人教版高数必修五第2讲：正弦定理和余弦定理的应用(教师版)
人教版高中数学必修五正弦定理和余弦定理课件
解的情况
A为钝角或直角
a＞b a≤b
一解 无解
a＜bsinA
无解
A为锐角
a=bsinA bsinA＜a＜b
一解 两解
a≥b
一解
思考 : 在ABC中, a x, b 2, A 450,若这个三角形有
两解,则x的取值范围是 _____2_,_2____
正弦定理的推论： =2R (R为△ABC外接圆半径） （边换角）
在已知三边和一个角的情况下：求另一个角 ㈠用余弦定理推论，解唯一,可以免去判断舍取。 ㈡用正弦定理，计算相对简单，但解不唯一，要进行 判断舍取。
练习1：在△ABC中，已知
解：
=31+18 =49
∴b=7
练习2：
在△ABC中， a 7,b 4 3, c 13 ,求△ABC的最小角。
解：
72 （4 13）2 （ 13）2 274 3
二、可以用正弦定理解决的两类三角问题： （1）知两角及一边，求其它的边和角； （2）知三角形任意两边及其中一边的对角，求其它
的边和角（注意判断解的个数）
思考：你能用正弦定理来解释为什么在三角形中越大
的角所对的边就越大吗？
分析：设△ABC的三个角所对边长分别是a、b、c，
且∠A≥∠B≥∠C，
（1）若△ABC是锐角或直角三角形 ∵正弦函数y=sinx在 [0, ]上是增函数 2
2A 2k 2B 或 2A 2k 2B(k Z)
0 A,B ，∴k 0，则A B或A+B=
故△ABC为等腰三角形或直角三角形.
2
针对性练习 1、已知△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，且 b sinB=c sinC，则△ABC的形状是
高中数学新人教A版必修5课件：第一章解三角形1.2应用举例第二课时正、余弦定理在三角形中的应用
3 ,则∠BDC= π 或 2π .
62
33
3
又由 DA=DC,则 A= π 或 π . 63
(2)若△BCD的面积为 1 ,求边AB的长.
6
解:(2)由于 B= π ,BC=1,△BCD 的面积为 1 ,
4
6
则 1 BC·BD·sin π = 1 ,解得 BD= 2 .
2
46
3
由余弦定理得 CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos π =1+ 2 -2× 2 × 2 = 5 ,故 CD= 5 .
2
2
2
关系,又由正弦值还可求出余弦值,这就可以与余弦定理建立关系,另外面积公式中有两边
的乘积,在余弦定理中也有,所以面积公式、正弦定理和余弦定理之间可以相互变换,关键是
根据题中的条件选择正确的变换方向.
即时训练 1-1:在△ABC 中,已知 AB=2,AC=2 2 ,cos B= 1 . 3
(1)求sin C的值;
3
3
3
所以 sin(B+C)= 2 10 + 2 , 99
所以 sin A= 2 10 + 2 , 99
因为 AB=2,AC=2 2 ,
因为 S= 1 AB·AC·sin A,所以 S= 8 5 4 2 .
2
9
题型二 平面图形中线段长度的计算
【例2】 如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC= 7 . (1)求cos∠CAD的值;
49
3 29
3
又 AB=AD+BD=CD+BD= 5 + 2 = 2 5 ,
33
3
故边 AB 的长为 2 5 . 3
(人教版)数学必修五：1.1《正弦定理和余弦定理(2)》ppt课件
[ 正解]
∵2a＋1，a,2a－1 为三角形的三边， 1 解得 a> ，此时 2a＋1 最大． 2
2a＋1>0， ∴a>0， 2a－1>0，
∵2a＋1，a,2a－1 表示三角形的三边， 还需 a＋(2a－1)>2a ＋ 1 ， 解 得 a>2. 设 最 长 边 所 对 角 为 θ ， 则 cosθ ＝ a2＋2a－12－2a＋12 aa－8 1 ＝ <0，解得 <a<8.∴a 的取值 2 2a2a－1 2a2a－1 角时，可用正弦定理求解，也
可用余弦定理求解，但都要注意解的情况的讨论．利用余弦定 理求解相对简便．
已知△ABC 中，a＝1，b＝1，C＝120° ，则边 c＝________.
[ 答案] 3
[ 解析 ]
由余弦定理，得 c2 ＝ a2 ＋ b2 － 2abcosC ＝ 1 ＋ 1 －
[ 解析]
利用余弦定理的推论求角．
∵ 37>4>3，边 c 最大，则角 C 最大，
a2＋b2－c2 32＋42－37 1 又 cosC＝ ＝ ＝－ . 2ab 2 2×3×4 ∴最大角 C＝120° .
判断三角形的形状
在△ABC 中， 若 b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosBcosC， 试判断△ABC 的形状．
定理及推导 定理的内容 定理的几个变式 两边和夹角 余弦定理 解三角形类型 三边 定理的作用 三角形形 常见类型 状的判断 判断方法
如图， 在△ABC 中， 已知 BC＝15， AB AC＝7 8， sinB 4 3 ＝ ，求 BC 边上的高 AD 的长． 7
[ 解析] 在△ABC 中，
人教新课标版数学高二-2015年人教A版数学必修5教案2 正弦、余弦定理的综合应用
【学习目标】
1.掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
2.通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。
【学习重点】在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
【学习难点】正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用
【授课类型】新授课
【教具】课件、电子白板
【学习方法】
．在∆ABC。
6.4.3.3余弦定理、正弦定理应用举例(新教材)PPT课件(人教版)
型的解； （4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题
的解.
a sin .
sin 180 ( ) sin( )
计算出AC和BC后，再在△ABC中，应用余弦定理
计算出AB两点间的距离为
δγ D
α β
C
变式训练 一条河自西向东流淌，某人在河南岸A处看到河北岸两个目标C,D分别在 东偏北45°和东偏北60°方向，此人向东走300米到达B处之后,再看C,D, 则分别在西偏北75°和西偏北30°方向,求目标C,D之间的距离.
sin A a ,sin B b ,sin C c
2R
2R
2R
sin A: sin B : sin C a : b : c
将等式中的角换成 边，注意2R约掉。
1 课程导入
遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？在古代，天文学家没有 先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神秘的方法探索到这个奥 秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测 量方案，比如可以应用全等三角形、类似三角形的方法，或借助解直角三 角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会 不能实施.如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所 以，有些方法会有局限性.于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解 决的.今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用， 第一研究如何测量距离.
