几类约束矩阵方程(组)的解及其最小二乘问题
子矩阵约束下AXB=C的最小二乘解及其最佳逼近
本 文 使用
表 示 全 体 ｍＸ ｎ 矩 阵 集 合 ， Ｉ 示 ｎ阶 单 实 用 表 ， 巾 ｅ 表 示 Ｉ 第 ｋ列 ， 其 ｔ 的 用
位 矩 阵 ， 一 （ｔ … ， ，， Ｅ ｅ， ｅ ｅ） ａ
Ｏ ＂ 表 示 全 体 ｎ ３ 正 交 矩 阵 ， ｌ 【 表 示 矩 阵 的 Ｆｏｅｉ Ｒ Ｘ１ ． 实 用 ｌ・ ｌ Ｆ ｒｂｎ ｓ ｕ
（ Ｃ 给 出了矩阵 方程 Ａ Ｃ Ｄ） ＸＢ＝Ｃ 在 子 矩 阵 约 束 下 的 最 小 二 乘 解 的 表 达 式 ， 外 ， 出 了解 集 合 中 与 给 定 矩 阵 的 最 佳 逼 近 解 的表 达 式 以 及 求 解 另 给 最佳逼 近解 的数值 算法和数 值算例 。 【 键 词】 阵 方 程 ； 义 奇 异 值 分 解 ； 准 相 关 分 解 ； 佳 逼 近 解 关 矩 广 标 最
范 数 ， Ａ＊Ｂ表 示两 个 ｍ×ｎ 阵 Ａ 和 Ｂ的 Ｈ ｄｍ ｒ 积 ， Ａ 用 矩 ａａ ａ ｄ乘 即
又 。 ｓ Ｓ （丢 Ｉ ’ ｘ］ 一ｕ Ｉ７Ｆ ７ Ｆ一 ２ ＆） ． ｌ ｉ 又 ； Ｘ ； 又 Ｉ ：
一
（） ７
＊ 一（ ， ｉ ， ｎＡ ｈ ］ Ｂ ｂ）１ ｍ １ ｊ ，［ 表示矩阵 Ａ的从第 ｌ ｑ 行到第
＼ １ Ｘ２ ／ Ｘ２ ２
（ ４ ）
ｘｌ ３、
７ Ａ
Ｂ一
一
１ Ｉ ｌ Ｉ ０ １ ２ ３ ｌ １ １ ｌ ３ ４ ５ ６
ｌ ２
４ ７ ４ ２
其中 ：
ｒ Ｆ Ｆ
１ Ｏ ～ １
Ｘ Ｕｓ ｓＦ ｓ ｓ ）｛ ２ ２ ＿ ２ ４ Ｘ ｕ 】 Ｆ ｌ 一Ｙ ） 一Ｉ ’ ２ （ ３ ｊ
子 矩 阵 约 束 下 ＡＸ Ｂ＝Ｃ的 最 小 二乘 解 及 其 最 佳 逼 近
关于矩阵方程组AX_C_XB_D的最小二乘解和极小范数最小二乘解_尤兴华
+
DB H ） ，
DB H ） ．
H ） = R （ A ） = R （ Q1 ） ， Q2 （ AH ） +
由于
H Q2 Q1 = O 且 R （ （ A H ） +
= O，
因而根据引理 1 ． 4 ， 有
{
H Q1 Y =
∫
+∞
0
H e －Λ2t ΛQ1 （ C + （ AH ）
+
DB H ） e －BB t dt，
H
从而（ 0 ． 1 ） 的极小范数最小二乘解可以表示为 X =A+ 定理 2 ． 2
∫ ∫
0
e － AA t A（ A H C + DB H ） e － BB t dt + F A DB + ．
H
H
（ 0 ． 1 ） 的最小二乘解的通解形式为
+∞ 0
X =A+ 这里矩阵 U∈C 证明
e － AA t A（ A H C + DB H ） e － BB t dt + F A DB + + F A UE B ，
第 28 卷第 4 期 2012 年 10 月
苏 州 大 学 学 报（ 自然科学版） JOURNAL OF SOOCHOW UNIVERSITY（ NATURAL SCIENCE EDITION）
Vol. 28 No． 4 Oct． 2012
XB = D 的最小二乘解 关于矩阵方程组 AX = C， 和极小范数最小二乘解
ST ） ，
+ S = （ I － KK + ） QP + ． 其中 K = Q（ I － P P ） ， ［1 ］ B， 引理 1 ． 4 对于矩阵 A， 设其特征值分别为 λ i ∈λ （ A） ， μ j ∈μ（ B） ． 如果特征值满足 Re（ λ i ） + Re（ μ j ） ＜ 0 （ i = 1 ， 2， …， s； j = 1 ， 2， …， t） ，
求一类矩阵方程组的最小二乘行对称解及其最佳逼近的迭代法
Ｈｕ Ｒｏ ｇ ｎ Ｚｈ ｎｇ Ｌ ｉ ａ ｅ
（ ｕ ａ ｎ ｅｓｙ Ｃ ａｇｈ ， １０ ２ Ｈ ｎ ｎＵ ｉ ｒ ｔ， ｈｎｓａ ４ ０ ８ ） ｖ ｉ
Ａｂ ｔ ａ ｓ ￣ ｒ
Ｉ ｈ ｓｐ ｐ ｒ ｎ ａｇ ｒ ｈ ｉ ｃ ｎ ｔｕ ｔｄ ｔ ｏｖ ｈ ａ ｔ ｑ ａ ｅ ｗ ｓ ｍｍｅ ｒ ｏｕ ｉｎ ｏ ｅｍａ － ｎ ｔ ｉ ａ ｅ ，ａ ｌ ｏ ｔ ｍ ｏ ｓｒ ｃ ｅ ｏｓ ｌ ｅｔ ｅｌ ｓ ｕ ｒ ｓｒ ｙ ｉ ｓ ｅ ｓ ｏ ｔ ｃ ｓ ｌ ｔ ｆ ｒｘ ｅ ｉ ｏ ｈ ｔ
最 佳 逼 近 的 迭 代 法
胡 荣 张 磊
（ 南大学 ， 湖 长沙 ，１０ ２ ４０ ８ ）
