人教版初中数学因式分解讲练(含答案)
2021初中数学八年级下册同步讲练第四章重点：因式分解类型题举例(解析版)
第四章 重点突破训练：因式分解类型题举例考点1：由因式分解的结果求参数典例：（2018·安徽初一期中）已知多项式kx 2-6xy -8y 2可写成（2mx +2y ）(x -4y )的形式，求k ，m 的值． 【答案】k =2，m =1．【解析】解：∵多项式kx 2-6xy -8y 2可写成（2mx +2y ）（x -4y ）的形式， ∴kx 2-6xy -8y 2=（2mx +2y ）（x -4y ）， =2mx 2-8mxy +2xy -8y 2， =2mx 2-（8m -2）xy -8y 2， ∴8m -2=6， 解得：m =1， 故k =2，m =1． 方法或规律点拨此题主要考查了多项式乘以多项式，正确得出m 的值是解题关键． 巩固练习1．（2020·福建宁德·初二期末）多项式x 2+mx ﹣21因式分解的结果为（x +3）（x ﹣7），则m 的值是（ ） A ．4 B ．﹣4 C ．10 D ．﹣10【答案】B【解析】解：∵多项式x 2+mx ﹣21因式分解的结果为（x +3）（x ﹣7）， ∴m ＝﹣7+3＝﹣4． 故选：B ．2．（2020·江苏相城·初一期末）若代数式x 2﹣mx+4因式分解的结果是（x+2）2，则m 的值是（ ） A ．﹣4 B ．4 C ．﹣2 D ．±4【答案】A【解析】解：因为（x+2）2＝x 2+4x+4， 所以m 的值为：﹣4． 故选：A ．3．（2020·贵州铜仁·初一期末）多项式26x mx ++可因式分解为()()23x x --，则m 的值为 （ ） A ．6 B ．5± C ．5 D ．5-【答案】D【解析】解：∵26x mx ++=()()23x x --=x 2-5x+6， ∴m=-5 故选D4．（2019·四川大邑·初二期末）已知多项式x 2+bx+c 分解因式为（x+3）（x ﹣1），则b 、c 的值为（ ）A ．b ＝3，c ＝﹣2B ．b ＝﹣2，c ＝3C ．b ＝2，c ＝﹣3D ．b ＝﹣3，c ＝﹣2【答案】C【解析】解：根据题意得：x 2+bx+c ＝(x+3)(x-1)＝x 2+2x-3， 则b ＝2，c ＝﹣3， 故选：C ．5．（2020·山东中区·济南外国语学校初二期中）已知多项式x 2+ax ﹣6因式分解的结果为（x +2）（x +b ），则a +b 的值为（ ） A ．﹣4 B ．﹣2C ．2D ．4【答案】A【解析】解：根据题意得：x 2+ax ﹣6＝（x +2）（x +b ）＝x 2+（b +2）x +2b ， ∴a ＝b +2，2b ＝﹣6， 解得：a ＝﹣1，b ＝﹣3， ∴a +b ＝﹣1﹣3＝﹣4， 故选：A ．6．（2020·江苏广陵·初一期中）若2(32)()2x x p mx nx ++=+-，则下列结论正确的是（ ） A ．6m = B ．1n =C ．2p =-D ．3mnp =【答案】B【解析】解：∵2(32)()2x x p mx nx ++=+-， ∴（3x+2）（x+p ）=3x 2+（3p+2）x+2p=mx 2-nx-2， ∴m=3，p=-1，3p+2=-n ， ∴n=1， 故选B.7．（2020·重庆南开中学期末）若2(2)()x x m x x n ++=-+，则m n +=__________． 【答案】-3【解析】解：∵x 2+x+m=（x-2）（x+n ）=x 2+（n-2）x-2n ， ∴n-2=1，m=-2n ， 解得n=3，m=-2×3=-6， ∴m+n=-6+3=-3． 故答案为-3．8．（2020·江苏南京·初一期中）若x 2＋ax ﹣2＝（x ﹣1）（x ＋2），则a ＝_____． 【答案】1【解析】由题意知，a ＝﹣1＋2＝1； 故答案是：1．9．（2020·黑龙江虎林·初二期末）多项式kx 2－9xy －10y 2可分解因式得(mx ＋2y )(3x －5y )，则k =_______，m =________．【答案】k=9 m=3【解析】解：∵kx 2-9xy-10y 2=（mx+2y ）（3x-5y ），∴kx 2-9xy-10y 2=3mx 2-5mxy+6xy-10y 2=3mx 2-（5mxy-6xy ）-10y 2，∴3,569,m k m =⎧⎨-=⎩ 解得：9,3.k m =⎧⎨=⎩ 故答案为：9，3．10．（2020·常德市淮阳中学初一期中）若多项式31x -可以因式分解成2(1)(1)x x ax -++，那么a =_____． 【答案】1【解析】解：()()()()23211111x x ax x a x a x -++=+-+--，即()()3321111x a x x x a -+-=+--，110a a ∴-=-=，解得：1a =． 故答案为：1．11．（2019·深圳市罗湖外语学校初中部初二期中）多项式25x ax ++因式分解得(5)()x x b ++，则a =_______，b =________． 【答案】6 1【解析】解：∵（x+5）（x+b ）=x 2+（b+5）x+5b ，∴x 2+ax+5=x 2+（b+5）x+5b ． ∴5{55b a b +==解得6{1a b == 故答案为：6；1．考点2：利用因式分解进行简便计算 典例：（2019·湖南邵东·初一期中）计算： ①2032﹣203×206+1032 ②20192﹣2018×2020． 【答案】①10000；②1．【解析】解：①原式＝2032﹣2×203×103+1032 ＝（203﹣103）2＝1002 ＝10000；②原式＝20192﹣（2019﹣1）×（2019+1） ＝20192﹣（20192﹣1） ＝20192﹣20192+1 ＝1．方法或规律点拨本题主要考查了平方差公式以及完全平方公式，熟记公式是解答本题的关键．平方差公式：()()22a b a b a b +-=-．完全平方公式：()2222a b a ab b ±=±+．巩固练习1．（2020·广西兴宾·初一期中）计算：2222211111(1)(1)(1)...(1)(1)56799100-⨯-⨯-⨯⨯-⨯-的结果是（ ） A ．101200B ．101125 C ．101100D ．1100【答案】B 【解析】解：原式=111111111111111111115566779999100100⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯⨯-⨯+⨯-⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=46576898100991015566779999100100⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ =41015100⨯ =101125． 故选：B ．2．（2020·全国初二课时练习）计算：1252-50×125+252=( ) A ．100 B ．150 C ．10000 D ．22500【答案】C【解析】1252﹣2×25×125＋252＝(125－25)2＝1002＝10000． 故选C ．3．（2020·全国初二课时练习）计算：752-252=（ ） A ．50 B ．500 C ．5000 D ．7100【答案】C【解析】原式=（75+25）×（75-25）=100×50=5000， 故选C ．4．（2020·河南初二期末）已知2021201920102010201020092011x -=⨯⨯，那么x 的值为（ ） A ．2018 B ．2019C ．2020D ．2021．【答案】B【解析】解：2021201920102010-()()()2019220192019220192019=201020102010=20102010120102010120101201020092011⨯-⨯-=⨯-⨯+=⨯⨯∴2019201020092011201020092011x ⨯⨯=⨯⨯ ∴x=2019 故选：B ．5．（2020·河北定兴·初一期末）利用因式分解计算2221000252248=-__________． 【答案】500【解析】解：()()222210001000100010005002522482522482522485004⨯===-+-⨯． 故答案为：500．6．（2020·江苏锡山·初一期末）计算：2222020200119=200119--⨯__．【答案】2【解析】2222020200119200119--⨯ 222(200119)200119200119+--=⨯ 22222001220011919200119200119+⨯⨯+--=⨯ 2200119200119⨯⨯=⨯2=．故答案为：2．7．（2020·辽宁省丹东市第二十一中学初二期中）计算2018×512﹣2018×492的结果是_____． 【答案】403600【解析】2018×512－2018×492 =2018×(512－492)=2018×(51+49) ×(51-49) =2018×100×2 =403600.故答案为：4036008．（2020·重庆沙坪坝·初三期末）计算：2222221098721-+-++-=…__________． 【答案】55【解析】2222221098721-+-++-…=()()()()()()10910987872121+-++-+++-… =19+15+11+7+3 =55故答案为：559．（2018·湖南靖州·初一期末）计算：6002-599×601=__________． 【答案】1【解析】解：2222600599601600(6001)(6001)60060011-⨯=--+=-+=．故答案为：1．10．（2019·四川恩阳·期末）用简便方法计算20082﹣4016×2007+20072的结果是_____． 【答案】1．【解析】20082﹣4016×2007+20072， ＝20082﹣2×2008×2007+20072， ＝（2008﹣2007）2， ＝1．11．（2019·河南遂平·初二期中）计算：2246.5293.0453.4853.48+⨯+=__________. 【答案】10000【解析】解：原式=()222246.52246.5253.4853.48=46.5253.48=100=10000+⨯⨯++故答案为：10000.12．（2020·沭阳县马厂实验学校初一期中）利用因式分解计算： （1）342+34×32+162 （2）38.92-2×38.9×48.9+48.92 【答案】（1）2500；（2）100．【解析】解：（1）342+34×32+162=342+2×34×16+162=(34+16)2=502=2500； （2）38.92-2×38.9×48.9+48.92=(38.9-48.9)2=(-10)2=100． 13．（2019·湖南芷江·初一期末）()1把328x x -分解因式．()2把()()2216282m n n m n n +-++分解因式．()3计算:222222221234562017201837114035----+++⋅⋅⋅+【答案】（1）2（x ＋2）（x −2）（2）（8m ＋3n ）2（3）−1009 【解析】（1）2x 3−8x ＝2（x 2−4） ＝2（x ＋2）（x −2）；（2）()()2216282m n n m n n +-++＝[4（2m ＋n ）-n]2＝（8m ＋3n ）2；（3）222222221234562017201837114035----+++⋅⋅⋅+＝(12)(12)(34)(34)(56)(56)(20172018)(20172018)37114035-+-+-+-++++⋅⋅⋅+ ＝1−2＋3−4＋5−6＋…＋2017−2018 ＝−1×1009 ＝−1009．考点3：利用十字相乘法进行因式分解 典例：（2019·河北涿鹿·期末）阅读与思考 x 2+（p+q ）x+pq 型式子的因式分解x 2+（p+q ）x+pq 型式子是数学学习中常见的一类多项式，如何将这种类型的式子分解因式呢？我们通过学习，利用多项式的乘法法则可知：（x+p ）（x+q ）＝x 2+（p+q ）x+pq ，因式分解是整式乘法相反方向的变形，利用这种关系可得x 2+（p+q ）x+pq ＝（x+p ）（x+q ）．利用这个结果可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，例如，将x 2﹣x ﹣6分解因式．这个式子的二次项系数是1，常数项﹣6＝2×（﹣3），一次项系数﹣1＝2+（﹣3），因此这是一个x 2+（p+q ）x+pq 型的式子．所以x 2﹣x ﹣6＝（x+2）（x ﹣3）．上述过程可用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，如图所示．这样我们也可以得到x 2﹣x ﹣6＝（x+2）（x ﹣3）．这种分解二次三项式的方法叫“十字相乘法”． 请同学们认真观察，分析理解后，解答下列问题： （1）分解因式：y 2﹣2y ﹣24．（2）若x 2+mx ﹣12（m 为常数）可分解为两个一次因式的积，请直接写出整数m 的所有可能值． 【答案】（1）（y+4）（y ﹣6）；（2）﹣1，1，﹣4，4，11，﹣11【解析】解：（1）y 2﹣2y ﹣24＝（y+4）（y ﹣6）； （2）若212(3)(4)x mx x x +-=-+ ，此时1m = 若212(3)(4)x mx x x +-=+- ，此时1m =- 若212(1)(12)x mx x x +-=-+ ，此时11m = 若212(1)(12)x mx x x +-=+- ，此时11m =- 若212(2)(6)x mx x x +-=-+ ，此时4m =212(2)(6)x mx x x +-=+- ，此时4m =-综上所述，若x 2+mx ﹣12（m 为常数）可分解为两个一次因式的积， m 的值可能是﹣1，1，﹣4，4，11，﹣11． 方法或规律点拨本题主要考查了十字相乘法分解因式，读懂题意，理解题中给出的例子是解题的关键. 巩固练习1．（2020·四川成都实外开学考试）计算结果为a 2﹣5a ﹣6的是（ ） A ．（a ﹣6）（a+1） B ．（a ﹣2）（a+3）C ．（a+6）（a ﹣1）D ．（a+2）（a ﹣3）【答案】A【解析】解：a 2﹣5a ﹣6＝（a ﹣6）（a+1）． 故选：A ．2．（2020·湖南鹤城·初一期末）将下列多项式因式分解，结果中不含有因式1a +的是（ ） A ．21a - B ．221a a ++C ．2a a +D ．22a a +-【答案】D【解析】解：21(1)(1)a a a -=+-，()2221=1a a a +++2(1)a a a a +=+，22(2)(1)a a a a +-=+-，∴结果中不含有因式1a +的是选项D ；故选：D ．3．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）已知()()245x x m x x n --=--，则m ，n 的值是（ ）A ．5m =，1n =B ．5m =-，1n =C ．5m =，1n =-D ．5m =-，1n =-【答案】C【解析】解：由x 2-4x-m=（x-5）（x-n ），得：-5-n=-4，（-5）（-n ）=-m 所以n=-1，m=5． 故选：C ．4．（2020·全国初二课时练习）下列各式中，计算结果是2718x x +-的是（ ） A ．(1)(18)x x -+ B ．(2)(9)x x ++C ．(3)(6)x x -+D ．(2)(9)x x -+【答案】D【解析】原式=（x －2）（x ＋9） 故选D.5．（2020·湖南茶陵·初一期末）分解因式x 2+3x +2的过程，可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如右图）．这样，我们可以得到x 2+3x +2＝（x +1）（x +2）．请利用这种方法，分解因式2x 2﹣3x ﹣2＝_____．【答案】（2x +1）（x ﹣2） 【解析】解：原式＝（2x +1）（x ﹣2）， 故答案为（2x +1）（x ﹣2）6．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）因式分解：2239x x -- 【答案】()()233x x +- 【解析】2239x x -- =()()233x x +-．7．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）()()22238316x xx x ---+【答案】()()2241x x -+【解析】原式()2234x x =--()()241x x =-+⎡⎤⎣⎦ ()()2241x x =-+8．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）因式分解：()()2550x y x y -+-- 【答案】()()105x y x y -+--【解析】()()2550x y x y -+-- =()()105x y x y -+--．9．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）32233672m n m n mn -- 【答案】()()364mn m n m n -+【解析】解：原式()223224mn m mn n =--()()364mn m n m n =-+．10．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）因式分解：26a a -- 【答案】()()32a a -+ 【解析】26a a -- =()()32a a -+．11．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）因式分解42241336x x y y -+ 【答案】()()()()2233x y x y x y x y +-+-【解析】解：42241336x x y y -+()()222249x yxy =--()()()()2233x y x y x y x y =+-+-12．（2019·湖南广益实验中学初二月考）阅读下面材料，解答后面的问题：“十字相乘法”能将二次三项式分解因式，对于形如22ax bxy cy ++的关于x ，y 的二次三项式来说，方法的关键是将2x 项系数a 分解成两个因数1a ，2a 的积，即12a a a =•，将2y 项系数c 分解成两个因式1c ，2c 的积，即12c c c =•，并使1221a c a c +正好等于xy 项的系数b ，那么可以直接写成结果：221221()()ax bxy cy a x c y a y c y ++=++例：分解因式：2228x xy y --解：如图1，其中111=⨯，8(4)2-=-⨯，而21(4)12-=⨯-+⨯ 所以2228(4)(2)x xy y x y x y --=-+而对于形如22ax bxy cy dx ey f +++++的关于x ，y 的二元二次式也可以用十字相乘法来分解．如图2．将a 分解成mn 乘积作为一列，c 分解成pq 乘积作为第二列，f 分解成fk 乘积作为第三列，如果mq np b +=，mk nj d +=，即第1、2列，第2、3列和第1、3列都满足十字相乘规则，则原式()()mx py f nx qy k =++++例：分解因式222332x xy y x y +-+++解：如图3，其中111=⨯，3(1)3-=-⨯，212=⨯ 而2131(1)=⨯+⨯-，1(1)231=-⨯+⨯，31211=⨯+⨯ 所以222332(1)(32)x xy y x y x y x y +-+++=-+++请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：（1）分解因式：①2263342x xy y -+= ． ②22261915x xy y x y --++-= ．（2）若关于x ，y 的二元二次式22718340x xy y x my +--+-可以分解成两个一次因式的积，求m 的值． 【答案】（1）(27y)(36)x x y --；(235)(23)x y x y +--+；（2）61或-82． 【解析】解：（1）①如下图，其中623,427(6),332(6)3(7)=⨯=-⨯--=⨯-+⨯-， 所以，2263342(27)(36)x xy y x y x y -+=--；②如下图，其中221,63(2),1553=⨯-=⨯--=-⨯，而12213,1933(5)(2),123(5)1-=-⨯+⨯=⨯+-⨯-=⨯+-⨯， 所以，22261915(235)(23)x xy y x y x y x y --++-=+--+；（2）如下图，其中111,189(2),4058=⨯-=⨯--=-⨯， 而72119,315(8)1,=-⨯+⨯-=⨯+-⨯95(8)(2)61m =⨯+-⨯-=或9(8)(2)582m =⨯-+-⨯=-，∴若关于x ，y 的二元二次式22718340x xy y x my +--+-可以分解成两个一次因式的积，m 的值为61或-82．13．（2020·全国初二课时练习）运用十字相乘法分解因式：（1）232x x --； （2）210218x x ++； （3）22121115x xy y --； （4）2()3()10x y x y +-+-．【答案】（1）(32)(1)x x +-；（2）(21)(58)x x ++；（3）(35)(43)x y x y -+；（4）(5)(2)x y x y +-++． 【解析】（1）232(32)(1)x x x x --=+-． （2）210218(21)(58)x x x x ++=++． （3）22121115(35)(43)x xy y x y x y --=-+．（4）2()3()10[()5][()2](5)(2)x y x y x y x y x y x y +-+-=+-++=+-++． 考点4：利用分组分解法进行因式分解典例：（2020·全国初二课时练习）将下列各式因式分解： （1）421x x ++；（2）22268x x y y +-+-．【答案】（1）()()2211x x x x ++-+；（2）(2)(4)x y x y +--+．【解析】解：（1）原式42221x x x =++-()2221x x =+-()()2211x x x x =++-+；（2）原式222169x x y y =++-+-()()222169x x y y =++--+ ()()2213x y =+--()()1313x y x y =++-+-+ ()()24x y x y =+--+．方法或规律点拨本题考查了多项式的因式分解，正确变形、熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． 巩固练习1．（2019·河南太康·期中）已知a ＝2019x+2016，b ＝2019x+2017，c ＝2019x+2018，则多项式a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣bc ﹣ac 的值为_____． 【答案】3【解析】解：∵a=2019x+2016，b=2019x+2017，c=2019x+2018， ∴a-b=-1，a-c=-2，b-c=-1， ∴a 2+b 2+c 2-ab-bc-ac=2222222222a b c ab bc ac ++---=222()()()2a b a c b c -+-+-=222(1)(2)(1)2-+-+-=3，故答案为：3．2．（2020·全国初二课时练习）分解因式：2224a ab b ++-=__________. 【答案】(2)(2)a b a b +++- 【解析】解：原式=（a+b ）2-22 =（a+b+2）（a+b-2），故答案为：（a+b+2）（a+b-2）．3．（2020·全国初二课时练习）分解因式：2222b c bc a ++-=_______． 【答案】()()b c a b c a +++-【解析】解：原式22()()()b c a b c a b c a =+-=+++-． 故答案为：()()b c a b c a +++-4．（2020·湖南天元·建宁实验中学初一开学考试）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如22424x y x y --+，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了。
九年级上第02讲 一元二次方程的解法(公式法、因式分解法)讲义+练习
因式分解法解一元二次方程.
