高数上册练习题
大学高等数学上习题(附答案)
《高数》习题1（上）一．选择题1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）.（A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()g x =（C ）()f x x = 和 ()2g x =（D ）()||x f x x=和 ()g x =1 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）.（A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 7．211f dx x x⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰的结果是（ ）. （A ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（B ）1f C x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭ （C ）1f C x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ （D ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭10．设()f x 为连续函数，则()102f x dx '⎰等于（ ）.（A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -⎡⎤⎣⎦（C ）()()1202f f -⎡⎤⎣⎦（D ）()()10f f -二．填空题1．设函数()2100x e x f x x a x -⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则a =.2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为56π，则()2f '=.3．()21ln dxx x =+⎰.三．计算 1．求极限①21lim xx x x →∞+⎛⎫⎪⎝⎭ ②()20sin 1lim xx x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分xxe dx -⎰四．应用题（每题10分，共20分）1．求曲线22y x =和直线4y x =-所围图形的面积.《高数》习题1参考答案一．选择题1．B 4．C 7．D 10．C 二．填空题 1．2- 2．33- ３．arctan ln x c + 三．计算题 １①2e ②162.11xy x y '=+- 3. ()1x ex C --++四．应用题１． 18S =《高数》习题2（上）一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分) 1.下列各组函数中,是相同函数的是( ).(A) ()f x x =和()2g x x = (B) ()211x f x x -=-和1y x =+(C) ()f x x =和()22(sin cos )g x x x x =+ (D) ()2ln f x x =和()2ln g x x =2.设函数()()2sin 21112111x x x f x x x x -⎧<⎪-⎪⎪==⎨⎪->⎪⎪⎩，则()1lim x f x →=（ ）. (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 不存在3.设函数()y f x =在点0x 处可导，且()f x '>0, 曲线则()y f x =在点()()00,x f x 处的切线的倾斜角为{ }. (A) 0 (B)2π(C) 锐角 (D) 钝角 4.曲线ln y x =上某点的切线平行于直线23y x =-,则该点坐标是( ). (A) 12,ln2⎛⎫⎪⎝⎭ (B) 12,ln 2⎛⎫- ⎪⎝⎭ (C)1,ln 22⎛⎫⎪⎝⎭ (D) 1,ln 22⎛⎫- ⎪⎝⎭6.以下结论正确的是( ).(A) 若0x 为函数()y f x =的驻点,则0x 必为函数()y f x =的极值点. (B) 函数()y f x =导数不存在的点,一定不是函数()y f x =的极值点. (C) 若函数()y f x =在0x 处取得极值,且()0f x '存在,则必有()0f x '=0. (D) 若函数()y f x =在0x 处连续,则()0f x '一定存在. 7.设函数()y f x =的一个原函数为12xx e ,则()f x =( ).(A) ()121xx e - (B) 12x x e - (C) ()121x x e + (D) 12xxe 8.若()()f x dx F x c =+⎰,则()sin cos xf x dx =⎰( ).(A) ()sin F x c + (B) ()sin F x c -+ (C) ()cos F x c + (D) ()cos F x c -+ 9.设()F x 为连续函数,则12x f dx ⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰=( ). (A) ()()10f f - (B)()()210f f -⎡⎤⎣⎦ (C) ()()220f f -⎡⎤⎣⎦ (D) ()1202f f ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦10.定积分badx ⎰()a b <在几何上的表示( ).(A) 线段长b a - (B) 线段长a b - (C) 矩形面积()1a b -⨯ (D) 矩形面积()1b a -⨯二.填空题(每题4分,共20分)1.设 ()()2ln 101cos 0x x f x xa x ⎧-⎪≠=⎨-⎪=⎩, 在0x =连续,则a =________.2.设2sin y x =, 则dy =_________________sin d x .5. 定积分2121sin 11x x dx x -+=+⎰___________. 三.计算题(每小题5分,共30分)1.求下列极限:①()10lim 12xx x →+ ②arctan 2lim 1x x xπ→+∞-2.求由方程1yy xe =-所确定的隐函数的导数x y '. 3.求下列不定积分:①3tan sec x xdx ⎰③2xx e dx ⎰四.应用题(每题10分,共20分)2.计算由两条抛物线：22,y x y x ==所围成的图形的面积.《高数》习题2参考答案一.选择题：CDCDB CADDD二填空题：1.－2 2.2sin x 3.3 4.2211ln 24x x x c -+ 5.2π 三.计算题：1. ①2e ②1 2.2yx e y y '=-3.①3sec 3xc +②)ln x c + ③()222x x x e c -++四.