高中数学中的倒数与导数的关系

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高考数学中的导数问题解析

高考数学中的导数问题解析在高中数学的学习过程中，导数是一个非常重要的知识点。

导数的概念、求法和应用一直是高考数学中的重点和难点。

在高中数学的学习过程中，学生们需要对导数的定义、求导法则和高阶导数等知识进行深入的学习和理解。

本文将探讨高考数学中的导数问题，包括导数的概念、求导法则和应用等方面。

一、导数的概念导数是微积分中的一个重要概念。

它是描述函数变化率的数学工具，用于描述一个函数在某一点上的瞬时变化率。

在数学上，导数的定义是：如果函数f(x)在点x=a处的导数存在，那么函数f(x)在点x=a处的导数定义为：f'(a) = lim(x→a) [f(x) - f(a)] / [x - a]这个式子的意思是：当x无限趋近于a的时候，f(x)和f(a)之差的商的极限存在，并且这个极限就是函数f(x)在点x=a处的导数。

导数的定义可以用图像来解释。

在图像上，一个函数f(x)在点( a , f(a) )处的导数就是曲线在该点处的切线的斜率。

因此，导数越大，函数在该点上的变化率越大。

二、导数的求法则求导是计算导数的过程。

求导需要运用一些基本的求导法则。

在高考数学中，最常用的求导法则有以下几种：1. 常数的导数等于0；2. 变量的一次幂的导数等于这个一次幂的系数；3. 变量的n次幂的导数等于这个n次幂的系数乘以x的n-1次幂；4. 变量的n次方根的导数等于这个n次方根的倒数乘以x的n-1次幂；5. 每条多项式的导数是它各项导数的和；6. 乘法规则：两个函数的乘积的导数等于其中一个函数的导数乘以另一个函数再加上另一个函数的导数乘以该函数；7. 除法规则：两个函数的商的导数等于其中一个函数的导数乘以另一个函数再减去另一个函数的导数乘以该函数，全部除以第二个函数的平方。

以上的规则可以帮助我们在计算导数的时候快速准确地求得导数。

三、导数的应用在高考数学中，导数的应用十分广泛，常常被用于研究函数在某个区间内的特性，例如最值、单调性、凸性、极值等。

高中数学导数公式-高中数学求导公式

高中数学导数公式-高中数学求导公式1.导数的概念1) 函数y=f(x)在x=x处的导数，一般称为函数y=f(x)在x=x处的瞬时变化率，表示为f'(x)或y'|x，公式为lim(Δy/Δx)，其中Δx→0.2) 导数的几何意义是函数f(x)在点x处的导数f'(x)表示曲线y=f(x)上点P(x,y)处的切线斜率，相应地，切线方程为y-y=f'(x)(x-x)。

3) 函数f(x)的导函数，表示为f'(x)=lim(Δy/Δx)，其中Δx→0.2.基本初等函数的导数公式常数函数：f(x)=c，导数为0.幂函数：f(x)=x^n(n∈Q*)，导数为f'(x)=nx^(n-1)。

正弦函数：f(x)=sinx，导数为f'(x)=cosx。

余弦函数：f(x)=cosx，导数为f'(x)=-sinx。

指数函数：f(x)=ax(a>0且a≠1)，导数为f'(x)=axlna。

指数函数：f(x)=ex，导数为f'(x)=ex。

对数函数：f(x)=loga(x)(x>0，a>0且a≠1)，导数为f'(x)=1/(xlna)。

自然对数函数：f(x)=lnx(x>0)，导数为f'(x)=1/x。

3.导数的运算法则和差法则：[f(x)±g(x)]' = f'(x)±g'(x)。

积法则：[f(x)·g(x)]' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。

商法则：[f(x)/g(x)]' = [f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/g(x)^2，其中g(x)≠0.4.复合函数的导数复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为y' = y'u'，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x 的导数的乘积。

高中数学导数讲义之函数求导

第一部分函数求导一、导数定义1. 简单函数的定义求导的方法（一差、二比、三取极限）（1）求函数的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；（2）求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00。

（3）取极限求导数=)(0'x f x x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000 2．导数与导函数的关系：特殊与一般的关系。

