(完整版)第三节曲面及其方程教案
高等数学(下)教案曲面及其方程
高等数学(下)教案曲面及其方程教学目标：1. 理解曲面的概念，掌握曲面的基本性质。
2. 学习曲面的方程表示方法，掌握常见曲面的方程。
3. 能够利用曲面方程进行曲面的绘制和分析。
教学内容：一、曲面的概念与基本性质1. 曲面的定义2. 曲面的基本性质2.1 曲面的导数2.2 曲面的切线和法线2.3 曲面的曲率2.4 曲面的切平面和法平面二、曲面的方程表示方法1. 参数方程表示法2.1 参数方程的定义2.2 参数方程的求导和积分2. 普通方程表示法2.1 普通方程的定义2.2 普通方程的求导和积分3. 柱面和二次曲面的方程3.1 柱面的方程3.2 二次曲面的方程三、常见曲面的方程1. 圆锥面的方程2. 椭圆面的方程3. 双曲面的方程4. 抛物面的方程5. 直纹面的方程四、曲面的绘制和分析1. 利用参数方程绘制曲面2. 利用普通方程绘制曲面3. 曲面的切线和法线分析4. 曲面的曲率分析5. 曲面的切平面和法平面分析教学方法：1. 采用多媒体教学，通过图形和动画展示曲面的形状和性质。
2. 通过例题讲解和练习，使学生掌握曲面方程的求解和分析方法。
3. 引导学生运用曲面方程解决实际问题，提高学生的应用能力。
教学评价：1. 课堂讲解和练习的参与度。
2. 学生对曲面方程的掌握程度。
3. 学生能够运用曲面方程进行曲面的绘制和分析。
教学资源：1. 教学PPT和动画演示。
2. 曲面方程的相关教材和参考书。
3. 计算机软件进行曲面的绘制和分析。
六、曲面的切平面和法线1. 切平面的定义与性质6.1 切平面的定义6.2 切平面的性质2. 法线的定义与性质6.3 法线的定义6.4 法线的性质3. 切平面和法线的求法6.5 切平面和法线的求法七、曲面的曲率1. 曲率的定义与性质7.1 曲率的定义7.2 曲率的性质2. 曲率的计算7.3 曲率的计算方法3. 曲面的弯曲程度分析7.4 曲面的弯曲程度分析八、曲面的绘制与分析实例1. 实例一：圆锥面的绘制与分析8.1 圆锥面的参数方程8.2 圆锥面的普通方程8.3 圆锥面的切平面和法线分析2. 实例二：椭圆面的绘制与分析8.4 椭圆面的参数方程8.5 椭圆面的普通方程8.6 椭圆面的切平面和法线分析3. 实例三：双曲面的绘制与分析8.7 双曲面的参数方程8.8 双曲面的普通方程8.9 双曲面的切平面和法线分析九、曲面在实际问题中的应用1. 曲面在工程中的应用9.1 曲面在机械设计中的应用9.2 曲面在建筑设计中的应用2. 曲面在自然科学中的应用9.3 曲面在光学中的应用9.4 曲面在声学中的应用十、复习与练习1. 复习本章内容10.1 复习曲面的概念与基本性质10.2 复习曲面的方程表示方法10.3 复习常见曲面的方程2. 课堂练习10.4 完成课堂练习题3. 课后作业10.5 布置课后作业教学方法：1. 采用案例教学法，通过具体实例讲解曲面的绘制与分析方法。
高等数学(下)教案曲面及其方程
高等数学(下)教案曲面及其方程教案内容：一、教学目标1. 让学生理解曲面的概念，掌握曲面的表示方法。
2. 让学生了解曲面的性质，如曲率、切线和法线等。
3. 让学生学会求解曲面的方程，并能运用曲面方程解决实际问题。
二、教学内容1. 曲面的概念及其表示方法曲面的定义曲面的表示方法：参数方程、直角坐标方程、柱面方程等。
2. 曲面的性质曲率：定义、计算方法及应用切线和法线：定义、计算方法及应用曲面的形状和分类：平面、柱面、锥面、二次曲面等。
3. 曲面的方程求解曲面的参数方程求解曲面的直角坐标方程求解曲面的柱面方程求解三、教学方法1. 采用多媒体教学，通过图形、动画等方式展示曲面的形象，帮助学生直观理解曲面的概念和性质。
2. 结合实例讲解曲面的方程求解方法，引导学生通过实践掌握曲面方程的求解技巧。
3. 开展课堂讨论，鼓励学生提出问题，共同探讨曲面的性质和应用。
四、教学安排1. 课时：2学时2. 教学方式：课堂讲解、实践练习、课堂讨论3. 教学过程：曲面的概念及其表示方法（0.5学时）曲面的性质（0.5学时）曲面的方程求解（0.5学时）课堂讨论（0.5学时）五、教学评价1. 课堂练习：要求学生在课堂上完成曲面方程的求解练习，检验学生对曲面方程的掌握程度。