应用题：1.略 2.13S =《高数》习题3（上）一、 填空题(每小题3分, 共24分)1.函数y =的定义域为________________________.2.设函数()sin 4,0,0xx f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩, 则当a =_________时, ()f x 在0x =处连续.4. 设()f x 可导, ()xy f e =, 则____________.y '=5. 221lim _________________.25x x x x →∞+=+- 二、求下列极限(每小题5分, 共15分)1. 01lim sin x x e x →-;2. 233lim 9x x x →--; 3. 1lim 1.2xx x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭三、求下列导数或微分(每小题5分, 共15分)1. 2xy x =+, 求(0)y '. 2. cos x y e =, 求dy . 3. 设x y xy e +=, 求dydx .四、求下列积分 (每小题5分, 共15分)1. 12sin x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰. 2.ln(1)x x dx +⎰.3.120x e dx ⎰五、(8分)求曲线1cos x t y t=⎧⎨=-⎩在2t π=处的切线与法线方程.六、(8分)求由曲线21,y x =+ 直线0,0y x ==和1x =所围成的平面图形的面积, 以及此图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积.《高数》习题3参考答案一．1．3x< 2.4a = 3.2x = 4.'()x x e f e5.126.07.22x xe -8.二阶二.1.原式=0lim 1x xx→= 2.311lim36x x →=+ 3.原式=112221lim[(1)]2x x e x--→∞+= 三.1.221','(0)(2)2y y x ==+2.cos sin x dy xe dx =-3.两边对x 求写：'(1')x y y xy e y +==+'x y x y e y xy yy x e x xy++--⇒==-- 四.1.原式=lim 2cos x x C -+2.原式=2221lim(1)()lim(1)[lim(1)]22x x x d x x d x x +=+-+⎰⎰=22111lim(1)lim(1)(1)221221x x x x dx x x dx x x+-=+--+++⎰⎰=221lim(1)[lim(1)]222x x x x x C +--+++3.原式=1221200111(2)(1)222x x e d x e e ==-⎰五.sin 1,122dy dy tt t y dx dx ππ=====且 切线：1,1022y x y x ππ-=---+=即 法线：1(),1022y x y x ππ-=--+--=即六.12210013(1)()22S x dx x x =+=+=⎰11224205210(1)(21)228()5315V x dx x x dxx x x ππππ=+=++=++=⎰⎰《高数》习题4（上）一、选择题（每小题3分） 1、函数 2)1ln(++-=x x y 的定义域是（ ）.A []1,2-B [)1,2-C (]1,2-D ()1,2- 2、极限xx e ∞→lim 的值是（ ）.A 、 ∞+B 、 0C 、∞-D 、 不存在 3、=--→211)1sin(limx x x （ ）.A 、1B 、 0C 、 21-D 、21 4、曲线 23-+=x x y 在点)0,1(处的切线方程是（ ） A 、 )1(2-=x y B 、)1(4-=x y C 、14-=x y D 、)1(3-=x y 5、下列各微分式正确的是（ ）.A 、)(2x d xdx = B 、)2(sin 2cos x d xdx = C 、)5(x d dx --= D 、22)()(dx x d =6、设⎰+=C xdx x f 2cos 2)( ，则 =)(x f （ ）. A 、2sin x B 、 2sin x - C 、 C x +2sin D 、2sin 2x-7、⎰=+dx xx ln 2（ ）.A 、C x x++-22ln 212 B 、 C x ++2)ln 2(21C 、 C x ++ln 2lnD 、 C xx++-2ln 1 9、⎰=+101dx e e xx（ ）. A 、21ln e + B 、22ln e + C 、31ln e + D 、221ln e +二、填空题（每小题4分）1、设函数xxe y =，则 =''y ； 2、如果322sin 3lim 0=→x mx x , 则 =m .3、=⎰-113cos xdx x ；三、计算题（每小题5分） 1、求极限 x x x x --+→11lim； 2、求x x y sin ln cot 212+= 的导数；3、求函数 1133+-=x x y 的微分；4、求不定积分⎰++11x dx；四、应用题（每小题10分）1、 求抛物线2x y = 与 22x y -=所围成的平面图形的面积.参考答案一、1、C ； 2、D ； 3、C ； 4、B ； 5、C ； 6、B ； 7、B ； 8、A ； 9、A ； 10、D ；二、1、xe x )2(+； 2、94 ； 3、0 ； 4、xe x C C y 221)(-+= ； 5、8，0 三、1、 1； 2、x 3cot - ； 3、dx x x 232)1(6+ ； 4、C x x +++-+)11ln(212； 5、)12(2e- ； 四、1、38；《高数》习题5（上）一、选择题（每小题3分） 1、函数)1lg(12+++=x x y 的定义域是（ ）.A 、()()+∞--,01,2B 、 ()),0(0,1+∞-C 、),0()0,1(+∞-D 、),1(+∞- 2、下列各式中，极限存在的是（ ）.A 、 x x cos lim 0→ B 、x x arctan lim ∞→ C 、x x sin lim ∞→ D 、xx 2lim +∞→3、=+∞→xx xx )1(lim （ ）. A 、e B 、2e C 、1 D 、e1 4、曲线x x y ln =的平行于直线01=+-y x 的切线方程是（ ）. A 、 x y = B 、)1)(1(ln --=x x y C 、 1-=x y D 、)1(+-=x y 5、已知x x y 3sin = ，则=dy （ ）.A 、dx x x )3sin 33cos (+-B 、dx x x x )3cos 33(sin +C 、dx x x )3sin 3(cos +D 、dx x x x )3cos 3(sin + 6、下列等式成立的是（ ）.A 、⎰++=-C x dx x 111ααα B 、⎰+=C x a dx