函数在某一点)(0'x f 的导数就是导函数)(x f ，当0x x =时的函数值。

3．常用的导数公式及求导法则：（1）公式（2）法则：二、例：（1）()324y x x =- （2）sin x y x= （3）3cos 4sin y x x =- （4）()223y x =+ （5）()ln 2y x =+第二部分复合函数的导数一、基本公式：如果函数)(x ϕ在点x 处可导，函数f (u )在点u=)(x ϕ处可导，则复合函数y= f (u )=f [)(x ϕ]在点x 处也可导，并且 (f [)(x ϕ])ˊ= [])(x f ϕ')(x ϕ' 或记作 x y '=u y '•x u '二、例题：例1求下列函数的导数 4)31(1x y -=x y 23-= 51x x y -=例2求下列函数的导数（1）y=ln (x +21x +) （2）22()(32)sin 3f x x x x =-+g(3) ()ln(ln(ln ))f x x =(4) y=x 21-cos x三、求下函数的导数.1、（1）cos 3x y = （2）y =2、(1)y =(5x －3)4(2)y =(2+3x )5 (3)y =(2－x 2)3 (4)y =(2x 3+x )2 3、(1)y =32)12(1-x (2)y =4131+x (3)y =sin(3x －6π) (4)y =cos(1+x 2) 4、⑴32)2(x y -=； ⑵2sin x y =；⑶)4cos(x y -=π； ⑷)13sin(ln -=x y ． 5、 (1) y =sin x 3+sin 33x ；（2）122sin -=x x y (3))2(log 2-x a (4))132ln(2++x x导数的应用一求切线方程导数的几何意义：)(x f 在0x x =处的导数就是)(x f 在0x x =处的切线斜率曲线C ：y =f （x ）在其上一点P （x 0，f （x 0））处的切线方程为y －f （x 0）=f '（x 0）（x －x 0）.问题1：如何求解曲线的切线？求切线问题的基本步骤：找切点求导数得斜率题1.求曲线y=x 2在点(1,1)处的切线方程.练习1：已知1()f x x -=，求曲线()y f x =在1x =-处的切线斜率和切线方程．练习2：如图，函数)(x f y =的图象在点P 处的切线方程是8+-=x y ，则)5()5(f f '+= . 变式1:求曲线y=x 2过点(0,－1)的切线方程变式2．已知曲线21y x =+(1)求曲线在点(1,2)P 处的切线方程；(2)求曲线过点(1,1)Q 的切线方程；变3：已知2()1f x x =-，求曲线()y f x =在12x =处的切线斜率是多少？题2、在曲线31y x x =+-上求一点P ，使过点P 点的切线与直线47y x =-平行。

