⎧⎪ ⎨
1
T →∞ ⎪⎩ 2T
{ } z(t,τ )
随机过程-遍历定理和平稳分布
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, , , k
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§L:d u§3 ,
g
V§w
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Corollary 45 (p85/63/72, Cor 1) kG êó§U ~G §Uk"~G §l kêó 7 ~ "
遍历性定理
例 1. 设 X (t) = a cos(wt + Q), t Î R, a,w 为 正 常 数 ， R.V .Q ~ U (0, 2p ) ， 则
X = {X (t),t Î (-¥, +¥)} 的均值有遍历性。
ò 证明： m =
EX (t) =
a
2p 0
1 2p
cos(wt +q )dq
= 0，
ò 若 lim E 1
T ®¥ 2T
2
T ( X (t) - m)( X (t +t ) - m)dt - R(t ) = 0 ，
-T
å 或者 lim E T ®¥Biblioteka 21 N+
1
k
N =-
N
(
X
(t
)
-
m)(
X
(t
+
t
)
-
m)dt
-
R
(t
)
2
= 0 ，则称
X
的协方差函数有
遍历性。 若随机过程（或序列）的均值和协方差函数都有遍历性，则称此随机过程有遍历性。
解： R(t ) ® 0(t ® ¥) ，故由 Stoltz 定理知：
å lim
N ®¥
1 N
N -1
R(t )
t =0
=
lim
N ®¥
R(N
- 1)
=
0。
定理 4.2（协方差函数遍历性定理）若 X = {X (t), -¥ < t < +¥} 为平稳过程，其均值函数为
合肥工业大学数学系
ò 0，则协方差函数有遍历性
T -T
X
(t )dt
遍历性
τ
=0
所以X(t)是关于均值遍历的。
推论1 推论1. 均方连续的平稳过程关于均值具有遍历性⇔ 1 2T τ 2 lim ∫ (1 − ) R X (τ )dτ = µ X 0
T →∞
T
2T
推论2. 均方连续的平稳过程{X(t)}， 推论2 若满足
∫
+∞
−∞
| R X (τ ) | dτ < +∞ ，则它关于平均值具有均
我们最关心的是随机过程X(t)沿整个时间轴的如下 两种时间平均。 设{ X (t ), −∞ < t < ∞}是平稳过程，若下面均方极限存在，
1 X ( t ) = l .i .m T →+∞ 2T
∫
T
−T
X ( t )dt ,
1 T X ( t ) X ( t + τ ) = l .i .m ∫−T X (t ) X (t + τ )dt . T →+∞ 2T
注：各态历经性定理的重要价值在于它从理论上给 出了如下保证： 一个平稳过程X(t)，只要满足上述两条件，便 可以从一次试验所得到的样本函数x(t)来求得该过 程的均值和自相关函数的估计。即：若样本函数x(t) 在有限区间[0，T]，只要T足够大，便有
1 T µ X ≈ lim ∫ x ( t )dt , T →+∞ T 0 1 T −τ RX (τ ) ≈ ∫0 x(t ) x(t + τ )dt . T-τ
方遍历性⇔µX=0。 证：因为
1 2T 1 τ | ∫ (1 − ) R X (τ )dτ |≤ 0 T 2T T
∫
2T
0
| R X (τ ) |dτ → 0
2．(自相关函数遍历性定理) 均方连续的平稳过程{X(t)}， ) 且对给定τ,{X(t)X(t+τ)}也是均方连续的平稳过程，则 {X(t)}关于自相关函数具有遍历性
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∫
均值各态历经
任何一条样本函数所包含的取值状态与随机过程( 任何一条样本函数所包含的取值状态与随机过程(任意 时刻)所有的状态相同, 时刻)所有的状态相同,而且出现的频率与随机过程各 状态的概率相同
4
3,自相关各态历经性 自相关各态历经性
1 N Rx (m) = l i m ∑x(n)x(n + m) N→∞ N n=1
5
4,相关各态历经的条件和含义(重点) 相关各态历经的条件和含义(重点)
x(t)x(t + τ ) = X (t) X (t +τ ) = RX (t1, t2)= RX (τ )
条件1 的函数, 的函数, 条件1, RX (t1, t2) 不是 t1, t2的函数,而是 τ的函数, 即随机过程相关平稳 条件2 与样本函数无关, 条件2, X (t)X (t +τ ) 与样本函数无关, D{X (t) X (t +τ )} = 0
8
遍历性判断
从定义(重点 从定义 重点) 重点 从充分条件 若不含周期分量
l i mRX (τ ) = mX 2 T→ ∞
均值遍历性: 均值遍历性:
零均值平稳正态随机信号: 零均值平稳正态随机信号:
∫
∞
0
RX (τ )dτ < ∞
相关遍历性
9
例
判断随机过程X(t)=Y的遍历性, 判断随机过程X(t)=Y的遍历性, X(t)=Y的遍历性 其中Y是方差不为零的随机变量. 其中Y是方差不为零的随机变量.
