2016年全国高中数学联赛山东省预赛试题及解析

合集下载

2016年高考理科数学山东卷及答案解析

数学试卷第1页（共18页）数学试卷第2页（共18页）数学试卷第3页（共18页）绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）理科数学注意事项:1.本试卷共6页,23道试题,满分150分.考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上,在试卷上作答一律不得分.3.答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号,并将核对后的条形码贴在指定位置上.一、填空题（本大题共有14题,满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内,直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分. 1.设x ∈R ,则不等式|3|1x -<的解集为 .2.设32i iz +=,其中i 为虚数单位,则Imz= .3.已知平行直线1l :210x y +-=,2l :210x y ++=,则1l 与2l 的距离是 .4.某次体检,6位同学的身高（单位:米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77,则这组数据的中位数是（米）.5.已知点(3,9)在函数()1x f x a =+的图象上,则()f x 的反函数1()f x -= .6.如图,在正四棱柱1111ABCD A B C D -中,底面ABCD 的边长为3,1BD 与底面所成的角的大小为2arctan 3,则该正四棱柱的高等于 .7.方程3sin 1cos2x x =+在区间[]0,2π上的解为 .8.在2)n x的二项展开式中,所有项的二项式系数之和为256,则常数项等于 .9.已知ABC △的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于 .10.设0a >,0b >.若关于x ,y 的方程组1,1,ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解,则a b +的取值范围是 .11.无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成,n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意的*n ∈N ,{23}n S ∈，,则k 的最大值为 .12.在平面直角坐标系中,已知(1,0)A ,(0,1)B -,P是曲线y =上一个动点,则·BP BA 的取值范围是 .13.设,a b R ∈,[)0,2c π∈,若对任意实数x 都有2sin(3)sin()3x a bx c π-=+,则满足条件的有序实数组(,,)a b c 的组数为 .14.如图,在平面直角坐标系xOy 中,O 为正八边形128A A A 的中心,1(1,0)A .任取不同的两点i A ,j A ,点P 满足i j OP OA OA ++=0,则点P 落在第一象限的概率是 .二、选择题（本大题共4题,满分20分）每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分. 15.设a ∈R ,则“1a >”是“21a >”的( )A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充要条件D .既非充分也非必要条件16.下列极坐标方程中,对应的曲线为如图所示的是( )A .65cos ρθ=+B .65sin ρθ=+C .65cos ρθ=-D .65sin ρθ=-17.已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ,前n 项和为n S ,且lim n n S S →∞=.下列条件中,使得2()n S S n N *<∈恒成立的是( )A .10a >,0.60.7q <<B .10a <,0.70.6q -<<-C .10a >,0.70.8q <<D .10a <,0.80.7q -<<-18.设)(f x ,()g x ,()h x 是定义域为R 的三个函数.对于命题:①若)(()x f g x +,)()(x f h x +,)()(x g h x +均是增函数,则)(f x ,()g x ,()h x 中至少有一个增函数;②若(())x f g x +,)(()f x h x +,)()(x g h x +均是以T 为周期的函数,则)(f x ,()g x ,()h x 均是以T 为周期的函数,下列判断正确的是( )A .①和②均为真命题B .①和②均为假命题C .①为真命题,②为假命题D .①为假命题,②为真命题三、解答题（本大题共5题,满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（本小题满分12分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分.将边长为1的正方形11AAO O （及其内部）绕1OO 旋转一周形成圆柱,如图,AC 长为23π,11A B 长为3π,其中1B 与C 在平面11AAO O 的同侧.（Ⅰ）求三棱锥111C O A B -的体积;（Ⅱ）求异面直线1B C 与1AA 所成的角的大小.姓名________________ 准考证号_____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷第4页（共18页）数学试卷第5页（共18页）数学试卷第6页（共18页）20.（本小题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.有一块正方形菜地EFGH ,EH 所在直线是一条小河.收获的蔬菜可送到F 点或河边运走.于是,菜地分为两个区域1S 和2S ,其中1S 中的蔬菜运到河边较近,2S 中的蔬菜运到F 点较近,而菜地内1S 和2S 的分界线C 上的点到河边与到F 点的距离相等.现建立平面直角坐标系,其中原点O 为EF 的中点,点F 的坐标为(1,0),如图.（Ⅰ）求菜地内的分界线C 的方程;（Ⅱ）菜农从蔬菜运量估计出1S 面积是2S 面积的两倍,由此得到1S 面积的“经验值”为83.设M 是C 上纵坐标为1的点,请计算以EH 为一边、另有一边过点M 的矩形的面积,及五边形EOMGH 的面积,并判断哪一个更接近于1S 面积的“经验值”.21.（本小题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.双曲线2221(0)y x b b-=＞的左、右焦点分别为1F ,2F ,直线l 过2F 且与双曲线交于A ,B两点.（Ⅰ）若l 的倾斜角为2π,1F AB △是等边三角形,求双曲线的渐近线方程;（Ⅱ）设b =.若l 的斜率存在,且11()0F A F B AB +=,求l 的斜率.22.（本小题满分16分）本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.已知a R ∈,函数21()log ()f x a x=+.（Ⅰ）当5a =时,解不等式()0f x >;（Ⅱ）若关于x 的方程2()log [(4)25]0f x a x a --+-=的解集中恰有一个元素,求a 的取值范围;（Ⅲ）设0a >,若对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差不超过1,求a 的取值范围.23.（本小题满分18分）本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.若无穷数列{}n a 满足:只要*(,)p q a a p q N =∈,必有11p q a a ++=,则称{}n a 具有性质P . （Ⅰ）若{}n a 具有性质P ,且11a =,22a =,43a =,52a =,67821a a a ++=,求3a ; （Ⅱ）若无穷数列{}n b 是等差数列,无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列,151b c ==,5181b c ==,n n n a b c =+判断{}n a 是否具有性质P ,并说明理由;（Ⅲ）设{}n b 是无穷数列,已知1sin ()n n n a b a n +=+∈*N .求证:“对任意1a ,{}n a 都具有性质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”.2016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学答案解析(0,A B=+∞【提示】求解指数函数的值域化简案．【答案】B【解析】()n tm n⊥+，()0n tm n∴+=，2||||cos,||0t m n m n n∴<>+=，4||3||m n=，1cos,3m n<>=，21||||||043t n n n∴+=，104∴+=，4t∴=-．【提示】若(π)n t n⊥+，则(π)0n t n+=，进而可得实数【考点】平面向量数量积的运算【解析】输入的数学试卷第7页（共18页）数学试卷第8页（共18页）数学试卷第9页（共18页）数学试卷第10页（共18页）数学试卷第11页（共18页）数学试卷第12页（共18页）22232b c a =，即为a2b24,x mx m x m-+>⎩x m >时，程(f 3m >（Ⅱ）2a b +=22)b a =+号，231122c ab -≥G 、H 为GQ EF ∴∥又EF BO ∥GQ BO ∥且平面GQH GH ⊂面GH ∴∥平面数学试卷第13页（共18页）数学试卷第15页（共18页）（Ⅱ）AB BC =AC ⊥，又OO '⊥面为原点，OA 为x 轴，建立空间直角坐标系，则(23,0,0)C -，(0,23,0)B 3,0)，(23,3,FC =---(23,2CB =，由题意可知面的法向量为(0,0,OO '=，设(,,n x y z FCB 的法向量，00n FC n CB ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即，取0x 则1,2,n ⎛=-- ⎝7,7||||OO n OO n OO n ''<>==-'二面角--F BC A 的平面角是锐角，的余弦值为77n n a b =+1n n a b -∴=11a b =+1112b =+14b ∴=，4n b ∴=+1)2n ， 126[2232(1)2]n n ++++…①，2316[22322(1)2]n n n n ++++++…②，②可得：231112222(1)2]1)2)232n n n n n n n +++++++-+=-…，232n n +．【提示】（Ⅰ）求出数列{}a 的通项公式，再求数列（Ⅱ）求出数列{c 22112233232211443433C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝队”两轮得分之和为X 可能为2232113⎛⎫-= ⎪⎝⎭22332322101111443433144⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+--=⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎥⎦3232323232323232111111114343434343434343144⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+--+--+--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭3232114343144⎛⎫⎛⎫--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23322236011443334144⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎥⎦222363144⎛⎫= ⎪⎝⎭，的分布列如下图所示：x 1)2x数学试卷第16页（共18页）数学试卷第17页（共18页）数学试卷第18页（共18页）1a =21)1x x+-++--()F x f =0001122y FG x x =⎛⎫+= ⎪⎝⎭30000000022004441111424148x y x x x y PM x y x x +-⎛⎫-=+= ⎪++⎝⎭22022)(41)1)x x x ++，令11)x +21111140001212FG x x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=00414x y x x -+，整理可得t 的二次方程，进而得到最大值及此时。

2017年全国高中数学联赛山东赛区预赛试题详解

B
2 3 ，∴ S2 7 4 3 ． 2

（4）设 n abc 是一个三位数，其中以 a, b, c 为边可构成一个等腰三角形，则这样的三位数有
_______________________________________________
个．
解析：当 a b c 时，有 9 种情形；不是等边的等腰三角形情形，不妨设 a b ，当 a b 5 时， c 有 8 种情形，共有 40 种情形；当 a b 4 时， c 有 6 种情形；当 a b 3 时， c 有 4 种情形；当 a b 2 时， c 有 2 种情形；综上，共有 40 6 4 2 3 9 165 种情形．（5）已知非负实数 a, b, c 满足 a b c 8, ab bc ca 16 ，若 m min ab, bc, ca ，则 m 的最大值是
i 1 i 1
2n 1
n
（3）在棱长为 1 的正方体 C 内，作一个内切大球 O1 ，再作一个小球 O2 ，使它与球 O1 外切，且与正方体的三个面相切，则球 O2 的表面积为解析：作对角截面图得到矩形 BB1D1D ，依题意知 O1 、 O2 都在线段 BD1 上，且 O1 是 BD1 的中点，设球 O1 、 O2 的半径分别为 r1 , r2 ，则 r1 ．
A I
1 SA B C ， 3 111
B B1
C C1
1 1 1 SA1B1C1 , SIBC SA1B1C1 , SICA SA1B1C1 ， 36 60 45 1 1 1 : : 3: 4 : 5 ， 60 45 36
∴ a : b : c SIBC : SICA : SIAB ∴ a 2 b2 c 2 ，∴ C

2016年高考山东理科数学试题及答案(word解析版)