【知识导图】
1、观察一元二次方程 ，结合我们上节课学的知识解此方程.
2、思考这个一元二次方程还有没有其它的解法？
3、今天我们学习一元二次方程另外的解法：公式法、因式分解法.
1、形成表象,提出问题
用配方法解下列一元二次方程:
(1)x2+4x+2=0 ; (2)3x2-6x+1=0;
∴把m=1代入方程mx2﹣3mx+m﹣1=0得：x2﹣3x+1﹣1=0，
x2﹣3x=0，
x（x﹣3）=0，
x1=0，x2=3；
把m=﹣1代入方程mx2﹣3mx+m﹣1=0得：﹣x2+3x﹣2=0，
x2﹣3x+2=0，
（x﹣1）（x﹣2）=0，
x1=1，x2=2；
（3）|m|≤2不成立，理由是：
由（1）知：k≥﹣1且k≠1且k≠2，
一元二次方程的解法
（配方法和因式分解法）
适用学科
初中数学
适用年级
初三
适用区域
人教版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
1、根的判别式；
2、公式法解一元二次方程；
3、因式分解法解方程.
教学目标
1、掌握公式法解一元二次方程的方法.
2、掌握应用因式分解法解某些系数较为特殊的一元二次方程的方法．
教学重点
能根据题目的要求及特点用恰当的方法求解方程.
我们仍以方程x2=4为例．
移项，得x2-4=0，
对x2-4分解因式，得(x+2)(x-2)=0．
我们知道：
∴x+2=0，x-2=0．
即x1=-2，x2=2．
人教版初中数学因式分解经典测试题及答案
一、选择题
1．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A．m（a+b）＝ma+mb B．a2+4a﹣21＝a（a+4）﹣21 C．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1） D．x2+16﹣y2＝（x+y）（x﹣y）+16 【答案】C 【解析】 【分析】 根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【详解】 A、是整式的乘法，故 A 不符合题意； B、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故 B 不符合题意； C、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故 C 符合题意； D、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故 D 不符合题意； 故选 C． 【点睛】 本题考查了因式分解的意义，判断因式分解的标准是把一个多项式转化成几个整式积的形 式．
D、是因式分解，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
此题考查因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解题的关键，注意：把一个多
项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
14．下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是( ) A．x2﹣16+6x=(x+4)(x﹣4)+6x B．10x2﹣5x=5x(2x﹣1) C．a2﹣b2﹣c2=(a﹣b)(a+b)﹣c2 D．a(m+n)=am+an 【答案】B 【解析】 【分析】 根据因式分解的定义逐个进行判断即可. 【详解】
11．若△ABC 三边分别是 a、b、c，且满足（b﹣c）（a2＋b2）＝bc2﹣c3 ， 则△ABC 是
（）
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等腰或直角三角形
因式分解例题(附答案)(汇总)
因式分解例题讲解及练习【例题精选】：〔1〕5x2y 15x3y2 20x2 y3 评析：先查各项系数〔其它字母暂时不看〕，确定5，15，20 的最大公因数是5,确定系数是5 ,再查各项是否都有字母X,各项都有时，再确定X的最低次幕是几，至此确认提取X，同法确定提Y,最后确定提公因式5乂丫。
提取公因式后，再算出括号内各项。
解：5x2y 15x3y2 20x2 y35x2 y(1 3xy 4y2)=〔2〕3x2 y 12x2 yz 9x3y2 评析：多项式的第一项系数为负数,应先提出负号,各项系数的最大公因数为3,且一样字母最低次的项是X2Y2 23 2解: 3x2 y 12x2 yz 9x3y2(9x3y2 12x2yz 3x2y)=3(3x3y2 4x2yz x2y)=23x2 y(3xy 42 1)=〔3〕(y-x)(c-b-a)-(x-y)(2a+b-c)-(x-y)(b-2a) 评析：在此题中, y-x 和x-y 都可以做为公因式,但应防止负号过多的情况出现,所以应提取y-x 解：原式=(y-x)(c-b-a)+(y-x)(2a+b-c)+(y-x)(b-2a) =(y-x)(c-b-a+2a+b-c+b-2a) =(y-x)(b-a)3 4 3(4)〔4〕把32x y 2x分解因式评析：这个多项式有公因式2x3，应先提取公因式，剩余的多项式16y4-1 具备平方差公式的形式解：32x3y4 2x3=2x3(16y4 1)=2x3(4y2 1)(4y2 1) =2x3(2y 1)(2y 1)(4y2 1)7 2 8(5)〔5〕把xy xy分解因式评析：首先提取公因式xy2，剩下的多项式x6-y6可以看作3 2 3 2(x ) (y )用平方差公式分解，最后再运用立方和立方差公式分解。
对于x6-y6也可以变成(x2)3(y2)3先运用立方差公式分解，但比较麻烦。
72 8解：x7y2 xy82 6 6 23 2 3 2 2 3 3 3 3=xy (x -y )= xy [ (x ) (y ) ]= xy (x y )(x y )= xy2(x y)(x2 xy y2)(x y)(x2 xy y2)2 2〔6〕把(x y) 12(x y)z 36z 分解因式评析：把(x+y)看作一个整体，那么这个多项式相当于(x+y)的二次三项式，并且为降幕排列，适合完全平方公式。
【精品讲义】人教版 八年级上册数学 乘法公式与因数分解 知识点讲解+练习题
讲 义(a+b)(a-b)=a 2-b 2 (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2 归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：① 位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y 2② 符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2 ③ 指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4④ 系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2 ⑤ 换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]=(xy )2-(z +m )2=x 2y 2-(z +m )(z +m )=x 2y 2-(z 2+zm +zm +m 2)=x 2y 2-z 2-2zm -m 2⑥ 连用公式变化，(x +y )(x -y )(x 2+y 2)=(x 2-y 2)(x 2+y 2)=x 4-y 4 1、计算下列各式：(1)[(x ＋y)3]4 ； (2) (a 4n )n －1 ；(3) (－a 3)2＋(－a 2)3－(－a 2)·(－a)4 ；(4) x 3·x 2·x 4＋(－x 4)2＋4(－x 2)4例. 计算：()()53532222x y x y +-(二)、连用:连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。
例. 计算：()()()()111124-+++a a a a例. 计算：()()57857822a b c a b c +---+例.（1）已知a b ab -==45，，求a b 22+的值。
(2) 已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。
(3) 已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。
(4) 已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。
求x 2-z 2的值。
例：计算19992-2000×1998 例.已知13x x-=，求441x x +的值。
因式分解技巧及练习题附答案解析
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，根据因式分解的定义，即可得到本题的答案．
【详解】
A．属于整式的乘法运算，不合题意；
B．符合因式分解的定义，符合题意；
C．右边不是乘积的形式，不合题意；
D．右边不是几个整式的积的形式，不合题意；
15．下面的多项式中，能因式分解的是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
完全平方公式的考察，
【详解】
A、C、D都无法进行因式分解
B中， ，可进行因式分解
故选：B
【点睛】
本题考查了公式法因式分解，常见的乘法公式有：平方差公式：
完全平方公式：
16．若多项式 含有因式 和 ，则 的值为（）
【详解】
解： ；
故选：A.
【点睛】
本题考查了利用提取公因式和平方差公式进行因式分解，熟练掌握是解题的关键.
9．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．8x2y3＝2x2⋅4y3B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1
C．3x﹣3y﹣1＝3（x﹣y）﹣1D．x2﹣8x+16＝（x﹣4）2
【答案】D
C．x2-4x+3=(x-2)2-1D．a2-b2=(a+b)(a-b)
【答案】D
【解析】
【分析】
把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解(也叫作分解因式).分解因式与整式乘法为相反变形.
【详解】
解：A.不是因式分解，而是整式的运算
B.不是因式分解，等式左边的x是取任意实数，而等式右边的x≠0
第2讲 整式及因式分解(精练)(解析版)
第2讲整式及因式分解(精练)(解析版)A基础训练B能力提升A基础训练一、单选题1.(2022•山东枣庄•中考真题)下列运算正确的是()A. 3屋一次=3 B. a3-ra2=a C. ( - 3ab2) 2= - 6a2h4 D. (a+h) 2=a2+ab+b2【答案】B【详解】A、3/-。
2=2〃2,故A错误，不符合题意；B、a3-ra2=ch故B正确，符合题意；C、( - 3ab2) 2 = 9612b4,故c错误，不符合题意；D、(6f+Z?) 2 = a2+2ah+h29故D不正确，不符合题意；故选：B.2.(2022•江苏泰州,中考真题)下列计算正确的是()A. 3ab + 2ab = 5ab B. 5y2 -2y2 = 3C. 7a + a = 7。
2D. /rTn — Imn2 = —mn2【答案】A【详解】解：A、3ab+lab - 5ab,故选项正确，符合题意；B、5/-2/=3/,故选项错误，不符合题意；C、Ja + a = Sa,故选项错误，不符合题意；D、和22不是同类项，不能合并，故选项错误，不符合题意；故选：A.3.(2022•广西河池・中考真题)多项式/一以+ 4因式分解的结果是()A. x (% - 4) +4 B. (x+2) (x- 2) C. (x+2) 2D. (%- 2) 2【答案】D【详解】解：d-4x+4 = (%-2)2.故选：D.4.(2022・湖南永州•中考真题)下列因式分解正确的是()A. 6+冲= i(x+y) + lB. 3Q +3Z?=3(Q+Z7)C. Q?+4Q +4=S+4『D. a2 -^b = a(a+b)【答案】B【详解】解：A、ax+ay=a(x+y),故选项计算错误;B、3a+3b=3(a+b)9选项计算正确;C> (a+b)2=a2^2ab+b2,故原选项错误；D、由A项解答可得a2-9b2=(a+3b)(a-3b),故原选项正确；故选D.2.(2022,江苏・顾山中学九年级阶段练习)直角三角形两直角边是方程％2一8%+ 14 = 0的两根，则它的斜边为()A. 8B. 7C. 6D. 2、/7【答案】C【详解】解：设直角三角形的斜边为J两直角边分别为〃与b,・・・直角三角形两直角边是方程8x + 14 = 0的两根，:,a + b = S,勿? = 14,根据勾股定理可得：=/+/=(〃 +与2—2^ = 64-28 = 36,• • c = 6 ♦故选：C.3.(2022・全国•七年级课时练习)若4 = /—2xy, 3 = J孙+ /，则A-23为()A. 3x2-2y2 -5xy^B. x2-2y2 -3xyC. —5xy — 2 y ~D . 3x~ + 2y~【答案】B【详解】解：A = £-2盯，8 = J孙+ y2,A — 2B = x~-2xy _ 2 _xy+y~] = x2 _2xy _ xy _ 2^~ =—2y——3xy ,故选：B.4.(2022 ・全国•八年级课时练习)对于多项式(1) d-y2；(2)-x2-y2； (3) 4x2-y ； (4)—4 + d中，能用平方差公式分解的是()A. (1) (2) B. (1) (3) C. (1) (4)D. (2) (4)【答案】C【详解】解：・・・平方差公式必须只有两项，并且是两个数平方差的形式，(1)—— y2两平方项符号相反，可以利用平方差公式；(2)-%2 - ,两平方项符号相同，不能运用平方差公式；(3)4/—y虽然是两项，并且是差的形式，但不是平方差的形式；(4)-4 + X2,两平方项符号相反，可以利用平方差公式.所以(1) (4)能用平方差公式分解.故选：C.5.(2022•辽宁•沈阳市南昌初级中学(沈阳市第二十三中学)八年级期中)小军是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：％-V, a—b, c , /_)/,《J工+了，分别对应下列六个字：抗，胜，必、，利，我，疫.现将y2户阳/_力因式分解，结果呈现的密码信息可能是() A.抗疫胜利B.抗疫必胜C.我必胜利D.我必抗疫【答案】B【详解】解：原式=(/一》2)(女—秘) = C(Q_〃)(X+・・・x-y, a-b,c, /_y2, 0 ,x+y,分别对应下列六个字：抗，胜，必，利，我，疫. 对应抗，x+y对应疫，。
课件05因式分解法-2023-2024学年九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练(人教版)
试一试 解方程：x2+6x-7=0.
x2 6x 7 (x 7)(x 1)
x
7
7
或
x 1
1
x7x 6x
解：因式分解得 (x+7)(x−1)=0.
∴x+7=0,或x−1=0. ∴x1=−7,x2=1.
步骤： ①竖分二次Biblioteka 与常数项②交叉相乘，和相加
③检验确定，横写因式
简记口诀： 竖分常数交叉验， 横写因式不能乱。
2a
2 4.9
x1
100 49
，
x2
0.
分别用配方法、公式法和因式分解法解方程 10x-4.9x2=0 .
因式分解法：
解： 10x-4.9x2=0
x(10-4.9x) =0
x =0 或 10-4.9x=0
x1 0,
x2
100 . 49
例 3.用适当的方法解方程：
(1) 3x(x + 5)= 5(x + 5)；
A．x1＝1，x2＝－1 B．x1＝x2＝1
C．x1＝x2＝－1
D．x1＝－1，x2＝2
4. 用适当方法解下列方程：
（1）(2x+3)2-25=0;
（2）x2+5x+7=3x+11；
解：化简，得 4x2+12x+9-25=0 x2+3x-4=0 分解因式，得
解：化简，得 x2+2x=4 x2+2x+1=5 (x+1)2=5
(1) x1=0，x2=2； (2) y1=−2，y2=3 ； (3) x1=−2，x2=2； (4) x1=0，x2=1.