a xx ln C 、⎰+=C x xdx sin cos D 、⎰++=C xxdx 211tan 7、计算⎰xdx x e xcos sin sin 的结果中正确的是（ ）.A 、C ex+sin B 、C x e x +cos sinC 、C x ex+sin sin D 、C x e x +-)1(sin sin二、填空题（每小题4分）1、设⎩⎨⎧+≤+=0,0,1)( x b ax x e x f x ，则有=-→)(lim 0x f x ，=+→)(lim 0x f x ；2、设 xxe y = ，则 =''y ；3、函数)1ln()(2x x f +=在区间[]2,1-的最大值是 ，最小值是 ；三、计算题（每小题5分） 1、求极限 )2311(lim 21-+--→x x x x ；2、求 x x y arccos 12-= 的导数；3、求函数21xx y -=的微分；4、求不定积分⎰+dx xxln 21 ；5、求定积分⎰e edx x 1ln ；四、应用题（每小题10分）1、求由曲线 22x y -= 和直线 0=+y x 所围成的平面图形的面积.参考答案一、1、B ； 2、A ； 3、D ； 4、C ； 5、B ； 6、C ； 7、D ； 8、A ； 9、D ； 10、B.二、1、 2 ，b ； 2、xe x )2(+ ； 3、 5ln ，0 ； 4、0 ； 5、xxe C e C 221+.三、1、31 ； 2、1arccos 12---x x x ； 3、dx xx 221)1(1-- ； 4、C x ++ln 22 ； 5、)12(2e - ； 四、1、 29；。
高数(一)第一章练习题
高等数学（一）（第一章练习题）一、 单项选择题1.设f （1-cos x ）=sin 2x, 则f （x ）=（ A ）A.x 2+2xB.x 2-2xC.-x 2+2xD.-x 2-2x2.设x 22)x (,x )x (f =ϕ=，则=ϕ)]x ([f （ D ）A.2x 2B.x 2xC.x 2xD.22x3．函数y=31x1ln -的定义域是（ D ） A ．),0()0,(+∞⋃-∞ B ．),1()0,(+∞⋃-∞ C ．(0,1] D ．(0,1)4.函数2x x y -=的定义域是（ D ）A.[)+∞,1B.(]0,∞-C.(][)+∞∞-,10,D.[0，1]5.设函数=-=)x 2(f 1x x )x 1(f ，则（ A ） A.x 211- B.x 12- C.x 2)1x (2- D.x)1x (2- 6.已知f(x)=ax+b,且f(-1)=2,f(1)=-2,则f(x)=（ ）A.x+3B.x-3C.2xD.-2x7.设f(x+1)=x 2-3x+2，则f(x)=（ B ）A.x 2-6x+5B.x 2-5x+6C.x 2-5x+2D.x 2-x 8．已知f(x)的定义域是[0,3a]，则f(x+a)+f(x-a)的定义域是（ ）A ．[a,3a]B ．[a,2a]C ．[-a,4a]D ．[0,2a]9．函数y=ln(22x 1x 1--+)的定义域是（ C ）A ．|x|≤1B ．|x|<1C ．0<|x|≤1D ．0<|x|<110.函数y=1-cosx 的值域是（ C ）A.[-1,1]B.[0,1]C.[0,2]D.(-∞,+∞) 11．设函数f(x-1)=x 2-x,则f(x)=（ B ）A ．x(x-1)B ．x(x+1)C ．(x-1)2-(x-1)D ．(x+1)(x-2)12.设函数f (x )的定义域为[0，4]，则函数f (x 2)的定义域为（ D ）A.[0，2]B.[0，16]C.[-16，16]D.[-2，2]13.设f(t)=t 2+1，则f(t 2+1)=（ D ）A.t 2+1B.t 4+2C.t 4+t 2+1D. t 4+2t 2+2 14．设1)1(3-=-x x f ，则f (x )=（ B ）A ．x x x 2223++B ．x x x 3323++C ．12223+++x x xD ．13323+++x x x15.下列区间中,函数f (x)= ln (5x+1)为有界的区间是（ C ）A.(-1，51)B.(-51,5)C.(0,51)D.(51,+∞) 16.函数f(x)=arcsin(2x-1)的定义域是（ D ）A.(-1,1)B.[-1,1]C.[-1,0]D.[0,1]17.设函数y =f (x )的定义域为(1，2)，则f (ax )(a <0)的定义域是( B ) A.(a a 2,1) B.（aa 1,2) C.(a ，2a) D.(a a ,2] 18．函数f (x )=2211⎪⎭⎫ ⎝⎛--x 的定义域为（ B ） A ．[]1,1- B ．[]3,1- C ．(-1,1)D ．(-1,3) 19.函数f (x )=21sin 2x x++是（ C ）A.奇函数B.偶函数C.有界函数D.周期函数 20．函数f (x )=ln x - ln(x -1)的定义域是（ C ）A ．(-1,+∞)B ．(0,+∞)C ．(1,+∞)D ．(0,1) 二、填空题1．已知f (x +1)=x 2，则f (x )=________.2.设函数f(x)的定义域是[-2，2]，则函数f(x+1)+f(x-1)的定义域是___________.3．函数y=x ln ln 的定义域是 .4．若f(x+1)=x+cosx 则f(1)=__________.5．函数y=1+ln(x+2)的反函数是______.6．.函数y=arcsin(x-3)的定义域为___________。
(完整版)高数上册练习题
上册练习题、单项选择题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）1 设f ( x) cos x (x sin x ),则在x 0处有().(A) f(0)2(B) f(0)1(C) f(0)0(D) f（X）不可导.c 设(x) 12. 1X，(x) 3 33x，则当x 1时(X)(A) (x)与（x）是同阶无穷小，但不是等价无穷小；(B ) (X)与(X)是等价无穷小；（C）（X）是比（x）高阶的无穷小；（D）（X）是比（x）高阶的无穷小.X3.若F（X）0（2t x）f（t）dt，其中心）在区间上（1,1）二阶可导且f（x）0 ，则（）.（A）函数F（x）必在x 0处取得极大值；（B）函数F（x）必在x 0处取得极小值；（C）函数F（x）在x 0处没有极值，但点（0，F（0））为曲线y F（x）的拐点；（D）函数F（x）在x 0处没有极值，点（0，F（0））也不是曲线y F（x）的拐点。