2016年普通高等学校招生全国统一考试〔##卷〕数学〔理科〕第Ⅰ卷〔共50分〕一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．〔1〕[2016年##,理1,5分]若复数z 满足232i z z +=-,其中i 为虚数为单位,则z =〔〕〔A 〕12i +〔B 〕12i -〔C 〕12i -+〔D 〕12i -- [答案]B[解析]设(),,z a bi a b R =+∈,则2()i 23i 32i z z z z z a b a a b +=++=++=+=-,所以1,2a b ==-,故选B ． [点评]本题考查复数的代数形式混合运算,考查计算能力．〔2〕[2016年##,理2,5分]已知集合{}{}22,,10x A y y x R B x x ==∈=-<,则AB =〔〕〔A 〕()1,1-〔B 〕()0,1〔C 〕()1,-+∞〔D 〕()0,+∞ [答案]C[解析]由题意()0,A =+∞,()1,1B =-,所以()1,AB =-+∞,故选C ．[点评]本题考查并集与其运算,考查了指数函数的值域,考查一元二次不等式的解法,是基础题．〔3〕[2016年##,理3,5分]某高校调查了200名学生每周的自习时间〔单位：小时〕,制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的X 围是[]17.5,30,样本数据分组为[)17.5,20,[)20,22.5,[)22.5,25,[)25,27.5,[]27.5,30．根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是〔〕〔A 〕56〔B 〕60〔C 〕120〔D 〕140 [答案]D[解析]由图可知组距为2.5,每周的自习时间少于22.5小时的频率为(0.020.1) 2.50.30+⨯=, 所以,每周自习时间不少于22.5小时的人数是()20010.30140⨯-=人,故选D ． [点评]本题考查的知识点是频率分布直方图,难度不大,属于基础题目．〔4〕[2016年##,理4,5分]若变量x ,y 满足22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩,则22x y +的最大值是〔〕〔A 〕4〔B 〕9〔C 〕10〔D 〕12 [答案]C[解析]由22x y +是点(),x y 到原点距离的平方,故只需求出三直线的交点()()()0,2,0,3,3,1--,所以()3,1-是最优解,22x y +的最大值是10,故选C ．[点评]本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法,是中档题．〔5〕[2016年##,理5,5分]有一个半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如右图所示,则该几何体的体积为〔〕〔A 〕1233+π〔B 〕1233+π〔C 〕1236+π〔D 〕216+π[答案]C[解析]由三视图可知,半球的体积为26π,四棱锥的体积为13,所以该几何体的体积为1236+π,故选C ．[点评]本题考查的知识点是由三视图,求体积和表面积,根据已知的三视图,判断几何体的形状是解答的关键．〔6〕[2016年##,理6,5分]已知直线,a b 分别在两个不同的平面α,β内,则"直线a 和直线b 相交〞是"平面α和平面β相交〞的〔〕〔A 〕充分不必要条件〔B 〕必要不充分条件〔C 〕充要条件〔D 〕既不充分也不必要条件 [答案]A[解析]由直线a 和直线b 相交,可知平面αβ、有公共点,所以平面α和平面β相交．又如果平面α和平面β相交,直线a 和直线b 不一定相交,故选A ．[点评]本题考查的知识点是充要条件,空间直线与平面的位置关系,难度不大,属于基础题．〔7〕[2016年##,理7,5分]函数()()()3sin cos 3cos sin f x x xx x =+-的最小正周期是〔〕〔A 〕2π〔B 〕π〔C 〕32π〔D 〕2π[答案]B[解析]由()2sin cos 3cos 22sin 23f x x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,所以,最小正周期是π,故选B ．[点评]本题考查的知识点是和差角与二倍角公式,三角函数的周期,难度中档．〔8〕[2016年##,理8,5分]已知非零向量,m n 满足143,cos ,3m n m n =<>=,若()n tm n ⊥+则实数t 的值为〔〕〔A 〕4〔B 〕4-〔C 〕94〔D 〕94-[答案]B[解析]因为21cos ,4nm m n m n n =⋅<>=,由()n tm n ⊥+,有()20n tm n tmn n +=+=,即2104t n ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,4t =-,故选B ．[点评]本题考查的知识点是平面向量数量积的运算,向量垂直的充要条件,难度不大,属于基础题．〔9〕[2016年##,理9,5分]已知函数()f x 的定义域为R ,当0x <时,3()1f x x =-；当11x -≤≤时,()()f x f x -=-；当12x >时,1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则()6f =〔〕〔A 〕2-〔B 〕1-〔C 〕0〔D 〕2 [答案]D[解析]由1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,知当12x >时,()f x 的周期为1,所以()()61f f =．又当11x -≤≤时,()()f x f x -=-,所以()()11f f =--．于是()()()()3611112f f f ⎡⎤==--=---=⎣⎦,故选D ．[点评]本题考查函数值的计算,考查函数的周期性,考查学生的计算能力,属于中档题．〔10〕[2016年##,理10,5分]若函数()y f x =的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称()y f x =具有T 性质．下列函数具有T 性质的是〔〕〔A 〕sin y x =〔B 〕ln y x =〔C 〕x y e =〔D 〕3y x = [答案]A[解析]因为函数ln y x =,x y e =的图象上任何一点的切线的斜率都是正数；函数3y x =的图象上任何一点的切线的斜率都是非负数．都不可能在这两点处的切线互相垂直,即不具有T 性质,故选A ．[点评]本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程,转化思想,难度中档．第II 卷〔共100分〕二、填空题：本大题共5小题,每小题5分〔11〕[2016年##,理11,5分]执行右边的程序框图,若输入的的值分别为0和9,则输出i 的值为． [答案]3[解析]i 1=时,执行循环体后1,8a b ==,a b >不成立；i 2=时,执行循环体后3,6a b ==,a b >不成立；i 3=时,执行循环体后6,3a b ==,a b >成立；所以i 3=,故填 3.[点评]本题考查的知识点是程序框图,当循环次数不多,或有规律可循时,可采用模拟程序法进行解答．〔12〕[2016年##,理12,5分]若521ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中5x 的系数是80-,则实数a =．[答案]2-[解析]由()23222355551C C 80ax a x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭,得2a =-,所以应填2-．[点评]考查了利用二项式定理的性质求二项式展开式的系数,属常规题型．〔13〕[2016年##,理13,5分]已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>,若矩形ABCD 的四个顶点在E 上,,AB CD 的中点为E 的两个焦点,且23AB BC =,则E 的离心率为．[答案]2[解析]由题意BC 2c =,所以2AB 3BC =,于是点3,2c c ⎛⎫⎪⎝⎭在双曲线E 上,代入方程,得2222914c c a b -=,在由222a b c +=得E 的离心率为2ce a==．[点评]本题考查双曲线的离心率的求法,注意运用方程的思想,正确设出A B C D ，，，的坐标是解题的关键,考查运算能力,属于中档题．〔14〕[2016年##,理14,5分]在[]1,1-上随机的取一个数k ,则事件"直线y kx =与圆()2259x y -+=相交〞发生的概率为． [答案]34[解析]首先k 的取值空间的长度为2,由直线y kx =与圆22(5)9x y -+=相交,得事件发生时k 的取值空间为33,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,其长度为32,所以所求概率为33224=． [点评]本题主要考查了几何概型的概率,以与直线与圆相交的性质,解题的关键弄清概率类型,同时考查了计算能力,属于基础题．〔15〕[2016年##,理15,5分]在已知函数()2,24,x x mf x x mx m x m⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩,其中0m >,若存在实数b ,使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根,则m 的取值X 围是．[答案]()3,+∞[解析]因为()224g x x mx m =-+的对称轴为x m =,所以x m >时()224f x x mx m =-+单调递增,只要b 大于()224g x x mx m =-+的最小值24m m -时,关于x 的方程()f x b =在x m >时有一根；又()h x x =在x m ≤,0m >时,存在实数b ,使方程()f x b =在x m ≤时有两个根,只需0b m <≤；故只需24m m m -<即可,解之,注意0m >,得3m >,故填()3+∞，． [点评]本题考查根的存在性与根的个数判断,数形结合思想的运用是关键,分析得到24m m m -<是难点,属于中档题．三、解答题：本大题共6题,共75分．〔16〕[2016年##,理16,12分]在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为a,b,c ,已知()tan tan 2tan tan cos cos A BA B B A+=+．〔1〕证明：2a b c +=；〔2〕求cos C 的最小值．解：〔1〕由()tan tan 2tan tan cos cos A B A B B A +=+得sin sin sin 2cos cos cos cos cos cos C A BA B A B A B⨯=+,2sin sin sin C B C =+, 由正弦定理,得2a b c +=．〔2〕由()222222cos 22a b ab ca b c C ab ab +--+-==222333111122222c c ab a b =-≥-=-=+⎛⎫⎪⎝⎭．所以cos C 的最小值为12． [点评]考查切化弦公式,两角和的正弦公式,三角形的内角和为π,以与三角函数的诱导公式,正余弦定理,不等式222a b ab +≥的应用,不等式的性质．〔17〕[2016年##,理17,12分]在如图所示的圆台中,AC 是下底面圆O 的直径,EF 是上底面圆O '的直径,FB 是圆台的一条母线．〔1〕已知,G H 分别为,EC FB 的中点,求证：//GH 平面ABC ；〔2〕已知123,2EF FB AC AB BC ====,求二面角F BC A --的余弦值．解：〔1〕连结FC ,取FC 的中点M ,连结,GM HM ,因为//GM EF ,EF 在上底面内,GM 不在上底面内,所以//GM 上底面,所以//GM 平面ABC ；又因为//MH BC ,BC ⊂平面ABC ,MH ⊄平面ABC ,所以//MH 平面ABC ；所以平面//GHM 平面ABC ,由GH ⊂平面GHM ,所以//GH 平面ABC ．〔2〕连结OB ,AB BC =OA OB ∴⊥,以为O 原点,分别以,,OA OB OO '为,,x y z 轴,建立空间直角坐标系．123,2EF FB AC AB BC ====,22()3OO BF BO FO '=--=,于是有()23,0,0A ,()23,0,0C -,()0,23,0B ,()0,3,3F ,可得平面FBC 中的向量()0,3,3BF =-, ()23,23,0CB =,于是得平面FBC 的一个法向量为()13,3,1n =-,又平面ABC 的一个法向量为()20,0,1n =,设二面角F BC A --为θ, 则121217cos 77n n n n θ⋅===⋅．二面角F BC A --的余弦值为77． [点评]本题考查线面平行的证明,考查二面角的余弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用．〔18〕[2016年##,理18,12分]已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+,{}n b 是等差数列,且1n n n a b b +=+．〔1〕求数列{}n b 的通项公式；〔2〕令1(1)(2)n n n nn a c b ++=+．求数列{}n c 的前n 项和n T ．解：〔1〕因为数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+,所以111a =,当2n ≥时,221383(1)8(1)65n n n a S S n n n n n -=-=+----=+,又65n a n =+对1n =也成立,所以65n a n =+．又因为{}n b 是等差数列,设公差为d ,则12n n n n a b b b d +=+=+．当1n =时,1211b d =-；当2n =时,2217b d =-,解得3d =,所以数列{}n b 的通项公式为312n n a db n -==+．〔2〕由111(1)(66)(33)2(2)(33)n n n n n n nn a n c n b n +++++===+⋅++,于是23416292122(33)2n n T n +=⋅+⋅+⋅+++⋅,两边同乘以２,得341226292(3)2(33)2n n n T n n ++=⋅+⋅++⋅++⋅,两式相减,得2221232(12)(33)232n n n n T n n ++=-+⋅-++⋅=⋅．[点评]本题考查数列的通项与求和,着重考查等差数列的通项与错位相减法的运用,考查分析与运算能力,属于中档题．〔19〕[2016年##,理19,12分]甲、乙两人组成"星队〞参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,在一轮活动中,如果两人都猜对,则"星队〞得3分；如果只有一人猜对,则"星队〞得1分；如果两人都没猜对,则"星队〞得0分．已知甲每轮猜对的概率是34,乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响,各轮结果也互不影响．假设"星队〞参加两轮活动,求：〔1〕"星队〞至少猜对3个成语的概率；〔2〕"星队〞两轮得分之和X 的分布列和数学期望EX ．解：〔1〕"至少猜对3个成语〞包括"恰好猜对3个成语〞和"猜对4个成语〞．设"至少猜对3个成语〞为事件A ；"恰好猜对3个成语〞和"猜对4个成语〞分别为事件C B ,,则1122332131225()4433443312P B C C =⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=；33221()44334P C =⋅⋅⋅=．所以512()()()1243P A P B P C =+=+=．〔2〕"星队〞两轮得分之和X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,6,于是11111(0)4343144P X ==⋅⋅⋅=；112212*********(1)4343434314472P X C C ==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅==；1211223311132125(2)443344334433144P X C ==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=；123211121(3)434314412P X C ==⋅⋅⋅==； 12321231605(4)()43434314412P X C ==⋅⋅⋅+⋅==；3232361(6)43431444P X ==⋅⋅⋅==； XX 的数学期望01234614472144121241446EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==． [点评]本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望,属中档题．〔20〕[2016年##,理20,13分]已知221()(ln ),x f x a x x a R x-=-+∈．〔1〕讨论()f x 的单调性；〔2〕当1a =时,证明3()()2f x f x '>+对于任意的[1,2]x ∈成立．解：〔1〕求导数3122()(1)x f x a x x'=－－－23(1)(2x ax x =－－),当0a ≤时,x ∈(0,1),()0f x '>,()f x 单调递增,x +∞∈(1,),()0f x '<,()f x 单调递减当0a >时,()()()233112()a x x x x ax f x x x⎛--+ --⎝⎭⎝⎭'== ①当02a<<时,1,x ∈(0,1)或x ⎫+∞⎪⎪⎭∈,()0f x '>,()f x 单调递增,x ⎛ ⎝∈,()0f x '<,、()f x 单调递减；②当a =２时1,x ∈+∞(0,),()0f x '≥,()f x 单调递增, ③当a >２时,01<,x ⎛∈ ⎝或()x ∈+∞1,,()0f x '>,()f x 单调递增,x ⎫∈⎪⎪⎭1,()0f x '<, ()f x 单调递减．〔2〕当1a =时,221()ln x f x x x x=+－－,2323(1)(212()1x x f x x x x x '==+－－)2－－, 于是2232112()()ln 1)x f x f x x x x x x x '=++－2－－－(－－23312ln 1x x x x x =--++-,[1,2]x ∈令()g ln x x x =-,2332h()x x x x=-++-11,[1,2]x ∈,于是()()g(()f x f x x h x '-=+）, 1g ()10x x x x-'=-=≥1,()g x 的最小值为()11g =；又22344326326()x x h x x x x x --+'=--+=, 设()2326x x x θ=--+,[1,2]x ∈,因为()11θ=,()210θ=-,所以必有0[1,2]x ∈,使得()00x θ=,且01x x <<时,()0x θ>,()h x 单调递增；02x x <<时,()0x θ<,()h x 单调递减；又()11h =,()122h =, 所以()h x 的最小值为()122h =．所以13()()g(()g(1(2)122f x f x x h x h '=+>+=+=））－．即3()()2f x f x '>+对于任意的[1,2]x ∈成立． [点评]本题考查利用导数加以函数的单调性,考查了利用导数求函数的最值,考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法,是压轴题．〔21〕[2016年##,理21,14分]平面直角坐标系xOy 中,椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率是,抛物线2:2E x y =的焦点F 是C 的一个顶点．〔1〕求椭圆C 的方程；〔2〕设P 是E 上的动点,且位于第一象限,E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点,A B ,线段AB 的中点为D ,直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M ．〔i 〕求证：点M 在定直线上；〔ii 〕直线l 与y 轴交于点G ,记PFG ∆的面积为1S ,PDM ∆的面积为2S ,求12SS 的最大值与取得最大值时点P 的坐标．解：〔1,有224a b =,又抛物线22x y =的焦点坐标为10,2F ⎛⎫⎪⎝⎭,所以12b =,于是1a =,所以椭圆C 的方程为2241x y +=．〔2〕〔i 〕设P 点坐标为()2,02m P m m ⎛⎫> ⎪⎝⎭,由22x y =得y x '=,所以E 在点P 处的切线l 的斜率为m ,因此切线l 的方程为22m y mx =-,设()()1122,,,A x y B x y ,()00,D x y ,将22m y mx =-代入2241x y +=,得()223214410m x m x m +-+-=．于是3122414m x x m +=+,312022214x x m x m +==+, 又()220022214m m y mx m -=-=+,于是直线OD 的方程为14y x m =-．联立方程14y x m =-与x m =,得M 的坐标为1,4M m ⎛⎫- ⎪⎝⎭．所以点M 在定直线14y =-上．〔ii 〕在切线l 的方程为22m y mx =-中,令0x =,得22m y =-,即点G 的坐标为20,2m G ⎛⎫- ⎪⎝⎭,又2,2m P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭,10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以211(1)24m m S m GF +=⨯=；再由()32222,41241m m D m m ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭,得 ()()22232222112122441841m m m m m S m m +++=⨯⨯=++于是有()()()221222241121m m S S m ++=+．令221t m =+, 得()12221211122t t S S t t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭==+-,当112t =时,即2t =时,12S S 取得最大值94．此时212m =,m =所以P点的坐标为14P ⎫⎪⎪⎝⎭．所以12S S 的最大值为94,取得最大值时点P的坐标为14P ⎫⎪⎪⎝⎭． [点评]本题考查椭圆的方程的求法,注意运用椭圆的离心率和抛物线的焦点坐标,考查直线和抛物线斜的条件,以与直线方程的运用,考查三角形的面积的计算,以与化简整理的运算能力,属于难题．。

专题37不等式第六缉(解析版)-备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)

