第二章 与或图搜索问题
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人工智能之与或图搜索问题
规定MAX先手
52
静态估计函数e(P)定义为： ① 若格局 P 对任何一方都不能获胜，则 e(P) =（所有空格上都放上 MAX的棋子后，MAX 的三个棋子所组成的行、列及对角线的总数） -
（所有空格上都放上 MIN 的棋子后， MIN 的三个
棋子所组成的行、列及对角线的总数）
53
② 若 P 是MAX获胜，则 e(P)=+∞
第二章 与或图搜索问题
初始节点s
a c b
目标 目标
1
2.1 基本概念
与或图是一个超图，节点间通过连接符连 接。 K-连接符：
…...
K个
2
耗散值的计算
k(n, N) = Cn+k(n1, N)+…+k(ni, N) 其中：N为终节点集 Cn为连接符的耗散值
n
n1
…...
n2 i个
ni
3
• 解图：
2
O X X
1
O X O X
0
O O X
O
O
O
1
O O
0
O O X X
2
O
0
O
1
O
1
O O X
O X
1
X
X
X
X O X
X
O X
X O
X
X
O
2
2
3
1
O O
2
X
X
2
O O
X X
1
1
O X
X
0
X
O X
0
58
X
O X
O
1
X
人工智能导论第二章搜索与问16
2.2.2 与或图表示法
基于与或图表示的问题求解算法
Step1： 确定单个问题描述形式，可采用状态空 间表示法。
Step2：从原始问题开始，逐步进行分解和变换， 直到本原问题，然后将全部分解和变换过程表示 为与或图。
Step3：从端顶点开始，逐步向上回溯，标注各 顶点为可解或不可解顶点，直到标注原始顶点为 可解顶点或不可解顶点为止
2.3 搜索策略
通常搜索策略的主要任务是确定如何选取规则的 方式。有两种基本方式:
状态空间将问题求解所涉及的每个可能的步骤表 示成一个状态，全部状态以及状态之间的所有转 换构成一个以图的形式表示的状态空间。问题的 求解过程是在状态空间中搜索一条最优的或可行 的从初始状态到目标状态的路径的过程。
与或图表示法的基础是问题归约，通过一系列分 解或变换，将复杂问题逐步转化为比较简单的问 题，直至可以直接求解的本原问题。与或图的求 解过程是在与或图中搜索一个将原始问题变换为 简单问题在变换为本原问题的、最优的或可行的 归约步骤的过程。
2)为了移盘片C，必须先把盘片A及B移到2号柱上。 3)当把盘片C移到3号盘上后，就可把A、B从2号柱移到3
号柱上，以完成问题的求解。
把原问题分解为三个子问题：
1)把盘片A及B移到2号柱的双盘片问题。 2)把盘片C移到3号柱的单盘片问题。 3)把盘片A及B移到3号柱的双盘片问题。 其中，子问题1)与子问题3)又分别可分解为三个子问题
例:三阶Hanoi Tower （梵塔）问题
设有A、B、C三个盘片以及三根柱子，三 个盘片按从小到大的顺序穿在1号柱上，要 求把它们全部移到3号柱上，而且每次只能 移动一个盘片，任何时刻都不能把大的盘 片压在小的盘片上面，如图所示。
例:三阶Hanoi Tower （梵塔）问题
与或图搜索问题
与或图搜索问题的特点
组合优化问题
与或图搜索问题是一个典型的组 合优化问题，因为解决方案空间 通常非常大，需要采用高效的搜 索策略来找到最优解。
逻辑约束
与或图中的节点之间存在逻辑约 束，即某些节点必须同时满足与 （AND）或（OR）关系。
决策变量
与或图中的节点代表决策变量， 需要确定它们的取值以最大化目 标函数或满足特定条件。
03
与或图搜索问题的求解算法
深度优先搜索算法
深度优先搜索是一种用于遍历或搜索树 或图的算法。该算法会尽可能深地搜索 树的分支，当节点v的所在边都己被探 寻过，搜索将回溯到发现节点v的那条
边的起始节点。
深度优先搜索算法适合求解与或图中的 AND-OR图问题，可以找到所有解或
最优解。
算法步骤：选择一个起始节点，标记为 已访问，然后递归地搜索与该节点关联 的所有未被访问的节点，直到所有节点
与或图搜索问题的求解目标
找到最优解
与或图搜索问题的求解目标是找到满足所有 逻辑约束的节点组合，以最大化目标函数或 满足特定条件。
高效求解
由于与或图搜索问题通常具有较大的解决方案空间 ，因此需要采用高效的搜索策略和启发式算法来快 速找到最优解。
实际应用
与或图搜索问题在许多实际应用中具有广泛 的应用，如电路设计、计划调度、物流优化 等。
路径规划
在路径规划问题中，与或图搜索问题可以用于寻找满足特定条件的路径， 如最短路径、最少花费路径等，使得路径能够连接起点和终点。
02
与或图搜索问题概述
与或图搜索问题的定义
与或图搜索问题是一种组合优化问题，旨在寻找满足一系列与 （AND）或（OR）逻辑关系的节点组合。
它通常由一个有向图表示，其中节点表示决策变量，边表示 逻辑关系。
与或图搜索问题
…...