2．【中考·河南】方程(x－2)(x＋3)＝0的解是( D )
第04讲 解一元二次方程——因式分解法与换元法(解析版)-2024学年九年级数学上册学与练(人教版)
第04讲解一元二次方程——因式分解法与换元法课程标准学习目标①复习巩固因式分解的方法②利用因式分解法解一元二次方程③整体法或换元法解一元二次方程 1.复习巩固熟练掌握因式分解的几种方法。
2.学会利用因式分解解一元二次方程。
3.学会并掌握整体法或换元法解一元二次方程。
知识点01因式分解的方法1.因式分解的方法：①提公因式法：=++cm bm am ()c b a m ++；②公式法：平方差公式：=-22b a ()()b a b a -+；完全平方公式：=+±222b ab a ()2b a ±；③十字相乘法：分解c bx x ++2，若mn c =且b n m =+，则=++c bx x 2()()n x m x ++。
题型考点：①对因式分解进行熟练应用。
【即学即练1】1．把下列各式因式分解：（1）2a 2﹣4a ；（2）（a 2+9）2﹣36a 2；（3）x 2+2x ﹣15．【解答】解：（1）2a 2﹣4a＝2a （a ﹣2）；（2）（a 2+9）2﹣36a 2；＝（a 2+9+6a ）（a 2+9﹣6a ）＝（a +3）2（a ﹣3）2；（3）x 2+2x ﹣15＝（x +5）（x ﹣3）．知识点02利用因式分解法解一元二次方程1.因式分解法解一元二次方程的基本步骤：①将一元二次方程的右边全部移到左边，使其右边为0。
②对方程的左边进行因式分解，使其成为两个整式的积的形式。
③别分令两个整式为0，得到两个一元一次方程。
④解这两个一元一次方程，一元一次方程的解合起来就是一元二次方程的解。
题型考点：①根据求根公式确定c b a ，，的值。
②利用公式法解一元二次方程。
【即学即练1】2．一元二次方程（x ﹣5）2＝4（x ﹣5）的解为（）A ．x ＝5B ．x ＝﹣5C ．x 1＝5x 2＝9D ．x 1＝5x 2＝1【解答】解：（x ﹣5）2＝4（x ﹣5），（x ﹣5）2﹣4（x ﹣5）＝0，（x ﹣5）（x ﹣5﹣4）＝0，x ﹣5＝0或x ﹣5﹣4＝0，所以x 1＝5，x 2＝9．故选：C ．【即学即练2】3．方程x 2﹣3x ﹣18＝0的根是（）A ．x 1＝3，x 2＝6B ．x 1＝﹣3，x 2＝6C ．x 1＝3，x 2＝﹣6D ．x 1＝﹣3，x 2＝﹣6【解答】解：x 2﹣3x ﹣18＝0，（x +3）（x ﹣6）＝0解得：x 1＝﹣3，x 2＝6．故选：B ．【即学即练3】4．解方程（3x ﹣4）2﹣（4x +1）2＝0．【解答】解：（3x ﹣4）2﹣（4x +1）2＝0，∴，x 2＝﹣5．知识点03整体法或换元法解一元二次方程1.整体法或换元法：在解一元二次方程时，有时候会把含有未知数的一个式子看作一个整体，然后用一个简单的字母表示，起达到方程简化的目的，在解其方程的方法叫做整体法或换元法。
因式分解含答案
因式分解运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例1 分解因式：(1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4； (2)x3-8y3-z3-6xyz；解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2ny2+y4)=-2x n-1y n[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2]=-2x n-1y n(x2n-y2)2=-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2．(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．分析我们已经知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性，现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc=［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c)=(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为a3+b3+c3-3abc显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．※※变式练习1分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式a n-b n来分解．解因为x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)，所以说明在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例3 分解因式：x3-9x+8．分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法1 将常数项8拆成-1+9．原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8)．解法4 添加两项-x2+x2．原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．※※变式练习1分解因式：(1)x9+x6+x3-3；(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；(4)a3b-ab3+a2+b2+1．解 (1)将-3拆成-1-1-1．原式=x9+x6+x3-1-1-1=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．(2)将4mn拆成2mn+2mn．原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2．原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4=［(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2=［(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)．(4)添加两项+ab-ab．原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b2+1)=[a(a-b)+1](ab+b2+1)=(a2-ab+1)(b2+ab+1)．说明 (4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例4 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．解设x2+x=y，则原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5)．说明本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．例5 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90．令y=2x2+5x+2，则原式=y(y+1)-90=y2+y-90=(y+10)(y-9)=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)．说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．※※变式练习1.分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．解设x2+4x+8=y，则原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(x2+6x+8)(x2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．1．双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可以看作是关于x的二次三项式．对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即：-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以，原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］=(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：它表示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．这就是所谓的双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．例1 分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；(2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．解 (1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．(2)原式=(x+y+1)(x-y+4)．(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．原式=(y+1)(x+y-2)．(4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．说明 (4)中有三个字母，解法仍与前面的类似．2．求根法我们把形如an x n+an-1x n-1+…+a1x+a(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)f(1)=12-3×1+2=0；f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x) 要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．定理2的根，则必有p是a0的约数，q是an的约数．特别地，当a=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为an的约数．我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．例2 分解因式：x3-4x2+6x-4．分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，±4，只有f(2)=23-4×22+6×2-4=0，即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2．解法1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2)．原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2)．解法2 用多项式除法，将原式除以(x-2)，所以原式=(x-2)(x2-2x+2)．说明在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．※※变式练习1. 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．分析因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，±为：所以，原式有因式9x2-3x-2．解 9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)说明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式可以化为9x2-3x-2，这样可以简化分解过程．总之，对一元高次多项式f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(x)进行分解了．3．待定系数法待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．例3 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．分析由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x＋y＋n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决．解设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，比较两边对应项的系数，则有解之得m=3，n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)．说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．※※变式练习1.分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式．解设原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，所以有由bd=7，先考虑b=1，d=7有所以原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．四、巩固练习：1. 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)．分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．解原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]．令x+y=u，xy=v，则原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)=u4-6u2v+9v2=(u2-3v)2=(x2+2xy+y2-3xy)2=(x2-xy+y2)2．五、真题精解：1）已知多项式ax3+bx2+cx+d除以x-1时的余数是1，除以x-2时的余数是3，那么，它除以(x-1)(x-2)时所得的余数是什么（第12届“希望杯”试题）解：设原式=(x-1)(x-2)(ax+k)+(mx+n)，当x=1时，原式=1，即m+n=1；当x=2时，原式=3，即2m+n=3，解此关于m、n的方程组得m=2,n=-1，故原式除以(x-1)(x-2)时的余数为x-12）k为何值时，多项式x2-2xy+ky2+3x-5y+2能分解成两个一次因式的积（天津市竞赛试题）解：原式中不含y的项为x2+3x+2可分解为(x+1)(x+2)，故可设原式=[(x+1)+ay][(x+2)+by]，将其展开得：x2+(a+b)xy+aby2+3x+(2a+b)y+2，与原式对比系数得：a+b=-2, ab=k, 2a+b=-5，解之得a=-3,b=1,k=-3 3）如果x3+ax2+bx+8有两个因式x+1和x+2，求a+b的值。
初中数学经典课件：因式分解(人教版)
a b2 a2 2ab b2 a b2 a2 2ab b2
a b2 a2 2ab b2
计 算
x 44 x _x_2__8_x__1_6__
： 7 b2 _b_2__1_4b___49__
m 99 m __m_2__1_8_m__8_1_
这两个数的积的两倍，等于这两个 数的和（或差）的平方。
牛刀小试(对下列各式因式分解)： ① a2+6a+9 = _______(a_+__3_)2______ ② n2–10n+25 = _____(n__–_5_)2______ ③ 4t2–8t+4 = _______4_(_t–_1_)_2_____ ④ 4x2–12xy+9y2 = ___(2_x_–_3_y_)_2____
② – 4x2 + y2 = y2 – 4x2 = (y+2x)(y–2x) = – ( 4x2 – y2 ) = – (2x+y)(2x–y)
③ x4 – 1 = (x2)2 – 12 = (x2+1) (x22+–11))(x–1)
因式分解一定要分解彻底 !
④ x2 – x6
④ x2 – x6
既然是二次式，就可以写成(ax+b)(cx+d)的形式。 (ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd
所以，需要将二次项系数与常数项分别拆成两 个数的积，而这四个数中，两个数的积与另外两 个数的积之和刚好等于一次项系数，那么因式分 解就成功了。
6 x2 + 7 x + 2
2
1
3
2 ∴6x2+7x+2=(2x+1)(3x+2)
14.3因式分解(4)——+十字相乘法讲练课件+2023-2024学年人教版八年级数学上册
(3)若x2＋px＋6可分解为两个一次二项式的积，则整数p的所有可能值 为 ±7，±5 ．
设将相同的个位数字设为m，十位数字分别为p，q，且p＋q＝10. ∴两个两位数分别表示为(10p＋m)，(10q＋m)． ∴它们的乘积为(10p＋m)(10q＋m) ＝100pq＋10pm＋10qm＋m2 ＝100pq＋10m(p＋q)＋m2 ＝100pq＋100m＋m2＝100(pq＋m)＋m2.
5.＝－3(x2－xy－2y2) ＝－3(x＋y)(x－2y)．
基础巩固
1．分解因式： (1)x2＋7x＋12; (2)x2＋6x－7. (1)解：原式＝(x＋3)(x＋4)． (2)解：原式＝(x＋7)(x－1)．
2．分解因式： (1)x2－5x＋6; (2)x2－6x－27. (1)解：原式＝(x－2)(x－3)． (2)解：原式＝(x－9)(x＋3)．
(3)x2－15x＋14； 解：原式＝(x－14)(x－1)． (4)x2－2x－8. 解：原式＝(x－4)(x＋2)．
4．分解因式： (1)3x2－7x－6； 解：原式＝(3x＋2)(x－3)． (2)4x2－5xy＋y2. 解：原式＝(4x－y)(x－y)．
5．如果二次三项式x2＋ax＋2可分解为(x－1)·(x＋b)，那么a＋b的值 为 －5 ．
5．分解因式： (1)2x2＋x－3; (2)2x2－7x＋3. (1)解：原式＝(2x＋3)(x－1)． (2)解：原式＝(2x－1)(x－3)．
初中数学新人教版因式分解法解一元二次方程练习题及答案
初中数学新人教版因式分解法解一元二次方程练习题及答案1．选择题方程＝0的根是A．x1＝－16，x2＝B．x1＝16，x2＝－C．x1＝16，x2＝D．x1＝－16，x2＝－8222下列方程4x－3x－1＝0，5x－7x＋2＝0，13x－15x ＋2＝0中，有一个公共解是1 B．x＝C．x＝1D．x＝－1方程5x＝3解为3333A．x1＝，x2＝B．x＝ C．x1＝－，x2＝－ D．x1＝，x2＝－5555方程＝1的根为A．y1＝5，y2＝－2B．y＝ C．y＝－2D．以上答案都不对22方程－4＝0的根为A．x1＝1，x2＝－B．x1＝－1，x2＝－C．x1＝1，x2＝D．x1＝－1，x2＝522一元二次方程x＋5x＝0的较大的一个根设为m，x －3x＋2＝0较小的根设为n，则m＋n的值为 A．x＝A．1 B． C．－4D．42已知三角形两边长为4和7，第三边的长是方程x－16x＋55＝0的一个根，则第三边长是A．5B．5或11C． D．112．填空题方程t＝28的解为_______．2方程＋3＝0的解为__________．2方程＋3＋2＝0的解为__________．2关于x的方程x＋x＋mn＝0的解为__________．方程x＝－x的解为__________．3．用因式分解法解下列方程：222x＋12x＝0；4x－1＝0； x＝7x；2x－4x－21＝0；＝12； 3x＋2x－1＝0；2210x－x－3＝0；－4－21＝0．4．用适当方法解下列方程：222x－4x＋3＝0；＝256； x－3x＋1＝0；2222x－2x－3＝0；＝3；＋y＝9；22x－8x＝7；－2－8＝0．5．解关于x的方程：2222x－4ax＋3a＝1－2a； x＋5x＋k＝2kx＋5k＋6； 2222x－2mx－8m＝0； x＋x＋m＋m＝0．2222226．已知－12＝0．求x＋y的值．7．解方程：x＝864．228．已知x＋3x＋5的值为9，试求3x＋9x－2的值．9．一跳水运动员从10米高台上跳水，他跳下的高度h与所用的时间t的关系式h＝－5．求运动员起跳到入水所用的时间．10．解方程22242－5＋4＝0x－3x－4＝0．初中数学用因式分解法解一元二次方程一．选择题1．用因式分解法解一元二次方程x﹣2=0，正222222二．填空题8．一元二次方程3x2﹣4x﹣2=0的解是．9．一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的解是．10．一元二次方程2﹣36=0的解是．三．解答题11．用指定的方法解下列一元二次方程：2x2﹣4x+1=0；3x=2﹣2x；x2﹣x﹣3=0．第1页12．用因式分解法解下列关于x的一元二次方程．22x+x﹣kx=0222x﹣2mx+m﹣n=0．13．计算：；我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法，开平方法，配方法和公式法．请从以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当的方法解这个方程．①x﹣3x+1=0；②=3；③x﹣3x=0；④x﹣2x=4．14．用因式分解法解下列一元二次方程：25x=x24﹣=022==．15．因式分解法解方程：3x﹣12x=﹣12．16．用因式分解法解方程：x﹣9x+18=0．第2页2222222217．用因式分解法解方程：12x+x﹣6=0．18．用因式分解法解方程：3=219．用因式分解法解方程=520．因式分解法解一元二次方程．+1﹣=．22第3页初中数学用因式分解法解一元二次方程参考答案与试题解析一．选择题1．用因式分解法解一元二次方程x﹣2=0，正22第4页2222第5页因式分解法解一元二次方程练习题1．选择题方程＝0的根是A．x1＝－16，x2＝B．x1＝16，x2＝－C．x1＝16，x2＝D．x1＝－16，x2＝－8222下列方程4x－3x－1＝0，5x－7x＋2＝0，13x－15x ＋2＝0中，有一个公共解是1 B．x＝C．x＝1D．x＝－1方程5x＝3解为3333A．x1＝，x2＝B．x＝ C．x1＝－，x2＝－ D．x1＝，x2＝－5555方程＝1的根为A．y1＝5，y2＝－2B．y＝ C．y＝－2D．以上答案都不对22方程－4＝0的根为A．x1＝1，x2＝－B．x1＝－1，x2＝－C．x1＝1，x2＝D．x1＝－1，x2＝522一元二次方程x＋5x＝0的较大的一个根设为m，x －3x＋2＝0较小的根设为n，则m＋n的值为A．1 B． C．－4D．42已知三角形两边长为4和7，第三边的长是方程x－16x＋55＝0的一个根，则第三边长是A．5B．5或11C． D．112方程x－3|x－1|＝1的不同解的个数是A．0 B．1 C．D．32．填空题方程t＝28的解为_______．2方程＋3＝0的解为__________．2方程＋3＋2＝0的解为__________．2关于x的方程x＋x＋mn＝0的解为__________． A．x ＝方程x＝－x的解为__________．3．用因式分解法解下列方程：2222x＋12x＝0； 4x－1＝0； x＝7x； x－4x－21＝0；222＝12； 3x＋2x－1＝0；10x－x－3＝0；－4－21＝0．4．用适当方法解下列方程：2222x－4x＋3＝0；＝256； x－3x＋1＝0； x－2x －3＝0；222＝3；＋y＝9；x－x＝0； x－x＋＝0；222x－8x＝7；－2－8＝0．25．解关于x的方程：2222x－4ax＋3a＝1－2a； x＋5x＋k＝2kx＋5k＋6； 2222x－2mx－8m＝0； x＋x＋m＋m＝0．x?y226．已知x＋3xy－4y＝0，试求的值． x?y2222227．已知－12＝0．求x＋y的值．8．请你用三种方法解方程：x＝864．229．已知x＋3x＋5的值为9，试求3x＋9x－2的值． 10．一跳水运动员从10米高台上跳水，他跳下的高度h与所用的时间t的关系式h＝－5．求运动员起跳到入水所用的时间．222222211．为解方程－5＋4＝0，我们可以将x－1视为一个整体，然后设x－1＝y，则y＝，原方程化为y－5y ＋4＝0，解此方程，得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，x－1＝1，x＝2，∴x＝±2．当y＝4时，x－1＝4，x＝5，∴x＝±．∴原方程的解为x1＝－2，x2＝2，x3＝－5，x4＝5．以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想．42运用上述方法解方程：x－3x－4＝0．2既然可以将x－1看作一个整体，你能直接运用因式分解法解这个方程吗？222。
14.3因式分解(3)——公式法(完全平方公式)讲练课件-2023-2024学年人教版八年级数学上册
；
；
(2b－a)2
(3x＋2)2
；
－(a＋b)2
．
2．填空：
(1)若x2＋8x＋k是完全平方式，则k＝
16
；
(2)若x2＋kx＋4是完全平方式，则k＝
±4
.
3．分解因式：
(1)1＋10t＋25t2;
2
(2)y －y＋ .
(1)解：原式＝12＋2·1·5t＋(5t)2
＝(1＋5t)2.
2
(2)解：原式＝4a(x2＋2xy＋y2)
＝4a(x＋y)2.
4.分解因式：
(1)2x3＋4x2＋2x； (2)－4x3＋4x2y－xy2.
(1)解：原式＝2x(x2＋2x＋1)
＝2x(x＋1)2.
(2)解：原式＝－x(4x2－4xy＋y2)
＝－x[(2x)2－2·2x·y＋y2]
＝－x(2x－y)2.
(1)解：原式＝(x2)2－2·x2·4y2＋(4y2)2
＝(x2－4y2)2＝(x＋2y)2(x－2y)2.
(2)(x2－2x)2＋2(x2－2x)＋1.
(2)解：原式＝(x2－2x＋1)2
＝(x－1)4.
