福建省福州市八县市一中2020_2021学年高二数学上学期期中联考试题
福建省福州市八县(市)协作校2020-2021学年高二数学上学期期中联考试题
福建省福州市八县（市）协作校20212021学年高二数学上学期期中联考试题高二数学试卷完卷时刻：120分钟； 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．已知角α的终边上一点P(-4,3)，则cos α=（ ）A. 53B. 53-C. -54D. 54 2.已知向量(),1a x =， ()3,6b =，且a b ⊥，则实数的值为( )A.12B. C. D.3．在中，，，，则（ ） A. 或 B.C. D. 以上答案都不对 4．函数sin(2)cos(2)66y x x ππ=++的最小正周期是( ) A ．2πB ．4πC ．2πD ．π5．不等式22(4)(2)10a x a x -++-≥的解集是空集，则实数a 的范畴为（ ） A.6(2,)5- B.6[2,)5- C.6[2,]5- D.6[2,){2}5-6．我国南宋闻名数学家秦九韶发觉了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设ABC ∆三个内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，面积为S ，则 “三斜求积”公式为222222142a c b S a c ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦若()222sin 4sin 12a C A a c b =+=+，则用“三斜求积”公式求得ABC ∆的面积为（ ） 367在各项均为正数的等比数列中，，则=++7362232a a a a a （ ）A. 8B. 6C. 4D. 83cos 3cos sin 2x x ）A.23(,)32π- B.53(,)62π- C.23(,)32π- D.(,3)3π-9.设f(x)是定义域R ，最小正周期为23π的函数，若cos (0)()2sin (0)x x f x x x ππ⎧-≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩，则15()4f π-的值等于（ ）A.1B.22 C.0 D. 22-10．已知等差数列{}n a 中， n S 是它的前n 项和，若160S >，且170S <，则当n S 取最大值时的n 值为（ ）A. 7B. 8C. 9D. 1611．设实数x ，y 满足条件，若目标函数z=ax+by （a ＞0，b ＞0）的最大值为 12， 则 + 的最小值为（ ）A.649 B. 625 C. 38 D. 412.（文)记集合{}11A a =，{}223,A a a =，{}3456,,A a a a =，{}478910,,,A a a a a =…，其中{}n a 为公差大于0的等差数列，若{}23,5A =，则2021属于（ ） A. 63A B.64A C.65A D. 66A12.（理) 在数列{a n }中，对任意n ∈N *，都有211--n n n na a k a a +++= （k 为常数），则称{a n }为“等差比数列”．下面对“等差比数列”的判定：①k 不可能为0；②等差数列一定是等差比数列；③等比数列一定是等差比数列；④通项公式为a n ＝a ·b n＋c （a ≠0，b ≠0,1）的数列一定是等差比数列．其中正确的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．11sin3π的值________． 14.设三角形的三边长分别为15,19,23，现将三边长各缩短x 后，围成了一个钝角三角形，则x 的取值范畴为_____________．15.设A 为关于x 的不等式(1)1ax x -≥的解集.若2,3A A ∉∈，则实数a 的取值范畴为 16. （文)数列{n a }满足a 1＝3，)(111++∈-+=N n a a a nnn ,其前n 项和为S n,则2017___________S =16. （理) 某校召开趣味运动会，其中一个项目如下：七位同学围成一圈依次循环报数，规定①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数差不多上前两位同学报出的数之和，②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手1次．已知甲同学第一个报数．当七位同学依次循环报到第80个数时，甲同学拍手的总次数为 ．三、解答题：本题共6大题，共70分。
2021-2022学年福建省福州八中高二(上)期中数学试卷(附详解)
2021-2022学年福建省福州八中高二（上）期中数学试卷1.直线l经过点(0,−1)和(1,0)，则直线l的倾斜角为()A. 2π3B. 3π4C. π3D. π42.已知圆x2+y2−4y−1=0，则该圆的圆心坐标和半径分别为()A. (0,2)，5B. (0,−2)，5C. (0,2)，√5D. (0,−2)，√53.已知直线l1：ax+2y−1=0，直线l2：8x+ay+2−a=0，若l1//l2，则实数a的值为()A. ±4B. −4C. 4D. ±24.已知向量a⃗=(1,1,0)，b⃗ =(−1,0,2)，且k a⃗+b⃗ 与2a⃗−b⃗ 互相垂直，则k的值是()A. 1B. 15C. 35D. 755.“m>1”是“曲线x23−m +y2m−1=1表示椭圆”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.如图，在三棱锥S−ABC中，点E，F分别是SA，BC的中点，点G在棱EF上，且满足EGGF =12，若SA⃗⃗⃗⃗⃗ =a⃗，SB⃗⃗⃗⃗⃗ =b⃗ ，SC⃗⃗⃗⃗⃗ =c⃗，则SG⃗⃗⃗⃗⃗ =()A. 13a⃗−12b⃗ +16c⃗B. 13a⃗+16b⃗ +16c⃗C. 16a⃗−13b⃗ +12c⃗D. 13a⃗−16b⃗ +12c⃗7.已知直线l：y=x+m与曲线x=√4−y2有两个公共点，则实数m的取值范围是()A. [−2,2√2)B. (−2√2,−2]C. [2,2√2)D. (−2√2,2]8.设M是圆P：x2+(y+2)2=36上的一动点，定点Q(0,2)，线段MQ的垂直平分线交线段PM于N点，则N点的轨迹方程为()A. x236+y232=1 B. x232+y236=1 C. x29+y25=1 D. x25+y29=19. 对空间任意一点O 和不共线三点A ，B ，C ，能得到P ，A ，B ，C 四点共面的是( )A. OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗B. OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =34OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +18OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +18OC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. OP⃗⃗⃗⃗⃗ =2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 10. 关于双曲线C 1：x 29−y 216=1与双曲线C 2：y 29−x 216=−1，下列说法正确的是( )A. 它们有相同的渐近线B. 它们有相同的顶点C. 它们的离心率不相等D. 它们的焦距相等11. 已知平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1，AB =AD =AA 1=1，∠BAD =∠BAA 1=∠DAA 1=60°，则AC 1=______．12. 若圆x 2+y 2=4与圆x 2+y 2+2ay −6=0(a >0)的公共弦的长为2√3，则a =______．13. 中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧.如图，一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2m 时，水面宽8m.若水面下降1m ，则水面宽度为______ ．14. 如图，F 1，F 2是双曲线的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左右两支分别交于点B 、A 两点，若△ABF 2为等边三角形，则该双曲线的离心率为______．15.已知圆C在x轴上交点的横坐标为−1和3，在y轴上一个交点的纵坐标为1．(1)求圆C的标准方程；(2)若过点(2,√3−1)的直线l被圆C截得的弦AB的长为4，求直线l的倾斜角．16.如图，在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA=AB，点M是SD的中点，AN⊥SC，且交SC于点N．(1)求证：SC⊥平面AMN；(2)求平面ACD与平面ACM夹角的余弦值．17.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点，斜率为2√2的直线交抛物线于A(x1,y1)，B(x2,y2)(x1<x2)两点，且|AB|=9．(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求λ的值．18. 已知抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点为F ，直线的斜率为√3且经过点F ，直线l 与抛物线C 交于点A 、B 两点(点A 在第一象限)，与抛物线的准线交于点D ，若|AF|=8，则以下结论正确的是( )A. p =4B. DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =FA ⃗⃗⃗⃗⃗C. |BD|=2|BF|D. |BF|=419. 如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 处变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点处第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，且轨道Ⅱ的右顶点为轨道Ⅰ的中心．设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为a 1和a 2，半焦距分别为c 1和c 2，离心率分别为e 1和e 2，则下列结论正确的是( )A. c 1=a 2+c 2B. a 1+c 1>2(a 2+c 2)C. e 2=2e 1−1D. 椭圆Ⅱ比椭圆Ⅰ更扁20. 已知直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD =60°.以D 1为球心，√5为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为 ．21. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯(约公元前262−公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k(k >0且k ≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知平面直角坐标系xOy 中的点E(√2,0)，F(2√2,0)，则满足|PF|=√2|PE|的动点P 的轨迹记为圆E ． (1)求圆E 的方程；(2)过点Q(3,3)向圆E 作切线QS ，QT ，切点分别是S ，T ，求直线ST 的方程．22.在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，BC//AD，∠ADC=90°，BC=CD=12AD=1，E为线段AD的中点，过BE的平面与线段PD，PC分别交于点G，F．(1)求证：GF⊥PA；(2)若PA=PD=√2，是否存在点G，使得直线PE与平面BEGF所成角的正弦值为√105，若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由．23.已知O为坐标原点，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=2，P为椭圆的上顶点，以P为圆心且过F1，F2的圆与直线x=−√2相切．(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知直线l交椭圆C于M，N两点；(ⅰ)若直线l的斜率等于1，求△OMN面积的最大值；(ⅱ)若OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−1，点D 在l 上，OD ⊥l.证明：存在定点W ，使得|DW|为定值．答案和解析1.【答案】D【解析】【试题解析】【分析】本题考查直线斜率的求法，考查直线倾斜角与斜率的关系，是基础题．由已知点的坐标求得直线的斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值求解．【解答】=1．解：经过点(0,−1)和(1,0)的直线的斜率为k=−1−00−1设直线l的倾斜角为α(0≤α<π)，∴tanα=1，则α=π．4故选：D．2.【答案】C【解析】解：圆x2+y2−4y−1=0化为标准方程可得：x2+(y−2)2=5，所以圆心坐标为(0,2)，半径为√5，故选：C．将圆的一般方程化为标准方程，可得圆心的坐标及半径．本题考查由圆的方程求圆心坐标及半径的知识，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：∵l1//l2，∴a2−16=0，解得a=±4，a=4时，直线l1：4x+2y−1=0，直线l2：8x+4y+2−4=0，即4x+2y−1=0，此时两直线重合，舍去．a=−4时，直线l1：−4x+2y−1=0，即4x−2y+1=0，直线l2：8x−4y+2+4=0，即4x−2y+3=0，此时两条直线平行．∴a=−4．故选：B ．由l 1//l 2，利用平行与斜率之间的关系可得a 2−16=0，解得a ，再进行验证即可得出． 本题考查了直线方程、平行与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】D【解析】 【分析】本题考查空间向量的数量积运算，考查向量数量积的坐标表示，属于基础题． 由向量a ⃗ =(1,1,0)，b ⃗ =(−1,0,2)，求得k a ⃗ +b ⃗ 与2a ⃗ −b ⃗ 的坐标，代入数量积的坐标表示求得k 值． 【解答】解：∵a ⃗ =(1,1,0)，b ⃗ =(−1,0,2)，∴k a ⃗ +b ⃗ =k(1,1,0)+(−1,0,2)=(k −1,k,2)， 2a ⃗ −b ⃗ =2(1,1,0)−(−1,0,2)=(3,2,−2)， 又k a ⃗ +b ⃗ 与2a ⃗ −b ⃗ 互相垂直，∴3(k −1)+2k −4=0，解得：k =75． 故选：D ．5.【答案】B【解析】解：曲线x 23−m+y 2m−1=1表示椭圆， 则{3−m >0m −1>03−m ≠m −1，解得m ∈(1,2)∪(2,3)，设A =(1,2)∪(2,3)，B =(1,+∞)， 所以A ⊂B ． 故选：B ．直接利用椭圆的方程满足的条件的应用和充分条件和必要条件的应用求出结果． 本题考查的知识要点：椭圆的定义，椭圆的方程，不等式的解法，充分条件和必要条件，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．6.【答案】B【解析】 【分析】本题主要考查了向量的线性表示，属于基础题．类比平面向量的线性表示，结合向量加法的三角形法则可求． 【解答】解：因为SG ⃗⃗⃗⃗⃗ =SE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =12SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(ES ⃗⃗⃗⃗⃗ +SC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =12SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AS ⃗⃗⃗⃗⃗ +13SC ⃗⃗⃗⃗⃗ +16CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =13SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13SC ⃗⃗⃗⃗⃗ +16(CS ⃗⃗⃗⃗ +SB ⃗⃗⃗⃗⃗ )， =13SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， =13a ⃗ +16b ⃗ +16c ⃗ ． 故答案选：B ．7.【答案】B【解析】 【分析】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．把已知曲线方程变形，画出图形，数形结合得答案． 【解答】解：由x =√4−y 2，得x 2+y 2=4(x ≥0)， 如图，当直线l ：y =x +m 与x 2+y 2=4(x ≥0)相切时，则√2=2，解得：m =±2√2，又m =2√2不合题意，∴m =−2√2， 当直线过半圆的右顶点(2,0)时，2+m =0，∴m =−2，∴若直线l ：y =x +m 与曲线x =√4−y 2有两个公共点，则实数m 的取值范围是(−2√2,−2]． 故选：B ．8.【答案】D【解析】解：∵线段PM 是线段MQ 的垂直平分线交线， ∴|MN|=|NQ|，|MP|=|MN|+|NP|=6， ∴|NQ|+|NP|=6，∵Q(0,2)，P(0,−2)，即点N 是到定点Q ，P 距离和为定长6的动点， ∴点N 的轨迹为椭圆，a =3，c =2，则b =√5， ∴点N 的轨迹方程为：x 25+y 29=1．故选：D ．利用垂直平分线性质得到|MN|=|QN|，由几何线段的关系得到|QN|+|NP|=6，根据椭圆的定义即可写出N 点的轨迹方程．本题主要考查了轨迹方程的问题，解题的关键是利用了椭圆的定义求得轨迹方程．9.【答案】BC【解析】解：令OP⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +z OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若P ，A ，B ，C 四点共面，则x +y +z =1， 对于A ，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，1+1+1=3≠1，故P ，A ，B ，C 四点不共面，故A 不正确；对于B ，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，13+13+13=1，故P ，A ，B ，C 四点共面，故B 正确；对于C ：OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =34OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +18OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +18OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，34+18+18=1，故P ，A ，B ，C 四点共面，故C 正确； 对于D ：OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，2−1−1=0≠1，故P ，A ，B ，C 四点不共面，故D 不正确； 故选：BC ．令OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +z OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若P ，A ，B ，C 四点共面，则x +y +z =1，进而得到答案．本题考查的知识点是三点共线与四点共线的判定，正确理解四点共面充要条件的向量表示法，是解答的关键．10.【答案】CD【解析】解：双曲线C 1：x 29−y 216=1的顶点坐标(±3,0)，渐近线方程：4x ±3y =0，离心率为：53，焦距为10． 双曲线C 2：y 29−x 216=−1，即：x 216−y 29=1，它的顶点坐标(±4,0)，渐近线方程：3x ±4y =0，离心率为：54，焦距为10． 所以它们的离心率不相等，它们的焦距相等． 故选：CD ．求解两个双曲线的顶点坐标，渐近线方程，离心率，焦距判断选项即可． 本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．11.【答案】√6【解析】 【分析】本题考查简单多面体的结构特征，考查向量的模，空间向量的基本运算，考查空间想象力，属于中档题．根据题意可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12，再利用空间向量基本运算可得AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，两边平方即可得出答案． 【解答】解：∵AB =AD =AA 1=1，∠BAD =∠BAA 1=∠DAA 1=60°，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12，∵AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =6， ∴|AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6． 故答案为：√6．12.【答案】1【解析】 【分析】本小题考查圆与圆的位置关系，基础题．画出草图，不难得到半径、半弦长的关系，求解即可． 【解答】解：由已知x 2+y 2+2ay −6=0的半径为√6+a 2，圆心(0,−a)，公共弦所在的直线方程为ay =1.大圆的弦心距为：|a +1a|由图可知6+a 2−(a +1a )2=(√3)2，解之得a =1． 故答案为1．13.【答案】4√6m【解析】解：由题意，以拱桥顶点为原点，建立直角坐标系， 设抛物线方程x 2=−2py(p >0)，由题意知，抛物线经过点A(−4,−2)和点B(4,−2)，代入抛物线方程解得，p =4，所以抛物线方程x 2=−8y ，水面下降1米，即y =−3， 解得x 1=2√6，x 2=−2√6，所以此时水面宽度d =2x 1=4√6． 故答案为：4√6m ．