摘 要 本 文构造 了求矩阵方程 组 ＝Ｂ，Ｃ ＝Ｄ的最小二 乘行对称 解及 其最佳逼 近的迭代 法， 究了遮 Ｘ 研
代序 列的性质 ， 明 了算法的收敛性。 证
关键 词 迭代 法 梯度 矩阵 行 对称 解
ｑ ａｉｎ Ｘ ＝ Ｂ．ＸＣ ＝ Ｄ ｎ ｔ ｏ ｔ ｌａ ｐ ｏ ｉ ｔ ｎ ｏ ｒ ｐ ｒｉｓ ｏ ｅ ｉ ｒ ｔ ｅ ｓ ｑ ｅ ｃ ａ ｅ ｂ ｅ ｅ ｕ ｔ ｓＡ ｏ ａ ｄ ｉ ｐ ｉ ｐ ｒ ｘｍａｉ ．Ｓ ｍｅ ｐ ｏ ｅ ｔ ｆｔ ｔ ａｉ ｅ ｕ ｎ ｅ ｈ ｖ ｅ ｎ ｄ － ｓ ｍａ ｏ ｅ ｈ ｅ ｖ ｉｄ ｒ ｅ ，ａ ｄ ｔ ｅ ｍｅ ｏ ａ ｅ ｎ ｓ ｏ ｎ ｔ ｒ ｓ ￣ｅ ｃ ｎ ｅ ｇ ｎ ｅ ｐ ｏ ｅ ｔ ｓ ｖ ｎ ｔ ｄ ｈ ｓ ｂ ｅ ｈ ｗ ｏ ｐ ｅ ｏ ｖ ｒ ｅ ｃ ｒ ｐ ｒ ｅ ． ｈ ｈ ｏ ｉ Ｋｅ ｗｏ ｄ Ａｌ ｏ ｔｍ Ｇｒ ｄｅ ｔｍａ ｒ Ｒ ｗ ｓ ｍｍｅｒ ｏ ｕｉ ｎ ｙ ｒｓ ｇｒ ｈ ｉ ａ ｉｎ ｔ ｘ ｉ ｏ ｙ ｔｉ ｓ ｌ ｔ ｃ ｏ
矩阵方程的解法
两类矩阵方程的行对称矩阵解及AX=B的最佳逼近摘要本文首先介绍了行对称矩阵的定义及性质，利用矩阵的广义逆，奇异值分解，给出了矩阵方程AX=B有行对称解的充分必要条件及有解时通解的表达式；并给出了矩阵方程解集合中与给定矩阵的最佳逼近解的表达式。
最后利用奇异值分解给出了矩阵方程AXA T B 有行对称解的充分必要条件及有解时通解的表达式。
矩阵方程问题是指在满足一定条件的矩阵集合中求矩阵方程的解的问题。
不同的约束条件，不同的矩阵方程，就导致了不同的约束矩阵方程问题。
约束矩阵方程问题在结构设计，参数识别，主成分分析，勘测，遥感，生物学，电学，固体力学，结构动力学，分子光谱学，自动控制理论，振动理论，循环理论等领域都有重要应用。
约束矩阵方程问题的内容非常广泛. 约束矩阵方程问题又分为线性约束矩阵方程问题和非线性约束矩阵方程问题. 有关线性约束矩阵方程问题的研究成果相当丰富. 其中最简单的矩阵方程AX = B 是研究最透彻的一类问题.求解线性矩阵方程一般会遇到两种情况：一是当矩阵方程有解时，如何求它的解及最佳逼近；二是当矩阵方程无解时，如何求它的最小二乘解。
对于本文所研究的AX=B、AXA T B 这两类简单矩阵方程，国内外学者已经作了大量研究。
都在相应的文献中对其进行了大量的研究，解决了求此方程的一些约束解和最小二乘解的问题。
自从针对工程应用领域提出了行对称矩阵概念之后，这方面研究已经取得了一些成果，如对行对称矩阵的一些性质，行对称矩阵的QR分解。
本文先对行对称矩阵进行介绍，再将行对称矩阵与约束矩阵方程结合起来，先研究了矩阵方程AX=B有行对称实矩阵解的充要条件，有解时，用奇异值分解及广义逆求出解及最佳逼近。
再对矩阵方程AXA T B 有行对称实矩阵解的充要条件进行了研究，利用奇异值分解得出了有解时的充要条件及解的表达式。
设R m* n表示全体n*m阶实矩阵集合，rank(A) 表示矩阵A的秩, J n 表示0 次对角线上元素全为1，其余元素全为0的方阵，即J n =1显然有J n1 J n,J n T J n成立。
最小二乘拟合算法
最小二乘拟合算法最小二乘定义一般情况下，最小二乘问题求的是使某一函数局部最小的向量 x，函数具有平方和的形式，求解可能需要满足一定的约束：信赖域反射最小二乘要理解信赖域优化方法，请考虑无约束最小化问题，最小化 f(x)，该函数接受向量参数并返回标量。
假设您现在位于 n 维空间中的点 x 处，并且您要寻求改进，即移至函数值较低的点。
基本思路是用较简单的函数 q 来逼近 f，该函数需能充分反映函数 f 在点 x 的邻域 N 中的行为。
此邻域是信赖域。
试探步 s 是通过在 N 上进行最小化（或近似最小化）来计算的。
以下是信赖域子问题如果f(x + s) < f(x)，当前点更新为 x + s；否则，当前点保持不变，信赖域 N 缩小，算法再次计算试探步。
在定义特定信赖域方法以最小化 f(x) 的过程中，关键问题是如何选择和计算逼近 q（在当前点 x 上定义）、如何选择和修改信赖域 N，以及如何准确求解信赖域子问题。
在标准信赖域方法中，二次逼近 q 由 F 在 x 处的泰勒逼近的前两项定义；邻域 N 通常是球形或椭圆形。
以数学语言表述，信赖域子问题通常写作公式2其中，g 是 f 在当前点 x 处的梯度，H 是 Hessian 矩阵（二阶导数的对称矩阵），D 是对角缩放矩阵，Δ是正标量，∥ . ∥是 2-范数。