运用因式分解进行简便运算
例5 利用因式分解计算：342＋34×32＋162.
解：原式＝342＋2×34×16＋162
方公式分解因式的有(
A．1个
C )
B．2个
C．3个
D．4个
4．分解因式：
(1)x2－2xy＋y2＝
(2)4a2＋4ab＋b2＝
(x－y)2
(2a＋b)2
；
．
5．若4x2－(k－1)x＋9能用完全平方公式因式分解，则k的值为
第2讲因式分解配套练习及答案(训练篇)-2020年数学初高中衔接讲与练
第2讲 因式分解练习（A ）一．选择题：1. 下列各式从左到右的变形中，是正确的因式分解的是 （ ）2222)()(b ab a b a A +-=- )11()(22mm m m B -=- 4)3(43)(2--=--a a a a C )13(3393)(223--=--x x x x x x D 2. )2)(2(b a b a +--是下列多项式（ ）的分解结果（A ）224b a - （B ）224b a + （C ）224b a -- （D ）224b a +-3. 下列分解不正确的是 （ ）（A ）22)4(168+=++x x x （B ）222)32(9124b a b ab a -=-+-（C ）22)61(36131-=+-x x x （D ）222)12(144+=++ab ab b a 4. 下列各式中，能用平方差公式分解因此的是 （ ）（A ）－a 2＋b 2 （B ）－a 2－b 2 （C ）a 2＋b 2 （D ）a 3－b 25. 已知m ＋n=－4，mn=5，关于x 的二次三项式x 2－mnx －m －n 分解因式的结果是（ ） （A ）(x －1) (x －4)（B ）(x ＋1) (x ＋4) （C ）(x ＋1) (x －4) （C ）(x －1) (x ＋4)6. 下列由左到右的变形是正确的因式分解的是（ ） A ．a 2－b 2＋1＝（a ＋b ）（a －b ）＋1；B ．（m ＋3）2＝m 2＋6m ＋9；C ．x 5y －xy 5＝xy （x 2＋y 2）（x ＋y ）（x －y ）；D ． 224224)()(2b a b a b b a a -+=--二．填空题：7. 分解因式：=---)(9)(182b a m b a m .8. 分解因式：22)23()2(n m n m +--= . .9. 分解因式：=---a a x x 2222 .10. 分解因式： x 2+3xy +2y 2+2x +4y =_______.11. 分解因式：=--6542a a .12. 分解因式：m n m n y x y x 3121246+-- = .13. 已知ABC ∆的三边a 、b 、c 满足bc b ac a -=-22，判断ABC ∆的形状._________..14. 已知012=++x x ，求++20062007x x ……+123+++x x x =_________. _________.三．简答题：15. 因式分解： (x 2+x)2−14(x 2+x )+24.16. 因式分解： (x +1)(x +3)(x +5)(x +7)+15.17. 因式分解： (x +5)4+(x +3)4−82.18. 因式分解： (x 2+xy +y 2）2−4xy(x 2+y 2).19. 因式分解：6148222-----y x y xy x .20. 因式分解：x 3−9x +8.21. 因式分解：18++x x .22. 如果多项式x 2−(a +5)x +5a −1能分解成两个一次因式(x +b )(x +c )的乘积，b ，c 为整数，则a 的值为多少？23.已知多项式k x x x ++-223能够进行因式分解，请求出k 的值，并将此多项式因式分解.24.如果2533222+-++-y x y xy kx 能分解成两个一次因式乘积，求25.052++k k 的值.因式分解测试（B ）一．选择题：1. 把多项式4 x 2y -4x y 2- x 3分解因式得结果是 （ ）A. 4xy(x -y)-x 2B. –x(x -2y)2C. x(4xy -4y 2- x 2)D. –x(-4xy+4y 2+ x 2)2. 下列分解因式错误的是 （ ）A ．a 2－5a ＋6＝（a －2）（a -3）B ．1－4m 2＋4m ＝（1－2m ）2C ．－4x 2＋y 2＝-(2x ＋y)（2x －y ）D ．3ab ＋41a 2b 2＋9＝（3＋21ab ）2 3. 在多项式－a 2－b 2－2ab ，2ab―a 2―b 2，a 2－b 2＋2ab ，(a ＋b)2－10(a ＋b)＋25中，能用完全平方公式分解因式的有（ ） （A ）1个 （B ）2个 (C ）3个 （D ）4个4. 已知a 、b 、c 是三角形ABC 的三边长，且满足a 2+2b 2+c 2-2b （a+c ）=0，则此三角形是（ ）A 等腰三角形B 等边三角形C 直角三角形D 不能确定5. 已知x 2+ax -12能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数a 的个数是（ ）A. 3个B. 4个C. 6个D. 8个6. 实数m= 20203-2020，下列各数中不能整除m 的是（ ）A.2018B. 2019C. 2020D.2021二．填空题：7. 因式分解：yz xz xy x -+-2=________ .8. 因式分解：44244++-x y x =_________.9. 因式分解：x 2（x -2）-16（x -2）=_________.10. 因式分解：6 y 2 -11y -10=_________.11. 因式分解：4x 2-4x -y 2+4y -3=_________.12. 如果正整数x 、y 满足方程x 2-y 2=64，则这样的正整数对（x ，y ）的个数是 _________.13. 若x 2+x+m=（x -3）（x+n ）对x 恒成立，则n=_________.14. 已知x -1是多项式x 3-3x+k 的一个因式，那么k=_________.三．简答题：15. 因式分解： (x 2+x +4)2+8x (x 2+x +4)+15x 216. 因式分解：(x 2+x +1)(x 2+x ++2)−1217. 因式分解：2023265622-++--y x y xy x .18. 因式分解：443234---+x x x x .19. 如果b a ,是整数，且12--x x 是123++bx ax 的因式，求a 、b 的值.20. 已知 ：c b a ,,为三角形的三条边，且027334222=+--++b bc ab c ac a . 求证：c a b +=2.21. 如果x2+7xy+ay2−5x+43y−24可分解为两个一次因式的积，求a的值.22. 已知x3+x2+x+1=0，求x2008+2x2000+5x1996.23. 正数a、b、c满足ab+a+b=bc+b+c=ca+c+a=3，求：(a+1)(b+1)(c+1)的值.24.若代数式x(x+1)(x+2)(x+3)+p恰好能分解为两个二次整式的乘积（其中二次项系数均为1且一次项系数相同），求p的最大值.测试A一选择题：1. D 提示:因式分解的概念是把一个多项式写成整式的乘积的形式；2. D3. B 提示：完成平方公式的运用：a2+2ab+b2=（a+b）24. A 提示：平方差公式的运用：a2-b2=（a+b）（a-b）5. A 提示：十字相乘法6.C二填空题：7.9m（a-b）（2m-1）提示：提取公因式9m（a-b）；8.-（5m+n）（m+3n）提示：利用平方差公式；9.（x+a）（x-a-2）提示：利用分组分解法（两两分组）；10.（x+2y）（x+y+2）提示：利用分组分解法（前三项与后两组）11.（a-2）（4a+3）提示：利用十字相乘法；12.2x2n−1y m（3x2−2y2m）提示：提取公因式2x2n−1y m；13.等腰三角形提示：因式分解得：（a-b）（a+b-c）=0，因为a、b、c为三角形得三边，所以a+b-c为非零数，所以a=b；14.0 提示：三个一分组，每组都有因式x2+x+1三简答题：15.（x+2）（x-1）（x+4）（x-3）提示：（x2+x-2）（x2+x-12）=（x+2）（x-1）（x+4）（x-3）16.( x2+8x+10)(x+2)(x+6)提示：（x2+8x+7）（x2+8x+15）+15=(x2+8x)2+22(x2+8x)+120=(x2+8x+10)( x2+8x +12) =( x2+8x+10)(x+2)(x+6)17.2（x+2）（x+6）（x2+8x+26）提示：原式=(x+4+1)4+(x+4−1)4−82令t=x+4，所以(t+1)4−1+(t−1)4−81=((t+1)2−1)((t+1)2+1)+((t−1)2+9)((t−1)2−9)=2（t2+10）（t2-4）=2（x2+8x+26）（x2+8x+12）=2（x+2）（x+6）（x2+8x+26）18.（x2-xy+y2）2提示：令x+y=u，xy=v所以原式=（u2-v）2-4v（u2-2v）=u4-6u2v+9v2=（u2-3v）2=（x2-xy+y2）219.（x-4y-3）（x+2y+2）提示：x2-2xy-8y2-x-14y-6=(x-4y)(x+2y)+(2x-8y)-3x-6y-6=(x-4y)(x+2y)+2(x-4y)-3(x+2y+2)=(x-4y)(x+2y+2)-3(x+2y+2)=(x-4y-3)(x+2y+2)20.（x-1）（x2+x-8）提示：令x3- 9x+ 8=0则当x=1时，x3- 9x+ 8=1-9+8=0 则可将多项式分解为x3- 9x+ 8=(x-1)(x2 +bx+c)展开，得(x-1)( x2 +bx+c)X3 +bx2 +cx-x2- bx-c=x3+(b-1)x2+(c-b)x-c= x3- 9x+ 8则可得，b-1=0, c-b=-9, -c=8解得b=1,C=-8则多项式为x3- 9x+ 8=(x- 1)(x2+x-8)21.(x2+x+1)(x2-x+1)(x4-x2+1)提示：原式=x8+2x4+1-x4,=(x4+1)2- (x2)2=(x4+x2+1)( x4-x2+1),=[( x4+2x2+1)-x2]( x4-x2+1),=(x2+x+1)(x2-x+1)( x4+x2+1).22.a=5提示：x2-(a+5)x+5a-1=(x+b)(x+c)= x2+(b+c)x=bc所以：-（a+5）=b+c，且5a-1=bc，即c=−5−15+b因为b、c为整数，所以b=-4，代入得c=-6，则a=5。
专题因式分解专题100题(巩固篇)(专项练习)八年级数学上册基础知识专项讲练含解析答案
专题 因式分解专题100题（巩固篇）（专项练习）1．分解因式： (1)328a a - (2)2()28x y xy -+2．因式分解： (1)22510x y xy - (2)229()4()a x y b y x -+-3．因式分解： (1)416m -； (2)32242x x x -+；(3)276xy xy x -+；(4)()22214a a +-．4．分解因式：(1)2(2)(3)(2)x y x y x y -+--(2)()222224x y x y +-5．因式分解 (1)22ma ma m ++(2)()222416x x +-6．因式分解： (1)323x y x -； (2)22(2)9a b b --．7．分解因式： (1)22484x xy y -+；(2)()()2221a a a +-+．8．因式分解 (1)3228x xy -(2)4322a a a -+9．分解因式 (1)29x y y - (2)322288x x y xy -+(3)()134x x x --+(4)()2221x y y --+．10．因式分解： (1)21222x x -+-；(2)()222936x x +-．(3)()()223223x y x y +-+；(4)()()2222a a b b b a ---．11．因式分解： (1)2214x xy y ++(2)()()()()2m n x y n m x y -+--+12．分解因式： (1)322363x x y xy -+．(2)221122x y -+．13．因式分解 (1)2288x x -+(2)()()216a x y y x -+-14．因式分解： (1)﹣3a 2b +6ab ﹣3b ； (2)a 2﹣2ab +b 2﹣c 2．15．把下列多项式因式分解： (1)224a b - (2)21236m m -+16．因式分解： (1)22())(x a b y b a ---；(2)()222416a a +-．17．分解因式： (1)4x 2－100；(2)2mx 2－4mxy +2my 2．18．因式分解： (1)22())(x a b y b a ---；(2)2231827x xy y -+．19．已知x ﹣y ＝1，xy ＝2，求x 3y ﹣2x 2y 2+xy 3的值．20．因式分解： (1)8﹣2x 2； (2)2x 3y +4x 2y 2+2xy 3．21．把下列各式分解因式： (1)2464x - (2)2225()9()a b a b +--22．因式分解： (1)a （a ﹣b ）﹣a +b ； (2)（x 2+y 2）2﹣（2xy ）2．23．分解因式： (1)328a a -； (2)241616a a -+24．分解因式： (1)328a a -； (2)241616a a -+25．将下列各式分解因式 (1)228a - (2)222(1)4x x +-26．把下列各式因式分解： (1)32242a a a -+；(2)()()2294a x y b y x -+-．27．分解因式： (1)216x -；(2)2288x y xy y -+．28．因式分解： (1)3269a a a ++(2)222(4)16x x +-29．因式分解： (1)228x -(2)3222x x y xy -+30．把下列各式分解因式： (1)29x -；(2)22288a ab b ++；(3)()()211m m m +-+；(4)()()221x x y +--．31．分解因式（其中（1）利用因式分解计算）： (1)23.4 1.320.6613.226.4⨯+⨯- (2)31m m x x ++-(3)2215y y --(4)（x ²＋4）²－16x 232．把下列各式因式分解： (1)264x xy -+；(2)231212a a ++；(3)()()222x a y a ---；(4)42416a a -．33．因式分解： (1)()24a b +- (2)22369ab a b b --34．分解因式： (1)241x -； (2)3244m m m -+．35．因式分解： (1)3269m n m n mn -+(2)()22214a a +-36．分解因式： (1)()134x x x --+ (2)3221218a a a -+-37．因式分解： (1)9x 2﹣81．(2)m 3﹣8m 2+16m ．38．把下列各式因式分解： (1)328x x -； (2)22344xy x y y --．39．分解因式： (1)()()a x y b y x -+-； (2)231212m n mn n -+；(3)()2(2)421x y x y +-+-；(4)222(9)36x x +-．40．在实数范围内分解因式：(1)am 2﹣6ma +9a ； (2)9a 4﹣4b 4．41．因式分解：(1)22242mx mxy my ++(2)()222416x x +-42．因式分解： (1)3x y 2﹣12x ；(2)x 2y ﹣2xy 2+y 3.43．因式分解： (1)241616a a -+ (2)229()4()a x y b y x -+-44．因式分解：(1)39x x - (2)3244x x x -+45．分解因式： (1)263x y y -(2)()()222n m m -+-46．分解因式： (1)3520x x -(2)2412()9()y x x y --+-47．因式分解 (1)2322a b a ab -- (2)229()()a b a b --+48．分解因式： (1)4m 3n ﹣mn 3(2)（x ﹣1）（x ﹣3）+1．49．分解因式：(1)a2b﹣2ab2+b3．(2)（x2+9）2﹣36x2．50．因式分解：(1)2x2﹣2(2)x3﹣4x2y+4xy2．51．因式分解(1)111363a a⎛⎫-+⎪⎝⎭(2)()()22169a x yb y x-+-52．分解因式：(1)x2﹣9；(2)2232ax axy ay++．53．分解因式： (1)24xy x -．(2)32296x xy x y +-．54．分解因式：(1)22(32)(27)x x --+ ；(2)222(2)6(2)9x x +-++．55．分解因式 (1)32327x x y -(2)3a 2x －6axy +3a 2y56．因式分解 (1)22ax ay -；(2)2242x x ++．57．因式分解： (1)222a -； (2)322x x x -+．58．将下列各式分解因式： (1)2215x x +-(2)()()22924x y x y +--59．已知：20222021,2021a b ab -=--=-．求222020a b ab -+的值．60．把下列各式因式分解： (1)9x 2-6x +1(2)3x （x -y ）-6y （x -y ）61．分解因式： (1)2129xyz x y -；(2)2464x -．62．分解因式： (1)249x -；(2)322242m m n mn ++．63．因式分解： (1)2464x -；(2)232a a a -+-．64．分解因式： (1)533416m n m n -(2)32221218x x y xy -+65．把下列各式因式分解： (1)2416x -；(2)23216164a b a ab --．66．因式分解： (1)2296x xy y -+．(2)(1)(3)4x x +-+．67．分解因式 (1)33a b ab -(2)22363x xy y -+-68．因式分解： (1)x 3y ﹣xy 3；(2)（x ＋2）（x ＋4）＋x 2﹣469．把下列各式分解因式： (1)a 3﹣a(2)16x 2y 2﹣（x 2+4y 2）270．分解因式：(1)2a （x ﹣y ）+b （y ﹣x ）；(2)（x 2 +1）2﹣4x 2．71．因式分解： (1)2232x -(2)3223242x y x y xy ++72．因式分解 (1)am an ap -+(2)214x -(3)21664x x -+ (4)22(32)(23)x m n y n m -+-73．因式分解． (1)()69m m ++； (2)222(1)4a a +-．74．因式分解： (1)235x y y - (2)()()x x y y y x -+-75．因式分解： (1)4x 2-8x +4； (2)(x +y )2-4y (x +y )76．分解因式： (1)2m mn m -+ (2)3212a a a --(3)()()22413x x +-- (4)421881y y -+77．因式分解： (1)﹣20a ﹣15ax ； (2)a 2（x ﹣y ）+36（y ﹣x ）；78．分解因式： (1)228168ax axy ay -+-(2)()22222936x y x y +-；(1)2363ab ab a -+ (2)22()8()a a b a b ---80．分解因式： (1)231212m n mn n -+； (2)22()()a a b b b a -+-81．把下列各式因式分解：(1)()()229a x y b y x -+-；(2)()222936a a +-82．分解因式： (1))()(2x y y x x -+-(2)223242x y xy y -+．(1)3222a a b ab -+(2)()()224m n m n +--(3)2215x x -- (4)22144a b ab --+84．把下列各式因式分解： (1)228x -； (2)2(2)8(2)16a a +-++．85．计算：(1)2()()()x y x y x y +-+-；(2)(21)(21)x y x y -+++．86．因式分解：(1)()()3a x y y x -+-(2)()222416x x +-87．