线性代数习题册参考解答
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第一章 行列式
1、求下列排列的逆序数，并确定它们的奇偶性。 （1）1347265；（2）321)1( n n 。
【解】（1）62130000)1347265( ，偶排列；
（2）2
)
1()1(210]321)1([ n n n n n 。 当14,4 k k n 时，
2),14(22
)
1( k k k n n 当34,24 k k n 时，4)(12(2
)
1( k n n 排列。■
2、用行列式定义计算
x
x x x x f 1
11
2
31112
)
(
中4
x 和3
x 的系数，并说明理由。 含4x 2；
含有3
x （4，4）的元素乘积项，而
10 ，
故3
x 的系数为1 36
1
1
6
1203110
225
16
1
1
31106120
2
2
5
16
01
1
301160212152
32311
22
41
324
r r c c r r r r r r D
93
3003110225
1232
42
r r r r 。■
4、求8
444363322421
1124
D 。
【解】性质（三角化法）+行和相等的行列式：
2111121111211112248
444363322421112432124
324
34r r r r r r r D 1201
000010000101
111120
1
4
,3,2 r r k k 。■
5、求
x x x D n
1
11m
D n n c c c n
n
(21
m
m m x n
i i c x c n
k k k
1
01001
)
(1
,,3,2111))(( n n
i i m m x 。■
6、求n
n a a a D
01001
01
1110
211 ，其中021 n a a a 。 【解】箭形行列式（爪形行列式）：利用对角线上元素将第一行（或列）中元素1化为零。
为此，第一列减去第k 列的
k
a 1
（n k ,,3,2 ）可得： n n i i n
n
i i n a a a a a a a a D
2112111)1
(0
00
0000001
1
11
。■ 7、求7
111141111311
112
D 。
【解】降阶法。
313151017
11
1
1411113100217
1111411113111121
22
12c c r r D
3140 8、求4
3210
00
0b b a a D
【解】法1
))((323241413
3
2
2
b b a a b b a a a b b a 法2（降阶法）按第一行展开可得：
0)1(0
004
33224114
33
22
1b a b b a b a a b b a a D ， 再各按最后一行展开可得：
3
32
24141)
(a b b a b b a a D ))((32324141b b a a b b a a 。
注：不能简单地应用“对角线法则”得出错误结论：43214321b b b b a a a a D 。■
9、证明n n n n n n n a x a x a x a a a a a x x
x
D
122111
2
1
111
。 【证】观察：相邻阶行列式具有“相似性”，为此，按第一列展开可得相邻阶行列式间的递推关系。
数学归纳法：
（i ）211
2
21a x a a a x D
，2 n 成立；
（ii ）假设1 n 成立，则由
n
n n c n x
x
a xD D 1
111
)
1(1
可知：n 也成立，故得证。■ 10、已知4
3
334321，
求322212A A A 4,3,2,1 i ）。 2212A A A 3
2
32324441333122211111
12)34)(24)(23)(14)(13)(12( 。■ 11、解方程组 ,
,,
3221
32
213221d x c cx x d x b bx x d x a ax x 其中c b a ,,互异。
【解】∵c b a ,,互异，