K个
*
耗散值的计算
k(n, N) = Cn+k(n1, N)+…+k(ni, N) 其中：N为终节点集 Cn为连接符的耗散值
…...
i个
n
n1
n2
ni
*
目标
目标
初始节点s
a
b
c
解图：
*
能解节点
终节点是能解节点
若非终节点有“或”子节点时，当且仅当其子节点至少有一能解时，该非终节点才能解。
f(n) = g(n) + h(n) 对n的评价实际是对从s到n这条路径的评价
01
n
02
s
03
普通图搜索的情况
04
*
与或图: 对局部图的评价
目标
目标
初始节点
a
b
c
*
两个过程
01
图生成过程，即扩展节点
03
计算耗散值的过程
02
从最优的局部途中选择一个节点扩展
04
对当前的局部图重新新计算耗散值
*
AO*算法举例
若非终节点有“与”子节点时，当且仅当其子节点均能解时，该非终节点才能解。
*
不能解节点
若非终节点有“或”子节点，当且仅当所有子节点均不能解时，该非终节点才不能解。
若非终节点有“与”子节点时，当至少有一个子节点不能解时，该非终节点才不能解。
没有后裔的非终节点是不能解节点。
*
2.2 与或图的启发式搜索算法AO*
第一阶段是完成自顶向下的图生成操作,先通过有标记的连接符，找到目前为止最好的一个局部解图，然后对其中一个非终结点进行扩展，并对其后继结点赋估计耗散值和加能解标记。
第二章与或图搜索问题
15
耗散值（代价值）的计算：示例
• 解树：S0, A, t1和t2。S0, B, D, G, t4和t5。
S0
2
2
• 由左边的解树可得： • 和代价：h(A)=11,h(S0)=13
A
6
5
1
• 最大代价： h(A)=6,h(S0)=8
t1
t2
C
• 由右边的解树可得： • 和代价：h(G)=3,h(D)=4,h(B)=6,h(S0)=8
3
2
2
2
H(G)=7, h(H)=6, h(E)=7, h(D)=11, S0的右
子树算出的h(S0)＝12，而左子树的h(S0)＝9，
因此左子树为希望树
22
与或树的有序搜索：示例
S0
A
D
B L
C 3
M
E
F
2
G
H
0
0
2
2
3
2
2
2
h(L)=2, h(M)=6, h(B)=3, h(A)=8, L、B均为可解节点。但节
• 1. 把初始节点S0放入OPEN表。
• 2. 把OPEN表中的第一个节点（记为节点n)取出放入CLOSED 表。
• 3. 如果节点n可扩展，则作下列工作： • 3.1 扩展节点n，将其子节点放入OPEN 表的尾部，并为每
个子节点配置指向父节点的指针，以备标识过程使用。
• 3.2 考察这些子节点中有否终止节点。若有，则标识这些终 止节点为可解节点，并应用可解标识过程对其父节点、祖父 节点等先辈节点中的可解节点进行标识。如果初始节点S0也被 标识为可解节点，就得到了解树，搜索成果，退出搜索过程； 如辈果的不节能点确。定S0为可解节点，则从OPEN表中删去具有可解先
与或图搜索
8
• 解图：
初始节点
目标
目标
该解图的耗散值为: (1+(1+1))+(1+1)=5
9
局部解图的耗散值计算
如果我们也将局部图的耗散值记为k(n,N),则: ① 若n是局部图的一个叶节点，则
k(n,N)=h(n)；
② 若n是一个外向连接符指向后继节点{n1,…, ni}，并设该连接符的耗散值为Cn，则
1
与或图例子
2
2.1 基本概念
与或图是一个超图，节点间通过连接符连接。
超图是图的最一般的表达形式，无论什 么图，你都可以说它是超图，就像无论 整数，无理数，复数，反正都是数一样。
超图的定义由两个集合构成：一个点集A， 另一个是点集A中元素的子集的集合B(B 中所有元素的并集就是集合A)。A中的元 素叫节点；B中的元素就叫边，这样超图 H=(A,B)。
17
与或树的一般搜索过程(续)
• 由上述搜索过程所形成的节点和指针 结构称为搜索树。 • 与或树搜索的目标是寻找解树，从而 求得原始问题的解。如果在搜索的某一 时刻，通过可解标示过程可确定初始节 点是可解的，则由此初始节点及其下属 的可解节点就构成了解树。
18
与或树的一般搜索过程(续)
• 如果在某时刻被选为扩展的节点不可扩 展，并且它不是终止节点，则此节点就 是不可解节点。此时可应用不可解标示 过程确定初始节点是否为不可解节点，
如果可以确定初始节点是不可解的，则搜 索失败；否则继续扩展节点。
19
与或树的性质
• 可解与不可解标示过程都是自下而上进行 的，即由子节点的可解性确定父节点的可解性。
• 在与或树中搜索解树时，如果已确定某个 节点为可解节点，则其不可解的后裔节点就不 再有用，可从搜索树中删去；同样，如果已确 定某个节点是不可解节点，则其全部后裔节点 都不再有用，可从搜索树中删去，但当前这个 不可解节点还不能删去，因为在判断其先辈节 点的可解性时还要用到它。