备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题37不等式第六缉1．【2017高中数学联赛B 卷（第02试）】设实数a 、b 、c 满足a +b +c =0.令，证明:d =max{|a |,|b |,|c |}.|(1+a)(1+b)(1+c)|⩾1‒d 2【答案】证明见解析【解析】当d ≥1时，不等式显然成立以下设0≤d <1.不妨设a 、b 不异号，即ab ≥0，那么有.(1+a)(1+b)=1+a +b +ab⩾1+a +b =1‒c⩾1‒d >0因此.|(1+a)(1+b)(1+c)|⩾|(1‒c)(1+c)|=1‒c 2=1‒|c |2⩾1‒d 22．【2017年天津预赛】如果整数,证明:.n ≥2(1+122)(1+132)⋯(1+1n 2)<2【答案】证明见解析【解析】解法一在熟知的不等式中,分别取,就得到原式左端1+x ≤e xx =122,132,⋯,1n 2≤e 12+132+⋯+1n 2.注意到,令从2到求和,即得1k 2<1k 2‒14=1k ‒12‒1k +12k n 122+132+⋯+1n2<(12‒12‒12+12)+(13‒12‒13+12)+⋯+(1n ‒12‒，1n +12)=23‒22n +1<23因此,待证式左端.<e 23注意,就得到.e <2.8<8e 23<2解法二我们对用数学归纳法证明加强的结论:，n ∏nk =2(1+1k 2)<2‒2n +1当时,,结论成立.n =21+122<2‒23假设当时结论成立,则我们有n =m (≥2)∏m +1k =2(1+1k 2)=∏m k =2(1+1k 2)⋅[1+1(m +1)2]<(2‒2m +1)⋅[1+1(m +1)2]=2‒2m +1+2(m +1)2‒2(m +1)3=2‒.2m +2‒2(m +1)3(m +2)<2‒2m +2可见当时结论也成立.n =m +1因此,加强后的不等式对任意成立.n ≥23．【2017年辽宁预赛】已知,问:当实数为何值时取得最大值.x +y =1x 、y (x 3+1)(y 3+1)【答案】.x =1±52,y=1∓52【解析】设u =(x 3+1)(y 3+1)=(xy )3+(x +y )[(x +y )2‒3xy ]+1,由已知可得，x +y =1u =(xy )3‒3xy +2令,则故t =xy t =xy =x (1‒x )=‒x 2+x ≤14,u =t 3‒3t +2,t ≤14.由于,则当时,;当时,.u '=3t 2‒3t <‒1u '>0‒1<t ≤14u '<0因此,在时取得最大值.即.u t =‒1xy =‒1,x +y =1解得.x =1±52,y=1∓524．【2017年山东预赛】实数,且,求的最小值.x ,y ∈(1,+∞)xy ‒2x ‒y +1=032x 2+y 2【答案】15【解析】因为,所以,代入得xy ‒2x ‒y +1=0y =1x ‒1+232x 2+y 2=32x 2+(1x ‒1+2)2,令则f (x )=32x2+(1x ‒1+2)2,f '(x )=3x +2(1x ‒1+2)[‒1(x ‒1)2]=3x ‒4x ‒2(x ‒1)3=3x (x ‒1)3‒(4x ‒2)(x ‒1)3=.3[(x ‒2)+2][(x ‒2)+1]3‒4(x ‒2)‒6(x ‒1)3=(x ‒2)(3x 3‒3x 2+3x ‒1)(x ‒1)3令,则,g(x)=3x 3‒3x 2+3x ‒1g '(x)=9x 2‒6x +3⩾0即在上单调递增,又,所以在上恒成立.y =g(x)(1,+∞)g(1)=6g(x)>0(1,+∞)所以在上单调递减,在上单调递增,y =f(x)(1,2)(2,+∞)所以[f(x)]min =f(2)=15.5．【2017年福建预赛】设是5个正实数(可以相等).证明:一定存在4个互不相同的下标a 1,a 2、a 3、a 4、a 5i ,使得.,j ,k ,l |a i a j‒a ka l|<12【答案】证明见解析【解析】不妨设,考虑以下5个分数:它们都属于区间.a 1≤a 2≤a 3≤a 4≤a 5a 1a 2,a 3a 4,a 1a 5,a 2a 3、a 4a 5.(0,1]把区间分成两个区间：和,由抽屉原理知,区间或中一定有一个区间至少包含(1)中的3(0,1](0,12](12,1](0,12](12,1]个数(记这3个数依次为.a ,b ,c )将①中的5个数依次围成一个圆圈,则(1)中任意三个数中都有两个数是相邻的(与是相邻的a 1a 2a 4a 5).即中至少有两个数是相邻的.a 、b 、c 假设与相邻,则.a b |a ‒b |<12另一方面,由①中5个分数的分子、分母的下标特征知,围成的圆圈中,任意相邻两个分数的分子、分母的4个下标互不相同.于是,对应的分数的分子、分母的4个下标符合要求.因此,结论成立.a ,b 6．【2017年四川预赛】设为实数,若对任意的实数,有恒成α,βx ,y ,z α(xy +yz +zx )≤M ≤β(x 2+y 2+z 2)立,其中M =x 2+xy +y 2⋅y 2+yz +z 2+y 2+yz +z 2⋅z 2+zx +x 2+z 2+zx +x 2⋅x 2+xy +y 2.求的最大值和的最小值.αβ【答案】的最大值是的最小值是3.α3,β【解析】取x=y=z=1，有，则.3α⩽9⩽3βα⩽3,β⩾3(1)解法一先证对任意的实数成立.M ≥3(xy +yz +zx )x 、y 、z 因为x 2+xy +y 2⋅y 2+yz +z 2=[(x +y2)2+34y 2]⋅[(z +y2)2+34y 2]⩾|(x +y 2)(z +y 2)|+34y 2 ⩾(x +y2)(z +y2)+34y 2，=xz +12xy +12yz +y 2所以M⩾∑(xz +12xy +12yz +y 2)=2(xy +yz +zx )+(x 2+y 2+z 2) ≥2(xy +yz +zx )+(xy +yz +zx )=3(xy +yz +zx )解法二注意到,则x 2+xy +y 2≥34(x +y )2M ≥34|x +y |⋅|y +z |+34|y +z |⋅|z +x |+34|z +x |⋅|x +y | ≥34(xy +yz +zx +y 2)+34(yz +zx +xy +z 2)+34(zx +xy +yz +x 2) =34(x 2+y 2+z 2)+94(xy +yz +zx ) ≥34(xy +yz +zx )+94(xy +yz +zx )=3(xy +yz +zx )(2)解法一再证对任意的实数成立.M ≤3(x 2+y 2+z 2)x ,y ,z 因为M ≤(x 2+xy +y 2)2+(y 2+yz +z 2)2+(z 2+zx +x 2)2=2(x 2+y 2+z 2)+(xy +yz +zx ) ≤3(x 2+y 2+z 2)解法二注意到,x 2+xy +y 2⋅y 2+yz +z 2≤(x 2+xy +y 2)+(y 2+yz +z 2)2故M ≤4(x 2+y 2+z 2)+2(xy +yz +zx )2≤4(x 2+y 2+z 2)+2(x 2+y 2+z 2)2.=3(x 2+y 2+z 2)结合(1)、(2)可知,的最大值是的最小值是3.α3,β7．【2017年陕西预赛】设为正实数,且满足求证:a 、b 、c (a +b )(b +c )(c +a )=1.a 21+bc+b 21+ca+c 21+ab≥12.【答案】略【解析】由柯西不等式,得a 21+bc+b 21+ca+c 21+ab≥(a +b +c )23+ab +bc +ca故只需证明： ①(a +b +c )23+ab +bc +ca≥12.先证明:.a +b +c ≥32事实上,由均值不等式及已知,得a +b +c =12[(a +b )+(b +c )+(c +a )]≥12⋅33(a +b )(b +c )(c +a )=32再证明.:ab +bc +ca ≤32事实上,由赫尔德不等式、均值不等式及已知,得(ab +bc +ca )3=(3ab ⋅b ⋅a +3b ⋅bc ⋅c +3a ⋅c ⋅ca )≤(ab +b +a )(b +bc +c )(a +c +ca )≤(a +b 2+a +b)(b +b +c 2+c )(c +a +c +a 2)=278(a +b )(b +c )(c +a )=278,所以.ab +bc +ca ≤32于是,,(a +b +c )23+ab +bc +ca≥(32)23+32=12即①式成立.故原不等式成立.8．【2017年安徽预赛】设,求的取值范围.x ,y ∈[0,1]f (x ,y )=1+xy1+x 2+1‒xy 1+y 2【答案】[1,2]【解析】当时,由于,因此x⩾y 1+xy 1+x 2,1‒xy 1+y 2∈[0,1]2≥f (x ,y )≥1+xy 1+x 2+1‒xy 1+y 2≥1+xy 1+x 2+1‒xy 1+x 2=21+x 2≥1.当时,显然有,且有,x ≤y f (x ,y )≥1+xy 1+x 2≥1x +x ‒1≥y +y ‒1由此，1≤f (x ,y )=1+y ‒xx +x ‒1+1‒x +yy +y ‒1≤1+y ‒xy +y ‒1+1‒y ‒xy +y ‒1≤2上述最后一个不等式利用了结论：当时,0≤t ≤11+t +1‒t ≤2.最后由可知的取值范围是.f (1,1)=1,f (0,0)=2f (x ,y )[1,2]9．【2017年江苏预赛】已知,且求的最小值.x ,y ∈R x 2+y 2=2,|x |≠|y |.1(x +y )2+1(x ‒y )2【答案】1【解析】因为,所以.x 2+y 2=2(x +y )2+(x ‒y )2=4所以=1.1(x +y)2+1(x ‒y)2=14[1(x +y)2+1(x ‒y)2][(x +y)2+(x ‒y)2]⩾14(1+1)2当时，.x =2,y =01(x +y)2+1(x ‒y)2=1所以的最小值为1.1(x +y)2+1(x ‒y)210．【2017年新疆预赛】已知正数满足.求证:对任意正整数,有.x 、y 、z x +y +z =1n x n +y n +z n≥13n ‒1【答案】证明见解析【解析】由维均值不等式,可得n ，x n +13n +⋯+13n ⏟n ‒1≥nnx n ⋅(13n)n ‒1=nx ⋅13n ‒1，y n+13n ⏟+⋯+13n≥n ny n⋅(13n)n ‒1=ny ⋅13n ‒1.z n +13n ⏟+⋯+13n≥n nz n ⋅(13n)n ‒1=nz ⋅13n ‒1三式相加得.x n +y n +z n+3(n ‒1)⋅13n ≥n (x +y +z )⋅13n ‒1=n3n ‒1.x n +y n +z n ≥13n ‒111．【2017年新疆预赛】(1)对于任意的,求证:.a ,b >01a +b ≤14(1a+1b )(2)设,且.求证:.x 1,x 2,x 3>01x1+1x 2+1x 3=1x 1+x 2+x 3x 1x3+x 3x 2+x 1+x 2+x 3x 1x 2+x 3x 1+x 1+x 2+x 3x 2x 1+x 3x 2≤32【答案】证明见解析【解析】(1)由于,根据均值不等式有a ,b >02ab ≤a 2+b 2⇒2≤a 2+b 2ab=ab +ba ⇒4≤ab +ba +2=a +b b+a +b a ⇒.1a +b≤14(1a +1b )(2)将原式变形,并运用(1)可得原式=x 1+x 2+x 3x 3(x 1+x 2)+x 1+x 2+x 3x 1(x 2+x 3)+x 1+x 2+x 3x 2(x 3+x 1)=(1x 3+1x1+x 2)+(1x 1+1x2+x 3)+(1x 2+1x3+x 1)=(1x 1+1x 2+1x 3)+(1x 1+x 2+1x 2+x 3+1x3+x 1)=1+(1x 1+x 2+1x2+x 3+1x3+x 1) ≤1+14(1x 1+1x 2+1x 2+1x 3+1x 3+1x 1).=1+12=3212．【2017年内蒙古预赛】已知：,均为正实数,求证:.a ,b ,c 2bc +ca +ab ≤33(b +c )(c +a )(a +b )【答案】证明见解析【解析】因为均为正实数,所以有，故a ,b ,c a +b ≥2ab ,b +c ≥2bc a +c ≥2ac .(b +c )(c +a )(a +b )≥.8abc 因此，9(b +c )(c +a )(a +b )≥8abc +8(b +c )(c +a )(a +b )所以8(a +b +c )(bc +ca +ab )≤9(b +c )(c +a )(a +b ).又因为,所以(a +b +c )2≥3(bc +ca +ab )64×3(bc +ca +ab )3≤81[(b +c )(c +a )(a +b )]2.故.2bc +ca +ab ≤3⋅3(b +c )(c +a )(a +b )13．【2016年陕西预赛】记“∑”表示轮换对称和.设a 、b 、c 为正实数，且满足abc =1.对任意整数n ≥2，证明： .∑a nb +c≥3n2【答案】见解析【解析】不妨设a ≤b ≤c .则.n b +c ≥n c +b ≥na +b ，anb +c≤bnc +a≤cna +b 由切比雪夫不等式得.∑a =∑(nb +c ·a nb +c)≤13(∑nb +c )(∑anb +c)又由幂平均不等式得.13∑nb +c ≤n13∑(b+c)=n23∑a 故∑a ≤n23∑a(∑a n b +c ) ⇒∑a n b +c≥∑a23∑a=n32(∑a)n ‒1由已知及均值不等式得.∑a ≥33abc =3故.∑a nb +c≥3n214．【2016年山东预赛】证明：.sin 1n +sin 2n >3n sin 1n (n ∈Z +)【答案】见解析【解析】原不等式等价于证明：.2sin 1n +tan 1n >3n (n ∈Z +)定义函数.f (x )=2sin x +tan x ‒3x (0≤x ≤1)只需证明.f (x )>0显然，，且f (0)=0f'(x )=2cos x +1cos 2x‒3.=2cos 3x ‒3cos 2x +1cos 2x定义函数，g (x )=2cos 3x ‒3cos 2x +1.g (0)=0则g'(x )=‒6cos 2x ⋅sin x +6cos x ⋅sin x =6cos x ⋅sin x (1‒cos x )>0.⇒g (x )>0于是，单调递增.f'(x )>0故，即所证不等式成立f (x )>015．【2016年安徽预赛】证明：对任意实数a 、b 、c ，均有a 2+ab +b 2+a 2+ac +c 2 ≥，并求等号成立的充分必要条件.3a 2+(a +b +c )2【答案】见解析【解析】设.α=(a +b 2,32b ),β=(a +c 2,32c )则，|α|+|β|=a 2+ab +b 2+a 2+ac +c 2|α+β|=(2a +b +c2)2+34(b +c )2=4a 2+2a (b +c )+(b +c )2.=3a 2+(a +b +c )2据三角不等式知，①|α|+|β|≥|α+β|即得所要证的不等式.式①等号成立的充分必要条件为平等且方向相同.α与β注意到，α∥β⇔(a +b 2)c =(a +c 2)b .⇔a (b ‒c )=0当时，式①等号成立.a =0⇔bc ≥0当时，式①等号恒成立.b =c 综上，式①等号成立的充分必要条件为.b =c 或a =0且bc ≥016．【2016年新疆预赛】已知,且为常数求的最小值.∑ni =1a i x i =p ,∑ni =1a i =q a i >0(i =1,2,…,n),p 、q ∑n i =1a i x 2i【答案】p 2q【解析】设为待定系数).则x i =λ+y i (λ, ①∑ni =1a i x 2i =∑ni =1a i (λ+y i )2 =λ2q +2λ∑n i =1a i y i +∑ni =1a i y 2i 而，∑n i =1a i x i =∑n i =1a i (λ+y i ) =λq +∑ni =1a i y i =p 于是取,则λ=pq ∑ni =1a i y i =0代入式①得n∑i =1a i x 2i =p 2q +n∑i =1a i y 2i ≥p 2q 当且仅当,即时,上式等号成立y 1=y 2=…=y n =0x 1=x 2=… =x n =λ=pq 故取得最小值.∑ni =1a i x 2i p2q 17．【2016年天津预赛】设,令，证明:对任何正整f (x )=xx +1a 1=12,a 2=34,a n +2=f (a n )+f (a n +1)(n =1,2,...)数n,有.①f(3×2n ‒1)≤a 2n ≤f(3×22n ‒2)【答案】见解析【解析】先用数学归纳法证明:对任何正整数n,有a n <a n +1当时,,命题成立.n =1a 1=12<34=a 2当时,,命题成立.n =2a 2=34<1621=a 3设 (整数k>1)时命题成立.n =1,2,…,k 则时,由归纳假设知，n =k +1a k ‒1<a k ,a k <a k +1由在区间内单调递增得：f (x )=xx +1=1‒1x +1[0,+∞) ,a n =a k +1=f (a k ‒1)+f (a k )<f (a k )+f (a k +1)=a k +2=a n +1即时命题成立.n =k +1由数学归纳法,对任何正整数n,有.a n <a n +1因此,对任何正整数n,有 .a n +2=f (a n )+f (a n +1)>2f (a n )接下来再用数学归纳法证明:对任何正整数n,有.a 2n ≥f (3×2n ‒1)当1时, ,命题成立.n =a 2=34=f (3)=f(3×20)设时命题成立.n =k 则时,注意到,.n =k +12f (f (x ))=2xx +1x x +1+1=2x2x +1=f (2x )18．【2016年山西预赛】已知在正整数n 的各位数字中，共含有个1，个2，⋯，个n ．证明：a 1a 2a n 2a 1×并确定使等号成立的条件．3a 2×⋯×10a 9≤n +1【答案】见解析【解析】对正整数n 的位数使用数学归纳法．当是一位数，即时，所证式显然成立，n 1≤n <10这是因为，此时的十进制表达式中只有一位数字，n n 即，其余，所以，左边==右边．a n =1a j =0(j ≠n )(n +1)1假设当正整数不超过k 位，即时，结论皆成立．n n <10k现考虑位数，即时的情形．n 为k +110k ≤n <10k +1设的首位数字为r ．则.①n n =r 10k +n 1(0≤n 1≤10k‒1)若，则在数的各位数字中，，其余.n 1=0n a r =1a j =0(j ≠r )显然，.(r +1)ar<n +1若，记的各位数字中含有个1，个2，…，个r ，…，个9．1≤n 1≤10k‒1n 1a 1a 2a r a 9则的各位数字中，含有个r 、个j .n a r +1a j (1≤j ≤9,j ≠r )注意到，正整数不超过k 位．n 1由归纳法假设，对有n 1 2a 1×3a 2×⋯×10a 9≤n +1⇒2a 1×3a 2×⋯×(r +1)a r +1×⋯×10a9≤(r +1)(n 1+1)=r (n 1+1)+n 1+1②≤r 10k +n 1+1=n +1.则当位数时，结论也成立．n 为k +1故由数学归纳法，知对一切正整数，结论皆成立．n 欲使等号成立，由证明过程，知要么为一位数；要么在的位数大于或等于2时，由式②，必须n n n 1+1=，此时，由式①得，10k n =r 10k +10k ‒1(1≤r ≤9)即可表示为的形式.n r 99⋯9⏟k 个(k ≥0,1≤r ≤9)上述条件也是充分的，当能够表成以上形式时，有，其余.n a r =1,a 9=k a j =0故2a 1×3a 2×⋯×(r +1)ar ×⋯×10a 9=(r +1)110k =n +1.19．【2016年全国】设实数满足.求a 1,a 2,⋯,a 20169a i >11a 2i +1(i =1,2,⋯,2015)(a 1‒a 22)(a 2‒a 23)⋯的最大值.(a 2015‒a 22016)(a 2016‒a 21)【答案】142016【解析】令.P =∏2016i =1(a i ‒a 2i +1),a 2017=a 1由已知得对，均有i =1,2,⋯,2015.a i ‒a 2i +1>119a 2i +1‒a 2i +1>0若，则.a 2016‒a 21≤0P ≤0以下考虑的情形.a 2016‒a 21>0由均值不等式得P12016≤12016∑2016i =1(a i ‒a 2i +1)=12016(∑2016i =1a i ‒∑2016i =1a 2i +1)=12016(∑2016i =1a i ‒∑2016i =1a 2i)=12016∑2016i =1a i(1‒a i ).≤12016∑2016i =1[a i +(1‒a i)2]2=12016×2016×14=14⇒P ≤142016当时，上述不等式等号成立，且有a 1=a 2=⋯=a 2016=12，此时，.9a i >11a 2i +1(i =1,2,⋯,2015)P =142016综上，所求最大值为.14201620．【2016年吉林预赛】一次竞赛共有n 道判断题，统计八名考生的答题后发现：对于任意两道题，恰有两名考生答“T ，T”；恰有两名考生答“F ，F”；恰有两名考生答“T ，F”；恰有两名考生答“F ，T”.求n 的最大值.【答案】7记“T”为1，“F”为0，从而，得到一个8行n 列的数表.显然，交换同一列的0和1，此表的性质不改变.因此，不妨设数表第一行全为0.设第i 行共有个0（i=1,2，…，8）.a i 则.a 1=n ，∑8i =2a i =4n ‒n =3n 下面考虑同一行中的“00”的对数，则.∑8i =1C 2a i=2C 2n⇒∑8i =2C 2a i=C 2n⇒∑8i =2C 2a i‒∑8i =2a i =n 2‒n 由柯西不等式，∑8i =1a 2i ≥17(∑8i =1a i )2知.17(∑8i =1a i)2‒∑8i =1a 2i ≤n 2‒n⇒17(3n )2‒3n ≤n 2‒n⇒n ≤7表1为n 取最大值的情形.表100000000111100011001100011111010101101101011001101111从而，n 的最大值为7.21．【2016年上海预赛】正实数x 、y 、z 满足，求的最大值。

2016年高考数学真题山东理科解析

c1 c2 c3 cn ，
3 [2 22 3 23 4 24 (n 1) 2n1 ] ，
2Tn 3 [2 23 3 24 4 25 (n 1) 2n2 ] ，
两式作差，得
Tn 3 [2 22 23 24 2n1 (n 1) 2n 2 ]
专注数学成就梦想

普通高等学校招生全国统一考试山东卷答案
理科数学
一、选择题 1. B. 解析设 z a bi,(a, b R) ，则 2z z z z(z )a b ia 2 所以 a 1, b 2 ，即 z 1 2i .故选 B.
专注数学成就梦想

行．故选 A.
2 2 7. B. 解析由 f ( x) 2sin x cos x 3 cos x sin x sin 2 x 3 cos 2 x

π 2sin 2x ，所以最小正周期是 π . 故选 B. 3
3a b i 3 2 i
，
（0，） ,B （ 1， 1）（ 1， +） 2. C. 解析由题意， A ，所以 A B = .故选 C.
3. D. 解析由图可知组距为 2.5 ，每周的自习时间少于 22.5 小时的频率为
(0.02 + 0.1) ×2.5 = 0.30 ，所以每周自习时间不少于 22.5 小时的人数是
由 f x

1 1 1 当 x 时， f ( x) 的周期为 1 ，所以 f (6) f (1) ． f x 知， 2 2 2
又当 1 x 1时， f ( x) f ( x) ，所以 f (1) f (1) ．于是 f (6) f (1) f (1) [(1)3 1] 2 ．故的公差为 d ，由

2016年高考理科数学山东卷(含答案解析)

