理论力学--第2章 平面任意力系分解

平面任意力系等效为两个简单力系：平面汇交力系 和平面力偶系。
2
F2
F1
F2´
M2
F1´
M1
FR
MO
´
o
Mn
o Fn
o
Fn´
平面汇交力系可合成为作用线通过点O的一个力FR´ FR´ = F1´+ F2´+…+ Fn´ =
Fi
i 1
n
(3—1)
平面力偶系可合成为一个力偶，这个力偶的矩Mo等于各附加力 偶矩的代数和，又等于原来各力对点O的矩的代数和。 n (3—2) M = M +M +…+M = MO( Fi)
y
F
1 3 j
F
´
x
1 2
得力系向点O的简化结果如图（b);
FR ′ ( Fx ) ( Fy )
2 2 2 2
F2
F3
O i
200
(437.6) (161.6) 466.5N
F1
1
1
100
M O 21.44 N m
合力及其与原点O的距离如图(c) 。
MO
y
y
x
O
d

1 10
y
F
1 3 j
F3
2 5
F
´
x
1 2
437.6 N

F2
F3
O i 200
Fy F1sin45 F2
3 10
F1
1
1
100
F3
1 5
161.6 N
9
FR′ 437.6i 161.6 j
M O M O ( F ) F1 0.1 .sin45 1 F3 0.2 0.08F 21.44 N m 5
q
A 2a
P
M
B
4a
15
解：（1）取AB梁为研究对象，画受力图 FAy q （2）列静力平衡方程
A
P
M
FB
B
FAx
2a
4a
Fx 0 Fy 0
MA( F ) 0
联解上各式得
FAx 0 FAy q 2a p FB 0
FB 4a M p 2a - q 2a a 0
23
例15 塔式起重机如图所示。机身总重为W=220kN，作用线通 过塔架的中心。最大起重量P=50kN，平衡块重Q＝30kN。求：满载 和空载时轨道A 、 B的约束反力，并问此起重机在使用过程中有无 翻倒的危险。 解： （1）起重机受力图如图 （2）列平衡方程 ：
MA 0:
Q(6 2) RB 4 W 2 P(12 2) 0
解：T字形刚架ABD的受力如图所示。
l B
l
M
D
Fx 0
Fy 0
1 FAx q 3a Fcos30 0 2
FAy P Fsin30 0
30 ° F
3l
P
MA( F ) 0
FAy
q A
MA 1 MA M q 3l l Fsin30 l Fcos30 3l 0 2
（1）平面任意力系简化为一个力偶的情形
FR´= 0，Mo ≠ 0
原力系合成为合力偶，合力偶矩为
MO MO( Fi)
i 1
n
（2）平面任意力系简化为一个合力的情形
(a)
FR´≠ 0，Mo = 0
原力系简化为一个力， FR´ 就是原力系的合力,合力作用 线通过简化中心O。
6
(b) FR´ ≠ 0，Mo ≠ 0
FR' = FRx'+FRy' = ∑ Fxi + ∑ Fyj
主矢FR´的大小和方向余弦为
FR' =
(∑F x ) 2 + (∑F y ) 2
Fx cos( FR' , i ) FR ' 主矩的解析表达式
n i 1
Fy cos( FR' , j ) FR '
n i 1
4
MO MO( Fi) ( xiFyi - yiFxi)
FR' Fi Fxi Fy j
M O M O ( Fi )
3. 平面任意力系的简化结果 （1）FR´= 0，Mo ≠ 0, （2）FR´ ≠ 0，Mo = 0, （3）FR´≠ 0，Mo ≠ 0, （4）FR´= 0，Mo = 0, 合力偶，合力偶矩， M O M O ( Fi ) 合力，合力作用线通过简化中心O。 合力，合力作用线到简化中心O的距离为 平衡。
Fx 0 : X A P 0
C
a B
RB a P a M 0
M D (F ) 0 :
P
YA a P a M 0
联解上各式得：
X A P
a
a
M A (F ) 0 :
M=Pa
RB