1 N1|m| RXY (m) = ∑x(n) y(n + m) N | m| n=0
互相关函数: 互相关函数: xcorr() 用法: 用法:c = xcorr(x,y,'option') 功能:返回X(n) ,Y(n)互相关函数估计 功能:返回 互相关函数估计
17
Original Signal x1 4 2 0.5 0 -2 -4 0 0.5 1 t 1.5 2 -0.5 -0.2 Rx1(t) x1(t) 1
20
�
Autocorrelation
0
-0.1
0 t
0.1
0.2
Original Signal x 4 2 0 -2 -4 0 0.5 1 t 1.5 2 Rx(t) x(t) 1 0.5 0 -0.5 -1 -0.2
Autocorrelation
-0.1
0 t
0.1
0.2
18
协方差函数与互协方差函数: 协方差函数与互协方差函数: 函数: 函数: xcov() 用法: 用法:与自相关函数及互相关函数相同
用法: 用法:sigma=std(x) 功能:返回 功能:返回X(n) 标准方差估计
15
自相关函数: 自相关函数:
(m) = 1 Rx N
N m 1 n=0
∑x
n+m n
x
有偏(渐进无偏),一致估计量 有偏(渐进无偏),一致估计量 ),
1 N m 1 Rx (m) = ∑ xn+mxn N m n=0
∫
3
2,均值各态历经的条件和含义(重点) 均值各态历经的条件和含义(重点)
P x(t) = X (t) = E[X (t)] = mx
条件1 条件1,X(t)均值平稳 条件2 条件2,X(t)的时间平均与样本函数无关,即 X (t) 的时间平均与样本函数无关, 对各条样本函数的取值一样, { 对各条样本函数的取值一样, D X (t)} = 0
如果一个平稳随机过程X(t),它的各种时间平均( 如果一个平稳随机过程X(t),它的各种时间平均(时 X(t) 各种时间平均 间足够长) 相应的统计平均以概率 以概率1 间足够长)与相应的统计平均以概率1相等 则称X(t)具有严格的各态历经性,或该过程为严各态 则称X(t)具有严格的各态历经性,或该过程为严各态 X(t)具有严格的各态历经性 历经过程
P X (t) = E[ X (t)]
与取那条样本有关, 与取那条样本有关, 与时间无关
1 T X (t) = l i m X (t)dt T→∞ 2T T
是时间t的函数, 是时间t的函数,与 取那条样本无关
∫
代表随机信号的时间平均 代表随机信号的时间平均 随机信号
1 T x(t) = l i m x(t)dt T→∞ 2T T
解: E[ X (t)] = E[Y ]
E[ X (t) X (t +τ )] = E[Y ]
2
平稳随机过程
1 T x(t) = lim ∫T ydt = y T →∞ 2 T
结论: 结论:一个随机变量一定不是各态历经的
10
例
判断
X (t) = Acos(ω0t + Φ)
是否具有遍历性,其中Φ均匀分布于(0, 是否具有遍历性,其中Φ均匀分布于(0,2π). (0 解,均值遍历性
估计量的方差: 估计量的方差:
方差越小越好 一致估计
14
方差: 方差:
有偏(渐进无偏), ),一致估计量 有偏(渐进无偏),一致估计量
N1 1 2 = σX [x(n) mX ]2 N n=0
∑
方差函数: 方差函数:
var()
用法: 用法:sigma2=var(x) 功能:返回 功能:返回X(n) 方差估计 标准方差函数: 标准方差函数: std()
1 T RX (τ ) = l i m x(t +τ )x(t)dt T→∞ 2T T
∫
相关各态历经
任何一条样本函数都同样的经历了随机过程的各种二阶可能状态 任何一条样本函数都同样的经历了随机过程的各种二阶可能状态 同样的 相同, 在各条样本函数中可能状态 x(t)x(t + τ ) 相同,且以相同的概 率出现
第七讲
遍历随机过程