高中数学的解析函数的导数与导数应用

高中数学的解析函数的导数与导数应用高中数学中，解析函数是一种以公式形式表示的函数，可以通过解析的方式进行计算和研究。

在解析函数的学习中，导数是一个重要的概念，它描述了解析函数在某个点处的变化率。

导数的应用也具有广泛的实际意义，可以用于解决许多实际问题。

本文将对高中数学的解析函数的导数与导数应用进行论述。

一、解析函数的导数解析函数的导数是指在某个点处的变化率，可以用极限表示。

对于解析函数f(x)，它的导数可以表示为f'(x)或者dy/dx。

导数的计算方法有很多种，如使用定义法、求导法则等，根据不同的函数类型，选择合适的方法进行计算。

在解析函数的导数计算中，常见的函数类型有多项式函数、三角函数和指数函数等。

对于多项式函数，可以利用求导法则进行计算，如常数规则、幂规则和求和规则等。

对于三角函数和指数函数，可以使用相应的导数公式进行计算，如sin(x)的导数是cos(x)，e^x的导数仍然是e^x等。

通过求导可以得到解析函数在各个点处的导数值，导数也可以表示为函数图像的斜率。

导数的正负还可以判断函数在某个点的增减性，当导数大于0时，函数是递增的；当导数小于0时，函数是递减的；当导数等于0时，函数取得极值。

二、导数的应用导数不仅仅是一个概念，它还有广泛的实际应用。

在物理学、经济学、工程学等领域，导数可以用于解决许多实际问题。

以下是导数应用的几个例子：1. 切线与曲线的问题：导数可以用于求解曲线上某点的切线方程。

通过求解导数可以得到切线的斜率，再结合该点的坐标，就可以得到切线方程。

这在几何问题和物理问题中都有应用，例如研究物体的运动轨迹时，需要知道某个时刻的速度和加速度。

2. 最值问题：导数还可以用于求解函数的最值。

通过求解导数为0的点，可以找到函数的极值点。

这在优化问题中很常见，例如求解最大面积、最小成本等问题。

3. 函数图像的研究：导数可以用于研究函数的图像特征。

通过分析导数的正负、增减性、凹凸性等，可以了解函数图像的形状和变化规律。

高中数学导数的定义及求导公式解题技巧

高中数学导数的定义及求导公式解题技巧导数是高中数学中的重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。

理解导数的定义以及掌握求导公式是解决各类导数题目的关键。

本文将介绍导数的定义及求导公式，并通过具体的题目分析和解答，帮助读者掌握解题技巧。

一、导数的定义导数的定义是函数在某一点处的变化率，用数学符号表示为f'(x)或dy/dx。

导数可以理解为函数图像上某一点处的切线斜率，也可以表示为函数的瞬时变化率。

对于函数y=f(x)，若在点x处导数存在，则导数的定义为：f'(x) = lim(x→0) (f(x+h) - f(x))/h其中lim表示极限，h表示x的增量。

这个定义告诉我们，导数可以通过求函数在某一点的极限来计算。

二、求导公式在高中数学中，我们常用的函数求导公式有以下几种：1. 常数函数的导数为0：f(x) = c，则f'(x) = 0，其中c为常数。

2. 幂函数的导数：f(x) = x^n，则f'(x) = nx^(n-1)，其中n为正整数。

3. 指数函数的导数：f(x) = a^x，则f'(x) = ln(a) * a^x，其中a为常数。

4. 对数函数的导数：f(x) = log_a(x)，则f'(x) = 1/(x * ln(a))，其中a为常数。

5. 三角函数的导数：f(x) = sin(x)，则f'(x) = cos(x)；f(x) = cos(x)，则f'(x) = -sin(x)；f(x) = tan(x)，则f'(x) = sec^2(x)。

以上是常用的求导公式，掌握它们可以帮助我们快速求解各类导数题目。

三、解题技巧在解题过程中，我们可以运用导数的定义和求导公式来解决各类导数题目。

下面通过具体的题目来说明解题技巧。

题目一：求函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5在点x=2处的导数。

解析：根据求导公式，我们可以依次求出每一项的导数，然后将它们相加。

2021学年高中数学第一章导数及其应用1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课件新人教A版

• 2．利用导数公式求导，应根据所给问题的特征，恰当地选择求导公式，将题中函数的构造进展调整．如将根式、分式转化为指数式，利用幂函数的求导公式求导．
• 3．求函数在某点处的导数的步骤：先求导函数，再代入变量的值求导数值．
〔跟踪练习 1〕求下列函数的导数： (1)y＝x－2； (2)y＝cosx； (3)y＝e0． [解析] 由求导公式得(1)y′＝－2·x－3＝－x23． (2)y′＝(cosx)′＝－sinx． (3)∵y＝e0＝1， ∴y′＝0．
〔跟踪练习 2〕求下列函数的导数．
(1)y＝x·tanx； (2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)； (3)y＝xx－＋11． [解析] (1)y′＝(x·tanx)′＝xcsoisnxx′ ＝xsinx′coscxo－s2xxsinxcosx′ ＝sinx＋xcocsoxsc2xosx＋xsin2x＝sinxccooss2xx＋x．
• 3．如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝ f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(xB)是g(x)的导函数，那么g′(3)＝( )
• A．－1 B．0 • C．2 D．4
[解析] 由已知得：3k＋2＝1，∴k＝－13，又 g(x)＝xf(x)，f ′(3)＝－13，∴g′(x) ＝f(x)＋xf ′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f ′(3)＝1＋3×－13＝0．
新课标导学
数学
选修2-2 ·人教A版
第一章
导数及其应用
1．2 导数的计算
1．2.2 根本初等函数的导数公式及导数的运算法那么
1
自主预习学案
2
互动探究学案
3
课时作业学案
自主预习学案