因式分解 (1)2a 2b -8ab 2+8b 3(2)4a 2（m -n ）+9（n -m ）(3)81x 4-16(4)（m 2+5）2-12（m 2+5）+3688．因式分解： (1)11824n n x x +-；(2)4224-1881x x y y +89．因式分解： (1)ap ﹣aq +am ； (2)4y 2﹣25；(3)m 3n ﹣6m 2n +9mn ； (4)（a 2+1）2 –4a 2．90．因式分解： (1)mx 2﹣my 2；(2)2x 2－8x +8．91．分解因式： (1)223612x y xy xy -+-；(2)481m -．92．将下列各式因式分解 (1)39m n mn -(2)322344x y x y xy ++93．分解因式： (1)29x -(2)3218122a a a -+-94．分解因式： (1)a 3b ﹣2a 2b +ab ；(2)x 2﹣4xy +4y 2﹣1．95．分解因式： (1)3221218a a a -+-(2)2225()4()a x y b y x -+-96．分解因式： (1)2()3()x a b y b a -+-(2)244x y xy y -+97．因式分解： (1)3327x x -(2)244ab ab a -+98．分解因式： (1)()()x x y y y x -+-；(2)22352020a b ab b -+．99．分解因式 (1)2a 3﹣8a ；(2)（x ﹣y ）2+4xy ．100．因式分解： (1)4a 2-9；(2)16m 4-8m 2n 2＋n 4参考答案1．(1)()()222a a a +- (2)()22x y +【分析】（1）先提取公因式2a ，再利用平方差公式进行因式分解即可得；（2）先计算完全平方公式，再计算整式的加减，然后利用完全平方公式进行因式分解即可得．（1）解：原式()224a a =-()()222a a a =+-．（2）解：原式22448x xy y xy =-++ 2244x xy y =++()22x y =+．【点拨】本题考查了因式分解，熟练掌握提取公因式法和公式法是解题关键． 2．(1)()xy x y 5-2(2)()()()3232x y a b a b -+-【分析】（1）利用提公因式法直接提出公因式5xy 即可求解；（2）先将y -x 转变为-（x -y ），再用提公因式法因式分解，最后用平方差公式因式分解即可得出答案．（1）解：()22=52105x xy y xy x y --；（2）解：()()()2222229()4()9()4()()94()3232a x y b y x a x y b x y x y a b x y a b a b -+-=---=--=-+-【点拨】本题主要考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法因式分解是解题的关键．3．(1)()()()2422m m m ++-；(2)()221x x -； (3)()()61x y y --； (4)()()2211+-a a【分析】（1）直接利用平方差公式分解因式即可； （2）先提公因式2x ，再用完全平方公式分解因式即可； （3）先提公因式x ，再用十字相乘法分解因式即可；（4）先根据平方差公式分解因式，再根据完全平方公式分解因式即可．（1）解：原式=()()2244m m +- =()()()2422m m m ++-；（2）解：原式=()2221x x x -+=()221x x -； （3）解：原式=()276x y y -+=()()61x y y --； （4）解：原式=()22214a a +-=()()22212a a +-=()()221212a a a a +++-=()()2211+-a a【点拨】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．4．(1)()52y x y - (2)()()22x y x y +-【分析】（1）利用提公因式法，进行分解即可解答；（2）先利用平方差公式分解，再利用完全平方公式继续分解，即可解答． （1）解：原式()()()23252x y x y x y y x y =-+-+=-；（2）解：原式()()()()22222222x y xy x y xy x y x y =+++-=+-．【点拨】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；①公式法；①十字相乘法；①分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．5．(1)2(1)m a + (2)22(2)(2)x x +-【分析】（1）先提取公因式，再用完全平方式因式分解． （2）先用平方差公式因式分解，再用完全平方公式因式分解． （1）22ma ma m ++ 2(21)m a a =++ 2(1)m a =+（2）()222416x x +-22(44)(44)x x x x =+++- 22(2)(2)x x =+-【点拨】此题考查了因式分解，解题的关键是熟悉因式分解的基本步骤1．提取公因式；2．套用公式．6．(1)()()311x y y -+(2)()()42a b a b +-【分析】（1）先提公因式，然后再用平方差公式分解因式；（2）先用平方差公式分解因式，再提公因式即可．（1）解：323x y x -()321x y =-()()311x y y =-+（2）解：22(2)9a b b --()()2323a b b a b b =-+--()()2224a b a b =+-()()42a b a b =+-【点拨】本题主要考查了因式分解，熟练掌握平方差公式()()22a b a b a b -=+-，是解题的关键．7．(1)24()x y -(2)3(1)(1)a a +-【分析】（1）先提取公因式4，再应用完全平方公式进行因式分解即可得出答案； （2）应用平方差公式进行求解即可得出答案．（1）解：22484x xy y -+()2242x xy y =-+()24x y =-； （2）解：()()2221a a a +-+ ()()()()2211a a a a a a ⎡⎤⎡⎤=++++-+⎣⎦⎣⎦()()22211a a a =++-()()()2111a a a =++-()()311a a =+-【点拨】本题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握提公因式法与公式法进行求解是解决本题的关键．8．(1)2(2)(2)x x y x y +-(2)()221a a -【分析】（1）根据提公因式法与平方差公式因式分解即可；（2）根据提公因式法和完全平方公式进行因式分解即可．（1）解：原式=()2224x x y - =()()222x x y x y +-；（2）解：原式=()2221a a a -+ =()221a a -.【点拨】本题考查了因式分解，涉及提公因式法、平方差公式和完全平方公式，解决此题的关键是熟练掌握因式分解的基本方法．9．(1)(3)(3)y x x +-；(2)22(2)x x y -；(3)()22x -；(4)()()11x y x y +--+【分析】（1）先提取公因式y ，然后再利用平方差公式进行因式分解即可； （2）先提取公因式2x ，然后再利用完全平方公式进行因式分解即可；（3）先进行展开，然后再利用完全平方公式进行因式分解即可；（4）先利用完全平方公式分解括号内的整式，然后再利用平方差公式进行因式分解即可．（1）解：原式=2(9)y x -=(3)(3)y x x +-（2）解：原式=322288x x y xy -+=222(44)x x xy y -+（3）解：原式=244x x -+=()22x -（4）解：原式=()221x y --=()()11x y x y ⎡⎤⎡⎤+---⎣⎦⎣⎦=()()11x y x y +--+【点拨】本题考查了因式分解的知识，熟练掌握因式分解的方法和步骤是解题的关键．10．(1)2122x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ (2)22(3)(3)x x -+(3)5()()x y x y +-(4)()3()a b a b +-【分析】（1）根据提公因式法和完全平方公式进行因式分解即可；（2）根据平方差公式与完全平方公式因式分解即可；（3）根据平方差公式与提公因式法因式分解即可；（4）根据提公因式法与平方差公式因式分解即可．（1）21222x x -+- =212()4x x --+ =2122x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ （2）()222936x x +-=()2229(6)x x +-=22(69)(69)x x x x -+++（3）()()223223x y x y +-+=()()32233223x y x y x y x y ++++--=(55)()x y x y +-=5()()x y x y +-（4）()()2222a a b b b a ---=()()2222a a b b a b ---=()222()a b a b --=()2()()a b a b a b -+-=()3()a b a b +-【点拨】本题考查了提公因式法、平方差公式和完全平方公式，解决此题的关键是熟练掌握因式分解的基本方法．11．(1)212x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ (2)()()()1m n x y m n -+-+【分析】（1）直接根据完全平方公式因式分解，即可求解；（2）提取公因式()()m n x y -+，即可求解．（1）解：2214x xy y ++ =2211222x xy y ⎛⎫+⨯+ ⎪⎝⎭=212x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭； （2）解：()()()()2m n x y n m x y -+--+=()()()()2m n x y m n x y -+--+=()()()1m n x y m n -+--⎡⎤⎣⎦=()()()1m n x y m n -+-+.【点拨】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．12．(1)23()x x y -(2)1()()2y x y x -+ 【分析】（1）先提取公因式，然后利用完全平方公式进行因式分解；（2）先提取公因式，然后利用平方差公式进行因式分解．（1）322363x x y xy -+=3x （x 2-2xy +y 2）=3x （x -y ）2；（2）221122x y -+ 221()2x y =-- 1()()2x y x y =-+- 【点拨】本题考查因式分解，掌握完全平方公式（a +b ）2=a 2+2ab +b 2和平方差公式（a +b ）（a -b ）=a 2-b 2是解题关键．13．(1)()222x -(2)()()()44x y a a -+-【分析】（1）先提公因数，再利用完全平方公式分解因式；（2）先提公因式，再利用平方差公式分解．（1）解：原式=2（x 2-4x +4）=2（x -2）2；（2）解：原式=（x -y ）（a 2-16）=()()()44x y a a -+-【点拨】本题考查因式分解的应用，熟练掌握因式分解的各种方法并灵活运用是解题关键．14．(1)()231b a --(2)()()a b c a b c -+--【分析】（1）先提公因式3b -，再利用完全平方公式即可进行因式分解；（2）将前3项为一组，第4项为一组，先利用完全平方公式，再利用平方差公式即可．（1）解：2363a b ab b -+-()2321b a a =--+()231b a =--；（2）解：-+-222a 2ab b c ()22a b c =-- ()()a b c a b c =-+--．【点拨】本题考查公式法，提公因式法进行因式分解，掌握平方差、完全平方公式的结构特征以及提公因式的原则是正确解答的关键．15．(1)()()22a b a b +-(2)()26m -【分析】（1）利用平方差公式即可因式分解；（2）利用完全平方公式即可因式分解．（1）解：224a b -()()()22222a b a b a b =-=+- ；（2）解：21236m m -+()2222666m m m =-⋅⋅+=-．【点拨】本题主要考查利用公式法因式分解，掌握完全平方公式以及平方差公式是解题的关键．16．(1)()()()a b x y x y -+-(2)()()2222a a +-【分析】（1）先提公因式()a b -，然后根据平方差公式因式分解即可求解； （2）根据平方差公式与完全平方公式因式分解即可求解．（1）解：原式＝()()22a b x y -- ()()()a b x y x y =-+-；（2）解：原式＝()()224444a a a a ⎡⎤⎡⎤+++-⎣⎦⎣⎦()()2222a a =+-．【点拨】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．17．(1)()()455x x +-(2)()22m x y -【分析】（1）先提取公因式4，然后再运用平方差公式因式分解即可；（2）先提取公因式2m ，然后再运用完全平方公式因式分解即可．（1）解：4x 2－100=4（x 2－25）=()()455x x +-．（2）解：2mx 2－4mxy +2my 2=2m （x 2－2xy +y 2）=()22m x y -．【点拨】本题主要考查了因式分解，掌握运用提取公因式法和公式法成为解答本题的关键．18．(1)()()()a b x y x y -+-(2)23(3)x y -【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式得出答案；（2）首先提取公因式3，进而利用完全平方公式分解因式得出答案．（1）解：原式22()()a b x y =--()()()a b x y x y =-+- （2）解：原式223(69)x xy y =-+23(3)x y =-【点拨】此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，熟练应用平方差公式和完全平方公式是解题关键．19．2【分析】运用提公因式法和完全平方公式进行因式分解，再进一步整体代入求解． 解：①x ﹣y ＝1，xy ＝2，①x 3y ﹣2x 2y 2+xy 3＝xy （x 2﹣2xy +y 2）＝xy （x ﹣y ）2＝2×1＝2．【点拨】此题考查了因式分解在代数式求值中的应用，能够熟练运用提公因式法和公式法进行因式分解，渗透整体代入的思想．20．(1)2(2﹣x )(2+x )(2)2xy (x +y )2【分析】(1)直接提取公因式2，再利用平方差公式分解因式得出答案；(2)直接提取公因式2xy ，再利用完全平方公式分解因式得出答案．（1）解：原式＝2(4﹣x 2)＝2(2﹣x )(2+x )；（2）解：原式＝2xy (x 2+2xy +y 2)＝2xy (x +y )2；【点拨】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是解题关键．21．(1)4(4)(4)x x +-(2)()()444a b a b ++【分析】（1）先提取公因式4，然后利用平方差公式分解因式即可；（2）先利用平方差公式分解因式，然后提取公因式即可．（1）解：2464x -()2416x =-()()444x x =+-；（2）解：2225()9()a b a b +--()()()()5353a b a b a b a b =++-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()55335533a b a b a b a b =++-+-+()()8228a b a b =++()()444a b a b =++．【点拨】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．22．(1)（a ﹣b ）(a -1)(2)(x +y )2(x -y )2【分析】（1）提取公因式分解即可；（2）先运用平方差公式，再运用完全平方公式分解即可．（1）解：a （a ﹣b ）﹣a +b=a （a ﹣b ）﹣(a -b )=（a ﹣b ）(a -1)（2）（x 2+y 2）2﹣（2xy ）2=(x 2+y 2+2xy )(x 2+y 2﹣2xy )=(x +y )2(x -y )2．【点拨】本题考查因式分解，解题关键是掌握因式分解的方法提公因式法和运用公式法．23．(1)()()222a a a +-(2)()242a -【分析】（1）先提取公因式2a ，然后再运用平方差公式因式分解即可；（2）先提取公因式4，然后再运用完全平方公式因式分解即可．（1）解：328a a -=()224a a - =()()222a a a +-．（2）解：241616a a -+=()2444a a -+ =()242a -．【点拨】本题主要考查了因式分解，掌握综合运用提取公因式法和公式法因式分解成为解答本题的关键．24．(1)()()222a a a +-(2)()242a -【分析】（1）先提取公因式2a ，然后再运用平方差公式因式分解即可；（2）先提取公因式4，然后再运用完全平方公式因式分解即可．（1）解：328a a -=()224a a - =()()222a a a +-．（2）解：241616a a -+=()2444a a -+ =()242a -．【点拨】本题主要考查了因式分解，掌握综合运用提取公因式法和公式法因式分解成为解答本题的关键．25．(1)()()222a a +-(2)()()2211x x +-【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式继续分解；（2）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式继续分解即可．（1）解：原式()()()224222a a a =-=+-； （2）解：原式()()()()2222121211x x x x x x =+++-=+-． 【点拨】本题考查了因式分解，熟练掌握提取公因式法和公式法分解因式是解题的关键．26．(1)()221a a -(2)()()()3232x y a b a b -+-【分析】（1）先提取公因式2a ，然后用完全平方公式分解即可；（2）先提取公因式x -y ，然后用平方差公式分解即可．（1）解：32242a a a -+ ()2221a a a =-+()221a a =-．（2）解：()()2294a x y b y x -+- ()()2294a x y b x y =---()()2294x y a b =--()()()3232x y a b a b =-+-．【点拨】本题主要考查了因式分解，掌握运用提取公因式法和公式法因式分解是解答本题的关键．27．(1)(4)(4)x x +-(2)22(2)y x -【分析】（1）根据平方差公式分解因式即可；（2）先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可；（1）原式()()44x x =+-；（2）原式()()2224422y x x y x =-+=-； 【点拨】本题主要考查了因式分解的应用，准确利用提取公因式法和公式法求解是解题的关键．28．(1)2(3)a a +(2)22(2)(2)x x +-【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答；（2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．（1）3269x x x ++2(69)x x x =++2(3)x x =+；（2）222(4)16x x +-22(44)(44)x x x x =+++-22(2)(2)x x =+-．【点拨】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．29．(1)2(2)(2)x x +-(2)2()x x y -【分析】（1）先提取公因数2，然后再运用平方差公式分解即可；（2）先提取公因式x ，然后再运用完全平方公式分解即可．