此类算法通常涉及计算 H 的所有特征值，并将牛顿法应用于以下久期方程它们要耗费与 H 的几个分解成比例的时间，因此，对于信赖域问题，需要采取另一种方法。
Optimization Toolbox 求解器采用的逼近方法是将信赖域子问题限制在二维子空间 S 内。
一旦计算出子空间 S，即使需要完整的特征值/特征向量信息，求解的工作量也不大（因为在子空间中，问题只是二维的）。
现在的主要工作已转移到子空间的确定上。
二维子空间 S 是借助下述预条件共轭梯度法确定的。
求解器将 S 定义为由 s1 和 s2 确定的线性空间，其中 s1 是梯度 g 的方向，s2 是近似牛顿方向，即下式的解或是负曲率的方向，以此种方式选择 S 背后的理念是强制全局收敛（通过最陡下降方向或负曲率方向）并实现快速局部收敛（通过牛顿步，如果它存在）。
第四章参数的最小二乘法估计讲解
第四章 最小二乘法与组合测量§1概述最小二乘法是用于数据处理和误差估计中的一个很得力的数学工具。
对于从事精密科学实验的人们来说，应用最小乘法来解决一些实际问题，仍是目前必不可少的手段。
例如，取重复测量数据的算术平均值作为测量的结果，就是依据了使残差的平方和为最小的原则，又如，在本章将要用最小二乘法来解决一类组合测量的问题。
另外，常遇到用实验方法来拟合经验公式，这是后面一章回归分析方法的内容，它也是以最小二乘法原理为基础。
最小二乘法的发展已经经历了200多年的历史，它最先起源于天文和大地测量的需要，其后在许多科学领域里获得了广泛应用，特别是近代矩阵理论与电子计算机相结合，使最小二乘法不断地发展而久盛不衰。
本章只介绍经典的最小二乘法及其在组合测量中的一些简单的应用，一些深入的内容可参阅专门的书籍和文献。
§2最小二乘法原理最小二乘法的产生是为了解决从一组测量值中寻求最可信赖值的问题。
对某量x 测量一组数据n x x x ,,,21 ，假设数据中不存在系统误差和粗大误差，相互独立，服从正态分布，它们的标准偏差依次为：n σσσ ,,21记最可信赖值为x ，相应的残差x x v i i -=。
测值落入),(dx x x i i +的概率。
dx v P i i ii )2exp(2122σπσ-=根据概率乘法定理，测量n x x x ,,,21 同时出现的概率为n i ii ni i dx v P P )]()(21exp[)2(12∑-∏=∏=σπσ 显然，最可信赖值应使出现的概率P 为最大，即使上式中页指数中的因子达最小，即∑=iii Min v 22σ权因子：22o i i w σσ=即权因子i w ∝21iσ，则2[]i i wvv wv Min ==∑再用微分法，得最可信赖值x11ni ii nii w xx w===∑∑ 即加权算术平均值这里为了与概率符号区别，以i ω表示权因子。
几类约束矩阵方程的迭代解法
几类约束矩阵方程的迭代解法约束矩阵方程问题是在满足一定约束条件的矩阵集合中求矩阵方程解的问题.它在结构设计、系统识别、自动控制理论、有限元、振动理论、线性最优控制等领域有着广泛的应用.本篇硕士论文主要研究用迭代法解以下几类约束矩阵方程问题:问题I给定求使得问题II给定使得问题III给定求使得问题IV设问题I或II或III相容,且其解集为S<sub>E</sub>,给定X<sub>0</sub>∈R<sup>n ×n</sup>,求X（?）∈S<sub>E</sub>,使得其中为Frobenius范数.本文主要研究成果如下:1.当S为对称、反对称、中心对称及双对称矩阵时,已有文献给出了问题I- III有解的充要条件和通解表达式.本文利用子空间上梯度矩阵的性质构造了对应于问题I- III的最小二乘问题的迭代算法,证明了相应算法的有限终止性,同时证明了这些算法也适用于问题I- III相容的情形,并通过选取特定初值得到了问题IV的解,最后给出了数值实例,验证了算法的有效性.2.当S为闭凸锥时,已有文献中求解问题I- III的算法比较复杂,难以实现.本文利用闭凸锥上的逼近理论和凸分析理论给出了对应于问题I- III的最小二乘问题有解的充分条件,构造了求解相应问题的迭代算法,证明了算法的全局收敛性以及线性收敛速度,对常见的闭凸锥如非负矩阵和半正定矩阵等,提供了数值实例,验证了算法的有效性.3.当S为可对称化矩阵时,已有文献中得到的问题I- IV的通解表达式非常复杂,难以求解.本文从解线性方程组的共轭梯度法中得到启示,构造了可以在迭代过程中自动判断问题I- III的相容性的迭代算法,证明了算法的收敛性和有限终止性,讨论了当问题I- III相容时问题IV的解,并给出了数值实例,验证了算法的有效性.。