高中数学导数知识点归纳总结

高中导数复习资料一、基本概念1. 导数的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ∆，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；比值x x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ∆+0之间的平均变化率；如果极限xx f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数。

()f x 在点0x 处的导数记作xx f x x f x f y x x x ∆-∆+='='→∆=)()(lim )(00000 2 导数的几何意义：（求函数在某点处的切线方程）函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为).)((0'0x x x f y y -=-3．基本常见函数的导数:①0;C '=（C 为常数） ②()1;n n x nx -'=③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-;⑤();x x e e '= ⑥()ln x x a a a '=;⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x'=. 二、导数的运算1.导数的四则运算：法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： ()()()()f x g x f x g x '''±=±⎡⎤⎣⎦法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=+⎡⎤⎣⎦常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： ).())((''x Cf x Cf =(C 为常数)法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '⎡⎤''-=≠⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦。

高中数学导数及其应用导数的计算几个常用函数的导数基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

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[规律方法] 1.若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解 2.对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误 3.要特别注意“1x与ln x”，“ax与logax”，“sin x与cos x”的导数区别.
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第一章导数及其应用(yìngyòng)。谢谢观看
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其中正确命题的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
C
[对于①，y′＝0，故①错；对于②，∵y′＝－
2 x3
，∴y′|x＝3＝－
2 27
，
故②正确；显然③，④正确，故选C.]
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2．已知f(x)＝xα(α∈Q*)，若f′(1)＝14，则α等于(
(4)若y＝2sin x－cos x，则y′＝2cos x＋sin x．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
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2．若函数y＝10xn 10
D．10l1n 10
C [∵y′＝10xln 10，∴y′|x＝1＝10ln 10.]
)
A．13
B．12
C．18
D．14
D [∵f(x)＝xα，∴f′(x)＝αxα－1，∴f′(1)＝α＝14.]
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3．设y＝－2exsin x，则y′等于( )
【导学号：31062023】

高中数学选修1-1精品课件1：3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)

1 ，可以转化为y=
x3
x
2 3
，y=x-3
后再求导.
（4）对解析式较复杂的，要先化简解析式，再选择公式进行求
导，化简时注意化简的等价性.
【典例训练】
1.若y=10x，则y′|x=1=_________.
2.求下列函数的导数：
（1）y=x7；（2）y=
1 x2
；（3）y=
3 x；
（4）y=2sin
题目类型三、导数的综合应用【技法点拨】
导数的综合应用的解题技巧 (1)导数的几何意义为导数和解析几何的沟通搭建了桥梁，很多综合问题我们可以数形结合，巧妙利用导数的几何意义，即切线的斜率建立相应的未知参数的方程来解决，往往这是解决问题的关键所在.
(2)导数作为重要的解题工具，常与函数、数列、解析几何、不等式等知识结合出现综合大题.遇到解决一些与距离、面积相关的最值、不等式恒成立等问题.可以结合导数的几何意义分析.
【解析】1.依题意，y′|x=x1=
，1
2 x1
∵n与m垂直，
（6）若f(x)=ex，则f′(x)=_ex_；
（7）若f(x)=logax，则f′(x)=
1 (a>0且a≠1)；
xlna
(8)若f(x)=lnx，则f′(x)= 1 .
x
1.利用导数的定义求导与导数公式求导的区别导函数定义本身就是函数求导的最基本方法，但导函数是由极限定义的，所以函数求导总是要归结为求极限，这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，但是用导函数定义推导出常见函数与基本初等函数公式后，求函数的导函数就可以用公式直接求导了，简洁迅速.
第三章导数及其应用
§3.2 导数的计算
3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（一）