（1）解：228x -=()224x - =()()222x x +-．（2）解：3222x x y xy -+=()222x x xy y -+ =()2x x y -．【点拨】本题主要考查了因式分解，综合运用提取公因式法和公式法是解答本题的关键．30．(1)()()33x x +-(2)()222a b +(3)()()211m m +-(4)()()11x y x y +++-【分析】（1）利用平方差公式分解因式即可；（2）先提取公因式2，然后利用完全平方公式分解因式即可；（3）先提取公因式m +1，然后利用平方差公式分解因式即可；（4）利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可．（1）解：原式()()33x x =+-；（2）解：原式()2224a ab b =++ ()222a b =+； （3）解：原式()()211m m =+-()()()111m m m =++-（4）解：原式2221x x y =+-+()2221x x y =++-()221x y =+-()()11x y x y =+++-．【点拨】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．31．(1)13.2(2)1(1)(1)m x x x ++-(3)(5)(3)y y -+(4)22(2)(2)x x +-【分析】（1）提取公因式13.2，即可快速求解；（2）提取1m x +，再利用平方差公式求解即可；（3）利用十字相乘法求解；（4）利用平方差公式进行因式分解．（1）解：23.4 1.320.6613.226.4⨯+⨯- 2.3413.20.6613.213.22=⨯+⨯-⨯13.2(2.340.662)=⨯+-．13.2=（2）解：31m m x x ++-()121m x x +=-1(1)(1)m x x x +=+-（3）解：2215(5)(3)y y y y --=-+（4）解：()222416x x +-()()224444x x x x =+++-22(2)(2)x x =+-【点拨】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握相应的方法：提取公因式法、利用平方差公式因式分解、利用完全平方公式因式分解．32．(1)()232x x y --（或者()223x y x -）(2)()232a +(3)()()22a x y -+(4)()()2422a a a +- 【分析】（1）先提公因式进行分解，即可解答；（2）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解，即可解答；（3）先提公因式进行分解，即可解答；（4）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．（1）解：-6x 2+4xy=-2x （3x -2y ）；（2）解：3a 2+12a +12=3（a 2+4a +4）=3（a +2）2；（3）解：2x （a -2）-y （2-a ）=2x （a -2）+y （a -2）=（a -2）（2x +y ）；（4）解：4a 4-16a 2=4a 2（a 2-4）=4a 2（a +2）（a -2）【点拨】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．33．(1)(2)(2)a b a b +++-(2)2(3)b a b --【分析】（1）将()a b +作为整体，利用平方差公式分解即可；（2）原式先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．（1）解：原式(2)(2)a b a b =+++-（2）解：原式22(69)b ab a b =--2(3)b a b =--【点拨】本题主要考查了提公因式法与公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．34．(1)（2x ＋1）（2x ﹣1）(2)2(2)m m -【分析】（1）利用平方差公式，分解即可解答；（2）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．（1）解：原式＝(21)(21)x x +-（2）解：原式＝ 2(44)m m m -+=2(2)m m -【点拨】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．35．(1)2(3)mn m -(2)22(1)(1)a a +-【分析】（1）先提取公因式，再运用完全平方公式进行解答即可；（2）先运用平方差公式，再运用完全平方公式进行解答即可．（1）解：原式()269mn m m =-+ 2(3)mn m =-（2）原式2221(2)a a()()221212a a a a =+++-22(1)(1)=+-a a ．【点拨】本题考查因式分解，解题关键是掌握因式分解的方法与步骤．36．(1)2(2)x -(2)22(3)a a --【分析】（1）原式去括号整理得244x x -+，然后根据完全平方公式进行因式分解即可；（2）原式提取公因式2a -后，再根据完全平方公式进行因式分解即可．（1）解：()134x x x --+＝234x x x --+＝244x x -+＝2(2)x -（2）3221218a a a -+-＝22(69)a a a --+＝22(3)a a --【点拨】本题考查完全平方公式、提公因式分解因式，掌握公式结构特征是正确应用的前提．37．(1)9（x +3）（x ﹣3）(2)m （m ﹣4）2【分析】（1）先提出公因式，再利用平方差公式计算，即可求解；（2）先提出公因式，再利用完全平方公式解得，即可求解．（1）解：9x 2﹣81＝9（x 2﹣9）＝9（x +3）（x ﹣3）（2）解：m 3﹣8m 2+16m ＝m （m 2﹣8m +16）＝m （m ﹣4）2【点拨】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解的方法，并会根据多项式的特征选用合适的方法解答是解题的关键．38．(1)2(2)(2)x x x +-(2)2(2)y x y --【分析】（1）先提公因式再用平方差公式分解即可；（2）先提公因式再用完全平方公式分解即可．（1）32()()()2824222x x x x x x x -=-=+-（2）22322244(44(2)xy x y y y x xy y y x y --=--+=--【点拨】本题考查因式分解，先提公因式再用公式法进行因式分解是解题的关键．39．(1)()()x y a b --(2)23(2)n m -(3)2(22)x y +-(4)22(3)(3)x x +-【分析】()1将y x -变形为()x y --，提公因式即可；()2先提公因式再用完全平方公式分解因式即可；()3把()2x y +看作整体，利用完全平方公式分解因式即可；()4先用平方差公式，再用完全平方公式即可．（1）解：原式()()a x y b x y =--- ()()x y a b =--；（2）解：原式()2344n m m =-+ 23(2)n m =-； （3）解：原式()2(2)424x y x y =+-++ 2(22)x y =+-；（4）解：原式()()229696x x x x =+++- 22(3)(3)x x =+-．【点拨】本题考查了提公因式法与公式法，体现了整体思想，掌握()()22a b a b a b -=+-，222)2(a ab b a b ±+=±是解题的关键．40．(1)()23a m - (2)22(3232)(32)a b a b a b +【分析】（1）利用提取公因式后再用完全平方公式进行分解因式即可；（2）两次利用平方差公式法进行分解因式即可．（1）解：原式＝()()22693a m m a m -+=-； （2）原式2222(32)(32)a b a b =+-=2222]3(32)(2)a b a b +-=22(3232)(32)a b a b a b +．【点拨】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；①公式法；①十字相乘法；①分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．41．(1)()22m x y +(2)()()2222x x -+【分析】（1）提取公因式2m ，再用完全平方公式因式分解．（2）先用平方差公式因式分解，再用完全平方公式因式分解．（1）解：原式()()222222m x xy y m x y =++=+ （2）解：原式()()()()2222444422x x x x x x =+++-=-+ 【点拨】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是会用提取公因式法和公式法． 42．(1)3x （y +2）（y ﹣2）；(2)y （x ﹣y ）2【分析】（1）利用提取公因式、平方差公式，分解因式即可求解；（2）利用提取公因式、完全平方公式，分解因式即可求解．（1）原式=234x y -（） =322x y y +-（）（） （2）原式=222y x xy y -+（） =2y x y -（） 【点拨】本题考查因式分解知识，关键是要熟练运用提取公因式、平方差公式、完全平方公式等．43．(1)24(2)a -(2)(x -y )(3a +2b )(3a -2b )【分析】(1)先提公因式4，再用完全平方公式分解即可；(2)先变形为229()-4()a x y b x y --，再提公因式(x -y )，然后用平方差公式分解即可． （1）解：241616a a -+=4(a 2-4a +4)=4(a -2)2；（2）解：229()4()a x y b y x -+-=229()-4()a x yb x y --=(x -y )(9a 2-4b 2)=(x -y )(3a +2b )(3a -2b )．【点拨】本题考查提公因式与公式法综合运用，熟练掌握提公因式与公式法分解因式的综合运用是解题的关键．44．(1)(3)(3)x x x +-(2)2(21)x x -【分析】（1）先提取公因式x ，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解；（2）先提取公因式x ，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．（1）解：原式2(9)x x =-(3)(3)x x x =+-（2）解：原式()2441x x x =-+ ()221x x =- 【点拨】此题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解．注意一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．45．(1)()2321y x -(2)()()()211m n n -+-【分析】（1）利用提公因式法，进行分解即可；（2）先将原式变形，然后再提取公因式，最后利用平方差公式进行分解即可．（1）解：263x y y -23(21)y x =-（2）解：2(2)(2)n m m -+- 2(2)(2)n m m =--- 2(2)(1)m n =--(2)(1)(1)m n n =-+-【点拨】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．46．(1)()()522x x x +-(2)()2332x y --【分析】（1）先提取公因式，再运用平方差公式分解即可；（2）将3(x -y )当成整体直接运用完全平方公式分解即可．（1）解：原式2()5 4x x =-()()522x x x =+-．（2）原式()()24129x y x y =+-+-()223x y +-⎡⎤⎣⎦=()2332x y =--．【点拨】本题考查因式分解，解题关键是掌握因式分解的两种方法提公因式法和运用公式法，公式法又分为平方差公式和完全平方公式，适当时可运用整体思想．47．(1)2()--a a b(2)()()422a b a b --【分析】（1）先提取公因式－a ，再利用完全平方公式继续分解；（2）先利用平方差公式进行分解，计算后再提取公因式即可．（1）解：2322a b a ab --()222a a ab b =--+2()a a b =--；（2）()()229a b a b --+()()223a b a b ⎡⎤⎦=-+⎣-()()()()33a b a b a b a b =-++--+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()4224a b a b =--()()422a b a b =--．【点拨】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法分解因式是解题的关键．48．(1)mn （2m +n ）（2m ﹣n ）(2)（x ﹣2）2【分析】（1）先提取公因式mn ，再利用平方差公式分解可得；（2）先化简原整式，再利用完全平方公式计算可得．（1）解：原式=mn （4m 2﹣n 2）=mn （2m +n ）（2m ﹣n ）；（2）解：原式=x 2﹣4x +3+1=x 2﹣4x +4=（x ﹣2）2．【点拨】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．49．(1)b （a −b ）2(2)22(3)3x x +-（）【分析】（1）先提公因式b ，再利用完全平方公式解答；（2）由整体思想，先利用平方差公式，再运用完全平方公式解答．（1）解：a 2b ﹣2ab 2+b 3=b (a 2-2ab +b 2)= b (a -b )2（2）（x 2+9）2﹣36x 2=（x 2+9+6x ）（x 2+9-6x ）=22(3)3x x +-（）．【点拨】本题考查因式分解，涉及提公因式、平方差、完全平方公式、整体思想等知识，掌握相关知识是解题关键．50．(1)2（x +1）（x -1）(2)x （x -2y ）2【分析】（1）直接提取公因式2，再利用公式法分解因式即可；（2）直接提取公因式x ，再利用公式法分解因式即可．（1）2x 2﹣2=2（x 2-1）=2（x +1）（x -1）（2）x 3﹣4x 2y +4xy 2=x （x 2-4xy +4y 2）=x （x -2y ）2 【点拨】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．51．(1)()21366a -。
因式分解初一数学习题及答案
因式分解初一数学习题及答案因式分解初一数学习题及答案一、分解因式1.2x4y2-4x3y2+10xy4。
2. 5xn+1-15xn+60xn-1。
4. (a+b)2x2-2(a2-b2)xy+(a-b)2y25. x4-16.-a2-b2+2ab+4分解因式。
10.a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac11.x2-2x-812.3x2+5x-213. (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+114. (x2+3x+2)(x2+7x+12)-120.15.把多项式3x2+11x+10分解因式。
16.把多项式5x2―6xy―8y2分解因式。
二证明题17.求证：32000-431999+1031998能被7整除。
18.设为正整数，且64n-7n能被57整除，证明：是57的倍数.19.求证：无论x、y为何值，的值恒为正。
20.已知x2+y2-4x+6y+13=0,求x,y的值。
三求值。
21.已知a,b,c满足a-b=8,ab+c2+16=0,求a+b+c的值 .22.已知x2+3x+6是多项式x4-6x3+mx2+nx+36的一个因式，试确定m,n的值，并求出它的其它因式。
因式分解精选练习答案一分解因式1. 解：原式=2xy2x3-2xy22x2+2xy25y2=2xy2 (x3-2x2+5y2)。
提示：先确定公因式，找各项系数的最大公约数2;各项相同字母的最低次幂xy2，即公因式2xy2，再把各项的公因式提到括号外面，把多项式写成因式的积。
2. 提示：在公因式中相同字母x的最低次幂是xn-1，提公因式时xn+1提取xn-1后为x2，xn提取xn--1后为x。
解：原式=5 xn--1x2-5xn--13x+5xn--112=5 xn--1 (x2-3x+12)3.解：原式=3a(b-1)(1-8a3)=3a(b-1)(1-2a)(1+2a+4a2)提示：立方差公式：a3-b3=(a-b)( a2+ab+b2)立方和公式：a3+ b3=(a+b)( a2-ab+b2)所以，1-8 a3=(1-2a)(1+2a+4a2)4.解：原式= [(a+b)x]2-2(a+b)(a-b)xy+[(a-b)y]2=(ax+bx-ay+by)2[提示：将(a+b)x和(a-b)y视为一个整体。
人教版初中数学因式分解专项训练解析含答案
人教版初中数学因式分解专项训练解析含答案一、选择题1．下列因式分解中：①32(2)x xy x x x y ++=+；②2244(2)x x x ++=+；③22()()x y x y y x -+=+-；④329(3)x x x x -=-，正确的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】B【解析】【分析】将各项分解得到结果，即可作出判断．【详解】①322(2+1)x xy x x x y ++=+，故①错误；②2244(2)x x x ++=+，故②正确；③2222()()x y y x x y y x -+=-=+-，故③正确；④39(+3)(3)x x x x x -=-故④错误.则正确的有2个.故选：B.【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．2．多项式x 2y （a -b ）-xy （b -a ）+y （a -b ）提公因式后，另一个因式为（ ） A ．21x x -+B ．21x x ++C ．21x x --D ．21x x +-【答案】B【解析】解：x 2y (a －b )－xy (b －a )＋y (a －b )= y (a －b )（x 2+x +1）．故选B ．3．已知12,23x y xy -==，则43342x y x y -的值为( )A ．23B ．2C ．83D ．163【答案】C【解析】【分析】利用因式分解以及积的乘方的逆用将43342x y x y -变形为(xy)3(2x-y)，然后代入相关数值进行计算即可．【详解】 ∵12,23x y xy -==，∴43342x y x y=x 3y 3(2x-y)=(xy)3(2x-y)=23×13=83， 故选C ．【点睛】本题考查了因式分解的应用，代数式求值，涉及了提公因式法，积的乘方的逆用，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．4．下列等式从左到右的变形属于因式分解的是（ ）A ．a 2﹣2a +1＝（a ﹣1）2B ．a （a +1）（a ﹣1）＝a 3﹣aC ．6x 2y 3＝2x 2•3y 3D ．mx ﹣my +1＝m （x ﹣y ）+1【答案】A【解析】【分析】直接利用因式分解的定义分析得出答案．【详解】解：A 、a 2﹣2a+1＝（a ﹣1）2，从左到右的变形属于因式分解，符合题意；B 、a （a+1）（a ﹣1）＝a 3﹣a ，从左到右的变形是整式乘法，不合题意；C 、6x 2y 3＝2x 2•3y 3，不符合因式分解的定义，不合题意；D 、mx ﹣my+1＝m （x ﹣y ）+1不符合因式分解的定义，不合题意；故选：A ．【点睛】本题考查因式分解的意义，解题关键是熟练掌握因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，注意因式分解与整式的乘法的区别．5．下列各式中不能用平方差公式进行计算的是( )A ．(m －n )(m ＋n )B ．(－x －y )(－x －y )C ．