4 测量角度问题
例3：位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20 n mile的B处有 一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位 于甲船南偏西30°,且与甲船相距7 n mile的C处的乙船.那么乙船前往营 救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是北偏东 多少度（精确到1°）?需要航行的距离是多少海里（精确到1n mile）?
正弦定理和余弦定理的应用举例高清课件ppt(必修五人教版)
a2 b2 c2 cosC
2ab
A
c
b
a
C
1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量: ①距离问题、②高度问题、③角度问题、 ④计算面积问题、⑤航海问题、⑥物理问题等.
11/22/2019
2.实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标 视线的夹角,目标视线在水平视线 上方 叫仰角, 目标视线在水平视线 下方 叫俯角（如图①）.
解：在⊿ABC中，∠ABC＝ 180°－75°＋32°＝137°， 根据余弦定理，
AC AB2 BC2 2AB BC cos ABC 67.52 54.02 2 67.5 54.0cos137 113.15
11/22/2019
距离问题---典例
例1 A, B是海面上位于东西方
正弦定理
a b c 2R sin A sin B sin C （R为三角形的外接圆半径） B
余弦定理
a2 b2 c2 2bc cos A
b2 c2 a2 2ca cosB
c2 a2 b2 2ab cosC
11/22/2019
cos A b2 c2 a2 2bc
11/22/2019
例3 在山顶铁塔上B处测得地面上 一点A的俯角α＝54°40′，在塔底 C处测得A处的俯角β＝50°1′。 已知铁塔BC部分的高为27.3m， 求出山高CD(精确到1m)
11/22/2019
正弦定理
小结归纳
实际问题
画图
数学问题(解三角形)
余弦定理
数学问题的解
检验
实际问题的解
高中数学 1.2.2正、余弦定理在三角形中的应用课件 新人教版必修5
ppt精选
9
[活学活用] 1．(1)在△ABC 中，若 A＝60°，b＝16，S△ABC＝64 3，则 c＝________. (2)在△ABC 中，若 a＝3，b＝2，c＝4，则其面积等于________． 解析：(1)由已知得 S△ABC＝12·bc·sin A， 即 64 3＝12×16×c×sin 60°，解得 c＝16.
ppt精选
6
三角形的面积计算
[例 1] 在△ABC 中，已知 C＝120°，AB＝2 3，AC＝2，
求△ABC 的面积． [解] 由正弦定理知siAnBC＝siAnCB，
即sin2 1230°＝sin2 B，
所以 sin B＝12，
ppt精选
7
由于 AB＞AC， 所以 C＞B，故 B＝30°. 从而 A＝180°－120°－30°＝30°. 所以△ABC 的面积 S＝12AB·AC·sin A ＝12·2 3·2·sin 30° ＝ 3.
ppt精选
16
[解] (1)由 3cos(B－C)－1＝6cos Bcos C，
得 3(cos Bcos C－sin Bsin C)＝－1，
即 cos(B＋C)＝－13，
从而 cos A＝－cos(B＋C)＝13.
(2)由于
0<A<π，cos
A＝13，所以
sin
A＝2
3
2 .
ppt精选
17
又 S△ABC＝2 2，即12bcsin A＝2 2，解得 bc＝6. 由余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A，得 b2＋c2＝13， 解方程组bbc2＋＝c62，＝13， 得bc＝＝32，， 或bc＝＝23.，
∴ab－ －ccccooss BA＝ssiinn BA.
高中数学人教A版必修5《正弦定理、余弦定理的应用》教学设计
正弦定理、余弦定理的应用教学设计一、教材分析：（一）教材的地位和作用本课内容为人教A 版本必修5，§1.1.1正弦定理、§1.1.2余弦定理后的一节复习课.正弦定理、余弦定理是必修四第一章《三角函数》和第三章《三角恒等变换》的后续学习，是对三角形边角关系的探索和运用，具有较强的应用性．本节课是在学生初步掌握两个定理的基础上，对知识的综合运用，从解三角形的角度认识两个定理，根据三角形的已知元素运用方程思想判断应用哪个定理求解，从宏观角度把握两个定理，起到总结、提升作用的同时也为§1.2应用举例（正弦定理、余弦定理的实际应用）奠定了一定的基础．（二）教学目标：1．掌握正弦、余弦定理的结构，能根据实际问题合理选择定理，能正确判断三角形两解问题，体会数形结合思想.2．通过解三角形的一些应用，总结解三角形的一般方法，体会两个定理在解任意三角形问题时的应用特点，提高分析、归纳能力.3．能够利用正弦、余弦定理解决解三角形的综合问题，增强运用定理解决实际问题的能力和数学建模意识.（三）教学重点、难点：重点：掌握正、余弦定理的适用范围；根据题设会选择利用正弦定理、余弦定理来解三角形.难点：根据题设会选择利用正弦定理、余弦定理来化解三角形，在应用过程中体会、总结正、余弦定理的应用价值. 二、学情分析学生具备了一定的解三角形的知识，知道正弦定理和余弦定理的内容，并能简单应用.但是对于复杂的解三角形问题，还不能准确判断如何选择定理.从学生的思维特点和认知水平来看，具有一定的等式变换的基础但是方程思想的运用还有待提高. 三、教学导图四、教学过程： （一）问题情境休渔期内，在海岸A 处发现北偏东︒45方向，距A 处13-海里的B 处，有一艘偷捕船.在A 处北偏西︒75方向，距A 处2海里的C 处有一搜执法船奉命以310海里/小时的速度追截偷捕船.此时偷捕船正以10海里/小时的速度从B 处向北偏东︒30的方向逃窜，问执问题情境方法探究小结反思三 边两边及一边对角 两边及夹角一边两角总结提升问题情境解决 }法船沿什么方向能最快追上偷捕船，并求出所需时间.动画演示后提出问题：问题1：如何在几何图形中表示“执法船追上走私船”你能否根据题目情境描述画出船航行的方位示意图？问题2：你判断应该用什么知识解决这个问题？ 【设计意图】引出课题：正弦定理、余弦定理的应用 （二）方法探究 1.知识回顾 （1）正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===（R 为ABC ∆外接圆半径） （2）余弦定理及推论A bc c b a cos 2222-+= bca cb A 2cos 222-+=B ac c a b cos 2222-+= acb c a B 2cos 222-+=⇒C ab b a c cos 2222-+= abc b a C 2cos 222-+=问题3：用正弦定理和余弦定理解决情境中的问题，需要构造怎样的图形？问题4：在上面图形中的两个三角形，哪一个可以直接求解？ 生：ABC ∆.DD师：我们把这个问题抽象为一个数学问题.例1：在ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为c b a ,,，已知132-==c b ,，︒=∠120A ，解这个三角形.问题5：本题已知怎样的边、角？满足条件的三角形是唯一的吗？依据是什么？ 根据已知条件可知此三角形已知两边及夹角，有三角形全等的判定方法可知此三角形是确定的.问题6：你选择用哪个定理解这个三角形？ 已知两边及夹角，应用余弦定理.问题7：已知哪些元素，三角形是唯一确定的？问题8：需要构造怎样的条件，才能应用两个定理解三角形？【设计意图】引发学生对三角形中元素进行思考，从定性角度思考确定三角形的条件. 下面我们变化已知条件，继续研究.变式1：在ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为c b a ,,，若︒=∠==4523B b a ,,，求.A ∠【设计意图】学生展示解答过程，能够通过大边对大角判断三角形两解问题.