问题: 的各数字特征(集合平均), 问题:随机过程 X (t)的各数字特征(集合平均), 能否用任一条样本函数的特征(时间平均) 能否用任一条样本函数的特征(时间平均)来代替
1
在较长的时间T 在较长的时间T内观测 一个工作在稳定状态下 的接收机的输出电压: 的接收机的输出电压:
工作条件不变, 工作条件不变,对相同的接收机 同时观测其输出电压: 同时观测其输出电压:
自相关遍历性
1 T 2 x(t)x(t +T) = lim a cos(ωt +) cos(ωt +ωτ +)dt T →∞ 2 ∫ T T
= a2 cos(ω0τ ) / 2 = RX (τ )
11
各态历经性判别
X (t )
X (t )
t
t
(a)
(b)
12
Байду номын сангаас
7,用实验手段研究随机过程的统计特性
6
5,各态历经性的定义
设X(t)是一个平稳随机过程,如果同时满足均值各态 X(t)是一个平稳随机过程, 是一个平稳随机过程 历经,相关各态历经,则称x 历经,相关各态历经,则称x(t)广义各态历经
x(t)
P = E[ X (t)] = mx
P x(t)x(t + τ ) = RX (t1, t2) = RX (τ )
幅值的时间平均: 幅值的时间平均: 间平均
x + x + + xm xk (t) ≈ 1 2 m
平稳情况下, 平稳情况下,幅值的统计平均
E[ X (t)] =
i=1
∑xiP{X(t) = xi}
2
n
概率意义
广义各态历经性的定义 在相关理论的范围内讨论历经过程,即讨论两种时间平均: 在相关理论的范围内讨论历经过程,即讨论两种时间平均: 均值和自相关 1,均值各态历经性 均值各态历经性
P X (t1) X (t2) = E[ X (t1) X (t2)]
其中
X (t1) X (t2 ) = X (t) X (t +τ ) 1 T = l i m ∫ X (t) X (t +τ )dt T →∞ 2 T T
1 T x(t)x(t +τ ) = l i m ∫ x(t)x(t +τ )dt T →∞ 2 T T
19
随机过程的概率密度估计 函数: 函数: ksdensity() 用法: 用法:[f,xi] = ksdensity(x) 功能:估计用矢量x表示的随机序列在x 处的概率密度f 功能:估计用矢量x表示的随机序列在xi处的概率密度f. 函数: 函数: hist() 用法: 用法:hist(y,x) 功能:画出用矢量y表示的随机序列的直方图,参数x 功能:画出用矢量y表示的随机序列的直方图,参数x表示 直方图 计算直方图划分的单元. 计算直方图划分的单元.
7
6,假设随机过程各态历经的意义 , 各态历经的意义 任何一个样本函数的特性都可以充分代表随机过程的 全部统计特性, 全部统计特性,简化研究过程和实际统计方法 在实际应用中,如果随机过程是平稳的,我们总是凭经验假 在实际应用中,如果随机过程是平稳的,我们总是凭经验假 设它是各态历经的. 设它是各态历经的. 实际中,在通信系统中, 实际中,在通信系统中,我们认为噪声和信号一般都是平 稳和各态历经的
13
各态历经假设
随机过程的数字特征估计 均值: 无偏, 均值: 无偏,一致估计量
N1 1 X = m x(n) N n=0 =0
估计方法的好坏评判 估计量的期望: 估计量的期望:
无偏性 有偏性 渐进无偏
∑
均值函数: 均值函数:
mean()
用法: 用法:m=mean(x) 功能:返回X(n)均值估计 功能:返回 均值估计
统计实验分析的目的: 统计实验分析的目的: 序列( 从时间序列 实验数据)出发(一个实现), 从时间序列(实验数据)出发(一个实现), 估计它所代表的随机过程 它所代表的随机过程X 估计它所代表的随机过程X(t)的统计特性 统计实验分析的理论基础: 统计实验分析的理论基础: 待估计的量: 待估计的量: 均值,方差,相关函数,功率谱密度(频域特性),密度函数 均值,方差,相关函数,功率谱密度(频域特性),密度函数 ),