RB 2P
YA 2 P
二力矩 式
17
XA
§ 2–4 平面任意力系向平面内一点简化
作用在物体上的 力的作用线任意分布在同一平面内（或 近似分布在同一平面内）的力系 ；当物体及所受的力都对称 于同一平面时，也为平面任意力系问题 。 1. 力的平移定理: 可以把作用在刚体上点A的力F平行移到任一点B，但必须 同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F 对新 作用点B的矩。 F´
3 1 FB p q a 4 2
FAx 0
1 3 FAy p q a 4 2 16
例13 如图所示平面刚架AB，其上作用有力P 和力 偶M，力偶矩等于Pa，若P、a均为已知，求A、B两处 的约束反力。
C
a a M=Pa B
P
a A
17
解法一：（1）选AB为研究对象，画受力图
一物体的一端完全固定在另一物体上，这种约 束称为固定端或插入端支座
A
FAy
MA A
FA
MA
FAx
5
3. 平面任意力系的简化结果分析
简化结果可能有以下几种情况，即：（1）FR´= 0，Mo ≠ 0； （2）FR´≠ 0，Mo = 0；（3）FR´≠ 0，Mo ≠ 0；（4）FR´= 0， Mo = 0。
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FAx
解方程得
FAx
1 Fcos30 q 3a 316.4kN 2

FAy P Fsin30 300kN
1 M A M q 3l l Fsin30 l Fcos30 3l 1188kN 22 2
4. 平面平行力系的平衡条件和平衡方程
条件是：A、B两点 的连线不能与 x 轴 或 y 轴垂直 条件是：A、B、C 三点不能共线
23
14
3. 三力矩式
M B (F ) 0
M C (F ) 0
例12 图示水平梁AB，A端为固定铰链支座，B端为 一滚动支座。梁长为4a，梁重P，作用在梁的中点C。在 梁的AC段上受均布载荷q作用，在梁的BC段上受力偶作 用，力偶矩M = Pa。求A和B处的支座约束力。
联解上各式得：
X A P YA 2 P
XA
a
三力矩 式
17
YA
20
RB 2P
例14 自重为P=100KN的T字形刚架ABD，置于铅 垂面内，载荷如图示。其中M=20KNm,F=400KN, q=20KN⁄m,l=1m。求固定端A的约束力。
l 30 ° F B l
M
D
3l
P A
q
21
（2）列静力平衡方程
Fx 0 : X A P 0
Fy 0:
C
a B
M=Pa P
a
Y A RB 0
RB
MA( F ) 0 :
联解上各式得：
RB 2P
X A P YA 2 P
a XA A
RB a P a M 0
YA
18
解法二：（1）选AB为研究对象，画受力图 （2）列静力平衡方程
平面任意力系平衡的充分必要条件：力系的主矢和对 任一点的主矩都等于零。
13
1.平衡条件的解析式(即平衡方程）：
Fx 0
Fy 0
MO( F ) 0
下一页 22
F x 0 （或 F y 0 ）
2. 二力矩式
M A (F ) 0 M B (F ) 0 M A (F ) 0
如图：物体受平面平行力系F1 ， F2 ， …， Fn的作用。
y F1 F3 Fn
如取 x 轴与各力垂直，不论力系是否 平衡，恒有 Fx 0 则平行力系的独立平衡方程为 ：
O
F2
x
Fy 0 M A (F ) 0
M A (F ) 0
M B (F ) 0
平行力系平衡方程的二力矩式：
B A d
F
B
d
F
A
F´
B
M
F´ F = F´ = －F´´
其中
´
M = Fd = MB ( F )
1
2 .平面任意力系向作用面内一点简化 • 主矢和主矩
F2 F1
F2´
M2
F1´
M1 M
FR
´
o
Mn
o Fn Fn´
o