以拱桥顶点为原点，建立直角坐标系，设抛物线方程x 2=−2py(p >0)，利用点的坐标代入方程求解p ，然后求解水面宽度．考查抛物线的标准方程及应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．14.【答案】√7【解析】解：因为△ABF 2为等边三角形，不妨设AB =BF 2=AF 2=m ， A 为双曲线上一点，F 1A −F 2A =F 1A −AB =F 1B =2a ， B 为双曲线上一点，则BF 2−BF 1=2a ，BF 2=4a ，F 1F 2=2c ， 由∠ABF 2=600，则∠F 1BF 2=1200，在△F 1BF 2中应用余弦定理得：4c 2=4a 2+16a 2−2⋅2a ⋅4a ⋅cos120°， 得c 2=7a 2，则e 2=7⇒e =√7． 故答案为：√7．由双曲线的定义，可得F 1A −F 2A =F 1A −AB =F 1B =2a ，BF 2−BF 1=2a ，BF 2=4a ，F 1F 2=2c ，再在△F 1BF 2中应用余弦定理得，a ，c 的关系，由离心率公式，计算即可得到所求．本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题．15.【答案】解：(1)由题意可设A(−1,0)，B(3,0)，D(0,1)，则AB 的中垂线为x =1，AD 的中垂线为y =−x ，∴圆心C(x,y)满足{x =1y =−x ，∴C(1,−1)，半径r =|CD|=√1+4=√5，∴圆C 的标准方程为(x −1)2+(y +1)2=5；(2)当斜率不存在时，l ：x =2到圆心的距离为l ，此时弦AB 的长为4， 满足题意，此时直线l 的倾斜角为90°；当斜率存在时，设直线l 的方程为y =k(x −2)+√3−1， 由弦长为4，可得圆心(1,−1)到直线l 的距离为√5−4=1， 即√3−1|√1+k 2=1，∴k =√33，此时直线l 的倾斜角为30°，综上所述，直线l 的倾斜角为30°或90°．【解析】(1)根据条件求得AB 、AD 的中垂线方程，联立得到C 点坐标，求得半径，进而得到圆C 的标准方程；(2)分别考虑斜率存在和不存在两种情况：斜率不存在时求得AB 进行验证，斜率存在时设l 方程y =k(x −2)+√3−1，求得圆心到直线的距离，再由弦长公式即可求得k ． 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．16.【答案】(1)证明：依题意建立如图所示的空间直角坐标系A −xyz ，设AB =AD =SA =1，则A(0,0,0)，C(1,1,0)，D(1,0,0)，S(0,0,1)，M(12,0,12)，∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,0,12)，CS ⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,1)，∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CS ⃗⃗⃗⃗ =−12+12=0．∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CS ⃗⃗⃗⃗ ，即SC ⊥AM ，又SC ⊥AN 且AN ∩AM =A ， AN ，AM ⊂平面AMN ， ∴SC ⊥平面AMN ．(2)解：∵SA ⊥底面ABCD ，∴AS⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1)是平面ACD 的一个法向量． 由(1)知，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,0,12)， 设平面ACM 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)，则{AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，即{x +y =012x +12z =0令x =−1，则n⃗ =(−1,1,1)， ∴cos〈AS ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ 〉=AS ⃗⃗⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗ |AS ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√3=√33， 故由题图可知平面ACD 与平面ACM 夹角的余弦值为√33．【解析】(1)建立空间直角坐标系A −xyz ，设AB =AD =SA =1，利用向量的数量积推出SC ⊥AM ，结合SC ⊥AN ，证明SC ⊥平面AMN ．(2)求出平面ACD 的一个法向量．平面ACM 的法向量，利用空间向量的数量积求解平面ACD 与平面ACM 夹角的余弦值即可．本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．17.【答案】解：(1)依题意可知抛物线的焦点坐标为(p2,0)，故直线AB 的方程为y =2√2x −√2p ， 联立{y =2√2x −√2py 2=2px，可得4x 2−5px +p 2=0． ∵x 1<x 2，p >0，△=25p 2−16p 2=9p 2>0， 解得x 1=p4，x 2=p ．∴经过抛物线焦点的弦|AB|=x 1+x 2+p =94p =9，解得p =4． ∴抛物线方程为y 2=8x ；(2)由(1)知，x 1=1，x 2=4，代入直线y =2√2x −4√2， 可求得y 1=−2√2，y 2=4√2，即A(1,−2√2)，B(4,4√2)，∴OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−2√2)+λ(4,4√2)=(4λ+1,4√2λ−2√2)， ∴C(4λ+1,4√2λ−2√2)，∵C 点在抛物线上，故(4√2λ−2√2)2=8(4λ+1)， 解得：λ=0或λ=2．【解析】(1)由题意求得焦点坐标，得到直线方程，和抛物线方程联立，利用弦长公式求得p ，则抛物线方程可求；(2)由(1)求出A ，B 的坐标结合OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求出C 的坐标，代入抛物线方程求得λ值． 本题考查抛物线的简单性质，考查了数形结合的解题思想方法，训练了向量在求解圆锥曲线问题中的应用，是中档题．18.【答案】ABC【解析】解：如图，F(p2,0)，直线l 的斜率为√3，则直线方程为y =√3(x −p2)，联立{y2=2pxy=√3(x−p2)，得12x2−20px+3p2=0．解得：x A=32p，x B=16P，由|AF|=32p+p2=2p=8，得p=4．∴抛物线方程为y2=8x．x B=16p=23，则|BF|=23+2=83；|BD|=|BF|cos60∘，∴|BD|=2|BF|，|BD|+|BF|=83+163=8，则F为AD中点．∴运算结论正确的是A，B，C．故选：ABC．由题意画出图形，写出直线方程，与抛物线方程联立，求得A的坐标，再由焦半径公式求p，进一步求出|BF|，|BD|的值，逐一判断四个选项得答案．本题考查抛物线的简单性质，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．19.【答案】ABC【解析】解：由a1=2a2，c1=a2+c2>2c2，所以a1+c1>2(a2+c2)，所以选项A，B正确；由a1=2a2，c1=a2+c2，得c1a1=a2+c22a2=1+c2a22，即e1=1+e22，所以e2=2e1−1，所以选项C正确；根据选项C知，2e1=e2+1>2e2，所以e1>e2，即椭圆Ⅰ比椭圆Ⅱ更扁些，选项D错误．故选：ABC．由a1=2a2，c1=a2+c2>2c2，得出A正确，进而可得B正确；由a1=2a2，c1=a2+c2，得出离心率判断C正确；求出e1>e2，判断D错误．本题主要考查了椭圆的简单性质与应用问题，也考查了运用所学知识解决实际问题的能力，是中档题．20.【答案】√2π2【解析】【分析】本题考查空间点线面距离的求法，球与几何体相交的交线的问题，属于难题．画出直观图，建立如图所示的坐标系，设出P的坐标，通过D1P=√5.求出P的轨迹方程，然后求解以D1为球心，√5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长．【解答】解：由题意直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°.可知：D1B1=2，上下底面是菱形，建立如图所示的平面直角坐标系，设P(x,y)，则D1E2=D1B12+x2−2⋅D1B1⋅xcos60°=x2+4−2x．由题意可知D1P=√5．可得：5=x2+4−2x+(2−y)2．即(x−1)2+(y−2)2=2，所以P在侧面BCC1B1的轨迹是以B1C1的中点为圆心，半径为√2的圆弧．以D1为球心，√5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为：14×2√2π=√2π2．故答案为：√2π2．21.【答案】解：(1)设点P(x,y)，由|PF|=√2|PE|，且E(√2,0)，F(2√2,0)，得√(x−2√2)2+y2=√2√(x−√2)2+y2，整理得x2+y2=4，所以圆E的方程为x2+y2=4；(2)设切点S(x 1,y 1)，T(x 2,y 2)，则k OS =y 1x 1，k QS =−x1y 1，直线QS 方程为：y =−x 1y 1(x −x 1)+y 1，整理得x 1x +y 1y =x 12+y 12=4，同理可得直线QT 方程为：x 2x +y 2y =4，由直线QS ，OT 均过点Q(3,3)，则3x 1+3y 1=4，3x 2+3y 2=4，即点Q ，S 都在直线3x +3y =4上，所以直线ST 的方程为3x +3y −4=0．【解析】(1)设点P(x,y)，根据两点间距离公式表示出|PF|=√2|PE|，整理即可求得圆E 的方程；(2)设切点S(x 1,y 1)，T(x 2,y 2)，推出S 、T 的坐标满足3x +3y =4，然后得到结果． 本题考查轨迹方程的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．22.【答案】(1)证明：因为BC =12AD ，且E 为线段AD 的中点，所以BC =DE ，又因为BC//AD ，所以四边形BCDE 为平行四边形， 所以BE//CD ，因为CD ⊂平面PCD ，BE ⊄平面PCD ，所以BE//平面PCD ， 因为平面BEGF ∩平面PCD =GF ，所以BE//GF ，又BE ⊥AD ，且平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD =AD ， 所以BE ⊥平面PAD ， 所以GF ⊥平面PAD ，又PA ⊂平面PAD ，所以GF ⊥PA ．(2)解：因为PA =PD ，E 为线段AD 的中点，所以PE ⊥AD ， 又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PE ⊥平面ABCD ，以E 为原点，EA 、EB 、EP 所在的直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则P(0,0,1)，B(0,1,0)，E(0,0,0)，D(−1,0,0)， 所以PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−1)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,0)，DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,1)，设DG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λDP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，λ∈[0,1]，则G(λ−1,0,λ)， 所以EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ−1,0,λ)，设平面BEGF 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)，则{BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0EG ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，即{−y =0(λ−1)x +λz =0，令x =λ，则y =0，z =1−λ，所以n ⃗ =(λ,0,1−λ)， 设直线PB 与平面BEGF 所成的角为α， 则sinα=|cos〈n ⃗ ,PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉|=|n⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ |⋅|PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||=√2√λ2+(λ−1)2=√105， 解得λ=13或λ=−1(舍)，故存在点G(−23,0,13)，使得直线PB 与平面BEGF 所成角的正弦值为√105．【解析】(1)易证四边形BCDE 为平行四边形，故BE //CD ，有BE//平面PCD ，可推出BE//GF ；由BE ⊥AD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，可证BE ⊥平面PAD ，即GF ⊥平面PAD ，从而得证；(2)易知PE ⊥AD ，由平面PAD ⊥平面ABCD ，知PE ⊥平面ABCD ，故以E 为原点，EA 、EB 、EP 所在的直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设DG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λDP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，λ∈[0,1]，则G(λ−1,0,λ)，根据法向量的性质求得平面BEGF 的法向量n ⃗ ，设直线PB 与平面BEGF 所成的角为α，由sinα=|cos <n ⃗ ，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ >|可列出关于λ的方程，解之即可．本题考查空间中线与面的位置关系、线面角的求法，熟练掌握线面平行或垂直的判定定理与性质定理，以及利用空间向量处理线面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．23.【答案】解：(1)由题意知：F 1(−1,0)，F 2(1,0)，以P 为圆心且过F 1，F 2的圆与直线x =−√2相切，则圆的半径为√2， 由椭圆定义知，所以2a =|PF 1|+|PF 2|=2√2，设椭圆的半焦距为c ，所以b 2+c 2=a 2，所以a =√2，b =1，c =1， 所以椭圆C 的标准方程为：x 22+y 2=1．(2)(ⅰ)设直线l 的方程为：y =kx +t ， 将y =kx +t ，代入x 22+y 2=1得：(1+2k 2)x 2+4ktx +2t 2−2=0，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，所以x 1+x 2=−4kt1+2k 2，x 1x 2=2t 2−21+2t 2，又因为k =1，得|MN|=√2|x 1−x 2|=√2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√3−t 23，点O 到直线l 的距离d =√1+k 2=√2， 所以S △OMN =12√2⋅4√3−t 23=√23×√t 2(3−t 2)≤√23×(t 2+3−t 22)=√22， 当且仅当t 2=3−t 2时取等号，即当t =±√62时，△OMN 的面积取最大值为√22．(ⅱ)若直线l 的斜率不存在，设M(x 0,y 0)，N(x 0,−y 0)，则OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 02−y 02=−1，又x 022+y 02=1， 解得x 0=0，y 0=±1，即直线l:x =0，不符合题意， 故直线l 的斜率一定存在，设直线l 的方程为：y =kx +t ， 由(ⅰ)知：x 1+x 2=−4kt1+2k 2,x 1x 2=2t 2−21+2k 2， 所以y 1y 2=(kx 1+t)(kx 2+t)=k 2x 1x 2+kt(x 1+x 2)+t 2=t 2−2k 21+2k 2，所以OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=3t 2−2−2k 21+2k 2=−1，解得t 2=13，t =±√33，直线y =kx ±√33过定点Z(0,√33)或(0,−√33)所以D 在以OZ 为直径的圆上，该圆的圆心为W(0,√36)或(0,−√36)，半径等于√36，所以存在定点W(0,√36)或(0,−√36)，使得|DW|为定值√36．【解析】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆方程的求法，考查分析问题解决问题的能力，是难题．(1)利用椭圆的焦距求出c ，利用椭圆的定义求解a ，推出b ，即可得到椭圆方程． (2)(ⅰ)设直线l 的方程为：y =kx +t 将y =kx +t ，代入x 22+y 2=1，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，利用韦达定理结合弦长公式，点到直线的距离求解三角形的面积，利用基本不等式推出结果．(ⅱ)显然直线l 的斜率一定存在，设直线l 的方程为：y =kx +t ，求出向量的数量积，推出直线l 得到定点，然后推出结果．。
福建省八县(市)高二数学上学期期中联考试题 文 新人教A版
高中 二 年 数学（文） 科试卷命题学校： 连江一中考试日期：11月13日 完卷时间： 120 分钟 满 分： 150 分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的. 1、若数列的前4项分别是1111,,,2345--，则此数列的一个通项公式为（ ） A.1(1)1n n +-+ B.(1)1n n -+ C.(1)n n- D.1(1)n n --2、在ABC ∆中，内角,,A B C 对边的边长分别是,,a b c ，若2sin b a B =，则A 等于（ ） A. 30︒或60︒ B.45︒或60︒ C. 60︒或120︒ D.30︒或150︒3、下列选项中正确的是（ ）A ．若a b >，则22ac bc > B ．若a b >，c d <，则a bc d> C ．若0ab >，a b >，则11a b< D ．若a b >，c d >，则a c b d ->- 4、已知等差数列{}n a 中，29a a =-，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则A.100S <B.56S S <C.56S S >D.56S S =5、不等式组5003x y y a x -+≥⎧⎪≥⎨⎪≤≤⎩，表示的平面区域是一个三角形，则a 的范围是( )A ．5a <B ．8a ≥C ．58a ≤<D ．5a <或8a ≥6、设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若843S S =，则128SS 等于 ( ) A ．2B.73C.83D ．37、设,1,2m m m ++是钝角三角形的三边长，则实数m 的取值范围是（ ） A ．03m << B ．13m << C ．34m << D ．46m <<8、下列函数中，y 的最小值为2的是（ ）A.1y x x =+B.1(0)y x x x=+> C. 4(0)y x x x =+>D.y =9、若三角形的三个内角成等差数列，对应三边成等比数列，则三角形的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形10、如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60︒，再由点C 沿北偏东15︒方向走10米到位置D ，测得45BDC ∠=︒，则塔高AB 的高度为（ ）A.10B.102103611、ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，S 表示ABC ∆的面积，若cos cos sin a B b A c C +=，2221()4ABC S b c a ∆=+-，则角B 等于（ ）A. 30︒B. 45︒C. 60︒D. 90︒12、定义：在数列{}n a 中，0n a >且1n a ≠，若1n a na +为定值，则称数列{}n a 为“等幂数列”.已知数列{}n a 为“等幂数列”，且12a =，24a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2011S 等于（ ）A.6032B.6030C.2D.4 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填在答题卡的相应位置.13、数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且*1()n n n b a a n N +=-∈．若32b =-，1012b =，则8a = ．14、设0,0>>b a ，且1a b +=，则ba 21+的最小值为___________. 15、若二次函数()0f x ≥的解的区间是[1,5]-，则不等式(1)()0x f x -⋅≥的解为 .16、等差数列{}n a 中，n S 是它的前n 项之和，且67S S <，78S S >，则：①数列的公差0d <；②9S 一定小于6S ；③7a 是各项中最大的一项；④7S 一定是n S 中的最大值． 其中正确的是 （填入你认为正确的所有序号）．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17 (本题满分12分)、在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且角,,B A C 成等差数列.（1）若222a cb mbc -=-，求实数m 的值； （2）若3a =3b c +=，求ABC ∆的面积．