数理经济学讲义

第一章生产技术

第一节微观经济学简介

一什么是微观经济学？

微观经济学以单个经济单位（单个生产者，单个消费者，单个市场的经济活动）作为研究对象，分析个体生产者如何将有限的资源分配在各种商品的生产上以取得最大的利润；单个消费者如何将有限的收入分配在各种商品的消费上以获得最大的满足。同时微观经济学还分析单个生产者的产量、成本、投入要素的数量、利润等如何确定；生产要素的供给者的收入如何确定；单个消费品的效用、供给量、需求量和价格等如何确定。

简单地说，微观经济学是研究经济社会中单个经单位的经济行为，以及相应的经济变量的单项数值如何决定的经济学说。

二微观经济学的发展和形成简介

微观经济学的发展迄今为止大体上经历了四个阶段。

第一个阶段十七世纪中期到十九世纪中期是最早期微观经济学阶段，或者说是微观经济学的萌芽阶段。代表人物主要有斯密和李嘉图。

第二个阶段十九世纪晚期到二十世纪初叶是新古典经济学阶段，也就是微观经济学的奠基阶段。在这个期间，杰文斯在英国，门格尔在奥地利，瓦格拉斯在瑞士顺次建立了英国学派，奥地利学派和洛桑学派。这三个学派的学说并不完全一致，但它们具有一个重要的共同点，那就是放弃了斯密和李嘉图的劳动价值论，并提出了边际效用价值论。在此之后，英国经济学家马歇尔以三个学派的边际效用价值论和当时其它的一些论述（如供求论，节欲论，生产费用论）为基础构建了微观经济学的理论框架，再加上庇古，克拉克和威克斯迪等人提出的新观点形成了以马歇尔和瓦尔拉斯为代表的新古典经济学。

第三个阶段二十世纪三十年代到六十年代是微观经济学的完成阶段。在这个阶段，凯恩斯的传人萨缪尔森建立了新古典综合学派的理论体系。他把以希克斯（代表作《价格与资本》）为代表的经济学家对马歇尔的理论框架进行的修改和补充成为研究个量的微观经济学，把经过修改和补充之后的凯恩斯理论称之为宏观经济学。至此完成了微观经济学的理论体系。

第四个阶段二十世纪六十年代至今是微观经济学进一步发展，补充和演变阶段。

四高级微观经济学的特点

初级微观经济学主要介绍一个或两个生产要素和一种产品的情况，数学工具也用的较少。高级微观经济学介绍的则是多种生产要素和多种产品的情况，运用的数学工具也很多。

第二节 数学

一 导数和偏导数

1 导数：定义及其意义。

2 偏导数和海塞矩阵

二 函数的性质

1 单调性

2 齐次函数和位似函数

（a ） 齐次函数的定义：设12()(,,)n y f x f x x x ==⋅⋅⋅是一个n 元函数，其中

12(,,)n n x x x x D R =⋅⋅⋅∈⊂，如果0t ∀>，有()(

)k f tx t f x =，则称()f x 是一个k 次齐次函数。

注： 当1k ≥时，k 次齐次函数的一阶偏导数是1k -次齐次函数。

欧拉定理：若()f x 是一个k 次齐次函数，则1

()()n

i i

i f x x

kf x ==∑

（b ）位似函数由一个正的单调函数()g 和一次齐次函数()f x 构成的复合函数(())g f x 称为一个位似函数。

三 集合的凸性，函数的凸性及拟凸性

1 集合的凸性（定义）

2 凸函数与凹函数

四 上轮廓集（uper contour set ）和拟凹函数（quasiconcave function ）

1 上轮廓集 设()f x ，n

x D R ∈⊂是一个函数，对给定的实数a 称集合 {,()}A x x D f x a =∈≥ 为函数()f x 的一个上轮廓集。集合

{,()}B x x D f x a =∈= 为函数()f x 的一个水平集

2 拟凹函数与拟凸函数

如果a R ∀∈，()f x 的上轮廓集都是凸集，则称()f x 是一个拟凹函数；如果()f x -是一个拟凹函数，则称()f x 是一个拟凸函数。

3 结论：函数()f x 是拟凹函数的充分必要条件是：12,x x D ∀∈及[0,1]t ∈，有 1212((1))min{(),()}f tx t x f x f x +-≥

第三节 生产函数

一 生产可能集

如果一个厂商投入n 种生产要素12(,,)n x x x x =⋅⋅⋅，生产出k 种产品12(,,)m y y y y =⋅⋅⋅，这里0,0;1,2,,;1,2,,i j x y i n j m ≥≥=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅。则称

1212(,)(,,,,,,,)m n Z y x y y y x x x =-=⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-

为净产出向量，它描述了该厂商的一个可行的生产方案。所以可行的生产方案构成的集合称为生产可能集。在这里我们主要讨论n 种生产要素，一种产品的情况。此时生产可能集是由所有可行的生产方案

12(,)(,,,,)n y x y x x x -=--⋅⋅⋅- 构成的集合。

二 生产函数

1 定义：假设厂商在生产时满足两个条件，第一，生产是有效率的；第二，满足无成本处置条件，即可以无成本地不要的资源。在这样的条件下，对厂商的每组n 种生产要素的投入

12(,,)n x x x x =⋅⋅⋅总是能得到最大的产量，即对每个12(,,)n x x x x =⋅⋅⋅总能找到唯一的y 与

之对应。因此产量y 就是12(,,)n x x x x =⋅⋅⋅的函数，记为()y f x =。称其为生产函数。生产函数也可以描述为：

()max{(,)}f x y y x Z =∈

话句话说，对给定点x ，在所有的可行方案中，总能找到一种方案，使得这种方案中y 的值最大，即最优方案最优的方案。

2 等产量集

（a ）必要投入集 称集合00(){()}V y x f x y =≥为必要投入集； （b ）等产量集 00(){()}Q y x f x y ==为等产量集。

3 常见的生产函数（生产函数可以用解析式子表示） （a ）柯布-道格拉斯生产函数

1212()(,);0,0,0.f x f x x Ax x A αβ

αβ==>>>

（b ）里昂锡夫函数

121122()(,)min{/,/}.f x f x x x x ββ== （c ）常代替弹性函数

1

121122()(,)().f x f x x A x x α

αα

δδ==+

二 边际产出，技术替代率和技术替代弹性

1 边际产出

（a ）定义

（b ）经济意义： i MP 描述了在x 处，第i 个生产要素每增加一个单位时，对产量的贡献量。

2 技术替代率

（a ）定义，设()y f x =是一个生产函数，在维持产量y 在0

y 处不变时，增加或减少一个

单位的生产要素i x 需要减少或增加生产要素j x 的数量，称为要素j x 对要素i x 的技术替代率，记为ij TRS ，即

lim

i j j ij y y y y x i

i

x x TRS x x ==∆→∂∆=

=∂∆

（b ）公式：/j i ij i

i j j

x MP f f

TRS x x x MP ∂∂∂==-

=-

∂∂∂ 证明：