• 解图：
初始节点
目标
目标
该解图的耗散值为: (1+(1+1))+(1+1)=5
9
局部解图的耗散值计算
如果我们也将局部图的耗散值记为k(n,N),则: ① 若n是局部图的一个叶节点，则
k(n,N)=h(n)；
② 若n是一个外向连接符指向后继节点{n1,…, ni}，并设该连接符的耗散值为Cn，则
1
与或图例子
2
2.1 基本概念
与或图是一个超图，节点间通过连接符连接。
超图是图的最一般的表达形式，无论什 么图，你都可以说它是超图，就像无论 整数，无理数，复数，反正都是数一样。
超图的定义由两个集合构成：一个点集A， 另一个是点集A中元素的子集的集合B(B 中所有元素的并集就是集合A)。A中的元 素叫节点；B中的元素就叫边，这样超图 H=(A,B)。
17
与或树的一般搜索过程(续)
• 由上述搜索过程所形成的节点和指针 结构称为搜索树。 • 与或树搜索的目标是寻找解树，从而 求得原始问题的解。如果在搜索的某一 时刻，通过可解标示过程可确定初始节 点是可解的，则由此初始节点及其下属 的可解节点就构成了解树。
18
与或树的一般搜索过程(续)
• 如果在某时刻被选为扩展的节点不可扩 展，并且它不是终止节点，则此节点就 是不可解节点。此时可应用不可解标示 过程确定初始节点是否为不可解节点，
如果可以确定初始节点是不可解的，则搜 索失败；否则继续扩展节点。
19
与或树的性质
• 可解与不可解标示过程都是自下而上进行 的，即由子节点的可解性确定父节点的可解性。
• 在与或树中搜索解树时，如果已确定某个 节点为可解节点，则其不可解的后裔节点就不 再有用，可从搜索树中删去；同样，如果已确 定某个节点是不可解节点，则其全部后裔节点 都不再有用，可从搜索树中删去，但当前这个 不可解节点还不能删去，因为在判断其先辈节 点的可解性时还要用到它。
ch2与或图搜索问题
b a
图 一字棋
设A的棋子用“a”表示，B的棋子用“b”表示。 为了不致于生成太大的博弈树，假设每次仅扩展 两层。估价函数定义如下：
设棋局为P，估价函数为f(P)。 (1)若P是A必胜的棋局，则f(P)=+∞。 (2)若P是B必胜的棋局，则f(P)=-∞。 (3)若P是胜负未定的棋局，则
f(P)=e(+P)-e(-P)
AO*算法举例
n1 n3
n6 n7目标
n0 初始节点
n2
n4
n5
n8 目标
其中：
h(n0)=3 h(n1)=2 h(n2)=4 h(n3)=4 h(n4)=1 h(n5)=1 h(n6)=2 h(n7)=0 h(n8)=0 设：K连接符 的耗散值为K
n1 n3
n0 初始节点
n1(2)
n2
n4
n5
目标
目标
能解节点
❖ 终节点是能解节点 ❖ 若非终节点有“或”子节点时，当且仅当其子
节点至少有一能解时，该非终节点才能解。 ❖ 若非终节点有“与”子节点时，当且仅当其子
节点均能解时，该非终节点才能解。
不能解节点
❖ 没有后裔的非终节点是不能解节点。 ❖ 若非终节点有“或”子节点，当且仅当所有子
节点均不能解时，该非终节点才不能解。 ❖ 若非终节点有“与”子节点时，当至少有一个
❖ 假设1毫微秒走一步，约需10的145次方年。 ❖ 结论：不可能穷举。
研究领 域
❖ Othello
奥塞罗
❖Checkers 西洋跳棋
❖ Chess
国际象棋
❖Chinese chess 中国象棋
❖ConnectSix 六子棋
❖ Shogi
日本将棋
图 一字棋
设A的棋子用“a”表示，B的棋子用“b”表示。 为了不致于生成太大的博弈树，假设每次仅扩展 两层。估价函数定义如下：
设棋局为P，估价函数为f(P)。 (1)若P是A必胜的棋局，则f(P)=+∞。 (2)若P是B必胜的棋局，则f(P)=-∞。 (3)若P是胜负未定的棋局，则
f(P)=e(+P)-e(-P)
AO*算法举例
n1 n3
n6 n7目标
n0 初始节点
n2
n4
n5
n8 目标
其中：
h(n0)=3 h(n1)=2 h(n2)=4 h(n3)=4 h(n4)=1 h(n5)=1 h(n6)=2 h(n7)=0 h(n8)=0 设：K连接符 的耗散值为K
n1 n3
n0 初始节点
n1(2)
n2
n4
n5
目标
目标
能解节点
❖ 终节点是能解节点 ❖ 若非终节点有“或”子节点时，当且仅当其子
节点至少有一能解时，该非终节点才能解。 ❖ 若非终节点有“与”子节点时，当且仅当其子
节点均能解时，该非终节点才能解。
不能解节点
❖ 没有后裔的非终节点是不能解节点。 ❖ 若非终节点有“或”子节点，当且仅当所有子