18（本题满分12分）、已知函数3222)(a b x a ax x f -++=，当)6()2(∞+--∞∈，，x 时，0)(<x f ；当)62(，-∈x 时，0)(>x f .①求,a b 的值；②设()()21324kF x f x kx k =-++-，则当k 取何值时, 函数()F x 的值恒为负数?19（本题满分12分）、如图，港口B 在港口O 正东方120海里处，小岛C 在港口O 北偏东60︒方向、港口B 北偏西30︒方向上．一艘科学考察船从港口O 出发，沿北偏东30︒的OA 方向以20海里/时的速度驶离港口O .一艘快船从港口B 出发，以60海里/时的速度驶向小岛C ，在C 岛装运补给物资后给考察船送去，现两船同时出发，补给物资的装船时间要1小时，问快艇驶离港口B 后最少要经过多少时间才能和考察船相遇？ m]20、（本题满分12分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，273=S ，2636=S . （1）求等比数列{}n a 的通项公式；（2）令n n a n b 2log 616+-=，证明数列{}n b 为等差数列；（3）对（2）中的数列{}n b ，前n 项和为n T ，求使n T 最小时的n 的值.21（本题满分12分）、国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，环保节能的产品供不应求.为适应市场需求，某企业投入98万元引进环保节能生产设备，并马上投入生产.第一年需各种费用12万元，从第二年开始，每年所需费用会比上一年增加4万元．而每年因引入该设备可获得年利润为50万元．请你根据以上数据，解决以下问题： （1）引进该设备多少年后，该厂开始盈利？（2）若干年后，因该设备老化，需处理老设备，引进新设备．该厂提出两种处理方案： 第一种：年平均利润达到最大值时，以26万元的价格卖出．第二种：盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出．问哪种方案较为合算？22（本题满分14分）、设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2n S n =．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设11(1)(1)n n n b a a +=++，求数列{}n b 的前项的和n T .（3）是否存在自然数m ，使得245n m mT -<<对一切*N n ∈恒成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由.2012---2013学年度第一学期八县（市）一中期中联考高中 二 年 数学（文） 科参考答案一、选择题：（每小题5分，共60分）二、填空题：（每小题4分，共16分） 13、3；14、3+；15、[1,1][5,)-+∞； 16、①②④. 三、解答题： 17.解：（1）由角,,B A C 成等差数列知60A =︒.又由222a cb mbc -=-可以变形得22222b c a mbc +-=. 即1cos 22m A ==，∴1m =.……5分（2）由（1）知60A =︒，又已知a =221232b c bc +-⋅=，∴2()33b c bc +-=.∵3b c +=，∴933bc -=，2bc =.∴11sin 222ABC S bc A ∆==⋅=…… 12分18.解：（1）∵3222)(a b x a ax x f -++=， ∵)6()2(∞+--∞∈，， x 时，0)(<x f ；)62(，-∈x 时，0)(>x f .∴2-和6是方程22320ax a x b a ++-=的两根.故⎪⎩⎪⎨⎧-=⨯--=+-a a b a326262，解得 ⎩⎨⎧-=-=84b a ，∴48164)(2++-=x x x f . （2）∵22()(41648)21322(2)4k F x x x kx k kx kx k =--++++-=--+∴欲使()0f x <恒成立，只要使22(2)kx kx k --+<恒成立，则须要满足： ①当0=k 时，原不等式化为20-<，显然符合题意，∴0=k . ②当0≠k 时，要使二次不等式的解集为R x ∈，则必须满足：2(2)4[(2)]0k k k k <⎧⎨∆=--⨯-+<⎩，解得10k -<<.综合①②得k 的取值范围为(1,0]-.19. 解：设快艇驶离港口B 后，最少要经过x 小时，在OA 上点D 处与考察船相遇，连结CD ，则快艇沿线段BC 、CD 航行． 在OBC ∆中，30BOC ∠=︒，60CBO ∠=︒， ∴90BCO ∠=︒.又120BO =， ∴60BC =，603OC =.∴快艇从港口B 到小岛C 需要1小时．……5分在OCD ∆中，30COD ∠=︒，20OD x =，60(2)CD x =-． 由余弦定理，得2222cos CD OD OC OD OC COD =+-⋅⋅∠.∴222260(2)(20)(603)220603cos30x x x -=+-⨯⨯⨯︒.解得3x =或38x =.∵1x >，∴3x =.……11分 答：快艇驶离港口B 后最少要经过3小时才能和考察船相遇．……12分20.解：（1）∵632S S ≠，∴1q ≠.……1分∴3161(1)712(1)6312a q q a q q⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，……2分两式子相除得913=+q ，∵2q =.……3分 代入解得211=a ，……4分 ∴1212n n n a a q --=⋅=. ……5分（2）6372log 616log 616222-=+-=+-=-n n a n b n n n ，……6分 763763)1(71=+--+=-+n n b b n n ，∴{}n b 为等差数列.……8分（3）法一、令⎩⎨⎧≥≤+001n n b b ，得⎩⎨⎧≥-≤-05670637n n ， ……10分解得98≤≤n ，……11分 ∴当8=n 或9=n 时，前n 项和为n T 最小. ……12分 法二、561-=b ，n n n n b b n T n n 2119272)1197(2)(21-=-=+= ……10分 对称轴方程为5.8217==n ，……11分 ∴当8=n 或9=n 时，前n 项和为n T 最小. ……12分21.解：开始盈利就是指所获利润大于投资总数，据此建立不等式求解；所谓方案最合理，就是指卖出设备时的年平均利润较大，因此只需将两种方案的年平均利润分别求出，进行比较即可．（1）设引进该设备x 年后开始盈利．盈利额为y 万元．则(1)5098[124]2x x y x x -=--+⨯224098x x =-+-，令0y >，得1010x <+，∵*x N ∈，∴317x ≤≤.即引进该设备三年后开始盈利--- 6分（2）第一种：年平均盈利为yx，98240y x x x =--+4012≤-=，当且仅当982x x=，即7x =时，年平均利润最大，共盈利12726110⨯+=万元.……9分 第二种：盈利总额22(10)102y x =--+，当10x =时，取得最大值102，即经过10年盈利总额最大，共计盈利1028110+=万元两种方案获利相等，但由于方案二时间长，采用第一种方案 ---12分22.解、（1）∵2n S n =，∴当1n =时，111a S ==，……1分当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，……3分 ∵11a =满足21n a n =-，∴*21()n a n n N =-∈.……4分（2）由11111111()(1)(1)(211)(2(1)11)4(1)41n n n b b b n n n n n n +===⋅=-++-++-+++，∴12C n n T C C =++111111(1)42231n n =-+-++-+，11111111(1)()()4242341n n =-+-++-+11(1)414(1)n n n =-=++.……9分 （3）211(1)(2)104(2)4(1)4(1)(2)4(1)(2)n n n n n n n T T n n n n n n +++-+-=-==>++++++， 故{}n T 单调递增，∴118n T T ≥=，∵111(1)4(1)414n n T n n ==-<++， ∴1184n T ≤< ……11分 要245n m m T -<<恒成立，则1452148mm ⎧≤⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩，……12分， 解得5542m ≤<，……13分，∵*N m ∈，故2m =.……14分。
2020-2021学年福州市八县(市)一中高二上学期期中数学试卷及答案解析
2020-2021学年福州市八县（市）一中高二上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.一个单位有职工120人，其中有业务员100人，管理人员20人，要从中抽取一个容量为12的样本，用分层抽样的方法抽取样本，则在12人的样本中应抽取管理人员人数为()A. 12B. 10C. 2D. 62.袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是()A. 至少有一个白球；至少有一个红球B. 至少有一个白球；红、黑球各一个C. 恰有一个白球；一个白球一个黑球D. 至少有一个白球；都是白球3.阿基米德(公元前287年—公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的焦点在x轴上，且椭圆C的离心率为√74，面积为12π，则椭圆C的方程为()A. x23+y24=1 B. x29+y216=1 C. x24+y23=1 D. x216+y29=14.在区间[−√2,√2]中随机取一个实数k，则事件“直线y=kx与圆(x−3)2+y2=1相交”发生的概率为()A. 12B. 14C. 16D. 185.如图所示，某瓷器菜盘的外轮廓线是椭圆，根据图中数据可知该椭圆的离心率为()A. 25B. 35C. 2√35D. 2√556.已知斜率为k=1的直线与双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)交于A、B两点，若A、B的中点为M(1,3)，则双曲线的渐近线方程为()A. x±√3y=0B. √3x±y=0C. x±2y=0D. 2x±y=07.第七届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在中国武汉举行，中国队以133金64银42铜位居金牌榜和奖牌榜的首位，运动会期间有甲、乙等五名志愿者被分配到射击、田径、篮球、游泳四个运动场地服务，要求每个人都要被派出去服务，且每个场地都要有志愿者服务，则甲和乙不在同一组的概率是()A. 110B. 710C. 310D. 9108.椭圆Γ：x2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线Ω：x2m2−y2n2=1(m>0,n>0)焦点相同，F焦点，曲线Γ与Ω在第一象限，第三象限的交点分别为A、B，且∠AFB=2π3，则当这两条曲线的离心率之积最小时，双曲线有一条渐近线的方程是()A. x−2y=0B. 2x−y=0C. x−√2y=0D. √2x+y=0二、不定项选择题（本大题共4小题，共20.0分）9.28.甲、乙两人的各科成绩如茎叶图所示，则下列说法正确的是()A. 甲、乙两人的各科成绩的平均分相同B. 甲成绩的中位数是83，乙成绩的中位数是85C. 甲各科成绩比乙各科成绩稳定D. 甲成绩的众数是89，乙成绩的众数是8710.若a，b，c为实数，下列说法正确的是A. 若a>b，则ac2>bc2B. 若a<b<0，则a2>ab>b2C. “关于x的不等式ax2+bx+c≥0恒成立”的充要条件是“a>0，b2−4ac≤0”D. “a<1”是“关于x的方程x2+x+a=0有两个异号的实根”的必要不充分条件11.根据如下样本数据：x345678y 4.0 2.5−0.50.5−2.0−3.0得到了回归方程ŷ=b̂x+â，则()A. â>0B. b̂>0C. b̂<0D. â<012.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线x24−y212=1，则()A. 实轴为2B. 渐近线为y=±√3xC. 离心率为2D. 一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为3三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.某印刷厂的工人师傅为了了解96个印张的质量，采用系统抽样的方法抽取若干个印张进行检查，为此先对96个印张进行编号为：01，02，03，…，96，已知抽取的印张中最小的两个编号为07，15，则抽取的印张中最大的两个编号为________．14.命题“∃x∈R，使x2−ax+1<0”是真命题，则a的取值范围是______．15.下图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽____米．16.抛物线y2=4x的焦点为F，过点(0,3)的直线与抛物线交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点D，若|AF|+|BF|=6，则点D的横坐标为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知命题p ：“直线x +y −m =0与圆(x −1)2+y 2=1相交”；命题q ：“方程mx 2−2x +1=0有实数解”.若“p ∨q ”为真，“￢q ”为真，求实数m 的取值范围．18. 已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，其焦点F 与双曲线x 2−y 23=1的右焦点重合。
福建省福州八县(市)一中高二数学上学期期中联考试题 理 新人教A版
数学（理）试题完卷时间：120分钟 满分：150分一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1．在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若0120,4,3===C b a ，则ABC ∆的面积是（ ）A.3B.33C.6D.362. 若R c b a ∈、、，且b a >，则下列不等式一定成立的是 （ ）A.0)(2≥-c b a B.bc ac > C.02>-ba c D.cbc a -≥+ 3.不等式0652≥+--x x 的解集为（ ） A.}16|{≥-≤x x x 或 B.}16|{-≤≥x x x 或 C.}16|{≤≤-x xD.}61|{≤≤-x x4.A b a ,0,0>>是b a ,的等差中项，G 是b a ,的正的等比中项，G A ,大小关系是（ ） A.G A ≥ B.G A ≤ C.G A = D.G A ,大小不能确定5.等腰三角形腰长是底边长的2倍，则顶角的余弦值是 （ ）A.87B.3 C.89D.796.已知等差数列}{n a 中，56=a ，则数列}{n a 的前11项和11S 等于（ ） A.22 B.33 C.44 D.557.设9,0,0=>>xy y x ，则xy y x s 22+=取最小值时x 的值为（ ）A.1B.2C.3D.6 8.已知等比数列}{n a 的公比21=q ，其前4项和604=S ，则2a 等于 （ ） A.8B.12C.16D.209.在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且满足2cos c a B =，则ABC ∆的形状是（ ）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形10.已知数列}{n a 满足2321232n na a a a n =++++ ，则2599是数列}{n a 中的第（ ）项.A.20B.25C.50D.10011.若A 为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥≤0200y x y x 表示的平面区域，则当a 从1-连续变化到2，动直线a y x =+2扫过A 中那部分区域的面积为（ ）A ．815 B ．47 C ．45 D ．89 12.在数列}{n a 中，若k k a a a a nn n n (112=--+++为常数）则称 }{n a 为“等差比数列”.下列是对“等差比数列”的判断：①k 不可能为0；②等差数列一定是等差比数列；③等比数列一定是等差比数列；④等差比数列中可以有无穷多项为0.其中判断正确的个数为（ ） A. 1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.） 13.在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,060,3,2===B b a ，则A = .14.如图，CD 是一座铁塔，线段AB 和塔底D 在同一水平地面上，在B A ,两点测得塔顶C 的仰角分别为030和045，又测得030,12=∠=ADB m AB则此铁塔的高度为 m .15.若62,0,0++=>>y x xy y x ，则xy 的最小值为 .16.已知数列}{n a 的通项公式为nn n a 2)12(⨯-=，我们用错位相减法求其前n 项和n S 过程如下：ACDB由此得到启发：若数列}{n b 的通项公式为nn n b 22⨯=，则其前n 项和n T = .三、解答题（本大题6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）已知等差数列}{n a 中，公差632,,,4a a a d -=成等比数列． （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若数列}{n a 的前k 项和96-=k S ，求k 的值．18.（本小题满分12分）某小型餐馆一天中要购买B A ,两种蔬菜，B A ,蔬菜每公斤的单价分别为2元和3 元。
2020-2021学年福建省福州市福州高级中学高二上学期期中考数学试题(解析版)
2020-2021学年福建省福州市福州高级中学高二上学期期中考数学试题一、单选题1．向量()()1,0,2,2,0,a b k =-=，则向量//a b 的充要条件是（ ） A ．4 B ．4-C ．1D ．1-【答案】B【分析】由向量平行的坐标表示可得结果. 【详解】由题意可得，1242-=⇒=-k k故选：B2．已知离心率为2的双曲线()222210,0x y a b a b -=>>与椭圆22184x y +=有公共焦点，则双曲线的方程为（ ）A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．2213y x -=D ．2213x y -=【答案】C【分析】由双曲线与椭圆共焦点可得双曲线的2c =，双曲线离心率2ce a==，得1a =，b =.【详解】双曲线()222210,0x y a b a b -=>>与椭圆22184x y +=有公共焦点由椭圆22184x y +=可得284=4c =-2c ∴=双曲线离心率2ce a==， 2221413a b c a ∴==-=-=，∴双曲线的方程为：2213y x -=【点睛】本题主要考查椭圆与双曲线焦点以及双曲线离心率的表示方法，属于基础题.3．平面α的斜线l 与它在这个平面上射影l'的方向向量分别为()1,0,1a =，()0,1,1b =，则斜线l 与平面α所成的角为（ ） A ．30° B ．45°C ．60°D ．90°【答案】C【分析】由题意结合线面角的概念可得a 与b 所成的角(或其补角)即为l 与α所成的角，由cos ,||||a ba b a b ⋅<>=⋅即可得解. 【详解】由题意a 与b 所成的角(或其补角)即为l 与α所成的角， 因为1cos ,,,[0,]2||||2a b a b a b a b π⋅<>===<>∈⋅⨯， 所以,60a b <>=，所以斜线l 与平面α所成的角为60°. 故选：C.【点睛】本题考查了利用空间向量求线面角，考查了运算求解能力，属于基础题. 4．下列有关命题的说法正确个数为（ ）①命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠”；②“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件；③若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题；④对于命题:p x ∃∈R 使得210x x ++<，则p ⌝为x ∀∈R ，均有210x x ++. A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】写出命题的逆否命题；求解方程，结合充分必要条件的判定方法；由复合命题的真假判断；写出特称命题的否定判定.【详解】①命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠”，故正确；②“1x =2320⇒-+=x x ”，“2320-+=⇒x x 1x =或2x =”,故正确； ③若p q ∧为假命题，则,p q 有一个为假即可，故不正确；④对于命题:p x ∃∈R 使得210x x ++<，则p ⌝为x ∀∈R ，均有210x x ++≥，故故选：C5．已知平面α内有一点()1,1,2M -，平面α的一个法向量为()6,3,6n =-，则下列点P 中，在平面α内的是（ ） A ．()2,3,3P B ．()2,0,1P - C ．()4,4,0P - D ．()3,3,4P -【答案】A【分析】可设出平面内α内一点坐标(),,P x y z ，求出与平面α平行的向量()1,1,2MP x y z =-+-，利用数量积为0可得到x ，y ，z 的关系式，代入各选项的数据可得结果．【详解】解：设平面α内一点(),,P x y z ，则： ()1,1,2MP x y z =-+-，()6,3,6n =-是平面α的法向量，∴n MP ⊥，6(1)3(1)6(2)63621n MP x y z x y z ⋅=--++-=-+-， ∴由0n MP ⋅=得636210x y z -+-=227x y z ∴-+=把各选项的坐标数据代入上式验证可知A 适合． 故选：A ．【点睛】本题考查空间向量点的坐标的概念，法向量的概念，向量数量积的概念．6．设1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，且120AF AF ⋅=，222AF F B =，则椭圆E 的离心率为（ ）A ．23B ．34C ．3D ．