数学试卷第1页（共18页）数学试卷第2页（共18页）数学试卷第3页（共18页）绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共6页，满分150分.考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷规定的位置上.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效.3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.4. 填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式：如果事件,A B 互斥，那么P (A+B )=P (A )+P (B )；如果事件,A B 独立，那么P (AB )=P (A )·P (B ).第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数z 满足其中i 为虚数单位，则z =（）A. 12i +B. 12i -C. 12i -+D. 12i --2. 设集合{}{}22,,10xA y y xB x x ==∈=-<R ，则AB =（）A. 1,1-（）B. 0,1（）C. 1,-+∞（）D. 0,+∞（）3. 某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5[,30]，样本数据分组为17.5[,20)，20,2[ 2.5)，22.5[,25)，25,2[7.5)，27.5[,30).根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）A. 56B. 60C. 120D. 1404. 若变量x ，y 满足+2,2-39,0,x y x y x ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥则22+x y 的最大值是（）A. 4B. 9C. 10D. 125. 一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.12+33π B.12+33π C.12+36π D. 216π+6. 已知直线a ，b 分别在两个不同的平面αβ,内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 函数()(3sin cos )(3cos sin )f x x x x x =+-的最小正周期是（）A.2πB. πC. 32πD. 2π8. 已知非零向量m ，n 满足4|m |=3|n |，cos <m ,n >=13，若n ⊥(t m+n )，则实数t 的值为（）A. 4B. 4-C.94 D. 94-9. 已知函数()f x 的定义域为R ．当0x <时，()1f x x -３＝；当x -1≤≤1时，()f x -=()f x -；当12x >时，11(+)()22f x f x -＝.则(6)f = （）A. 2-B. 1-C. 0D. 210. 若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（）A. y=sin xB. y=ln xC. x y=eD. 3y=x232i,z z +=--------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷第4页（共18页）数学试卷第5页（共18页）数学试卷第6页（共18页）第II 卷（共100分）二、选择题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 执行如图所示的程序框图，若输入的a b ，的值分别为0和9，则输出的i 的值为 .12. 若251)ax x+（的展开式中5x 的系数是80-，则实数a =________.13. 已知双曲线2222y 100E a b a bx =>>-：（，）.矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2||3||AB BC =，则E 的离心率是_______.14. 在[]1,1-上随机的取一个数k ，则事件“直线y kx =与圆22(5)9x y -+=相交”发生的概率为_______. 15. 已知函数2|| ()24 x x m x mx m x m f x ⎧⎨-+⎩=，≤，，＞，其中0m >.若存在实数b ，使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根，则m 的取值范围是_______. 三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16. （本小题满分12分）在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为a,b,c ，已知2(tanA+tanB)=tanA tanB+cosB cosA. (Ⅰ)证明：2a b c +=； (Ⅱ)求cos C 的最小值.17. （本小题满分12分）在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O '的直径，FB 是圆台的一条母线.(Ⅰ)已知G,H 分别为EC,FB 的中点.求证：GH ∥平面ABC ；(Ⅱ)已知1232EF =FB =AC =,AB =BC ，求二面角F -BC -A 的余弦值.18. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+. (Ⅰ)求数列{}n b 的通项公式；(Ⅱ)令1(1)(2)n n n nn a c b ++=+，求数列{}n c 的前n 项和n T .19. （本小题满分12分）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语.在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求：(Ⅰ)“星队”至少猜对3个成语的概率；(Ⅱ)“星队”两轮得分之和X 的分布列和数学期望EX .20. （本小题满分13分)已知221()(ln ),R x f x a x x a x -=-+∈. (Ⅰ)讨论()f x 的单调性； (Ⅱ)当1a =时，证明3()()2f x f x '>+对于任意的[]1,2x ∈成立.21. （本小题满分14分)平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率是32，抛物线2:2E x y =的焦点F 是C 的一个顶点.(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点,A B ，线段AB 的中点为D .直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M .（ⅰ）求证：点M 在定直线上；（ⅱ）直线l 与y 轴交于点G ,记PFG △的面积为1S ，PDM △的面积为2S ，求12S S 的最大值及取得最大值时点P 的坐标.2016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学答案解析(0,A B=+∞【提示】求解指数函数的值域化简案．【考点】并集及其运算【答案】D【答案】B【解析】()n tm n⊥+，()0n tm n∴+=，2||||cos,||0t m n m n n∴<>+=，4||3||m n=，1,3m n<>=，231||||||043t n n n∴+=，104t∴+=，4t∴=-．【提示】若(π)n t n⊥+，则(π)0n t n+=，进而可得实数t的值．【考点】平面向量数量积的运算【答案】D12x>时，1122f x f x⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11x-≤≤【解析】输入的数学试卷第7页（共18页）数学试卷第8页（共18页）数学试卷第9页（共18页）数学试卷第10页（共18页）数学试卷第11页（共18页）数学试卷第12页（共18页）22232b c a =，即为a．2b24,x mx m x m-+>⎩x m >时，程()f x b =m ∴的取值范围是【提示】作出函数（Ⅱ）2a b +=22)b a b =+0b >，∴由余弦定理231cos 122c ab -≥sin tan cos A A A =cos cos A B +G 、H 为GQ EF ∴∥又EF BO ∥GQ BO ∴∥且∴平面GQH GH ⊂面GQH GH ∴∥平面（Ⅱ）AB BC =数学试卷第13页（共18页）数学试卷第14页（共18页）数学试卷第15页（共18页），又OO '⊥面OA 为x 轴，建立空间直角坐标系，则(23,0,0)C -，(0,23,0)B 3,0)，(23,3,FC =---(23,23,0)CB =，由题意可知面的法向量为(0,0,3)OO '=，设000(,,)n x y z FCB 的法向量，则00n FC n CB ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即0=⎪⎩，取01x =，则1,2,n ⎛=-- ⎝7cos ,7||||OO n OO n OO n ''∴<>==-'二面角--F BC A 的平面角是锐角，二面角--F BC A 的余弦值为77n n a b =+1n n a b -∴=1n n a a -∴-11a b =+1112b =+14b ∴=，4n b ∴=+（Ⅱ）1)2nn C ，126[2232(1)2]n n T n ∴=++++…①，2316[22322(1)2]n n n n ++++++…②，②可得：231112222(1)2]2(12)6(1)212)232n n n n n n n n n ++++++++-+--+-=-…，232n n +．【提示】（Ⅰ）求出数列{}n a 的通项公式，再求数列（Ⅱ）求出数列{}n c 的通项，利用错位相减法求数列【考点】数列的求和，数列递推式【答案】（Ⅰ）“星队”至少猜对22112233232211443433C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝队”两轮得分之和为X 可能为22321143144⎫⎛⎫--=⎪ ⎪⎭⎝⎭，22332322101111443433144⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯--+--=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎥⎦323232323232323225111111114343434343434343144⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+--+--+--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭3232114343144⎛⎫⎛⎫--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭223322236011443334144⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎥⎦222363144⎛⎫= ⎪⎝⎭，的分布列如下图所示： 12346572 25144x 1)2x数学试卷第16页（共18页）数学试卷第17页（共18页）数学试卷第18页（共18页）1a =32ln x x =-()F x f =0001122y FG x x =⎛⎫+= ⎪⎝⎭30000000022004441111424148x y x x x y PM x y x x +-⎛⎫-=+= ⎪++⎝⎭220220)(41)(21)x x x ++，令12x +22221(122)(1)(21)2122t t t t t t t t t -⎫++-⎪+-+-⎭===0001212FG x x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=00414x y x x -+，整理可得t 的二次方程，进而得到最大值及此时【考点】椭圆的简单性质。

2016年高考山东理科数学试题及答案(word解析版)

2016年普通高等学校招生全国统一考试〔山东卷〕数学〔理科〕第Ⅰ卷〔共50分〕一、选择题：本大题共10小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．〔1〕【2016年山东，理1，5分】假设复数z 满足232i z z +=-，其中i 为虚数为单位，则z =〔〕〔A 〕12i + 〔B 〕12i - 〔C 〕12i -+ 〔D 〕12i -- 【答案】B【解析】设(),,z a bi a b R =+∈，则2()i 23i 32i z z z z z a b a a b +=++=++=+=-，所以1,2a b ==-，故选B ．【点评】此题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力．〔2〕【2016年山东，理2，5分】已知集合{}{}22,,10x A y y x R B x x ==∈=-<，则A B =〔〕〔A 〕()1,1- 〔B 〕()0,1 〔C 〕()1,-+∞ 〔D 〕()0,+∞【答案】C【解析】由题意()0,A =+∞，()1,1B =-，所以()1,AB =-+∞，故选C ．【点评】此题考查并集及其运算，考查了指数函数的值域，考查一元二次不等式的解法，是基础题．〔3〕【2016年山东，理3，5分】某高校调查了200名学生每周的自习时间〔单位：小时〕，制成了如下图的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[]17.5,30，样本数据分组为[)17.5,20，[)20,22.5，[)22.5,25，[)25,27.5，[]27.5,30．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于小时的人数是〔〕〔A 〕56 〔B 〕60 〔C 〕120 〔D 〕140 【答案】D【解析】由图可知组距为，每周的自习时间少于小时的频率为(0.020.1) 2.50.30+⨯=，所以，每周自习时间不少于小时的人数是()20010.30140⨯-=人，故选D ．【点评】此题考查的知识点是频率分布直方图，难度不大，属于基础题目．〔4〕【2016年山东，理4，5分】假设变量x ，y 满足22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则22x y +的最大值是〔〕〔A 〕4 〔B 〕9 〔C 〕10 〔D 〕12 【答案】C【解析】由22x y +是点(),x y 到原点距离的平方，故只需求出三直线的交点()()()0,2,0,3,3,1--，所以()3,1-是最优解，22x y +的最大值是10，故选C ．【点评】此题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．〔5〕【2016年山东，理5，5分】有一个半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如右图所示，则该几何体的体积为〔〕〔A 〕1233+π 〔B 〕1233+π 〔C 〕1236+π 〔D 〕216+π【答案】C【解析】由三视图可知，半球的体积为26π，四棱锥的体积为13，所以该几何体的体积为1236+π，故选C ．【点评】此题考查的知识点是由三视图，求体积和外表积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．〔6〕【2016年山东，理6，5分】已知直线,a b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的〔〕〔A 〕充分不必要条件〔B 〕必要不充分条件〔C 〕充要条件〔D 〕既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由直线a 和直线b 相交，可知平面αβ、有公共点，所以平面α和平面β相交．又如果平面α和平面β相交，直线a 和直线b 不一定相交，故选A ．【点评】此题考查的知识点是充要条件，空间直线与平面的位置关系，难度不大，属于基础题．〔7〕【2016年山东，理7，5分】函数()()()3sin cos 3cos sin f x x xx x =+-的最小正周期是〔〕〔A 〕2π〔B 〕π 〔C 〕32π 〔D 〕2π【答案】B【解析】由()2sin cos 3cos 22sin 23f x x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以，最小正周期是π，故选B ．【点评】此题考查的知识点是和差角及二倍角公式，三角函数的周期，难度中档．〔8〕【2016年山东，理8，5分】已知非零向量,m n 满足143,cos ,3m n m n =<>= ，假设()n tm n ⊥+则实数t 的值为〔〕〔A 〕4 〔B 〕4- 〔C 〕94 〔D 〕94-【答案】B【解析】因为21cos ,4nm m n m n n =⋅<>=，由()n tm n ⊥+，有()20n tm n tmn n +=+=，即2104t n ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，4t =-，故选B ．【点评】此题考查的知识点是平面向量数量积的运算，向量垂直的充要条件，难度不大，属于基础题．〔9〕【2016年山东，理9，5分】已知函数()f x 的定义域为R ，当0x <时，3()1f x x =-；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12x >时，1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()6f =〔〕〔A 〕2- 〔B 〕1- 〔C 〕0 〔D 〕2 【答案】D【解析】由1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，知当12x >时，()f x 的周期为1，所以()()61f f =．又当11x -≤≤时，()()f x f x -=-，所以()()11f f =--．于是()()()()3611112f f f ⎡⎤==--=---=⎣⎦，故选D ．【点评】此题考查函数值的计算，考查函数的周期性，考查学生的计算能力，属于中档题．〔10〕【2016年山东，理10，5分】假设函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质．以下函数具有T 性质的是〔〕〔A 〕sin y x = 〔B 〕ln y x = 〔C 〕x y e = 〔D 〕3y x = 【答案】A【解析】因为函数ln y x =，x y e =的图象上任何一点的切线的斜率都是正数；函数3y x =的图象上任何一点的切线的斜率都是非负数．都不可能在这两点处的切线互相垂直，即不具有T 性质，故选A ．【点评】此题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，转化思想，难度中档．第II 卷〔共100分〕二、填空题：本大题共5小题，每题5分〔11〕【2016年山东，理11，5分】执行右边的程序框图，假设输入的的值分别为0和9，则输出i 的值为．【答案】3【解析】i 1=时，执行循环体后1,8a b ==，a b >不成立；i 2=时，执行循环体后3,6a b ==，a b >不成立；i 3=时，执行循环体后6,3a b ==，a b >成立；所以i 3=，故填 3.【点评】此题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．〔12〕【2016年山东，理12，5分】假设52ax ⎛+ ⎝的展开式中5x 的系数是80-，则实数a = ．【答案】2-【解析】由()2322235555C C 80ax a x x ==-，得2a =-，所以应填2-．【点评】考查了利用二项式定理的性质求二项式展开式的系数，属常规题型．〔13〕【2016年山东，理13，5分】已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>，假设矩形ABCD 的四个顶点在E 上，,AB CD 的中点为E 的两个焦点，且23AB BC =，则E 的离心率为．【答案】2【解析】由题意BC 2c =，所以2AB 3BC =，于是点3,2c c ⎛⎫⎪⎝⎭在双曲线E 上，代入方程，得2222914c c a b -=，在由222a b c +=得E 的离心率为2ce a==．【点评】此题考查双曲线的离心率的求法，注意运用方程的思想，正确设出A B C D ，，，的坐标是解题的关键，考查运算能力，属于中档题．〔14〕【2016年山东，理14，5分】在[]1,1-上随机的取一个数k ，则事件“直线y kx =与圆()2259x y -+=相交”发生的概率为．【答案】34【解析】首先k 的取值空间的长度为2，由直线y kx =与圆22(5)9x y -+=相交，得事件发生时k 的取值空间为33,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，其长度为32，所以所求概率为33224=．【点评】此题主要考查了几何概型的概率，以及直线与圆相交的性质，解题的关键弄清概率类型，同时考查了计算能力，属于基础题．〔15〕【2016年山东，理15，5分】在已知函数()2,24,x x mf x x mx m x m ⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩，其中0m >，假设存在实数b ，使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根，则m 的取值范围是．【答案】()3,+∞【解析】因为()224g x x mx m =-+的对称轴为x m =，所以x m >时()224f x x mx m =-+单调递增，只要b 大于()224g x x mx m =-+的最小值24m m -时，关于x 的方程()f x b =在x m >时有一根；又()h x x =在x m ≤，0m >时，存在实数b ，使方程()f x b =在x m ≤时有两个根，只需0b m <≤；故只需24m m m -<即可，解之，注意0m >，得3m >，故填()3+∞，．【点评】此题考查根的存在性及根的个数判断，数形结合思想的运用是关键，分析得到24m m m -<是难点，属于中档题．三、解答题：本大题共6题，共75分．〔16〕【2016年山东，理16，12分】在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为a,b,c ，已知()tan tan 2tan tan cos cos A BA B B A+=+．〔1〕证明：2a b c +=；〔2〕求cos C 的最小值．解：〔1〕由()tan tan 2tan tan cos cos A B A B B A +=+得sin sin sin 2cos cos cos cos cos cos C A BA B A B A B⨯=+，2sin sin sin C B C =+，由正弦定理，得2a b c +=．〔2〕由()222222cos 22a b ab ca b c C ab ab +--+-==222333111122222c c ab a b =-≥-=-=+⎛⎫⎪⎝⎭．所以cos C 的最小值为12．【点评】考查切化弦公式，两角和的正弦公式，三角形的内角和为π，以及三角函数的诱导公式，正余弦定理，不等式222a b ab +≥的应用，不等式的性质．〔17〕【2016年山东，理17，12分】在如下图的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O '的直径，FB 是圆台的一条母线．〔1〕已知,G H 分别为,EC FB 的中点，求证：//GH 平面ABC ；〔2〕已知123,2EF FB AC AB BC ====，求二面角F BC A --的余弦值．解：〔1〕连结FC ，取FC 的中点M ，连结,GM HM ，因为//GM EF ，EF 在上底面内，GM 不在上底面内，所以//GM 上底面，所以//GM 平面ABC ；又因为//MH BC ，BC ⊂平面ABC ，MH ⊄平面ABC ，所以//MH 平面ABC ；所以平面//GHM 平面ABC ，由GH ⊂平面GHM ，所以//GH 平面ABC ．〔2〕连结OB ，AB BC =OA OB ∴⊥，以为O 原点，分别以,,OA OB OO '为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系．123,2EF FB AC AB BC ====，22()3OO BF BO FO '=--=，于是有()23,0,0A ，()23,0,0C -，()0,23,0B ，()0,3,3F ，可得平面FBC 中的向量()0,3,3BF =-， ()23,23,0CB =，于是得平面FBC 的一个法向量为()13,3,1n =-，又平面ABC 的一个法向量为()20,0,1n =，设二面角F BC A --为θ，则121217cos 77n n n n θ⋅===⋅．二面角F BC A --的余弦值为77．【点评】此题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．〔18〕【2016年山东，理18，12分】已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+．〔1〕求数列{}n b 的通项公式；〔2〕令1(1)(2)n n n nn a c b ++=+．求数列{}n c 的前n 项和n T ．解：〔1〕因为数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，所以111a =，当2n ≥时，221383(1)8(1)65n n n a S S n n n n n -=-=+----=+，又65n a n =+对1n =也成立，所以65n a n =+．又因为{}n b 是等差数列，设公差为d ，则12n n n n a b b b d +=+=+．当1n =时，1211b d =-；当2n =时，2217b d =-，解得3d =，所以数列{}n b 的通项公式为312n n a db n -==+．〔2〕由111(1)(66)(33)2(2)(33)n n n n n n nn a n c n b n +++++===+⋅++，于是23416292122(33)2n n T n +=⋅+⋅+⋅+++⋅，两边同乘以２，得341226292(3)2(33)2n n n T n n ++=⋅+⋅++⋅++⋅，两式相减，得2341262323232(33)2n n n T n ++-=⋅+⋅+⋅++⋅-+⋅22232(12)32(33)212n n n +⋅-=⋅+-+⋅-2221232(12)(33)232n n n n T n n ++=-+⋅-++⋅=⋅．【点评】此题考查数列的通项与求和，着重考查等差数列的通项与错位相减法的运用，考查分析与运算能力，属于中档题．〔19〕【2016年山东，理19，12分】甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：〔1〕“星队”至少猜对3个成语的概率；〔2〕“星队”两轮得分之和X 的分布列和数学期望EX ．解：〔1〕“至少猜对3个成语”包括“恰好猜对3个成语”和“猜对4个成语”．设“至少猜对3个成语”为事件A ；“恰好猜对3个成语”和“猜对4个成语”分别为事件C B ,，则1122332131225()4433443312P B C C =⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=；33221()44334P C =⋅⋅⋅=．所以512()()()1243P A P B P C =+=+=．〔2〕“星队”两轮得分之和X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，6，于是11111(0)4343144P X ==⋅⋅⋅=；112212*********(1)4343434314472P X C C ==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅==； 1211223311132125(2)443344334433144P X C ==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=；123211121(3)434314412P X C ==⋅⋅⋅==； 12321231605(4)()43434314412P X C ==⋅⋅⋅+⋅==；3232361(6)43431444P X ==⋅⋅⋅==； XX 的数学期望01234614472144121241446EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==．【点评】此题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，属中档题．〔20〕【2016年山东，理20，13分】已知221()(ln ),x f x a x x a R x-=-+∈．〔1〕讨论()f x 的单调性；〔2〕当1a =时，证明3()()2f x f x '>+对于任意的[1,2]x ∈成立．解：〔1〕求导数3122()(1)x f x a x x'=－－－23(1)(2x ax x =－－)，当0a ≤时，x ∈(0,1)，()0f x '>，()f x单调递增， x +∞∈(1,)，()0f x '<，()f x 单调递减当0a >时，()()()233112()a x x x x ax f x x x⎛-+ --⎝⎭⎝⎭'== ①当02a <<1>，x ∈(0,1)或x ⎫+∞⎪⎪⎭∈，()0f x '>，()f x单调递增，x ⎛ ⎝∈，()0f x '<，、()f x 单调递减；②当a =２1=， x ∈+∞(0,)，()0f x '≥，()f x 单调递增， ③当a >２时，01<，x ⎛∈ ⎝或()x ∈+∞1,，()0f x '>，()f x 单调递增，x ⎫∈⎪⎪⎭1，()0f x '<， ()f x 单调递减．〔2〕当1a =时，221()ln x f x x x x=+－－，2323(1)(212()1x x f x x x x x '==+－－)2－－，于是2232112()()ln 1)x f x f x x x x x x x '=++－2－－－(－－23312ln 1x x x x x =--++-，[1,2]x ∈令()g ln x x x =-，2332h()x x x x=-++-11，[1,2]x ∈，于是()()g(()f x f x x h x '-=+）， 1g ()10x x x x-'=-=≥1，()g x 的最小值为()11g =；又22344326326()x x h x x x x x --+'=--+=，设()2326x x x θ=--+，[1,2]x ∈，因为()11θ=，()210θ=-，所以必有0[1,2]x ∈，使得()00x θ=，且01x x <<时，()0x θ>，()h x 单调递增；02x x <<时，()0x θ<，()h x 单调递减；又()11h =，()122h =，所以()h x 的最小值为()122h =．所以13()()g(()g(1(2)122f x f x x h x h '=+>+=+=））－．即3()()2f x f x '>+对于任意的[1,2]x ∈成立．【点评】此题考查利用导数加以函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，是压轴题．〔21〕【2016年山东，理21，14分】平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，抛物线2:2E x y =的焦点F 是C 的一个顶点．〔1〕求椭圆C 的方程；〔2〕设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点,A B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M ．〔i 〕求证：点M 在定直线上；〔ii 〕直线l 与y 轴交于点G ，记PFG ∆的面积为1S ，PDM ∆的面积为2S ，求12SS 的最大值及取得最大值时点P 的坐标．解：〔1，有224a b =，又抛物线22x y =的焦点坐标为10,2F ⎛⎫⎪⎝⎭，所以12b =，于是1a =，所以椭圆C 的方程为2241x y +=．〔2〕〔i 〕设P 点坐标为()2,02m P m m ⎛⎫> ⎪⎝⎭，由22x y =得y x '=，所以E 在点P 处的切线l 的斜率为m ，因此切线l 的方程为22m y mx =-，设()()1122,,,A x y B x y ，()00,D x y ，将22m y mx =-代入2241x y +=，得()223214410m x m x m +-+-=．于是3122414m x x m +=+，312022214x x m x m +==+，又()220022214m m y mx m -=-=+，于是直线OD 的方程为14y x m =-．联立方程14y x m =-与x m =，得M 的坐标为1,4M m ⎛⎫- ⎪⎝⎭．所以点M 在定直线14y =-上．〔ii 〕在切线l 的方程为22m y mx =-中，令0x =，得22m y =-，即点G 的坐标为20,2m G ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又2,2m P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以211(1)24m m S m GF +=⨯=；再由()32222,41241m m D m m ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭，得 ()()22232222112122441841m m m m m S m m +++=⨯⨯=++于是有 ()()()221222241121m m S S m ++=+．令221t m =+，得()12221211122t t S S t t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭==+-，当112t =时，即2t =时，12S S 取得最大值94．此时212m =，2m =，所以P点的坐标为14P ⎫⎪⎪⎝⎭．所以12S S 的最大值为94，取得最大值时点P的坐标为14P ⎫⎪⎪⎝⎭．【点评】此题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率和抛物线的焦点坐标，考查直线和抛物线斜的条件，以及直线方程的运用，考查三角形的面积的计算，以及化简整理的运算能力，属于难题．。

