抛物线与特殊三角形

抛物线与特殊三角形

抛物线与三角形的结合是抛物线与平面几何生成综合性问题的一种重要形式，这类问题以抛物线为背景，探讨是否存在一些点，使其能构成某些特殊的三角形，有以下常见的形式：

（1）抛物线上的点能否构成等腰三角形； （2）抛物线上的点能否构成直角三角形。

这类问题把抛物线的性质和平面几何的性质有机结合，需综合运用待定系数法、数形结合、分类讨论等思想方法。 题型一、抛物线与等腰三角形 [例1].如图，已知抛物线2

y ax bx c =++经过()1,0A -,()3,0B ,()0,3C 三

点，直线l 是抛物线的对称轴。 （1）求抛物线的解析式；

（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当PAC ∆的周长最小时，求点P 坐标；

（3）在直线l 上是否存在点M ，

使

M

A

C ∆为等腰三角形？若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由。

B

A

解：（1）因为抛物线2

y ax

bx c =++经过()1,0A -，()3,0B ,()0,3C 三点，

所以09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得1

23a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，故所求为2

23y x x =-++。

（2）如图1，由（1）知抛物线为2

23y x x =-++，其对称轴为2121

x =-=-⨯。

,因为点,A B 关于l 对称，所以连BC 交l 于点P ，则点P 即为所求的点。连PA ，则PA PB =,PA PC

PB PC BC +=+=为最小，此时PAC ∆的周长最小。

设直线BC 为y kx b =+，则330b k b =⎧⎨+=⎩，解得13

k b =-⎧⎨=⎩，

所以直线BC 为3y

x =-+。

由13x y x =⎧⎨=-+⎩，解得1

2

x y =⎧⎨=⎩，故所求点为()1,2P 。

（3）解法1：存在。依题意知1,3OA OC =

=。

在

Rt AOC ∆

中，有AC ==

=

○

1当AC AM ==2，以A 为圆心，AC 长为半径作A e 交l 于

点1M ，2M ，连1AM ，2AM ，设l 与x 轴交于点D ，则1OD =, 所以

11

2

AD OA OD =+=

+=。

x

在1

Rt ADM ∆

中，有1DM

===由垂径定

理知

2

1DM DM ==

所以点(11,M ，(2

M 。

○

2当CA CM ==如图3，以C 为圆心，CA 为半径作C e 交l 于3M ，4M 。

因为

OA OD =,OC

AD ⊥,所以CD CA ==所以3CM CD =,

即点3M 与点D 重合，所以点()3

1,0M 。

又因为04

90ADM ∠=,所以4AM 是

C

e 的直径，

即4,,A C M 三点共线，不能构成三角形。

x

x

○3当MA MC =时，此时点M 在AC 的垂直平分线上，作AC 的垂直平分线交

l 于5M ,交AC 于E ，交y

轴于F 。

如图4，则122CE

AC =

=，且CEF COA ∆∆:,

所以CE CF

CO CA

=

,

即23CF = 所以53CF

=

，43OF OC CF =-=,即点40,3F ⎛⎫

⎪⎝⎭

。 过点E 作EG OA ⊥于G ，则EG OC P ,所以AEG ACO ∆∆:,

所以12EG AE CO AC ==，所以13

22

EG CO ==。

过点E 作EH OC ⊥于H ，同理1122EH OA ==,所以13,22E ⎛⎫- ⎪⎝⎭

。

设直线EF 为43y kx =+，则143232k -+=，解得1

3

k =-。

所以直线EF 为14

33

y

x =-+。当1x =时，1y =，所以点

()51,1M 。

综上满足条件的点为(1

1,M ，(2

M ，()31,0M ，()5

1,1M

。

解法2：设点()1,M t ，如图5，

DM t

=，2AD =,在Rt ADM ∆

中，有

x

22224AM DM AD t =+=+；过点C 作CE l ⊥于E ，则1CE =，

3DE OC ==,3EM DE DM t =-=-。

在Rt CEM ∆中，有()2

2

2

2

2

31610CM EM CE t t t =+=-+=-+；

Rt AOC ∆中，有22221310AC OA OC =+=+=。

○

1当AM AC =时，有24

10t +=，解得

t =，此时

点(

1M ,

(21,M ;

○

2当CM AC =时，有261010t t -+=，解得0t =或6t =。 因为当6t =时，点,,A C M 共线，不能构成三角形。 所以此时点()31,0M ；

○

3当AM CM =时，有226104t t t -+=+，解得1t =

，此时点()41,1M 。

综上，满足条件的点为(1M ，(21,M ，()31,0M ，()41,1M 。 【小结】点的坐标是综合题的立足点（求解析式），又是综合题的制高点（求满足条件的点的坐标或存在性的探究）。求点的坐标一般历经两个关键步骤：（1）定位；（2）计算。

本题的解法1是运用交轨定位，包括圆与直线相交、直线与直线相交；计算涉及运用勾股定理和相似比建立方程。解法2是假设定位，设出点的坐标，利用平面几何性性中的相等关系，建立相应的方程进行计算。两种方法均体现了数形结合、分类讨论的思想方法。

图5

E D M