任意点O 为简化中心 F1´ = F1 ， F2´ = F2 ，… ，Fn´ = Fn Mi = Mo ( Fi ) (i = 1，2，…，n)
d MO FR'
12
§ 2–5 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
讨论平面任意力系的主矢和主矩都等于零的情形： FR´= 0 Mo = 0
主矢等于零，表明作用于简化中心O的汇交力系为平衡力系； 主矩等于零，表明附加力偶系也是平衡力系，所以原力系必为平 衡力系。即上式为平面任意力系平衡的充分条件。
由上节分析结果可知：在另外几种情况下力系都不能平衡，只 有当主矢和主矩都等于零时，力系才能平衡，上式为平面任意力系 平衡的必要条件。
Mo
FR´ o´
FR´ o
d
FR o´ o
d
FR o´
o
FR´ ´
FR´ = FR =－FR´´
原力系简化为一个力，合力矢等于主矢；合力的作用线在 点O的哪一侧，根据主矢和主矩的方向确定；合力作用线到点O 的距离为d。 （3）平面任意力系平衡的情形
MO d FR '
FR´= 0，Mo = 0
平面任意力系平衡。
x O
FR FR ′ 466.5N
MO d 45.96mm FR
FR´
FR
(b)
(c)
10
例11 水平梁AB受按三角形分布的载荷作用，如图示。载荷 的最大值为q，梁长l，求合力作用线的位置。
解: 在梁上距A端为 x 处的载荷集度为 q(x) = qx/l。在此处
取的一微段dx，梁在微段d x 受的力近似为 F(x) = qxdx/l。 梁由 x=0 到 x=l 的分布载荷合力为 F
q
F
l 0 q( x)dx
ql 2
q(x)dx A x dx l xc
B
设合力作用线到A端的 距离为 xC ， 根据合力矩定理
l F xc 0 q( x) xdx
xC
1 l qx 2 ql 2 dx 0 3 F l
2 ql l 2 3
11
小
结
1. 力的平移定理:平移一力的同时必须附加一个力偶，附加力偶 的矩等于原来的力 对新作用点的矩。 2. 平面任意力系向平面内任选一点O简化:可得一个力和一个力 偶。这个力等于该力系的主矢，作用线通过简化中心O。这个力 偶的矩等于该力系的主矩。
A
D
YA
19
解法三：（1）选AB为研究对象，画受力图
（2）列静力平衡方程
M A (F ) 0 :
C
a B M=Pa RB
RB a P a M 0
M D (F ) 0 :
P
YA a P a M 0
a A D
M B (F ) 0 : X A 2a YA a P a M 0
o 1 2 n
FR´——主矢
i 1
Mo ——主矩
平面任意力系向作用面内任一点O简化，可得一个力和一 个力偶。这个力等于该力系的主矢，作用线通过简化中心O。 3 这个力偶的矩等于该力系的主矩。
F2
F1
F2´
M2
y j
F1´
M1 x
y MO j
FR
´
o
Mn
o Fn
i
o
i
x
Fn´
取坐标系Oxy，i，j为沿x，y轴的单位矢量，则力系主矢 的解析表达式为
7
平面任意力系的合力矩定理
Mo
FR´ o´ o
FR´
d
FR o´
FR
o
o
d
o´
FR´ ´
(a) (b)
(c)
由图(b), 合力 FR 对点O的矩为
由式（3—2） 得
n i 1
MO ( FR )=FRd = MO
M O M O (Fi )
M O ( FR ) M O ( Fi )
MB 0:
Q W 6m 12m P
Q(6 2) W 2 P(12 2) R A 4 0
解方程得:
i 1 n
合力矩定理：平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩
等于力系中各力对同一点的矩的代数和。
8
例10 已知F1=150N，F2=200N ， F3=300N ， F= F´ =200N 。 求力系向点O的简化结果，并求力系合力的大小及其与原点O的 距离。
Fx F1cos45 F2 解：