2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2024年全国高中数学联赛一试(A卷)试题(含答案)

2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2024年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1. 若实数1m 满足98log (log )2024m ，则32log (log )m 的值为．答案：4049．解：323898log (log )log (3log )12log (log )1220244049m m m ．2. 设无穷等比数列{}n a 的公比q 满足01q ．若{}n a 的各项和等于{}n a 各项的平方和，则2a 的取值范围是．答案：1,0(0,2)4．解：因为数列{}n a 的各项和为11a q，注意到{}n a 各项的平方依次构成首项为21a 、公比为2q 的等比数列，于是2{}n a 的各项和为2121a q．由条件知211211a a q q，化简得11a q ．当(1,0)(0,1)q 时，22111(1),0(0,2)244a q q q ． 3. 设实数,ab 满足：集合2{100}A x x x a R 与3{}B x bx b R 的交集为[4,9]，则a b 的值为．答案：7．解：由于2210(5)25x x a x a ，故A 是一个包含[4,9]且以5x 为中点的闭区间，而B 是至多有一个端点的区间，所以必有[1,9]A ，故9a ．进一步可知B 只能为[4,) ，故0b 且34b b ，得2b ．于是7a b ．4. 在三棱锥P ABC 中，若PA 底面ABC ，且棱,,,AB BP BC CP 的长分别为1,2,3,4，则该三棱锥的体积为．答案：34．解：由条件知PA AB ，PA AC ．因此PA AC ．在ABC 中，22219131cos 22132AB BC AC B AB BC ，故sin B ．所以1sin 2ABC S AB BC B 又该三棱锥的高为PA ，故其体积为1334ABC V S PA ． 5. 一个不均匀的骰子，掷出1,2,3,4,5,6点的概率依次成等差数列．独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为,a b ．若事件“7a b ”发生的概率为17，则事件“a b ”发生的概率为．答案：421．解：设掷出1,2,,6 点的概率分别为126,,,p p p ．由于126,,,p p p 成等差数列，且1261p p p ，故16253413p p p p p p ．事件“7a b ”发生的概率为1162561P p p p p p p ．事件“a b ”发生的概率为2222126P p p p ．于是22221216253411()()()333P P p p p p p p ．由于117P ，所以21143721P ． 6. 设()f x 是定义域为R 、最小正周期为5的函数．若函数()(2)x g x f 在区间[0,5)上的零点个数为25，则()g x 在区间[1,4)上的零点个数为．答案：11．解：记2x t ，则当[0,5)x 时，[1,32)t ，且t 随x 增大而严格增大．因此，()g x 在[0,5)上的零点个数等于()f t 在[1,32)上的零点个数．注意到()f t 有最小正周期5，设()f t 在一个最小正周期上有m 个零点，则()f t 在[2,32)上有6m 个零点，又设()f t 在[1,2)上有n 个零点，则625m n ，且0n m ，因此4,1m n ．从而()g x 在[1,4)上的零点个数等于()f t 在[2,16)[1,16)\[1,2) 上的零点个数，即311m n ．7. 设12,F F 为椭圆的焦点，在上取一点P （异于长轴端点），记O 为12PF F 的外心，若12122PO F F PF PF ，则的离心率的最小值为．答案解：取12F F 的中点M ，有12MO F F ，故120MO F F ．记1212,,PF u PF v F F d ，则121212PO F F PM F F MO F F 12211()()2PF PF PF PF 222v u ， 222121222cos PF PF uv F PF u v d ，故由条件知222222v u u v d ，即22232u v d ．由柯西不等式知222281(3)1()33d u v u v （当3v u 时等号成立）．所以的离心率d e u v ．当::u v d 时，的离心率e 取到最小值8. 若三个正整数,,a b c 的位数之和为8，且组成,,a b c 的8个数码能排列为2,0,2,4,0,9,0,8，则称(,,)a b c 为“幸运数组”，例如(9,8,202400)是一个幸运数组．满足10a b c 的幸运数组(,,)a b c 的个数为．答案：591．解：对于幸运数组(,,)a b c ，当10a b c 时，分两类情形讨论．情形1：a 是两位数，,b c 是三位数．暂不考虑,b c 的大小关系，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置还未填，任选其中两个填2，最后三个位置填写4,8,9，这样的填法数为3255C C 3!600 ．再考虑其中,b c 的大小关系，由于不可能有b c ，因此b c 与b c 的填法各占一半，故有300个满足要求的幸运数组．情形2：,a b 是两位数，c 是四位数．暂不考虑,a b 的大小关系，类似于情形1，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置填2,2,4,8,9，这样的填法数为600．再考虑其中,a b 的大小关系．若a b ，则必有20a b ，c 的四个数字是0,4,8,9的排列，且0不在首位，有33!18 种填法，除这些填法外，a b 与a b 的填法各占一半，故有600182912个满足要求的幸运数组．综上，所求幸运数组的个数为300291591 ．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9. （本题满分16分）在ABC 中，已知sin cos sin cos cos 22A AB B C，求cos C 的值．解：由条件知cos 44C A B． …………4分假如44A B，则2C ，cos 0C ，但sin 04A ，矛盾．所以只可能44A B ．此时0,2A B ，2C A ． …………8分注意到cos 04C A ，故2C ，所以,42A B ，结合条件得cos cos 2sin 22sin cos 244C A A A A2C ，又cos 0C ，化简得28(12cos )1C ，解得cos C…………16分 10.（本题满分20分）在平面直角坐标系中，双曲线22:1x y 的右顶点为A ．将圆心在y 轴上，且与的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”．若两个好圆外切于点P ，圆心距为d ，求d PA 的所有可能的值．解：考虑以0(0,)y 为圆心的好圆2220000:()(0)x y y r r ．由0 与的方程消去x ，得关于y 的二次方程2220002210y y y y r ．根据条件，该方程的判别式22200048(1)0y y r ，因此220022y r ．…………5分对于外切于点P 的两个好圆12, ，显然P 在y 轴上．设(0,)P h ，12, 的半径分别为12,r r ，不妨设12, 的圆心分别为12(0,),(0,)h r h r ，则有2211()22h r r ，2222()22h r r ．两式相减得2212122()h r r r r ，而120r r ，故化简得122r r h． …………10分进而221211222r r r r ，整理得 221122680r r r r ．① 由于12d r r ，(1,0)A ，22212()114r r PA h ，而①可等价地写为2212122()8()r r r r ，即228PA d ，所以d PA…………20分 11.（本题满分20分）设复数,z w 满足2z w ，求2222S z w w z 的最小可能值．解法1：设i (,)z a b a b R ，则2i w a b ，故2222242(1)i 642(3)i S a a b b a a a b b a ，22222464a a b a a b2222(1)5(3)5a b a b ． ①…………5分记1t a ．对固定的b ，记255B b ，求22()(4)f t t B t B 的最小值．由()(4)f t f t ，不妨设2t ．我们证明0()()f t f t ，其中0t ．当0[2,]t t 时，04[2,4]t t ，22200()()()((4))((4))f t f t B t B t B t2222220000(4)((4))(28)(28)t t t t t t t t0 （用到02t t 及228y x x 在[2,) 上单调增）． …………10分当0[,)t t 时，22200()()(4)(4)f t f t t B t B t B222200(4)(4)t t t t 000()8t t t t t t0 （用到04t t ）． …………15分所以200()(4)1616S f t B t ．当0b （①取到等号），011a t 时，S 取到最小值16．…………20分解法2：设1i,1i (,)R z x y w x y x y ，不妨设其中0x ．计算得2222(41)(24)i z w x x y x y ，2222(41)(24)i w z x x y x y ．所以22Re(2)Re(2)S z w w z 22224141x x y x x y ． …………5分利用a b a b ，可得8S x ，① 亦有22222212(1)2(1)S x y x y x ． ②…………10分注意到方程282(1)x x 2．当2x 时，由①得816S x ．当02x 时，由②得222(1)2(12))16S x ．因此当2,0x y 时，S 取到最小值16． …………20分解法3：因为2w z =−，所以我们有222(2)2411z z z z z22(2)26411z z z z z从而上两式最右边各项分别是z 到复平面中实轴上的点1−1−，33+的距离，所以把i z x y =+换成其实部x 时，都不会增大.因此只需考虑函数22()2464f x x x x x +−+−+在R 上的最小值.…………10分因为1313−−<<−+<，因此我们有以下几种情况：1.若1x≤−,则2()24f x x x=−,在这一区间上的最小值为(116f−=+；2.若(13x∈−−，则()88f x x=−+，在这一区间上的最小值为(316f=−+…………15分3.若31x∈−，则2()24f x x x=−+，在这一区间上的最小值为((3116f f=−+=−+；4.若13x∈− ，则()88f x x=−，在这一区间上的最小值为(116f−+=−+；5.若3x≥+，则2()24f x x x=−，在这一区间上的最小值为(316f=+.综上所述，所求最小值为((3116f f=−+=−.…………20分。

全国高中数学联赛省级预赛模拟试题

全国高中数学联赛省级预赛模拟试题第Ⅰ卷（选择题共60分）参考公式1．三角函数的积化和差公式sinα•cosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)],cosα•sinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)],cosα•cosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)],sinα•sinβ=[cos(α+β)-cos(α-β)].2．球的体积公式V球=πR3（R为球的半径）。

一、选择题（每小题5分，共60分）1．设在xOy平面上，0<y≤x2,0≤x≤1所围成图形的面积为。

则集合M={(x,y)|x≤|y|}, N={(x,y)|x≥y2|的交集M∩N所表示的图形面积为A． B． C．1 D．2．在四面体ABCD中，设AB=1，CD=，直线AB与直线CD的距离为2，夹角为。

则四面体ABCD的体积等于A． B． C． D．3．有10个不同的球，其中，2个红球、5个黄球、3个白球。

若取到一个红球得5分，取到一个白球得2分，取到一个黄球得1分，那么，从中取出5个球，使得总分大于10分且小于15分的取法种数为A．90 B．100 C．110 D．1204．在ΔABC中，若(sinA+sinB)(cosA+cosB)=2sinC，则A．ΔABC是等腰三角形，但不一定是直角三角形B．ΔABC是直角三角形，但不一定是等腰三角形C．ΔABC既不是等腰三角形，也不是直角三角形D．ΔABC既是等腰三角形，也是直角三角形5．已知f(x)=3x2-x+4, f(g(x))=3x4+18x3+50x2+69x+48.那么，整系数多项式函数g(x)的各项系数和为A．8 B．9 C．10 D．116．设0<x<1, a,b为正常数。

则的最小值是A．4ab B．(a+b)2 C．(a-b)2 D．2(a2+b2)7．设a,b>0，且a2008+b2008=a2006+b2006。

则a2+b2的最大值是A．1 B．2 C．2006 D．20088．如图1所示，设P为ΔABC所在平面内一点，并且AP=AB+AC。

2016年高考山东卷理数试题(教师版含解析)

绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页.满分150分.考试用时120分钟.考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1.答卷前，考生务必用毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效.3. 第Ⅱ卷必须用毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式：如果事件A,B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)；如果事件A,B独立，那么P(AB)=P(A)·P(B).第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）若复数z满足232i,+=-其中i为虚数单位，则z=z z（A）1+2i （B）1-2i （C）12i-+（D）12i--【答案】B【考点】注意共轭复数的概念【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，有时对复数的运算与概念、复数的几何意义等进行综合考查，也是考生必定得分的题目之一.（2）设集合2{|2,},{|10},x A y y x B x x ==∈=-<R 则A B = （A ）(1,1)-（B ）(0,1) （C ）(1,)-+∞ （D ）(0,)+∞【答案】C 【考点】本题涉及求函数值域、解不等式以及集合的运算【名师点睛】本题主要考查集合的并集运算，是一道基础题目.从历年高考题目看，集合的基本运算，是必考考点，也是考生必定得分的题目之一.本题与函数的值域、解不等式等相结合，增大了考查的覆盖面.（3）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5, 25),[25,27.5),[27.5,30]（A ）56（B ）60 （C ）120 （D ）140 【答案】D【考点】频率分布直方图【名师点睛】本题主要考查频率分布直方图，是一道基础题目.从历年高考题目看，图表题已是屡见不鲜，作为一道应用题，考查考生的识图、用图能力，以及应用数学知识解决实际问题的能力.（4）若变量x ，y 满足2,239,0,x y x y x 则22x y 的最大值是（A ）4（B ）9 （C ）10 （D ）12【答案】C【考点】线性规划求最值【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目.从历年高考题目看，简单线性规划问题，是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、两点间的距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学知识解决实际问题的能力.（5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（A ）1233+π （B ）1233+π （C ）1236+π （D ）216+π 【答案】C【解析】试题分析：由三视图可知,上面是半径为22的半球,体积为3114222326V =⨯π⨯=π（）,下面是底面积为1,高为1的四棱锥,体积2111133V =⨯⨯=,故选C. 【考点】根据三视图求几何体的体积【名师点睛】本题主要考查三视图及几何体的体积计算，本题涉及正四棱锥及球的体积计算，综合性较强，较全面地考查了考生的识图用图能力、空间想象能力、运算求解能力等.（6）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A【考点】直线与平面的位置关系；充分、必要条件的判断【名师点睛】充要条件的判定问题，是高考常考题目之一，其综合性较强，易于和其他知识相结合.本题涉及直线与平面的位置关系，突出体现了高考试题的基础性，能较好地考查考生分析问题、解决问题的能力及空间想象能力等.（7）函数f （x ）=3sin x +cos x ）3cos x –sin x ）的最小正周期是（A ）2π （B ）π （C ）23π （D ）2π 【答案】B 【考点】三角函数化简，周期公式【名师点睛】本题主要考查和差倍半的三角函数、三角函数的图象和性质.此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题较易，能较好地考查考生的运算求解能力及对复杂式子的变形能力等.（8）已知非零向量m ，n 满足4|m |=3|n |，cos ,m n =13.若n ⊥(t m +n )，则实数t 的值为（A ）4（B ）–4 （C ）94 （D ）–94 【答案】B【解析】试题分析：由43=m n ，可设3,4(0)k k k ==>m n ，又()t ⊥+n m n ，所以22221()cos ,34(4)41603t t n n t t k k k tk k ⋅+=⋅+⋅=⋅+=⨯⨯⨯+=+=n m n n m m n m n n ,所以4t =-，故选B.学科网【考点】平面向量的数量积【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积、平面向量的坐标运算.解答本题，关键在于能从n ⊥(t m +n )出发，转化成为平面向量的数量积的计算.本题能较好地考查考生转化与化归思想、基本运算能力等.（9）已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，3()1f x x =- ；当11x -≤≤ 时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=- .则f (6)=（A ）−2（B ）−1 （C ）0 （D ）2 【答案】D【考点】本题考查了函数的周期性、奇偶性【名师点睛】本题主要考查分段函数的概念、函数的奇偶性与周期性，是高考常考知识内容.本题具备一定难度.解答此类问题，关键在于利用分段函数的概念，发现周期函数特征，进行函数值的转化.本题能较好地考查考生分析问题、解决问题的能力及基本计算能力等.（10）若函数y =f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y =f (x )具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（A ）y =sin x（B ）y =ln x （C ）y =e x （D ）y =x 3【答案】A【解析】试题分析：当sin y x =时，cos y x '=，cos 0cos 1⋅π=-，所以在函数sin y x =图象存在两点，使条件成立，故A 正确；函数3ln ,e ,x y x y y x ===的导数值均非负，不符合题意，故选A. 学科&网【考点】函数求导，导数的几何意义【名师点睛】本题主要考查导数的计算、导数的几何意义及两直线的位置关系，本题给出常见的三角函数、指数函数、对数函数、幂函数，突出了高考命题注重基础的原则.解答本题，关键在于将直线的位置关系与直线的斜率、切点处的导数值相联系，使问题加以转化，利用特殊化思想解题，降低难度.本题能较好地考查考生分析问题、解决问题的能力、基本计算能力及转化与化归思想的应用等. 第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.（11）执行右边的程序框图，若输入的a ,b 的值分别为0和9，则输出的i 的值为________.【答案】3【考点】循环结构的程序框图【名师点睛】自新课标学习算法以来，程序框图成为常见考点，一般来说难度不大，易于得分.题目以程序运行结果为填空内容，考查考生对各种分支及算法语言的理解和掌握，本题能较好地考查考生应用所学知识分析问题、解决问题的能力等.（12）若(ax 2+51)x 的展开式中x 5的系数是—80，则实数a =_______. 【答案】-2【解析】试题分析：因为51025521551C ()()C r r r r r r r T ax a x x ---+==，所以由510522r r -=⇒=，因此2525C 80 2.a a -=-⇒=- 【考点】二项式定理【名师点睛】本题是二项式定理问题中的常见题型，二项展开式的通项往往是考查的重点.本题难度不大，易于得分.能较好地考查考生的基本运算能力等.（13）已知双曲线E ：22221x y a b-= （a ＞0，b ＞0），若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |=3|BC |，则E 的离心率是_______.【答案】2【考点】双曲线的几何性质【名师点睛】本题主要考查双曲线的几何性质.本题中，利用特殊化思想，通过对特殊情况的讨论，转化得到一般结论，降低了解题的难度.本题能较好地考查考生转化与化归思想、一般与特殊思想及基本运算能力等.（14）在[1,1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y =kx 与圆22(5)9xy 相交”发生的概率为 . 【答案】34【考点】直线与圆位置关系；几何概型【名师点睛】本题是高考常考知识内容，考查几何概型概率的计算.本题综合性较强，具有“无图考图”的显著特点，涉及点到直线距离的计算.本题能较好地考查考生分析问题、解决问题的能力及基本计算能力等.（15）已知函数2||,()24,x x m f x x mx m x m ≤⎧=⎨-+>⎩，，其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是_________.【答案】(3,)+∞【考点】分段函数，函数图象【名师点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质、函数与方程、分段函数的概念.解答本题，关键在于能利用数形结合思想，通过对函数图象的分析，转化得到代数不等式.本题能较好地考查考生数形结合思想、转化与化归思想、基本运算求解能力等.三、解答题：本大题共6小题，共75分.（16）（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan tan 2(tan tan ).cos cos A B A B B A +=+ （I ）证明：a +b =2c ；（II ）求cos C 的最小值. 【答案】（I ）见解析；（II ）12【解析】试题分析：（I ）根据两角和的正弦公式、正切公式、正弦定理即可证明；（II ）根据余弦定理公式表示出cos C ，由基本不等式求cos C 的最小值. 试题解析：（I ）由题意知sin sin sin sin 2cos cos cos cos cos cos A B A B A B A B A B+=+（），化简得()2sin cos sin cos sin sin A B B A A B +=+，即()2sin sin sin A B A B +=+.因为A B C ++=π,所以()()sin sin sin A B C C +=π-=.从而sin sin =2sin A B C +.由正弦定理得2a b c +=.学科网【考点】两角和的正弦公式、正切公式、正弦定理、余弦定理及基本不等式.【名师点睛】此类题目是解三角形问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简三角恒等式，利用正弦定理实现边角转化，达到证明目的．三角形中的求角问题，往往要利用余弦定理用边表示角的函数.本题覆盖面较广，能较好地考查考生的运算求解能力及对复杂式子的变形能力等.（17）（本小题满分12分）在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O '的直径，FB 是圆台的一条母线. （I ）已知G ,H 分别为EC ，FB 的中点，求证：GH ∥平面ABC ；（II ）已知EF =FB =12AC =23，AB =BC .求二面角F BC A --的余弦值. 【答案】（I ）见解析；（II ）77【解析】试题分析：（I ）根据线线、面面平行可得与直线GH 与平面ABC 平行；（II ）解法一建立空间直角坐标系求解；解法二找到FNM ∠为二面角F BC A --的平面角直接求解.试题解析：（ I ）证明：设FC 的中点为I ,连接,GI HI ,在CEF △,因为G 是CE 的中点，所以,GI EF ∥又,EF OB ∥所以,GI OB ∥在CFB △中，因为H 是FB 的中点，所以HI BC ∥，又HI GI I =,所以平面GHI ∥平面ABC ，因为GH ⊂平面GHI ，所以GH ∥平面ABC .（II ）解法一：连接OO',则OO'⊥平面ABC ，又,AB BC =且AC 是圆O 的直径，所以.BO AC ⊥以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，由题意得(0,23,0)B ，(23,0,0)C -，过点F 作FM OB 垂直于点M ，所以223,FM FB BM =-=可得(0,3,3)F故(23,23,0),(0,3,3)BC BF =--=-.设(,,)x y z =m 是平面BCF 的法向量.由0,0BC BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m可得23230,330x y y z ⎧--=⎪⎨-+=⎪⎩可得平面BCF 的一个法向量3(1,1,),3=-m 因为平面ABC 的一个法向量(0,0,1),=n所以7cos ,||||7⋅<>==m n m n m n . 所以二面角F BC A --的余弦值为77. 解法二：连接OO'，过点F 作FM OB ⊥于点M ，则有FM OO'∥,又OO'⊥平面ABC ，所以FM ⊥平面ABC,可得3,FM ==过点M 作MN BC 垂直于点N ，连接FN ，可得FN BC ⊥,从而FNM ∠为二面角F BC A --的平面角.又AB BC =,AC 是圆O 的直径，所以6sin 452MN BM == 从而FN =，可得cos FNM ∠= 所以二面角FBC A --.学科&网【考点】空间平行判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力【名师点睛】此类题目是立体几何中的常见问题.解答本题，关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，给出规范的证明.立体几何中的角与距离的计算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，应根据题目条件，灵活选择方法.本题能较好地考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力、基本运算能力及转化与化归思想等.（18）（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和S n =3n 2+8n ，{}n b 是等差数列，且1.n n n a b b +=+（I ）求数列{}n b 的通项公式；（II ）令1(1).(2)n n n n n a c b ++=+ 求数列{}n c 的前n 项和T n . 【答案】（I ）13+=n b n ；（II ）223+⋅=n n n T .【解析】试题分析：（I ）根据1--=n n n S S a 及等差数列的通项公式求解；（II ）根据（I ）知数列{}n c 的通项公式，再用错位相减法求其前n 项和.试题解析：（I ）由题意知当2≥n 时，561+=-=-n S S a n n n ，当1=n 时，1111==S a ，所以56+=n a n .设数列{}n b 的公差为d ，由⎩⎨⎧+=+=322211b b a b b a ，即⎩⎨⎧+=+=d b d b 321721111，可解得3,41==d b ，所以13+=n b n .（II ）由（I ）知11(66)3(1)2(33)n n n n n c n n +++==+⋅+，又n n c c c c T +⋅⋅⋅+++=321，得23413[223242(1)2]n n T n +=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯，345223[223242(1)2]n n T n +=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯，两式作差，得所以223+⋅=n n n T【考点】数列前n 项和与第n 项的关系；等差数列定义与通项公式；错位相减法【名师点睛】本题主要考查等差数列的通项公式及求和公式、等比数列的求和、数列求和的“错位相减法”.此类题目是数列问题中的常见题型.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高.解答本题，确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等.（19）（本小题满分12分）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求：（I ）“星队”至少猜对3个成语的概率；（II ）“星队”两轮得分之和为X 的分布列和数学期望EX .【答案】（I ）23（II ）分布列见解析，236=EX 试题解析：(I )记事件A :“甲第一轮猜对”，记事件B ：“乙第一轮猜对”，记事件C ：“甲第二轮猜对”，记事件D ：“乙第二轮猜对”，记事件E ：“‘星队’至少猜对3个成语”.由题意，.E ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD =++++ 由事件的独立性与互斥性，323212323132=24343434343432.3⎛⎫⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭= , 所以“星队”至少猜对3个成语的概率为23. (II )由题意，随机变量X 的可能取值为0,1,2,3,4,6. 由事件的独立性与互斥性，得()1111104343144P X ==⨯⨯⨯=, ()31111211105124343434314472P X ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯==⎪⎝⎭, ()31313112123112122524343434343434343144P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=, ()32111132134343434312P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ,()3231321260542=4343434314412P X ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭ ,()32321643434P X ==⨯⨯⨯=.可得随机变量X 的分布列为所以数学期望15251512301234614472144121246EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【考点】独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式，分布列和数学期望【名师点睛】本题主要考查独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式、随机变量的分布列和数学期望.解答本题，首先要准确确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数，利用独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式求解.本题较难，能很好的考查考生的数学应用意识、基本运算求解能力等.(20)(本小题满分13分)已知()221()ln ,x f x a x x a x-=-+∈R . （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）当1a =时，证明()3()2f x f 'x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立. 【答案】（I ）见解析；（II ）见解析【解析】试题分析：（I ）求()f x 的导函数，对a 进行分类讨论，求()f x 的单调性；（II ）要证()3()2f x f 'x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立，即证3()()2f x f 'x ->，根据单调性求解. 试题解析：（I ）)(x f 的定义域为),0(+∞；223322(2)(1)()a ax x f 'x a x x x x --=--+=. 当0≤a ， )1,0(∈x 时，()0f 'x >，)(x f 单调递增；(1,),()0x f 'x ∈+∞<时，)(x f 单调递减.当0>a 时，3(1)()(a x f 'x x x x -=+. （1）20<<a ，12>a，当)1,0(∈x 或x ∈),2(+∞a时，()0f 'x >，)(x f 单调递增；当x ∈)2,1(a时，()0f 'x <，)(x f 单调递减；（2）2=a 时，12=a，在x ∈),0(+∞内，()0f 'x ≥，)(x f 单调递增；（3）2>a 时，120<<a，当)2,0(ax ∈或x ∈),1(+∞时，()0f 'x >，)(x f 单调递增；当x ∈)1,2(a时，()0f 'x <，)(x f 单调递减. 综上所述，当0≤a 时，函数)(x f 在)1,0(内单调递增，在),1(+∞内单调递减；当20<<a 时，)(x f 在)1,0(内单调递增，在)2,1(a 内单调递减，在),2(+∞a内单调递增；当2=a 时，)(x f 在),0(+∞内单调递增；当2>a ，)(x f 在)2,0(a 内单调递增，在)1,2(a内单调递减，在),1(+∞内单调递增. 【考点】利用导函数判断函数的单调性，分类讨论思想.【名师点睛】本题主要考查导数的计算、应用导数研究函数的单调性、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错误百出.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等. （21）（本小题满分14分）平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b +=＞＞ 32E ：22x y =的焦点F是C 的一个顶点. （I ）求椭圆C 的方程；（II ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M . （i ）求证：点M 在定直线上;（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记△PFG 的面积为1S ，△PDM 的面积为2S ，求12S S的最大值及取得最大值时点P 的坐标.【答案】（I ）1422=+y x ;（II ）（i ）见解析；（ii ）12S S 的最大值为49，此时点P 的坐标为)41,22( 试题解析：（I ）由题意知2322=-a b a ，可得：b a 2=. 因为抛物线E 的焦点为)21,0(F ，所以21,1==b a ，所以椭圆C 的方程为1422=+y x .联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=-=m x x m y 41，得点M 的纵坐标为M 14y =-，即点M 在定直线41-=y 上. （ii ）由（i ）知直线l 方程为22m mx y -=，令0=x 得22m y -=，所以)2,0(2m G -，又21(,),(0,),22m P m F D ))14(2,142(2223+-+m m m m ，所以)1(41||2121+==m m m GF S ， )14(8)12(||||2122202++=-⋅=m m m x m PM S ，所以222221)12()1)(14(2+++=m m m S S ，令122+=m t ，则211)1)(12(2221++-=+-=tt t t t S S ，当211=t ，即2=t 时，21S S 取得最大值49，此时22=m ，满足0∆>，所以点P 的坐标为)41,22(，因此12S S 的最大值为49，此时点P 的坐标为)41,22(.【考点】椭圆方程；直线和抛物线的关系；二次函数求最值；运算求解能力.【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目，利用,,,a b c e 的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，应用确定函数最值的方法（如二次函数的性质、基本不等式、导数等）求“目标函数”的最值.本题的易错点是对复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出..本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题和解决问题的能力等.。