(x 4－y 4)(x 4＋y 4)D ．(a 3－b 3)(b 3＋a 3)【答案】B【解析】A.(m －n)(m ＋n)，能用平方差公式计算；B.(－x －y)(－x －y)，不能用平方差公式计算；C.(x 4－y 4)(x 4＋y 4)，能用平方差公式计算；D. (a 3－b 3)(b 3＋a 3)，能用平方差公式计算.故选B.6．如图，边长为a ，b 的矩形的周长为10，面积为6，则a 2b +ab 2的值为（ ）A ．60B ．16C ．30D ．11【答案】C【解析】【分析】 先把所给式子提公因式进行因式分解，整理为与所给周长和面积相关的式子，再代入求值即可．【详解】∵矩形的周长为10，∴a+b=5，∵矩形的面积为6，∴ab=6，∴a 2b+ab 2=ab （a+b ）=30．故选：C ．【点睛】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．7．下列各式分解因式正确的是（ ）A ．2112(12)(12)22a a a -=+-B ．2224(2)x y x y +=+C ．2239(3)x x x -+=-D ．222()x y x y -=- 【答案】A【解析】【分析】根据因式分解的定义以及平方差公式，完全平方公式的结构就可以求解．【详解】 A. 2112(12)(12)22a a a -=+-，故本选项正确； B. 2222224(2)(2)=+44x y x y x y x xy y +≠+++，，故本选项错误；C. 222239(3)(3)=69x x x x x x -+≠---+，，故本选项错误；D. ()22()x y x y x y -=-+，故本选项错误. 故选A.【点睛】此题考查提公因式法与公式法的综合运用，解题关键在于掌握平方差公式，完全平方公式.8．多项式2()()()x y a b xy b a y a b ---+-提公因式后，另一个因式为（ ）A ．21x x --B ．21x x ++C ．21x x --D ．21x x +-【答案】B【解析】【分析】各项都有因式y （a-b ），根据因式分解法则提公因式解答.【详解】 2()()()x y a b xy b a y a b ---+-=2()()()x y a b xy a b y a b -+-+-=2()(1)y a b x x -++，故提公因式后，另一个因式为：21x x ++，故选：B.【点睛】此题考查多项式的因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键.9．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）A ．x 2+2x ﹣1=（x ﹣1）2B ．x 2+4x+4=（x+2）2C ．（a+b ）（a ﹣b ）=a 2﹣b 2D ．ax 2﹣a=a （x 2﹣1）【答案】B【解析】【分析】因式分解是指将多项式和的形式转化成整式乘积的形式,因式分解的方法有:提公因式法,套用公式法,十字相乘法,分组分解法,解决本题根据因式分解的定义进行判定.【详解】A 选项,从左到右变形错误,不符合题意,B 选项,从左到右变形是套用完全平方公式进行因式分解,符合题意,C 选项, 从左到右变形是在利用平方差公式进行计算,不符合题意,D 选项, 从左到右变形利用提公因式法分解因式,但括号里仍可以利用平方差公式继续分解,属于分解不彻底,因此不符合题意,故选B.【点睛】本题主要考查因式分解的定义,解决本题的关键是要熟练掌握因式分解的定义和方法.10．下列各因式分解正确的是（ ）A ．﹣x 2+（﹣2）2=（x ﹣2）（x+2）B ．x 2+2x ﹣1=（x ﹣1）2C．4x2﹣4x+1=（2x﹣1）2D．x3﹣4x=2（x﹣2）（x+2）【答案】C【解析】【分析】分别根据因式分解的定义以及提取公因式法和公式法分解因式得出即可．【详解】A．﹣x2+(﹣2)2=(2+x)(2﹣x)，故A错误；B．x2+2x﹣1无法因式分解，故B错误；C.4x2﹣4x+1=(2x﹣1)2，故C正确；D、x3﹣4x= x(x﹣2)(x+2)，故D错误．故选：C．【点睛】此题主要考查了提取公因式法与公式法分解因式以及分解因式的定义，熟练掌握相关公式是解题关键．11．将下列多项式因式分解,结果中不含有因式(a+1)的是()A．a2-1B．a2+aC．a2+a-2D．(a+2)2-2(a+2)+1【答案】C【解析】试题分析：先把四个选项中的各个多项式分解因式，即a2﹣1=（a+1）（a﹣1），a2+a=a （a+1），a2+a﹣2=（a+2）（a﹣1），（a+2）2﹣2（a+2）+1=（a+2﹣1）2=（a+1）2，观察结果可得四个选项中不含有因式a+1的是选项C；故答案选C．考点：因式分解.12．下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是()A．x2﹣16+6x=(x+4)(x﹣4)+6xB．10x2﹣5x=5x(2x﹣1)C．a2﹣b2﹣c2=(a﹣b)(a+b)﹣c2D．a(m+n)=am+an【答案】B【解析】【分析】根据因式分解的定义逐个进行判断即可.【详解】解：A、变形的结果不是几个整式的积，不是因式分解；B、把多项式10x2﹣5x变形为5x与2x﹣1的积，是因式分解；C 、变形的结果不是几个整式的积，不是因式分解；D 、变形的结果不是几个整式的积，不是因式分解；故选：B ．【点睛】本题主要考察了因式分解的定义，理解因式分解的定义是解题的关键.13．下列各式能用平方差公式分解因式的是（ ）A ．21a +B ．20.040.09y --C ．22x y +D ．22x y -【答案】D【解析】【分析】判断各个选项是否满足平方差的形式，即：22a b -的形式【详解】A 、C 都是22a b +的形式，不符；B 中，变形为：－(20.04+0.09y )，括号内也是22a b +的形式，不符；D 中，满足22a b -的形式，符合故选：D【点睛】本题考查平方差公式，注意在利用乘法公式时，一定要先将式子变形成符合乘法公式的形式，我们才可利用乘法公式简化计算.14．下列等式从左到右的变形,属于因式分解的是A ．8a 2b=2a ·4abB ．-ab 3-2ab 2-ab=-ab (b 2+2b )C ．4x 2+8x-4=4x 12-x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ D ．4my-2=2(2my-1) 【答案】D【解析】【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．【详解】解：A 、是整式的乘法，故A 不符合题意；B 、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B 不符合题意；C 、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C 不符合题意；D 、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D 符合题意；故选D ．【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．15．下列从左到右的变形，是因式分解的是( )A ．2(a ﹣b)＝2a ﹣2bB ．221(a b)(a b)1-=-+++a bC ．2224(2)x x x -+=-D ．22282(2)(2)x y x y x y -=-+ 【答案】D【解析】【分析】根据因式分解的定义，把一个多项式变形为几个整式的积的形式是分解因式进行分析即可得出.【详解】解：由因式分解的定义可知：A. 2(a ﹣b)＝2a ﹣2b ，不是因式分解，故错误；B. 221(a b)(a b)1-=-+++a b ，不是因式分解，故错误；C. 2224(2)x x x -+=-，左右两边不相等，故错误；D. 22282(2)(2)x y x y x y -=-+是因式分解；故选：D【点睛】本题考查了因式分解的定义，熟知因式分解的定义和分解的规范要求是解题关键.16．若x 2+mxy+y 2是一个完全平方式，则m=（ ）A ．2B ．1C ．±1D ．±2【答案】D【解析】根据完全平方公式：(a +b )2=a 2+2ab +b 2与(a -b )2=a 2-2ab +b 2可知，要使x 2+mxy +y 2符合完全平方公式的形式，该式应为：x 2+2xy +y 2=(x +y )2或x 2-2xy +y 2=(x -y )2. 对照各项系数可知，系数m 的值应为2或-2.故本题应选D.点睛：本题考查完全平方公式的形式，应注意完全平方公式有(a +b )2、(a -b )2两种形式. 考虑本题时要全面，不要漏掉任何一种形式.17．将下列多项式因式分解，结果中不含因式x －1的是( )A ．x 2－1B ．x 2＋2x ＋1C ．x 2－2x ＋1D ．x(x －2)＋(2－x)【答案】B【解析】【分析】将各选项进行因式分解即可得以选择出正确答案．【详解】A. x 2﹣1=（x+1）（x-1）；B. x 2+2x+1=（x+1）2 ;C. x 2﹣2x+1 =（x-1）2;D. x （x ﹣2）﹣（x ﹣2）=（x-2）（x-1）；结果中不含因式x-1的是B ；故选B.18．把x 2－y 2－2y －1分解因式结果正确的是（ ）．A ．（x ＋y ＋1）(x －y －1)B ．（x ＋y －1）(x －y －1)C ．（x ＋y －1）(x ＋y ＋1)D ．（x －y ＋1）(x ＋y ＋1)【答案】A【解析】【分析】由于后三项符合完全平方公式，应考虑三一分组，然后再用平方差公式进行二次分解．【详解】解：原式=x 2-（y 2+2y+1），=x 2-（y+1）2，=（x+y+1）（x-y-1）．故选A ．19．下列因式分解正确的是（ ）A ．()22121x x x x ++=++B ．()222x y x y -=-C ．()1xy x x y -=-D ．()22211x x x +-=- 【答案】C【解析】【分析】根据平方差公式，提公因式法分解因式，完全平方公式，对各选项逐一分析判断即可得答案．【详解】A.x 2+2x+1=(x+1)2，故该选项不属于因式分解，不符合题意，B.x 2-y 2=(x+y)(x-y)，故该选项因式分解错误，不符合题意，C.xy-x=x(y-1)，故该选项正确，符合题意，D.x 2+2x-1不能因式分解，故该选项因式分解错误，不符合题意，故选：C ．【点睛】本题考查因式分解，因式分解首先看是否有公因式，如果有先提取公因式，然后再利用公式法或十字相乘法进行分解，要分解到不能再分解为止．20．三角形的三边a、b、c满足a（b﹣c）+2（b﹣c）＝0，则这个三角形的形状是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【答案】A【解析】【分析】首先利用提取公因式法因式分解，再进一步分析探讨得出答案即可【详解】解：∵a（b-c）+2（b-c）=0，∴（a+2）（b-c）=0，∵a、b、c为三角形的三边，∴b-c=0，则b=c，∴这个三角形的形状是等腰三角形．故选：A．【点睛】本题考查了用提取公因式法进行因式分解，熟练掌握并准确分析是解题的关键.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
因式分解讲练新课指南1.知识与技能：掌握运用提公因式法、公式法、分组分解法分解因式，及形如x2+(p+q)x+pq的多项式因式分解，培养学生应用因式分解解决问题的能力.2.过程与方法：经历探索因式分解方法的过程，培养学生研讨问题的方法，通过猜测、推理、验证、归纳等步骤，得出因式分解的方法.3.情感态度与价值观：通过因式分解的学习，使学生体会数学美，体会成功的自信和团结合作精神，并体会整体数学思想和转化的数学思想.4.重点与难点：重点是用提公因式法和公式法分解因式.难点是分组分解法和形如x2+(p+q)x+pq的多项式的因式分解.教材解读精华要义数学与生活630能被哪些数整除？说说你是怎么想的.思考讨论在小学我们知道，要想解决这个问题，需要把630分解成质数的乘积的形式，即630=2×32×5×7.类似地，在整式的变形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式，这种变形就是因式分解.那么如何进行因式分解呢？知识详解知识点1 因式分解的定义把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.【说明】 (1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆的运算.例如：(2)因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验.知识点2 提公因式法多项式ma+mb+mc中的各项都有一个公共的因式m，我们把因式m叫做这个多项式的公因式.ma+mb+mc=m(a+b+c)就是把ma+mb+mc分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式(a+b+c)是ma+mb+mc除以m所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法.例如：x2-x=x(x-1)，8a2b-4ab+2a=2a(4ab-2b+1).探究交流下列变形是否是因式分解？为什么，(1)3x2y-xy+y=y(3x2-x)；(2)x2-2x+3=(x-1)2+2；(3)x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1)；(4)x n(x2-x+1)=x n+2-x n+1+x n.点拨 (1)不是因式分解，提公因式错误，可以用整式乘法检验其真伪.(2)不是因式分解，不满足因式分解的含义(3)不是因式分解，因为因式分解是恒等变形而本题不恒等.(4)不是因式分解，是整式乘法.知识点3 公式法(1)平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b).即两个数的平方差，等于这两个数的和与这个数的差的积.例如：4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3).(2)完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2.其中，a2±2ab+b2叫做完全平方式.即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.例如：4x2-12xy+9y2=(2x)2-2·2x·3y+(3y)2=(2x-3y)2.探究交流下列变形是否正确？为什么？(1)x2-3y2=(x+3y)(x-3y)；(2)4x2-6xy+9y2=(2x-3y)2；(3)x2-2x-1=(x-1)2.点拨 (1)不正确，目前在有理数范围内不能再分解.(2)不正确，4x2-6xy+9y2不是完全平方式，不能进行分解.(3)不正确，x2-2x-1不是完全平方式，不能用完全平方公式进行分解，而且在有理数范围内也不能分解.知识点4 分组分解法(1)形如：am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b)(2)形如：x2-y2+2x+1=(x2+2x+1)-y2=(x+1)2-y2=(x+y+1)(x-y+1).把多项式进行适当的分组，分组后能够有公因式或运用公式，这样的因式分解方法叫做分组分解法.知识规律小结 (1)分组分解法一般分组方式不惟一.例如：将am+an+bm+bn因式分解，方法有两种：方法1：am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b).方法2：am+an+bm+bn=(am+bm)+(an+bn)=m(a+b)+n(a+b)=(m+n)(a+b).(2)分组除具有尝试性外，还要具有目的性，或者分组后能出现公因式，或者分组后能运用公式.例如：am+an+bm+bn分组后有公因式；x2-y2+2x+1分组后能运用公式.分组分解法是因式分解的基本方法，体现了化整体为局部，又统揽全局的思想，如何恰当分组是解题的关键，常见的分组方法有：(1)按字母分组；(2)按次数分组；(3)按系数分组.例如：把下列各式因式分解.(1) am+bm+an+bn；(2)x2-y2+x+y；(3)2ax-5by+2ay-5bx.知识点5 关于x2+(p+q)x+pq型二次三项式的因式分解x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).事实上：x2+(p+q)x+pq=x2+px+qx+pq=(x2+px)+(qx+pq)=x(x+p)+q(x+p)=(x+p)(x+q).∴x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).利用这个公式，可以把二次三项式因式分解，当p=q时，这个式子化成x2+2px+p2或x2+2qx+q2，是完全平方式，可以运用公式分解因式.例如：把x2+3x+2分解因式.(分析)因为二次三项式x2+3x+2的二次项系数是1，常数项2=1×2，一次项系数3=1+2，这是一个x2+(p+q)x+pq型式子.解：x2+3x+2=(x+1)(x+2)典例剖析师生互动基础知识应用题本节基础知识的应用主要包括：(1)掌握用提公因式法、公式法、分组分解法分解因式；(2)会分解关于x2+(p+q)x+pq型的二次三项式.例1 用提公因式法将下列各式因式分解.(1)ax-ay； (2)6xyz-3xz2； (3)-x3z+x4y；(4)36aby-12abx+6ab； (5)3x(a-b)+2y(b-a)；(6)x(m-x)(m-y)-m(x-m)(y-m).(分析) (1)～(4)题直接提取公因式分解即可，(5)题和(6)题首先要适当的变形，其中(5)题把b-a化成-(a-b)的，(6)题把(x-m)(y-m)化成(m-x)(m-y)，然后再提取公因式.解：(1)ax-ay=a(x-y)(2)6xyz-3xz2=3xz(2y-z).(3)-x3z+x4y=x3(-z+xy).(4)36aby-12abx+6ab=6ab(6y-2x+1).(5)3x(a-b)+2y(b-a)=3x(a-b)-2y(a-b)=(a-b)(3x-2y).(6)x(m-x)(m-y)-m(x-m)(y-m)=x(m-x)(m-y)-m(m-x)(m-y)=(m-x)(m-y)(x-m)=-(m-x)2(m-y).小结运用提公团式法分解因式时，要注意下列问题：(1)因式分解的结果每个括号内如有同类项要合并，而且每个括号不能再分解.如：(7m-8n)(x+y)-(3m-2n)(x+y)=(x+y)[(7m-8n)-(3m-2n)]=(x+y)(4m-6n).=2(x+y)(2m-3n).(2)如果出现像(5)(6)小题需统一时，首先统一，尽可能使统一的个数少，减少统一计算出现误差的机率，这时注意到(a-b)n=(b-a)n(n为偶数).例如：分解因式a(x-y)2+b(y-x)3+c(y-x)2.本题既可以把(x-y)统一成(y-x)，也可以把(y-x)统一成(x-y),但比较而言把(x-y)化成(y-x)比较简便，因为(x-y)2=(y-x)2.a(x-y)2+b(y-x)3+c(y-x)2=a(y-x)2+b(y-x)3+c(y-x)2=(y-x)2[a+b(y-x)+c]=(y-x)2(a+by-bx+c).(3)因式分解最后如果有同底数幂，要写成积的形式.例如：(7a-8b)(a-2b)+(a-8b)(a-2b)=(a-2b)[(7a-8b)+(a-8b)]=(a-2b)(8a-16b)=8(a-2b)(a-2b)=8(a-2b)2.学生做一做把下列各式分解因式.(1)am+an；(2)(xy+ay-by)；(3)(2a+b)(2a-3b)+(2a+5b)(2a+b)；(4)3x(a-b)-2y(b-a)；(5)4p(1-q)3+2(q-1)2；(6)a b2(x-y)m+a2b(x-y)m+1.老师评一评 (1)原式=a(m+n) (2)原式=y(x+a-b)；(3)原式=2(2a+b)2；(4)原式=(a-b)(3x+2y)；(5)原式=(1-q)2(4p-4pq+2)；(6)原式=ab(x-y)m(b+ax-ay).