节点均不能解时，该非终节点才不能解。 ❖ 若非终节点有“与”子节点时，当至少有一个
❖ 假设1毫微秒走一步，约需10的145次方年。 ❖ 结论：不可能穷举。
研究领 域
❖ Othello
奥塞罗
❖Checkers 西洋跳棋
❖ Chess
国际象棋
❖Chinese chess 中国象棋
❖ConnectSix 六子棋
❖ Shogi
日本将棋
《搜索与或图搜索》课件
3
搜索的原理
搜索原理是通过将问题分成更小的子问题，并从这些子问题中选择最优解决方案， 从而解决整个问题。
与或图的定义
与或图是什么？
与或图是一种用来表示集合之间 关系的图形。
与或图的表示方法
与或图可以使用布尔运算符来表 示，例如“与”运算符表示两个集 合中的共同元素，而“或”运算符 则表示两个集合的并集。
3 与或图搜索在实际应
用中的案例
与或图搜索经常应用于人 工智能、专家系统、自然 语言处理等领域。
总结
本次课程的学习内容回顾
在本次课程中，我们学习了搜索和与或图搜索的相关概念，以及这些概念在实际应用中的重 要性。
搜索与或图搜索的应用前景
作为计算机科学领域中的重要问ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，搜索和与或图搜索的应用前景是非常广阔的。
搜索与或图搜索
在计算机科学领域，搜索和与或图搜索是非常重要的概念。在本次演示中， 我们将会深入探讨这两个主题。
搜索的定义
1
搜索是什么？
搜索是为了找到特定信息而从大量信息中进行查找和筛选的过程。搜索是人工智 能、信息检索及其他领域中重要的问题之一。
2
搜索的分类
搜索有两种主要分类：确定性搜索和非确定性搜索。确定性搜索是使用精确匹配 算法的搜索，而非确定性搜索则是使用模糊匹配算法的搜索。
与或图在电子学中的应用
与或图被广泛应用于电子学中的 逻辑电路设计，例如计算机内部 的运算电路。
与或图搜索
1 与或图搜索的定义
与或图搜索是指在一个由 与或图表示的问题空间中 搜索，以找到解决方案。
2 与或图搜索的算法
与或图搜索可以使用许多 不同的算法来完成搜索。 其中最常用的是A*算法、 BFS和DFS。
第2章 与或图搜索
2.2 与或图的启发式搜索算法
• 以结点n为尾的红色箭头，标识结点n为根的最佳局部图。 • 在第4步得到的n0局部图中，叶结点都属于{n7, n8}。 • 解图： n0
5 n4 1
2
n5 n8 0 n7
0
当EXPAND(n)={}时,令q(n)=∞
2.2 与或图的启发式搜索算法
① G:={s},计算q(s)=h(s), 如果GOAL(s), THEN M(s, SOLVED) AO*算法 ② While (s还没加上SOLVED标记）do { a) G‘ = FIND(G) b) n:=G‘的任一个非终结点 生长，对新结点 c) EXPAND(n) →{nj}, 计算q(nj)=h(nj), 这里nj∈G 计算q d) G:=G∪{nj}; IF GOAL(nj), THEN M(nj, SOLVED) e) S := {n}
2.2 与或图的启发式搜索算法
• 第四次生长
n1 5 n2 n3 4 n6 2 n7 0 0 4 2 n5 n8 n6 n8 n0 5 5 n1 n4 1 1 n3 n2 n4 n0
n5
1）沿n0的最佳局部图，找到一个叶结点； n7 2）扩展此叶结点，计算以叶结点为根的局部图的耗散； 3）向上修改非终结点为根的局部图的耗散估计； 4）修改n0最佳局部图的标识。
2.2 与或图的启发式搜索算法
• 第二次生长
6 n1 2 n2 n3 4 1 1 n5 n6 n8 n0 4 3 n4 n3 n1 n2 n4 n0
5
4
n5
1）沿n0的最佳局部图，找到一个叶结点； n7 2）扩展此叶结点，计算以叶结点为根的局部图的耗散； 3）向上修改非终结点为根的局部图的耗散估计，表示最佳局部图； 4）修改n0最佳局部图的标识。
研究生第2章知识表示与推理6-与或树搜索
2.3 与或图的搜索技术 2.3.1 与或树的盲目搜索技术 2.3.2 与或图的启发式搜索算法（AO*算法）
2024/2/20
2.3.1 与或树盲目搜索技术
问题归约法
与或图
原始问题
起始节点
中间问题
中间节点
本原问题集
终叶节点
操作符
2024/2/20
生成“与”、“ 或” 后继节点的有向弧
可解节点的定义是（递归地）：
2024/2/20
(4)、 扩 展 节 点 n ， 生 成 其 全 部 后 继 节 点 ， 送 OPEN表末端，并设置指向 n 的指针
说明：此时可能出现三种情况 ➢节点 n 无后继节点 ➢节点 n 有后继节点、并有叶节点 ➢节点 n 有后继节点、但无叶节点
2024/2/20