最小二乘法
偏最小二乘法在统计应用中的重要性体现在以下几个方面：
偏最小二乘法是一种多因变量对多自变量的回归建模方法。偏最小二乘法可以较好的解决许多以往用普通多元回归无法解决的问题。
偏最小二乘法之所以被称为第二代回归方法，还由于它可以实现多种数据分析方法的综合应用。
主成分回归的主要目的是要提取隐藏在矩阵X中的相关信息，然后用于预测变量Y的值。这种做法可以保证让我们只使用那些独立变量，噪音将被消除，从而达到改善预测模型质量的目的。但是，主成分回归仍然有一定的缺陷，当一些有用变量的相关性很小时，我们在选取主成分时就很容易把它们漏掉，使得最终的预测模型可靠性下降，如果我们对每一个成分进行挑选，那样又太困难了。
偏最小二乘法回归的做法是首先在自变量集中提取第一潜因子t1(t1是 的线性组合，且尽可能多地提取原自变量集中的变异信息，比如第一主分量)；同时，在因变量集中也提取第一潜因u1(u1为的线性组合)，并要求t1和u1相关程度达到最大。然后建立因变量Y与t1的回归，如果回归方程已达到满意的精度，则算法终止。否则继续进行第二轮潜在因子的提取，直到能达到满意的精度为止。若最终对自变量集提取1个潜因子的回归式，然后再表示为Y与原自变量的回归方程式。
最后，将还原成为Y * 关于x * = Eoj的回归方程形式，即，
就得到了顾客满意度指数测评模型。
运用偏最小二乘法对顾客满意度指数进行估计和评析，能较好地估计出顾客满意度测评模型，从而帮助企业发现企业运行中的薄弱环节，对复杂多变的市场了如指掌，推动企业经营体制和机制的改革，帮助企业制定正确的发展战略和市场政策。
三、偏最小二乘法在顾客满意度指数中的运用
对于包含隐变量的结构方程模型，目前最经常使用的估计方法是PLS方法和LISP,EL方法。
最小二乘法探究
最小二乘法探究0. 前言最小二乘法发源于天体物理学，并广泛应用于其他各个学科。
最小二乘法（Least squares ）又称最小平方法，一元线性回归法，是一种数学优化技术，用于建立经验公式，利用它可以把生产或实验中所积累的某些经验提高到理论上加以分析。
它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。
利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。
最小二乘法还可用于曲线拟合,是我们在建模竞赛中常用的一种手段。
一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。
最小二乘法发源于天体物理学，并广泛应用于其他各个学科。
最小二乘法对于统计学具有十分重要的意义。
相关回归分析，方差分析和线性模型理论等数理统计学的几大分支都以最小二乘法为理论基础，正如美国统计学家斯蒂格勒（S.M,Stigler ）所说，“最小二乘法之于数理统计学犹如微积分之于数学”。
故对最小二乘法做一番探究进而理解并掌握这一思想是十分有必要的。
1. 原理在古汉语中“平方”称为“二乘”，“最小”指的是参数的估计值要保证各个观测点与估计点的距离的平方和达到最小。
根据教材中的描述（两个变量间的函数关系），其基本原理为： 根据已知的自变量与因变量数据做出散点图，进而观察判定出两者间的函数关系，本次探讨以一次函数关系为例，其他类型的函数关系也可通过两边取对数等方法转化为一次函数形式进行求解。
认定y =f (x )是线性函数：f (x )=ax +b a,b 即为待求的常数。
对于求的函数，我们希望它可以尽可能多的拟合到已知的数据点，或者说尽可能的靠近。
转化为量化形式即为使偏差y i −f (x i ) 都很小，对此经过综合分析我们用M =∑[y i −(ax i +b )]2imax i=0最小来保证每个偏差的绝对值都很小，即根据偏差的平方和为最小的条件来确定常数a,b 。