变式2：在ABC ∆中，若.,,,c b a B 求2326===π【设计意图】通过两种解法的对比，感受已知两边及一边的对角解三角形时既可以应用正弦定理也可以应用余弦定理.体会方程思想在解三角形中的应用.变式3：在ABC ∆中，若.,2,4,127a b B C 求===ππ 【设计意图】利用三角形内角和解出角A ，再应用正弦定理建立方程，强化三角形边角关系.（三）总结提升问题9：已知哪些元素三角形可解？选择哪个定理求解？你还能补充吗？ 请同桌之间互相讨论，补充、总结.【设计意图】通过小组讨论，总结正弦定理和余弦定理可以解决哪几类解三角形问题，学会选择定理，提升对两个定理的认识，提高总结概括能力.(1) 已知三边A bc c b a cos 2222-+=CcB b A a sin sin sin == ABC13-2︒120通过方程结构发现：应用正弦定理无法求解.根据余弦定理已知三边可以建立任意一角的方程，所以此种情况选择应用余弦定理求解.(2) 已知两边及夹角A bc c b a cos 2222-+=结合三角形内角和为π，再应用正弦定理虽然可求解，但是运算繁琐，直接应用余弦定理建立方程可求得第三边.此种类型选择余弦定理求解.(3) 已知两边及一边的对角A bc c b a cos 2222-+=应用正弦定理可以直接求角，应用余弦定理可以直接建立关于第三边的一元二次方程求边.但此种情况三角形不唯一，涉及到两解问题，应用正弦定理可以通过“大边对大角”的结论判定，应用余弦定理求边，可以通过“两边之和大于第三边”求解.（4）已知一边两角A bc c ba cos 2222-+=无论是两角及一角的对边还是两角及第三边都可以通过正弦定理直接建立方程求解，而无法应用余弦定理建立可求解的方程，此种类型选择正弦定理求解.余弦定理至少需要已知两边，正弦定理至少需要已知一角. （四）解决情境问题问题10：通过前面的学习，你能继续解决本课开始时的问题吗？我们还要构造哪些条件才能继续解三角形？【设计意图】应用定理解决实际问题，提升两个定理的应用意识.CcB b A a sin sin sin ==CcB b A a sin sin sin ==C cB b A a sin sin sin ==CcB b A a sin sin sin == D的求解，可解出执法船行驶的方向和时间.通过对BCD(五) 小结反思1．本节课学习了哪些主要内容？（两个定理的应用）2．你如何来判别使用哪个定理？（能否建立方程）3．如何应用两个定理来解决实际的距离、角度问题？（分析实际问题，建立数学模型→解决数学问题→检验、解释实际问题）(六) 作业布置习题1.1A组1、2。
人教版高中数学必修5-1.1《正弦定理和余弦定理(第2课时)》教学设计
名师示范课第一章 解三角形1.1.2 余弦定理（名师：王历权）一、教学目标1.核心素养通过学习余弦定理,初步形成基本的数学抽象和逻辑推理能力.2.学习目标（1）了解余弦定理能解决的求三角形问题的类型;（2）能证明余弦定理;（3）应用余弦定理解决三角形相应问题.3.学习重点理解余弦定理,会用余弦定理解三角形问题.4.学习难点余弦定理的证明.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务任务阅读教材P5－P7,思考:余弦定理的内容是什么?你还有哪些方法可以证明余弦定理?余弦定理有哪些应用?2.预习自测1.结论:2a =_________________;2b =___________________;2c =_______________. 变式:A cos =__________;B cos =________________;C cos =_________________. 解:A bc c b a cos 2222-+=,B ac a c b cos 2222-+=,C ab b a c cos 2222-+=.bc a c b A 2cos 222-+=,ca b a c B 2cos 222-+=,abc b a C 2cos 222-+=.2.已知3,4,a b ==a 和b 的夹角为60º,求c .解:13,1360cos 432169cos 2222==︒⨯⨯-+=-+=c C ab b a c .（二）课堂设计1.知识回顾（1）在三角形中大边对大角,大角对大边.（2）三角形的面积:C ab S sin 21=. （3）正弦定理:sin sin sin a b c A B C ==. 2.问题探究问题探究一 另一类解三角形问题●活动一 回顾旧知理论上正弦定理可解决两类问题:（1）已知两角和任意一边,求其它两边和一角;（2）两边和其中一边对角,求另一边的对角,进而可求其它的边和角.●活动二 整合旧知,探求边角新关系如果已知某个三角形的两条边和它们的夹角,则显然三角形的形状与大小唯一确定,能求出未知的边与角吗?应用正弦定理显然无法求解三角形.Rt ABC V 中,90C ∠=︒,,,A B C ∠∠∠的对边依次为a b c 、、,若已知边b c 、,显然很容易得到222=+c a b ,那么对于任意一个三角形ABC ,若已知两边及夹角,第三边与另外两边及夹角之间有怎样的数量关系呢?问题探究二 余弦定理的证明. ●活动一 集思广益,证明余弦定理在一般的三角形中若已知A c b 、、,你能证明A bc c b a cos 2222-+=这个结论吗? 在锐角△ABC 中,过点C 作CD AB ⊥,垂足为D ,则=AB AD DB +.因而,有2222222(sin )(cos )2cos a CD BD b A c b A b c bc A =+=+-=+-,同理,我们可以得到:2222222cos ,2cos b c a ac B c a b ab C =+-=+-,. 或者222222222cos ,cos ,cos 222b c a c a b a b c A B C bc ca ab+-+-+-===. 在钝角三角形中是否也能用类似方法证明呢?不妨设∠B 为钝角,如图,22222(sin )(cos )a CD BD b A b A c =+=+-A bc c b cos 222-+=, 若△ABC 中∠A 为直角呢?我们可以得到A bc c b c b a cos 222222-+=+=. 余弦定理:对于任意的一个三角形,都有2222222222cos ,2cos ,2cos a b c bc A b c a ac B c a b ab C =+-=+-=+-.公式还可以变形为:bc a c b A 2cos 222-+=,ca b a c B 2cos 222-+=,ab c b a C 2cos 222-+=. ●活动二 发现公式证明新方法,反思过程结合问题条件与结论涉及边长与角度,能否用向量的办法证明余弦定理?A B如图在ABC ∆中,AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b .∵AC AB BC =+u u u r u u u r u u u r ,∴()()AC AC AB BC AB BC ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 222AB AB BC BC =+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r222||||cos(180)AB AB BC B BC =+⋅-+o u u u r u u u r u u u r u u u r 22cos 2a B ac c +-=.即B ac a c b cos 2222-+=同理可证A bc c b a cos 2222-+=,C ab b a c cos 2222-+=.反思:对向量等式+=平方法即得B ac a c b cos 2222-+=,过程中哪些方法值得总结?另外向量等式BC AB AC +=有哪些丰富的内涵?等式中隐藏了哪些信息?