(5)、若 n 无后继节点，标志 n 为不可解，并转(9) （(10)、(11)）；若后继节点中有叶节点，则标 志这些叶节点为可解节点，并继续（(6)、(7)、 (8)）；否则转(3)
2024/2/20
第五大循环（(3)、(4)、(5)步）： (3)、从OPEN表中取出节点5，并送到CLOSED表 (4)、扩展节点5，生成后继节点B、C，并送到
OPEN表的末端 (5)、无叶节点，转到(3)步
OPEN= { 6, 7, 8, 9, B, C } CLOSED= { 1 , 2, 3, 4, 5 }
说明： 先扩展的节点画在左边
√
1
√
2
3
X
√
5
6
7
t
1
X
t
t
2
3
√√
√
1
√
2
√
3
X
√
2024/2/20
2.3.1 与或树盲目搜索技术
问题归约法
与或图
原始问题
起始节点
中间问题
中间节点
本原问题集
终叶节点
操作符
2024/2/20
生成“与”、“ 或” 后继节点的有向弧
可解节点的定义是（递归地）：
2024/2/20
(4)、 扩 展 节 点 n ， 生 成 其 全 部 后 继 节 点 ， 送 OPEN表末端，并设置指向 n 的指针
说明：此时可能出现三种情况 ➢节点 n 无后继节点 ➢节点 n 有后继节点、并有叶节点 ➢节点 n 有后继节点、但无叶节点
2024/2/20
(5)、若 n 无后继节点，标志 n 为不可解，并转(9) （(10)、(11)）；若后继节点中有叶节点，则标 志这些叶节点为可解节点，并继续（(6)、(7)、 (8)）；否则转(3)
2024/2/20
第五大循环（(3)、(4)、(5)步）： (3)、从OPEN表中取出节点5，并送到CLOSED表 (4)、扩展节点5，生成后继节点B、C，并送到
OPEN表的末端 (5)、无叶节点，转到(3)步
OPEN= { 6, 7, 8, 9, B, C } CLOSED= { 1 , 2, 3, 4, 5 }
说明： 先扩展的节点画在左边
√
1
√
2
3
X
√
5
6
7
t
1
X
t
t
2
3
√√
√
1
√
2
√
3
X
√
与或图搜索
对于非终叶节点：
• 如果 n 有多个用 k=1 的连接符连接的或子节点，iff 这 些或子节点中至少有一个能解，节点 n 是能解节点； • 如果 n 有用 k>1 的连接符连接的与子节点。Iff 这些与 子节点全部能解，节点 n 是能解节点。
北京航空航天大学软件开发环境国家重点实验室
Slide 10
最好的局部解图；对该解图的一个非终叶节点进行扩展， 计算该节点各个K-连接符连接的后继节点解图的花费计值 ；如果可能，标记后继节点为能解节点。
第二阶段：自下而上地计算修正与或图花费估计值 -
确定最小花费连接符；如果必要，修改父节点的花费值； 或标记父节点为能解节点;此过程不断进行直到到达局部解 图的根节点为止。
K 〉1 的外向 k-连接符：与连接符。
仅由 K = 1 的外向 k-连接符构成的搜索空间:
普通有向图 与或图。
由 K 1 的外向 k-连接符构成的搜索空间:
无环与或图：与或图中，如果每一个后继节点不再是该节
北京航空航天大学软件开发环境国家重点实验室
Slide 5
点的祖先节点，这种与或图称为无环与或图。
上述过程周而复始，直到最底层的外向k连接符的每个后继
节点均属于 N 为止。
针对任意节点的外向K连接符的选择顺序不同, 对应的搜索策略可不同: 盲目搜索，启发式搜索。
北京航空航天大学软件开发环境国家重点实验室
Slide 9
与或解图及其能解标记与费用计算
定义:
标记能解节点（Solved)：
终叶节点是能解节点；
Slide 14
基于问题空间的与或图搜索
与或图搜索有关概念
与或解图及其能解标记与费用计算
第2章 与或图搜索问题
1
与或图基本概念
“或”的关系
A 4 B 2 E 2 1 4
1 C 1 D
旅行商问题
4 B1
A
1 C1
传教士和野人问题
(3, 3, 1)
(2, 3, 0)
(1, 3, 0)
(2, 2, 0)
2
与或图基本概念
“与”的关系
世界杯决赛
华南师大
西班牙
荷兰
本部
南海
大学城
增城
火箭队首发阵容
霍华德
哈登
贝弗利
17
与或图: 对局部图的评价
初始结点
c
a b 目标 目标
18
AO*算法
两个阶段。
第一阶段: 图生成过程, 即扩展结点。 对于每一个已经扩展了的结点, 算法都有一个指针, 指向该结点的后继结点中, 耗散值小的那个连接符。 图生成过程, 就是从初始结点出发, 按照该指针向下 搜索, 一直到找到一个未扩展的结点为止。然后扩 展该结点。从下面的讨论可以知道, 这实际上扩展 的是一个耗散值最小的局部图。
21
10: REMOVE(m, S), mcS ; 这个m的子结点mc应不在S 中。 11: 修改m的耗散值q(m):