4设12 0f(t)dt ,则f (x)(（D）x 2.4分，共16分）二、填空题（本大题有4小题，每小题2叫13x)sin x已知C0SX是f（X）的一个原函数6. x I r cosx 则f(x) d xx2 2 2lim — (cos cos L7. n n n n1cos3 ) n8. 2 2x arcs in x 1 -- dx 丄"x2210.f （X）是连续函数，且 f （X）2 2——2（A）2（B）2（C）x二、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40 分）9.设函数y y（x）由方程" sin( xy) 1确定，求y（x）以及y（°）.求1x(1 x7)dx.四、解答题(本大题10分)14. 已知上半平面内一曲线 y y(x) (x 0)，过点(01)，且曲线上任一点 M(X 0,y 0)处切线斜率数值上等于此曲线与 x 轴、y 轴、直线x X 。
所围成 面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题(本大题10分)15. 过坐标原点作曲线y ln x 的切线，该切线与曲线y ln x 及x 轴围成平面图形D.(1)求D 的面积A ； (2)求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积 V. 六、证明题(本大题有2小题，每小题4分，共8分)16. 设函数f(x )在0,1上连续且单调递减，证明对任意的q [0，1]，q1f (x) d x q f (x)dxf ( x) d x 0 f (x)cos x dx 017. 设函数f(x)在0，上连续，且0证明：在0，内至少存在两个不同的点1，2，使f (°f ( 2)0.(提xF(x) f(x)dx示：设11.12. 13.设 f (x)xe、、2x 2"x ， 设函数f (x )连续,g (x )并讨论g (x )在xg(x)0 x 11f (xt)dt3 f(x)dx .求微分方程xy 2 y，且x0处的连续性.xlnx 满足y (1)lim 0 空Ax ，A 为常数.求 19的解.解答一、单项选择题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、 填空题(本大题有4小题，每小题4分，共16分) 1 COSX 26 -( ) C5. e .6. 2 x .7. 2 .8. 3 三、 解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40分)9.解：方程两边求导e x y (1 y ) cos(xy)(xy y) 0、1 (x 1)2dx0 2： _cos d (令 x 1 sin )'2y(x)e x y ycos(xy) e x yx cos(xy) 0 y(0)10.解： u7x 7x 6dx 原式 1 (1u)du7 u(1 u) 1 尹|u|2ln |u 1 ,|x 7 2ln |訥|10,yx du1|) c x 7| C(- u 1 7 031—)duu 111.解:3 f(x)dxxe xdx12.解: -2e 34 由 f (°)g(x) 1f (xt )dt知 g (0) 0。
高等数学上数学试题及答案
高等数学上数学试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 极限的定义中，若函数f(x)在点x=a处的极限存在，则对于任意的正数ε，都存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，|f(x)-L|<ε。
则以下哪个选项是正确的？A. ε和δ可以互换B. δ依赖于ε和函数f(x)C. δ依赖于ε和aD. ε依赖于δ和函数f(x)答案：B2. 函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的定积分表示的是？A. 曲线y=x^2与x轴围成的面积B. 曲线y=x^2与y轴围成的面积C. 曲线y=x^2与x轴围成的体积D. 曲线y=x^2与y轴围成的体积答案：A3. 以下哪个函数是偶函数？A. f(x)=x^3B. f(x)=x^2C. f(x)=x^2+1D. f(x)=x^3-1答案：B4. 函数f(x)=sin(x)的导数是？A. cos(x)B. -sin(x)C. tan(x)D. -cos(x)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^3-3x+2的导数是_________。
答案：3x^2-32. 函数f(x)=e^x的不定积分是_________。
答案：e^x+C3. 函数f(x)=ln(x)的导数是_________。
答案：1/x4. 函数f(x)=x^2+2x+1的极值点是_________。
答案：x=-1三、解答题（每题15分，共30分）1. 计算定积分∫[0,1] (2x+1)dx，并说明其几何意义。
解：∫[0,1] (2x+1)dx = [x^2+x] | [0,1] = (1^2+1) - (0^2+0) = 2几何意义：表示曲线y=2x+1与x轴在区间[0,1]上的面积。
2. 求函数f(x)=x^3-6x^2+9x+1在区间[0,3]上的单调区间。
解：首先求导数f'(x)=3x^2-12x+9，令f'(x)=0，解得x=1或x=3。
在区间[0,1)上，f'(x)>0，函数单调递增；在区间(1,3]上，f'(x)<0，函数单调递减。
高数上学期题库及答案
高数上学期题库及答案一、选择题1. 函数f(x)=x^2+3x+2在区间[-2, 1]上的最大值是：A. 1B. 3C. 5D. 7答案：C2. 极限lim(x→∞) (1-1/x)^x的值是：A. 0B. 1C. e^-1D. e答案：D3. 曲线y=x^3-2x^2+x在点(1,0)处的切线斜率是：A. -1B. 0C. 1D. 2答案：C二、填空题4. 函数f(x)=sin(x)+cos(x)的周期是______。
答案：2π5. 若f(x)=x^3-6x^2+11x-6，则f'(x)=______。
答案：3x^2-12x+11三、解答题6. 求函数y=x^3-6x^2+11x-6在区间[1,3]上的最大值和最小值。
解：首先求导数y'=3x^2-12x+11，令y'=0，解得x=1和x=3（重根）。
由于是重根，需要计算二阶导数y''=6x-12，代入x=1和x=3，得到y''(1)=-6，y''(3)=6。
因此，x=1处为极大值点，x=3处为极小值点。
计算端点和极值点的函数值，得到y(1)=0，y(3)=-2，所以最大值为0，最小值为-2。
7. 求曲线y=x^2与直线y=4x在第一象限的交点坐标。
解：联立方程组：\[\begin{cases}y = x^2 \\y = 4x\end{cases}\]解得x=0（舍去，因为不在第一象限）和x=4，代入任一方程得y=16，所以交点坐标为(4,16)。
四、证明题8. 证明：若f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。
证明：由于f(x)在[a,b]上连续，根据连续函数的性质，f(x)在[a,b]上有界且只有有限个间断点。
根据达布定理，对于任意的ε>0，存在一个分割P：a=x_0<x_1<...<x_n=b，使得U(P,f)-L(P,f)<ε。
高等数学上册试题及参考答案3篇
