2016年全国高中数学联赛 山东省预赛试题及解析

2016年全国高中数学联赛

山东省预赛试题

一、填空题（本题共10小题，每小题8分，共80分）

1．方程6x x x =--的解为x =____________________________________________．

【解析】若6x ≥，解得6x =；若6x <，则方程化为26x x =-；

若36x ≤<，解得6x =，不合题意，舍去；若3x <，解得2x =；

综上知，此方程有两解2,6x =．

2．方程()()lg lg lg 10000x x =的整数解为x =____________________________________________．

【解析】记lg x y =，则方程化为lg 410y y =，两边取对数解得：lg 2y =±； 若()lg lg 2x =，则lg 100x =，故10010x =；

若()lg lg 2x =-，则1lg 100

x =，故110010x =，不是整数，舍去； 综上知，此方程的整数解只有一个10010x =．

3．若实数x 满足arcsin arccos x x >，则()f x =____________________________________________．

【解析】依题意知[]1,1x ∈-，若10x -≤<，则arcsin 0arccos x x <<，不合题意， 故01x ≤≤，此时arcsin x 从0增到2π，而arccos x 从2π减到0 ，故相等时4π是边界，

即解arcsin arccos x x >得：12

x <≤，

00≥≥，只有1x =满足，

因此()3f x =，从而()f x 的取值范围是{}3．

4．在()()211*n x n N ++∈的展开式中，x 的整数次幂项的系数和为______________________．

【解析】记()()()21211,1*n n P x Q x n N ++=+

=∈，

则P 和Q 中x 的整数次幂项的系数和相等，非整数次幂项的系数和是相反数，

令1x =得：2131n P Q ++=+，因此x 的整数次幂项的系数和为21312

n ++． 5．已知点P 是△ABC 的外心，且20,3

PA PB PC C λπ++== ，则λ=____________________________________________． 解析：由已知得222222cos 1PA PB PA PB PA PB C PC PC

λ+++=== ，∴1λ=±， 依题意知，1λ=-．

6．已知()1220,,,x x x 是()1,2,,20 的一个排列，且满足

()20

1620i i i x i x i =-++=∑， 则这样的排列有____________________________________________个． 【解析】依题意知：(){}2020201111

6202max ,4620i i i

i i i x i x i x i i ====-++=≤=∑∑∑， ∴()()()()1210111220,,,11,12,,20,,,,1,2,,10x x x x x x == ， 因此满足条件的排列数为()210!．

7．在四面体ABCD 中，面ABC 与面BCD 所成的二面角为60

顶点A 在面BCD 上的射影是△BCD 上的垂心H ，

△ABC 的重心是G ，若AH ＝4，AB ＝AC ，则GH ＝______________________．

【解析】取BC 中点F ，连结AF ，依题意得： 重心G 在AF 上，∠AFH ＝60°，

∴011sin 6023AH AF FH AF FG AF ======， 在△FGH 中运用余弦定理得：GH =

． 8．arcsin +++=____________________________________________． 【解析】记,arcsin ,arcsin αβγϕ====， 则,,,0,

4παβγϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭

，0αβγϕπ<+++<，且sin αβ==，

sin

γϕαβγϕ====== 由和角公式得：()()()sin

αβαβγϕ+=

+=+= ()()cos

γϕαβγϕ+=+++=，故4παβγϕ+++=． 9．已知,αβ满足32323540,3520αααβββ-+-=-+-=，则αβ+=______________________．

【解析】由已知得：()()()()33

12110,12110ααββ-+--=-+--=， ∴1,1αβ--是方程3210x x +-=的根，

记()321f x x x =+-，则()2'320f x x =+>，∴()f x 在R 上单调递增， 故方程3210x x +-=只有一个根，从而11αβ-=-，∴2αβ+=．

10．已知a b ≠，使2

ab a b

+为素数的正整数对(),a b =____________________________________________． 【解析】令()()(),,,,,1,,,*d a b a du b dv u v d u v N ====∈， 记2ab p a b

=+，则()22d uv p u v =+， 由于()()(),,,1u v u u v v u v +=+==，故2

uv p ， 又p 是素数，故1111u u p u v v v p ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩

或或， 若11

u v =⎧⎨=⎩，则22d p =，∴2p =，∴2a b ==，不合题意，舍去； 若1u p v =⎧⎨=⎩，则()()111d d p -+=⨯，∴111d d p -=⎧⎨+=⎩，∴23d p =⎧⎨=⎩

，∴62a b =⎧⎨=⎩； 若1u v p

=⎧⎨=⎩，则21d p p =+，分1d =和2d ≥，易知此等式无正整数解； 综上，()(),6,2a b =．

二、解答题（本大题共4个小题，前两个小题每题满分15分，后两个小题每题满分20分， 共70分，需写出详细的解答过程）

11．已知过椭圆22

22:1x y E a b

+=的左焦点(),0F c -的直线l 与此椭圆交于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线交此椭圆于C 、D 两点，若AC ⊥AD ，试求直线l 的方程．