《高中数学导数讲解》课件

积分
导数是积分的基础，通过求导可以推导出原函数的表达式。
微分方程
导数在解决微分方程问题中起到关键作用，如物理中的动力学问题。
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高中数学导数讲解
目录
• 导数的基本概念 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的实际应用 • 导数的扩展知识
01
导数的基本概念
导数的定义
总结词
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该点的切线斜率。
详细描述
导数是微积分中的一个基本概念，用于描述函数在某一点附近的变化率。对于可导函数$f(x)$，其在点$x_0$处的导数定义为$f'(x_0) = lim_{Delta x to 0} frac{Delta y}{Delta x}$，其中$Delta y = f(x_0 + Delta x) - f(x_0)$ 。导数表示函数在点$x_0$处的切线斜率。
01
02
03
起源
导数最初由牛顿和莱布尼茨在17世纪分别独立发现，为微积分学奠定了基础。
早期发展
18世纪，欧拉、拉格朗日等数学家进一步发展了导数理论，将其应用于函数研究。
现代应用
随着数学的发展，导数在物理、工程、经济等领域得到广泛应用，成为解决实际问题的重要工具。
导数的其他性质
导数的几何意义
详细描述
在物理中，导数具有实际意义。例如，物体运动的瞬时速度可以由速度函数的导数表示，物质扩散的瞬时速度可以由扩散函数的导数表示。导数可以描述物体或物质在极短时间内速度或加速度的变化。
02
导数的计算
切线斜率与导数
切线斜率
导数描述了函数在某一点的切线斜率，即函数在该点的变化率。

高中数学导数知识点总结

高中数学导数知识点总结一、导数的基础1. 导数的定义- 导数表示函数在某一点的切线斜率。

- 符号表示：$f'(x)$ 或 $\frac{df}{dx}$。

2. 极限表达- 导数可以用极限表达：$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$。

3. 几何意义- 导数的几何意义是曲线在某一点的切线斜率。

二、导数的计算1. 基本导数公式- 常数函数：$(C)' = 0$。

- 幂函数：$(x^n)' = nx^{n-1}$（其中n为实数）。

- 指数函数：$(a^x)' = a^x \ln(a)$（其中a > 0且a ≠ 1）。

- 对数函数：$(\ln(x))' = \frac{1}{x}$。

- 三角函数：- $(\sin(x))' = \cos(x)$- $(\cos(x))' = -\sin(x)$- $(\tan(x))' = \sec^2(x)$2. 导数的运算法则- 和/差的导数：$(u \pm v)' = u' + v'$。

- 乘积的导数：$(uv)' = u'v + uv'$。

- 商的导数：$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$。

3. 链式法则- 如果有一个复合函数$g(f(x))$，则其导数为：$(g(f(x)))' = g'(f(x)) \cdot f'(x)$。

三、高阶导数1. 高阶导数的定义- 第二导数：函数的导数的导数，表示为$f''(x)$。

- 更高阶导数：同理，可以计算第三导数、第四导数等。

2. 高阶导数的计算- 通过重复应用导数的基本运算法则来计算。

四、导数的应用1. 切线问题- 利用导数求曲线在某一点的切线方程。

高中数学导数自学讲义——认识导数

导数的简单自学讲义1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数(1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率()()0000lim lim x x f x x f x y x x∆→∆→+∆-∆=∆∆为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0(2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．2．函数f (x )的导函数称函数f ′(x )＝()()0lim x f x x f x x∆→+∆-∆为f (x )的导函数．3．基本初等函数的导数公式（*）4．利用导数的定义求函数的导数（1）根据导数的定义求函数在点处导数的方法： ①求函数的增量； ②求平均变化率； ③得导数，简记作：一差、二比、三极限.（2）函数的导数与导数值的区间与联系：导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数.5．导数的运算法则1) ．[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；2) ．[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；3) ．()()()()()()()2f x f x g x f x g x g x g x '⎡⎤''-=⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦(g (x )≠0) 4) 复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．例题精析【例题1】求函数y =x=1处的导数. 【例题2】一质点运动的方程为.（1）求质点在t=1时的瞬时速度；（2）求质点在t=1时的瞬时加速度；【例题3】求下列函数的导数.【例题4】已知曲线，（1）求曲线在点P(2,4)处的切线方程；（2）求曲线过点P(2,4)的切线方程；。

高中数学导数知识点归纳总结

高中数学导数知识点归纳总结1.导数的定义-函数f在a点可导的充分必要条件是：存在一个常数k，使得当自变量趋于a时，函数值与f(a)之差与自变量与a之差的比值的极限等于k。

