考点5 等比数列教师

考点5

等比数列

[玩前必备]

1．等比数列的有关概念(1)定义：

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，a n ＋1

a n ＝q ．

说明：等比数列中没有为0的项，其公比也不为0.(2)等比中项：

如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab ⇒G ＝±ab ．

说明：任何两个实数都有等差中项，但与等差中项不同，只有同号的两个数才有等比中项．两个同号的数的等比中项有两个，它们互为相反数．2．等比数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1q n －

1．

(2)前n 项和公式：S n ＝a 1－a n q 1－q

，q ≠1.

3．等比数列的性质

已知数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和．(m ，n ，p ，q ，r ，k ∈N *)(1)若m ＋n ＝p ＋q ＝2r ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2r ；

[玩转典例]

题型一等比数列基本量的运算

例1

(1)（2017新课标Ⅲ）设等比数列{}n a 满足121a a +=-，133a a -=-，则4a =_______．

【解析】设{}n a 的首项为1a ，公比为q ，所以112

111

3

a a q a a q +=-⎧⎨

-=-⎩，解得11

2

a q =⎧⎨

=-⎩，则3418a a q ==-．

(2)（2017北京）若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==-，448a b ==，

则

2

2

a b =_____．

【解析】设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，由题意3138d q -+=-=，

所以3d =，2q =-，所以22131(2)

a b -+==--．例2

已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝32，S 3＝9

2，则公比q ＝(

)

A.1或－1

2

B.－

12

C.1

D.－1或

1

2答案A

解析

设数列的公比为q ，∵a 3＝32，S 3＝9

2

，∴1q 2＝32

，

a 1(1＋q ＋q 2)＝92

，

两式相除得1＋q ＋q 2q 2＝3，即2q 2

－q －1＝0.∴q ＝1或q ＝－12.

[玩转跟踪]

1.（2015安徽）已知数列{}n a 是递增的等比数列，14329,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于

．

【解析】由题意，1423

149

8a a a a a a +=⎧⎨⋅=⋅=⎩，解得141,8a a ==或148,1a a ==，而数列{}n a 是递增的等比数列，

所以141,8a a ==，即341

8a q a ==，所以2q =，因而数列{}n a 的前n 项和1

(1)1221112n n

n n a q S q --=

==---．2.(2015·新课标全国Ⅰ，13)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和.若S n ＝126，

则n ＝________.解析

由a n ＋1＝2a n 知，数列{a n }是以a 1＝2为首项，公比q ＝2的等比数列，由S n ＝

2（1－2n ）

1－2

＝126，解得n ＝6.答案

6

3.（北京）若等比数列{}n a 满足24a a +=20，35a a +=40，则公比q =

；前n 项和n S =

．

【解析】由35a a +=()24q a a +得2q =；()()

3241a a a q q +=+=20，

得12a =；∴()12122212

n n n S +-=

=--．

4.(天津)设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1的值为________．

解析因为等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝na 1＋

n (n －1)

2

d ，所以S 1，S 2，S 4分别为a 1,2a 1－1,4a 1－6.因为S 1，S 2，S 4成等比数列，所以(2a 1－1)2＝a 1·(4a 1－6)，解方程得a 1＝－1

2.

题型二等比数列的性质及应用

例3

已知{a n }为等比数列．

(1)若a n >0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，求a 3＋a 5；

(2)若a n >0，a 5a 6＝9，求log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10的值．解

(1)a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝a 23＋2a 3a 5＋a 2

5

＝(a 3＋a 5)2＝25，∵a n >0，∴a 3＋a 5>0，∴a 3＋a 5＝5.(2)根据等比数列的性质a 5a 6＝a 1a 10＝a 2a 9＝a 3a 8＝a 4a 7＝9.

∴a 1a 2…a 9a 10＝(a 5a 6)5＝95.∴log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1a 2…a 9a 10)＝log 395＝5log 39＝10.[玩转跟踪]

1.（广东）等比数列{}n a 的各项均为正数，且154a a =，则

2122232425log +log +log +log +log =a a a a a ________．

【解析】由等比数列的性质可知2

15243a a a a a ==，于是，由154a a =得32a =，

故1234532a a a a a =，则2122232425log +log +log +log +log =

a a a a a 2123452log ()log 325a a a a a ==．

2.(新课标全国Ⅱ，9)已知等比数列{a n }满足a 1＝1

4

，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝(

)

A.2

B.1

C.12

D.

1

8解析

由{a n }为等比数列，得a 3a 5＝a 24，所以a 2

4＝4(a 4－1)，解得a 4＝2，设等比数列{a n }的公

比为q ，则a 4＝a 1q 3，得2＝14q 3，解得q ＝2，所以a 2＝a 1q ＝1

2.选C.

答案

C

题型三等比数列综合应用

例４

(四川，16)设数列{a n }(n ＝1，2，3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，

a 3成等差数列.