然后运用多远函数的极值求法知识来求解求M =(a,b ）的极小值，具体步骤为：{M a (a,b )=0M b (a,b )=0>>>>>>>>>>>>>>{ðM ða =−2∑[y i −(ax i +b )]x i =0imax i=0ðM ðb =−2∑[y i −(ax i +b )]=0imax i=0 >>>>{∑[y i −(ax i +b )]x i =0imax i=0∑[y i −(ax i +b )]=0imax i=0>>>>>>{a ∑x i 2+b ∑x i imax i=0=∑y i x i imax i=0imax i=0a ∑x i + 8b =∑y i imax i=0imax i=0 (1) 然后再列表计算∑x i 2,∑x i imax i=0,∑y i x i imax i=0imaxi=0,及 ∑y i imax i=0，代入方程组（1），即可求出a,b 。
矩阵方程AXB=C最小二乘D对称解的通解
若矩 阵 满 足 ， ｙＤ （ｘ Ｄ Ａ ） Ａ ， ，称 为 对 称矩 阵． ） 本 文 研 究 了Ａ ＸＢ ＝ Ｃ 小 二 乘Ｄ对 称 解 的表达 式 ， 最
即给定 矩 阵 、 Ｃ∈Ｒ ，求Ｄ对称 矩 阵 ∈Ｒ ， Ｂ、
使得ｆＸ Ｃｆ ｍｎ Ｉ ｎ— ｌ＝ ｉ． Ａ
引理 １设 Ｃ ＝ｄａ （１ Ｃ，… ， 『 Ｓ＝ ｄａ （１ ｉｇｃ， ２ ｃ， ） ｉ ｓ， ｇ
沙， １０ ４ ４０ ０）
摘 要：利用矩阵对的标准相关分解，得到 了Ａ Ｂ＝Ｃ最小二乘 Ｄ对称解 的表达 式， Ｘ 推广 了已有 的结 果．
关键词 ：矩 阵方程； 最小二乘 Ｄ对称 ； 通解 中 图分类号 ： ５． Ｏ １１ １ ２ 文 献标识码 ： Ａ 文章编 号：１７．１６ ０００．０５ ２ ６２６４ （ １ ３００ ． ２ ） ０
收稿 日期 ：２ １— ５ Ｏ ０００一８
ｌＺ厂ｃ ＝ ｉ ［ Ｓ ｌ ｍｎ Ｃ ｊ
Ｔｈｅｌ ａ ｔｓ ｅ ｓ －ｑｕａ ｅ －ｙｍ ｍ ｅ ｒ ｃｓ ｌ ｉ ｎｓｏ ｈ ｔ ｉ ｑｕ ｔｏ ｒ ｓＤ ｓ ｔ ｉ ｏ ｕｔｏ ｆｔ ｅ ｍａ ｒｘ ｅ ａ ｉ ｎ ＡＸＢ ＝ Ｃ
Ｑ ｉ ｉ ， Biblioteka Ｌ． ｎ ｘ （． ｏｌ ｅ ｆ ｔｅ ｔ ｓ ｎ ｃｎ ｍｅｒ ｓＨｕ ａ ｉ Ｃ ａ ｇｈ １０ ２ Ｃ ｉａ２ Ｃ ａｇｈ ｏ １Ｃ ｌｇ Ｍａ ｍａｉ ｄＥ ｏ ｏ ｔｃ， ｎ ｎ ｅ ｏ ｈ ｃａ ｉ Ｕｎｖ ｈｎ ｓａ ０ ８ ， ｈｎ ； ． ｈ ｎ ｓａ ｍｍｅｃ ｎ ， ４ Ｃ ｒｅ ｄ ａ
１ 引言及 引理
约 束矩 阵方 程 问题是 指在 一 定 的约束 条件 下求
解 矩 阵方程 的解 或者 最 小二 乘解 以及 相应 的最 佳逼 近 解．该 问题 在 结构 设 计 Ｊ 、参 数 识别 、非 线性 规
最小二乘法解的矩阵形式推导
最小二乘法解的矩阵形式推导最小二乘法（Least Squares Method）是一种用于求解线性方程组中的未知参数的方法。
在线性回归中，可以使用最小二乘法来拟合数据，得到线性模型的参数。
矩阵形式的最小二乘法解法如下：假设有一个线性方程组Ax = b，其中A 是m×n 的矩阵，x 是n×1 的未知参数向量，b 是m×1 的常数向量。
为了求解最小二乘解，我们可以将x 拆分为两个向量x1 和x2，其中x1 是A 的列空间的投影在x 上的向量，x2 是A 的零空间上的一个向量。
因为对于任意向量x，x 可以唯一地表示为x = x1 + x2。
我们可以将A 的列向量表示为a1, a2, ..., an，将x1 表示为c1a1 + c2a2 + ... + canan，其中c1, c2, ..., cn 是常数。
因此，x1 就是A 的列向量的线性组合，使得Ax1 尽可能地接近b。
我们可以定义向量e = b - Ax1，它是b 在A 的列空间上的投影的残差向量。
我们的目标是最小化e 的平方，即使得||e||^2 最小。
因此，我们可以将最小二乘问题转化为以下优化问题：minimize ||e||^2 = ||b - Ax1||^2我们可以通过求解以下矩阵方程组来得到最小二乘解：A^T(Ax - b) = 0将x 拆分为x1 和x2，我们可以得到以下矩阵方程组：A^T(Ax1 - b) = 0Ax2 = 0第一个方程可以转化为：A^T(Ac1a1 + Ac2a2 + ... + Acnan - b) = 0(A^TA)c = A^Tb其中，c 是向量(c1, c2, ..., cn)^T，(c1a1 + c2a2 + ... + canan) 是x1。
我们可以使用矩阵的逆来求解c：c = (A^TA)^(-1)A^Tb最终的最小二乘解为x = x1 + x2 = c1a1 + c2a2 + ... + canan + x2。
