概率论与数理统计习题详细解答

习 题八

某油品公司的桶装润滑油标定重量为10千克。商品检验部门从市场上

随机抽取10桶，称得它们的重量(单位：千克)分别是,,,,,,,,,. 假设每桶油实际重量服从正态分布.试在显着性水平01.0=α下，检验该公司的桶装润滑油重量是否确为10千克，试给出检验的p 值的计算公式.

解：问题归结为检验如下假设

10:10:10≠↔=μμH H

此处n=10，01.0=α，S=.25.321=⎪⎭

⎫

⎝⎛-αn t ，于是拒绝域为

253.010

246.025.325.30=⨯

=⨯

≥-n

S X μ

而253.006.01006.100<=-=-μX ，所以我们接受原假设，即桶装润滑油重量确为10千克。可以算得，该检验的P 值为

{}5.0771.010/246.01006.10/10

=≥=⎪⎭

⎪

⎬⎫

⎪⎩

⎪

⎨

⎧-≥--n T P n S X P μ 假设香烟中尼古丁含量服从正态分布，现从某牌香烟中随机抽取20支，其尼古丁含量的平均值6.18=X 毫克，样本标准差S=毫克，取显着性水平01.0=α，我们能否接受“该种香烟的尼古丁含量的均值18=μ毫克” 的

断言

解：问题归结为检验如下假设

18:18:10≠↔=μμH H

此处n=20，01.0=α，S=.86.221=⎪⎭

⎫

⎝⎛-αn t ，于是拒绝域为

53.120

4.286.29.2||0=⨯

=⨯

≥-n

S X μ

而53.16.0186.18||0<=-=-μX ，所以我们接受原假设，即我们接受“该种香烟的尼古丁含量的均值18=μ毫克”的断言.

(1)考虑正态总体),(2σμN 和假设检验问题

0100::μμμμ>↔≤H H

证明:当2σ已知时，则拒绝域为

ασ

μZ n

X ≥

-0

的检验的显着性水平为α。 若2σ未知 则拒绝域为

)(10ασ

μ-≥

-n t n

X

的检验的显着性水平为α.

(2)在习题中， 对4.2=σ毫克和S=毫克两种情况，我们能否接受“该牌的香烟尼古丁含量不超过毫克”的断言

证明：(1)取显着水平α>0，对于正态总体),(2σμN 和假设检验问题

0100::μμμμ>↔≤H H

因0H 中的均值μ都比1H 中的μ小，所以从直观上看，较合理的检验法则应当是：若观察值X 与0μ的差过分大，即0μ-X >c 时，我们拒绝接受0H .采用与书中类似的讨论，可以推出

ασ

Z n

c =

于是拒绝域为

ασ

μZ n

X ≥

-0

类似地，当2σ未知 则拒绝域为 )(10ασ

μ-≥

-n t n X .

(2) 第1种情况，4.2=σ，问题归结为检验如下假设

5.17:18:10>↔=μμH H

此处n=20，01.0=α，4.2=σ.33.2=αZ ，于是拒绝域为

25.120

33.24.20=⨯

=≥-n

Z X ασ

μ

而25.11.15.176.180<=-=-μX ，所以我们接受原假设，即我们接受“该种香烟的尼古丁含量的均值5.17=μ毫克”的断言.

第2种情况，S=，问题归结为检验如下假设

5.17:18:10>↔=μμH H

此处n=20，01.0=α，S=.33.21=-n t ，于是拒绝域为

36.153.220

4.2)(10=⨯=

≥

--αμn t n

S X

而36.11.175.16.180<=-=-μX ，所以我们接受原假设，即我们接受“该种香烟的尼古丁含量的均值5.17=μ毫克”的断言.

设某厂生产的产品尺寸服从正态分布),(2σμN ，规定标准尺寸为120毫米，现从该厂抽得5件产品 测量其尺寸分别为

119,120,,,

试判断产品是否符合规定要求,即检验假设120:120:10≠↔=μμH H (显着性水平α=.

解：问题归结为检验如下假设

120:120:10≠↔=μμH H

此处n=5，05.0=α，经计4.0=S .查表78.2)025.0(1=-n t ，于是拒绝域为

497.078.25

4.0)(||210=⨯=

≥

--αμn t n

S X

而样本观察值5.119=X ，497.05.0|1205.119|||0>=-=-μX ，所以我们不接受原假设，即可判断产品不符合规定要求.

设甲、乙两煤矿所产的煤中含煤粉率分别为)5.7,(1μN 和)6.2,(2μN 为检验这两个煤矿的煤含煤粉率有无明显差异，从两矿中取样若干份，测试结果如下：

甲矿 ：,,,,，

乙矿 ：,,,

试在显着性水平α=下，检验“含煤粉率无差异” 这个假设。

解：问题归结为检验如下假设

211210::μμμμ≠↔=H H

此处55.721==，m σ；46.222==，m σ，查表得96.12/=αZ ，在显着性水平α=

下的拒绝域为

87.24

6.255.796.12

2

2

12

/=+⨯

=+

≥-n

m

Z Y X σσα 经计算样本观察值185.21==Y ，X ，87.25.3185.21>=-=-Y X ，因此我们

不接受原假设，即可判断这两个煤矿的煤含煤粉率有明显差异，甲矿的煤含煤粉率高于乙矿的煤含煤粉率。

比较A 、B 两种小麦品种蛋白质含量，随机抽取A 种小麦10个样品，测得3.14=X ，21S =.随机抽取B 种小麦5个样品，测得7.11=Y ,22S =,假定这两种小麦蛋白质含量都服从正态分布，且具有相同方差，试在01.0=α水