北京大学弹性力学讲义

“弹性力学”课程是北京大学力学与工程科学系的主干基础课，三年级开设，一学期的课程，力学班周学时为5，工程班为3。

所谓弹性是指外力消失后，物体恢复原状的特性。弹性力学是研究弹性体在外界因素影响下，其内部所生成的位移和应力分布的学科。弹性力学是众多工程学科的基础，此课程十分重要，力学系本科的许多后续课程都建立在弹性力学的基础之上。

授课教案详见王敏中等编著的《弹性力学教程》。

目前网上给出如下一些教案示例：

1.“第一章矢量与张量”

2.“第二章应变分析”

3.“第三章应力分析

4.“第六章 Saint-venant 问题” (§1-§5)

5.“第七章弹性力学平面问题的直角坐标解法” (§1-§4)

弹性――外力消失后，物体恢复原状的特性。

弹性体――仅仅有弹性性质的一种理想物体。

弹性力学――研究弹性体在外界因素影响下，其内部所生成的位移和应力分布的学科。

人类利用物体的弹性可以追溯到无穷久远的年代，但是弹性力学作为一门科学却是伴随着工业革命而诞生的，并被广泛应用于土木、航空、船舶、机械等工程领域。

弹性力学迄今已有三百余年的发展历史，1678年Hooke提出变形与外力成正比的定律，1821年Navier和1823年Cauchy建立了关于应力的平衡方程，形成了弹性力学的初步理论；Saint-Venant(1855)关于扭转与弯曲的解答，Мусхелишвили(1933)的复变解法是弹性理论发展中的经典之作；二十世纪下半叶，弹性理论进一步深化和扩展，许多基本概念和基本问题被深入和细致的研究，并与其它物理因素相互耦合出现了许多交叉领域，诸如热弹性力学、粘弹性力学、磁弹性力学、压电介质弹性力学、微孔介质弹性力学、微极弹性力学、非局部弹性力学、准晶弹性力学等，极大地丰富了弹性力学的研究范围。

本书主要介绍弹性力学的基本理论、典型方法、著名问题、重要结果，希望能反映出这门既古老又年青、既理论又实用的学科的面貌，作为进一步研究弹性力学和固体力学其它分支的起点。

第一章矢量与张量

本章介绍向量与张量的代数运算和分析运算，作为后面章节的数学准备。

§1 向量代数

1.1向量的定义

从几何观点来看，向量定义为有向线段。在三维欧氏空间中，建立直角坐标系，沿坐标方向的单位向量为，即其标架为。设从坐标原点至点的向量为，它在所述坐标系中的坐标为，那么可写成

(1.1)

设在中有另一个坐标系，其标架为，它与

之间的关系为

（1.2）

由于单位向量之间互相正交，之间也互相正交，因此矩阵

(1.3)

将是正交矩阵，即有，其中上标表示转置。从(1.2)可反解出

（1.4）向量在新坐标系中的分解记为

(1.5)

将(1.4)代入(1.1),得到

(1.6)

公式(1.6)是向量的新坐标和旧坐标之间的关系，它是坐标变换系数的一次齐次式。这个式子应该是有向线段的几何客观性质（如：长度、角度）不随坐标的人为主观选取而变化的一种代数反映。可以说，公式(1.6)表示了向量在坐标变换下的不变性。

这样，我们就从向量的几何定义，得到了向量的代数定义：一个有序数组，如果在坐标变换下为关于变换系数由（1.6）所示的一次齐次式，则称之为向量。

1.2 Einstein约定求和

用求和号，可将(1.1)写成

(1.7)

所谓Einstein约定求和就是略去求和式中的求和号，例如(1.7)可写成

(1.8)

在此规则中两个相同指标就表示求和，而不管指标是什么字母，例如(1.8)也可写成

(1.9)

有时亦称求和的指标为“哑指标”。本书以后如无相反的说明，相同的英文指标总表示从1 至3 求和。

按约定求和规则，(1.2)、(1.4)可写成

(1.10)

(1.11)

将(1.11)代入(1.8)，得

(1.12)

由此就得到了(1.6)式的约定求和写法，

(1.13)

今引入Kronecker记号，

(1.14)

例如。应用，单位向量之间的内积可写成

(1.15)

向量和向量之间的内积可写成

(1.16)

上式中最后一个等号是因为只有时，才不等于零，在这里的作用似乎是将换成了，因而也称为“换标记号”。

再引入Levi-Civita记号，

(1.17)

其中分别取1，2，3中的某一个值。例如，

，，…。利用，向量之间的外积可写为

(1.18)

(1.19)

1.3与之间的关系

Kronecker 记号与Levi-Civita 记号之间有如下关系

(1.20)

证明1 穷举法，先列出所有可能的81种取值情况，

情形

1

2

3

┆ 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 3

┆┆┆┆

然后逐个情形证明,例如，情形1，，故此情形(1.20)成立，…。

证明2 我们有双重外积公式

(1.21)

将代入(1.21)左右两边，得到

将上述两式代入(1.21)两边，移项，得

(1.22)

由于的任意性，从(1.22)即得欲证之(1.20)式。

证明3 利用Lagrange公式

(1.23)

按证明2 类似的步骤，从(1.23)可导出(1.20)。

证明4 从(1.18)和向量混合乘积的行列式表示，有

(1.24)

其中分别为向量在中的坐标。按行列式的乘积法则，有

(1.25)

其中第二个等式应用了等关系。将(1.25)最后一个行列式展开，得

(1.26)

注意到，以及换标记号和的意义，从（1.26）即得(1.20)。证毕。

§2 张量代数

2.1张量的定义

设

(2.1)

其中称为并矢基,它们共有9个,

(2.2)

在坐标变换(1.11)之下,(2.1)成为

(2.3)

于是

(2.4)

从(2.4)可引出张量的定义：一个二阶有序数组，在坐标变换下，关于变换系数为二次齐次式，则称为张量，也记作。为其指标记号，为其整体记号。