分段函数及映射

分段函数及映射
第2课时分段函数及映射
[学习目标] 1.掌握简单的分段函数，并能简单应用.2.了解映射概念及它与函数的联系.
知识点一分段函数
在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数.
思考分段函数对于自变量x的不同取值区间对应关系不同，那么分段函数是一个函数还是几个函数？分段函数的定义域和值域分别是什么？
答分段函数是一个函数，而不是几个，各段定义域的并集即为分段函数的定义域，各段值域的并集即为分段函数的值域.
知识点二映射
映射的定义：设A、B是两个___的集合，如果
按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的
_______元素x ，在集合B 中都有_______的元素
y
与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射.
思考 函数与映射有何区别与联系？
题型一 分段函数求值
例1 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1，x ≤－2，x 2＋2x ，－2＜x ＜2，2x －1，x ≥2.
(1)求f (－5)，f (－3)，f [f (－52
)]的值； (2)若f (a )＝3，求实数a 的值.
跟踪训练1 (1)若f (x )＝⎩⎨⎧
x 2，x ≥0，－x ，x <0，则f [f (－2)]等于( )
A.2
B.3
C.4
D.5
(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
3x ＋1，x ≤1，－x ，x >1，若f (x )＝2，则x ＝________.
题型二 分段函数的图象及应用
例2 已知f (x )＝⎩⎨⎧
x 2， －1≤x ≤1，1， x ＞1或x ＜－1， (1)画出f (x )的图象； (2)求f (x )的
定义域和值域.
跟踪训练2 作出y ＝
⎩⎪⎨⎪⎧
－7，x ∈(－∞，－2]，2x －3，x ∈(－2，5]，7，x ∈(5，＋∞)
的图象，并求y 的值域.
跟踪训练3设x∈(－∞，＋∞)，求函数y＝2|x －1|－3|x|的最大值.
题型三映射的概念
例3判断下列对应是不是映射？
(1)A＝{x|0≤x≤3}，B＝{y|0≤y≤1}，f：y＝1
3x，x∈A，y∈B；
(2)A＝N，B＝N*，f：y＝|x－1|，x∈A，y∈B；
(3)A＝{x|0<x≤1}，B＝{y|y≥1}，f：y＝1
x，x∈A，y∈B；
(4)A＝R，B＝{y|y∈R，y≥0}，f：y＝|x|，x∈A，
y∈B.
跟踪训练4下列对应是从集合M到集合N的映射的是()
①M＝N＝R，f：x→y＝1
x，x∈M，y∈N；②M
＝N＝R，f：x→y＝x2，x∈M，y∈N；③M＝N
＝R，f：x→y＝
1
|x|＋x
，x∈M，y∈N；④M＝N
＝R，f：x→y＝x3，x∈M，y∈N.
A.①②
B.②③
C.①④
D.②④
题型四求某一映射中的像或原像
例4设f：A→B是A到B的一个映射，其中A ＝B＝{(x，y)|x，y∈R}，f：(x，y)→(x－y，x＋y).
(1)求A中元素(－1,2)的像；
(2)求B中元素(－1,2)的原像.
跟踪训练5设集合A、B都是坐标平面上的点集{(x，y)|x∈R，y∈R}，映射f：A→B使集合A 中的元素(x，y)映射成集合B中的元素(x＋y，x
－y )，则在f 作用下，像(2,1)的原像是( )
A.(3,1)
B.⎝
⎛⎭⎪⎪⎫32，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，－12 D.(1,3) 题型五 映射的个数问题
例5 已知A ＝{a ，b ，c }，B ＝{－1,2}.
(1)从A 到B 可以建立多少个不同的映射？
(2)若f (a )＋f (b )＋f (c )＝0，则从A 到B 的映射中
满足条件的映射有几个？
跟踪训练5 设集合A ＝{a ，b }，B ＝{0,1}，则从
A 到
B 的映射共有( )
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
题型六 分段函数与不等式(组)综合应用
2232,1,6.()()223,1,x x x f x f x x x x ⎧-≥=<⎨-+<⎩例已知函数求使的值得集合.