问题探究三 利用余弦定理能解决哪些三角形的问题? ●活动一 初步运用,运用定理解三角形例1 在ΔABC 中,已知a ＝7,b ＝10,c ＝6,求A 、B 和C.【知识点:余弦定理,解三角形;数学思想:数形结合】详解:∵222cos 0.7252b c a A bc+-==,∴A≈44° ∵222cos 0.80712a b c C ab+-==,∴C≈36°, ∴B ＝180°－(A ＋C)≈100°.点拨:知道三边利用余弦定理可以求任意一个内角的余弦值.例2 在ΔABC 中,已知a ＝2.730,b ＝3.696,C ＝82°28′,解这个三角形.【知识点:余弦定理,解三角形;数学思想:数形结合】详解:由C ab b a c cos 2222-+=,得c ≈4.297∵222cos 0.77672b c a A bc+-=≈,∴A≈39°2′, ∴B ＝180°－(A ＋C)＝58°30′(∵sin sin 0.6299a C A c=≈,∴A=39°或141°(舍))点拨:在已知两边和夹角的条件下,用余弦定理求出另一边,再用余弦定理或正弦定理可以求解整个三角形.例3 在ABC ∆中,cos cos b A a B =,则三角形为（ ）A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形【知识点:余弦定理】详解:选C,由正弦定理有sin cos sin cos B A A B =,即sin()0A B -=,所以ABC ∆是等腰三角形.又解,由余弦定理知acb c a a bc a c b b 22222222-+=-+,整理得a b = 点拨:灵活使用正余弦定理是解题关键.●活动二 对比提升,判断三角形解的个数余弦定理非常对称美观,三角函数把几何中关于三角形的定性结果都变成了可定量计算的公式了,它可以求解如下两类解三角形的问题:（1）已知三边,求三个角;（2）已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角.利用余弦定理解三角形时会出现无解、一解或多解等多种情况吗?3.课堂总结【知识梳理】余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍,即2222222cos cos 2b c a a b c bc A A bc +-=+-⇔=, 2222222cos cos 2c a b b c a ac B B ca +-=+-⇔=, 2222222cos cos 2a b c c a b ab C C ab +-=+-⇔=. 【重难点突破】（1）余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例,它揭示的是三角形中边角之间的关系,是解三角形的重要工具之一.（2）在余弦定理中含三边和一边的对角这四个元素,利用方程的思想,知三可求一.（3）解三角形问题时,一般先画出示意图,根据题目的结构特征,灵活运用正弦定理或余弦定理及其变式,这不仅是解决有关问题的切入点,更是找到解题捷径所在.4.随堂检测1.已知在ABC ∆中,sin :sin :sin 3:2:4A B C =,那么cos C 的值为（ ）A.－41B.41C.－ 32D.32 【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:A2.在200米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°,则塔高为（ ） A.3400米33400米 C.2003米米【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:A3.在ABC ∆中,cos cos b A a B =,则三角形为（ ）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:C4.三角形的两边分别为5和3,它们夹角的余弦是方程25760x x --=的根,则三角形的另一边长为（ ）A. 52B. 132C. 16D. 4 【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:B5. 在ABC ∆中,等式C b a B A b a s in )()s in ()2222-=-+（成立的充要条件是（ ）A.b a =B.090=∠CC.90a b C =∠=︒且D. 90a b C =∠=︒或【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:A（三）课后作业基础型 自主突破1.长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 ( )A.90°B.120°C.135°D.150°【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:B2. 已知b a ,为ABC ∆的边,,A B 分别是b a ,的对角,且32sin sin =B A ,求a b b+的值. 【知识点:余弦定理;正弦定理】解:25 3.已知三角形的一个角为60°,面积为310,周长为20,求此三角形的各边长.【知识点:余弦定理,三角形面积;数学思想:数形结合】解:5,7,8 .4.已知锐角三角形三边分别为3,4,a ,则a 的取值范围为（ ）A.15a <<B.17a << 5a << 7a <<【知识点:余弦定理;数学思想:分类讨论、数形结合】解:C5.如图,在斜度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑物顶端C 对于山坡的斜度为15︒,向山顶前进100m 后,又从点B 测得斜度为45︒,假设建筑物高50m,求此山对于地平面的斜度θ.【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:θ = 4294︒6.在ABC ∆中,=53AB AC =，,D 为BC 中点,且4=AD ,求BC 边长.【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:2能力型 师生共研7. 如图,在四边形ABCD 中,已知A D C D ⊥, 10,14AD AB ==,60BDA ∠=︒, 135BCD ∠=︒,求BC 的长.【知识点:余弦定理】解:288.在ABC ∆中,求证: 0)sin (sin )sin (sin )sin (sin =-+-+-B A c A C b C B a .【知识点:正弦定理、余弦定理】解:左边=)sin (sin sin 2)sin (sin sin 2)sin (sin sin 2B A C R A C B R C B A R -+-+- =]sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin [sin 2B C A C A B C B C A B A R -+-+-=0=右边.9.在ABC ∆中,三边长为连续的自然数,且最大角是最小角的2倍,求此三角形的三边长.【知识点:余弦定理】解:三边长为4,5,6.10.在ABC ∆中,证明下列各式:（1）0tan )(tan )(222222=+-+--B c b a A c b a .(2) 2222112cos 2cos ba b B a A -=-. 【知识点:正弦定理、余弦定理】证明:(1)左边＝)(222c b a --B B c b a A A cos sin )(cos sin 222+-+ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-++-+-+-=-+⋅⋅+-+-+⋅⋅--=222222222222222222222222)(2222)(22)(b c a b c a a c b a c b R a b c b c a ac R b c b a a c b bc R a c b a 右边==+-=0)11(Rabc 故原命题得证右边左边=-=+--=+--=---=22222222222222222211)2(2)2(211sin )2(sin 2sin )2(sin 2)11(sin 21sin 21)2(ba R Rb a B R B A R A b a b B a A 故原命题得证探究型 多维突破11.