这个常数k就是函数f在a点的导数。

- 导数的定义公式为：f'(x) = lim (f(x + △x) - f(x))/△x(△x→0)2.导数的基本运算法则- 常数法则：如果c是常数，那么dc/dx = 0-乘法法则：(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)-除法法则：(f(x)/g(x))'=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/g(x)^2- 链式法则：如果y = f(u)且u = g(x)，那么dy/dx = dy/du *du/dx3.导数与函数的关系-函数f在点x=a处可导，则函数f在点x=a处连续。

-可导函数必定在其可导区间内连续，但是连续函数未必可导。

-导数存在的充分必要条件是函数在该点连续且有极限。

4.常见函数的导数- 幂函数：y = x^n，则y' = nx^(n-1)- 指数函数：y = a^x，则y' = a^x * ln(a)- 对数函数：y = ln(x)，则y' = 1/x- 三角函数：sin x的导数是cos x，cos x的导数是-sin x，tan x 的导数是sec^2x5.导数的几何意义-导数表示函数在其中一点上的切线的斜率。

-导数的绝对值表示函数在该点的变化速率，正表示增加，负表示减小。

6.导数的应用-求函数的极值点：对导数函数进行分析，找到其零点。

-求函数的单调区间：根据导数的正负性，确定函数在哪些区间上是增函数或减函数。

-求函数的最大值最小值：结合极值点和边界点来进行判断。

-求曲线的切线和法线：根据导数和函数在其中一点上的数值来确定切线和法线的斜率。

7.高阶导数和导数的计算-高阶导数表示对函数的导数进行多次求导的结果。

高中数学导数公式及导数的运算法则

高中数学导数公式及导数的运算法则一、导数的定义导数是函数变化速率的一种描述方式，用函数f(x)在点x处的变化率来近似表示。

导数的定义如下：设函数y=f(x)在点x处有定义，如果当自变量x自小于且无限接近于x时，函数值的变化量Δy始终与自变量的变化量Δx之比近似为一个定值，即lim(Δx→0) Δy/Δx = lim(Δx→0) [f(x + Δx) - f(x)]/Δx这个极限值称为函数f(x)在点x处的导数，记作f'(x)，也可以写成dy/dx。

二、常见函数的导数公式1.幂函数的导数若y = xⁿ，n为常数，则y' = nxⁿ⁻¹。

2.反函数的导数若y=f⁻¹(x)，则y'=1/f'(f⁻¹(x))。

3.指数函数的导数若y = aˣ，a > 0，a ≠ 1，则y' = (lna) * aˣ。

4.对数函数的导数(a) 若y = logₐ(x)，a > 0，且a ≠ 1，则y' = 1/(xlna)。

(b) 若y = ln(x)，则y' = 1/x。

5.指数对数函数的导数(a) 若y = aˣ(x > 0)，则y' = aˣ(lna)。

(b) 若y = logₐx(a > 0，且a ≠ 1)，则y' = 1/(xlna)。

6.三角函数的导数(1) 若y = sinx，则y' = cosx。

(2) 若y = cosx，则y' = -sinx。

(3) 若y = tanx，则y' = sec²x。

1.基本运算法则(a)常数乘积法则：k*f(x)的导数是k*f'(x)。

(b)和差法则：[f(x)±g(x)]的导数是f'(x)±g'(x)。

(c)常数倍数法则：k*f(x)的导数是k*f'(x)。

高中数学导数公式-高中数学求导公式

1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数一般地，称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 lim Δx →0f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ＝lim Δx →0Δy Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx． (2)导数的几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．(3)函数f (x )的导函数称函数f ′(x )＝lim Δx →0f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx为f (x )的导函数． 2．基本初等函数的导数公式(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )．(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )．(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0)． 4．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．导师提醒1．注意两种区别(1)f′(x)与f′(x0)的区别与联系：f′(x)是一个函数，f′(x0)是函数f′(x)在x0处的函数值(常数)，所以[f′(x0)]′＝0.(2)“过”与“在”：曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点．2．关注两个易错点(1)函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．(2)曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点．3．记住两个常用结论(1)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．(2)[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)．。

