分段函数及映射

分段函数及映射

第2课时分段函数及映射

[学习目标] 1.掌握简单的分段函数，并能简单应用.2.了解映射概念及它与函数的联系.

知识点一分段函数

在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数.

思考分段函数对于自变量x的不同取值区间对应关系不同，那么分段函数是一个函数还是几个函数？分段函数的定义域和值域分别是什么？

答分段函数是一个函数，而不是几个，各段定义域的并集即为分段函数的定义域，各段值域的并集即为分段函数的值域.

知识点二映射

映射的定义：设A、B是两个___的集合，如果

按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的

_______元素x ，在集合B 中都有_______的元素

y

与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射.

思考 函数与映射有何区别与联系？

题型一 分段函数求值

例1 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1，x ≤－2，x 2＋2x ，－2＜x ＜2，2x －1，x ≥2.

(1)求f (－5)，f (－3)，f [f (－52

)]的值； (2)若f (a )＝3，求实数a 的值.

跟踪训练1 (1)若f (x )＝⎩⎨⎧

x 2，x ≥0，－x ，x <0，则f [f (－2)]等于( )

A.2

B.3

C.4

D.5

(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧

3x ＋1，x ≤1，－x ，x >1，若f (x )＝2，则x ＝________.

题型二 分段函数的图象及应用

例2 已知f (x )＝⎩⎨⎧

x 2， －1≤x ≤1，1， x ＞1或x ＜－1， (1)画出f (x )的图象； (2)求f (x )的

定义域和值域.

跟踪训练2 作出y ＝

⎩⎪⎨⎪⎧

－7，x ∈(－∞，－2]，2x －3，x ∈(－2，5]，7，x ∈(5，＋∞)

的图象，并求y 的值域.

跟踪训练3设x∈(－∞，＋∞)，求函数y＝2|x －1|－3|x|的最大值.

题型三映射的概念

例3判断下列对应是不是映射？

(1)A＝{x|0≤x≤3}，B＝{y|0≤y≤1}，f：y＝1

3x，x∈A，y∈B；

(2)A＝N，B＝N*，f：y＝|x－1|，x∈A，y∈B；

(3)A＝{x|0

x，x∈A，y∈B；

(4)A＝R，B＝{y|y∈R，y≥0}，f：y＝|x|，x∈A，

y∈B.

跟踪训练4下列对应是从集合M到集合N的映射的是()

①M＝N＝R，f：x→y＝1

x，x∈M，y∈N；②M

＝N＝R，f：x→y＝x2，x∈M，y∈N；③M＝N

＝R，f：x→y＝

1

|x|＋x

，x∈M，y∈N；④M＝N

＝R，f：x→y＝x3，x∈M，y∈N.

A.①②

B.②③

C.①④

D.②④

题型四求某一映射中的像或原像

例4设f：A→B是A到B的一个映射，其中A ＝B＝{(x，y)|x，y∈R}，f：(x，y)→(x－y，x＋y).

(1)求A中元素(－1,2)的像；

(2)求B中元素(－1,2)的原像.

跟踪训练5设集合A、B都是坐标平面上的点集{(x，y)|x∈R，y∈R}，映射f：A→B使集合A 中的元素(x，y)映射成集合B中的元素(x＋y，x

－y )，则在f 作用下，像(2,1)的原像是( )

A.(3,1)

B.⎝

⎛⎭⎪⎪⎫32，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，－12 D.(1,3) 题型五 映射的个数问题

例5 已知A ＝{a ，b ，c }，B ＝{－1,2}.

(1)从A 到B 可以建立多少个不同的映射？

(2)若f (a )＋f (b )＋f (c )＝0，则从A 到B 的映射中

满足条件的映射有几个？

跟踪训练5 设集合A ＝{a ，b }，B ＝{0,1}，则从

A 到

B 的映射共有( )

A.2个

B.3个

C.4个

D.5个

题型六 分段函数与不等式(组)综合应用

2232,1,6.()()223,1,x x x f x f x x x x ⎧-≥=<⎨-+<⎩例已知函数求使的值得集合.

题型七 分段函数的实际应用

例7 为了节约用水，某市打算出台一项水费政策，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水的水费为1.2元，若超过5吨而不超过6吨时，超过部分的水费按原价的200％收费，若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费按原价的400％收费.如果某人本季度实际用水量为(7)x x ≤吨，试计算本季度他应交的水费y(单位：元).

1.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

1x ＋1，x <1，x －1，x >1，

则f (2)等于( )

A.0

B. 1 3

C.1

D.2

2.下列集合A到集合B的对应中，构成映射的是()

3.设函数f(x)＝

⎩

⎨

⎧x2＋1，x≤1

2

x，x>1

，则f (f (3))等于() A.

1

5 B.3 C.

2

3 D.

13

9

4.如图所示，函数图象是由两条射线及抛物线的一部分组成，则函数的解析式为_____________.

24||34.

x m m

x-+=

5.若方程有个互不相等的实数根，求的取值范围