4【答案】C【分析】因为222AF F B =，不妨令()22220B AF F m m ==>，根据椭圆定义，得到12BF a m =-，122AF a m =-，再由120AF AF ⋅=，得到12AF F △和1AF B △都是直角三角形，由勾股定理求出3a m =，再由2221212AF AF F F +=，化简整理，即可求出离心率.【详解】因为222AF F B =，不妨令()22220B AF F m m ==>， 过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，由椭圆的定义可得，122AF AF a +=，122BF BF a +=，则12BF a m =-，122AF a m =-，又120AF AF ⋅=，所以12AF AF ⊥，则12AF F △和1AF B △都是直角三角形， 则22211AF AB BF +=，即()()2222292a m m a m -+=-，解得3am =， 所以143AF a =，223AF a =，又122F F c =，2221212AF AF F F +=， 所以222164499a a c +=，因此2259c a =，所以椭圆E 的离心率为5c a =.故选：C.【点睛】本题主要考查求椭圆的离心率，熟记椭圆的定义，以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型.7．如图所示点F 是抛物线28y x =的焦点，点A 、B 分别在抛物线28y x =及圆224120x y x +--=的实线部分上运动， 且AB 总是平行于x 轴， 则FAB ∆的周长的取值范围是（ ）A ．(6,10)B ．(8,12)C ．[6,8]D ．[8,12]【答案】B【分析】根据抛物线方程求得焦点坐标和准线方程，结合定义表示出AF ；根据抛物线与圆的位置关系和特点，求得B 点横坐标的取值范围，即可由FAB ∆的周长求得其范围.【详解】抛物线28y x =，则焦点()2,0F ，准线方程为2x =-，根据抛物线定义可得2A AF x =+，圆()22216x y -+=，圆心为()2,0，半径为4，点A 、B 分别在抛物线28y x =及圆224120x y x +--=的实线部分上运动，解得交点横坐标为2.点A 、B 分别在两个曲线上，AB 总是平行于x 轴，因而两点不能重合，不能在x 轴上，则由圆心和半径可知()2,6B x ∈，则FAB ∆的周长为246A B A B AF AB BF x x x x ++=++-+=+， 所以()68,12B x +∈， 故选：B.【点睛】本题考查了抛物线定义、方程及几何性质的简单应用，圆的几何性质应用，属于中档题.8．已知MN 是正方体内切球的一条直径，点P 在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则PM PN →→⋅的取值范围为（ ） A ．[]0,4 B ．[]0,2C ．[]1,4D ．[]1,2【答案】B【分析】利用向量的线性运算和数量积运算律可将所求数量积化为21PO →-，根据正方体的特点可确定PO →的最大值和最小值，代入即可得到所求范围. 【详解】设正方体内切球的球心为O ，则1OM ON ==，2PM PN PO OM PO ON PO PO OM ON OM ON →→→→→→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，MN 为球O 的直径，0OM ON →→∴+=，1OM ON →→⋅=-，21PM PN PO →→→∴⋅=-，又P 在正方体表面上移动，∴当P 为正方体顶点时，PO →；当P 为内切球与正方体的切点时，PO →最小，最小值为1，[]210,2PO →∴-∈，即PM PN →→⋅的取值范围为[]0,2.故选：B .【点睛】本题考查向量数量积的取值范围的求解问题，关键是能够通过向量的线性运算将问题转化为向量模长的取值范围的求解问题.二、多选题9．（多选）已知,a b 是两条不重合直线，,αβ是两个不重合平面，则下列说法中正确的是（ ） A ．若//,,a b αβαβ⊂⊂，则a 与b 是异面直线 B ．若//,a b b α⊂，则直线a 平行于平面α内的无数条直线C ．若//,a αβα⊂，则//a βD ．若,b a αβα⋂=⊂，则a 与β一定相交.【答案】BC【分析】根据空间线面、面面的位置关系判断． 【详解】A. 若//,,a b αβαβ⊂⊂，则a 与b 是异面直线也可能平行，A 错；B. 若//,a b b α⊂，若a α⊄，则平面α内与b 平行 的所有直线都与a 平行，若a在平面α内，则平面α内与b 平行的所有直线除a 本身外都与a 平行，B 正确；C. 若//,a αβα⊂，则直线a 与平面β无公共点，所以//a β，C 正确；D. 若,b a αβα⋂=⊂，则a 与β相交也可能//a β，D 错误．.故选：BC ．10．已知抛物线2:4E y x =的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线与E 交于A ，B 两点，C ，D 分别为A ，B 在l 上的射影，且||3||AF BF =，M 为AB 中点，则下列结论正确的是（ ） A ．90CFD ︒∠=B ．CMD △为等腰直角三角形C ．直线AB 的斜率为3±D ．AOB 的面积为4【答案】AC【分析】A ．根据抛物线性质，结合角度之间的关系，求解出CFD ∠的度数；B ．利用抛物线的焦半径结合||3||AF BF =，判断CMD △为等腰直角三角形的可能性；C ．根据||3||AF BF =，设出直线方程完成直线AB 斜率的求解；D ．取直线AB 的方程，联立抛物线方程求解出A B y y -的值，根据12AOBA B S OF y y =⋅⋅-求解出三角形面积.【详解】过点M 向准线l 作垂线，垂足为N ，()1,0F ，设()()1122,,,A x y B x y ， 如下图所示：A ．因为AF AC =，所以AFC ACF ∠=∠，又因为OFC ACF ∠=∠，所以OFC AFC ∠=∠，所以FC 平分OFA ∠， 同理可知FD 平分OFB ∠，所以90CFD ︒∠=，故结论正确； B ．假设CMD △为等腰直角三角形，所以90CFD CMD ︒∠=∠=，所以,,,C D F M 四点共圆且圆的半径为12CD MN =， 又因为3AF BF =，所以24AB AF BF AC BD MN BF=+=+==，所以2MN BF=，所以24CD MN BF ==，所以CD AB =，显然不成立，故结论错误；C ．设直线AB 的方程为1x my =+，所以241y x x my ⎧=⎨=+⎩，所以2440y my --=，所以121244y y my y +=⎧⎨=-⎩， 又因为||3||AF BF =，所以123y y =-，所以2222434y my -=⎧⎨-=-⎩， 所以213m =，所以1m =，所以直线AB的斜率为D．取m =，由上可知12124y y y y ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，所以123y y -==，所以1112233AOBA B SOF y y =⋅⋅-=⨯⨯=，故结论错误. 故选：AC.【点睛】本题考查抛物线焦点弦的性质的综合应用，对于图形分析和计算能力要求较高，难度较难.抛物线焦点弦的性质的另一种表示形式：过抛物线()220y px p =>焦点F的直线的倾斜角为θ，焦点弦与抛物线的交点为,A B (A 在x 轴的上方，B 在x 轴的下方)，此时,1cos 1cos p pAF BF θθ==-+，22sin AOBp Sθ=. 11．已知双曲线C过点(，且渐近线方程为3y x =±，则下列结论正确的是（ ）A ．C 的方程为2213x y -=B ．CC ．曲线21x y e -=-经过C 的一个焦点 D．直线10x -=与C 有两个公共点【答案】AC【分析】由双曲线的渐近线为3y x =±，设出双曲线方程，代入已知点的坐标，求出双曲线方程判断A ；再求出双曲线的焦点坐标判断B ，C ；直线与双曲线的渐近线的关系判断D ．【详解】解：由双曲线的渐近线方程为y x =，可设双曲线方程为223x y λ-=，把点代入，得923λ-=，即1λ=．∴双曲线C 的方程为2213x y -=，故A 正确；由23a =，21b =，得2c ==，∴双曲线C=，故B 错误； 取20x -=，得2x =，0y =，曲线21x y e -=-过定点(2,0)，故C 正确；双曲线的渐近线0x ±=，直线10x -=与双曲线的渐近线平行，直线10x -=与C 有1个公共点故D 不正确．故选：AC ．12．(多选)已知12,F F 分别是椭圆22:14x y C m +=的两个焦点，若椭圆上存在使12PF F △P 的个数为4，则实数m 的值可以是A ．2B ．3C ．92D ．5【答案】AD【分析】分焦点在y 轴与x 轴两种情况讨论，当点P 在短轴的顶点时12PF F △的面积取得最大值，椭圆上存在使12PF F △的点P 的个数为4，则()12maxPF F >△S 即可得到不等式，解得即可；【详解】解：当椭圆的焦点在y 轴上时，04m <<，此时2,a b c ===，设椭圆的右顶点为A ，由于12PF F △面积的最大值为12AF F △的面积，所以12⋅>，解得13m <<；当椭圆的焦点在x 轴上时，4m >，此时2,a b c ===，设椭圆的上顶点为B ，则(0,2)B ，由于12PF F △面积的最大值为12BF F △的面积，所以122⋅>194m >. 结合选项知实数m 的值可以是2，5. 故选：AD【点睛】本题考查椭圆中焦点三角形的面积求参数的取值范围，属于中档题.三、填空题13．双曲线221y x m-=的实轴长是虚轴长的2倍，则m 的值为_______.【答案】14【分析】根据双曲线的标准方程求出实轴长，虚轴长即可得参数值．【详解】由题意，0m >，实半轴长为1a =，虚半轴长为b =又222a b =⨯，所以1=14m =． 故答案为：14． 14．若命题“x R ∃∈，使得()2110x a x +-+≤”为假命题，则实数a 的范围__________． 【答案】13a -<<【详解】由题意：x 2＋(a －1)x ＋1＞0恒成立． 则对应方程x 2＋(a －1)x ＋1＝0无实数根． 则Δ＝(a －1)2－4＜0，即a 2－2a －3＜0，所以－1＜a ＜3.15．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>，过其左焦点F 作x 轴的垂线，交双曲线于A 、B 两点，若双曲线的右顶点在以AB 为直径的圆外，则双曲线离心率e 的取值范围是______. 【答案】（1，2）【分析】计算出FA 的长度，根据点与圆的位置关系，结合离心率e 的表示，可得结果. 【详解】由题意可知：左焦点(),0F c -，右顶点坐标为(),0a 且直线AB 是过点F 垂直x 轴的直线设点()0,A c y -在x 轴上方所以()220221c y a b--= 可得20b y a =，即2b FA a=，又双曲线的右顶点在以AB 为直径的圆外所以2b ac a+>，即22a ac b +>，因为222b c a =- 所以222a ac c a +>-则220c c a a⎛⎫--< ⎪⎝⎭，又c e a = 即220e e --<，且1e > 所以12e <<，即()1,2e ∈ 故答案为：（1，2）【点睛】本题主要考查双曲线离心率的求法，此种题型是高考常考题型，题目多变，审清题干，细心计算，属中档题.16．正三棱柱111ABC A B C -（底面是正三角形，侧棱垂直底面）的各条棱长均相等，D 为1AA 的中点．M 、N 分别是1BB 、1CC 上的动点（含端点），且满足1BM C N =．当M N 、运动时，下列结论中正确的是______ (填上所有正确命题的序号)．①平面DMN ⊥平面11BCC B ； ②三棱锥1A DMN -的体积为定值； ③DMN 可能为直角三角形；④平面DMN 与平面ABC 所成的锐二面角范围为0,4π⎛⎤⎥⎝⎦．【答案】①②④【分析】由1BM C N =，得到线段MN 一定过正方形11BCC B 的中心O ，由DO ⊥平面11BCC B ，可得平面DMN ⊥平面11BCC B ；由1A DM ∆的面积不变，N 到平面1A DM 的距离不变，可得三棱锥1A DMN -的体积为定值；利用反证法思想说明DMN ∆不可能为直角三角形；平面DMN 与平面平行时所成角为0，当M 与B 重合，N 与1C 重合，平面DMN 与平面ABC 所成的锐二面角最大. 【详解】如图：当M 、N 分别是1BB 、1CC 上的动点（含端点），且满足1BM C N =，则线段MN 一定过正方形11BCC B 的中心O ，而DO ⊥平面11BCC B ，DO ⊂平面DMN ，可得平面DMN ⊥平面11BCC B ，故①正确；当M 、N 分别是1BB 、1CC 上的动点（含端点），过点M 作1A D 边上的高的长等于AB 的长，所以1A DM ∆的面积不变，由于1//C N 平面1A DM ，故点N 到平面1A DM 的距离等于点1C 到平面1A DM 的距离，则点N 到平面1A DM 的距离为定值，故三棱锥1A DMN -的体积为定值；所以②正确；由1BM C N =可得:DN DM = ,若DMN ∆为直角三角形，则一定是以MDN ∠为直角的直角三角形，但MN 的最大值为1BC ，而此时DN ，DM 的长都大于1BB ，故DMN ∆不可能为直角三角形，所以③不正确；当M 、N 分别是1BB 、1CC 的中点，平面DMN 与平面ABC 平行，所成角为0； 当M 与B 重合，N 与1C 重合，平面DMN 与平面ABC 所成锐二面角最大； 延长1C D 角CA 于G ，连接BG ，则平面DMN ⋂平面=ABC GB ，由于D 为1AA 的中点，11AA CC =，所以1//DA CC ，且11=2DA CC ，故在1C GC ∆中，D 为1C G 中点，A 为CG 中点，在1C GB ∆中，D 为1C G 中点，O 为1BC 中点，故//DO GB ，由于DO ⊥平面11BCC B ，所以GB ⊥平面11BCC B ，则GB BC ⊥，1GB BC ⊥， 所以平面DMN 与平面ABC 所成锐二面角最大为14C BC π∠=，故④正确；故答案为①②④【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查棱柱的结构特征，考查学生空间想象能力和思维能力，属于中档题.四、解答题17．已知命题p ：曲线()2231y x m x =+--与x 轴相交于不同的两点；命题q ：椭圆222112x y m +=+的焦点在y 轴上． ()1判断命题p 的否定的真假；()2若“p 且q ”是假命题，“p 或q “是真命题，求实数m 的取值范围．【答案】（1）p ⌝为假；（2）(,1][1,)m ∈-∞-⋃+∞.【分析】（1）根据判别式()22340m ∆=-+>显然成立，即可判断出结果； （2）先求出q 为真时，实数m 的取值范围，再由“p 且q ”是假命题，“p 或q “是真命题，判断出p 、q 的真假，进而可得出结果.【详解】（1）由()2231y x m x =+--可得()22340m ∆=-+>显然成立，故命题p为真，p ⌝为假；（2）由已知得，q 为真时，21211m m +<⇒-<<，所以q 为假时，1m ≤-或1m ≥ 因为“p 且q ”是假命题，“p 或q “是真命题，由(1)知p 为真，所以p 真q 假， 所以][(),11,m ∈-∞-⋃+∞【点睛】本题主要考查复合命题，由命题的真假求参数，属于基础题型.18．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2AD AA AB ===，点E 在棱AB 上移动.（1）求异面直线1AC 与1A D 所成角的余弦值；（2）当E 为AB 的中点时，求点E 到平面1ACD 的距离. 【答案】（1）0；（2）13． 【分析】（1）分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，写出各点坐标，由11,AC DA 向量夹角的余弦得异面直线所成的余弦值； （2）求出平面1ACD 的一个法向量n ，由AE 在n 方向上投影得点面距．【详解】（1）如图，分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则1(2,0,0),(2,4,0),(0,4,0),(0,0,2)A B C D ，11(2,0,2),(0,4,2)A C ，1(2,4,2)AC =-，1(2,0,2)DA =，111111cos ,02622AC DA AC DA AC DA ⋅<>===⨯，所以异面直线1AC 与1A D所成角的余弦值为0；（2）由（1）1(0,1,0),(2,4,0),(2,0,2)AE AC AD ==-=-， 设平面1ACD 的一个法向量为(,,)n x y z =，由100n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得240220x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，取1x =，得1,12y z ==，1(1,,1)2n =，则E 到平面1ACD 的距离等于22211231112n AE n⋅==⎛⎫++ ⎪⎝⎭．【点睛】方法点睛：本题考查用向量法求异面直线所成的角，求点到平面的距离．求异面直线所成的角常用方法：（1）定义法：作出异面直线所成的角并证明，然后在直角三角形中计算可得； （2）向量法：建立空间直角坐标系，由直线的方向向量夹角的余弦与异面直线所成角的余弦值相等或相反可得．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，且2PA AB ==，E 为PD 中点.（1）证明：//PB 平面AEC ； （2）证明：AE ⊥平面PCD ； （3）求二面角B PC D --的大小.【答案】(1)答案见解析；（2）答案见解析；（3）23π【分析】（1）连结,=AC ACBD O ，连结OE ，//PB OE ，即可证明结论.（2）由线面垂直判定可得CD ⊥平面PAD ,CD AE ∴⊥，进而可证明结论.（3）以A 为原点，AB ,AD ,AP 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面BPC 的法向量为(1,0,1)n =，平面DPC 的法向量为(0,1,1)m =，进而可得结果.【详解】（1）连结,=AC AC BD O ，连结OE因为ABCD 为正方形，所以O 为BD 中点，又因为E 为DP 中点， 所以//PB OE ，PB ⊄平面ACE ，OE ⊂平面ACE ，所以//PB 平面ACE （2）因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，PA CD ∴⊥, 又因为AD CD PAAD A ⊥=，，CD 平面PAD ，CD AE ∴⊥因为2,==PA AD E 为PD 的中点，，∴⊥=AE PD PD CD D ，AE ∴⊥平面PCD（3）如图，以A 为原点，AB ,AD ,AP 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 则(2,0,0),(0,0,2),(2,2,0),(0,2,0)B P C D(2,0,2),(2,2,2),(2,0,0)=-=-=-BP PC CD设平面BPC 的法向量为(,,)n x y z =则220·02220·0x z n BP x y z n PC ⎧-+=⎧=⇒⎨⎨+-==⎩⎩，令1x =，则0,1,(1,0,1)==∴=y z n设平面DPC 的法向量为(,,)m x y z =则20·02220·0x m CD x y z m PC ⎧-=⎧=⇒⎨⎨+-==⎩⎩，则0x =，令1y =则1,(0,1,1)=∴=z m1cos ,22<>===⨯n m n m n m二面角B-PC-D 为钝角，所以二面角B-PC-D 为23π 20．已知椭圆2214x y +=的左、右顶点分别为A 、B，曲线E 是以椭圆中心为顶点，B为焦点的抛物线. （1）求曲线E 的方程； （2）直线:1)l y x =-与曲线E 交于不同的两点M 、N .当·17AM AN ≥时，求直线l 的倾斜角θ的取值范围.【答案】（1）曲线E 的方程为28y x =；（2）0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. 【详解】解：（1）依题意得：(2,0),(2,0),AB -∴曲线E 的方程为28.y x =（2）由21)8y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩得：2(28)0.kx k x k -++= 由()22284000k k k k ⎧∆=+->⎪⇒>⎨>⎪⎩ 设1122(,),(,),M x y N x y 121228, 1.k x x x x k++== 1122(2,)(2,)AM AN x y x y ∴⋅=+⋅+1212(2)(2)x x y y =+++121216(1)(2)()4117k x x k x x k k=++-+++=+≥ 01,0,.4k πθ⎛⎤∴<≤∴∈ ⎥⎝⎦21．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD，底面ABCD 是直角梯形，90ADC ︒∠=，//AD BC ，AB AC ⊥，AB AC ==点E 在AD 上，且2AE ED =.(1)已知点F 在BC 上，且2=CF FB ，求证：平面PEF ⊥平面PAC ；(2)当二面角--A PB E 的余弦值为多少时，直线PC 与平面PAB 所成的角为45？ 【答案】（1）证明见解析；（2）223. 【分析】（1）根据面面垂直的判定定理，直接证明，即可得出结论成立； （2）先由题意，得到2==PA AC BC 的中点为G ，连接AG ，则AG BC ⊥，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz -，求出平面PBE 与平面PAB 的法向量，根据向量夹角公式，即可得出结果.【详解】(1)∵AB AC ⊥，AB AC =，∴45ACB ∠=， ∵底面ABCD 是直角梯形，90ADC ∠=，//AD BC ， ∴45ACD ∠=，即AD CD =， 又AB AC ⊥，∴22==BC AC AD ，∵2AE ED =，2=CF FB ，∴23==AE BF AD ， ∴四边形ABFE 是平行四边形，∴//AB EF ， ∴AC EF ⊥，∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA EF ⊥， ∵PAAC A =，PA ，AC ⊂平面PAC ，∴EF ⊥平面PAC ，∵EF ⊂平面PEF ，∴平面PEF ⊥平面PAC ； (2)∵PA AC ⊥，AC AB ⊥，PAAB A =，PA ，AB平面PAB ，∴AC ⊥平面PAB ，则APC ∠为PC 与平面PAB 所成的角， 若PC 与平面PAB 所成的角为45°， 则tan 1∠==ACAPC PA，即2==PA AC 取BC 的中点为G ，连接AG ，则AG BC ⊥，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -.则()0,0,0A ，(1,1,0)B -，(1,1,0)C ，20,,03⎛⎫ ⎪⎝⎭E ，2)P ， ∴51,,03⎛⎫=- ⎪⎝⎭EB ，20,23⎛=-⎝EP ， 设平面PBE 的法向量为(),,n x y z =，则00n EB n EP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即5032203x y y z ⎧-=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，令3y =，则5x =，2z =∴(5,3,2=n ，∵()1,1,0AC =是平面PAB 的一个法向量， 所以22cos ,26⋅<>===⨯n AC n AC n AC，故结合图形可知当二面角--A PB E 的余弦值为223时，直线PC 与平面PAB 所成的角为45.【点睛】本题主要考查证明面面垂直，以及由线面角求二面角，熟记面面垂直的判定定理，以及空间向量的方法求空间角即可，属于常考题型.22．已知O 为坐标原点，椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>上顶点为A ，右顶点为B ，离心率22e =，圆O ：2223x y +=与直线AB 相切．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若D ，E ，F 为椭圆C 上的三个动点，直线EF ，DE ，DF 的斜率分别为()12120k k k kk k ≠，，．（i ）若EF 的中点为112W ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，求直线EF 的方程； （ii ）若1212k k =-，证明：直线EF 过定点． 【答案】（1）2212x y +=；（2）（i ）32y x =-+；（ii ）证明见解析.【分析】（1）由圆心到直线的距离等于半径得一,a b 的等式，再由离心率和222a b c =+结合可解得,a b 得椭圆方程；（2）设()11E x y ，，()22F x y ，，()00D x y ，，（i ）把,E F 坐标代入椭圆方程作差可得EF k ，（ii ）设直线DE ：()010y y k x x -=-，代入椭圆方程后整理应用韦达定理得10x x +，10x x ，从而解得1x ，同理求得2x ，利用1212k k =-可得120x x +=，再设直线EF 的方程为：y kx t =+，将y kx t =+代入2212x y +=，得12x x +，由此可求得0t =，即证直线EF 定点(0,0)O ．【详解】解：（1）由题意，直线AB 的方程为：1x ya b+=，即为0bx ay ab +-=，因为圆O 与直线AB =222223a b b a =+①设椭圆的半焦距为c ，因为222b c a +=，c e a ==，所以22212a b a -=② 由①②得：22a =，21b =，所以椭圆C 的标准方程为：2212x y +=．（2）设()11E x y ，，()22F x y ，，()00D x y ，，()i 由题知：221112x y +=，222212x y +=，两式作差得：2222121202x x y y -+-=，整理得：12121212112EF y y x x k x x y y ⎛⎫-+==-=- ⎪-+⎝⎭， 所以此时直线EF 的方程为：32y x =-+； ()ii 设直线DE ：()010y y k x x -=-，设直线DF ：()020y y k x x -=-，将()100y k x x y =-+代入2212x y +=， 得：()()()22211010010124220k x k y k x x y k x ++-+--=， 所以()10101021412k y k x x x k --+=+，()201010212212y k x x x k --=+， 因此()2101012142112k y k x x k -+-=+． 又因为1212k k =-，且同理可得：()()2220201010222214214121212k y k x k y k x x k k -+-+-==++， 可得120x x +=，设直线EF 的方程为：y kx t =+，将y kx t =+代入2212x y +=， 得：()222124220k x ktx t +++-=， 得1224012kt x x k-+==+，所以0t =， 所以直线EF 过定点()00O ，． 【点睛】方法点睛：本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交定点问题，弦中点问题．（1）已知椭圆的弦中点（或涉及到弦中点），常常设弦两端点为1122(,),(,)x y x y ，代入椭圆方程后相减后可建立弦所在直线的斜率与中点坐标之间的关系，完成求解； （2）直线与椭圆相交定点定值问题，同样设交点坐标为1122(,),(,)x y x y ，并设直线方程，直线方程代入椭圆方程后应用韦达定理得1212,x x x x +，直线过定点问题，设出（或求出）这条直线方程，定值问题就求了要证定值的量，代入1212,x x x x +化简变形后可得定点定值．。
2020-2021学年福建省福州市八县(市)一中高二上学期期中数学试卷 (解析版)
2020-2021学年福建省福州市八县（市）一中高二（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题）.1．（5分）某单位有业务员和管理人员构成的职工160人，现用分层抽样方法从中抽取一个容量为20的样本，若样本中管理人员有7人，则该单位的职工中业务员有多少人（）A．32人B．56人C．104人D．112人2．（5分）袋内装有8个红球、2个白球，从中任取2个，其中是互斥而不对立的两事件是（）A．至少有一个白球；全部都是红球B．至少有一个白球；至少有一个红球C．恰有一个白球；恰有一个红球D．恰有一个白球；全部都是红球3．（5分）阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，椭圆C的面积为，且离心率为，则C的标准方程为（）A．B．C．D．4．（5分）在区间上任取一个数k，使直线y＝k（x+3）与圆x2+y2＝1相交的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）永泰县全域旅游地图如图所示，它的外轮廓线是椭圆，根据图中的数据可得该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．6．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0），斜率为1的直线l与双曲线C交于不同的A，B两点，且线段AB的中点为P（2，4），则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±2x B．C．D．7．（5分）第七届世界军运会于2019年10月18日至27日在中国武汉举行．某电视台在19日至24日六天中共有7场直播（如表所示），张三打算选取其中的三场观看．则观看的任意两场直播中间至少间隔一天（如第一场19日观看直播则20日不能观看直播）的概率是（）日期19日20日21日22日23日24日时间全天全天上午下午全天全天全天内容飞行比赛击剑射击游泳篮球定向越野障碍跑A．B．C．D．8．（5分）已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P，Q分别是它们的在第一象限和第三象限的交点，且∠QF2P＝60°，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则等于（）A．4B．2C．2D．3二、多项选择题（共4小题）9．（5分）某校对甲、乙两个数学兴趣小组的同学进行了知识测试，现从两兴趣小组的成员中各随机选取15人的测试成绩（单位：分）用茎叶图表示，如图，根据以上茎叶图，对甲、乙两兴趣小组的测试成绩作比较，下列统计结论正确的有（）A．甲兴趣小组测试成绩的平均分高于乙兴趣小组测试成绩的平均分B．甲兴趣小组测试成绩较乙兴趣小组测试成绩更分散C．甲兴趣小组测试成绩的中位数大于乙兴趣小组测试成绩的中位数D．甲兴趣小组测试成绩的众数小于乙兴趣小组测试成绩的众数10．（5分）下列说法中错误的是（）A．“m＝8”是“椭圆+＝1的离心率为”的充要条件B．设x，y∈R，命题“若x2+y2≠0，则xy≠0”是真命题C．“﹣4＜k＜2”是“方程表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件D．命题“若x＝3，则x2﹣4x+3＝0”的否命题是真命题11．（5分）某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据如表，现发现表中有个数据看不清，已知回归直线方程为，下列说法正确的是（）x23456y1925★3844A．看不清的数据★的值为34B．回归直线必经过样本点（4，★）C．回归系数6.3的含义是产量每增加1吨，相应的生产能耗实际增加6.3吨D．据此模型预测产量为7吨时，相应的生产能耗为50.9吨12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，抛物线的准线过双曲线的左焦点，A，B分别是双曲线C的左，右顶点，点P是双曲线C的右支上位于第一象限的动点，记PA，PB的斜率分别为k1，k2，则下列说法正确的是（）A．双曲线C的渐近线方程为y＝±2xB．双曲线C的方程为C．k1k2为定值D．存在点P，使得k1+k2＝2三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．（5分）某印刷厂的工人师傅为了了解112个印张的质量，采用系统抽样的方法抽取若干个印张进行检查，为此先对112个印章进行编号为：01，02，03，…，112，已知抽取的印张中最小的两个编号为05，13，则抽取的印张中最大的编号为．14．（5分）已知命题“∃x∈R，x2+（a﹣1）x+1≤0”是真命题，则a的取值范围为．15．（5分）某抛物线形拱桥的跨度为20米，拱高是4米，在建桥时，每隔4米需用一根柱支撑，其中最高支柱的高度是．16．（5分）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A（2，4），过点F的动直线l与抛物线交于M，N不同的两点，点M在y轴上的射影为点B，设直线KM，KN的斜率分别为k1和k2.则|MA|+|MB|的最小值为，k1+k2的值为．四、解答题（本大题6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知命题p：对于任意x∈R，不等式4x2﹣4（m﹣2）x+1＞0恒成立．命题q：实数m满足的方程表示双曲线；（1）当a＝2时，若“p或q”为真，求实数m的取值范围；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求a的取值范围．18．（12分）已知双曲线C的离心率为，点在双曲线上，且抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F与双曲线的一个焦点重合．（1）求双曲线和抛物线的标准方程；（2）过焦点F作一条直线l交抛物线于A，B两点，当直线l的斜率为时，求线段AB的长度．19．（12分）小张准备在某县城开一家文具店，为经营需要，小张对该县城另一家文具店中的某种水笔在某周的周一至周五的销售量及单支售价进行了调查，单支售价x元和销售量y支之间的数据如表所示：星期12345单支售价x（元） 1.4 1.6 1.82 2.2销售量y（支）1311763（1）根据表格中的数据，求出y关于x的回归直线方程；（2）请由（1）所得的回归直线方程预测销售量为18支时，单支售价应定为多少元？如果一支水笔的进价为0.56元，为达到日利润（日销售量×单支售价﹣日销售量×单支进价）最大，在（1）的前提下应该如何定价？（其中：回归直线方程，，，）20．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2，且经过点Q．直线l过右焦点且不平行于坐标轴，l与椭圆C有两个不同的交点A，B，线段AB的中点为M．（1）点P在椭圆C上，求的取值范围；（2）证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值；21．（12分）为让学生适应新高考的赋分模式某校在一次校考中使用赋分制给高二年段学生的生物成绩进行赋分，具体方案如下：A等级，排名等级占比7%，分数区间是83﹣100；B等级，排名等级占比33%，分数区间是71﹣82；C等级，排名等级占比40%，分数区间是59﹣70；D等级，排名等级占比15%，分数区间是41﹣58；E等级，排名等级占比5%，分数区间是30﹣40；现从全年段的生物成绩中随机抽取100名学生的原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布直方图如图所示：（1）求图中a的值；（2）以样本估计总体的办法，估计该校本次生物成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的C等级及以上（含C等级）？（3）若采用分层抽样的方法，从原始成绩在[40，50）和[50，60）内的学生中共抽取5人，查看他们的答题情况来分析知识点上的缺漏，再从中选取2人进行调查分析，求这2人中至少一人原始成绩在[40，50）内的概率．22．（12分）如图所示，已知圆上有一动点Q，点F2的坐标为（1，0），四边形QF1F2R为平行四边形，线段F1R的垂直平分线交F2R于点P，设点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过点F2的直线l与曲线C有两个不同的交点A，B，问是否存在实数λ，使得|AF2|+|BF2|＝λ|AF2|•|BF2|成立，若存在求出λ的值；若不存在，请说明理由．参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）某单位有业务员和管理人员构成的职工160人，现用分层抽样方法从中抽取一个容量为20的样本，若样本中管理人员有7人，则该单位的职工中业务员有多少人（）A．32人B．56人C．104人D．112人解：设该单位的职工中业务员有x人，∵业务员和管理人员构成的职工160人，抽取一个容量为20的样本，若样本中管理人员有7人，∴＝，∴x＝104，故选：C．2．（5分）袋内装有8个红球、2个白球，从中任取2个，其中是互斥而不对立的两事件是（）A．至少有一个白球；全部都是红球B．至少有一个白球；至少有一个红球C．恰有一个白球；恰有一个红球D．恰有一个白球；全部都是红球解：袋内装有8个红球、2个白球，从中任取2个，对于A，至少有一个白球和全部都是红球是对立事件，故A错误；对于B，至少有一个白球和至少有一个红球能同时发生，不是互斥事件，故B错误；对于C，恰有一个白球；恰有一个红球同时发生，不是互斥事件，故C错误；对于D，恰有一个白球和全部都是红球，不能同时发生，是互斥而不对立事件，故D正确．故选：D．3．（5分）阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，椭圆C的面积为，且离心率为，则C的标准方程为（）A．B．C．D．解：由题意可得＝，＝ab，即ab＝2，a2＝b2+c2，解得：a2＝4，b2＝3，所以椭圆的方程为：，故选：A．4．（5分）在区间上任取一个数k，使直线y＝k（x+3）与圆x2+y2＝1相交的概率为（）A．B．C．D．解：圆x2+y2＝1的圆心为（0，0）圆心到直线y＝k（x+3）的距离为，要使直线y＝k（x+3）与圆x2+y2＝1相交，则＜1，解得﹣＜k＜．∴在区间[﹣，]上随机取一个数k，使y＝k（x+3）与圆x2+y2＝1相交的概率为＝．故选：D．5．（5分）永泰县全域旅游地图如图所示，它的外轮廓线是椭圆，根据图中的数据可得该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．解：由题意可知2a＝25.5，2b＝20.4，则c＝＝＝，所以椭圆的离心率为：e＝＝＝，故选：B．6．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0），斜率为1的直线l与双曲线C交于不同的A，B两点，且线段AB的中点为P（2，4），则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±2x B．C．D．解：设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为P（2，4），则，，两式作差可得：，∴＝＝1，则＝1，得，∴．则双曲线C的渐近线方程是y＝±x，故选：C．7．（5分）第七届世界军运会于2019年10月18日至27日在中国武汉举行．某电视台在19日至24日六天中共有7场直播（如表所示），张三打算选取其中的三场观看．则观看的任意两场直播中间至少间隔一天（如第一场19日观看直播则20日不能观看直播）的概率是（）日期19日20日21日22日23日24日时间全天全天上午下午全天全天全天内容飞行比赛击剑射击游泳篮球定向越野障碍跑A．B．C．D．解：根据题意，一共7场比赛，从中任选3场，有C73＝35种情况，若观看的任意两场直播中间至少间隔一天，分2种情况讨论：若在21日观看直播，则21号有2种选法，第一场必须在19日，第三场可以在23日或24日，有2×2＝4种选法，若不在21日观看直播，第一场在19日或20日，第二场、第三场必须为22日和24日，有2种选法，则符合题意的选法有4+2＝6种，故其概率P＝，故选：B．8．（5分）已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P，Q分别是它们的在第一象限和第三象限的交点，且∠QF2P＝60°，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则等于（）A．4B．2C．2D．3解：设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长为a2，P在双曲线的右支上，根据椭圆及双曲线的定义可得|PF1|+|PF2|＝2a1，|PF1|﹣|PF2|＝2a2，可得|PF1|＝a1+a2，|PF2|＝a1﹣a2，设|F1F2|＝2c，∠QF2P＝60°，∠F1PF2＝120°，在△PF1F2中由余弦定理得，4c2＝（a1+a2）2+（a1﹣a2）2﹣2（a1+a2）（a1﹣a2）cos 120°，化简得3a12+a22＝4c2，该式可化为：，结合e1＝，e2＝，∴则＝4．故选：A．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，漏选得3分，错选得0分.）9．（5分）某校对甲、乙两个数学兴趣小组的同学进行了知识测试，现从两兴趣小组的成员中各随机选取15人的测试成绩（单位：分）用茎叶图表示，如图，根据以上茎叶图，对甲、乙两兴趣小组的测试成绩作比较，下列统计结论正确的有（）A．甲兴趣小组测试成绩的平均分高于乙兴趣小组测试成绩的平均分B．甲兴趣小组测试成绩较乙兴趣小组测试成绩更分散C．甲兴趣小组测试成绩的中位数大于乙兴趣小组测试成绩的中位数D．甲兴趣小组测试成绩的众数小于乙兴趣小组测试成绩的众数解：由茎叶图可知，甲组数据集中在60分以上，而乙组数据比较分散，可知甲组的平均分数高于乙组，故A正确，B错误；甲组的中位数为77，乙组中位数为64，故C正确；甲组的众数为79，乙组众数为64，故D错误；故选：AC．10．（5分）下列说法中错误的是（）A．“m＝8”是“椭圆+＝1的离心率为”的充要条件B．设x，y∈R，命题“若x2+y2≠0，则xy≠0”是真命题C．“﹣4＜k＜2”是“方程表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件D．命题“若x＝3，则x2﹣4x+3＝0”的否命题是真命题解：“椭圆+＝1的离心率为”，可得＝或，所以m＝8或m＝2，所以A不正确；设x，y∈R，命题“若x2+y2≠0，不妨x＝1，y＝0，但是xy＝0”，所以设x，y∈R，命题“若x2+y2≠0，则xy≠0”是假命题，所以B不正确；“﹣4＜k＜2”推不出“方程表示的曲线为椭圆”，反之成立，所以“﹣4＜k＜2”是“方程表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件，所以C正确；命题“若x＝3，则x2﹣4x+3＝0”的否命题是：若x≠3，则x2﹣4x+3≠0，不正确，因为x＝1时，x2﹣4x+3＝0，所以命题“若x＝3，则x2﹣4x+3＝0”的否命题是假命题，所以D不正确；故选：ABD．11．（5分）某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据如表，现发现表中有个数据看不清，已知回归直线方程为，下列说法正确的是（）x23456y1925★3844A．看不清的数据★的值为34B．回归直线必经过样本点（4，★）C．回归系数6.3的含义是产量每增加1吨，相应的生产能耗实际增加6.3吨D．据此模型预测产量为7吨时，相应的生产能耗为50.9吨解：设看不清的数字为a，计算＝×（2+3+4+5+6）＝4，＝×（19+25+a+38+44）＝，代入回归直线方程中，得＝6.3×4+6.8，解得a＝34，所以＝32；所以看不清的数据★的值为34，A正确；又回归直线过样本点（4，32），所以B错误；回归系数6.3的含义是产量每增加1吨，相应的生产能耗预测增加6.3吨，所以C错误；x＝7时，＝6.3×7+6.8＝50.9，所以据此模型预测产量为7吨时，相应的生产能耗为50.9吨，D正确．故选：AD．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，抛物线的准线过双曲线的左焦点，A，B分别是双曲线C的左，右顶点，点P是双曲线C的右支上位于第一象限的动点，记PA，PB的斜率分别为k1，k2，则下列说法正确的是（）A．双曲线C的渐近线方程为y＝±2xB．双曲线C的方程为C．k1k2为定值D．存在点P，使得k1+k2＝2解：∵双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，∴e＝，，渐近线方程为y＝，故A错误；又c＝，则a＝2，b2＝1，则双曲线方程为，故B正确；∵A（﹣2，0），B（2，0），设P（x，y），则＝，故C 正确；＝，∵点P在第一象限，渐近线方程为y＝，∴0＜k OP＜，则＞2，∴k1+k2＞1，即存在点P，使得k1+k2＝2，故D正确．故选：BCD．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．