对m指向结点集{n1i, n2i, …, nki}的每一个连接符i分别计算qi: qi(m)＝Ci+q(n1i)+…+q(nki), q(m): ＝min qi(m); 对m的i个连接符, 取计算结果最小的那个耗 散值为q(m)。 加指针到min qi(m)的连接符上, 或把指针修改到min qi(m)的连接符 上, 即原来指针与新确定的不一致时应删去。 IF M(nji, SOLVED) THEN M(m, SOLVED); 若该连接符的所有子 结点都是能解的, 则m也标上能解。
第二章 与或图搜索问题
-剪枝法
33
-剪枝
b
0
1
极大 max
1
极小 min max
a
0
3
1
6
0
-3
3
-3
-3
-2
1
-3
6
-3
min
0
5
-3
3
3
-3
0
2
2
-3
0
-2
3 5 4
1
-3
0 6
8 9
-3
max必定≥ min max ≥ (下界值) ， min≤ (上界值)
34
-剪枝：
问题：、如何取值，才能使 max必定≥ min？ 假设： ≥ 由于： max ≥ ，min ≤, ≥ => max ≥ ≥ ≥ min => max ≥ min 因此：当 ≥ 时，必有max≥ min。
回顾： 回溯策略
当前状态
r1 r 2 ri ri-1
一个结点的后继节点 之间是“或”的关系
子状态
目标状态g
1
回顾：图搜索算法
一个结点的后继节点 之间是“或”的关系 s
g
2
“与”关系
如果一个结点的部分或全部后继节点都被 求解，该结点才被求解。
一个结点的后继节点之间 是“与”的关系
3
“与”关系的表示方法
17
博弈问题为什么可以用与或图表示
我方走棋: 只需从若干个可以走的棋中，选择一个棋走即 可。若干个可以走的棋是“或”的关系。 对方走棋：对我方来说，必须能够应付对手的 每一种走棋。相当于这些棋是“与”的关系。 博弈问题是一种特殊的与或图。
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33
-剪枝
b
0
1
极大 max
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极小 min max
a
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min
0
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0
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0
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3 5 4
1
-3
0 6
8 9
-3
max必定≥ min max ≥ (下界值) ， min≤ (上界值)
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-剪枝：
问题：、如何取值，才能使 max必定≥ min？ 假设： ≥ 由于： max ≥ ，min ≤, ≥ => max ≥ ≥ ≥ min => max ≥ min 因此：当 ≥ 时，必有max≥ min。
回顾： 回溯策略
当前状态
r1 r 2 ri ri-1
一个结点的后继节点 之间是“或”的关系
子状态
目标状态g
1
回顾：图搜索算法
一个结点的后继节点 之间是“或”的关系 s
g
2
“与”关系
如果一个结点的部分或全部后继节点都被 求解，该结点才被求解。
一个结点的后继节点之间 是“与”的关系
3
“与”关系的表示方法
17
博弈问题为什么可以用与或图表示
我方走棋: 只需从若干个可以走的棋中，选择一个棋走即 可。若干个可以走的棋是“或”的关系。 对方走棋：对我方来说，必须能够应付对手的 每一种走棋。相当于这些棋是“与”的关系。 博弈问题是一种特殊的与或图。
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搜索(与或图搜索实例AO算法)
AO*算法搜索例子
q=5 初始节点 n0 q=5 n1
连接符1
n2
连接符2
q=1 n4
n3
q=2 n5
n6
n8
n7
在重新计算n0耗散的小循环中: … 由于n4,n5为SOLVED, 则n0为SOLVED q(n0)=5, 找到解