在ABC ∆中,30A ︒=,sin C2sin B B C =. (1) 求证:ABC ∆为等腰三角形;(2) 设D 为ABC ∆外接圆的直径BE 与AC 的交点,且2AB =,求:AD DC 的值.【知识点:正弦定理、余弦定理;数学思想:数形结合】解:（1）略 ;（2）3:112.ABC ∆中,若已知三边为连续正整数,最大角为钝角.（1）求最大角;（2）求以此最大角为内角,夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积.【知识点:余弦定理;数学思想:分类讨论】解:（1） 109,41cos ,4,3,2=-====C C c b a . （2）设夹C 角的两边为y x ,,4=+y x ,)4(415415)4(sin 2x x x x C xy S +-⋅=⋅-==, 当2=x 时15max =S .自助餐1. 在ABC ∆中,已知60A ︒=,1b =,,则sin sin sin a b c A B c ++++为( )A. B. C. D. 【知识点:正弦定理、余弦定理、三角形面积;数学思想:数形结合】 解:B.2. 在ABC ∆中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c .若c 2＝(a －b )2＋6,C ＝π3,则ABC ∆的面积是( )A.3B.9 32C.3 32D.3 3【知识点:余弦定理、三角形面积】解:C.3. 在ABC ∆中,π4B =,BC 边上的高等于13BC ,则cos A =（ ）C.-D.- 【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:C.4.设ABC ∆的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若cos cos sin b C c B a A +=,则ABC ∆的形状为（ ）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定【知识点:正弦定理、余弦定理;数学思想:数形结合】解:B.5.已知ABC ∆中,A b B a c cb ac b a cos cos 2222==-+-+且,试判断ABC ∆的形状. 【知识点:正弦定理、余弦定理;数学思想:数形结合】解:等边三角形.6.一货轮航行到M 处,测得灯塔S 在货轮的北偏东15°相距20里处,随后货轮按北偏西30°的方向航行,半小时后,又测得灯塔在货轮的北偏东45°,求货轮的速度.【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:7.设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,()()a b c a b c ac ++-+=.(1)求B ;(2)若sin sin A C =,求C . 【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】 解:（1）120︒;（2）15︒或45︒8. 在ABC ∆中,若22299190a b c +-=,试求tan tan (tan tan )tan A B A B C+的值. 【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】 解:59。
人教A版高中数学必修五PPT课件：.2余弦定理
人教A版高中数学必修五PPT课件：.2 余弦定 理
用余弦定理,可解决两类问题：
A
b
c
C
a
B
①已知两边和它们的夹角, 求 第三边和其它两个角；
②已知三边，求三个角.
人教A版高中数学必修五PPT课件：.2 余弦定 理
思考：余弦定理的使用范围是什么？ 人教A版高中数学必修五PPT课件：.2余弦定理
若三角形ABC为直角三角形， 则余弦定理的表达式有怎样的变化？ △ABC是直角角三角形 a 2 b2 c 2
2bc
2 2( 3 1)
2
A 60
cosB a2 c2 b2 ( 6)2 ( 3 1)2 22
2ac
2 6 ( 3 1)
2 2
B 45
C 180 A B 180 60 45 75
人教A版高中数学必修五PPT课件：.2 余弦定 理
练习：
1.在三角形ABC中，若a 3,b 1, c 2,则A 6_0__ _______
线段BC的张角），最后通过计算求出山脚的长度BC。
已测的：ＡＢ＝１千米，
AＣ＝
3 2
千米
角Ａ＝６０Ｏ
求山脚ＢＣ的长度．
解：BC2 | AB |2 | AC |2 2 | AB | AC | cos A
12 ( 3)2 21 3 1 7
2
22 4
BC 7 2
人教A版高中数学必修五PPT课件：.2 余弦定 理
求 A、B、C 的值。
解：（1） a 2 = b 2 + c 2 －2 b c ·cos A=84
a= 2 21
人教A版高中数学必修五PPT课件：.2 余弦定 理
人教A版高中数学必修五PPT课件：.2 余弦定 理
人教版高中数学必修5《正、余弦定理的应用举例》教案
人教版高中数学必修5《正、余弦定理的应用举例》教案1、正、金抵定理的疹用举例要测量对岸A、B两点Z间的距离，选取相距的仙7?的C、D两点并测得ZACB=75,ZBCD二45。
，ZADC=30,ZADB=45,求A、B之间的距离.參2沿一条小路前进，从A到B,方位角〔从正北方向顺时针转到AB方向所成的角〕是50。
，距离是3km,从B到C,方位角是110,距离是3km,从C到D,方位角是140,距离是〔9+3巧〕km.试画出示意图，并计算出从A到D的方位角和距离〔结果保辭根号〕.Wr3如下图，已知半圆的直径AB=2,点C在AB的延长线上，BC=1,点P为半圆上的一个动点，以DC为边作等边△PCD,且点D与圆心0分别在PC的两侧，求四边2、形OPDC面积的最大值.^4某观测站C在A城的南偏西20。
的方向.由A 城出发的一条公路，走向是南偏东40,在C处测得公路上B处有一人距C为31千米正沿公路向A城走去，走了20千米后到达D处，此时CD间的距离为21千米，问这人还要走多少「米才能到达A城?C如下图，测量河对岸的塔高AB时，可以选打塔底B在同一水平面内的两个测点C」jD,现测得ZBCDn,ZBDC二0,CD 二s,并在点C测得塔顶A的仰角为0,求塔高AB.A/繆匕为了竖一块广告牌，要制造三角形支架.三角形支架如下图，要求ZACB=60,BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米.为了使广告牌稳固，要求AC的长度越短越3、好，求AC最短为多少米？且当AC最短吋，BC长度为多少米？7在Z^ABC 中，、b、c分别为角A、B、C的对边，设f(x)=a2x2~(a2—b2)x—4c2.(1)/(1)=0且B—C二彳，求角C的大小；(2)若/(2)=0,求角C的取值范围.*、8在厶ABC 中,a,b,c分别为角A,B,C的对边.已知gl,b=2,cosC=-.4(1)求c的值;⑵求sin(C-A)的值.@9如下图，扇形AOB,圆心角AOB等于60。
人教版高中数学必修五正弦定理和余弦定理课件
(D) 5
7
2.在△ABC中，已知 a 5 2，c=10，A=30°，则B=( )
(A)105°
(B)60°
(C)15°
(D)105°或15°
【解析】选D. a c , 5 2 10 ,sin C 2 .
sin A sin C sin 30 sin C
2
∵c>a,∴C>A，∴C=45°或135°，∴B=105°或15°.
bc-ab+ac-bc)=0=右边，原等式得证.