2. 课后作业：布置有关曲面方程求解的课后作业，巩固学生对曲面方程的知识。
3. 课程考试：设置有关曲面方程的考试题目，全面评估学生对曲面及其方程的掌握情况。
六、教学内容1. 曲面的切平面与法线切平面的概念及其求法法线的概念及其求法切平面和法线在几何图形中的应用2. 曲面的图形描绘利用参数方程描绘曲面的图形利用直角坐标方程描绘曲面的图形利用柱面方程描绘曲面的图形七、教学方法1. 采用案例分析法，通过具体实例讲解曲面的切平面和法线的求法。
2. 利用计算机软件，演示曲面的图形描绘过程，帮助学生直观理解曲面的图形。
3. 鼓励学生参与讨论，分享曲面图形的描绘技巧，提高学生的动手能力和解决问题的能力。
(完整版)第三节曲面及其方程教案
重庆科创职业学院授课教案课名：高等数学（工本0023）班级：_______ 教研窒：数理教研室编写时间：________课题：第四节空间曲面及其方程教学目的及要求：知道旋转曲面、柱面，了解常见的二次曲面的方程及图形。
介绍空间曲线的各种表示形式。
是为重积分、曲面积分作准备的，学生应知道各种常用立体的解析表达式，并简单描图，对投影等应在学习时特别注意。
教学重点：1. 旋转曲面、柱面2. 空间曲线的一般表示形式3. 空间曲线在坐标面上的投影教学难点：空间曲线在坐标面上的投影而M o M (x x o)2(y y。
)2(z z。
)2所以(x X。
)2(y y。
)2(z z o)2R2这就是以点M0(x0,y0,z0)为球心，R为半径的球面方程。
当x0y0z00时，得球心在原点，半径为R的球面方程为2 2 2 2x y z R三、柱面动直线I沿给定曲线C平行移动所形成的曲面，称为柱面。
直线I称为柱面的母线，定曲线C称为柱面的准线。
我们只讨论准线在坐标面内，母线平行于坐标轴的柱面。
建立以xoy 面上的曲线C; f(x,y)=O 为准线，母线平行于z轴的柱面方程。
设M(x,y,x)是柱面上的任意一点，过点M的母线与xoy面的交点N —定在准线C 上(见图9.26 )。
点N的坐标为(x,y,0 );不论点M的竖坐标z取何值，它的横坐标x和纵坐标y都满足方程f(x,y)=0,因此所求柱面方程为f(x,y)=0在平面直角坐标系中，方程f(x,y)=0 表示一条平面曲线，在空间直角坐标系中，方程f(x,y)=0表示以xoy面上的曲线；f y)。
为准线，母线四、 旋转曲面平面曲线C 绕同一平面上定直线I 旋转一周所形成的曲面，称为旋 转曲面。
定直线称为旋转轴。
建立yoz 面上的一条曲线 C:f(y,z)=0,绕z 轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程(见图 9.31)设M(x,y,z)为旋转曲面上的任一点，过点M 做平面垂直于Z 轴，交z 轴于点P(0,0,z),交曲线C 于点M °(0, y o ，z 。
第八章 第3节 曲面及其方程
以下给出几例常见的曲面. 例1
解 根据题意有
M M0
球心在原点时
---球面的标准方程
4
上半球面 ： 下半球面：
5
例2.研究方程 的曲面？ 解: 配方得
此方程表示: 球心为 半径为
的球面.
表示怎样
说明: 如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 )
---球面的一般方程
都可通过配方研究它的图形. 其图形可能是
20
旋转曲面
21
旋转曲面
22
旋转曲面
23
旋转曲面
重播
24
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程: 母线:
将
代入
得旋转曲面方程
：
25
26
27
例5
解 所以圆锥面方程为
两边平方 ---圆锥面的标准方程
28
练习1 即
z
o
y
x
29
练习1
即 ---旋转双叶双曲面
---旋转单叶双曲面
o
y
x
o
y
x
67
小结
1. 空间曲面 球面
旋转曲面 如, 曲线
三元方程 绕 z 轴的旋转曲面:
柱面
如,曲面
表示母线平行 z 轴的柱面
又如,圆柱面、椭圆柱.面、双曲柱面、抛物柱面等 .