2017年全国高中数学联赛山东赛区预赛试题详解

2017年全国高中数学联赛山东赛区预赛试题详解2017年9月2日（一）填空题（本大题共10个小题，每小题8分，共80分）（1）已知复数12,z z 满足22121220,16z z z z +=+=，则3312z z +的最小值是________________________．解析：由已知得：()()2332222121212*********z z z z z z z z z z z z +=++-=+-+()222222121212121031033520z z z z z z z z ≥+-+=+-+=，当且仅当22121220,16z z z z +=+=，即12,10z =±时等号成立，故3312z z +的最小值是3520．（2）已知集合{}1,99,1,0,25,36,91,19,2,11M =----，记集合M 的所有非空子集为i M ，()1,2,,1023i =，每一个i M 中所有元素之积为i m ，则10231i i m ==∑_______________________________________________．解析：由于(){}1,2,,i M a i n ==时，()211111n ni i i i m a -===+-∑∏，故102311i i m ==-∑．（3）在棱长为1的正方体C 内，作一个内切大球1O ，再作一个小球2O ，使它与球1O 外切，且与正方体的三个面相切，则球2O 的表面积为_______________________________________________．解析：作对角截面图得到矩形11BB D D ，依题意知1O 、2O 都在线段1BD 上，且1O 是1BD 的中点，设球1O 、2O 的半径分别为12,r r ，则112r =，11O D = 由112112O D OD r r =得：212O D =，∴11221O D r r =++= ∴2r =(27S π=-． DD 1（4）设n abc =是一个三位数，其中以,,a b c 为边可构成一个等腰三角形，则这样的三位数有_______________________________________________个．解析：当a b c ==时，有9种情形；不是等边的等腰三角形情形，不妨设a b =，当5a b =≥时，c 有8种情形，共有40种情形；当4a b ==时，c 有6种情形；当3a b ==时，c 有4种情形；当2a b ==时，c 有2种情形；综上，共有()4064239165+++⨯+=种情形．（5）已知非负实数,,a b c 满足8,16a b c ab bc ca ++=++=，若{}min ,,m ab bc ca =，则m 的最大值是_______________________________________________．解析：不妨设a b c ≤≤，则,ab ca bc m ab ≤≤=，8383c a b c c ≥++=⇒≥，又()()()()222484160a b a b ab c bc ca -=+-=----≥，即()()()()2841681630c c c c c ----=-≥，故81633c ≤≤， ∴()()2161616849ab ca bc c c c =--=--=-≤，当且仅当416,33a b c ===时等号成立，因此m 的最大值是169．（6）已知三次多项式()32p x ax bx cx d =+++满足()111000022p p p ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设123,,x x x 是方程()0p x =的3个根，则122313111x x x x x x ++= _______________________________________________．解析：由已知得：12100019962bb d d d+=⇒=，由根与系数的关系可得：123123,b d x x x x x x a a++=-=-， ∴1231223131231111996x x x bx x x x x x x x x d++++===．（7）函数())02f x x π=≤≤的值域为_______________________________________________．解析：令1sin ,1cos x a x b -=-=，则()()())220,1,111f x a b a b ==≤≤-+-=，故点(),P a b 在圆()()22111x y -+-=上，设直线OP 的倾斜角为θ，则02πθ≤≤，于是()[]cos 1,0f x θ=-∈-．（8）设I 为△ABC 的内心，且3450IA IB IC ++=，则角C ＝_______________________________________________．解析：作1113,4,5IA IA IB IB IC IC ===，则点I 是111A B C △的重心， ∴11111111113IA B IB C IA C A B C S S S S ∆∆∆∆===， ∴111111111111,,366045IAB A B C IBC A B C ICA A B C S S S S S S ∆∆∆∆∆∆===， ∴111::::::3:4:5604536IBC ICA IAB a b c S S S ∆∆∆===， ∴222a b c +=，∴2C π=．（9）已知正数,,x y z 满足2222221,2,3x y xy y z yz z x zx ++=++=++=，则x y z ++=_______________________________________________．解析：作,,FA x FB y FC z ===，且FA 、FB 、FC 两两夹角为120°，那么点F 是△ABC 的费马点，于是1AB ==，BC ==CA ==在△ABC 外作等边△BCD ，在DF 上取一点E 使得△CEF 是等边三角形，C 1B 1C那么△BFC ≌△DEC ，∴x y z ++=AD ，在△ABD中运用余弦定理得：AD =（10）在一个边长为a 的正方形草坪的四个角上都安有喷水装置，喷水装置都可以90°旋转喷水，每个喷水装置都可以从其所在角的一边旋转喷水至该角的另一边，其有效射程均为a ，则草坪上能同时被四个喷水装置喷水覆盖的区域占整个草坪的比例为________________________．解析：如图所示，即求曲边四边形EFGH 占正方形ABCD 的面积的比例．以B 为原点，BC 所在直线为x 轴， BA 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，那么弧AEHC 所在圆的方程为222x y a +=，弧BFED 所在圆的方程为()222x a y a -+=，联立解得：2a E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，同理可得：,,,,222a a a G F H ⎛⎫⎫⎫⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，作EK ⊥CD 于K ，则∠DCE ＝∠ECF ＝∠FCB ＝30°，CE ＝CF ＝a ， ∴20211sin3024CEF S a a ∆==，2212612CEF S a aππ==扇形，(222222222EFGHa a S a a a ⎛⎫⎛⎫=-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭正方形，∴()2413CEF EFGH CEF EFGH S S S S a π∆⎛=+-=+-⎝正方形扇形凸曲边四边形，因此草坪上能同时被四个喷水装置喷水覆盖的区域占整个草坪的比例为13π+．法二：依对称性知，△BCE 是等边三角形，作EK ⊥CD 于K ，则12EK a =，∴∠ECD ＝30°，同理∠BCF ＝30°，从而∠ECF ＝30°， ∴20211sin3024CEFS a a ∆==， 2212612CEFS a a ππ==扇形，D C(222222EFGH a a S a ⎛⎫⎫=-+-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭正方形，∴()2413CEF EFGH CEF EFGH S S S S a π∆⎛=+-=+-⎝正方形扇形凸曲边四边形，因此草坪上能同时被四个喷水装置喷水覆盖的区域占整个草坪的比例为13π+．（二）解答题（本大题共4个小题，前两题各15分，后两题各20分，共70分）（11）（本小题满分15分）已知实数(),1,x y ∈+∞，且210xy x y --+=，求2232x y +的最小值．解析：由已知得：121y x =+-，于是22223312221x y x x ⎛⎫+=++ ⎪-⎝⎭，记()2231221f x x x ⎛⎫=++ ⎪-⎝⎭，则()()211'32211f x x x x -⎛⎫=++ ⎪-⎝⎭- ()()()()()()()3333331423214261611x x x x x x x x x --+----+--==--()()()()()()323321426211x x x x x x x ----+--+=-()()()()()()()()32233233312312111x x x x x x x x x x x --+---++-==--， ∴当12x <<时，()'0f x <；当2x >时，()'0f x ≥；当2x =时，()'0f x =； ∴()f x 在()1,2上是减函数，在()2,+∞上是增函数，∴()()min 215f x f ==．法二：令1,2x m y n -=-=，则()()121,0,0mn x y m n =--=>>，于是()222222331314312342222x y m m m m m m ⎛⎫+=+++=+++++ ⎪⎝⎭222111*********m m m m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当1m =时，即2,3x y ==时等号成立，因此2232x y +的最小值是15．（12）（本小题满分15分）已知正实数数列{}n a 满足：()2221123*n n a a a a n N +=-∈，且(11*2a N +∈，求证：(121*2n n a a a a N +∈．解析：下面用数学归纳法证明．当1n =时，由已知得(11*2a N +∈，结论显然成立；假设当n k =时，结论成立，即(121*2k k a a a a N +∈，记(1212k k t a a a a =+，则*t N ∈，于是得：222211212441k k k a a a a t a a a t +=-++，又2221123k k a aa a +=-，∴212111,3k k a a a t a t t t +⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，那么当1n k =+时，(12112k k a a a a a ++()2222121121142k k k k a a a a a a a a ++⎡⎤=+-⎣⎦2222111113342t t t t t t t t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-+++-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦333333311111*22t t t t N t t t ⎡⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢=++=++-=∈ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎣⎦⎣，因此当1n k =+时结论成立；综上所述，对任意的自然数n ，都有(121*2n n a a a a N +∈成立．（13）（本小题满分20分）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>经过点12P ⎫⎪⎝⎭，离心率2e =()()2,0M t t >． ⑴求椭圆的标准方程；⑵求以OM 为直径且被直线3450x y --=截得的弦长为2的圆的方程；⑶设F 是椭圆的右焦点，过点F 作直线OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ，证明线段ON 的长为定值，并求出这个定值．解析：⑴由已知得：222222221121,2a b e a b a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭⎝⎭+===，联立解得：1a b ==，故椭圆方程是2212x y +=．⑵由弦心距公式得：22224542114,29t t t t ⎫-⎪⎛⎫⎛⎫⎪+=+⇒==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或舍，故所求圆的方程为()()22125x y -+-=；⑶设()00,N x y ，则()()000020ON MN xx y y t =-+-=，又()00210OM FN x ty =-+=，以上两式相加得：220020x y +-=，故ON ==（14）（本小题满分20分）求最大的正整数n ，将正整数从1到400任意填入20×20的400个方格中，总有一行或一列中的两数之差不小于n ．解析：将正方形表格分为20×10的两个矩形表格，然后将1到200依次逐行按照从小到大的顺序填入左侧表格，同样将201到400依次逐行按照从小到大的顺序填入右侧表格，则在此表格中，每行中两数之差不大于209，每列中两数之差不大于189， ∴209n ≤．令{}{}1,2,,91,300,301,,400M N ==，易知，若集合M 、N 中各有一个数位于表格的同一行或同一列，以下不会．。

专题39排列组合与图论第二缉-备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)

备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题39排列组合与图论第二缉1．【2017年新疆预赛】在某次交友活动中,原计划每两个人都要恰好握1次手,但有4个人各握了两次手之后就离开了.这样,整个活动共握了60次手,那么最开始参加活动的人数是.【答案】15【解析】提示:设参加活动的人数为,其中中途退出的4个人之间的握手次数为.n +4x (0≤x ≤C 24=6)从而由题意得,即.C 2n +4⋅2=60+x n (n ‒1)=104+2x 由且为整数,可得.0≤x ≤6x x =3,n =11故最开始参加活动的人数为.n +4=152．【2016年福建预赛】将16本相同的书全部分给四个班级，每个班级至少有一本书，且各班所得书的数量互不相同.则不同的分配方法种数为________(用数字作答).【答案】216.【解析】将16分解成四个互不相同的正整数的和有9种不同的方式：16=1+2+3+10，16=1+2+4+9，16=1+2+5+8，16=1+2+6+7，16=1+3+4+8，16=1+3+5+7，16=1+4+5+6，16=2+3+4+7，16=2+3+5+6.故符合条件的不同分配方法数为9=216.A 443．【2016年山东预赛】在的展开式中，x 的整数次幂项的系数和为_____.(x +x +1)2n +1(n ∈Z +)【答案】12(32n +1+1)【解析】令，P =(x +x +1)2n +1.Q =(x ‒x +1)2n +1由二项式定理，知P 、Q 中的x 的整数次幂项之和相同，记作S （x ），非整数次幂项之和互为相反数.故2S (x )=P +Q=(x +x +1)2n +1+(x ‒x +1)2n +1令.则所求的系数和为.12(32n +1+1)4．【2016年山东预赛】设为（1，2，…，20）的一个排列，且满足(x 1,x 2,⋯,x 20)∑20i =1(|x i ‒i |+|x i +i |).则这样的排列有________个.=620【答案】(10!)2【解析】因为，所以，x i >0∑20i =1(|x i ‒i |+|x i +i |)=20∑i =1(|x i ‒i |+(x i +i ))=20∑i =1|x i ‒i |+20∑i =1(x i +i ).=∑20i =1|x i ‒i |+∑20i =12i =620原式化简得.∑20i =1|x i ‒i |=200注意到，，且为（1，2，…，20）的一个排列.|a ‒b |=max {a,b}‒min {a,b}(x 1,x 2,⋯,x 20)于是，在中，每个数作为最大值或最小值最多只能两次.max{x i ,i}、min{x i ,i}(1,2,⋯,20)20∑i =1max{x i ‒i}‒20∑i =1min{x i ‒i}.≤2∑20i =11i ‒220i =1i 故200=∑20i =1|x i ‒i |20∑i =1(max{x i ‒i}‒min{x i ‒i})=20∑i =1max{x i ,i}‒20∑i =1min{x i ,i}.≤2∑20i =1i ‒220i =1i =200从而，，{x 1,x 2,⋯,x 10}={11,12,⋯,20}.{x 11,x 12,⋯,x 20}={1,2,⋯,10}由分布计数原理，排列的个数为.{x 1,x 2,⋯,x 20}(10!)25．【2016年新疆预赛】平面上个圆两两相交,最多有______个交点.n 【答案】n (n ‒1)【解析】2两个圆相交时,最多有个交点;2+4=6三个圆相交时,最多有个交点;2+4+6=12四个圆相交时,最多有个交点;n2+4+…+2(n‒1)=n(n‒1)个圆相交时,最多有个交点.6．【2016年天津预赛】甲、乙两名学生在五门课程中进行选修,他们共同选修的课程恰为一门且甲选修课程的数量多于乙.则甲、乙满足上述条件的选课方式的种数为______.【答案】155【解析】C15(a,b)甲、乙共同选修的课程有种选法,其余的每一门课程甲、乙两人至多只有一人选修.用表示其余四门a b课程中甲选门、乙选门的情形.a>b(4,0),(3,0),(3,1),(2,0),(2,1),(1,0)则由,知共有六种情形.于是,甲、乙满足上述条件的选课方式的种数为C15(C44+C34+C34+C24+C24C12+C14)=155.7．【2016年吉林预赛】学校5月1日至5月3日拟安排六位领导值班，要求每人值班1天，每天安排两人.若六位领导中的甲不能值2日，乙不能值3日，则不同的安排值班的方法共有_______种.【答案】42【解析】分两类：C24=6（1）甲、乙同一天值班，则只能排在1日，有种排法.C14C13×3=36（2）甲、乙不在同一天值班，有种排法.故共有42种方法.8．【2016年吉林预赛】学校5月1日至5月3日拟安排六位领导值班，要求每人值班1天，每天安排两人.若六位领导中的甲不能值2日，乙不能值3日，则不同的安排值班的方法共有_______种.【答案】42【解析】分两类：C24=6（1）甲、乙同一天值班，则只能排在1日，有种排法.（2）甲、乙不在同一天值班，有种排法.C 14C 13×3=36故共有42种方法.9．【2016年上海预赛】将90 000个五位数10 000,10 001,···,99 999打印在卡片上，每张卡片上打印一个五位数，有些卡片上所打印的数(如19 806倒过来看是90861 )有两种不同的读法，会引起混淆。

2016年高考理科数学山东卷-答案

【提示】可令，代入双曲线的方程，求得，再由题意设出，，，的坐标，由，可得，，的方程，运用离心率公式计算即可得到所求值．
【考点】双曲线的简单性质
14.【答案】
【解析】直线与圆相交，所以圆心到直线距离小于半径，
，，，，．
【提示】利用圆心到直线的距离小于半径可得到直线与圆相交，可求出满足条件的，最后根据几何概型的概率公式可求出所求．
（ⅱ）由直线的方程为，令，可得，运用三角形的面积公式，可得，，化简整理，再，整理可得的二次方程，进而得到最大值及此时的坐标．
【考点】椭圆的简单性质
【提示】求得函数的周期为1，再利用当时，，得到，当时，，得到，即可得出结论．
【考点】抽象函数及其应用
10.【答案】A
【解析】（A）函数的特征是存在两点切线垂直，既存在两点导数值相乘为；
（B）选项中的导数是恒大于，斜率成绩不可能为；
（C）选项中的导函数恒大于，斜率成绩不可能为；
【考点】并集及其运算
3.【答案】D
【解析】由频率分布直方图可知：组距为2．5，故这200名学生中每周的自பைடு நூலகம்时间不少于22．5小时的频率为：，人数是人．
【提示】根据已知中的频率分布直方图，先计算出自习时间不少于22．5小时的频率，进而可得自习时间不少于22．5小时的频数．
【考点】频率分布直方图
4.【答案】C
．
（Ⅱ），
，，且，当且仅当时取等号，
又，，，
由余弦定理，
的最小值为．
【提示】（Ⅰ）由切化弦公式，，带入并整理可得，这样根据两角和的正弦公式即可得到，从而根据正弦定理便可得出；