高中数学常用函数的导数及导数公式

公式 6 . e x ' e x
公式
7 . log
a x '
1 x ln
a
公式 8 . ln x ' 1
x
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新课——导数的运算法则
1、和（或差）的导数
法则 1. 两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差），即
f(x)g(x)f(x)g(x)
若u令 fx,vgx,则导数的运记算 .
(uv)uvv2uv(v0)
(Cu)＝Cu
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13பைடு நூலகம்
小结 1.基本初等函数的导数公式 2.导数的运算法则
课后必看教材14-15页.
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新课——导数的运算法则
2、积的导数
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,
即: [ f ( x ) g ( x ) ] f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) .
特别地，常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数，即
1.2.1基本初等函数的导数、导数公式及导数的运算法则
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复习回顾
1.导数的概念
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
lim ylim f(x0 x)f(x0)
x x 0
x 0
x
称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作f’(x0)
(uv)uv
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新课——导数的运算法则
1、和（或差）的导数

高中数学导数知识点归纳总结

高中数学导数知识点归纳总结----63805868-7166-11ec-a9c9-7cb59b590d7d§14.导数知识要点1.导数的定义（导数函数的缩写）：设x0是函数y=f（x）定义域中的一个点。

如果自变量x有一个增量∆ x在x0处，函数值y也会导致相应的增量∆ y=f（x0+∆ x） -F（x0）；比率∆ YF（x0+∆ x） -f（x0）称为函数y=f(x)在点x0到x0+∆x之间的平均变化率；如果极限=f（x0）+∆x） -f（x0）∆Y存在，则称函数y=f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做=lim∆十、→0∆十、∆十、→0∆xlimy=f(x)在x0处的导数，记作f'(x0)或y'|x=x0，即f'(x0)=limf（x0）+∆x） -f（x0）∆Y∆x→0∆x∆x→0∆x注：① ∆ x是增量，也称为“变化量”，因为∆ x可以是正的，也可以是负的，但不能是零②以知函数y=f(x)定义域为a，y=f'(x)的定义域为b，则a与b关系为a⊇b.2.函数y=f(x)在点x0处连续与点x0处可导的关系：（1）函数y=f（x）在点x0处的连续性是y=f（x）在点x0处可微的一个充要条件。

可以证明，如果y=f（x）在点x0处可微，那么y=f（x）在点x0处是连续的，如果x=x0+∆ x、然后x→ x0相当于∆十、→ 0于是limf(x)=limf(x0+∆x)=lim[f(x+x0)-f(x0)+f(x0)]f（x0）+∆x） -f（x0）f（x0）+∆x） -f（x0）⋅∆x+f(x0)]=lim⋅lim+limf(x0)=f'(x0)⋅0+f(x0)=f(x0).∆十、→ 0∆十、→ 0∆十、→ 0∆十、→ 0∆十、∆ x（2）如果y=f（x）在点x0处是连续的，那么y=f（x）在点x0处是可微的，并且不成立=lim[例：f(x)=|x|在点x0=0处连续，但在点x0=0处不可导，因为∆y∆y∆y不存在=1；当∆ x＜0，=-1，所以Lim∆x→0∆x∆x∆x∆y|∆x|，当∆x＞0时，=注：① 奇导数函数的导数是偶数函数②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.3.导数的几何意义：函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x))处的切线的斜率，也就是说，曲线y=f(x)在点p(x0,f(x))处的切线的斜率是f'(x0)，切线方程为y-y0=f'(x)(x-x0).4.四种推导算法：(u±v)'=u'±v'⇒y=f1(x)+f2(x)+...+fn(x)⇒y'=f1'(x)+f2'(x)+...+fn'(x)（UV）“=Vu'+v'u”⇒（CV）'=c'v+CV'=CV'（c是常数）vu'-v'u⎛u⎛（五）≠0)⎛=2vv⎛⎛注：①u,v必须是可导函数.② 如果两个函数是可微的，那么它们的和、差、积和商都是可微的；如果两个函数都是不可微的，那么它们的和就是差积、商不一定不可导.例如，假设f（x）=2sinx+，G（x）=cosx-，那么f（x）和G（x）在x=0时是不可微的，但是它们和f(x)+g(x)=SiNx+cosx可以在x=0时领先5.复合函数的求导法则：fx'(ϕ(x))=f'(u)ϕ'(x)或y'x=y'u⋅u'x复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.6.函数单调性：（1）函数单调性的判定方法：使函数y=f（x）在一定区间内可微。