例2 把下列各式分解因式.(1)m2+2m+1；(2)9x2-12x+4；(3)1-10x+25x2；(4)(m+n)2-6(m+n)+9.(分析)本题旨在考查用完全平方公式分解因式.解：(1)m2+2m+1=(m+1)2.(2)9x2-12x+4=(3x-2)2.(3)1-10x+25x2=(1-5x)2.(4)(m+n)2-6(m+n)+9=(m+n-3)2.学生做一做把下列各式分解因式.(1)(x2+4)2-2(x2+4)+1；(2)(x+y)2-4(x+y-1).老师评一评 (1)原式=(x2+3)2；(2)原式=(x+y-2)2.例3 把下列各式分解因式.(1)x2+7x+10；(2)x2-2x-8；(3)y2-7y+10；(4)x2+7x-18.(分析) 二次三项式x2+7x+10的二次项系数为1，常数项10=2×5，一次项系数7=2+5，所以这是一个x2+(p+q)x+pq型的式子，可以用x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)进行因式分解.解：(1)x2+7x+10=(x+2)(x+5).(2)x2-2x-8=(x-4)(x+2).(3)y2-7y+10=(y-2)(y-5).(4)x2+7x-18=(x+9)(x-2).小结对于x2+(p+q)x+pq型二次三项式的因式分解，①pq＞0，则p,q同号，若p+q ＞0，则p＞0，q＞0；若q+p＜0，则p＜0，q＜0；②若pq＜0，则p,q异号，若p+q＞0，则绝对值大的为正数，若p+q＜0,则绝对值大的为负数.学生做一做把下列各式分解因式.(1)m2-7m+12；(2)x2y2-3xy-10；(3)(m-n)2-(m-n)-12；(4)x2-xy-2y2.老师评一评 (1)原式=(m-3)(m-4)；(2)原式=(xy-5)(xy+2)；(3)原式=(m-n-4)(m-n+3)；(4)原式=(x-2y)(x+y).综合应用题本节知识的综合应用主要包括：(1)用分组分解法分解因式；(2)与方程组的综合应用；(3)与几何知识的综合应用；(4)几种因式分解方法的综合应用.例4 分解因式.(1)x3-2x2+x；(2)(a+b)2-4a2；(3)x4-81x2y2；(4)x2(x-y)+y2(y-x)； (5)(a+b+c)2-(a-b-c)2.(分析)本题旨在考查综合运用提公因式法和公式法分解因式.解：(1)x3-2x2+x=x(x2-2x+1)=x(x-1)2.(2)(a+b)2-4a2=(a+b+2a)(a+b-2a)=(3a+b)(b-a).(3)x4-81x2y2=x2(x2-81y2)=x2(x+9y)(x-9y).(4)x2(x-y)+y2(y-x)=x2(x-y)-y2(x-y)=(x-y)(x2-y2)=(x-y)(x+y)(x-y)=(x+y)(x-y)2.(5)( a+b+c)2-(a-b-c)2=[(a+b+c)(a-b-c)][(a+b+c)-(a-b-c)]=2a·(2b+2c)=4a(b+c).例5利用分组分解法把下列各式分解因式.(1)a2-b2+a-b；(2)a2+b2-2ab-1；(3)(ax+by)2+(ay-bx)2；(4)a2-2ab+b2-c2-2c-1.(分析) 分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式，其中(1)题分组后存在公因式，(3)题需去括号后重新分组，(2)和(4)题分组后能运用公式.解：(1)a 2-b 2+a-b=(a 2-b 2)+(a-b) =(a+b)(a-b)+(a-b)=(a-b)(a+b+1). (2)a 2+b 2-2ab-1=(a 2-2ab+b 2)-1 =(a-b)2-1=(a-b+1)(a-b-1). (3)(ax+by)2+(ay-bx )2=a 2x 2+2abxy+b 2y 2+a 2y 2-2abxy+b 2x 2 =a 2x 2+b 2y 2+a 2y 2+b 2x 2 =(a 2x 2+a 2y 2)+(b 2y 2+b 2x 2) =a 2(x 2+y 2)+b 2(x 2+y 2) =(a 2+b 2)(x 2+y 2). (4)a 2-2ab+b 2-c 2-2c-1 =(a 2-2ab+b 2)-(c 2+2c+1) =(a-b)2-(c+1)2=[(a-b)+(c+1)][(a-b)-(c+1)] =(a-b+c+1)(a-b-c-1).小结 解因式分解题时，首先考虑是否有公因式，如果有，先提公因式；如果没有公因式或提取公因式后，通常分下列几种情况考虑：(1)如果是四项或四项以上，考虑用分组分解法；(2)如果是二次三项式或完全平方式，则考虑用x 2+(p+q)x+pq 型式子或完全平方公式分解因式；(3)如果是两项，则考虑能否用平方差公式分解因式. 最后，直到每一个因式都不能再分解为止.例6 解方程组⎩⎨⎧=-=-②①.12,5422y x y x(分析)本题是一个二元二次方程组，就目前的知识水平来说，用代入消元法或加减消元法来解是困难的.但是我们发现这个方程组有一个特点是方程x 2-4y 2=5可以通过因式分解为(x+2y)(x-2y)=5，再把x-2y=1代入方程(x+2y)(x-2y)=5中，即可得到x+2y=5由此原方程组就可以化成一个二元一次方程组而解出.解：由①得(x+2y)(x-2y)=5，③ 把②代入③中得x+2y=5，④ ∴原方程组化为⎩⎨⎧=-=+②④,12,52y x y x ②+④得2x=6，∴x=3. ②-④得4y=4，∴y=1. ∴原方程组的解为⎩⎨⎧==.1,3y x 学生做一做 解方程组⎩⎨⎧-=-=+.359,7322y x y x老师评一评 ⎩⎨⎧==.2,1y x例7 若a ，b ，c 是三角形的三边，且满足关系式a 2+b 2+c-ab-ac-bc=0，试判断这个三角形的形状.解：∵a 2+b 2+c 2-ab-ac-bc=0， ∴2a 2+2b 2+2c 2-2ab-2ac-2bc=0.即(a 2-2ab+b 2)+(b 2-2bc+c 2)+(c 2-2ac+a 2)=0， (a-b )2+(b-c )2+(c-a)2=0. 由平方的非负性可知，∴a=b=c.∴这个三角形是等边三角形.例8 利用因式分解计算下列各题.(1)234×265-234×65； (2)992+198+1.(分析)主要应用提公因式法和公式法分解因式来计算.解：(1)234×265-234×65=234×(265-65)=234×200=46800.(2)992+198+1=992+2×99×1+1=(99+1)2=1002=10000.学生做一做 利用因式分解计算下列各题.(1)7.6×199.9+4.3×199.9-1.9×199.9；(2)20022-4006×2002+20032； (3)5652×11-4352×11； (4)(543)2-(241)2. 老师评一评 (1)原式=1999； (2)原式=1；(3)原式=143000O ； (4)原式=28.例9 若9x 2+kxy+36y 2是完全平方式，则k= .(分析) 完全平方式是形如：a 2±2ab+b 2即两数的平方和与这两个数乘积的2倍的和(或差).∵9x 2+kxy+36y 2=(3x)2+kxy+(6y)2，∴±kxy=2·3x ·6y=36xy.∴k =±36.学生做一做 若x 2+(k+3)x+9是完全平方式，则k= .老师评一评 k=3或k=-9.探索与创新题例10 计算200420032004200365654343212122222222+-+++-++-++- . (分析) 本题旨在考查因式分解的灵活运用,即ba b a b a b a b a +-+=+-))((22=a-b(a+b ≠0). 解:原式=65)65)(65(43)43)(43(21)21)(21(+-+++-+++-++… +20042003)20042003)(20042003(+-+ =(1-2)+(3-4)+(5-6)+…+(2003-2004)=(-1)×(2004÷2)=-1002.例11 若x 2+kx+20能在整数范围内因式分解，则k 可取的整数值有( )A.2个B.3个C.4个D.6个(分析) 若把x 2+kx+20在整数范围内因式分解，由式子x 2+(p +q)x+qq 考虑把20分解因数，20可分解为：20×1，(-20)×(-1)，10×2，(-10)×(-2)，5×4，(-5)×(-4)，所以k 可能取的值有：20+1，(-20)+(-1),10+2，(-10)+(-2),5+4，(-5)+(-4),故k 可能取的值有6个，所以正确答案为D 项.例12 分解因式(x 4+x 2-4)(x 4+x 2+3)+10.(分析)把x 4+x 2作为一个整体，用一个新字母代替，从而简化式子的结构.解：令x 4+x 2=m ，则原式可化为(m-4)(m+3)+10=m 2-m-12+10=m 2-m-2=(m-2)(m+1)=(x4+x2-2)(x4+x2+1)=(x2+2)(x2-1)(x4+x2+1)=(x2+2)(x+1)(x-1)(x4+x2+1).学生做一做求证：四个连续自然数的积再加上1，一定是一个完全平方数.老师评一评设这四个连续自然数依次为n，n+1，n+2，n+3，则n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n2+3n)(n2+3n+2)+1=(n2+3n)2+2(n2+3n)+1=(n2+3n+1)2∴n(n+1)(n+2)(n+3)+1一定是一个完全平方数.例13 若x2+7xy+my2-5x+43y-24可以分解成x,y的两个一次因式的积，试确定m的值.(分析)用待定系数法，令x2+7xy+my2-5x+43y-24=(x+ay+b)(x+cy+d),再对比系数求得m.解:设x2+7xy+my2-5x+43y-24=(x+ay+b)(x+cy+d)=x2+(a+c)xy+acy2+(b+d)x+(ad+bc)y+bd.对比多项式的系数得由③，⑤两式可得b=-8，d=3，或b=3，d=-8.(1)当b=-8，d=3时，得a=9，c=-2，⑥(2)当b=3，d=-8时，得a=-2，c=9.⑦∴m=-18.学生做一做已知多项式2x3-x2+m有一个因式(2x+1),求m的值.老师评一评由已知条件可以设2x3-x2+m=(2x+1)(x2+ax+b),则2x3-x2+m=2x3+(2a+1)x2+(a+2b)x+b.对比多项式系数可得中考展望点击中考中考命题总结与展望本章内容在中考中多以填空、选择题的形式出现，直接以分解因式单独命题的并不多，但它与方程组、二元一次方程、二次函数及分式的运算的结合都是屡见不鲜的，应在学习中引起充分的重视.中考试题预测例1 (1)分解因式：a2-25= ； (2)分解因式：xy2-x2y= ；(3)分解因式：x2-1= ； (4)分解因式：3x2-3= ；(5)分解因式：x2+2xy+y2-4= ； (6)分解因式：x3y2-4x= ；(7)分解因式：2x2-2= ； (8)分解因式：a3+2a2+a= ；(9)分解因式：x3y-4xy+4y= ； (10)分解因式：a2-2ab+b2-c2= .(分析) (1)直接运用平方差公式分解即可.(2)直接运用提取公因式法分解即可.(4)3x2-3=3(x2-1)=3(x+1)(x-1).(5)解决本题采用分组分解法，x2+2xy+y2-4=(x2+2xy+y2)-4=(x+y)2-4=(x+y+2)(x+y-2).(6)先提取公因式，再运用公式法分解因式.x 3y 2-4x=x(x 2y 2-4)=x(xy+2)(xy-2). 答案：(1)(a+5)(a -5) (2)xy(y-x) (3)(x+1)(x-1) (4)3(x+1)(x-1) (5)(x+y+2)(x+y-2)(6)x(xy+2)(xy-2) (7)2(x+1)(x-1) (8)a(a+1)2 (9)y(x-2)2 (10)(a-b+c)(a-b-c)例2下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是( )A.x 2-yB.x 2+2yC.x 2+y 2D.x 2-xy+y 2答案:B例3 将多项式a 2-ab+ac-bc 分解因式，分组的方法共有 种.(分析) 一种是：a 2-ab+ac-bc=(a 2-ab)+(ac-bc)；另一种是：a 2-ab-ac-bc=(a 2+ac)-(ab+bc)，∴分组方法共有2种.例4 x 2-y 2-x-y 分解因式的结果是 .答案：(x+y)(x-y-1)例5 将下列式子因式分解：x-x 2-y+y 2= .答案：(x-y)(1-x-y) 例6解方程组⎩⎨⎧=+=--②①.2,0222y x y xy x(分析)运用因式分解把二元二次方程组转化成二元一次方程组.解：由①得(x-2y)(x+y)=0，③把②代入③中，得x-2y=0，④原方程组化为⎩⎨⎧=-=+④②,02,2y x y x②-④得3y=2，∴y=32. 把y=32代入④中，得x=34.∴原方程组的解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.32,34y x例7 (2004·甘肃)为使x 2-7x+b 在整数范围内可以分解因式，则b 可能取的值为 .(任写一个)(分析) 这是一个开放性试题，答案不惟一，依据的是式子x 2+(p+q)x+pq.答案：-8例8 (2004·宁夏)把多项式1-x 2+2xy-y 2分解因式的结果是( )A.(1-x-y)(1+x-y)B.(1+x-y)(1-x+y)C.(1-x-y)(1-x+y)D.(1+x-y)(1+x+y)(分析)解决本题采用分组分解法.1-x 2+2xy-y 2=1-(x 2-2xy+y 2)=1-(x-y)2=(1+x-y)(1-x+y).故此，正确答案为B 项.课堂小结 本节归纳1.本节主要学习了：用提公因式法分解因式；用公式法分解因式；用分组分解法分解因式；形如x 2+(p+q)x+pq 的二次三项式的因式分解.2.会运用因式分解解决计算问题.习题选解 课本习题人教版课本第200～201页习题15.51.(1)原式=5a 2(3a+2)； (2)原式=3bc(4a-c)；(3)原式=2(p+q)(3p-2q)；(4)原式=(a-3)(m-2). 2.(1)原式=(1+6b)(1-6b)； (2)原式=3(2x+y)(2x-y)；(3)原式=(0.7p+12)(0.7p-12)；(4)原式=3(x+y)(x-y). 3.(1)原式=(1+5t)2；(2)原式=(m-7)2； (3)原式=(y+21)2；(4)原式=(3m+n )2； (5)原式=(5a-8)2；(6)原式=(a+b+c)2. 4.(1)原式=314；(2)原式=508000. 5.(1)原式=(a+b)2；(2)原式=(p+2)(p-2)； (3)原式=-y(2x-y)2；(4)原式=3a(x+y)(x-y). 6.解：当V=IR 1+IR 2+IR 3,R 1=19.7，R 2=32.4，R 3=35.9，I=2.5时，V=19.7×2.5+32.4×2.5+35.9×2.5=2.5(19.7+32.4+35.9)=2.5×88=220.7.解：当R=7.8cm ，r=1.1cm ，π=3.14时，πR 2-4πr 2=3.14×7.82-4×3.14×1.12=3.14×(7.82-4×1.12)=3.14×(7.8+2×1.1)(7.8-2×1.1)=3.14×10×5.6=175.84(c m 2).∴阴影部分的面积为175.84c m 2.8.提示：方法有两种，一种是用两条路面积和减去交叉路口正方形的面积；另一种是用一条路的面积再加上被分成两段路的面积和.如图15－19所示.设横向甬道左边部分长m米，右边部分为(x-m-2)米，则甬道面积为2x+m·2+2(x-m-2)=2x+2m+2x-4-2m=(4x-4)(米2).9.提示：∵4y2+my+9是完全平方式，∴my是2×2y×3=12y.∴m=±12.10.解：结论是n(n+2)+1=(n+1)2.证明过程如下：∵n(n+2)+1=n2+2n+1=(n+1)2.∴n(n+2)+1=(n+1)2.自我评价 知识巩固1.若x 2+2(m-3)x+16是完全平方式，则m 的值等于( )A.3B.-5C.7.D.7或-12.若(2x )n -81=(4x 2+9)(2x+3)(2x-3)，则n 的值是( )A.2B.4C.6D.83.把(a+b)-4(a 2-b 2)+4(a-b)2分解因式的结果是( )A.(3a-b )2B.(3b+a)2C.(3b-a)2D.(3a+b)24.把(5x-2y )2+(2x+5y )2分解因式为( )A.2(5x-2y)2B.-2(5x-2y)2C.29(x 2+y 2)D.以上都不对5.若多项式x 2+pxy+qy 2=(x-3y)(x+3y)，则p,q 的值依次为( )A.-12,-9B.-6,9C.-9,-9D.0,-96.分解因式：4x 2-9y 2= .7.利用因式分解计算：2224825210000 = . 8.若x=3.2，y=6.8，则x 2+2xy+y 2= .9.把多项式4-4(a-b)+(a-b)2分解因式的结果是 .10.计算：12-22+32-42+52-62+72-82+92-102= .11.分解因式.(1)(x+y)2-9y 2； (2)a 2-b 2+a+b ；(3)10b(x-y)2-5a(y-x )2； (4)(ab+b)2-(a+1)2；(5)(a2-x2)2-4ax(x-a)2； (6)(x+y+z)2-(x-y+z)2.12.已知x-y=1,xy=2，求x3y-2x2y2+xy3的值.13.已知x-y=2，x2-y2=6，求x与y的值.14.利用因式分解计算19992+1999-20002.15.解方程(65x+63)2-(65x-63)2=260.16.已知a,b,c是△ABC的三边，且满足关系式a2+c2=2ab+2bc-2b2，试说明△ABC是等边三角形.17.当a，b为何值时，多项式a2+b2-4a+6b+18有最小值？并求出这个最小值.参考答案1.D2.B3.C4.C5.D6.(2x+3y)(2x-3y)7.58.1009.(2-a+b)210.-55[提示：运用平方差公式分解因式.原式=(1+2)(1-2)+(3+4)(3-4)+(5+6)(5-6)+(7+8)(7-8)+(9+10)(9-10) =-(1+2)-(3+4)-(5+6)-(7+8)-(9+10)=(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10) =2)110(10+⨯=-55.] 11.(1)原式=(x+4y)(x-2y)；(2)原式=(a+b)(a-b+1)；(3)原式=5(x-y )2(2b-a)；(4)原式=(a+1)2(b+1)(b-1)；(5)原式=(a-x)2；(6)原式=4y(x+z).12.提示：x 3y -2x 2y 2+xy 3=xy(x 2-2xy+y 2)=xy(x-y )2.当x-y=1，xy=2时，原式=2×12=2.13.解：∵x 2-y 2=6,∴(x+y)(x-y)=6.又∵x-y=2，①∴x+y=3.②.由①②组成方程组⎩⎨⎧=+=-,3,2y x y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.21,25y x 14.解：19992+1999-20002=19992-20002+1999=(1999+2000)(1999-2000)+1999=-(1999+2000)+1999=-1999-2000+1999=-2000.15.解：(65x+63)2-(65x-63)2=260，(65x+63+65x-63)(65x+63-65x+63)=260， 130x ×126=260，126x=2.∴x=631.(运用平方差公式) 16.解：∵a 2+c 2=2ab+2bc-2b 2，∴a 2+c 2+2b 2-2ab-2bc=0.∴(a 2+b 2-2ab)+(c 2+b 2-2bc)=0.∴(a-b)2+(b-c)2=0.由平方的非负性可知，⎩⎨⎧=-=-,0,0c b b a ∴⎩⎨⎧==.,c b b a ∴a=b=c.∴△ABC 是等边三角形.17.提示：∵a 2+b 2-4a+6b+18=(a 2-4a+4)+(b 2+6b+9)+5=(a-2)2+(b+3)2+5，又∵(a-2)2≥0，(b+3)2≥0，∴当a=2,b=-3时, a 2+b 2-4a+6b+18有最小值5.。