68
一个球面 , 或点 , 或虚轨迹.
6
例3 解
根据题意有
化简得所求方程
--平面方程
7
例4 方程 解 ？根据题意有
的图形是怎样的
图形上不封顶，下封底．
8
以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．
高等数学(下)教案曲面及其方程
高等数学(下)教案曲面及其方程一、教学目标1. 理解曲面的概念，掌握曲面的基本性质。
2. 学习曲面的方程，了解常见的曲面方程及其图形。
3. 学会利用曲面方程解决问题，提高空间解析几何能力。
二、教学内容1. 曲面的概念及分类曲面及其定义曲面的例子曲面的分类2. 曲面的基本性质曲面的导数曲面的切线和法线曲面的切平面和法平面曲面的曲率3. 曲面的方程曲面方程的定义参数方程直角坐标方程柱面和锥面的方程旋转曲面的方程4. 曲面的图形及性质曲面的图形曲面的对称性曲面的边界曲面的连通性5. 曲面的应用曲面上的点、线、面曲面的投影曲面的截面曲面的面积三、教学方法1. 讲授法：讲解曲面的概念、性质和方程，阐述曲面的图形及应用。
2. 直观演示法：利用图形软件展示曲面的图形，增强学生对曲面的直观认识。
3. 案例分析法：分析典型例题，引导学生学会利用曲面方程解决问题。
4. 小组讨论法：分组探讨曲面的性质和应用，提高学生的合作能力。
四、教学准备1. 教学课件：制作曲面及其方程的教学课件，包括图形、例题等。
2. 图形软件：准备曲面图形的展示软件，如Mathematica、GeoGebra等。
3. 练习题库：准备与曲面及其方程相关的练习题，包括基础题、提高题和综合题。
五、教学评价1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的发言和提问情况，评估学生的参与度。
2. 作业完成情况：检查学生提交的练习题，评估学生对曲面及其方程的理解和掌握程度。
3. 小组讨论报告：评估学生在小组讨论中的表现，包括分析问题、解决问题和合作能力。
4. 期中考试：设置期中考试，全面测试学生对曲面及其方程的掌握情况。
六、教学内容6. 曲面的切线和法线切线和法线的定义切线和法线的计算切线和法线的性质7. 曲面的曲率和曲率半径曲率的定义和计算曲率半径的概念曲率与图形的关系8. 曲面的渐近线和奇点渐近线的定义和性质奇点的定义和分类奇点与曲面的图形关系9. 曲面的面积和体积曲面的面积计算曲面的体积计算曲面面积和体积的应用10. 曲面的参数方程和直角坐标方程的转换参数方程和直角坐标方程的关系参数方程和直角坐标方程的转换方法转换过程中的注意事项七、教学方法1. 讲授法：讲解曲面的切线、法线、曲率、渐近线和奇点的概念及其性质。
第三节 空间曲面及方程
即
( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 )2 R
x2+y2+z2=R2
故球面方程为: (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2 特别,当M0在原点时,球面方程为: 球面方程的一般式为: x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D=0 其特征为: (1) x2, y2, z2系数相同； (2)无 xy , xz, yz项。 例: x2+y2+z2 -2x+4z -4=0 配方得(x-1)2+y2+(z+2)2=32
缺谁,母线平行谁
a
o
b y
y a o
x
x
14
柱面
z
(3) 抛物柱面: y2 =2x
母线平行于z 轴,
o x y z
准线为xoy 面上的抛物线:
(4) 平面: y-2z=0 母线平行于x 轴,
y2 =2x
。
y-2z=0
•
准线为yoz 面上的直线: y-2z=0 。
x
y
o
x2 y2 ——— =1 (1) 椭圆柱面: ——— + a2 b2
M•
任取曲面S上点M(x, y, z), 其点必是由曲线L上点M0(x0, y0, z0) 绕 z 轴转旋转而来. 则有: z=z0; x2+ y2 =y0; 因为f (y0, z0)=0, x
• M0
S
L
y
所以f ( x2+ y2 , z)=0.