（5分）某印刷厂的工人师傅为了了解112个印张的质量，采用系统抽样的方法抽取若干个印张进行检查，为此先对112个印章进行编号为：01，02，03，…，112，已知抽取的印张中最小的两个编号为05，13，则抽取的印张中最大的编号为109．解：已知抽取的最小的两个编号为05，13．则样本间隔为13﹣5＝8，则抽样样本数为112÷8＝14个，则抽取的学生中最大的编号5+8×13＝109，故答案为：109．14．（5分）已知命题“∃x∈R，x2+（a﹣1）x+1≤0”是真命题，则a的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．解：命题“∃x∈R，x2+（a﹣1）x+1≤0”是真命题，则△＝（a﹣1）2﹣4≥0，整理得a2﹣2a﹣3≥0，解得a≥3或a≤﹣1．故a的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．15．（5分）某抛物线形拱桥的跨度为20米，拱高是4米，在建桥时，每隔4米需用一根柱支撑，其中最高支柱的高度是 3.84米．解：建立如图所示的直角坐标系，设抛物线方程为x2＝﹣2py（p＞0），∵过定点B（10，﹣4），代入x2＝﹣2py，得p＝．∴x2＝﹣25y．当x＝2时，y＝，∴最长支柱长为4﹣|y|＝4﹣＝3.84（m），故答案为：3.84米．16．（5分）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A（2，4），过点F的动直线l与抛物线交于M，N不同的两点，点M在y轴上的射影为点B，设直线KM，KN的斜率分别为k1和k2.则|MA|+|MB|的最小值为﹣1，k1+k2的值为0．解：如图，抛物线y2＝4x的焦点F（1，0），准线方程为x＝﹣1，K（﹣1，0），设M在准线上的射影为H，由抛物线的定义可得|MF|＝|MH|＝|MB|+1，即|MB|＝|MF|﹣1，则|MA|+|MB|＝|MA|+|MF|﹣1≥|AF|﹣1＝﹣1＝﹣1，当A，M，F三点共线时取得最小值﹣1；设过F的直线方程为x＝my+1，与抛物线y2＝4x联立，可得y2﹣4my﹣4＝0，设M，N的纵坐标分别为y1，y2，可得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，则k1+k2＝+＝＝0，故答案为：﹣1，0．四、解答题（本大题6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知命题p：对于任意x∈R，不等式4x2﹣4（m﹣2）x+1＞0恒成立．命题q：实数m满足的方程表示双曲线；（1）当a＝2时，若“p或q”为真，求实数m的取值范围；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求a的取值范围．解：（1）若命题p为真命题，则Δ＝16（m﹣2）2﹣16＜0，解得1＜m＜3…（1分）当a＝2时，命题q：2＜m＜4……………………………………………………（2分）因为p或q为真，所以p真或q真…………………………………………………（3分）所以：1＜m＜3或2＜m＜4得：1＜m＜4………………………………………（5分）（2）若命题q为真命题，则a＜m＜2a……………………………………………（6分）因为￢p是￢q的充分不必要条件，所以q是p的充分不必要条件………………（7分）所以：得：………………………………………………………（9分）经检验符合，所以a的取值范围为：………………………………………（10分）18．（12分）已知双曲线C的离心率为，点在双曲线上，且抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F与双曲线的一个焦点重合．（1）求双曲线和抛物线的标准方程；（2）过焦点F作一条直线l交抛物线于A，B两点，当直线l的斜率为时，求线段AB的长度．解：（1）设双曲线的方程为（a＞0，b＞0），由题设所以①，又点在双曲线上，所以②由①②解得a2＝9，b2＝3，故双曲线标准方程为；设双曲线的焦距为2c，因为c2＝a2+b2＝12，得，所以抛物线焦点为，即，所以抛物线的标准方程为．（2）设直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），联立得即，故，由抛物线定义知，，所以．19．（12分）小张准备在某县城开一家文具店，为经营需要，小张对该县城另一家文具店中的某种水笔在某周的周一至周五的销售量及单支售价进行了调查，单支售价x元和销售量y支之间的数据如表所示：星期12345单支售价x（元） 1.4 1.6 1.82 2.2销售量y（支）1311763（1）根据表格中的数据，求出y关于x的回归直线方程；（2）请由（1）所得的回归直线方程预测销售量为18支时，单支售价应定为多少元？如果一支水笔的进价为0.56元，为达到日利润（日销售量×单支售价﹣日销售量×单支进价）最大，在（1）的前提下应该如何定价？（其中：回归直线方程，，，）解：（1）因为，，所以＝＝，则＝8﹣（﹣12.5）×1.8＝30.5．所以，回归直线方程为．（2）当y＝18时，18＝﹣12.5x+30.5，得x＝1，假设日利润为L（x），则：L（x）＝（x﹣0.56）（30.5﹣12.5x），0.56＜x＜2.44，当x＝1.5元时，有L（x）max．答：单支售价为1元时，销售量为18件；为使日利润最大，单支定价为1.5元．20．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2，且经过点Q．直线l过右焦点且不平行于坐标轴，l与椭圆C有两个不同的交点A，B，线段AB的中点为M．（1）点P在椭圆C上，求的取值范围；（2）证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值；解：（1）因为焦距2c＝2，则c＝1，所以左焦点F1（﹣1，0），右焦点F2（1，0），则2a＝|QF1|+|QF2|＝＝2，所以，所以a2＝2，b2＝1，所以椭圆方程为．设点P（x，y），则＝（﹣1﹣x，﹣y）•（1﹣x，﹣y）＝x2﹣1+y2＝＝．因为，所以的取值范围为：[0，1]．（2）设直线l的方程为y＝k（x﹣1）（k≠0），联立消去y得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0，其中：2k2+1＞0，Δ＞0，不妨设A（x1，y1），B（x2，y2），M为线段AB的中点，则x1+x2＝，所以＝，y M＝k（x M﹣1）＝，所以＝，所以k OM×k l＝为定值．21．（12分）为让学生适应新高考的赋分模式某校在一次校考中使用赋分制给高二年段学生的生物成绩进行赋分，具体方案如下：A等级，排名等级占比7%，分数区间是83﹣100；B等级，排名等级占比33%，分数区间是71﹣82；C等级，排名等级占比40%，分数区间是59﹣70；D等级，排名等级占比15%，分数区间是41﹣58；E等级，排名等级占比5%，分数区间是30﹣40；现从全年段的生物成绩中随机抽取100名学生的原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布直方图如图所示：（1）求图中a的值；（2）以样本估计总体的办法，估计该校本次生物成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的C等级及以上（含C等级）？（3）若采用分层抽样的方法，从原始成绩在[40，50）和[50，60）内的学生中共抽取5人，查看他们的答题情况来分析知识点上的缺漏，再从中选取2人进行调查分析，求这2人中至少一人原始成绩在[40，50）内的概率．解：（1）由题意（0.010+0.015+0.015+a+0.025+0.005）×10＝1，所以a＝0.030．（2）由已知等级达到C及以上所占排名等级占比为7%+33%+40%＝80%，假设原始分不少于x分可以达到赋分后的C等级及以上，则有：（0.010+0.015+0.015+0.03）×10+（x﹣80）×0.025＝0.8，所以x＝84（分），故原始分不少于84分才能达到赋分后的C等级及以上．（3）由题知评分在[40，50）和[50，60）内的频率分别为0.1 和0.15，则抽取的 5 人中，评分在[40，50）内的有 2 人，评分在[50，60）的有 3 人，记评分在[50，60）内的 3 位学生为a，b，c，评分在[40，50）内的 2 位学生为D，E，则从5 人中任选 2 人的所有可能结果为：（a，b），（a，c），（a，D），（a，E），（b，c），（b，D），（b，E），（c，D），（c，E），（D，E）共10 种，其中，这2 人中至少一人评分在[40，50）内可能结果为：（a，D），（a，E），（b，D），（b，E），（c，D），（c，E），（D，E），共7 种，所以这2 人中至少一人评分在[40，50）的概率为：P＝．22．（12分）如图所示，已知圆上有一动点Q，点F2的坐标为（1，0），四边形QF1F2R为平行四边形，线段F1R的垂直平分线交F2R于点P，设点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过点F2的直线l与曲线C有两个不同的交点A，B，问是否存在实数λ，使得|AF2|+|BF2|＝λ|AF2|•|BF2|成立，若存在求出λ的值；若不存在，请说明理由．解：（1）|PF1|+|PF2|＝|PR|+|PF2|＝|RF2|＝|QF1|＝4＞|F1F2|；所以点P的轨迹C是以F1F2为焦点，以4为长轴长的椭圆所以2a＝4得a＝2，半焦距c＝1，所以b2＝a2﹣c2＝13，轨迹C的方程为：，经检验，轨迹C的方程为：（y≠0）．（2）显然直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x＝my+1，由消去x得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，y1y2＝，不妨设y1＞0，y2＜0，＝＝，同理＝，所以＝＝＝＝＝＝，即，所以存在实数使得|AF2|+|BF2|＝λ|AF2|•|BF2|成立．。
福建省福州市高二数学上学期期中试题(有答案)(精选)
福建省福州市高二数学上学期期中试题（完卷时间：120分钟，总分：150分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填在答题纸上．） 1、若数列的前4项分别是1111,,,2345--，则此数列的一个通项公式为（ ）A.1(1)1n n +-+B.(1)1n n -+C.(1)n n -D.1(1)n n--2、下列选项中正确的是（ ）A ．若a b >，则22ac bc > B ．若a b >，c d <，则a bc d> C ．若a b >，c d >，则a c b d ->- D ．若0ab >，a b >，则11a b< 3、不等式20(0)ax bx c a ++<≠的解集为φ，那么 （ ）A. 0,0a <∆≥B. 0,0a <∆≤C. 0,0a >∆≤D. 0,0a >∆> 4、已知等差数列｛n a ｝满足,0101321=++++a a a a 则有（ ） 57.0.0.0.5199310021011==+<+>+a D a a C a a B a a A5、在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ）A ．06030或 B ．06045或 C ．060120或 D ．015030或 6、若三条线段的长为5、6、7，则用这三条线段 （ ） A ．能组成直角三角形 B ．能组成锐角三角形 C ．能组成钝角三角形 D ．不能组成三角形 7、下列函数中，y 的最小值为2的是（ ）A.1y xx =+B.1(0)y x x x =+>C. 4(0)y x x x =+>D.y =8、已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若123=S ，606=S ，则9S =( )A ．192 B.300 C.252 D.3609、ABC ∆错误！未找到引用源。
福建省福州市八县(市、区)一中2020-2021学年高二数学上学期期中试题(含解析)
福建省福州市八县（市、区）一中2020-2021学年高二数学上学期期中试题（含解析）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1.已知命题0:1p x ∃>，使得0lg 0x ，则p ⌝为（ ）A. 1x∀，总有lg 0x >B. 1x ∀>，总有lg 0x >C. 01x ∃>,使得0lg 0x >D. 01x ∃，使得0lg 0x >【答案】B 【解析】 【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可．【详解】命题是特称命题，则命题的否定是:1,p x ⌝∀>总有lg 0x >成立, 故选:B【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，根据特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键．属于基础题2.已知中心在原点的等轴双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，右顶点为)，则双曲线C 的焦距等于（ ）A. 2B.C. 4D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等轴双曲线的定义,右顶点以及双曲线中,,a b c 的关系式,计算可求解.【详解】因为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>为等轴双曲线,所以a b =,因为右顶点为0),所以a b ==所以焦距22222224c a b =+=+=. 故选:C【点睛】本题考查了等轴双曲线的定义,双曲线的几何性质,属于基础题. 3.不等式22530x x +-<的一个必要不充分条件是（ ） A. 61x -<<B. 132x -<<C. 30x -<<D.132x -<< 【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次不等式得132x -<<,根据充分,必要条件的概念分析可求解. 【详解】由不等式22530x x +-<得(21)(3)0x x -+<,解得132x -<<,因为1(3,)2-=1(3,)2-,所以选项B 为充要条件,因为(3,0)-1(3,)2-,所以选项C 为充分不必要条件,因为1(,3)2-1(3,)2-,且1(3,)2-1(,3)2-,所以选项D 是既不充分也不必要条件,因为1(3,)2-(6,1)-,所以选项A 是必要不充分条件.故选:A【点睛】本题考查了必要不充分条件,属于基础题. 4.下列命题中正确的是（ ）A. 命题“若2320x x -+=，则1x =”的否命题为“若2320x x -+=，则1x ≠”；B. 命题“若平面向量,a b 共线，则,a b 方向相同”的逆否命题为假命题；C. 命题“若3a ≠或2b ≠，则5a b +≠”是真命题；D. 命题“若4a b +，则a b 、中至少有一个大于等于2”的逆命题是真命题. 【答案】B 【解析】 【分析】根据写否命题时,既要否定条件,又要否定结论可知,A 不正确;根据原命题为假命题且逆否命题与原命题同真假可知,B 正确; 根据逆否命题为假且原命题与逆否命题同真假可知,C 不正确; 根据否命题为假命题且逆命题与否命题同真假可知,,D 不正确.【详解】对于A ,命题“若2320x x -+=，则1x =”的否命题为“若2320x x -+≠，则1x ≠”,故A 不正确;对于B ,因为0a =时,满足向量,a b 共线,但是不能说,a b 方向相同,所以命题“若平面向量,a b 共线，则,a b 方向相同”是假命题,所以其逆否命题也是假命题,故B 正确;对于C ,因为命题“若3a ≠或2b ≠，则5a b +≠”的逆否命题”若5a b +=,则3a =且2a =”是假命题,所以原命题也是假命题,故C 不正确;对于D ,因为命题“若4a b +，则a b 、中至少有一个大于等于2”的否命题”若4a b +<,则a b 、都小于2”是假命题,所以逆命题也是假命题,故D 不正确. 故选:B【点睛】本题考查了四种命题及其真假的判断,属于基础题.5.已知椭圆的中心在原点，长轴长为12，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程是（ ）A. 221364x y +=B. 221364x y +=或221436x y += C. 2213632x y +=D. 2213632x y+=或2213632y x +=【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的几何性质得到22236,4,32a c b ===后,讨论焦点的位置可得椭圆方程. 【详解】设椭圆长半轴长,短半轴长,半焦距分别为,,a b c , 因为椭圆的长轴长为12，且两个焦点恰好将长轴三等分, 所以2212,23aa c ==, 所以6,2a c ==,所以22236432b a c =-=-=, 当焦点在x 轴上时,椭圆的标准方程为2213632x y +=,当焦点在y 轴上时,椭圆的标准方程为2213236x y+=, 故选:D【点睛】本题考查了椭圆的标准方程和几何性质,属于基础题.6.如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a =，AD b =，1AA c =，M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点，且1:1:4CN NA =.用,,a b c 表示向量MN 的结果是（ ）A.12a b c ++ B. 114555a b c ++C. 1315105a b c --D. 4345105a b c +-【答案】D 【解析】 【分析】根据向量加法的平行四边形,向量减法的三角形法则可得. 【详解】如图所示:因为MN AN AM =-11AC CN AA AM =+-- 111152AC CA AA AD =+--1111()52AC AA AC AA AD =+---1441552AC AA AD =-- 1441()552AB AD AA AD =+-- 14345105AB AD AA =+- 4345105a b c =+-. 故选:D【点睛】本题考查了向量加法的平行四边形,向量减法的三角形法,属于基础题.7.空间四边形ABCD 中若,,2,1,AB BD CD BD AC BD ⊥⊥==则AC BD ⋅=（ ）A.12B. 1D. 0【答案】B 【解析】 【分析】根据向量加法的三角形法则以及平面向量的数量积计算可得. 【详解】因为AC BD ⋅=()AB BC BD +()AB BD DC BD =++⋅2AB BD BD DC BD =⋅++⋅,因为AB BD ⊥,DC BD ⊥,所以0,0AB BD DC BD ⋅=⋅=, 所以AC BD ⋅=20101++=, 故选:B【点睛】本题考查了向量加法的三角形法则以及平面向量的数量积,属于基础题. 8.已知点P 为抛物线214y x =上的动点，点P 在x 轴上的射影为点H ，点A 的坐标为(12,6)，则+PA PH 的最小值是（ ） A. 13 B. 12 C. 11 D. 10【答案】B 【解析】 【分析】利用抛物线的定义,得||||PA PH +||||11PA PH =++-=||||1PA PF +-,再利用两点之间连线段最短可得. 【详解】如图所示:设抛物线的焦点为F ,则(0,1)F , 因为||||PA PH +||||11PA PH =++-=||||1PA PF +-||1AF ≥-22(120)(61)112-+--=,当且仅当,,A P F 三点共线,且P 在线段AF 上时,取得等号. 故选:B【点睛】本题考查了抛物线的定义,属于基础题.9.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为11A B 、1CC 的中点，P 为AD 上一动点，记α为异面直线PM 与1D N 所成的角，则α的集合是（ ）A. {}2π B. {|}62ππαα≤≤ C. {|}42ππαα≤≤ D. {|}32ππαα≤≤ 【答案】A 【解析】分别以边1,,DA DC DD 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴，建立如图所示空间直角坐标系：设正方体边长为1,()(),0,001P x x ≤≤，并能确定以下几点坐标:()1111,,1,0,0,1,0,1,22M D N ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;∴1111,,1,0,1,22PM x D N ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴10PM D N ⋅= ∴1PM D N ⊥ ∴2πα=故选A10.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点F 与抛物线()220y px p =>的焦点相同，点A 是两曲线的一个交点，且AF 垂直x 轴，则双曲线的离心率为（ ）C. 1D. 1+【答案】C 【解析】 【分析】分别在双曲线和抛物线中求出A 的坐标为2(,)b c a和(,)2p p ,由此列式可求得.【详解】不妨设A 在第一象限内,则在双曲线()222210,0x y a b a b-=>>中,(c,0)F ,2(,)b A c a ,在抛物线()220y px p =>中(,02p F ),(,)2pA p , 所以2p c =,且2b p a=,所以22b ac =,所以222c a ac -=,所以2()12cc aa-=, 所以2210e e --=,所以1e =1e =舍). 故选:C【点睛】本题考查了双曲线和抛物线的几何性质,属于基础题.11.已知椭圆222116x y a +=与双曲线22215x ym -=有公共焦点12,,F F 且两条曲线在第一象限的交点为P 点，则12PF F △的面积为（ ）A.112B.212C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线方程可知焦点在x 轴上,所以22165a m -=+,再联立椭圆与双曲线方程解得点P 的纵坐标的绝对值,然后利用面积公式121||||2F F y 可求得.