2015年全国高中数学联赛山东赛区预赛试题详解

2015年全国高中数学联赛山东赛区预赛试题详解2015年9月6日一、填空题（本题共10小题，每小题8分，共80分）1．复数z 满足5z =，且()34i z +是纯虚数，则z =_________________________________________________．解析：由已知得：()343425i z i z +=+= ，故()3425i z i +=±，于是()25253443343434i i iz i i i i±-==±=±+++- ，因此()43z i =±-． 2．方程44sin cos 1x x -=的解为_________________________________________________．解析：由于()()44222222sin cos sin cos sin cos sin cos cos 2x x x x x x x x x -=+-=-=-，故cos 21x =-，∴()22x k k Z ππ=+∈，因此()2x k k Z ππ=+∈．法二：由己知得：44sin 1cos 1x x =+≥，又4sin 1x ≤，∴44sin 1,cos 0x x ==， ∴sin 1,cos 0x x =±=，因此()2x k k Z ππ=+∈．3．设函数()()221sin 1x xf x x ++=+的最大值是M ，最小值是N ，则M N += _________________________．解析：由已知得：()22sin 11x xf x x +-=+是奇函数，最大值与最小值是相反数，故()()110M N -+-=，∴2M N +=． 4．如图，O 是半径为1 的球的球心，点,,A B C 在球面上，,,OA OB OC 两两垂直，,E F 分别是,AOB AOC ∠∠对应的 ,AB AC 的中点，则点,E F 在该球面上球面距离是_________________________．解析：由已知得：面OAB ⊥面OAC ，作EM ⊥OA 于M ，连接MF ，则EM ⊥MF 且MF ⊥OA ，由已知得：∠EOM=∠FOM=4π，∴EF=1，故EOF ∆是等边三角形，因此∠EOF=3π，从而点,E F 在该球面上球面距离是3π． 5．已知[),0,x y ∈+∞且满足331x y xy ++3=，则2x y 的最大值是_________________________________________________．解析：∵ ()()()()233333x y xy x y x y xy xy x y xy x y ⎡⎤++3=++-+3=+-+⎣⎦，∴()()3131x y xy x y +-=+-，∴()()()()21131x y x y x y xy x y ⎡⎤+-++++=+-⎣⎦，∴()()()21130x y x y x y xy ⎡⎤+-++++-=⎣⎦，∵()()()()213413110x y x y xy xy x y xy xy x y ++++-≥+++-=+++≥>， ∴10x y +-=，∴1y x =-，于是()()32142241422327x x x x x x y x ⎡⎤++-⎢⎥=-≤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，当且仅当12x x =-即21,33x y ==时等号成立，因此2x y 的最大值是427． 6．将正整数列{}1,2,3, 中的所有完全平方数去掉后仍按原顺序构成数列{}n a ，则2015a = _________________________________________________．解析：依题意知：若()()221*n k a k k N <<+∈，则n a n k =+，由()()2220151*k k k k N <+<+∈解得：45k =，因此20152060a =．7．把1，2，3，4，5，6这六个数随机排成一列组成一外数列，要求该数列恰好先增后减，这样的数列共有_________________________________________________个．解析：按此数列中在数字6两边的个数可分为：6右边1个数时符合条件的数列有15C 个，6右边2个数时符合条件的数列有25C 个， 6右边3个数时符合条件的数列有35C 个，6右边4个数时符合条件的数列有45C 个，因此符合条件的数列共有1234555530C C C C +++=个．8．设1a >，若关于x 的方程x a x =无实根，则实数a 的取值范围为_________________________．解析：由x y a =和y x =的图象可知：若()1xa x a =>无实根，则0x a x ->恒成立，设()xf x a x =-，则()'ln 1xf x a a =-，由()'0f x <得：log ln a x a <-，由()'0f x >得：log ln a x a >-，于是()f x 在(),log ln a a -∞-上递减，在()log ln ,a a -+∞上递增， ∴()f x 在log ln a x a =-处取得最小值()()1log ln log ln log ln ln a a a f a a e a a-=+=，因此只须()min 0f x >，即()log ln 0a e a >，∴ln 1e a >，∴1ln a e>，∴1e a e >． 9．在ABC ∆中，角,,A B C 满足A B C <<且sin sin sin cos cos cos A B CA B C++=++则B ∠= _________________________________________________．（培优教程一试三角函数最后一节的习题8）解析：原式可化为：()()()sin sin sin 0A A B B C C ++-=，∵()()()sin sin sin A A B B C C ++2sin 2sin 2sin 333A B C πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2sin 2sin 2sin 3333A B A B ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+---+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦33334sin cos 22A B A B ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=33334sin cos22A B A B ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-3333334sin cos cos 222A B A B A B ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+------- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦3338sinsinsin222C A B πππ---=-∴333sinsinsin0222C A B πππ---=，故角,,A B C 中必有一个角为3π，又A B C <<，因此3B π=．10．已知集合{}1,2,,99M = ，现随机选取集合M 中9个元素做成子集，记该子集中的最小数为ξ，则E ξ= _________________________________________________．解析：集合M 中以正整数()199k k ≤≤为最小数的9元子集有899k C -个，故E ξ=88888989796958999999999999999123491C C C C C C C C C C +++++()()()888888888898979689796896889991C C C C C C C C C C C ⎡⎤=+++++++++++++⎣⎦ ()1099991009998979999999110C C C C C C C =++++== ．二、解答题（本大题共4个小题，共70分，需写出详细的解答过程）11．（本小题满分15分）求证：不存在这样的函数{}:1,2,3f z →满足对任意的整数,x y ，若{}2,3,5x y -∈，则()()f x f y ≠．解析：假设存在这样的函数{}:1,2,3f z →，则对任意正整数n ，()f n 与()()()2,3,5f n f n f n +++均不相同，…………（*）由于函数值域中只有三个值，且()f n 占用了一个值，因此()()()2,3,5f n f n f n +++中至少有两个是相同的，若()()23f n f n +=+，则()f n 为常数函数，函数值只有一个，与（*）式矛盾；若()()25f n f n +=+，则()()3f n f n =+，与（*）式矛盾；若()()35f n f n +=+，则()()2f n f n =+，与（*）式矛盾；因此假设不成立，即不存在这样的函数f ．法二：假设存在这样的函数{}:1,2,3f z →，则对任意正整数n ，()f n 与()()()2,3,5f n f n f n +++均不相同，…………（*）由于函数值域中只有三个值，因此()()()(),2,3,5f n f n f n f n +++中至少有两个是相同的， ∵()()2f n f n ≠+∴()()35f n f n +≠+， ∵()()3f n f n ≠+∴()()25f n f n +≠+，又()()5f n f n ≠+，故必有()()23f n f n +=+，由此得：()()34f n f n +=+， ∴()()()222f n fn +=++，与（*）式矛盾，因此假设不成立，即不存在这样的函数f ．12．（本小题满分15分）对任意的实数x 和自然数n ，试比较2sin n x 和sin sin x nx 的大小．解析：下面先证明()2sin sin sin sin sin sin 0n x x nx x n x nx -=-≥．当sin 0x =时，结论显然成立；当sin 0x ≠时，下面用数学归纳法证明sin sin nxn x≤成立；当1n =时，结论显然成立；假设当n k =时，结论成立，即sin sin kxk x≤成立，那么当1n k =+时，()sin 1sin cos cos sin sin cos cos sin sin sin k x kx x kx x kxkx x x x x++==+sin cos cos 1sin kxkx x k x≤+≤+，因此当1n k =+时结论成立；由数学归纳法可知：sin sin nxn x≤，对任意自然数n 都成立， ∴2sin sin sin x nx n x ≤即2sin sin sin x nx n x≤，∴2sin sin sin sin sin 0n x x nx x nx ≥≥≥，综上所述，对任意的实数x 和自然数n ，都有2sin sin sin n x x nx ≥成立．13．（本小题满分20分）已知椭圆22122:1x y C a b+=，不过原点的直线l 和椭圆相交于两点A ，B ，⑴求△AOB 面积的最大值；⑵是否存在椭圆2C ，使得对于2C 的每一条切线和椭圆1C 均相交，设交于A ，B 两点，且△AOB 的面积恰取最大值？若存在，给出该椭圆，若不存在，说明理由．解析：⑴若直线l 斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，代入到椭圆方程得：()22222222220a kb x a kmx a m a b +++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则有2222212122222222,a km a m a b x x x x a k b a k b-+=-=++，故2222abAB a k b==+ 原点O 到直线l的距离为d =，于是△AOB 的面积为()222222222221222AOBm a k b m ab abab S AB d a k b a k b ∆++-===++ 因此对任意的k ，都有2AOB abS ∆≤，等号成立当且仅当22222a k b m +=；若直线l 斜率不存在，设l 的方程为0x x =，则A 、B两点的坐标为0,x ⎛ ⎝，于是△AOB 的面积为()2220022AOBx a x b ab S a ∆+-=≤= ，等号成立当且仅当2202a x =；综上所述，△AOB 面积的最大值是2ab； ⑵设满足条件的椭圆2C 的方程为2222222:1x y C a b +=，过椭圆2C 上任一点()00,P x y 的切线方程为0022221x x y ya b +=，该切线与椭圆1C 相交于A ，B 两点， ①当切线的斜率不存在时，00y =，2202x a =，切线方程为0x x =，由⑴知△AOB 面积取得最大值2ab 的充要条件是2202a x =，可得：2222a a =，解得：22212a a =； ②当切线的斜率存在时，222002221y x a b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，切线的斜率220220b x k a y =-，纵截距220b m y =，∴()2242222220242242222222202224242220200222a a b b y a b x b b a k b b b b b a y a y y -+=+=+=-+ ，由⑴知△AOB 面积取得最大值2ab的充要条件是22222a k b m +=，可得：44222222200222b b b b y y -+=，解得：22212b b =；综上所述，存在椭圆222221:2x y C a b +=符合题意，满足对于椭圆2C 的每一条切线和椭圆1C 都相交，设交点为A ，B ，这时△AOB 的面积恰取最大值2ab． 14．（本小题满分20分）已知数列{}n a 满足()11211,*n n n a a a n N a +==+∈， ⑴求证：当2n ≥时，33n a n >；⑵当4n ≥时，求39n a 的整数部分39n a ⎡⎤⎣⎦．解析：由11211,0n n n a a a a +=-=>可知：数列{}n a 是正项递增数列，⑴当2n =时，3222,8a a ==，满足33n a n >，假设当()2,*n k k k N =≥∈时命题成立，即33k a k >，则当1n k =+时，()33331236131333331k k k k k k k a a a a k k a a a +⎛⎫=+=+++>+>+=+ ⎪⎝⎭，故当1n k =+时命题成立，由数学归纳法知：对任意正整数2n ≥，33n a n >都成立； ⑵由⑴知当2n ≥时，()333393927na n n >⨯=，故393n a n >，……………………（*）当4n ≥时，3113n a n<且n ≥> 由33136313n n n n a a a a +-=++，依次代入1,2,3,,n ，然后累加可得： 331133333366661234512311111111113n n n a a n a a a a a a a a a a +⎛⎫⎛⎫=++3+++++++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭31333333666612345123111*********n n a n a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++3+++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2221111111111312345923n n n ⎛⎫⎛⎫<++3++++++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()11111113123912231n n n ⎛⎫<++3++++++++ ⎪ ⎪⨯⨯-⎝⎭1111131135239n n n ⎛⎫=++3+++++-<+ ⎪⎝⎭∴33135n n a a n +<<+，()3333232927352739131n a n n n n n n <++<+++=+，∴3931n a n <+，………………………………………………………………………（**）因此由（*）与（**）两式可得：393n a n ⎡⎤=⎣⎦．。

2016年全国高中数学联赛试题及答案详解(B卷)

4
C2 : x2 + y2 + 2x − 2ay + 3 =0, 则直线 l 的方程为
．
答案： 2x − 4 y + 5 =0. 解： C1,C2 的标准方程分别为
C1 : x2 + y2 = 1,C2 : ( x + 1)2 + ( y − a)2 = a2 − 2.
由于两圆关于直线 l 对称，所以它们的半径相等．因此 a = a2 − 2 > 0, 解得 a = 2. 故 C1,C2
a2 − b2 + 2abi + 2a + 2bi =a − bi, 比较虚、实部得 a2 − b2 +=a 0, 2ab + = 3b 0. 又由 z ≠ z 知 b ≠ 0 ，从而有
2a + 3 =0, 即 a = − 3 ，进而 b =± a2 + a =± 3 .
2
2
于是，满足条件的复数
z
的积为
11.（20 分）在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 C 的方程为 x2 − y2 = 1 ．求符合以下要
求的所有大于1的实数 a ：过点 (a, 0) 任意作两条互相垂直的直线 l1 与 l2 ，若 l1 与双曲线 C 交
于 P,Q 两点， l2 与 C 交于 R, S 两点，则总有 PQ = RS 成立．
的两个不同的解，求 a1a2 a100 的值．
10.（20 分）在 ABC 中，已知 AB ⋅ AC + 2BA ⋅ BC = 3CA ⋅ CB. （1）将 BC,CA, AB 的长分别记为 a,b, c ，证明： a2 + 2b2 = 3c2 ；（2）求 cos C 的最小值．

2016年高考理科数学山东卷-答案

故概率；
（Ⅱ）“星队”两轮得分之和为可能为：0，1，2，3，4，6，则，
，
，
，
，
，
故的分布列如下图所示：
X
0
1
2
3
4
6
P
数学期望．
【提示】（Ⅰ）“星队”至少猜对3个成语包含“甲猜对1个，乙猜对2个”，“甲猜对2个，乙猜对1个”，“甲猜对2个，乙猜对2个”三个基本事件，进而可得答案；
（Ⅱ）由已知可得：“星队”两轮得分之和为可能为：0，1，2，3，4，6，进而得到的分布列和数学期望．
【考点】几何概型
15.【答案】
【解析】当时，函数的图象如下：
时，，要使得关于的方程有三个不同的根，必须，即，解得，的取值范围是．
【提示】作出函数的图象，依题意，可得，解之即可．
【考点】根的存在性及根的个数判断
三、解答题
16.【答案】（Ⅰ）由得：，
两边同乘以得，，
，即 ①，根据正弦定理，，，，，带入①得，
2016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
理科数学答案解析
第Ⅰ卷
一、选择题
1.【答案】B
【解析】设，，则，，，，．
【提示】设出复数，通过复数方程求解即可．
【考点】复数代数形式的乘除运算
2.【答案】C
【解析】，，，，．
【提示】求解指数函数的值域化简，求解一元二次不等式化简，再由并集运算得出答案．
【提示】求得函数的周期为1，再利用当时，，得到，当时，，得到，即可得出结论．
【考点】抽象函ห้องสมุดไป่ตู้及其应用
10.【答案】A

2016年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(山东卷,正式版解析)

绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（山东卷）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。

答案写在试卷上无效。

3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式：如果事件A,B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的（1）若复数z 满足232i,z z +=- 其中i 为虚数单位，则z =（A ）1+2i（B ）1-2i（C ）12i -+ （D ）12i --【答案】B考点：注意共轭复数的概念.（2）设集合2{|2,},{|10},x A y y x B x x ==∈=-<R 则AB =（A ）(1,1)-（B ）(0,1) （C ）(1,)-+∞ （D ）(0,)+∞【答案】C 【解析】试题分析：}0|{>=y y A ，}11|{<<-=x x B ，则}1|{->=x x B A ，选C. 考点：本题涉及到求函数值域、解不等式以及集合的运算.（3）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30] .根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（A ）56（B ）60（C ）120（D ）140【答案】D考点：频率分布直方图（4）若变量x ，y 满足2,239,0,x y x y x 则22x y 的最大值是（A ）4 （B ）9 （C ）10 （D ）12【答案】C 【解析】试题分析：不等式组表示的可行域是以A (0,-3),B (0,2),C (3,-1)为顶点的三角形区域,22x y +表示点（x ,y ）到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值210OC =,故选C.考点：线性规划求最值（5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（A ）1233+π （B ）123+π （C ）123+π （D ）21+π 【答案】C考点：根据三视图求体积.（6）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】试题分析：直线a 与直线b 相交,则,αβ一定相交,若,αβ相交,则a ,b 可能相交，也可能平行,故选A. 考点：直线与平面的位置关系；充分、必要条件的判断.（7）函数f （x ）=3sin x +cos x ）3cos x –sin x ）的最小正周期是（A ）2π（B ）π （C ）23π（D ）2π 【答案】B 【解析】试题分析：()2sin 2cos 2sin 2663f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故最小正周期22T ππ==,故选B. 考点：三角函数化简求值，周期公式（8）已知非零向量m ，n 满足4│m │=3│n │，cos<m ，n >=13.若n ⊥（t m +n ），则实数t 的值为（A ）4 （B ）–4 （C ）94 （D ）–94【答案】B考点：平面向量的数量积（9）已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，3()1f x x =- ；当11x -≤≤ 时，()()f x f x -=-；当12x > 时，11()()22f x f x +=- .则f (6)= （A ）−2（B ）−1（C ）0（D ）2 【答案】D 【解析】试题分析：当12x >时，11()()22f x f x +=-,所以当12x >时，函数()f x 是周期为1的周期函数，所以(6)(1)f f =，又因为函数()f x 是奇函数，所以()3(1)(1)112f f ⎡⎤=--=---=⎣⎦，故选D.考点：本题考查了函数的周期性、奇偶性，灵活变换求得函数性质是解题的关键.（10）若函数y =f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y =f (x )具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（A ）y =sin x （B ）y =ln x （C ）y =e x （D ）y =x 3 【答案】A 【解析】试题分析：当sin y x =时，cos y x '=，cos0cos 1π⋅=-，所以在函数sin y x =图象存在两点0,x x π==使条件成立，故A 正确；函数3ln ,,xy x y e y x ===的导数值均非负，不符合题意，故选A. 考点：本题注意实质上是检验函数图像上存在两点的导数值乘积等于-1.第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

2016年高中数学联赛试题答案

2 2
2
2
3. 正实数 u , v, w 均不等于 1，若 log u vw log v w 5 ， log v u log w v 3 ，则． log w u 的值为 4 答案：． 5 解：令 log u v a, log v w b ，则 1 1 log v u , log w v ， log u vw log u v log u v log v w a ab ， a b 1 1 5 条件化为 a ab b 5, 3 ，由此可得 ab ．因此 a b 4 1 4 log w u log w v log v u ． ab 5 4. 袋子 A 中装有 2 张 10 元纸币和 3 张 1 元纸币，袋子 B 中装有 4 张 5 元纸币和 3 张 1 元纸币．现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则 A 中剩下的纸币面值
M 为 AP 的中点．若 AB 1, AC 2, AP 2 ，则二面角 M BC A 的大小为． 2 答案： arctan ． 3 解：由 ABC 90 知， AC 为底面圆的直径．设底面中心为 O ，则 PO 平面 ABC ．易知 1 AO AC 1 ，进而 PO AP 2 AO 2 1 ． 2 设 H 为 M 在底面上的射影，则 H 为 AO 的中点．在底面中作 HK BC 于点 K ，则由三垂线定理知 MK BC ，从而 MKH 为二面角 M BC A 的平面角． 3 1 HK HC 3 因 MH AH ，结合 HK 与 AB 平行知，，即 HK ， 4 2 AB AC 4 MH 2 2 这样 tan MKH ．故二面角 M BC A 的大小为 arctan ． 3 HK 3 kx kx 6. 设函数 f ( x) sin 4 cos 4 ，其中 k 是一个正整数．若对任意实数 a ， 10 10 均有 f ( x) a x a 1 f ( x) x R ，则 k 的最小值为．

2016年全国高中数学联赛 山东省预赛试题及解析

2016年高考理科数学山东卷及答案解析

2017年全国高中数学联赛山东赛区预赛试题详解

2016年高考山东理科数学试题及答案(word解析版)

专题37不等式第六缉(解析版)-备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)

2016年高考数学真题山东理科解析

2016年高考理科数学山东卷(含答案解析)

2016年高考山东理科数学试题及答案(word解析版)

2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2024年全国高中数学联赛一试(A卷)试题(含答案)

全国高中数学联赛省级预赛模拟试题

2016年高考山东卷理数试题(教师版含解析)

2017年全国高中数学联赛山东赛区预赛试题详解

专题39排列组合与图论第二缉-备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)

2016年高考理科数学山东卷-答案

2015年全国高中数学联赛山东赛区预赛试题详解

2016年全国高中数学联赛试题及答案详解(B卷)

2016年高考理科数学山东卷-答案

2016年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(山东卷,正式版解析)

2016年高中数学联赛试题答案

2016年全国高中数学联赛山东省预赛试题及解析