6
旋转曲面
2、设yoz面上曲线 L: f (y, z)=0 绕 z 轴旋转一周, 所成曲面的方程为:
高等数学(下)教案曲面及其方程
高等数学(下)教案曲面及其方程一、教学目标1. 理解曲面的概念，掌握曲面的表示方法。
2. 学习曲面的方程，了解曲面的性质和分类。
3. 能够运用曲面的知识解决实际问题。
二、教学内容1. 曲面的概念及表示方法曲面的定义曲面的表示方法：参数方程、普通方程、参数曲线2. 曲面的方程曲面的方程的定义曲面的方程的求法曲面的方程的性质3. 曲面的性质和分类曲面的基本性质：连续性、differentiability、smoothness 曲面的分类：凸面、凹面、平面、空间曲线4. 曲面的切线和法线曲面的切线的定义和性质曲面的法线的定义和性质5. 曲面的实例分析球面平面圆柱面圆锥面三、教学方法1. 讲授法：讲解曲面的概念、性质和分类，讲解曲面的方程的求法。
2. 案例分析法：分析具体的曲面实例，引导学生理解曲面的性质和方程。
3. 互动教学法：引导学生参与课堂讨论，提问和解答问题。
四、教学准备1. 教案和教学PPT2. 相关数学软件和模型五、教学评价1. 课堂参与度：学生参与课堂讨论、提问和解答问题的积极性。
2. 作业完成情况：学生完成作业的情况和答案的正确性。
3. 期末考试：期末考试中关于曲面及其方程的题目得分情况。
六、教学重点与难点1. 教学重点：曲面的概念及表示方法曲面的方程的求法和性质曲面的性质和分类曲面的切线和法线的性质2. 教学难点：曲面的方程的求法曲面的切线和法线的求法1. 课时安排：本章共安排8课时。
2. 课时分配：曲面的概念及表示方法（2课时）曲面的方程（2课时）曲面的性质和分类（2课时）曲面的切线和法线（1课时）曲面的实例分析（1课时）八、教学步骤1. 引入曲面的概念，引导学生思考曲面在现实生活中的应用。
2. 讲解曲面的表示方法，包括参数方程、普通方程和参数曲线。
3. 引导学生学习曲面的方程的求法，通过实例讲解。
4. 讲解曲面的性质和分类，引导学生理解曲面的不同特征。
5. 讲解曲面的切线和法线的性质，引导学生掌握切线和法线的求法。
高等数学教案：曲面及其方程+高一数学必备知识点
高等数学教案：曲面及其方程+高一数学必备知识点高等数学教案：曲面及其方程介绍各种常用的曲面，为下学期学习重积分、线面积分打下基础。
学生应该会写出常用的曲面方程，并对已知曲面方程能知道所表示曲面的形状。
本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：基本内容：曲面方程的概念，几种常见曲面的方程及简单几何性质重点：几种常见曲面的方程及其图形难点：旋转曲面对学生的引导及重点难点的解决方法：从曲面方程的一般概念入手，围绕空间解析几何中关于曲面研究的两个基本问题展开讨论.讲清如何将曲面上点满足的几何关系表达成解析式，得出曲面的方程，及如何由已知方程讨论其图形在几何上的性态.本次课程除了给出各种曲面的一般形式，应突出在多元微分学中常用的几种曲面:球面，柱面及其旋转抛物面和各种柱面.在讲授时应把抽象的几何图形与现实生活中的事物联系起来.本节的难点是旋转曲面和柱面方程的建立.在建立方程时，一定要抓住哪些量在变，哪些量没变，变化的量之间的关系如何挖掘，从而找出问题的突破口，在解决问题时尽量结合直观的几何图形.。
例题：实例：水桶的表面、台灯的罩子面等，曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹例1：建立球心在、半径为R的球面的方程。
例2：设有点和，求线段的垂直平分面的方程。
其他例题参见PPT本授课单元教学手段与方法：本节教学采用多媒体教学同时结合一些实物.把抽象的几何图形具体化.本授课单元思考题、讨论题、作业：高等数学（同济五版）P3181.7.10（1）（4）.本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）高等数学（同济五版）P310---P319注：1.每单元页面大小可自行添减；2.一个授课单元为一个教案；3.“重点”、“难点”、“教学手段与方法”部分要尽量具体；4.授课类型指：理论课、讨论课、实验或实习课、练习或习题课。