题型七 分段函数的实际应用
例7 为了节约用水，某市打算出台一项水费政策，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水的水费为1.2元，若超过5吨而不超过6吨时，超过部分的水费按原价的200％收费，若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费按原价的400％收费.如果某人本季度实际用水量为(7)x x ≤吨，试计算本季度他应交的水费y(单位：元).
1.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
1x ＋1，x <1，x －1，x >1，
则f (2)等于( )
A.0
B. 1 3
C.1
D.2
2.下列集合A到集合B的对应中，构成映射的是()
3.设函数f(x)＝
⎩
⎨
⎧x2＋1，x≤1
2
x，x>1
，则f (f (3))等于() A.
1
5 B.3 C.
2
3 D.
13
9
4.如图所示，函数图象是由两条射线及抛物线的一部分组成，则函数的解析式为_____________.
24||34.
x m m
x-+=
5.若方程有个互不相等的实数根，求的取值范围
1.对映射的定义，应注意以下几点：
(1)集合A和B必须是非空集合，它们可以是数集、点集，也可以是其他集合.
(2)映射是一种特殊的对应，对应关系可以用图示或文字描述的方法来表达.
2.理解分段函数应注意的问题：
(1)分段函数是一个函数，其定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集.写定义域时，区间的端点需不重不漏.
(2)求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式.
(3)研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤其是作分段函数的图象时，可先将各段的图象分别画出来，从而得到整个函数的图象.
一、选择题
1.以下几个论断
①从映射角度看，函数是其定义域到值域的映
射；
②函数y ＝x －1，x ∈Z 且x ∈[－3,3)的图象是一
条线段；
③分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域
是各段值域的并集；
④若D 1，D 2分别是分段函数的两个不同对应关
系的值域，则D 1∩D 2＝∅.
其中正确的论断有( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
2.已知f (x )＝⎩⎨⎧
10，x <0，10x ，x ≥0，则f [f (－7)]的值为( )
A.100
B.10
C.－10
D.－
100
3.已知集合A 中元素(x ，y )在映射f 下对应B 中元素(x ＋y ，x －y )，则B 中元素(4，－2)在A 中对应的元素为( )
A.(1,3)
B.(1,6)
C.(2,4)
D.(2,6)
4.已知集合A ＝[0,4]，B ＝[0,2]，按照对应关系f 不能成为从集合A 到集合B 的一个映射的是
( )
A.f ：x →y ＝12
x B.f ：x →y ＝x －2 C.f ：x →y ＝x D.f ：x →y ＝|x －2|
5.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋2，x ≤0，x 2，0<x ≤3，若f (x )＝3，则x 的值是( ) A. 3
B.9
C.－1或1
D.－3或 3
二、填空题
7.已知f (x )＝⎩⎨⎧ x 2－1，x ≥1，
1x ，x <1，则f (f (13))＝________.
8.设函数f (x )＝⎩⎨⎧
x 2＋2x ＋2，x ≤0，－x 2，x >0.若f (f (a ))＝2，则a ＝________.
9.设f ：x →ax －1为从集合A 到B 的映射，若f (2)＝3，则f (3)＝________.
10.函数f (x )＝⎩⎨⎧
x 2＋1，x ≥0，2－x ，－2≤x ＜0的值域是________.
三、解答题
11.已知函数y ＝|x －1|＋|x ＋2|.
(1)作出函数的图象； (2)写出函数的定义域和值域.
12.如图所示，在边长为4的正方形ABCD 边上有一点P ，由点B (起点)沿着折线BCDA ，向点A (终点)运动.设点P 运动的路程为x ，△APB 的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式
.
2,1,(1)13.()()141,1,x x f x f x x x x ⎧<+⎪=≥⎨-≥⎪⎩设函数求使的自变量的取值集合。