2013年辽宁高考数学理科试卷(带详解)

13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是
.
【测量目标】由三视图求几何体的体积.
第13 题图
【考查方式】给出三视图，求体积.
【难易程度】容易
【参考答案】16π 16
【试题分析】由三视图可知该几何体是一个圆柱内部挖去一个正四棱柱，圆柱底面圆半径为 2，高为
4，故体积为16π ；正四棱柱底面边长为 2，高为 4，故体积为 16，故题中几何体的体积为16π 16.
C．
b a3
b
a3
1 a
0
D． b a3 b a3 1 0 a
【测量目标】直线的倾斜角与斜率.
【考查方式】给出三点坐标，由三角形 l 的边的性质，求出 a, b 之间的关系.
【难易程度】中等 【参考答案】C
【试题解析】根据直角三角形的直角的位置求解.若以 O 为直角顶点，则 B 在 x 轴上，则 a 必为 0 ，此
（
）
5
A．
11
10
B．
11
36
C．
55
72
D．
55
第 8 题图
【测量目标】循环结构的程序框图.
【考查方式】给出输入值 n 10 ，求输出值 S .
【难易程度】中等
【参考答案】A
【 试 题 解 析 】 S 1 ， i 4 10 ， 3
S
1 3
1 42 1
2 5
，
i 6 10 ，（ 步 骤
2ex x
ex
1
2 x .
（步骤 2）
由
g ( x)
0得
x
2 ，当
x
2 时，
g ( x)min
e2
2 22 e2 8
0，即
g(x) …
0 ，则当
x
0 时，
f
( x)
g(x) x3
…
0 ，（步骤
3）
故 f x 在 0, 上单调递增，既无极大值也无极小值.（步骤 4）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.
12．设函数 f x 满足 x2 f x 2xf x ex ， f 2 e2 ，则 x 0 时， f x
（
）
x
8
A.有极大值，无极小值
B.有极小值，无极大值
C.既有极大值又有极小值
D.既无极大值也无极小值
【测量目标】利用导数求函数的极值.
【考查方式】通过构造函数，将问题转化，考查转化能力.通过导数判断函数单调性，考查知识的
时 O ， B 重合，不符合题意；（步骤 1）若 A π ，则 b a3 0 ，若 B π ，根据斜率关系可
2
2
知
a2 a3 b 1，a(a3 b) 1，即 b a3 1 0 .以上两种情况皆有可能，故只有 C 满足条件.
a
a
（步骤 2）
10．已知直三棱柱 ABC A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若 AB 3，AC 4 ， AB AC ，
BCC1B1 内，矩形 BCC1B1 的对角线长即为球直径， 2R
122 52 13 ,即 R 13 . 2
11．已知函数 f x x2 2a 2 x a2 ， g x x2 2a 2 x a2 8 .设
H1(x) max f x, g x， H2 x min f x, g x ， max p, q 表示 p, q 中的较大值，
灵活应用能力.
【难易程度】较难
【参考答案】D
【试题解析】由题意知
f
' ( x)
ex x3
2
f (x) x
ex
2x2 x3
f
(x)
.（步骤
1）
令 g(x) ex 2x2 f (x) ，则
g(x) ex 2x2 f (x) 4xf (x) ex 2
x2 f (x) 2xf (x)
ex
p1 ：数列an 是递增数列；
p2 ：数列nan 是递增数列；
p3
：数列
an n
是递增数列；
其中的真命题为
A. p1, p2
B. p3, p4
p4 ：数列an 3nd 是递增数列；
C. p2 , p3
D. p1, p4
（
）
【测量目标】等差数列的性质.
【考查方式】给出 d 的等差数列，求数列的增减性.