高一数学必备知识点三篇高一数学必备知识点1两个平面的位置关系：（1）两个平面互相平行的定义：空间两平面没有公共点（2）两个平面的位置关系：两个平面平行——没有公共点；两个平面相交——有一条公共直线。
《曲面及其方程》课件
02
常见曲面及其方程
平面
总结词：二维平面
详细描述：平面是一种常见的曲面，它在三维空间中表现为一个无限延展且没有 厚度的二维表面。平面的方程通常可以表示为 Ax + By + Cz = D。
球面
总结词
三维球体表面
详细描述
球面是三维空间中球体的表面，它可以由球心和球面上任意两点之间的距离来确定。球面的方程通常可以表示为 x^2 + y^2 + z^2 = R^2。
03
曲面的参数方程
参数方程的定义与特点
总结词
参数方程是描述曲面的重要方式，它通过引 入参数来表达曲面上点的坐标。
详细描述
参数方程通常由两个或三个参数变量和对应 的坐标表达式组成，例如，平面上的圆心为 $(h, k)$，半径为$r$的圆的参数方程为$(xh)^2+(y-k)^2=r^2$。参数方程能够清晰 地表达曲面的形状和大小，并且可以通过调 整参数来改变曲面的形状。
《曲面及其方程》 ppt课件
目录
CONTENTS
• 曲面及其方程概述 • 常见曲面及其方程 • 曲面的参数方程 • 曲面的性质与变换 • 曲面方程的求解方法 • 曲面在几何与工程中的应用
01
曲面及其方程概述
曲面的定义与分类
总结词
曲面的定义、分类
详细描述
曲面是三维空间中弯曲的二维表面，它可以由多种方式形成，如旋转、平移、 拉伸等。根据形成方式的不同，曲面可以分为多种类型，如球面、锥面、柱面 等。
性。
曲面的参数方程
曲面可以用参数方程表示，其中 两个参数（u和v）用于描述曲面 上的点。通过参数方程，可以方 便地研究曲面的几何性质和变换
方法。
《曲面及方程》课件
7. 曲面的切向量与切线方程
⇢⇠
8. 曲面的法向向量与法线方程⇑⇓
9. 曲面的曲率及主曲率
10. 可视化表示曲面
11. 曲面的翻转与旋转
12. 曲面的投影与裁剪⇩⇧
13. 三维曲面的交点⚡
14. 曲面的梯度、散度、旋度⚙️
15. 曲面的高斯曲率与平均曲率⚖️
16. 曲面的最小曲面与最小旋
转曲面
17. 曲面的拓扑结构
18. 曲面的曲线包络与曲面包络⭕
19. 曲面的偏微分方程
20. 曲面的应用与发展趋势
《曲面及方程》PPT课件
从曲面的定义和特点开始，逐步深入探讨曲面的方程表示、参数化曲面以及
其切平面、法向量等概念，包括曲面的曲率、可视化表示以及应用与发展趋
势。
1. 什么是曲面？
2. 曲面的分类及特点✨
3. 曲面的方程表示
4. 参数化曲面的定义及优点
ห้องสมุดไป่ตู้
5. 常见的参数化曲面
6. 曲面的切平面与法向量⏩⏪
第三节 曲面及其方程
( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 )2 R
所求方程为
( x x0 ) ( y y0 ) ( z z0 ) R
2 2 2
2
特殊 球心在原点的球面方程
x 2 y 2 z 2 R2
4
曲面及其方程
例 求与原点O及M0 (2,3,4)的距离之比为 1： 2的点 的全体所组成的曲面方程. 解 设M ( x , y , z )是曲面上任一点, | MO | 1 | MM 0 | 2 1 x2 y2 z2 2 2 2 x 2 y 3 z 4 2 所求方程
绕z轴旋转
2 z x y 2 1 2 c a
2
2
旋 转 双 曲 面
13
曲面及其方程
y z (2) yOz坐标面上的椭圆 2 2 1 绕y轴和z轴; a c
2
2
y2 x2 z2 绕 y 轴旋转 2 1 2 a c x2 y2 z2 绕 z 轴旋转 2 1 2 a c
2 4 116 2 x y 1 z 3 3 9
5
2
2
曲面及其方程
研究空间曲面有两个基本问题 (1)已知曲面, 求方程; (讨论旋转曲面) (2)已知方程, 研究图形. (讨论柱面, 二次曲面)
6
曲面及其方程
二、旋转曲面 (surface of revolution)
F ( x , y , z ) 0 有下述关系:
(1) 曲面S上任一点的坐标都满足方程;
x
O
S
y
(2) 不在曲面S上的点的坐标都不满足方程; 那么, 方程F ( x , y, z ) 0 就叫做曲面S的方程, 而曲面S就叫做方程的图形.