矩阵方程ax=b最小二乘解的解法
矩阵方程ax=b最小二乘解的解法矩阵方程ax=b的最小二乘解法是一种用于求解形如ax=b的方程组的方法。
在实际问题中，方程组可能是超定的，即方程的数量大于未知数的数量。
此外，方程组中的系数可能是不完全可逆的，即矩阵A的秩小于它的列数。
在这些情况下，方程组无解或者无唯一解。
最小二乘法提供了一种近似解的方法，在求解方程组时最小化残差的平方和。
最小二乘法的基本思路是找到一个向量x，使得，ax-b，^2 最小化。
在这里，.，表示向量的长度（或者范数）。
直观上讲，通过最小化残差（即方程的左侧与右侧之间的差异）的平方和，我们能够找到一个在其中一种意义下对方程组整体具有最佳拟合的解。
下面介绍几种常用的最小二乘解法。
1.正规方程法正规方程法是最简单的最小二乘解法之一、它通过将方程组左右两边同时乘以A的转置矩阵，得到A^T*A*x=A^T*b的形式。
只要A的转置矩阵存在并且可逆，这个方程组一定有解。
我们可以通过求解这个方程组得到最小二乘解。
虽然正规方程法直观简单，但计算量较大，尤其在矩阵A规模较大时。
此外，当矩阵A的条件数较大时，该方法可能导致数值不稳定性。
2.QR分解法QR分解法是另一种常用的最小二乘解法。
它通过将矩阵A分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积，使得Q^T*A=R，其中Q^T表示Q的转置矩阵。
通过进行QR分解，我们可以将原方程组转化为R*x=Q^T*b的形式，这个方程组可以很容易地求解。
QR分解法在计算效率和数值稳定性方面比正规方程法更优。
然而，当矩阵A的列数远大于它的行数时，QR分解法可能会带来较大的计算代价。
3.SVD分解法SVD分解法在精度和稳定性上具有较好的性质，但计算量较大，特别是当矩阵A的规模较大时。
此外，还有一些其他的最小二乘解法，如广义逆法、加权最小二乘法等。
它们针对不同的问题提供了不同的解决思路。
根据具体的问题和要求，我们可以选择最合适的方法来求解矩阵方程ax=b的最小二乘解。
矩阵方程组难题
矩阵方程组难题概述矩阵方程组是线性代数中的重要概念，解决矩阵方程组难题有时会让人感到困扰。
本文将探讨矩阵方程组难题及其解决方法。
矩阵方程组的定义矩阵方程组是由多个线性方程构成的方程组，其中未知数是矩阵。
一般形式为 A * X = B，其中 A 是已知的系数矩阵，X 是未知的矩阵，B 是已知的常数矩阵。
矩阵方程组的难题矩阵方程组的难题主要体现在以下几个方面：1. 多解或无解：矩阵方程组可能存在多个解或无解的情况。
对于具有无解的方程组，我们可以通过求解方程组的增广矩阵来判断。
2. 矩阵秩问题：当矩阵方程组的系数矩阵 A 的秩与增广矩阵的秩不相等时，方程组可能存在多个解。
这需要通过求解矩阵的秩来确定。
3. 误差传播：在计算矩阵方程组的过程中，由于计算机浮点数运算的不精确性，可能会导致误差传播，导致解的精度降低。
解决矩阵方程组难题的方法下面是一些解决矩阵方程组难题的常用方法：1. 列主元高斯消元法：通过高斯消元法将方程组转化为上三角形式，从而求得解。
在消元过程中，可以使用列主元选取策略来避免误差传播。
2. 矩阵的逆：当系数矩阵 A 的逆矩阵存在时，可以通过左乘 A 的逆矩阵来解得矩阵方程组的解。
3. 最小二乘解：当方程组无解时，可以通过最小二乘法来求得近似解。
最小二乘法通过优化求解使得残差的平方和最小。
4. 迭代法：对于特殊的矩阵方程组，如稀疏矩阵方程组，可以使用迭代法来求解。
迭代法通过逐步逼近解的过程来求得解。
结论解决矩阵方程组难题需要灵活运用不同的方法，并根据具体情况选择合适的解决策略。
通过对矩阵方程组难题的深入理解和实践，我们可以更好地应对这一问题，并提高解决难题的能力。
矩阵方程ax=b最小二乘解的解法
矩阵方程ax＝b最小二乘解的解法
最小二乘解是线性代数研究中最为常用和熟悉的一种求解方法，用来求解矩阵方程ax=b 的解。
它适用于解决一些“未知参数大于等于等式数”的问题，其最主要的特点是所得结果可以保证为整体最优解，且它的优化性、稳定性和易得性等方面也是比较好的。
求解矩阵方程ax＝b的最小二乘解的方法非常容易理解和使用，首先，将ax=b问题变换成一个最小二乘问题，这是由对误差σ=(ax−b)T(ax−b)求偏导得到的。
接着，求解偏导数极大值方程可以得到一个线性方程组，其最优解就是最小二乘解。