G={n0,n1,n2,n3,n4,n5,n6,n7,n8} 第四个大循环(扩展结点),直到n0是SOLVED: 1. 找到待扩展的局部图G’{n0,n4,n5,n7,n8} 2. n=G’中非终结点, 此时n=n4 3. 扩展结点n=n4, 生成后继结点集合{n5, n8}, q(n5)=2, q(n8)=0 4. 小循环(修改结点耗散值),直到S为空: a. S={n=n4} b. 保证n的后代不在S中 c. m=n5的连接符有两条, 计算q1(m)=1+q(n5)=1+2=3 q2(m)=1+q(n8)=1+0=1 令q(m)=q(n4)=min(q1,q2)=1 d.修改指针到q2对应的连结符上去 e. n8为SOLVED,则m=n4也为SOLVED f. m=n4也为SOLVED,则需要也对m的父结点 进行修改, 即将m=n1的父结点n0加到S中 g.小循环结束 5.大循环结束
G={n0,n1,n4,n5} q=3 q=4 第二个大循环(扩展结点),直到n0是SOLVED: n0 初始节点 1. 找到待扩展的局部图G’{n0,n1} 2. n=G’中非终结点, 此时n=n1 q=5 3. 扩展结点n=n1, 生成后继结点集合{n2,n3}, 连接符1 n1 连接符2 q(n2)=4, q(n3)=4, 都不是终结点,把结点加 n2 到G中 n4 4. 小循环(修改结点耗散值),直到S为空: a. S={n=n1} n3 b. 保证n的后代不在S中 n5 c. 取出m=n1的连接符有两条, 计算q1(m)=1+q(n3)=1+4=5 q2(m)=1+q(n2)=1+4=5 令q(m)=q(n0)=min(q1,q2)=5 继续小循环: d.修改指针到q1对应的连结符上去 … e.如果n3非SOLVED,则m=n1也为非SOLVED c. m=n0的连接符有两条,计算 f. q(m=n1)被修改过,则需要也对m的父结点 q1(m)=1+h(n1)=1+5=6 进行修改, 即将m=n1的父结点n0加到S中 q2(m)=2+h(n5)+h(4)=4 g.小循环结束 令 q(m)=q(n1)=min(q1,q2)=4 d.修改指针到q2对应的连结符上去 5.大循环结束 …
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2020/3/5
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华北电力大学
AO及AO*搜索算法
▪ 利用结点的可解/不可解性质，能从搜索图中删去可解 结点的任何不可解结点的子结点；同样地，能删去不可 解结点的所有的子结点
▪ 搜索这些被删除的结点是没有意义的，而只会降低搜索效率
与普通图搜索算法相类似，与/或图搜索算法有盲目 搜索，如广度优先搜索法、深度优先搜索法等；也有启发 式搜索，如AO及AO*搜索法
2020/3/5
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华北电力大学
AO*算法——两个过程1
▪ 图生成过程，即扩展节点
▪ 对于每一个已经扩展了的节点，AO*算法都有一个 指针，指向该节点的后继节点中，耗散值小的那个 连接符
▪ 从最优的局部图中选择一个节点扩展
▪ 图生成过程，就是从初始节点出发，按照该指针向 下搜索，一直到找到一个未扩展的节点为止。然后 扩展该节点。并对其后继节点赋估计耗散值和加能 解标记
n8
目标
23
红色：4 黄色：6
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n1
n3 n6
n7目标
2020/3/5
AO*算法举例
n0
初始节点
n0
n2 n5
n1 5
n4 n2(4) n5(1)
n3(4) n6(2) n8
目标
n7(0)
24
初始节点
n4(1) 2
n8(0)
红色：5 黄色：6
华北电力大学
n1
n3 n6
n7目标
2020/3/5
AO*算法举例
n0
初始节点
n0
n2 n5
n1 5
n4 n2(4) n5(1)
n3(4) n6(2) n8
目标
n7(0)
25
初始节点
1 n4(1)
2
n8(0)
红色：5 黄色：6
华北电力大学
AO*与A的区别
▪ AO*算法不能像A算法那样，单纯靠评价某一个节点来评 价局部图
▪ 由于k-连接符连接的有关子节点，对父节点能解与否以及耗散值 都有影响，因而显然不能象A算法那样优先扩展其中具有最小耗散 值的节点
▪ 若f（p）＝＋∞，则MAX赢，若f（p）＝－∞，则MIN赢 ▪ 顶节点深度d＝0，MAX代表程序方，MIN代表对手方，
② 若n是一个外向连接符指向后继节点{n1，…，ni}，并设 该连接符的耗散值为Cn，则
k(n, N) = Cn+k(n1, N)+…+k(ni, N)
其中：N为目标节点集
n
2020/3/5
…...