【详解】因为双曲线22215x ym -=的焦点在x 轴上,所以椭圆222116x ya +=的焦点在x 轴上,所以22165a m -=+,即2221a m =+,联立22222211615x y a x y m ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ ,所以22222222165a y x a m y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,所以222222165a y m y a m -=+, 所以22222()165a m y a m +=-,所以22222516a m y m a -=+ 22222121516m m m m +-=++222116510580m m =++2218021105m ⨯=+2805m =+,所以||y =即点P,又12||F F =, 所以12PF F △的面积为121||||2F Fy 12=⨯=. 故选:C【点睛】本题考查了椭圆和双曲线共焦点问题,三角形面积公式,属于中档题.12.已知椭圆22221(0)x ya b a b+=>>的内接ABC ∆的顶点B 为短轴的一个端点，右焦点F ，线段AB 中点为K，且2CF FK =,则椭圆离心率的取值范围为（ ）A. 03⎛ ⎝⎭，B. 03⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，C. ,13⎛⎫⎪⎪⎝⎭D. 13⎛⎫⎪⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】设1122(,),(,)A x y C x y ,所以11(,)22x y b K +,根据定比分点坐标公式可得弦AC 的中点坐标,再根据弦AC 的中点在椭圆内列不等式可解得. 【详解】设1122(,),(,)A x y C x y , 因为(0,)B b ,(c,0)F ,所以11(,)22x y b K +, 因为2CF FK =,所以2CF FK =,由定比分点坐标公式得,1212221222012x x c y b y ⎧+⨯⎪=⎪⎪+⎨+⎪+⨯⎪=⎪+⎩,化简得12123x x c y y b +=⎧⎨+=-⎩,所以弦AC 的中点坐标为3(,)22c b-,根据弦AC 的中点在椭圆内可得22223()()221c b a b -+<, 所以29344e <,所以213e <,又离心率(0,1)e ∈,所以e ∈. 故选:A【点睛】本题考查了椭圆的几何性质,定比分点的坐标公式,点与椭圆的位置关系,椭圆的离心率,属于中档题.第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡相应位置．） 13.命题“2,210x R mx mx ∀∈-+>”是真命题，则实数m 的取值范围为_____________.【答案】01m <【解析】 【分析】依题意列式0m =或0m >且2(2)40m m --<,可解得. 【详解】因为命题“2,210x R mx mx ∀∈-+>”是真命题, 所以2210mx mx -+>对任意实数x 都成立, 所以0m =或0m >且2(2)40m m --<,所以0m =或01m <<,综上所述:实数m 的取值范围是01m ≤<.故答案为: 01m ≤<【点睛】本题考查了一元二次不等式恒成立,分类讨论思想,属于基础题.14.双曲线2244x y -=的一条弦恰被点()8,1P 平分，则这条弦所在的直线方程是_____________.【答案】2150x y --=【解析】【分析】设弦为AB ,11(,)A x y ,22(,)B x y ,将,A B 的坐标代入椭圆方程作差,可求出弦的斜率,再由点斜式可解得.【详解】设弦为AB ,11(,)A x y ,22(,)B x y ,所以221144x y -=,222244x y -=,所以222212124()x x y y -=-, 所以121212124()y y x x x x y y -+=-+, 又弦AB 的中点为(8,1),所以122816x x +=⨯=,12212y y +=⨯=, 所以121216242AB y y k x x -===-⨯, 由点斜式得弦AB 所在直线的方程为:12(8)y x -=-,即2150x y --=.故答案为: 2150x y --=.【点睛】本题考查了点差法求弦的斜率,直线方程的点斜式,属于基础题.15.已知A 、B 是过抛物线22(0)y px p =>焦点F 的直线与抛物线的交点，O 是坐标原点，满足2,3OAB AF FB S AB ==，则p 的值为_______ 【答案】36【解析】【分析】 由题意首先求得倾斜角的三角函数值，然后结合面积公式和三角函数的定义可得p 的值.【详解】设焦点弦的倾斜角为α，由抛物线焦点弦的焦半径公式可知：1cos p AF α=-，1cos p BF α=+， 故：21cos 1cos p p αα=⨯-+，解得：1cos 3α=，故22sin 3α=， 设原点到直线AB 的距离为h ，则13,222OAB S AB AB h h ==⨯⨯∴=， 由三角函数的定义可得：23sin 2p α=，即22433p =，解得：36p =. 【点睛】本题主要考查抛物线的焦半径公式，抛物线中的三角形问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16.如图所示，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，ABC ∠=60且1=AA AB ，M 为侧棱1AA 的中点，,E F 分别是线段1BB 和线段1CC 上的动点(含端点)，且满足1BE C F =，当,E F 运动时，下列结论中正确的序号是_____________.①在△MEF 内总存在与平面ABCD 平行的线段；②平面MEF ⊥平面11BCC B ；③三棱锥1A MEF -的体积为定值；④△MEF 可能为直角三角形.【答案】①②③【解析】【分析】对于①,取EF 的中点G ,则可证MG 就是满足条件的线段;对于②,可证MG 与平面11BCC B 垂直,再由平面与平面垂直的判定定理可证;对于③,可用等体积法求得三棱锥1A MEF -的体积为定值;对于④, 设1A A AB a ==,BE t =,可求得三角形三边长,再用余弦定理判断三角形不可能是直角三角形.【详解】如图所示:取EF 的中点G ,BC 的中点H ,AB 的中点N ,连GH ,,,MG AH ,AC CN ,对于①,根据梯形中位线有11111()()222GH BE CF C F CF CC AM =+=+==,又////GH BE AM ,所以//GH AM ==, 所以四边形AHGM 为平行四边形,所以//MG AH ,又AH ⊂平面ABCD ,MG ⊄平面ABCD ,所以//MG 平面ABCD ,故①正确;对于②,在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，ABC ∠=60,所以AH BC ⊥,又直四棱柱的侧面与底面垂直,所以AH ⊥平面11BCC B ,而//MG AH ,所以MG ⊥平面11BCC B ,因为MG ⊂平面MEF ,所以平面MEF ⊥平面11BCC B ,故②正确, 对于③,设1A A AB a ==,则11A MEF F A ME V V --==1311113322224A ME CN S a a a ⋅=⨯⨯⨯=为定值,故③正确; 对于④, 设1A A AB a ==,BE t =,则EF =ME =MF =因为ME MF =,所以△MEF 为等腰三角形,所以M MEF FE =∠∠不可能为直角, 又2222222122()(2)2ME MF EF a a t a t a +-=+----221(44)2a at t =+- 2212()2t at a =--+2212()2t a a =--+, 因为0t a ≤≤,所以0t =或t a =时, 2212()2t a a --+取得最小值,最小值为212a , 所以222ME MF EF +-2102a ≥>, 所以222cos 2ME MF EF EMF ME MF+-∠=⋅>0,所以EMF ∠恒为锐角,不可能为直角,故④不正确.故答案为:①②③【点睛】本题考查了线面平行的判定定理,面面垂直的判定定理,等体积法求体积,余弦定理判断三角形形状,属于中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.若命题:p 实数x 满足240x x -，命题q ：实数x 满足(1)(1)0x a x a -+--()0a >.（1）当2a =且p q ∧为真命题时，求实数x 的取值范围；（2）若p 是q ⌝的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）34x （2）01a <≤【解析】【分析】(1) p q ∧为真命题时,p 与q 都是真命题,用04x 和1x -或3x ≥取公共部分即可得到;(2)利用真子集关系列式即可得到.【详解】解：（1）由:p ()40x x -，得04x ,当2a =时，由q ：()(12)120x x -+--，得1x -或3x ≥, ∴:q 1x -或3x ≥,p q ∧为真命题，p ∴真且q 真,34x ∴,∴实数x 的取值范围为34x .（2）因为0a >，由:q ⌝(1)(1)0x a x a -+--<,得()110a x a a -<<+>,设{|04},{|11,0}A x x B x a x a a ==-<<+>, p 是q ⌝的必要不充分条件，BA ∴, 1014a a -⎧∴⎨+⎩, 又0a >∴01a <≤,∴实数a 的取值范围为01a <≤.【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法,命题的真假,必要不充分条件,属于中档题.18.（1）已知中心在原点的双曲线C的焦点坐标为(0，(0-，且渐近线方程为y =，求双曲线C 的标准方程；（2）在圆223x y +=上任取一点P ,过点P 作y 轴的垂线段PD ，D 为垂足，当点P 在该圆上运动时，求线段PD 的中点M 的轨迹方程.【答案】（1）2212y x -=（2）221334x y += 【解析】【分析】(1)根据c =,ab=,,联立解方程组可解得a =1b =,从而可得; (2)设出M 的坐标为(),x y ,根据中点公式可得P 的坐标,再将P 的坐标代入椭圆方程可得.【详解】解：（1）依题可知双曲线的焦点在y 轴上， 则设其方程为：22221(0,0)y x a b a b-=>>，且c =①双曲线的渐近线方程为y =,即a b =② 又222a b c +=③，由①②③得1a b == 得双曲线方程为：2212y x -= （2）设轨迹上任一点M 的坐标为(),x y ，点P 的坐标为()00,x y ，则依题意可知D 点坐标为()00,yPD 的中点为M ，00,2x x y y ⎧=⎪∴⎨⎪=⎩即002x x y y =⎧⎨=⎩ 点P 圆223x y +=上运动，02203x y ∴+=,所以22(2)3x y +=, 2243x y ∴+=，经检验所求方程符合题意,∴点M 的轨迹方程为221334x y +=． 【点睛】本题考查了双曲线的标准方程,代入法求曲线的轨迹方程,属于基础题.19.如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB =，1AF =，M是线段EF 的中点.(1)求证：//AM 平面BDE ；(2)求二面角A DF B --的大小. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）60【解析】试题分析：（1）证明线面平行常用方法：一是利用线面平行的判定定理，二是利用面面平行的性质定理，三是利用面面平行的性质；（2)把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;(3）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化．同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备．试题解析：（I ）记AC 与BD 的交点为O ，连接OE ，∵O 、M 分别是,AC EF 的中点，ACEF 是矩形∴四边形AOEM 是平行四边形，∴AM ∥OE ，∵OE ⊂平面BDEAM ⊄平面BDE ，∴AM ∥平面BDE 6分（Ⅱ）在平面AFD 中过A 作AS DF ⊥于S ，连接BS ，∵,,AB AF AB AD AD AF A ⊥⊥⋂=∴AB ⊥平面ADF ，∴AS 是BS 在平面ADF 上的射影，由三垂线定理点得BS DF ⊥∴BSA ∠是二面角A DF B --的平面角，在Rt ASB ∆中，62AS AB ==， ∴tan 3,60ASB ASB ∠=∠=二面角A DF B --的大小为608分另解：以C 为原点，CD 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，CE 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,0)C ，(2,0,0)D ，(2,2,0)A ，(0,2,0)B ，(0,0,1)E ，(2,2,1)F22(,,0)22M ，设AC 与BD 交于点O ，则 （I ）易得：，则∥，由OE ⊂面BDE ，故AM ∥面BDE ；（Ⅱ）取面ADF 的一个法向量为，面BDF 的一个法向量为， 则，故二面角A DF B --的大小为60．考点：证明线面平行及求二面角20.已知抛物线C 的方程为()220y px p =>，C 上一点3,2M m ⎛⎫ ⎪⎝⎭到焦点的距离为2. （1）求抛物线C 的方程及点M 的坐标；（2）过点()1,0P 的直线l 与抛物线C 交于点,A B ，与y 轴交于点Q ，设QA PA λ=,QB PB μ=,求证:λμ+是定值..【答案】（1）22y x =，3,32M ⎛ ⎝（2）证明见解析 【解析】【分析】(1)利用抛物线的定义列式可解得1p =,可得抛物线2:2C y x =,令32x =,可得m 的值; (2) 设直线l 的方程为()()10y k x k =-≠,并代入抛物线,由韦达定理以及向量关系可解得.【详解】解：（1）依题意得抛物线的准线为2p x =-， 抛物线上一点3,2M m ⎛⎫ ⎪⎝⎭到焦点的距离为2，由抛物线的定义可得3222p +=，1p ∴=，∴抛物线的方程为22y x=，232,32m m=⨯∴=±，3,32M⎛⎫∴±⎪⎝⎭.（2）当直线l的斜率不存在时不符合题意，故直线l的斜率k必存在且不为0.直线l过点()1,0P,∴设直线l的方程为()()10y k x k=-≠，当0x=时,y k=-，∴点Q坐标()0,k-，设()()1122,,,A x yB x y,由22y kx ky x=-⎧⎨=⎩,得22yy k k=-，整理得2220ky y k--=,20,480k k≠∴∆=+>，12122,2y y y yk∴+==-,()11,QA x y k∴=+，()111,PA x y=-,QA PAλ=,()()1111,1,x y k x yλ∴+=-，11,y k yλ∴+=即11,y kyλ+=同理可得22,y kyμ+=()121212121222212y y k y yy k y k kky y y yλμ++++∴+=+==+=-,即λμ+是定值.【点睛】本题考查了抛物线的定义,直线与抛物线的位置关系,韦达定理,向量的线性运算,属于中档题.21.如图所示，等腰梯形ABCD中,AB CD∥，2AD AB BC===，4CD=，E为CD中点，AE与BD交于点O，将ADE沿AE折起，使点D到达点P的位置（P∉平面ABCE）．（1）证明：平面POB⊥平面ABCE；（2）若PB =6，试判断线段PB 上是否存在一点Q (不含端点),使得直线PC 与平面AEQ 所成角的正弦值为15，若存在，求出PQ QB 的值;若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析（2）存在点Q 为PB 的中点时，使直线PC 与平面AEQ 所成角的正弦值为15，1PQ QB = 【解析】【分析】(1)利用线面垂直的判定定理证AE ⊥平面POB,利用面面垂直的判定定理证平面POB⊥平面ABCE 可得;(2)利用222OP OB PB +=证明OP⊥OB,然后以O 为原点，,,OE OB OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，利用向量可求得直线PC 与平面AEQ 所成角的正弦值,根据已知列等式可解得.【详解】解：（1）证明：连接BE ,在等腰梯形ABCD 中，2AD AB BC ===，4CD =， E 为CD 中点，∴四边形ABED 为菱形，BD ∴⊥AE，,OB AE OD AE ∴⊥⊥，即,OB AE OP AE ⊥⊥,且,OB OP O =OB ⊂平面,POB OP ⊂平面POB ，∴AE⊥平面POB又AE ⊂平面ABCE ，∴平面POB⊥平面ABCE ．（2）由（1）可知四边形ABED 为菱形，2,AD DE ∴==在等腰梯形ABCD 中2,AE BC ==PAE ∴∆正三角形OP ∴=同理OB =6PB =,222OP OB PB ∴+=,∴OP⊥OB，由（1）可知,OP AE OB AE ⊥⊥，以O 为原点，,,OE OB OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，由题意得，各点坐标为(P ，()1,0,0A -，()B，()C ，()1,0,0E ,∴(0,3,3)(2,3,PB PC =-=，，(2,0,0),AE =设()01PQPB λλ=<<,,))AQ AP PQ AP PB λ=+=+=+=,设平面AEQ 的一个法向量为(,,)n x y z =,则00n AE n AQ ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即)200x x y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩,取0,1x y ==，得1z λλ=-，所以n ＝(0，1，1λλ-),设直线PC 与平面AEQ 所成角为02πθθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，，则15sin cos ,5PC n PC n PC nθ⋅=<>===, 化简得：24410λλ-+=，解得12λ=, ∴存在点Q 为PB 的中点时，使直线PC 与平面AEQ 所成角的正弦值为5.【点睛】本题考查了直线与平面垂直的判定,平面与平面垂直的判定,线面角的向量求法,属于中档题.22.已知椭圆()2222:10x y C a ba b +=>>的离心率为2，椭圆C 截直线1x =所得线段的长.过椭圆C 上的动点P 作圆22(1)1x y -+=的两条切线分别交y 轴于,M N 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）求线段MN 长度的最大值，并求此时点P 的坐标．【答案】（1）2212xy+=（2）||MN取得最大值P位置是椭圆的左顶点(【解析】【分析】(1)根据离心率为2,椭圆C截直线1x=,列式可解得;(2)先求出点P的横坐标的取值范围,再设出过点P的圆的切线方程为y kx b=+,根据圆心到直线的距离求出212bkb-=,可得2(2)20x b yb x--+=,根据韦达定可得001212002,22y xb b b bx x--+==--,再求出弦长,并利用单调性求出最大值即可.【详解】解：（1）∵椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>的离心率为2，所以2ca=,所以222a c=,又222a b c=+,∴,b c a==，当1x=时，22211y ba⎛⎫=-⋅⎪⎝⎭21(22==，∴222,1a b==，∴椭圆的方程是2212xy+=．（2）设00)(,P x y,由22221,2(1)1,xyx y⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩得2x=,2x=(舍去)，因为P在椭圆上,过P作椭圆的切线有两条,如图所示:∴)(02,00,22x ⎡∈--⎣．设过点P 的圆的切线方程为y kx b =+，∵圆心()10，到直线PM 的距离为1， 211k =+，化简得212b k b-=， ∴212b y x b b-=+．所以2(2)20x b yb x --+=,设()00,P x y 则()2000220x b y b x --+=，∴001212002,22y x b b b b x x --+==--， ∴()()222220000012121212200024448||()4()222y x x y x MN b b b b b b b b x x x -+-=-=-=+-=+=---．∵()00,P x y 是椭圆上的点，∴220012x y +=，所以220012x y =-, ∴()()()()22022000002222000044(1)822428442||2(2)222x x x x x x MN x x x x +-----+====-----， 令24()2(2)f x x =--(2,0)(0,22)x ∈-⋃-,∴()f x =[上单调递减，在(0,2内也是单调递减，所以2x =时,()f x 取得最小值1,x =,()f x 取得最大值又0x ≠,所以()(0)1f x f ≠= , ∴()()(0,11,22f x ∈，所以当0x =||MN 取得最大值此时点P 位置是椭圆的左顶点(．【点睛】本题考查了求椭圆标准方程,,点到直线距离,圆的切线方程,利用单调性求最大值,属于难题.。
福建省福州八县一中2020-2021学年高二上学期期中考试数学(理)试题
C．32 n mile/hD．36 n mile/h
11．等差数列{an}中， ， ,且 ， 为其前n项之和，则使 的最大正整数 是（ ）
A．198B．199C．200D．201
12． 中，三个内角 的对边分别为 ，若 成等差数列，且 ，则 （ ）
3．对于任意实数 ，不等式 恒成立，则实数 取值范围( )
A． B． C． D．
4．设 ，给出下列三个结论：① ；② ；③ ．其中所有的正确结论的序号是 ( )
A．①③B．①②C．②③D．①②③
5．若变量x，y满足约束条件 则z＝2x＋y的最大值为( )
A．0B．5C．-3D．-2
6．已知等比数列{an}的前n项和 ，则r=( )
（2）求 的值．
18．设函数 ，其中 ．
(1)若不等式 的解集为 ，求实数 值．
(2)当 时，解关于x的不等式 ．
19．已知数列 是等比数列， ， 是 和 的等差中项.
(1)求数列 的前n项和 ；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
20．如图，已知圆内接四边形ABCD中，AB=3,AD=2,∠BCD=1200．
(2)k≤f(x)恒成立⇔k≤f(x)min.
4．B
【解析】
【分析】
由题意逐一分析所给的说法是否正确即可.
【详解】
逐一分析所给的不等式：
由于 ，故 ，结合 可得 ，说法①正确；
由于 ，故幂函数 在区间 上单调递减，结合 可得 ，说法②正确；
由于 ，故 ，
对数函数 单调递减，故 ，说法③错误.
综上可得：所有的正确结论的序号是①②.