曲面图像及其方程教案
曲面图像及其方程教案教案标题：曲面图像及其方程教案教案目标：1. 了解曲面图像的基本概念和特性。
2. 掌握曲面图像的方程表示方法。
3. 能够根据给定条件绘制曲面图像并解析其方程。
教案步骤：步骤一：引入曲面图像的概念（10分钟）1. 引导学生回顾平面图像的概念，并解释曲面图像是在三维空间中的图像。
2. 通过展示一些常见的曲面图像（如球体、圆锥体等），激发学生对曲面图像的兴趣。
步骤二：介绍曲面图像的方程表示方法（15分钟）1. 解释曲面图像的方程是用数学语言描述曲面图像的方法。
2. 介绍常见的曲面图像方程表示方法，如参数方程、隐函数方程等。
3. 通过示例演示如何根据给定的方程绘制曲面图像。
步骤三：探索曲面图像的特性（20分钟）1. 引导学生思考曲面图像的特性，如对称性、交点、切线等。
2. 分组讨论并总结各种曲面图像的特性，并展示给全班。
步骤四：练习绘制曲面图像及解析方程（25分钟）1. 提供一些练习题，要求学生根据给定的方程绘制曲面图像，并解析其方程。
2. 鼓励学生互相合作，共同解决问题，并及时给予指导和反馈。
步骤五：巩固与拓展（10分钟）1. 给学生提供一些扩展题，要求他们应用所学知识解决更复杂的问题。
2. 鼓励学生展示他们的解题过程和答案，并进行讨论和分享。
步骤六：总结与评价（10分钟）1. 总结曲面图像及其方程的基本概念和方法。
2. 对学生的学习情况进行评价，并提供反馈和建议。
教学资源：1. 投影仪或白板，用于展示曲面图像和方程。
2. 练习题和扩展题的复印件。
教学评估：1. 观察学生在课堂上的参与度和表现。
2. 检查学生绘制的曲面图像和解析的方程的准确性。
3. 分析学生在练习和扩展题中的解题能力。
教学延伸：1. 鼓励学生进一步研究曲面图像及其方程的应用领域，如计算机图形学、物理学等。
2. 提供更多的曲面图像绘制和方程解析的挑战题，以培养学生的问题解决能力。
第三节曲面方程与曲线方程
则所给方程无图形,可称其为虚球.
二、曲线方程
空间两曲面相交,可以得到一条曲线.设
F1(x,y,z)=0 和 F2(x,y,z)=0 为空间两曲面的方程,若它们相交得到一条曲线L,则L上
任一点的坐标必定满足这两个曲面方程.反过来,同时满
x
0.
将L绕z轴旋转一周所形成的曲面称为旋转曲面,称z轴为
旋转轴.
当曲线L绕z轴旋转时,点M0也绕z轴旋转到点M,这时 z=z0保持不变,且点M到z轴距离恒等于|y0|.于是点M的坐 标满足
z z0, x2 y2 | y0 | . 由于M0(0,y0,z0)在L上,因此
f ( y0, z0 ) 0. 可得点M的坐标应满足的方程为
第三节 曲面方程与曲线方程
一、曲面方程 二、曲线方程 三、母线平行于坐标轴的柱面方程 四、一坐标轴为旋转轴的旋转曲面
一 、曲面方程
定义7.3 若曲面上每一点的坐标都满足某方程，而不在 此曲面上的点都不满足这个方程，则称这个方程是所给 曲面的方程.
三元方程 F(x,y,z)=0 总表示一个空间曲面.
两端平方得 (x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2 表示以点M0(x0,y0,z0)为中心,以R为半径的球面.
例2 研究方程 x2 y2 z2 Mx Ny Sz Q 0
所表示的曲面方程的几何特性.
解 原方程配方得
x2 Mx y2 Ny z2 Sz Q,
f ( x2 y2 , z) 0.
为曲线
f x
(y, z) 0.
0,绕z轴旋转一周所得的旋转曲面方程.