规避误区、规范解答是提高数学成绩的有效途径。本栏 目通过“见式得分，踩点得分”呈现得分点，点评失分点， 帮助学生形成识错、纠错、避错能力，借以养成严谨的数学 思维和良好的规范答题习惯。
【典例】(12分)在△ABC中，已知 b 2，c=1，B=45°，求 a、A、C. 【审题指导】可利用正弦定理求解，但要注意判断三角形解的 个数.
【例2】在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且 a b c ，试判断△ABC的形状.
cos A cos B cos C
【审题指导】将式中的a、b、c分别用2RsinA、2RsinB、
2RsinC来代替是解决本题的关键.
【规范解答】由正弦定理 a b （cR为△2ARBC外接圆的半径）得
答案： A
3．在△ABC中，若b＝1，c＝
3
，C＝
2π 3
，则a＝
________.
解析： ∵c2＝a2＋b2－2abcos C，
∴( 3)2＝a2＋12－2a×1×cos 23π，
∴a2＋a－2＝0，即(a＋2)(a－1)＝0，∴a＝1.
答案： 1
4．在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b， c，若b＝3，c＝3 3，B＝30°，求边长a.
人教版高数必修五第2讲：正弦定理和余弦定理的应用(教师版)——回龙观陈俊红
正弦定理和余弦定理的应用____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________教学重点：掌握正弦定理和余弦定理的应用，高度，距离，角度的准确判断教学难点：构造三角形，利用正、余弦定理进行解相关的边长、角度。
1、与实际应用问题有关的名词、术语①铅直平面：与水平面垂直的平面②坡角：坡面与水平面的夹角③坡比：坡面的垂直高度与水平长度之比④仰角：在同一铅直平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角⑤俯角：在同一铅直平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角⑥视角：从某点看物体的最高点与最低点的两条视线的夹角⑦方向角：从指定方向线到目标方向线的水平角（指定方向线是指正北或正南方向，方向角小于90⑧方位角：从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角2、解三角形应用问题步骤（1）准确理解题意，分清已知和所求，尤其是要理解应用题中的相关名词和术语；（2）根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，即将实际问题抽象成数学问题；（3）分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，通过运用正弦定理或余弦定理正确求解；（4）检验求得的解是否具有实际意义，并对所求的解进行取舍。
类型一：测量距离、高度问题例1.（2015山东潍坊月考）为了测量某湖泊的两侧,A B 间的距离，给出下列数据，其中不能唯一确定,A B 两点间的距离的是（）A.角,A B 和边bB.角,A B 和边aC.边,a b 和角CD.边,a b 和角A解析：根据正弦定理和余弦定理可知，当知道两边和其中一边的对角解三角形时，得出的答案是不唯一的，所以选D 答案：D练习1. 在200m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为( )A ．4003mB ．40033m C ．2003m D ．200m解析：如图，设AB 为山高，CD 为塔高，则AB ＝200，∠ADM ＝30°，∠ACB ＝60°∴BC ＝200tan60°＝20033，AM ＝DM tan30°＝BC tan30°＝2003.∴CD ＝AB －AM ＝4003.答案：A练习2：要测量底部不能到达的电视塔AB 的高度，在C 点测得塔顶A 的仰角是45°，在D 点测得塔顶A 的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD ＝120°，CD ＝40m ，则电视塔的高度为( )A ．102mB ．20mC ．203mD ．40m解析：设AB ＝x m ，则BC ＝x m ，BD ＝3x m ，在△BCD 中，由余弦定理，得 BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos120°， ∴x 2－20x －800＝0，∴x ＝40(m)． 答案：D例2：一艘船以4 km/h 的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h ，则经过3h ，该船实际航程为________．解析：如图，水流速和船速的合速度为v ，在△OAB 中：OB 2＝OA 2＋AB 2－2OA ·AB ·cos60°， ∴OB ＝v＝23km/h.即船的实际速度为23km/h ，则经过3h ，其路程为23×3＝6 km. 答案：6 km练习3：在灯塔上面相距50m 的两点A 、B ，测得海内一出事渔船的俯角分别为45°和60°，试计算该渔船离灯塔的距离________． 解析：由题意，作出图形如图所示，设出事渔船在C 处，根据在A 处和B 处测得的俯角分别为45°和60°， 可知∠CBD ＝30°，∠BAC ＝45°＋90°＝135°， ∴∠ACB ＝180°－135°－30°＝15°，又AB ＝50，在△ABC 中，由正弦定理，得AB sin15°＝AC sin30°，∴AC ＝AB ×sin30°sin15°＝50×126－24＝25(6＋2)(m)．∴出事渔船离灯塔的距离CD ＝22AC ＝25(6＋2)·22＝25(3＋1)(m)．练习4：两船同时从A 港出发，甲船以每小时20n mile 的速度向北偏东80°的方向航行，乙船以每小时12n mile 的速度向北偏西40°方向航行，一小时后，两船相距________n mile. 解析：如图，△ABC 中，AB ＝20，AC ＝12，∠CAB ＝40°＋80°＝120°，由余弦定理，得BC 2＝202＋122－2×20×12·cos120°＝784，∴BC ＝28(n mile)． 答案：28规律总结：求距离、高度时，牢牢抓住各已知边及角，理解名词、术语的应用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
正弦定理和余弦定理的应用____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________教学重点：掌握正弦定理和余弦定理的应用，高度，距离，角度的准确判断教学难点：构造三角形，利用正、余弦定理进行解相关的边长、角度。
1、与实际应用问题有关的名词、术语①铅直平面：与水平面垂直的平面②坡角：坡面与水平面的夹角③坡比：坡面的垂直高度与水平长度之比④仰角：在同一铅直平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角⑤俯角：在同一铅直平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角⑥视角：从某点看物体的最高点与最低点的两条视线的夹角⑦方向角：从指定方向线到目标方向线的水平角（指定方向线是指正北或正南方向，方向角小于90⑧方位角：从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角2、解三角形应用问题步骤（1）准确理解题意，分清已知和所求，尤其是要理解应用题中的相关名词和术语；（2）根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，即将实际问题抽象成数学问题；（3）分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，通过运用正弦定理或余弦定理正确求解；（4）检验求得的解是否具有实际意义，并对所求的解进行取舍。