【难易程度】中等 【参考答案】63
【试题分析】 a1, a3 是方程 x2 5x 4 0 的两个根，且数列｛ an} 是递增的等比数列，
a1
1, a3
4, q
2,
S6
1 26 1 2
63.
x2 15．已知椭圆 C : a2
y2 b2
1(a
b 0) 的左焦点为 F , 椭圆 C 与过原点的直线相交于 A, B 两点，连
5．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为
20, 40,40, 60 ，
60,80 ,80,100 ，若低于 60 分的人数是 15 人，则该班的学生人数是
（）
A. 45
B. 50
C. 55
D. 60
第 5 题图
【测量目标】频率分布直方图.
【考查方式】给出频率分布直方图及某一频数，求总体频数.
【考查方式】考查了二项展开式的通项公式.
【难易程度】中等
【参考答案】B
【试题解析】根据二项展开式的通项公式求解. Tr1=Crn
3x
nr
1 xx
r
Байду номын сангаас
Crn 3nr
n5r
x2
，当 Tr1 是
常数项时， n 5 r 0 ，当 r 2 ， n 5 时成立. 2
8．执行如图所示的程序框图，若输入 n 10 ，则输出的 S
【难易程度】较难 【参考答案】C
【试题解析】根据二次函数图象的特征解决.由 f (x) g(x) ，得 (x a)2 4 ， （步骤 1）
当 x a 2 和 x a 2 时，两函数值相等. f (x) 图象为开口向上的抛物线， g(x) 图象为开口向下
的抛物线，两图象在 x a 2 和 x a 2 处相交，则
最大值为
.
【测量目标】用样本数字特征估计总体数字特征.
【考查方式】给出样本平均数、样本方差样本组数，求样本数据中的最大值.
【难易程度】较难
【参考答案】10
【试题解析】设 5 个班级中参加的人数分别为 x1, x2 , x3, x4 , x5 , 则由题意知
1）
S
2 5
1 62 1
3 7
，
i
8<10 ， S
3 7
1 82 1
4 9
，i
10
10 ， S
4 9
1 102 1
5 11
，i
12
10 ，输出
S
.
（步骤 2）
9．已知点 O 0, 0, A0,b, B a, a3 . 若△ OAB 为直角三角形，则必有
（）
A． b a3
B． b a3 1 a
AA1 12 ，则球 O 的半径为
（）
3 17
A．
2
B． 2 10
13
C．
2
D． 3 10
【测量目标】立体几何的综合问题.
【考查方式】给出三条棱长及两棱垂直关系，求三棱柱外接球的半径.
【难易程度】较难
【参考答案】C
【试题解析】根据球的内接三棱柱的性质求解.直三棱柱中 AB 3, AC 4, AA1 12, AB AC , BC 5 ,且 BC 为过底面 ABC 是截面圆的直径，取 BC 中点 D ，则 OD ⊥底面 ABC ，则 O 在侧面
【难易程度】容易 【参考答案】B
【试题解析】根据频率分布直方图的特点可知，低于 60 分的频率是△ 0.005 0.01△ 20 0.3 ，所以
该班的学生人数是 15 50 . 0.3
6．在 △ABC 上，内角 A, B,C 所对的边长分别为 a,b, c. a sin B cos C c sin B cos A 1 b, 且 a b, 2
min p, q 表示 p, q 中的较小值，记 H1 x 的最小值为 A ， H2 x 的最小值为 B ，则 A B
(
)
A. a2 2a 16
B. a2 2a 16
C. 16
D. 16
【测量目标】二次函数的图象与性质.
【考查方式】给出两函数解析式，设出较大值、较小值、最大值、最小值，求最值.
14.已知等比数列an 是递增数列， Sn 是an 的前 n 项和，若 a1，a3 是方程 x2 5x 4 0 的两个根，
则 S6
.
【测量目标】等比数列及其性质，等比数列的前 n 项和.
【考查方式】给出方程，已知等比数列为递增数列，先求等比数列中两项值，即方程的两根，再由数
列为递增数列求出数列的前 n 项和.