高等数学上册试题及参考答案高等数学上册试题及参考答案第一篇：微积分1.已知函数$f(x)=\ln{(\sqrt{(1+x^2)}+x)}$，求$f'(x)$和$f''(x)$。
参考答案：首先，根据对数函数的导数公式$[\lnf(x)]'=\frac{f'(x)}{f(x)}$，我们可以得到$f'(x)$的计算式为：$$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{(1+x^2)}+x}\cdot\frac{\fra c{1}{2}\cdot2x}{\sqrt{(1+x^2)}}+\frac{1}{\sqrt{(1+x^2)}+x}$$ 将上式整理化简，得到：$$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{(1+x^2)}\cdot(\sqrt{(1+x^2 )}+x)}+\frac{1}{\sqrt{(1+x^2)}+x}$$接下来，我们需要求$f''(x)$。
由于$f'(x)$是由$f(x)$求导得到的，因此$f''(x)$可以通过对$f'(x)$求导得到，即：$$f''(x)=\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{\sqrt{(1+x^2) }\cdot(\sqrt{(1+x^2)}+x)}+\frac{1}{\sqrt{(1+x^2)}+x}\r ight]$$通过链式法则和乘法法则，我们得到：$$f''(x)=\frac{-(1+x^2)^{-\frac{3}{2}}\cdot(\sqrt{(1+x^2)}+x)-\frac{1}{2}(1+x^2)^{-\frac{1}{2}}\cdot\frac{2x}{\sqrt{(1+x^2)}}\cdot(\sqrt{ (1+x^2)}+x)^2}{(\sqrt{(1+x^2)}+x)^2}$$将上式整理化简，得到：$$f''(x)=\frac{-1-2x^2}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}\cdot(\sqrt{(1+x^2)}+x)^2}$ $因此，函数$f(x)=\ln{(\sqrt{(1+x^2)}+x)}$的导数$f'(x)$和二阶导数$f''(x)$分别为：$$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{(1+x^2)}\cdot(\sqrt{(1+x^2 )}+x)}+\frac{1}{\sqrt{(1+x^2)}+x}$$$$f''(x)=\frac{-1-2x^2}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}\cdot(\sqrt{(1+x^2)}+x)^2}$ $2.计算二重积分$\iint_D(x^2+y^2)*e^{-x^2-y^2}d\sigma$，其中$D$是圆域$x^2+y^2\leqslant 1$。
高数第一册习题及答案
高数第一册习题及答案第一章初等函数及其图形练习1.1 初等函数及其图形一. 确定下列各函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数:x,xf(x),a，a 1. (); a,0x,xx,x，，，，，，？f,x,a，a,fx？fx,a，a解: 为偶函数.1,xf(x),ln2.; 1，x1，x1,x1,x解: ，，, ，，，，为奇函数. ？fx,ln？f,x,ln,,ln,,fx1，x1,x1，x23. f(x),ln(x，1，x)122，，，，，，，，？f,x,ln,x，1，x,ln,,lnx，1，x,,fx解: , 2x，1，x 2为奇函数. ，，，，？fx,lnx，1，x二. 设f(sinx),3,cos2x,求f(cosx)。
22，，，，？fsinx,3,cos2x,2，2sinx？fcosx,2，2cosx解: ,f(x)，,x,0,x,0三.设f(x)在(0,)上定义, 。
求证: 若单调上升,则12xf(x，x),f(x)，f(x)。
1212fx，，，，fx，，，，，，？gx，x,gx,解: 令gx,, ？单调上升, 121xx ，，，，，，gx，x,gx x,x,0, 故12212，，，，，，，，，，，，，，fx，x,x，xgx，x,xgx，x，xgx，x,xgx，xgx 1212121122121122，，，，,fx，fx. 12f(x),arccosx,g(x),sinxf(g(x)),g(f(x))四. 设,试求复合函数的定义域和值域,并作图。
，，，，，，，，,,fgx,arccossinxD,,,.，,R,0,,解: , , ，，，，，，,,,,gfx,sinarccosxD,,1,1R,0,1, , .,x,1,x,0,,0xx,,f(x), , 求复合函数。
五.设(),f(g(x)),g(f(x))gx,,2,x,x,0xx,0,,,x,1,,1,x,0,,,1,,0xx,,2，，，，，，gfx,,1，x,x,,1,解: , fgx，，，，,,2x,1,x,0,2,,x,x,0,第二章极限与连续2.1 数列极限一. 填空:n,12,n|x,1|,,x,1.设,对于任意的正数,当大于正整数[,1]时, ,所以N,nnn，1, ,4n|x,1|,10;当大于正整数19.999时, 。
高等数学同步训练习题上
高等数学同步训练习题上一、极限1. 计算下列极限：- \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \)- \( \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2} \)- \( \lim_{x \to 2} (x^2 - 4) \)2. 判断下列函数在 \( x \to 0 \) 时是否存在极限，并求出极限值（如果存在）：- \( f(x) = x^2 \sin \frac{1}{x} \)- \( g(x) = \frac{\sin x}{x} \)二、导数与微分1. 求下列函数的导数：- \( f(x) = x^3 - 2x^2 + 5x + 7 \)- \( g(x) = \sin x + \cos x \)2. 利用导数判断下列函数在 \( x = 1 \) 处的单调性：- \( h(x) = x^2 - 2x + 1 \)- \( k(x) = e^x - x \)三、积分1. 计算下列不定积分：- \( \int x^2 dx \)- \( \int \frac{1}{x} dx \)2. 解下列定积分：- \( \int_{0}^{1} x^3 dx \)- \( \int_{1}^{e} \frac{1}{x} dx \)四、级数1. 判断下列级数的收敛性：- \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \)- \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \)2. 