数学建模资源分配

目录

一、问题重述 (2)

二、符号说明 (2)

三、模型假设 (3)

四、问题分析 (3)

五、模型建立与求解 (4)

六、模拟程序设计 (6)

七、误差分析 (7)

八、模型的应用 (7)

九、模型评价 (7)

十、小结 (8)

十一、参考文献 (10)

一、问题重述

某储蓄所每天的营业时间是上午九点到下午五点，根据经验每天不同的时 间段所需要的服务员数量如下：

储蓄所可以雇佣全时和半时两类服务员。全时服务员每天报酬 100 元，从 上午 9;00 到下午 5:00，但中午 12:00 到下午 2:00 之间必须安排一小时的午餐 时间。 储蓄所每天可以雇佣不超过 3 名的半时服务员， 每个半时服务员必须连续 工作 4 小时，报酬 40 元。问该储蓄所应如何雇佣全时和半时两类服务员？如果 不能雇佣半时服务员， 每天至少增加多少费用？如果雇佣半时服务员的数量没有 限制，每天可以减少多少费用？

二、符号说明

时间段

(时)

9-10 10-11 11-12 12-1 1-2 2-3 3-4 4-5 服务 4 3 4 6 5 6 8 8

y1,y2,y3,y4,y5 —————— 1:00 至 2:00 为x2.半时服务员从 9:00 至 1:00 以

小时为单位的人数；

x1———————————— 12:00 至 1:00 为为全时服务员人数；

x2———————————— 1:00 至 2:00 为为全时服务员人数；

三、模型假设

1. 题中所给的数据是在微小的范围内变化的数据。

2. 所给的数据基本上有效。

3. 目标函数就是所求的资源分配方案。

四、问题分析

本问题是一个资源决策分配的最优化问题数学模型。主要是针对根据不同的报酬雇佣全时与半时服务员的如何分配问题 , 首先应定义了相关的决策变量，对不同的条件约束 ,列出对应的目标函数 ,利用相关的工具进行操作 ,最后对结果进行分析.

问题的关键

1. 定义相关的决策变量 . 列出目标函数。

2. 转化为定量说明。

3. 列出目标函数。

(1) 分析问题，收集资料。需要搞清楚需要解决的问题，分析有可能的情

况。

(2) 建立模拟模型，编制模拟程序。按照一般的建模方法，对问题进行适

当的假设。也就是说，模拟模型未必要将被模拟系统的每个细节全部

考虑。模拟模型的优劣将通过与实际系统有关资料的比较来评价。如

果一个“粗糙”的模拟模型已经比较符合实际系统的情况，也就没有

必要建立费时、复杂的模型。当然，如果开始建立的模型比较简单，与实际系统相差较大，那么可以在建立了简单模型后，逐步加入一些原先没有考虑的因素，直到模型达到预定的要求为止。编写模拟程序之前，要先画出程序框图或写出算法步骤。然后选择合适的计算机语言，编写模拟程序。

(3) 运行模拟程序，计算结果。为了减小模拟结果的随机性偏差，一般要

多次运行模拟程序。

(4) 分析模拟结果，并检验。模拟结果一般说来反映的是统计特性，结果

的合理性、有效性，都需要结合实际的系统来分析，检验，以便提出

合理的对策、方案。

以上步骤是一个反复的过程，在时间和步骤上是彼此交错的。比如模型的修改和改进，都需要重新编写和改动模拟程序。模拟结果的不合理，则要求检查模型，并修改模拟程序。

五、模型建立与求解

问题一的回答

设全时服务员每天雇佣时间从 12:00 至 1:00 人数为 x1,1:00 至 2:00 为x2. 半时服务员从 9:00 至 1:00 以小时为单位分别为 y1,y2,y3,y4,y5.

则列出模型如下 :

Min=100x1+100x2+40y1+40y2+40y3+40y4+40y5 约束条件如下 :

x1+x2+y1>=4

x1+x2+y1+y2>=3

x1+x2+y1+y2+y3>=4

x2+y1+y2+y3+y4>=6

x1+y2+y3+y4+y5>=6

x1+x2+y4+y5>=8

x1+x2+y5>=8

y1+y2+y3+y4+y5<=3

x1,x2,y1,y2,y3,y4,y5>=0, 且为整数. 所求的结果如下

由结果分析：

问题一的回答：雇佣全时服务员 7 人,半时服务员 3 人.其中 12:00-1:00 全时服务员 3 名， 1： 00-2： 00 全时服务员 4 名。 11： 00-12： 00 雇佣半时服务员2 人， 12： 00-1： 00 雇佣半时服务员 1 人。 .

问题二的回答：不能雇佣半时服务员 ,则全时服务员 11 人,其中 12:00-1:00 全时服务员 5 名， 1： 00-2： 00 全时服务员 6 名。最小费用 1100 元, 即每天至少增加 280 元.

问题三的回答：如果雇佣半时服务员的数量没有限制 ,则应雇佣全时服务员0 人,半时服务员 14 人,其中雇佣半时服务员 9： 00—— 10： 00 为 4 人， 11： 00- 12： 00 为 2 人， 12： 00-1： 00 为 8 人。且最少费用 560 元, 即每天减少 260 元.

六、模拟程序设计

Max =-100*x1-100*x2-40*y1-40*y2-40*y3-40*y4-40*y5; x1+x2+y1>=4;

x1+x2+y1+y2>=3;

x1+x2+y1+y2+y3>=4;

x2+y1+y2+y3+y4>=6;

x1+y2+y3+y4+y5>=6;

x1+x2+y4+y5>=8;

x1+x2+y5>=8;

y1+y2+y3+y4+y5<=3;

y1+y2+y3+y4+y5<=3;

end