最后，也可以将求解到的线性方程用特征值分解的方法求解来得到最小二乘解。
在很多实际的工程问题中，都可以用最小二乘解来解决，它的易得性、稳定性、准确性等优点都是它十分极受欢迎的原因。
此外，同时也是一种重要的基础知识，必须为很多问题的解决做好准备。
总之，最小二乘解是一种常见的求解方法，用来求解矩阵方程ax＝b。
他在很多实际的工程中会有着很大的用处，如果我们，能够充分的理解使用，一定可以达到更好的效果。
几类约束矩阵方程问题的理论与计算
几类约束矩阵方程问题的理论与计算【摘要】：约束矩阵方程问题是指在一定的约束矩阵集合中求矩阵方程(组)的解.其研究是近年来数值代数研究领域的重要课题.本文研究以下几类特殊约束矩阵方程问题的理论与计算.1.两类线性约束矩阵方程问题及其最佳逼近问题的迭代算法提出了求线性矩阵方程组：A1XB1=C1,A2XB2=C2的(最小二乘)双对称解的迭代算法；从算子角度,将十余种常见的矩阵结构约束(如对称、中心对称、自反等)划归为一类特殊的算子约束.针对一般形式的线性矩阵方程组,提出了求这一类特定算子约束(最小二乘)解的迭代算法.在不计舍入误差的前提下,所提出的算法均可在有限步内获得上述线性矩阵方程(组)相应的约束(最小二乘)解,并可解决其最佳逼近问题.2.非线性矩阵方程：Xs+A*X-1A=Q的Hermitian正定解深入研究了非线性矩阵方程：Xs+A*X-tA=Q(s,t为正整数)的定解理论和数值算法.利用矩阵分解原理给出了方程存在Hermitian正定解的两个充分必要条件.给出了方程仅有两个解的充分条件及解的计算公式.研究了AQ(?)=Q(?)A情形下,方程可解的必要条件和解的特性.分析了固定点迭代算法的收敛性,给出了单调收敛条件.此外还考虑了s≥1,0t≤1或0s≤1,t≥1的情形,给出了方程存在Hermitian正定解的充分条件和必要条件.探讨了解的特性,并提出了计算其极端解的免逆迭代算法.3.非线性矩阵方程：Xs-A*X-1A=Q的Hermitian正定解研究了非线性矩阵方程：Xs-A*X-1A=Q(s,t为正整数)的Hermitian正定解.证明了解的存在性.给出了方程存在唯一解的充分条件.获得了解范围的最新估计.进行了解的扰动分析,导出了一般解和唯一解的扰动界.4.非对称代数Riccati 方程的极小非负解分析了当非对称代数Riccati方程的四个系数矩阵构成一个非奇异M-矩阵或奇异不可约M-矩阵时,方程极小非负解的敏感性.基于不变子空间的扰动性质,导出了极小非负解在任意酉不变范数意义下的扰动界,并获得了条件数的显式表达式.5.TLS问题和LS 问题解的相关量比较在TLS问题和LS问题解残量的比较基础上,在更一般情形下,对TLS问题和LS问题解的加权残量进行了比较.导出了TLS解、改进的LS解及普通LS解加权残量之间的误差界,进一步完善了已有的相关结果.【关键词】：线性矩阵方程双对称矩阵算子约束解非线性矩阵方程Hermitian正定解非对称代数Riccati方程TLS 问题LS问题加权残量【学位授予单位】：华东师范大学【学位级别】：博士【学位授予年份】：2010【分类号】：O241.6【目录】：摘要6-8Abstract8-10目录10-12主要符号对照表12-13第一章前言13-171.1研究背景13-141.2研究现状14-151.3本文的主要工作15-17第二章两类线性约束矩阵方程问题的迭代算法17-662.1矩阵方程组:A_1XB_1=C_1,A_2XB_2=C_2的双对称解18-282.2矩阵方程组:A_1XB_1=C_1,A_2XB_2=C_2的最小二乘双对称解28-392.3一般线性矩阵方程组的特定算子约束解39-502.4一般线性矩阵方程组的特定算子约束最小二乘解50-66第三章矩阵方程X~s+A~*X~(-t)A=Q的Hermitian正定解66-913.1矩阵方程X~s+A~*X~(-t)A=Q(S,t∈Z~+)67-763.2固定点迭代法的单调收敛性76-833.3矩阵方程X~s+A~*X~(-t)A=Q(s≥1,083-91第四章矩阵方程X~s-A~*X~(-t)A=Q的Hermitian正定解91-1024.1解的存在唯一性及解的范围91-964.2解的扰动估计96-994.3数值例子99-102第五章非对称代数Riccati方程极小非负解的扰动分析102-1135.1预备知识103-1085.2扰动界108-1115.3条件数的表达式111-113第六章TLS问题和LS问题解加权残量的比较113-1236.1预备知识113-1156.2TLS 解和LS解加权残量的比较115-1216.3数值例子121-123参考文献123-134在学期间的研究成果134-136致谢136-137 本论文购买请联系页眉网站。