求下列级数的和（如果收敛）：- \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \)- \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \)五、多元函数微分1. 求下列多元函数的偏导数：- \( f(x, y) = x^2 y + y^3 \)- \( g(x, y) = \ln(x^2 + y^2) \)2. 求下列多元函数在给定点处的方向导数：- \( h(x, y) = xy + x^2 + y^2 \) 在点 \( (1, 1) \) 处沿向量 \( \vec{v} = (1, -1) \) 的方向导数六、常微分方程1. 解下列一阶微分方程：- \( \frac{dy}{dx} = x - y \)- \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} \)2. 解下列二阶常系数线性微分方程：- \( y'' - 2y' + y = 0 \)- \( y'' + 4y' + 4y = 0 \)结束语通过完成上述习题，同学们可以加深对高等数学基本概念的理解，并提高解决实际问题的能力。
高数各章练习题上册
）
）
（B） f ( x) − g ( x) 在 x0 点处间断 （D） f ( x) + g ( x) 在 x0 点处可能连续。 ）
（2）设数列 xn 与 yn 满足 lim xn yn = 0 ，则下列断言正确的是（ （A）若 xn 发散，则 yn 必发散。 （C）若 xn 有界，则 yn 必为无穷小。 （3）已知 lim
三、 完成下列各题： 1、设 f ( x) 在 [0,1] 上连续。且 0 < f ( x) < 1 ，则必存在 ξ ∈ (0,1) 使 f (ξ ) = ξ 。
(ln x) x / ，求 y x ln x ⎧ ax + b, x > 1 3、确定 a, b 使 f ( x ) = ⎨ ⎩ 0 , x ≤1
2 3
7.若 f ( x ) 在[a,b]上连续、在(a,b)内可导，则 f ( x ) 在[a,b]上单调减小的充分（非必要） 条件是__________________________________. 8. 若 f ( x ) 在[a,b]上连续、 在(a,b)内二阶可导且_______________________________， 则
五、若 lim
x→2
x 2 + ax + b = 2， x2 − x − 2
求 a ， b 的值
六、设 x1 = 1 ， xn = 1 + 七、设 f ( x) = lim
xn −1 ，证明 lim xn 存在，并求 lim xn n →∞ n →∞ 1 + xn −1
n →∞
1− x ，讨论 f ( x) 在其定义域内的连续性，若有间断点，指出其类型。 1 + x2n
高数第一章练习题
B. f ( x ) 在 x0 点的极限值不一定存在 D. f ( x ) 在点 x0 必连续 ）
21、若函数 f ( x ) 在某点 x0 函数值存在，则（ A. f ( x ) 在 x0 点的极限值必存在
B. 如果 f ( x ) 在 x0 点的极限值存在，则极限值必等于函数值
C. f ( x ) 在 x0 点连续 D. 如果 f ( x ) 在 x0 点的连续，则 f ( x ) 在 x0 点的极限值必存在且等于函数值 22、 lim f ( x ) = lim f ( x ) 是 f ( x ) 在 x0 处连续的（
1、求极限 lim
x ®3
x -3 x2 - 9
2、.求极限 lim
x ®3
x 2 - 7 x + 12 x2 - 2 x - 3
2 1 ) 2 1- x 1- x
8x3 - 1 3、求极限 lim 2 1 x® 6 x - 5 x + 1
2
4、求极限 lim(
x ®1
5、求极限 lim (
x ®-2
）
D. 跳跃间断点
x4 + x3 +1 的间断点是（ x 2 - 3x + 2 B. - 1 , 2
D. - 1 , - 2
30、若函数 f ( x ) 连续，则下列命题正确的有（ A. f ( x ) 一定有最大值 C. 有界
B. f ( x ) 一定有最小值 D. 若 f ( x ) 在闭区间连续，则 f ( x ) 在该区间有界
7、变量 y =
2
9、已知函数 f ( x ) = 3 x cos a x ，则 f ( x ) 是当 x ® 0 时的无穷_____________量 10、当 x ® 0 时,无穷小量 ln(1 + x ) 与 b sin
高数 上 习题及答案 极限
x +1
⎞ ⎟ ⎟ ⎟
⎝ 2x ⎠
3
=
lim
x→∞
⎛⎜1 ⎝ ⎛⎜⎝1
+ +
3 2x 1 2x
x +1
⎞ ⎟ ⎠
x +1
⎞ ⎟⎠
3
⎡
⎤ 2x 2
=
lim
⎢⎢⎢⎣⎛⎜⎝ 1 +
3 2x
⎞ ⎟ ⎠
3
⎥
⎥ ⎥⎦
⎛⎜ 1 + ⎝
3 2x
⎞ ⎟ ⎠
x→∞
1
⎡⎢⎢⎣⎛⎜⎝1
+
1 2x
2
⎞ ⎟ ⎠
x
⎤ ⎥ ⎥⎦
ln lim y = ln e0 , lim y = 1
x→π
x→π
2
2
5
解： lim sin xln x
lim xsin x = lim esin xln x = ex→0+
x→0+
x→0+
ln x
lim sin xln x = lim
x→0+
1 x→0+
sin x
1
= lim
x→0+
x⋅
−cos x sin2 x
⎛⎜1
+
⎠⎝
3 n
⎞ ⎟ ⎠
=1
（18） lim sin 5x = （ ）
x→π sin 3x
（a） − 4 （b）-1 （c）1
3 分析：lim sin 5x = lim 5cos5x = 5
x→π sin 3x x→π 3cos 3x 3
（d） 5
3
（22） lim x2 +1 − 3x = （ ）
高等数学上册试题及答案
高等数学上册试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 设函数f(x)=x^2-4x+c，若f(1)=0，则c的值为（）。
A. -3B. 0C. 3D. 42. 函数y=x^3-3x+1的导数为（）。
A. 3x^2-3B. x^2-3C. 3x^2-3xD. x^3-33. 极限lim(x→0) (sinx/x)的值为（）。
A. 0B. 1C. -1D. 24. 函数y=e^x的不定积分为（）。
A. e^x + CB. e^x - CC. x*e^x + CD. x*e^x - C5. 以下哪个选项是微分方程y''-y=0的通解（）。
A. y=C1*cos(x)+C2*sin(x)B. y=C1*e^x+C2*e^(-x)C. y=C1*x+C2D. y=C1*x^2+C2*x6. 曲线y=x^2在点(1,1)处的切线斜率为（）。