AF BF1 6 , BO AO .（步骤 1）
在 △ABF 中，设 BF x ，由余弦定理得 36 100 x2 210x 4 ，（步骤 2） 5
解得 x 8 ，即 BF 8 .BFA 90 ,△ABF 是直角三角形，（步骤 3）
2a 6 8 14 ,即 a 7 .（步骤 4）
又在 Rt△ABF 中， BO AO ， OF 1 AB 5 ，即 c 5 ，（步骤 5） 2
e 5 .（步骤 6） 7
16．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取 5 个班级，把每个班级参加该小组
的人数作为样本数据.已知样本平均数为 7，样本方差为 4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的
【难易程度】中等 【参考答案】D
【试题解析】根据等差数列的性质判定. d 0 , an1 an , p1 是真命题， （步骤 1）
n 1 n ,但是 an 的符号不知道， p2 是假命题.
（步骤 2）
同理 p3 是假命题. an1 3(n 1)d an 3nd 4d 0 , p4 是真命题. （步骤 3）
则 B
(
)
π
A．
6
π
B．
3
2π
C．
3
5π
D．
6
【测量目标】正弦定理，两角和的正弦，诱导公式.
【考查方式】给出三角形各边长及内角和边长的公式，求角.
【难易程度】中等
【参考答案】A
【试题解析】根据正弦定理与和角公式求解.由正弦定理可得 sinAsinBcosC
sinCsinBcosA 1 sinB , （步骤 1） 2
【难易程度】容易 【参考答案】B
【试题解析】 z 1 1 1 i, z 1 1 i
2
.
i 1 2 2
22 2
2．已知集合 A x | 0 log4 x 1 ， B x | x „ 2 ，则 A B
（
）
A． 0，1
B． 0，2
C． 1, 2
D． 1，2
【测量目标】集合的基本运算. 【考查方式】考查了对数不等式及交集运算. 【难易程度】容易 【参考答案】D
接 AF, BF ，若 AB 10, AF 6, cos ABF 4 ，则 C 的离心率 e=
.
5
【测量目标】余弦定理，椭圆的简单几何性质. 【考查方式】画图表示椭圆及直线位置，通过数量关系确定三角形形状以及椭圆系数，考查数形结合
的能力. 【难易程度】中等
5
【参考答案】
7 【试题解析】根据椭圆的定义及性质和余弦定理求解.设椭圆的右焦点为 F1 ，直线过原点，
又 sinB 0 , sinAcosC sinCcosA 1 , sin( A C ) sinB 1 .（步骤 2）
2
2
a b , B π . （步骤 3） 6
7．使得
3x
x
1 x
n
n
N
的展开式中含有常数项的最小的 n 为
（
）
A． 4
B． 5
C． 6
D． 7
【测量目标】二项式定理.
2013 年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷） 数 学（理）
第I卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1．复数的 z 1 模为 i 1
(
)
1
A.
2
B.
C. 2
D. 2
2
2
【测量目标】复数代数形式的四则运算.
【考查方式】直接给出复数，利用 i2 1 对复数进行化简，然后再求模.
f (x)(x „ a 2),
g(x)(x „ a 2),
H1(x)
g ( x)(a
2
x
a
2),
H 2 ( x)
f
( x)(a
2
x
a
2) ,
f (x)(x … a 2),
g(x)(x … a 2),
（步骤 2）
A H1(x)min f (a 2) 4a 4 ， B H2 (x)max g(a 2) 4a 12 ， A B 16.（步骤 3）
【试题解析】 A x | 0 log4 x 1 x |1 x 4 ， B x | x „ 2 ，
A B x 1 x 4x x „ 2 x 1 x „ 2.
3．已知点 A1,3 ， B 4, 1 ，则与向量 AB 同方向的单位向量为
（
）
A.
3 5
，-
4 5
B.
4 ，5
3 5
C.
3 ，4 55
D.
4 5
，3 5
【测量目标】向量的基本概念.
【考查方式】给出两点坐标及方向，求同方向的单位向量.
【难易程度】容易
【参考答案】A
【试题解析】 AB 3, 4 ，则与其同方向的单位向量 e
AB
(3, 4).
AB 5 5
4．下面是关于公差 d 0 的等差数列 an 的四个命题：