高等数学(下)教案曲面及其方程
高等数学(下)教案曲面及其方程教学目标：1. 理解曲面的概念，掌握曲面的表示方法。
2. 学习曲面的方程，了解曲面的性质。
3. 能够运用曲面的知识解决实际问题。
教学内容：第一章曲面的概念与表示方法1.1 曲面的概念1.2 曲面的表示方法1.2.1 参数方程1.2.2 隐函数方程1.2.3 显函数方程第二章曲面的方程2.1 曲面的方程概述2.2 曲面的标准方程2.2.1 椭圆抛物面2.2.2 双曲抛物面2.2.3 球面2.2.4 环面第三章曲面的性质3.1 曲面的形状3.2 曲面的尺寸3.3 曲面的方向3.4 曲面的曲率第四章曲面的切线与法线4.1 曲面的切线4.2 曲面的法线4.3 曲面的切线与法线的关系第五章曲面的交线与切平面5.1 曲面的交线5.2 曲面的切平面5.3 曲面的交线与切平面的关系教学方法：1. 采用多媒体教学，通过图形和动画展示曲面的形象，增强学生的直观感受。
2. 结合实例讲解曲面的方程，引导学生理解曲面的性质。
3. 通过练习题和小组讨论，巩固学生对曲面的理解和应用能力。
教学评估：1. 课堂练习：布置相关的练习题，检测学生对曲面方程的理解和应用能力。
2. 小组讨论：评估学生在小组中的合作能力和解决问题的能力。
3. 期中期末考试：全面评估学生对曲面及其方程的掌握程度。
教学资源：1. 多媒体教学课件：通过图形和动画展示曲面的形象，帮助学生直观理解曲面。
2. 练习题：提供相关的练习题，帮助学生巩固对曲面的理解和应用能力。
3. 小组讨论材料：提供相关的问题和案例，引导学生进行小组讨论和合作学习。
教学建议：1. 在讲解曲面的概念时，可以结合具体的图形和实例，帮助学生更好地理解曲面的定义。
2. 在学习曲面的方程时，可以通过具体的例子，引导学生理解和掌握曲面的标准方程。
3. 在讲解曲面的性质时，可以结合图形和动画，帮助学生直观地理解曲面的形状和尺寸。
4. 在学习曲面的切线与法线时，可以通过图形和实例，引导学生理解和掌握切线和法线的概念和关系。
曲面及其方程
第三讲Ⅰ 授课题目§7.3 曲面及其方程Ⅱ 教学目的与要求1、理解曲面与方程之间的关系，会建立简单曲面的方程；2、理解旋转曲面的概念，能建立旋转曲面的方程；3、理解柱面的概念，掌握柱面方程的特点；4、理解二次曲面的概念，知道二次曲面的方程与图形的对应关系。
Ⅲ 教学重点与难点重点：曲面方程的概念、旋转曲面、柱面。
难点：二次曲面的形状，截痕法，伸缩变形法。
Ⅳ 讲授内容一、曲面方程的概念在空间解析几何中,任何曲面都可以看作点的几何轨迹.在这样的意义下,如果曲面S 与三元方程F (x ,y ,z )=0有下述关系:(1) 曲面S 上任一点的坐标都满足方程F (x ,y ,z )=0; (2) 不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程F (x ,y ,z )=0,那么,方程F (x ,y ,z )=0就叫做曲面S 的方程,而曲面S 就叫做方程F (x ,y ,z )=0的图形. 常见的曲面的方程:例1 建立球心在点M 0(x 0,y 0,z 0)、半径为R 的球面的方程. 解 设M (x ,y ,z )是球面上的任一点,那么|M 0M |=R .即R z z y y x x =-+-+-202020)()()(,或 (x -x 0)2+(y -y 0)2+(z -z 0)2=R 2.这就是球面上的点的坐标所满足的方程.而不在球面上的点的坐标都不满足这个方程.所以(x -x 0)2+(y -y 0)2+(z -z 0)2=R 2.就是球心在点M 0(x 0,y 0,z 0)、半径为R 的球面的方程.特殊地,球心在原点O (0, 0, 0)、半径为R 的球面的方程为x 2+y 2+z 2=R 2.例2 设有点A (1, 2, 3)和B (2,-1, 4),求线段AB 的垂直平分面的方程.解由题意知道,所求的平面就是与A 和B 等距离的点的几何轨迹.设M (x ,y ,z )为所求平面上的任一点,则有|AM |=|BM |, 即222222)4()1()2()3()2()1(-+++-=-+-+-z y x z y x .等式两边平方,然后化简得2x -6y +2z -7=0.这就是所求平面上的点的坐标所满足的方程,而不在此平面上的点的坐标都不满足这个方程,所以这个方程就是所求平面的方程.以上表明作为点的几何轨迹的曲面可以用它的点的坐标间的方程来表示，反之，变量x 、y 和z 间的方程通常表示一个曲面。