类型一：测量距离、高度问题例1.（2015山东潍坊月考）为了测量某湖泊的两侧,A B 间的距离，给出下列数据，其中不能唯一确定,A B 两点间的距离的是（）A.角,A B 和边bB.角,A B 和边aC.边,a b 和角CD.边,a b 和角A解析：根据正弦定理和余弦定理可知，当知道两边和其中一边的对角解三角形时，得出的答案是不唯一的，所以选D答案：D练习1. 在200m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为( )A ．4003mB ．40033m C ．2003m D ．200m解析：如图，设AB 为山高，CD 为塔高，则AB ＝200，∠ADM ＝30°，∠ACB ＝60°∴BC ＝200tan60°＝20033，AM ＝DM tan30°＝BC tan30°＝2003. ∴CD ＝AB －AM ＝4003.答案：A练习2：要测量底部不能到达的电视塔AB 的高度，在C 点测得塔顶A 的仰角是45°，在D 点测得塔顶A 的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD ＝120°，CD ＝40m ，则电视塔的高度为( )A ．102mB ．20mC ．203mD ．40m解析：设AB ＝x m ，则BC ＝x m ，BD ＝3x m ，在△BCD 中，由余弦定理，得 BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos120°， ∴x 2－20x －800＝0，∴x ＝40(m)． 答案：D例2：一艘船以4 km/h 的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h ，则经过3h ，该船实际航程为________．解析：如图，水流速和船速的合速度为v ，在△OAB 中：OB 2＝OA 2＋AB 2－2OA ·AB ·cos60°， ∴OB ＝v ＝23km/h.即船的实际速度为23km/h ，则经过3h ，其路程为23×3＝6 km. 答案：6 km练习3：在灯塔上面相距50m 的两点A 、B ，测得海内一出事渔船的俯角分别为45°和60°，试计算该渔船离灯塔的距离________． 解析：由题意，作出图形如图所示，设出事渔船在C 处，根据在A 处和B 处测得的俯角分别为45°和60°， 可知∠CBD ＝30°，∠BAC ＝45°＋90°＝135°， ∴∠ACB ＝180°－135°－30°＝15°，又AB ＝50，在△ABC 中，由正弦定理，得AB sin15°＝AC sin30°，∴AC ＝AB ×sin30°sin15°＝50×126－24＝25(6＋2)(m)．∴出事渔船离灯塔的距离CD ＝22AC ＝25(6＋2)·22＝25(3＋1)(m)．练习4：两船同时从A 港出发，甲船以每小时20n mile 的速度向北偏东80°的方向航行，乙船以每小时12n mile 的速度向北偏西40°方向航行，一小时后，两船相距________n mile. 解析：如图，△ABC 中，AB ＝20，AC ＝12，∠CAB ＝40°＋80°＝120°，由余弦定理，得BC 2＝202＋122－2×20×12·cos120°＝784，∴BC ＝28(n mile)． 答案：28规律总结：求距离、高度时，牢牢抓住各已知边及角，理解名词、术语的应用。
类型二：测量角度问题、三角形综合题 例3：在某测量中，A 在B 的北偏东55°，则B 在A 的( )A ．北偏西35°B ．北偏东55°C ．北偏东35°D ．南偏西55° 解析：根据题意和方向角的概念画出草图，如图所示．α＝55°，则β＝α＝55°. 所以B 在A 的南偏西55°. 答案：D练习5：已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40，灯塔B 在观察站C 的南偏东60，则灯塔A 在灯塔B 的（）A.北偏东40B.北偏西10C.南偏东10D.南偏西10 答案：B练习6：某观察站C 与两灯塔,A B 的距离分别为300米和500米，测得灯塔A 在观察站C 北偏东30 处，灯塔B 在观察站C 南偏东30处，则两灯塔,A B 间距离为（）A.400米B.500米C.800米D.700米 答案：D例4：在ABC ∆中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 若ABC ∆的面积为S ，且()222S a b c =+-，则tan C = （）A.34 B.43 C.43- D.34- 解析： 由()222222222222,2212sin 22sin 2S a b c S a b ab c ab C a b ab c ab C ab a b c =+-=++-∴⨯=++-∴-=+-即222sin 2a b c C ab +--= 又222cos 2a b c C ab+-=，所以1sin 22cos ,1cos sin 2C C C C -=+=又22cos 12cos ,sin 2sin cos ,2cos sin cos 2222224tan 2,tan 23C C C C C C C C C C +==∴=∴==-答案：C练习7：在ABC ∆中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 若ABC ∆的面积为S ，且()222S a b c =+-，则tan2C= （） A.2 B.3 C.-2 D.-3 答案：A练习8：在ABC ∆中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 若ABC ∆的面积为S ，且()222S a b c =+-，则2tan 2C= （） A.3 B.4 C.5 D.6 答案：B1. 在某测量中，A 在B 的北偏东45°，则B 在A 的( ) A ．北偏西35° B ．北偏东55° C ．北偏东35° D ．南偏西45°答案：D2. 在某测量中，A 在B 的南偏西45°，则B 在A 的( ) A ．北偏西35° B ．北偏东45° C ．北偏东35° D ．南偏西45° 答案：B3.在100m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为( )A.2003m B. 2003mm D.400m 答案：A4. 要测量底部不能到达的电视塔AB 的高度，在C 点测得塔顶A 的仰角是45°，在D 点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD ＝120°，CD ＝60m ，则电视塔的高度为( )A ．102mB ．20mC ．203mD ．60m 答案：D5. 如果在测量中，某渠道斜坡的坡度为34，设α为坡角，那么2cos α等于( )A ．35 B ．45 C ．1625- D ．1625答案：D6. 已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东30°，灯塔B 在观察站C 的南偏东70°，则灯塔A 在灯塔B 的( ) A ．北偏东20° B ．北偏西20° C ．南偏东20° D ．南偏西20°答案：B_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1. 某人向正东走x Km ，向右转150，然后朝旋转后的方向走3km 后，他离最开始的出发点的距离，那么x 的值为__________答案：2. 