A. 0B. 1C. 2D. 47. 已知函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6，求f'(x)=（）。
A. 3x^2-12x+11B. 3x^2-12x+6C. 3x^2-6x+11D. 3x^2-6x+68. 函数y=ln(x)的导数为（）。
A. 1/xB. xC. ln(x)D. 19. 已知函数f(x)=x^2-2x+1，求f(2)=（）。
A. 1B. 3C. 5D. 710. 极限lim(x→∞) (1/x)的值为（）。
A. 0B. 1C. ∞D. -∞二、填空题（每题4分，共20分）1. 若函数f(x)=x^3+2x^2-5x+1，则f'(x)=______。
2. 求定积分∫(0 to 1) (2x+3)dx的值，结果为______。
3. 函数y=x^2-4x+c在x=2处的极值点，当c=______时，该点为极大值点。
4. 函数y=e^(-x^2)的二阶导数为______。
5. 曲线y=x^3-3x^2+2在点(1,0)处的切线方程为y=______。
高等数学上册练习题
高等数学上册练习题集团标准化小组：[VVOPPT-JOPP28-JPPTL98-LOPPNN]高数练习题一、选择题。
4、11lim1--→x x x （ ）。
a 、1-=b 、1=c 、=0d 、不存在5、当0→x 时，下列变量中是无穷小量的有（ ）。
a 、x 1sinb 、x xsin c 、12--x d 、x ln7、()=--→11sin lim 21x x x （ ）。
a 、1 b 、2 c 、0 d 、219、下列等式中成立的是（ ）。
a 、e n n n =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→21lim b 、e n n n =⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→211limc 、e n n n =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→211limd 、e n nn =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→211lim10、当0→x 时，x cos 1-与x x sin 相比较（ ）。
a 、是低阶无穷小量b 、是同阶无穷小量c 、是等阶无穷小量d 、是高阶无穷小量11、函数()x f 在点0x 处有定义，是()x f 在该点处连续的（ ）。
a 、充要条件 b 、充分条件 c 、必要条件 d 、无关的条件 12、 数列｛y n ｝有界是数列收敛的 ( ) .（A ）必要条件 (B) 充分条件 (C) 充要条件 (D)无关条件 13、当x —>0 时，( )是与sin x 等价的无穷小量. (A) tan2 x(B) x(C)1ln(12)2x + (D) x (x +2)14、若函数()f x 在某点0x 极限存在，则（ ）.（A ）()f x 在0x 的函数值必存在且等于极限值（B ）()f x 在0x 的函数值必存在，但不一定等于极限值（C ）()f x 在0x 的函数值可以不存在 （D ）如果0()f x 存在则必等于极限值 15、如果0lim ()x x f x →+与0lim ()x x f x →-存在，则（ ）.（A ）0lim ()x xf x →存在且00lim ()()x xf x f x →=（B ）0lim ()x xf x →存在但不一定有00lim ()()x xf x f x →=（C ）0lim ()x xf x →不一定存在（D ）0lim ()x xf x →一定不存在16、下列变量中（ ）是无穷小量。
高数前3章测试题及答案
高等数学上册前3章练习题一、 填空1．⎩⎨⎧>+≤+=0,0,1)(x b ax x e x f x 在x =0处可导，则=a ，=b （1，2）2．已知2)3(='f ,则=--→hf h f h 2)3()3(lim-13.曲线处的切线方程为在2132=⎪⎩⎪⎨⎧=+=t ty tx )5(38-=-x y4. 抛物线24x x y -=在其顶点处的曲率为_______________25. 设)()2)(1()(n x x x x x f +++= ，则=')0(f _______________!n6. 曲线123-=x x y 的渐近线方程是______________________12x =7. 设)(0x f '存在，则0lim→h =--hh x f x f )()(00 )(0x f '8. 曲线xx y ln =的拐点坐标为 ( 232323,-e e ) 9．函数7186223+--=x x x y 的极大值点为 ，极小值点为 3,1=-=x x10．．设y =y (x )由方程yexy e+=所确定，则0()y '=（ ）.二、选择1．2)11(lim xx x x -∞→-+=（ ）。
（D ） （A ）1（B ）21e （C ）0 （D ）1-e2．设函数x x a y 3sin 31sin +=在x =3π处取得极值，则=a （ ）C（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 3．下列命题不正确的是 cA 、非零常数与无穷大之积是无穷大。
B 、0与无穷大之积是无穷小。
C 、无界函数是无穷大。
D 、无穷大的倒数是无穷小。
4．若l x ax x x =+++-→14lim 31，则 。
（C ）（A ）3,6==l a （B ）3,6=-=l a （C ）6,3==l a （D ）6,3-=-=l a5设22,2,21)(2=⎪⎩⎪⎨⎧>+≤=x x b ax x x x f 在处可导，则必有 B A 、==b a 2 B 、a =2,2-=b C 、a =1, b =2 D 、a =3, b =26. 若22lim 221=-+++→x x bax x x ，则 B A 、a =2,b =4 B 、a =4, b =-5 C 、a =1, b =-2 D 、a =-4, b =57,设)(x f 在0x 处可导，则=--+→hh x f h x f h )()(lim000BA 、)('0x fB 、)('20x fC 、0D 、)2('0x f8.若则,)(lim c x f x =∞→ AA 、)(x f y =有水平渐近线c y =B 、)(x f y =有铅直渐近线c x =C 、c x f =)(D 、)(x f 为有界函数9.若a x f x x =→)(lim 0，则必有_____CA 、)(x f 在0x 点连续；B 、)(x f 在0x 点有定义；C 、)(x f 在0x 的某去心邻域内有定义；D 、)(0x f a =10. ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(x x xx x f 在0=x 处____B A 、 不连续； B 、连续但不可导； C 、可导，但导数在该点不连续； D 、导函数在该点连续11 .设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<+=0,1cos 0,00,sin )(x x x x x x x x x f ，则x =0是)(x f 的 C（A ）连续点 （B ）可去间断点 （C ）跳跃间断点 （D ）振荡间断点12. 设)(x f 在0x x =处连续且)(0x f '不存在，则)(x f y =在))(,(00x f x 处 （D ）（A ）没有切线 （B ）有一条不垂直 x 轴的切线（C ）有一条垂直x 轴的切线 （D ）或者不存在切线或者有一条垂直于x 轴的切线。