矩阵 最小二乘解
矩阵最小二乘解
最小二乘法是一种常用的数学方法，用于寻找给定一组数据的最佳拟合曲线或平面。
它在多个领域中都有广泛的应用，例如数据分析、统计建模和机器学习等。
在矩阵最小二乘解中，我们需要解决一个线性方程组，其中方程组的系数矩阵为一个m×n的矩阵A，待求解的向量为n×1的向量x，而观测值的向量为m×1的向量b。
我们的目标是找到一个向量x，使得方程组的残差向量的二范数最小。
为了求解这个问题，我们首先需要计算矩阵A的转置矩阵A^T和矩阵A的乘积A^TA。
接下来，我们计算向量b和矩阵A的乘积A^Tb。
然后，我们可以使用正规方程组来求解最小二乘问题。
正规方程组的解为x=(A^TA)^(-1)A^Tb。
通过求解正规方程组，我们可以得到最小二乘解x。
这个解向量x 代表了数据的最佳拟合值，使得残差向量的二范数最小。
最小二乘法的应用非常广泛。
例如，在线性回归中，我们可以使用最小二乘法来拟合数据并预测未知的观测值。
在图像处理中，最小二乘法可以用于图像恢复和去噪等问题。
在信号处理中，最小二乘法可以用于信号重建和频谱估计等任务。
最小二乘法是一种强大的数学方法，可以用于解决线性方程组的最佳拟合问题。
它在多个领域中都有广泛的应用，并且可以帮助我们
更好地理解和分析数据。
通过使用最小二乘法，我们可以得到数据的最佳拟合值，提高我们对数据的理解和预测能力。
矩阵方程AX=B的范数约束最小二乘解
矩阵方程AX=B的范数约束最小二乘解
徐安豹;彭振赟
【期刊名称】《桂林电子科技大学学报》
【年(卷),期】2013(033)001
【摘要】为了求解矩阵范数约束下矩阵方程AX=B的最小二乘解问题,提出了一种迭代算法.该算法以广义Lanczos信赖域算法为基本框架,弥补了其不能求解矩阵方程的缺陷.数值实验表明,该算法是有效的.
【总页数】4页(P70-73)
【作者】徐安豹;彭振赟
【作者单位】桂林电子科技大学数学与计算科学学院,广西桂林541004;桂林电子科技大学数学与计算科学学院,广西桂林541004
【正文语种】中文
【中图分类】O241.6
【相关文献】
1.四元数矩阵方程AX=B的酉矩阵最小二乘解 [J], 王开民
2.关于矩阵方程组AX=C,XB=D的最小二乘解和极小范数最小二乘解 [J], 尤兴华;马圣容
3.用Gauss-Jordan消去法求解线性方程AX=b的极小范数最小二乘解 [J], 张大志
4.矩阵方程AX=B的约束最小二乘解 [J], 盛兴平
5.关于矩阵方程AX+YB=C反问题的极小 Frobenius范数对称解 [J], 李杰红;赵华敏
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约束矩阵方程或方程组及其相应的最小二乘问题在质学、粒子物理学、信号处理和有限元等方面都有重要的应用.本论文针对实数或复数域上某些矩阵方程(组)的几类约束解及其最小二乘问题进行了深入的研究和探讨,取得了许多新的有意义的研究成果,这些成果进一步丰富和发展了矩阵代数理论.全文共分为六章.第一章介绍了矩阵方程(组)的研究意义、发展概况和本文所做的主要工作以及一些常用记号.第二章首次给出了广义双(反)对称矩阵的分解,并用之讨论了实矩阵方程AX=B的广义双(反)对称解的可解条件、解的表达式、解的极大和极小秩及广义双(反)对称最小二乘解.第三章采用特殊矩阵的分解理论首次讨论了复矩阵方程组AX=B,XC=D的(斜)埃尔米特广义(斜)汉密尔顿解的充要条件、解的表达式、解的最佳逼近和(斜)埃尔米特广义(斜)汉密尔顿最小二乘解.第四章利用正交矩阵理论研究了实矩阵方程组AX=B.XC=D存在正交解和(反)对称正交解的充分必要条件及解的表达式,并结合矩阵谱理论给出了方程组的(反)对称正交最小二乘解的表达式.第五章利用箭形矩阵的分解首次给出了实矩阵方程组AxB=C,EXF=D的对称箭形最小二乘解及其最佳逼近解的表达式,并且研究了方程组的具有顺序主子矩阵约束的对称箭形最小二乘解及其最佳逼近解.作为应用,给出了方程组的对称箭形解和具有顺序主子矩阵约束的对称箭形解的可解条件及解的表达式.第六章总结全文并阐述可继续研究的问题.