两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )A ．a kmB ．3a kmC ．2a kmD ．2a km答案：B3. 有一长为10 m 的斜坡，它的倾斜角是75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延伸( )A ．5 mB ．10 mC ．10 2 mD ．103m 答案：C4. 江岸边有一炮台高30m ，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距( )A ．103mB ．1003mC ．203mD ．30m答案：D5. 如图所示，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算A 、B 两点的距离为( ) A ．502m B ．503m C ．252m D ．2522m 答案：A6.一船以24 km/h 的速度向正北方向航行，在点A 处望见灯塔S 在船的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见灯塔在船的北偏东65°方向上，则船在点B 时与灯塔S 的距离是______ km.(精确到0.1 km) 答案：5.27. 如图，一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°，与灯塔S 相距20n mile ，随后货轮按北偏西30°的方向航行30min 后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )A ．20(2＋6)n mile/hB ．20(6－2)n mile/hC ．20(6＋3)n mile/hD ．20(6－3)n mile/h 答案：B能力提升8. 某海岛周围38n mile 有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60°方向，航行30n mile后测得此岛在东北方向，若不改变航向，则此船________触礁的危险(填“有”或“无”)． 答案：如图所示，由题意在△ABC 中，AB ＝30，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝135°，∴∠ACB ＝15°，由正弦定理，得BC ＝AB sin ∠BAC sin ∠ACB ＝30sin30°sin15°＝156－24＝15(6＋2)． 在Rt △BDC 中，CD ＝22BC ＝15(3＋1)>38. ∴此船无触礁的危险．9.甲船在A 处发现乙船在北偏东60°的B 处，乙船正以a n mile/h 的速度向北行驶．已知甲船的速度是3a n mile/h ，问甲船应沿着________方向前进，才能最快与乙船相遇？ 答案：如图，设经过t h 两船在C 点相遇，则在△ABC 中，BC ＝at ，AC ＝3at ，B ＝180°－60°＝120°，由BC sin ∠CAB ＝ACsin B，得sin ∠CAB ＝BC sin B AC ＝at ·sin120°3at ＝12.∵0°<∠CAB <90°， ∴∠CAB ＝30°，∴∠DAC ＝60°－30°＝30°.即甲船应沿北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇．10. 在某海滨城市附近海面有一台风．据监测，当前台风中心位于城市O (如图所示)的东偏南θ(cos θ＝210)方向300km 的海面P 处，并以20km/h 的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km ，并以10km/h 的速度不断增大．问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？ 答案：如图所示，设在时刻t (h)台风中心为Q ，此时台风侵袭的圆形区域半径为(10t ＋60)km.若在时刻t 城市O 受到台风的侵袭，则OQ ≤10t ＋60.由余弦定理，得OQ 2＝PQ 2＋PO 2－2·PQ ·PO ·cos ∠OPQ ， 由于PO ＝300，PQ ＝20t ，∴cos ∠OPQ ＝cos(θ－45°)＝cos θcos45°＋sin θsin45° ＝210×22＋1－2102×22＝45， 故OQ 2＝(20t )2＋3002－2×20t ×300×45＝202t 2－9600t ＋3002，因此202t 2－9600t ＋3002≤(10t ＋60)2， 即t 2－36t ＋288≤0，解得12≤t ≤24. 答：12h 后该城市开始受到台风的侵袭．11. 在地面上某处，测得塔顶的仰角为θ，由此处向塔走30m ，测得塔顶的仰角为2θ，再向塔走103m ，测得塔顶的仰角为4θ，试求角θ的度数．答案：解法一：∵∠P AB ＝θ，∠PBC ＝2θ， ∴∠BP A ＝θ，∴BP ＝AB ＝30. 又∵∠PBC ＝2θ，∠PCD ＝4θ， ∴∠BPC ＝2θ，∴CP ＝BC ＝10 3.在△BPC 中，根据正弦定理，得PC sin2θ＝PBsin (π－4θ)，即103sin2θ＝30sin4θ ， ∴2sin2θcos2θsin2θ＝30103 .由于sin2θ≠0，∴cos2θ＝32. ∵0°<2θ<90°，∴2θ＝30°，∴θ＝15°. 解法二：在△BPC 中，根据余弦定理，得 PC 2＝PB 2＋BC 2－2PB ·BC ·cos2θ， 把PC ＝BC ＝103，PB ＝30代入上式得， 300＝302＋(103)2－2×30×103cos2θ， 化简得：cos2θ＝32. ∵0°<2θ<90°，∴2θ＝30°，∴θ＝15°.解法三：如下图，过顶点C 作CE ⊥PB ，交PB 于E ，∵△BPC 为等腰三角形， ∴PE ＝BE ＝15. 在Rt △BEC 中，cos2θ＝BE BC ＝15103＝32. ∵0°<2θ<90°，∴2θ＝30°，∴θ＝15°.12. 碧波万顷的大海上，“蓝天号”渔轮在A 处进行海上作业，“白云号”货轮在“蓝天号”正南方向距“蓝天号”20n mile 的B 处．现在“白云号”以每小时10n mile 的速度向正北方向行驶，而“蓝天号”同时以每小时8n mile 的速度由A 处向南偏西60°方向行驶，经过多少小时后，“蓝天号”和“白云号”两船相距最近．答案：如右图，设经过t h ，“蓝天号”渔轮行驶到C 处，“白云号”货轮行驶到D 处，此时“蓝天号”和“白云号”两船的距离为CD ．则根据题意，知在△ACD 中， AC ＝8t ，AD ＝20－10t ，∠CAD ＝60°.由余弦定理，得 CD 2＝AC 2＋AD 2－2×AC ×AD cos60°＝(8t )2＋(20－10t )2－2×8t ×(20－10t )×cos60° ＝244t 2－560t ＋400＝244(t －7061)2＋400－244×(7061)2， ∴当t ＝7061时，CD 2取得最小值，即“蓝天号”和“白云号”两船相距最近．答：经过7061h 后，“蓝天号”和“白云号”两船相距最近．13. 如图所示，表示海中一小岛周围3.8 n mile 内有暗礁，一船从A 由西向东航行望见此岛在北75°东．船行8 n mile 后，望见这岛在北60°东，如果该船不改变航向继续前进，有没有触礁的危险．答案：在△ABC 中，AC ＝8，∠ACB ＝90°＋60°＝150°，∠CAB ＝90°－75°＝15°，∴∠ABC ＝15°.∴△ABC 为等腰三角形，BC ＝AC ＝8，在△BCD 中，∠BCD ＝30°，BC ＝8，∴BD ＝BC ·sin30°＝4>3.8.故该船没有触礁危险．课程顾问签字： 教学主管签字：11。