一本高数I(上)练习题(7套)
（C）曲线 y f (x) 在点 (0, 0) 处的切线斜率 k 1
（D）曲线 y f (x) 在点 (0, 0) 处的切线斜率 k 1
6．设函数
f
(x)
sin3 x x
,
a 1,
x 0 在 x 0 处连续，则 a x0
7．
1
x
2
1 x2 dx
1
8. 设函数 f ( x) 的一个原函数为 ln x ，则 f ( x) =
(A) a 1 , b 1 2
(B) a 1 , b 0 2
5. 若在 (a, b) 内 f ( x) g( x)，则必有
(C) a 1 , b 1 2
(D) a 1 , b 0 2
【】
(A) f ( x) g( x)
(B) f ( x)dx g(x)dx
(C) f ( x) g( x) C
(D) 2dx
3.
设
f
(
x)
1 x
sin
x
x sin 1 , x
x 0, 则 x 0 是 f ( x) 的
x2 1,
x 0,
【】
(A) 可去间断点
(B) 跳跃间断点 (C) 振荡间断点
(D) 连续点
4. 设 x 0 时， ax2 b cos x 是比 x2 高阶的无穷小，其中 a, b 为常数，则 [ ]
(C) 高阶无穷小
(D) 等价无穷小
【】
9. 设函数 f (x) 是连续的奇函数，且 lim f (2x) 2 , 则 x0 x
（A） f (x) 在 x 0 处可导, 且 f (0) 1
【】
（B） f (x) 在 x 0 处可导, 且 f (0) 1
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上册练习题一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x+（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. =+→xx x sin 2)31(lim .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ． 求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e . 6.c x x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)cos()()0x y e y xy xy y +''+++= cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解：1033()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰03()x xd e --=-+⎰⎰0232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰ 令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。
===⎰⎰1()()()xxt uf u dug x f xt dt x(0)x ≠02()()()(0)xxf x f u dug x x x-'=≠⎰2()()A(0)lim lim22xx x f u duf xg x x →→'===⎰02()()lim ()lim22xx x xf x f u duA A g x A x→→-'==-=⎰，'()g x 在=0x 处连续。
13. 解：2ln dy y x dx x +=22(ln )dx dx x x y e e xdx C -⎰⎰=+⎰211ln 39x x x Cx -=-+1(1),09y C =-=，11ln 39y x x x=- 四、 解答题（本大题10分）14. 解：由已知且02d xy y x y'=+⎰，将此方程关于x 求导得y y y '+=''2特征方程：022=--r r 解出特征根：.2,121=-=r r其通解为 xx e C e C y 221+=-代入初始条件y y ()()001='=，得31,3221==C C故所求曲线方程为：xx e e y 23132+=-五、解答题（本大题10分）15. 解：（1）根据题意，先设切点为)ln ,(00x x ，切线方程：)(1ln 000x x x x y -=-由于切线过原点，解出e x =0，从而切线方程为：x e y 1=则平面图形面积⎰-=-=1121)(e dy ey e A y（2）三角形绕直线x = e 一周所得圆锥体体积记为V 1，则2131e V π=曲线x y ln =与x 轴及直线x = e 所围成的图形绕直线x = e 一周所得旋转体体积为V 2⎰-=122)(dye e V y πD 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积)3125(6221+-=-=e e V V V π六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分）16. 证明：1()()qf x d x q f x dx -⎰⎰1()(()())qqqf x d x q f x d x f x dx =-+⎰⎰⎰1(1)()()q qq f x d x q f x dx=--⎰⎰1212[0,][,1]()()12(1)()(1)()0q q f f q q f q q f ξξξξξξ∈∈≥=---≥故有：1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx证毕。
17.证：构造辅助函数：π≤≤=⎰x dt t f x F x0,)()(0。
其满足在],0[π上连续，在),0(π上可导。
)()(x f x F ='，且0)()0(==πF F由题设，有⎰⎰⎰⋅+===ππππ0)(sin cos )()(cos cos )(0|dxx F x x x F x xdF xdx x f ，有⎰=π00sin )(xdx x F ，由积分中值定理，存在),0(πξ∈，使0sin )(=ξξF 即0)(=ξF综上可知),0(,0)()()0(πξπξ∈===F F F .在区间],[,],0[πξξ上分别应用罗尔定理，知存在),0(1ξξ∈和),(2πξξ∈，使0)(1='ξF 及0)(2='ξF ，即0)()(21==ξξf f .。