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重庆科创职业学院授课教案
课名：高等数学（工本0023）教研窒：数理教研室班级：编写时间：
课题：
第四节 空间曲面及其方程
教学目的及要求：
知道旋转曲面、柱面，了解常见的二次曲面的方程及图形。
介绍空间曲线的各种表示形式。
是为重积分、曲面积分作准备的，学生应知道各种常用立体的解析表达式，并简单描图，对投影等应在学习时特别注意。
教学重点：
1.旋转曲面、柱面
2.空间曲线的一般表示形式
3.空间曲线在坐标面上的投影
教学难点：空间曲线在坐标面上的投影 教学步骤及内容 ：
一、 曲面方程的概念
曲面S 和三元方程F(x,y,z)=0满足：
（1）曲面S 上的任意一点的坐标都满足方程F(x,y,z)=0； （2）不在曲面S 上的点的坐标不满足方程F(x,y,z)=0；
那么称方程F(x,y,z)=0为曲面S 的方程，曲面S 称为方程F(x,y,z)=0的图形（见课本P159页图9.23）
我们通常知道平面方程式关于x,y,z 的三元一次方程，所以平面是曲面的特殊情形，本节讨论一些常见的含x,y,z 的二次方程所表示的曲面，称之为二次曲面。
二、 球面
建立以),,(0000z y x M 为球心，R 为半径的球面方程。
设M(x,y,z)是球面上的任意一点（见图9.24），则有R M M 0
旁批栏：
而2020200)()()(z z y y x x M M -+-+-=
所以 2
202020)()()(R z z y y x x =-+-+-
这就是以点),,(0000z y x M 为球心，R 为半径的球面方程。
当0000===z y x 时，得球心在原点，半径为R 的球面方程为
2222R z y x =++
三、柱面
动直线l 沿给定曲线C 平行移动所形成的曲面，称为柱面。
直线l 称为柱面的母线，定曲线C 称为柱面的准线。
我们只讨论准线在坐标面内，母线平行于坐标轴的柱面。
建立以xoy 面上的曲线C ；f(x,y)=0为准线，母线平行于z 轴的柱面方程。
设M(x,y,x)是柱面上的任意一点，过点M 的母线与xoy 面的交点N 一定在准线C 上（见图9.26）。
点N 的坐标为（x,y,0）;不论点M 的竖坐标z 取何值，它的横坐标x 和纵坐标y 都满足方程f(x,y)=0,因此所求柱面方程为
f(x,y)=0
在平面直角坐标系中，方程f(x,y)=0表示一条平面曲线，在空间直角坐
旁批栏：
6
四、 旋转曲面
平面曲线C 绕同一平面上定直线l 旋转一周所形成的曲面，称为旋
转曲面。
定直线称为旋转轴。
建立yoz 面上的一条曲线C:f(y,z)=0,绕z 轴旋转一周所形成的旋
转曲面的方程（见图9.31）
设M(x,y,z)为旋转曲面上的任一点，过点M 做平面垂直于Z 轴，
交z 轴于点P(0,0,z),交曲线C 于点),,,0(000z y M 由于点M 可以由点0M 绕z 轴旋转得到，因此有
)1.4.9(,0
0z z PM PM ==
因为,,0022y PM y x PM =+=
所以
)
2.4.9(2
20y x y +±=
又因为0M 在曲线C 上，所以0),(00=z y f ,将（9.4.1）,(9.4.2)代入上式，即得旋转曲面方程0),(2
2
=+±z y x f
可见，求平面曲线f(y,z)=0绕z 轴旋转的旋转曲面方程，只要将f(y,z)=0中的y 换成2
2y x +±
而z 保持不变，即得旋转曲面方程。
同理，曲线f(y,z)=0绕y 轴旋转的旋转曲面方程为
0),,(22=+±z x y f
五、 几种常见的二次曲面 1） 椭球面 2） 单叶双曲面 3） 双叶双曲面
4） 椭圆抛物面
7
双曲抛物面（鞍形曲面）方程为
z q
y p x =+-2222 （p 与q 同号） 当p >0， q >0时，其形状如图所示。
3．双曲面
单叶双曲面方程为
122
2222=-+c
z b y a x 双叶双曲面方程为
122
2222-=+-c
z b y a x 各种图形注意规律特点，可以写出其它的方程表达式。
小结与思考：曲面方程的概念，旋转曲面的概念及求法，柱面的概念(母线、准线)，了解方程对应的图形形状，并利用截痕法简单地描出图形。
作业：见作业本7.3。