n1 n2
ni
i个
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例:k-连接符的耗散为k
K(n0,{n7,n8})=8
K(n0,{n7,n8})=7
•根节点：没有任何父节点的节点 •端（叶）节点：没有任何后继节点
的节点
•S •两个连接符 •1-连接符指向a（或节点） •2-连接符指向{b、c}（与节点）
目标2•目标2
•b的与节点（2-连接符） •c的或节点（1-连接符）
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2.1 基本概念
▪ 与或图是一个超图，节点间通过连接符连接 ▪ K-连接符：从一个父节点指向一组k个后继节点
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2.3 博弈树搜索
▪ 博弈问题
▪ 双人，一人一步 ▪ 双方信息完备 ▪ 零和：即对一方有利的棋，对另一方肯定是不利的，不存在对双
方均有利、或均无利的棋。对弈的结果是一方赢，而另一方输， 或者双方和棋
▪ 用与或图表示
▪ 在决定自己走步时只需考虑对自己有利的一步——“或” ▪ 考察对方时,则应考虑对方所有可能的走步——“与” ▪ 两人严格地轮流走步，使博弈状态图呈现出严格的与和或的交替
极小极大搜索过程(2)
▪ 假设：
▪ 双方都是对弈高手 ▪ 在只看一步棋的情况下，我方一定走评价函数值最
大的一步棋 ▪ 对方一定走评价函数值最小的一步棋 ▪ 在只看一步的情况下最好的棋，从全局来说不一定
就好，还可能很不好 ▪ 为了走出好棋，必须多看几步，从多种可能状态中
选择一步好棋
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第二章 与或图搜索问题
华北电力大学 计算机系 刘丽
学习目标
▪ 了解一般的与或图搜索问题 ▪ 掌握与或图的启发式搜索算法AO* ▪ 了解博弈树搜索问题 ▪ 掌握博弈树搜索中的
▪ 极小极大方法 ▪ α-β剪枝搜索方法
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2
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知识点
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与或图搜索问题
▪ 状态空间搜索问题
▪ 评价函数值大于0，表示棋局对我方有利，对对方不 利
▪ 评价函数小于0时，表示棋局对我方不利，对对方有 利
▪ 评价函数值越大，表示对我方越有利。当评价函数 值等于正无穷大时，表示我方必胜
▪ 评价函数值越小，表示对我方越不利。当评价函数 值等于负无穷大时，表示对方必胜
2020/3/5
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▪ 每一步结束条件可根据时间限制、存储空间限制或 深度限制等因素加以确定
▪ 搜索策略可采用宽度、深度或启发式方法，一个阶 段搜索结束后，要从搜索树中提取一个优先考虑的 “最好的”走步，这就是实用策略的基本点
▪ 极小极大搜索策略就是其中的一种
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极小极大搜索过程(1)
▪ 假定有一个评价函数可以对所有棋局评估：
▪ 图2.2给出n0→{n7，n8}的三个解图
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基本概念
解图：
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基本概念
▪ 解图的递归定义 ▪ 一个与或图G中，从节点n到节点集N的解图记为G’，
G’是G的子图
①若n是N的一个元素，则由单一节点组成 ②若n有一个指向节点{n1，…，nk}的外向连接符K，使得
▪ 一个节点的后继节点之间是“或”的关系
▪ 与或图搜索问题
▪ 一个节点其部分或全部后继节点是“与”的 关系
▪ 博弈树的搜索
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a
目标1
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简单的与或图例子
初始节点s b
•超图 •超弧线（连接符） •K-连接符：从父节点指向一组
K个后继节点的节点集（K>1
c 时注意小圆弧）
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n1 n3
AO*算法举例
n0
初始节点
n0
初始节点
n1(2)
n2
n4
n4(1)
n5
n5(1)
n6
n7目标
2020/3/5
n8
目标
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红色：4 黄色：3
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n1 n3
AO*算法举例
n0
初始节点
n0
初始节点
n1 5
n2
n4
n2(4)
n4(1)
n5
n5(1)
n3(4)
n6
n7目标
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层次 ▪ 可设计特殊的与/或图搜索算法，即博弈树搜索算法
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分钱币问题（Grundy博弈）
对方先走
（7）
对方扩展的节点1,1） （4,2,1）
（3,2,2）
（3,3,1）
对方扩展的节点
（4,1,1,1） （3,2,1,1） （2,2,2,1）
• 中国象棋：一盘棋平均走50步，总状态数约为10的161 次方。假设1毫微秒走一步，约需10的145次方年→→不 可能穷举
• 即使用了强有力的启发式搜索技术，也不可能使分枝压 到很少
2020/3/5
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与或图搜索技术
▪ 解决：
▪ 实用策略：把目标确定为寻找一步好棋，等对手回 敬后再考虑寻找另一步好棋
▪ 局部图的耗散值k(n，N)，则：
① 若n是局部图的一个叶节点，则k(n，N)＝h(n) ② 若n是一个外向连接符指向后继节点{n1，…，ni},并设
该连接符的耗散值为Cn，则 k(n，N)＝Cn+ k(n1，N) + … + k(ni，N)
2020/3/5
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能解节点(Solved)
▪ 一直到计算出根节点的值为止。获得根节点取值的那一分枝，即 为所选择的最佳走步
2020/3/5
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极小极大搜索过程——叶节点的评价函数
▪ 是一个静态估计函数f
▪ 对棋局的势态（节点）作出优劣估值 ▪ 可根据势态优劣特征来定义（主要用于对端节点的“价值”
进行度量）
▪ 一般规定：
▪ 有利于MAX的势态，f（p）取正值；有利于MIN的势态，f （p）取负值；势均力敌的势态，f（p）取0值
的节点集
2020/3/5
…... K个
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基本概念
▪ 解图
▪ 与或图中某一个节点n到节点集N的一个解图类似于 普通图中的一条解路径
▪ 解图的求法：
▪ 从节点n开始，正确选择一个外向连接符，再从该连 接符所指的每一个后继节点出发，继续选一个外向 连接符，如此进行下去直到由此产生的每一个后继 节点成为集合N中的一个元素为止
我方扩展的节点
（3,1,1,1,1）
（2,2,1,1,1） 我方必胜
对方扩展的节点
（2,1,1,1,1,1）
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与或图搜索技术
▪ 问题
▪ 对简单的博弈或复杂博弈的残局，可以用类似于与或 图的搜索技术求出解图，解图代表了从开局到终局任 何阶段上的弈法