联立直线方程： ，可得点的坐标为： ，
福建省福州市八县一中2020学年高二数学上学期期中试题 文
福建省福州市八县一中2020学年高二数学上学期期中试题 文考试时间：11月16日 完卷时间：120分钟 满分：150分一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．数列 2，3，5，9，17，33，…的通项公式{}n a 等于( )A . n 2B . 12+nC . 121+-nD . 12+n2. 在ABC ∆中，已知8=a ，45A =o，B =060，则b =( )A .64B . 54C .34D .3223．下列命题正确的是( )A .若b a >，则22bc ac >B .若b a ->，则b a >-C .若b a >，则c b c a ->-D .若bc ac >，则b a >4. 数列{}n a 的通项公式为325n a n =-，当n S 取到最小值时，n =( )A .5B .6C .7D .85．若x ，y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则y x的最大值为( )A .3B . 2C . 1D . 66．在ABC ∆中,,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，B a c cos 2=，则ABC ∆的形状为( )A . 等边三角形B .等腰三角形C .直角三角形D .等腰直角三角形7．在等比数列{}n a 中，n S 是它的前n 项和，1010=S ,2040S = , 则=30S ( )A .70B . 90C .130D .1608. 已知210<<x ，则函数)21(x x y -=的最大值是( )A .21B . 41C .81D .919．设R x ∈，对于使22x x M -≥恒成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值1-叫做22x x -的下确界．若,a b R *∈，且1a b +=，则114a b+的下确界为( ) A .154B . 4C D .9410．《莱茵德纸草书》Rhind Papyrus 是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把10磅面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小1份为( )磅．A .2B . 1C .13D .1611．若不等式220mx mx --<对任意的实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A . (]8,0-B .(8,0)-C .[]8,0-D .[)8,0-12．已知数列{}n a 满足211=a ，111()n n a n N a *+=-∈，则使12100k a a a ++⋅⋅⋅+<成立的最大正整数k 的值为( )A .199B . 200C .201D .202二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 13．函数12)(2--=x x x f 的定义域是___________________________．14．已知等差数列{}n a 的前 n 项和为n S ，若4610a a +=，则9S =__________． 15．一艘船以每小时20海里的速度向正东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东︒60，继续行驶3小时后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东︒30，此时船与灯塔的距离为 _______海里．16．已知数列{}n a 满足11a =，11()3n n n a a -+=(2)n ≥，212333n n n S a a a =⋅+⋅++⋅L ，类比课本中推导等比数列前n 项和公式的方法，可求得143n n n S a +-⋅=______________． 三、解答题（本大题6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且1=a ，2=c ，43cos =c . （1）求A sin 的值； （2）求ABC ∆的面积.18．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 中，21=a ，且2a ，4a ，410-a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若n a n n a b )2(+=，求数列{}n b 的前n 项和n S ．19．（本小题满分12分）已知函数2()(1)f x x a x b =-++．（1）若()0f x >的解集为(,1)(3,)-∞⋃+∞，求a ，b 的值； （2）当b a =时，解关于x 的不等式()0f x >（结果用a 表示）．20.（本小题满分12分）选修54-：不等式选讲 设函数1)(-+-=x a x x f（1）若1a =-，解不等式4)(≥x f ；（2）如果对任意的R x ∈，3)(≥x f ，求a 的取值范围．21.（本小题满分12分）某企业为解决困难职工的住房问题，决定分批建设保障性住房供给困难职工，首批计划用100万元购买一块土地，该土地可以建造楼层为x 层的楼房一幢，每层楼房的建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整层楼房的建筑费用提高2万元.已知第1层楼房的建筑费用为81万元.（1）求建造该幢楼房的总费用)(x f （总费用包括建筑费用和购地费用）；（2）问：要使该楼房每层的平均费用y 最低应把楼房建成几层？此时每层的平均费用为多少万元？22．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n n S n +=2,*∈N n .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足：11b =，n n n a b b 211=--)2(≥n ，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ；（3）若(9)2nT n λ≤+对任意的n N *∈恒成立，求λ的取值范围.2020学年度第一学期八县（市）一中半期考联考高二数学文科参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）1---6： C A C D A B 7---12： C C D D A B 二、填空题（每小题5分，共20分）13、{}|34x x x ≤-≥或 14、45 15、 60 16、2n + 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤） 17、解：（1）Θ43cos =c ， 47sin =∴c …………………………………2分C c A a sin sin =Θ472sin 1=∴A814sin =∴A ………………………5分（2）C ab b a c cos 2222-+=Θ b b 23122-+=∴ 2=∴b …………………………………7分 47472121sin 21=⨯⨯⨯==∴∆C ab S ABC …………………………10分18、解：（1）Θ2a ，4a ，410-a 成等比数列，)49()()3(1121-+⋅+=+∴d a d a d a ， …………………………………………3分21=a Θ∴2=d ， ………… ……………………………4分n n a n 2)1(22=-⨯+=∴； ……………… …………………………6分（2）由（1）得，n a n n n a b n22)2(+=+=，……………… …………………7分)22()26()24()22(321n n n T ++⋅⋅⋅++++++=∴)2222()2642(321n n +⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++= ……………… ………………8分21)21(22--++=n n n ……………… …………………………10分2212-++=+n n n2212-++=∴+n n n n T ． ……………… …………………………12分19、解：（1）因为2()(1)0f x x a x b =-++>的解集为(,1)(3,)-∞⋃+∞， 所以2(1)0x a x b -++=的两个根为1和3， …………………………………2分 所以⎩⎨⎧=⨯+=+ba 31131，解得3a b ==． .................. (4)分（2）当b a =时，()0f x > 即2(1)0x a x a -++>， 所以()(1)0x a x -->， .................. (5)分 当1a <时，1x a x <>或； ……………… …………………………7分当1a =时，1x ≠； ……………… …………………………9分当1a >时，1x x a <>或． ……………… …………………………11分综上，当1a <时，不等式()0f x >的解集为{}1x x a x <>或；当1a =时，不等式()0f x >的解集为{}1x x ≠；当1a =时，不等式()0f x >的解集为{}1xx x a <>或． …………………12分20、解：（1）当1a =-时，⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤--<-=-++=1,211,21,211)(x x x x x x x x f ，……………2分由4)(≥x f 得：411)(≥-++=x x x f ， ………………………………………3分 不等式可化为⎩⎨⎧≥--<421x x 或⎩⎨⎧≥-≤≤-4211x 或⎩⎨⎧≥>421x x ，……………………………4分即22≥Φ-≤x x 或或 ………………………………………………5分 ∴不等式的解集为{}22≥-≤x x x 或 ………………………………………………6分 （2）根据绝对值不等式的性质得：11)1()(1)(-=-=---≥-+-=a a x a x x a x x f ………………………8分所以对任意的R x ∈，3)(≥x f 等价于31≥-a ，………………………………10分 解得：4≥a 或2-≤a ……………………………………………………………11分 从而a 的取值范围为：),4[]2,(+∞⋃--∞ ………………………………………12分 21、解：（1）建筑x 层楼房时，建造该幢楼房的总费用为：)(,1008010022)1(81*2N x x x x x x y ∈++=+⨯-+=…………………………6分 （定义域没写扣1分）（2）该楼房每层的平均费用为：28010010080x x y x x x++==++ (8)分80100≥= ……………………………………………………10分当且仅当100x x=，即10=x 时，等号成立 ………………………………11分答：要使该楼房每层的平均费用最低应把楼房建成10层，此时平均费用为 每层100万元. ………………………………………………12分22、 解：（1）时，12a = …………………………………………………1分当2n ≥时，221(1)(1)n n S n nS n n -⎧=+⎪⎨=-+-⎪⎩⇒2n a n = …………………………3分当时，12a =满足上式，2n a n ∴=()n N *∈ …………………………4分（2）n b b n n =--1231223=-=-b b b b Λ两边累加，得：2)1(+=n n b n ……………………………………………………5分 )111(2)1(21+-⨯=+=∴n n n n b n …………………………………………………6分 12)111(2)1113121211(2+=+-⨯=+-++-+-⨯=∴n nn n n T n Λ ……………8分 (3)由(9)2n T n λ≤+，得：(9)1n n n λ≤++， 得19(1)(9)10n n n n nλ≥=++++ ………………………………9分 Θ6929=⋅≥+nn n n ，当且仅当3=n 时，等号成立 ………………… ………10分 ∴1611091≤++nn ，∴1091++n n 有最大值161………………………………11分∴161≥λ ……………………………………………………………………………12分。
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福建省福州市八县（市）一中2020-2021学年高二数学上学期期中联考试题考试时间：11月12日 完卷时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 某单位有业务员和管理人员构成的职工160人，现用分层抽样方法从中抽取一个容量为20的样本，若样本中管理人员有7人，则该单位的职工中业务员有多少人（ ） A. 32人 B. 56人 C. 104人 D. 112人2. 袋内装有8个红球、2个白球，从中任取2个，其中是互斥而不对立．．．．．．的两事件是（ ）A. 至少有一个白球；全部都是红球B. 至少有一个白球；至少有一个红球C. 恰有一个白球；恰有一个红球D. 恰有一个白球；全部都是红球3. 阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C 的中心为原点，焦点1F ,2F 在x 轴上，椭圆C 的面积为23π，且离心率为12，则C 的标准方程为（ ） A. 22143x y += B. 22112x y += C. 22134x y +=D.221163x y += 4. 在区间]21,21[-上任取一个数k ，使直线(3)y k x =+与圆221x y +=相交的概率为( ) A ．12 B ．2 C ．23D ．22 5. 永泰县全域旅游地图如图所示，它的外轮廓线是椭圆，根据 图中的数据可得该椭圆的离心率为( )A.25B.35C.235D.2556. 已知双曲线C ：22221y x a b-=(a ＞0，b ＞0)，斜率为1的直线l 与双曲线C 交于不同的,A B 两点，且线段AB 的中点为P (2,4)，则双曲线的渐近线方程为（ ）A.2y x =±B. 12y x =± C. 2y x =± D. 2y x =±7. 第七届世界军运会于2019年10月18日至27日在中国武汉举行.某电视台在19日至24日六天中共有7场直播（如下表所示），张三打算选取其中的三场观看.则观看的任意两场直播中间至少间隔一天（如第一场19日观看直播则20日不能观看直播）的概率是（ ） 日期 19日 20日21日22日23日 24日 时间全天全天 上午 下午 全天全天全天内容 飞行比赛 击剑 射击 游泳 篮球 定向越野 障碍跑A ．358 B ．356 C ．71 D ．354 8. 已知椭圆和双曲线有共同的焦点12,F F ，,P Q 分别是它们的在第一象限和第三象限的交点，且2=60QF P ∠︒，记椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e ，则221231e e +等于( )A ．4B ．2 3C ．2D ．3二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，漏选得3分，错选得0分.） 9.某校对甲、乙两个数学兴趣小组的同学进行了知识测试，现从两兴趣小组的成员中各随机选取15人的测试成绩（单位：分）用茎叶图表示，如图，根据以上茎叶图，对甲、乙两兴趣小组的测试成绩作比较，下列统计结论正确的有（ ）A.甲兴趣小组测试成绩的平均分高于乙兴趣小组测试成绩的平均分.B.甲兴趣小组测试成绩较乙兴趣小组测试成绩更分散．C.甲兴趣小组测试成绩的中位数大于乙兴趣小组测试成绩的中位数.D.甲兴趣小组测试成绩的众数小于乙兴趣小组测试成绩的众数. 10.下列说法中错误．．的是（ ） A.“8m =”是“椭圆2214x y m +=的离心率为22”的充要条件B.设,x y ∈R ，命题“若220x y +≠，则0xy ≠”是真命题；C.“42k -<<”是“方程2214+2x y k k+=-表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件D.命题“若3x =，则2430x x -+=”的否命题是真命题 11. 某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨）的几组对应数据如右表，现发现表中有个数据看不清，已知回归直线方程为ˆ 6.3 6.8yx =+,下列说法正确的是（ ）A. 看不清的数据★的值为34B. 回归直线ˆ 6.3 6.8yx =+必经过样本点（4，★） C.回归系数6.3的含义是产量每增加1吨，相应的生产能耗实际增加6.3吨 D.据此模型预测产量为7吨时，相应的生产能耗为50.9吨12. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0)的离心率为5，抛物线245y x =的准线过双曲线的左焦点，A ，B 分别是双曲线C 的左，右顶点，点P 是双曲线C 的右支上位于第一象限的动点，记PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则下列说法正确的是 （ ）A ．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2xB ．双曲线C 的方程为2214x y -= C ．1k 2k 为定值14D ．存在点P ，使得1k ＋2k ＝2 第Ⅱ卷三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.某印刷厂的工人师傅为了了解112个印张的质量，采用系统抽样的方法抽取若干个印张进行检查，为此先对112个印章进行编号为：01,02,03,,112，已知抽取的印张中最小的两个编号为05,13，则抽取的印张中最大的编号为_______．14. 已知命题“2,(1)10x R x a x ∃∈+-+≤”是真命题，则a 的取值范围为____________.15.如图所示，抛物线形拱桥的跨度是20米，拱高是4米，在建桥时，每隔4米需要用一支柱支撑，则其中最长的支柱的长度为____________米.16. 已知抛物线24y x =的焦点为F ，抛物线的准线与x 轴的交x 23 4 5 6y 19 25 ★ 38 44点为K ，点A （2,4），过点F 的动直线l 与抛物线交于,M N 不同的两点，点M 在y 轴上的射影为点B ，设直线KM KN ,的斜率分别为1k 和2k .则MA MB +的最小值为_____________，12k k +的值为_____________.（第一空3分，第二空2分）四、解答题（本大题6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）已知命题p ：对于任意x R ∈，不等式()244210x m x --+>恒成立．命题q ：实数m 满足的方程221(0)2m x m a ay a +=>--表示双曲线； （1）当2a =时，若“p 或q ”为真，求实数m 的取值范围.（2）若⌝p 是⌝q 的充分不必要条件，求a 的取值范围．18. （本小题满分12分） 已知双曲线C，点()在双曲线上，且抛物线22y px =（0p >）的焦点F 与双曲线的一个焦点重合. （1）求双曲线和抛物线的标准方程；（2）过焦点F 作一条直线l 交抛物线于A ，B 两点，当直线lAB 的长度.19．（本小题满分12分）小张准备在某县城开一家文具店，为经营需要，小张对该县城另一家文具店中的某种水笔在某周的周一至周五的销售量及单支售价进行了调查，单支售价x 元和销售量y 支之间的数据如下表所示：（1）根据表格中的数据，求出y 关于x 的回归直线方程；（2）请由（1）所得的回归直线方程预测销售量为18支时，单支售价应定为多少元？如果一支水笔的进价为0.56元，为达到日利润（日销售量×单支售价—日销售量×单支进价）最大，在（1）的前提下应该如何定价？（其中：回归直线方程a bx y+=ˆ,1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑，5167i ii x y==∑，52116.6i i x ==∑）20.（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)的左右焦点分别为12F F ,，焦距为2，且经过点Q 212-（，）.直线l 过右焦点且不平行于坐标轴，l 与椭圆C 有两个不同的交点A ，B ，线段AB 的中点为M .（1）点P 在椭圆C 上，求12PF PF ⋅的取值范围；（2）证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值；21．（本小题满分12分）为让学生适应新高考的赋分模式某校在一次校考中使用赋分制给高二年段学生的生物成绩进行赋分，具体方案如下：A 等级，排名等级占比7%，分数区间是83-100；B 等级，排名等级占比33%，分数区间是71-82；C 等级，排名等级占比40%，分数区间是59-70；D 等级，排名等级占比15%，分数区间是41-58；E 等级，排名等级占比5%，分数区间是30-40；现从全年段的生物成绩中随机抽取100名学生的原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布直方图如图所示： （1）求图中 a 的值；（2）以样本估计总体的办法，估计该校本次生物成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的C 等级及以上（含C 等级）？（3）若采用分层抽样的方法，从原始成绩在[40,50) 和[50,60)内的学生中共抽取5人，查看他们的答题情况来分析知识点上的缺漏，再从中选取 2 人进行调查分析，求这 2 人中至少一人原始成绩在[40,50)内的概率.22．（本小题满分12分）如图所示，已知圆16)1(:221=++y x F 上有一动点Q ，点2F 的坐标为)0,1(，四边形R F QF 21为平行四边形，线段R F 1的垂直平分线交R F 2于点P ，设点P 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）过点2F 的直线l 与曲线C 有两个不同的交点,A B ，问是否存在实数λ，使得2222AF BF AF BF λ+=⋅成立，若存在求出λ的值；若不存在，请说明理由.2020-2021学年第一学期八县（市）一中期中联考高二数学参考答案一、单项选择题（每小题5分，共40分）1-5：C D A D B 6-8:C B A 二、多项选择题（每小题5分，共20分）9.AC 10.ABD 11.AD 12.BCD 三、填空题（每小题5分，共20分）13、109 14、1][3,)-∞-⋃+∞（， 15、9625(可写成3.84) 16、1，0三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤） 17、解：（1）若命题p 为真命题，则216(2)160m ∆=--<，解得 13m <<…1分 当2a =时，命题q ：24m << ……………………………………………………2分 因为 p 或q 为真，所以p 真或q 真 …………………………………………………3分 所以：13m <<或24m <<得：14m << ………………………………………5分 （2）若命题q 为真命题，则2a m a <<……………………………………………6分 因为⌝p 是⌝q 的充分不必要条件，所以q 是p 的充分不必要条件………………7分 所以：123a a ≥⎧⎨≤⎩得：312a ≤≤ ………………………………………………………9分经检验符合，所以a 的取值范围为：3[1,]2………………………………………10分18、解：（1）设双曲线的方程为22221x y a b-=（0a >，0b >），由题设c a =1分所以b a =①，又点()在双曲线上，所以221211a b -=② ………………2分 由①②解得29a =，23b = …………………………………………………………3分故双曲线标准方程为22193x y -=；…………………………………………………4分设双曲线的焦距为2c ，因为22212c a b =+=，得c =，做题破万卷，下笔如有神所以抛物线焦点为()F，即2pp =⇒=………………………5分所以抛物线的标准方程为2y = ………………………………………………6分 （2）设直线y x =-交抛物线于()11,A x y ，()22,B x y ，联立2y x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得23360x -+= …………………………………8分则120043360∆=-⨯⨯>故12x x +=.由抛物线定义知12p AF x =+，22pBF x =+……………………………………10分所以12AB x x p =++=+=……………………………………12分 19、解：（1）因为1(1.4 1.6 1.82 2.2) 1.85x =++++=……………………………1分 1(1311763)85y =++++= …………………………………………………………2分所以51522215675 1.88==12.516.65 1.85i ii ii x y x yb xx ==--⨯⨯=--⨯-∑∑ …………………………………4分则8(12.5) 1.830.5a y bx =-=--⨯=………………………………………………5分所以，回归直线方程为ˆ12.530.5yx =-+ …………………………………………6分 （2）当18y =时，1812.530.5x =-+，得1x = …………………………………8分 假设日利润为)L x （，则：)(0.56)(30.512.5)L x x x =--（，0.56 2.44x <<…10分当=1.5x 元时，有max)L x （。